（基础数学专业论文）关于三类半群拓扑的研究.pdf

关于三类半群拓扑的研究 基础数学专业研究生夏志国指导老师赵华新副教授 摘要 本文首先提出了b a n a c h 空间上有界岛一半群 t ( t ) ，t o ) 确定的半范数p 。( 。) = | | ，1 ( f ) 。i | 及由半范数簇s l = p 。，t20 ) 所确定的局部凸向量拓扑两个概念，并引入了局部 凸向量拓扑空间( x ，) 的一个局部基和有界线性算子半群拓扑空间半群完备性的概念，讨 论了有界岛一半群拓扑空间( x ，) 的完备性和分离性接着比较了新的局部凸向量拓扑和 原拓扑的强弱然后，引入对有界岛一半群的半群拓扑及对半群的半群拓扑空间完备性的 概念，并讨论了对有界函一半群的半群拓扑空间的完备性 其次，引入了有界c 一半群和有界退化c 一半群所确定的局部凸向量拓扑l 和l 等 概念，讨论了相应的局部凸向量拓扑空间( x ，r 。) 和( x ，毛) 的完备性和分离性，讨论了有界 c 一半群和有界退化c 一半群在新拓扑意义下本身和生成元的性质最后，引入对有界c 一 半群的半群拓扑和对有界退化c 一半群的半群拓扑的概念，并讨论了对有界c 一半群的半 群拓扑空间和对有界退化g 一半群的半群拓扑空间的完备性 关键词：国一半群g 一半群退化c 一半群生成元 局部凸向量拓扑半群拓扑对半群的半群拓扑 o nt h r e ek i n d so fs e m i g r o u pt o p o l o g i e s a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，f i r s t l yt w oc o n c e p t st h a tt h es e m i - n o r mp e ( 。) = | | t ( t ) xl id e t e r m i n e db yt h eb o u n d e dc o s e m i g r o u pp ( 氓t o ) o nab a n a c hs p a c ea n dt h a tt h el o c a l l y c o n v e xv e c t o rt o p o l o g y d e t e r m i n e db yas e m i - n o r mc l a s ss = ( p e ，t o ) a r ep r e s e n t e d ，a n da l o c a lb a s eo ft h el o c a l l yc o n v e xv e c t o rt o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，t o ) i si n t r o d u c e d t h ec o n c e p to ft h e s e m i g r o u pc o m p l e t e n e s so ft h el o c a l l yc o n v e xv e c t o rt o p o l o g i c a ls p a c ec o n n e c t e dw i t ht h eh o u n d e d l i n e a ro p e r a t o rs e m i g r o u pi si n t r o d u c e d t h ec o m p l e t e n e s sa n ds e p a r a t i o no ft h el o c a l l yc o n v e x v e c t o rt o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，) a r ed i s c u s s e d t h ew e a k l i n e s so ft h en e wl o c a l l yc o n v e xv e c t o r t o p o l o g ya n dt h eo r i g i n a lt o p o l o g yi sc o m p a r e d t h ec o n c e p t st h a tt h es e m i g r o u pt o p o l o g yf o r t h eb o u n d e d 岛一s e m i g r o u pa n dt h es e m i g r o u pc o m p l e t e n e s sf o rt h es e m i g r o u po ft h es e n f i g r o