（基础数学专业论文）关于单值化和ricci流的一些结果.pdf

中文摘要 摘要 这篇论文主要讨论四个问题。 首先，在研究完备k i i h l c r 流形的单值化闯题中，我们的到这样的结果，对仟 一完备非紧的r i c c i 曲率为正的k i i h l c r 流形，若它的双截曲率为正的，且数量 曲率在测地球上平方衰竭，或者流形是非抛物的，具有有限拓扑型且双截曲率 和l ，r i ：都有界，则它双全纯等价于一拟射影代数簇。 其次，在研究非紧完备具有局部平坦的流形上的问隙现象中，我们得 到这样的结果，对任一完备非紧具有局部平坦的流形，若它的r i c c i 曲率非 负，数量衄率有界且按以下方式衰竭：后s k ( z o ，s ) 如= o ( t o g7 ) ，其 k ( x o ，s ) = 忑画1 i ；厕厶( 孤。) r ( z ) d v ，r ( z ) 和v o l ( 8 ( z o ，s ) ) 分别表示数量曲率和以翮为圆心， s 为半径的测地球b ( 勋，s ) 的体积，则它是平坦的。 第三，在研究非紧完备k i h l e r 流形上的r i c c i 流方程中，我们得到这样的结 果，对任一完备非紧的k 薯a l e r 流形，若它的双截曲率非负有界，则它有永恒解 的充要条件是：s k ( z ，s ) d s c l o g ( 2 + r ) ，其中c 为正常数，任意z 4 1 ，r 0 最后，在研究满足广义s o b o l e y 不等式的完备黎曼流形的单值化闯题中， 我们得到，对任一完备的n 维黎曼流形，若它的r i c c i 曲率菲负，且满足一个 广义s o b o l e v 不等式：f i 州csc l 州；i v 川：一，v c 扩( m ) ，i 1 = o 。+ 1 f - 0 ，；1 = ；1 一i 1 ，1 口 0 ，比m ，r 0 f i n a l l yw es t u d yt h eu n i f o r m i z a t i o np r o b l e mo nn o n c o m p a c tc o m p l e t er i e m a n - u i a nm a n i f o l ds a t i s f y i n gt h eg e n e r a ls o b o l “i n e q u a l i t i e s ，a n dc o n c l u d et h a tf o ra n y c o m p l e t en - d i m e n s i o n a lr i e m a r m i a nm a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e , i f o r l eo f t h eg e n e r a ls o b o l e vi n e q u a l i t i e si ss a t i s f i e d ：， | c i i f l l ：i i v 川：一，v f c 字( m ) ，= ；+ 了1 - 0 ，；1 = ；1 一i 1 ，1 9 1 ) i sh u g ea n dt h e s es t r u c t u r e sc a n n o tb e c l a s s i f i e di ns u c has i m p l em a r i n e r t h e r e f o r e ，i no r d e rt oo b t a i nt h eu n i f o r m i z a t i o n t h e o r e mo nt h ec a s eo f s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e ，o n em u s ti m p o s em o l er e s t r i c t i o n so n t h em a n i f o l d i nt h i sr e g a r d ，o n en o t i c e st h a tt h eu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e mc a l la l s ob e u n d e r s t o o di nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yi nt h ef o l l o w i n gm a n n e r ( 1 ) e v e r yc o m p a c ts u r f a c ew i t hp o s i t i v ec u r v a t u r ei sc o n f o r m a l l l ye q u i v a l e n tt ot h e r i e m a n n s p h e r e ( 2 ) e v e r yn o n c o m p a c tc o m p l e t es u r f a c ew i t hp o s i t i v ec u r v a t u r ei sc o n f o r m a l l y e q u i v a l e n tt ot h ec o m p l e xl i n e ( t h i si sar e s u 1 to fb l a n c f i a l a h u b e r , s e e 【2 6 】) ( 3 ) e v e r ys i m p l yc o t m e e t e dc o m p l e t es u r f a c ew i 也c u r v a t u r eb o u n d e df r o ma b o v e b yan e g a t i v ec o n s t a n ti sc o n f o r m a l l ye q u i v a l e n tt ot h eo p e nu n i t1 一d i s c ( t h i si sac o n s e q u e n c eo ft h ea h l f o r s s c h w a r zl e m m a ) an a t u r a lh i g h e rd i m e n s i o n a la n a l o go ft h e s et h r e ef a c t sw o u l db et h a ti na l lc a s e s w er e p l a c es u r f a c e sb yc o m p l e t ek i h l e rm a n i f o l d sa n di nc a s e ( 1 ) t h er i e m a n ns p h e r e b yac o m p l e xp r o j e c t i v es p a c e ，i nc a s e ( 2 ) t h ec o m p l e xl i n eb yac o m p l e xe u c l i d e a n s p a c e ，a n dc a s e ( 3 ) t h eo p e nu n i t1 - d i s cb yab o u n d e dd o m a i ni nac o m p l e xe u c l i d e a n s p a c e t h eh i g h e rd i m e n s i o n a la n a l o go fc a s e ( 1 ) i sk n o w na sf r a n k e l sc o n j e c t u r e t h i sc o n j e c t u r ew a ss o l v e db ya n d r e o t d f r a n k e l 【17 】a n dm a b u c h i 【3 0 i nc o m p l e x d i m e n s i o n st w oa n dt h r e er e s p e c t i v e l ya n dt h eg e n e r a lc a s ew a st h e ns o l v e db ym o r i 【3 5 】a n ds i u - y a u 【5 0 i n d e p e n d e n t l y i nf a c t ，m o r ip r o v e dt h es t r o n g e rc o n j e c t u r eo f h a r s h o m e ( a s s u m i n go n l yt h ea m 。 