u p t o p o l o g i c a ls p a c ea r ei n t r o d u c e da n dt h es e m i g r o u pc o m p l e t e n e s sf o rt h es e m i g r o u po ft h et h e s e m i g r o u pt o p o l o g i c a ls p a c ef o rt h eb o u n d e dc o - s e m i g r o u pi sd i s c u s s e d s e c o n d l y , t h ec o n c e p t st h a tt h el o c a l l yc o n v e xv e c t o rt o p o l o g i e s 巧a n d 弓d e t e r m i n e db y t h eb o u n d e dc - s e m i g r o u pa n db o u n d e dd e g e n e r a t e dc - s e m i g r o u pr e s p e c t i v e l ya r ei n t r o d u c e d t h ec o m p l e t e n e s sa n ds e p a r a n t i o no ft h et w oa b o v e m e n t i o n e dl o c a l l yc o n v e xv e c t o r t o p o l o g i c a l s p a c e s ( x ，t 1 ) a n d ( x ，l ) a r es t u d i e d t h ep r o p e r t i e so ft h es e m i g r o u p st h e m s e l v e sa n dt h e i r g e n e r a t o r su n d e rt h en e wt o p o l o g yd e t e r m i n e db yt h eb o u n d e dc - s e m i g r o u pa n db o u n d e dd e g e n c r a t e dc s e m i g r o u pa r ed i s c u s s e d t h ec o n c e p t st h a tt h es e m i g r o u pt o p o l o g i e sf o rt h eb o u n d e d c s e m i g r o u pa n db o u n d e dd e g e n e r a t e dc s e m i g r o u pa r ei n t r o d u c e da n dt h es e m i g r o u pc o i n p l e t e n e s sf o rt h es e m i g r o u po ft h es e m i g r o u pt o p o l o g i c a ls p a c e sf o rt h eb o u n d e dc s e m i g r o u pa n d b o u n d e dd e g e n e r a t e dc - s e m i g r o u pi sd i s c u s s e d w r i t t e nb yx i az h i g u o ( f u n c t i o n a la n a l y s i s ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o f e s s o rz h a oh u a x i n k e y w o r d s ：c b s e m i g r o u pa s e m i g r o u pd e g e n e r a t e dg s e m i g r o u p l o c a l l y c o n v e xv e c t o rt o p o l o g y g e n e r a t o rs e m i g r o u pt o p o l o g y s e m i g r o u pt o p o l o g yf o rt h es e m i g r o u p 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料着有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人躲蔓 告闽 日期：丝艿，g i 7 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允诲查阅和借阋论文；学校可以公布论文的全都或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名： 夏。盘鲴 聋盟 嘲皇堕 关于三类半群拓扑的研究 l 半群和拓扑的背景 算子半群的概念起源于微分方程的c a u c h y 问题以及物理学中的因果律算子半群的理 论，就是研究无限维空间中算子值函数方程 t ( t + s ) = t 0 ) t ( s ) ，t ，s 0 的解的理论 近数十年来算子半群的发展历程大致可分四个阶段： 一、初创期( 1 9 3 0 1 9 4 7 年) ：s t o n e 在1 9 3 0 年提出，1 9 3 2 年证明的s t o n e 定理是算子 半群理论中的最早结果这一时期算子半群的主要工作就是围绕s t o n e 定理展开的 二、成熟期( 1 9 4 8 1 9 5 6 年) ： 1 9 4 8 年h i l l 和y o s i d a 独立得到的生成定理是算子半群 发展史上的里程碑接着p h i u i p s 及f e l l e r 等填补了h i l l 遗留下来的许多空白， 三，扩充期( 1 9 5 7 1 9 8 6 年) ： 1 9 5 7 年出版的h i l t 和p h i l l 扫s 的巨著泛函分祈与半 群标志着算子半群的理论已基本形成，随着研究的不断深入，人们发现经典半群( e o 半 群) ，已远不能满足需要于是人们不得不寻求新的突破1 9 6 7 年，d a p r a t o 1 j 首先提出 正则半群i 后称c 一半群) ，但是由于种种原因，以后的二十年一直未能弓1 起久们的足够重 视人们的注意力开始转向扩展算子半群的其他类型如：分布半群、局部凸线性空间中的 算子半群、非线性算子半群、正半群等【2 】1 f 3 】， 4 j 删 四、再生期( 1 9 8 7 年以后) ：1 9 8 7 年a r e n d t g l , 7 j 提出了积分半群与d a v i e s 和p a n g e l 重提了c 一半群给算子半群的发展赋予了新的生机他们给出了算子半群更一般的框架， 从多方面实质性的发展了算子半群的类型，提出了更新的算子半群一积分g 一半群，存在 唯一簇、余弦算子函数、多值线性算子半群所对应的退化半群、双半群等t o m ，l ，i t 2 1 ，嘲并 对其进行了广泛研究，得到了颇具价值的结论 随着算予半群理论的迅速发展及不断完善，它已经成为泛函分析的一个内容丰富的分 支，不仅在理论上有其自身的重要价值，更重要的是它的应用已涉及刘十分广泛的领域 如在微分方程方面( 可参见f l4 】 f 1 5 1 ) ，在无限维线性系统及控制方面( 可参见 1 6 ，【1 7 j 等) ， 在概率论方面( 可参见 1 8 ，f 1 9 等) ，在数学物理方面( 可参见f 2 0 ，( 2 1 】等) ，在迁徙理论及 人口发展系统等( 可参见f 2 2 ，f 2 3 1 等) ，都得到了非鬻广泛的应用，更多的应用工作则反映 在大量的文献中。 第一章绪论 局部凸向量拓扑空间1 2 8 理论是线性拓扑空间理论中最重要的部分由于在局部凸空间 上存在足够多的连续线性泛函，这就使得线性拓扑空间的性质，特别是数乘运算有了充分的 应用，得到了许多结果线性拓扑空间理论的主要成就差不多都是和局部凸向量拓扑空间 相联系的赋范的b a n a c h 空间上有界算子半群的理论自然也可以与其上的局部凸向量拓扑 相联系起来研究，半群拓扑就是在这样的背景下发展起来的本文就是在一赋范的b a n a c h 空间上利用有界线性算子半群( 国一半群、c 一半群与退化c 半群) ，引入一新的局部凸向 量拓扑，并对这一新的局部凸向量拓扑进行了研究有界线性算子半群在这一新的局部凸 向量拓扑空间上也有了一些新的性质本文拓展了半群拓扑研究的内容，有一定的理论与 应用价值 本文试图将有界岛一半群所确定的拓扑推广为由有界c 一半群、有界退化c 一半群 所确定的拓扑t ，l ，对上述有关问题进行了探讨，并讨论了对半群的半群拓扑，本文分为 三部分，第一部分介绍了半群和拓扑的背景及有关的预备知识，第二部分研究了有界岛一 半群拓扑的一些性质，并讨论了对有界岛一半群的半群拓扑第三部分研究了有界c 一半 群拓扑及有界退化c 一半群拓扑的一些性质，并讨论了对有界c 一半群的半群拓扑和对有 界退化c 一半群的半群拓扑 2 关于三类半群拓扑的研究 2 预备知识 3 在本文中， ( x ，f | 1 1 ) 表示b a n a c h 空间，l ( x ) 表示x 上的b o c h n e r 可积函数的全 体，x 上的有界线性算子所构成的空间记为b ( x ) ，x 上多值线性算予所构成的空间记为 m i x ) ，设a 为算子，则d ( a ) 表示算子的定义域，r ( a ) 表示算子的值域。c 表示b ( x ) 中 的一个单射算子，且r ( e ) = x 本文中，n 表示自然数集，r 表示实数域，c 表示复数 域，m ，n n 定义1 21 1 2 4 】对于 t ( ) ，o ) cb ( x ) ，若满足： ( 1 ) t ( o ) z ， ( 2 ) ? ( t + s ) = t ( t ) t ( s ) ，t ，s 0 ( 3 ) 3 m o ，d r 使得0 t ( t ) i m e o 。，f 0 则称 t ( ) ，t o ) 为x 上的指数有晃的国一半群特别地，当。= 0 时，称f t ( z ) ，t o 为 x 上的有界岛一半群 定义1 2 2 2 4 】设( x ，1 1 ) 是b a n a c h 空间，口( t ) ，t o ) cb ( x ) ，c b ( x ) 是单射， 可巧= x ，若 ( 1 ) t ( t4 - s ) g = t ( t ) t ( s ) ，t ，s 0 ，t ( 0 1 = c ( 2 ) t ( ) z ：f 0 ，。) oz ，对任意$ x 连续 ( 3 jj 彳2o ，q r 使得| l t 0 ) i m e 口。，t 芝0 ， 则称f t ( ) ，t 0 为x 上的指数有界的c 一半群( 筒称g 一半群) 、特别地，当“：o 时，称 ( r o ) 为x 上的有界的c 一半群 对任意 o 及。ex ，令五 ：三 。= e 。t ( t ) $ 出，则l 有界，并且为单射，称为 t ( 钟的l a p l a c e 变换利用工 定义算子a 为 d ( a ) = 。x ：c x r ( 工 ) ) a z = ( 入一l i l g ) ，。d ( a ) 则算子a 为不依赖于a 轵 o ) 的闭线性算子，称算子a 为 t ( t ) 岳，t2o 的生成元 4 的c 一预解集定义为使得a a 为单射且r ( q r ( x a ) 的复数 的全体，记为 p 。( a ) 设a ，b m ( x ) ，则a + b 定义为 第一章绪 论 ( 且+ b ) z = a x + b x ， d ( a + b ) = d ( a ) n d ( b ) ， a b 定义为 a b x = u 4 可：ye d ( a ) n d ( b ) ) ， d ( a b ) = 。d ( b ) ：d ( a ) n d ( b ) o ) a 。定义为 a 一1 z = y d ( a ) ：。a y ，d ( a 一1 ) = r ( a ) 定义1 2 3 称a ：x 一2 x 为x 上的多值线性算子，若其定义域 d ( a ) = ze x ：a x o ) 为x 的线性子空间，且对于x ，y d ( a ) ，a ，p e ，有 a z + , u a y c a ( a z + “可) ， 称兄( 4 ) = u a x 为a 的值域 x e d f a l 定义1 2 4 设a m ( x ) ，如果。d ( a ) ，。_ z ，y 。_ + h - 0 0 ) 蕴涵$ d ( a ) ：y a x 则称a 为闭算子 定义1 2 5 设aem ( x ) ，c 口( x ) ，定义j 4 的a 一预解集为 的g 一预解式为 p 。( a ) = a c ：r ( c ) r ( a a ) ，( 一4 ) 一1 c b ( x ) r c ( a ，a ) = ( a a ) 一1 c ， p c ( a ) 关于多值线性算子有如下的一些性质： 引理1 2 1 1 2 5 】设a ，b m 僻) ，c b ( x ) ，则 ( 1 ) a 一1 ，a + b ，a b m ( x ) ( 2 ) zea _ 1 y 当且仅当y a x ；特别地( a 一1 ) 一1 = a ，( a b ) 一1 = b t a 一1 ( 3 ) 当p 。( a ) 0 ，a 为闭算子 4 关于三类半群拓扑的研究 5 ( 4 ) 当a ，p p 。( a ) 时，有 r c ( a ，a ) 一r c ( p ， ) = ( p 一 ) ( p a ) 一1 ( a a ) 一1 d ( 5 ) 当a p o ( a ) ，n n 时，有 扩。(a，a)：(一1)nn!(一)一lndanr c “ c ( a ，a ) = ( 一1 ) “n ! ( 一 ) 一1 一“ 定义1 26 设c 日僻) ，称强连续算子簇 s ( t ) ，t o ) cm ( x ) 为退化c 一半群，若其 满足 ( 1 ) s ( o ) = c ( 2 ) s ( t + s ) c = s ( t ) s ( s ) ，t ，s 0 ( 3 ) k e r c o ) 称 s ( ) ，t 0 ) 为指数有界退化c 一半群，若其还满足 ( 4 ) i | s ( t ) i i m e “，o t r ，t 0 特别地，当o = 0 时， s ( t ) ，t 0 ) 为有界退化g 一半群 退化0 一半群生成元定义为 d ( a d ) = z x ：3 y x ，s ( t ) 。一c z = s ( s ) u d 5 ，t o ) ， a d z = 妇x ：s ( t ) x c x = s ( s ) y d s ，t o 显然a m ( x ) ，另外由m e l n i k o v a 知条件( 3 ) 等价于nk e r s ( t ) ( o ) 引理1 2 ，2 【2 设c b ( x ) ，d ( a d ) = x ，a d 生成退化c 一半群 s ( ) ，t o ) ，则有如下 结论： r e r t ( 1 ) 对z x ，t o 有fs ( s ) y d s d ( a d ) 且s o ) z c x s ( s ) z d s j o j 0 ( 2 ) a d 是闭算子，且r ( c ) d ( a d ) ( 3 ) 对于g d ( a d ) 及t 0 有s ( t ) z d ( a d ) ，s ( ) 髫g ( ( o ，o 。) ，x ) 且s 咏) a 。s ( t ) z = s ( t ) a d x ( 4 ) 对g 一1 a d c = a d 其中d ( c 一1 a d o ) = ( 。x ：g 。d ( 且d ) ) 且a d c z m c ) ( 5 ) 若i i s ( t ) l l m e “，则( o ，o o ) p c ( 且d ) 且对于r 。 a ，n n ，有d ( ( a a d ) 一n ) r ( c ) 及 ( a - - a d p g = 南z 。旷官m 邓) d r ， 第一章绪论 由此有ij ( a a d ) “c l l i ( n 。a o ) _ 。，特别地 - r c ( a a d ) x = e - a t s ( t ) d t j 0 定义1 27 设 s ( t ) ，t o ) 是退化c 一半群，如果s ( o ) 2 。霈s ( t ) 强存在，那么我们说 s ( t ) 连续 若s ( t ) 是连续的，s ( o ) 是x i = s ( o ) x 上的连续投射限制s ( t ) l x i 定义了x i 上的c 一 半群，s ( t ) l x ；= 0 ，弼= ( c s ( o ) ) x 引理1 2 3 川设( f ) ： 0 ，。) _ l ( x ) 是自反b a n a c h 空间x 上的退化c 一半群，使 得( t ) m e “，t 0 ，n n ，m ，n 0 r 。( a ) ( 五。 。，n n ) 表示孔( ) 相应的g 一伪预解 式若对r 。a o n 有硫( o ) 强收敛，那么下面结论成立 ( 1 ) 对任意r o ，z x l ，t ( t ) x2 拦( t ) 。在 o ，r 上一致收敛 ( 2 ) 对任意t o ，。x o ，熙上r ( s ) 2 4 s 2 o 在 o ，r 】上一致成立其中x 1 , x 。满足x = x 1o 知，x o = k e r r ( ) ，x 1 = 雨砸，r ( a ) 为t ( t ) 的c 一伪预解式，且1 i ms u p i i - 、r ( a ) i i a ，有 熙r n ( a ) z2 r c ( a ， i ) z - 定义1 2 8 设x 是一线性空间，p ( x ) 是x 上的一个泛函，适合下面三个条件： ( 1 ) p ( z ) 0 ，z x ( 2 ) p ( x + y ) p ( z ) + v ( v ) ，y x ， ( 3 ) p ( a x ) = l a 旧( 。) ，z x ，而。为一数 则称p ( 。) 为一半范数 定义1 , 2 9 设x 线挂拓扑空间，如果在x 中存在由凸集组成的g 的环境基，刚称x 是局部凸线性空间，简称局部凸空间 设x 是线性空间，如果在x 上给定一簇半范数 p t ( z ) ，t o ) ，由这簇半范数导出x 上的拓扑如下：任取e 0 ，及t 1 ) ，t 。0 ，作集 u ( h ，“，e ) = ：p t ( ) 0 ，i = 1 ，n ) 这些集的全体记为v ，则存在唯一的向量拓扑r ，使( x ，r ) 是一个线性拓扑空间，而且以v 6 关于三类半群拓扑的研究 7 作为0 的环境基，则称r 为由半范数簇 p 。( z ) ，t 0 ) 导出的拓扑此时伍，r ) 称为赋半范 空间 引理1 2 4 2 8 】赋半范空间按照由一簇半范数导出的拓扑是一个局部凸线性拓扑空间 在线性空间x 上由一簇半范数 p 。( z ) ，t 0 ) 导出的局部凸向量拓扑是指由 v = u ( o l ，t 2 ，k ，e ) ， 0 ，屯0 ，i = 1 ，2 n ) 作为局部基而决定的向量拓扑，它不同于使慨( 。) ，t 0 ) 中的半范数都连续的x 上最弱拓 扑 引理1 2 5 f 2 8 设x 是线性拓扑空间，矿是x 中的一吸收凸集，则u 是x 中的凸集 的充要条件是：相应于u 的m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是x 中的连续凸泛函 引理1 2 6 2 8 】每个局部凸空间x ，岿存在有均衡吸收凸集组成的0 的环境基 引理1 2 7 【2 8 j 设p ( x ) 是线性空间x 上的半泛数，那么 k = $ ：p ( 。) 1 ) 是一个均衡凸吸收集 由上述结论，可构造局部凸线性拓扑空间( x ，r ) 的一个由连续半范数簇导出的基 由引理1 2 6 、引理1 2 7 ，令v = z ：巩 ) 兰l ，t 0 为局部凸向量拓扑空间( x ，r ) 上 的均衡吸收凸集，贝其构成0 的环境，从而由( x ，r ) 上所有如上述的环境组成( x ，r ) 上的 一个局部基 第二章有界( 名一半群拓扑 第二章有界岛一半群拓扑 8 本章利用有界岛一半群，对有界阮一半群拓扑进行了研究，从而得出了一系列较好的 结论 对任意的t 0 ，令鼽( 。) = | | t ( t ) x 队贝4 利用有界岛一半群的定义容易验证：对vz ， x ，n r p 。( z + y ) sp 。 ) + p 。( y ) ， p 。( n z ) = i a i p t ( z ) ， 即p 。是一半范数，从而由半范数簇s = p 。，t 0 ) 可以确定一局部凸向量拓扑，记为 定义2 1由半范数簇s = p 。t o ) 所确定的局部凸向量拓扑称为有界g 0 一半群拓 扑相应的局部凸向量拓扑空间记为( x ，) 由于n ( 。) = l t ( 砷z 临1 lt ( t ) zm 所以半群拓扑作为一新的局部凸向量拓扑弱于范 数所确定的局部凸向量拓扑【2 8 】，所以我们期待在半群拓扑意义下，能得到一些新的、有意 义的结果，特别是在对抽象c a u c h y 问题的应用方面能有一些有意义的结论下面我们首先 讨论半群拓扑本身的一些性质 定理2 1p o ( 。) = 8t ( o ) 。i i = i i f i 构成局部凸向量拓扑空间( x ，) 上连续半范数的一个 基 证明对v 0 ，设q 是( x ，) 上的任意连续半范数，则必存在0 的邻域u ( t 1 ，t 2 ， t 。) = z ：p 钰( z ) e ，p s ，2 = 1 ，2 ，m 使得当。u ( t l ，2 ，亡m ，) 时，必有q ( x ) 0 ，设 z 。) 是( x ，) 中的任意c a u c h y 序列，则对于任意连续半范数 q ( z ) ，u = 扣：g ( 。) n 时，有 ( z 。一z 。) eu ，即q ( z 。一$ 。) 0 ，令v = z ：乳( 茹) 1 ) ，则z 的邻域。+ d v 与y 的 邻域y + d v 彼此分离即半群拓扑是分离的 由于 p 。( z ) = f ft ( t ) xi i l it ( t ) | | x f( 2 ) 所以拓扑丁。弱于由范数所确定的一局部凸向量拓扑，从而当 t ( t ) ，t o ) 是( x ，”| ) t 的 有界岛一半群时，它也是局部凸向量拓扑空间( x ，) 上的有界岛一半群由( 2 ) 可知，对 固定的z ，拓扑下0 也弱于由半群范数所确定的局部凸向量拓扑，由半群范数所确定的拓扑 在后面也有讨论 对于由单个半范数诱导的局部凸向量拓扑，有如下结果： 定理2 4 设t s ，则由p t ( z ) = f | t ( t ) z | | 所确定的局部凸向量拓扑弱于由p 。( 。) = f f 丁( s ) 。i l 所确定的局部凸向量拓扑 证明因为对任意的z x ，有 p 。( z ) = t ( t ) z1 i = 1 t ( t s ) t s ) z1 l 0 使得l ft ( t ) 憾m t ，从而对于( x ，t o ) 上的任 关于三类半群拓扑的研究 意连续半范数目( z ) ，由( 1 ) 式有 q ( t ( t ) x ) mi t ( t ) x | | sm l it ( t ) l | 【zl l f 缸i iz1 1 可见f 于( t ) ，t 0 ) 是睡，) 上的岛一类等度连续半群 定理2 6 设4 0 是( x ，j | ) 上的岛一类等度有界半群 0 ，设 ( 龄，t o ) 是( x ，) 中的任意c a u c h y 序列， 则对于任意连续半范数q 口( t ) ) ，u ，： t ( t ) ：口口( t ) ) n 时，有( ( t ) 一7 m ( t ) ) u7 ，即口( r ( t ) 一2 k ( t ) ) e 特别地，对任意 p ：s 7 ，有 p ：( 2 k ( t ) 一3 ( t ) ) = 1 1 ( j ( t ) 一j ( t ) ) 。f 1 = 1 i t = ( t ) x t m ( t ) x 1 1 0 ，设q ( z ) 是( x ，一) 上的任意连续半范数，则必存在0 的邻域u ( t l i t 2 ，t 。e ) = ：p ，( z ) ，p 。研，i = 1 ，2 ，m ，使得当。u ( h ，t 2 ，t 。，e ) 时，必有q ( 。：) 0 ，设q ( x ) 是( x ，l ) 上的任意连续半范数，则必存在0 的邻域u ( t l ，t 2 一，t 。 e ) = 。：p ： ( 。) e ，p 2 a 岛，i = 1 ，2 ，m ) 使得当。u ( t l ，t 2 ，t m ，e ) 时，必有q ( z ) 0 ，设 。) 是( x ，- ) 中的任意c a u c h y 序列，则对于任意连续半范数 q ( 。) ，u = 扛：口( ) n 时，有 ( 。一z 。) u ，即q ( 。一。) 特别地，对任意p s l ，有 p ( 。一z m ) = l t ( t ) ( 。n m ) | | = i i t c t ) x n t ( t ) z m f | 0 ，设 z 。) 是( x ，t 。) 中的任意c a u c h y 序列，则对于任意连续半范数 g ，u = p ：g ( 。) n 时，有 ( z 。一z 。) 矿，即q ( x 。一x 。) o ，令v = g ：p 。，。( 。) 曼1 ) ，则的邻域z + d v 与 y 的邻域y + d v 彼此分离即半群拓扑- 是分离的+ 当 t ( t ) ，t 0 ) 是有界的退化c 一半群时，相应的半群拓扑一般是不分离的 由于 p 。( z ) = | | t ( t ) xi i 0 使得| | g ( t ) 峪m 1 ，从而对于( x ，丁2 ) 上的 任意连续半范数口如) ，由( 3 ) 式有 q ( s ( t ) x ) sa 蜃f | s ( t ) zf f ml js ( t ) zi i sm m lf f zj j 可见 s ( t ) ，t o ) 是( x ，屯) 上的q 一类等发连续半群 定理3 1 0 设a 是，”i i ) 上的c o 一类等度有界g 一半群f ( t ) ，t o ) 的生成元，五 是局部凸向量拓扑空间( x ，t 1 ) 上的岛一类等度连续g 一半群弘( t ) ，t o ) 的生成元，则当 z d ( a ) 时，必有嚣d ( 彳) ，且a x = 赢， 证明 设按范数i i ，对任意茹。( 且) ，有。骧学= 加，一f 证按半群拓扑 r 。也有：姆塑兰! 兰旦= a z ，即有：。d ( 厕，且a 。= 盈对任意p 。s - ，z d ( a ) ， 当t 一o + 时有 p 。( t ( t ) x t y c z a z ) = i tc s ，( 学一a 。) 1 l = t ( s ) t ( t ) x - t ( s ) o x 一恻酬 _ o 上式成立是因为，当z d ( a ) 时，有t ( s ) z d ( a ) ，且t ( s ) a x = a t ( s ) x ，由生成元的定义 知有z d ( a ) ，且a x = a x 定理3 1 1 设a d 是( x ，t t t ) 上的岛类等度有界退化e 一半群 s ( t ) ，t 之o ) 的生成 元，如是局部凸向量拓扑空间( x ，t ) 上的岛一类等度连续退化e 一半群 s ( t ) ，o ) 的 生成元，则当。d ( a d ) 时，必有。d ( a d ) ，且a d x a d x 证明设按范数n 对任意z d ( a o ) ，存在掣a d x x 有 ，e s ( t b g = fs ( s ) v d s ，t o ， j 0 所以对任意p 。，s 2 有 p ( s ( t ) z c x ) = p ：。( ，s ( s 1 ) y d s j 关于三类半群拓扑的研究 因而 t d ( 3 0 ) ，d ( a d ) cd ( 毛) ， 掣a d 茁x ，a d 茁五d z 对任意固定的寥x ，对任意的t 0 ，令p ：。( ? ( ) ) = jjt ( t ) x 批则利用有界a 一半群的定 义容易验证：对e r ， p ：。( t d t ) + 马( t ) ) p ：，。( 噩( t ) ) + 或。( 孔( t ) ) ， 一。( n t ( t ) ) ；i a i p ：。( t ( t ) ) ， 即p ：、。是一半范数，从而由半范数簇s i = p ：。t o ) 可以确定一局部凸向量拓扑，记为r 定义3 3由半范数簇s i = 妇：。t o 所确定的局部凸向量拓扑称为对有界c - - 半群 的半群拓扑相应的局部凸向量拓扑空间记为( x ，) ，x 为由z 确定的线性算子空间 定理3 1 2 局部凸向量拓扑空间( x ，r ：) 对半祥是半群完备的 证明对vs 0 ，对固定的z x ，设f ( t ) ) 是( x 7 ，_ ) 中的任意c a u c h y 序列，则对于 任意连续半范数q 汀( ) ，u = ( t ( t ) ：q 口( ) ) n 时，有( ( t ) 一( ) ) u 7 ，即q ( t n ( t ) 一2 k ( ) ) 特别地，对任意p 。s i ， 有 t 阢( t ) 一( t ) ) = 1 1 嘛( ) 一( t ) ) 茹j j = f t t 。( t ) x 一( 矧f 可知 霸( t ) 。) 是局部凸向量拓扑空间( x ，r 。t ) 中的c a u c h y 序列，从而必收敛 对任意固定的。x ，对任意的t 0 ，令砖。( s ( t ) ) = l ls ( 亡) z 叭则利用有界退化c 一半群 的定义容易验证：对d 矗， p ：，。( 岛( t ) + ( t ) ) p ：，。( 甄( t ) ) + 吐。( ( t ) ) ， 式。( o s ( 站) = n l 或。( s ( 站) 即p ：，。是一半范数，从而由半范数簇$ = 碱t o ) 可以确定一局部凸向量拓扑，记为 定义3 4 由半范数簇曷= 如2 。t20 ) 所确定的局部凸向量拓扑称为对有界退化c 一半 群的半群拓扑相应的局部凸向量拓扑空间记为( x 7 ，) ，x 为由z 确定的线性算子空间 1 6 关于三类半群拓扑的研究 定理3 1 3 设s ( t ) ：【0 ，o o ) _ l ( x ) 是自反b a a a c h 空间( x ，1 1 i i ) 上的有界退化c 一半 群，使得| | s ( t ) 性m ，t 0 ，m 0 ，则局部凸向量拓扑空间( x i ) 对半群是半群完备的 其中x l ，函满足x = x 1o x o ，x o = k e r r ( a ) ，x 1 = 矗( ) x ，r ( a ) 为s ( t ) 的c 一伪预解式， 且l i ms u pl i a r ( a ) i i o o ，x ；为由z x 1 确定的线性算子空间 证明对固定的。x 1 ，设 晶( t ) ，t o ) 是( x ，) 中的任意c a u c h y 序列，则由引理 1 2 3 ， s 凡( t ) z ) 收敛，因而局部凸向量拓扑空间( x i ，) 对半群是半群完备的 1 7 小结 小结 本文回顾了算子半群和局部凸向量拓扑的理论发展史及理论意义和现实意义通过引 入一个半范数把有界算子半群和局部凸向景拓扑联系起来，在原有拓扑空间上由新的一半 范数簇导出一局部凸向量拓扑，并对其性质进行了一些讨论在新的拓扑意义下研究了半 群的性质本文还讨论了对半群本身的半群拓扑本文重点考虑了三种基本的半群拓扑， 包括有界岛一半群拓扑，有界e 半群拓扑以及有界退化g 一半群拓扑当然可以把半群 范围扩大，考虑更多的半群类型，也可以考虑算子半群与其它向量拓扑的关系等 1 8 羞王三耋圭登堑! 煎塑窒一1 9 参考文献 【1 】d ap r a t ogs e m i g r o u pr e g u l a r i t y r i c e r c h em a t ，1 9 6 6 1 5 ：2 2 3 2 4 8 【2 】b a l a b a n em a n de