p l e n e s so ft h et a n g e n tb u n d l e ) u s i n gt e c h n i q u e so fa l g e b r a i cg e o m e t r y , t h ep r o o fo f s i u - y a uw a sd i f f e r e n t i a lg e o m e t r i ci nn a t u r ea n da p p l i e da l s ot ot h ec a s eo fn o n n e g a t i v eb i s e c t i o n a lc u r v a t u r e t h e yb a s e dt h e i rp r o o f o nt h es t u d yo f s t a b l eh a r m o n i cm a p s f r o mt h er i e m a n ns p h e r ep 1t ot h eg i v e nk i i h l e rm a n i f o l d t h eh i g h e rd i m e n s i o n a la n a l o go fc a s e ( 3 ) i ss t i l lo p e nt o d a y s i n c ew o n g 5 5 ， y a n g 【5 8 】a n dm o s t o w - s i u ( 3 6 】g o ts o m er e s u l t sa b o u ti t ，t h e r ei sf e ww o r ka b o u tt h i s p r o b l e m c h a p t e rl i n t r o d u c t i o n n o wl e tu sd i s c u s st h eh i g h e rd i m e n s i o n a la n a l o go f c a s e ( 2 ) w eu s u a l l yc a l lt h i s c a s ea st h eu n i f o r m i z a t i o nc o n j e c t u r e 1 h i sq u e s t i o ni st od e m o n s t r a t et h a ta n yn o n c o m p a c tc o m p l e t ek a h l e rm a n i f o l dw i t hp o s i t i v eb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei sb i h o l o m o r p h i ct o t h ec o m p l e xe u c l i d e a ns p a c e i fw eo n l ya s s u m et h en o n n e g a t i v i t yo ft h eb i s e c t i o n a l c u r v a t u r e ，t h em a n i f o l ds h o u l db eb i h o l o m o r p h i ct oac o m p l e xv e c t o rb u n d l eo v e ra c o m p a c th e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e t h i sc o n j e c t u r ew a si n s p i r e db yt h ec e l e b r a t e d t h e o r e mo f c h e e g e r - g r o m o l l - m e g e r ( s e e 【9 】o r 18 】) w h i c hs a y st h a tt h ec o n j e c t u r ei s v a l i di nt h er i e m a n n i a nc a t e g o r y a n o t h e rs u p p o r t i n gf a c ti st h ei m p o r t a n tt h e o r e mo f g r e e n e w b 【21 】：w h e nt h es e c t i o n a lc u r v a t u r ei sp o s i t i v e ，t h em a n i f o l di ss t e i n t 0 d a yt l l i sc o n j e c t u r ei ss t i l lo p e nt o o ，e v e nw ed o n tk n o ww h e t h e rt h i sm a n i f o l d i ss t e i no rs i m p l yc o n n e c t e d b u tr e c e n t l yi tm a k e sm u c hp r o g r e s sa b o u tt h i sc o n j e c t u r e t h e r ew e r em a i n l yt w oa p p r o a c h e st ot h i sc o n j e c t u r e o n ei sb yu s i n gt h el 2 一e s t i m a t e o fa n d r o t t i v e s s e n t i n ia n dh f i r m a n d e r s i u y a u 4 9 1a n dl a t e rm o k 【3 3 】i n i t i a t e dt h i s a p p r o a c h i ti sl i m i t e di nt h es e n s et h a tt h eg e o m e t r yo f t h em a n i f o l dh a s t ob ev e r yc l o s e t ot h ee u c l i d e a ns p a c e ，t h er e a s o nb e i n gt h a ta l la b u n d a n c eo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s w i t hs l o wg r o w t ha l en e e d e da n dt h e s ef u n c t i o nc a ne x i s to n l yw h e nt h eg e o m e t r yi s v e r yr e s t r i c t i v e n eo t h e ra p p r o a c hi sp r o p o s e di nt h ed i s s e r t a t i o no fs i f t ，a l s os e e f 4 7 1 t h ei d e ai st ou s et h er i c c if l o we q u a t i o no fh a m i l t o nt od e f o r mt h ec o m p l e t e k f i h l e rm e t r i cw i 血z e r oc u r v a t u r e w ew a n tt om e n t i o na n o t h e ra p p r o a c hu s e db ys t o l l 【51 ，b u m s 1 】a n dw o n g 5 6 ，t h e ys t u d yt h ec o m p l e xm o n g e a m p e r ee q u a t i o na n d o b t a i n e dt h ef o l l o w i n gu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e m ，w h i c hs a y st h a tl e tmb eac o n n e c t e d c o m p l e xn - d i m e n s i o n a lm a n i f o l dw i t hap a r a b o l i ce x h a u s t i o nf u n c t i o nt ，a s s u m et h a t ri so fc l a s sc a n di ss t r i c t l yp l u r i s u b h a r m o n i ce v e r y w h e r eo nm t h e nmw i t ht h e k i i h l e rm e t r i ci a a 7 i sb i h o l o m o r p h i c a l l yi s o m e t r i ct o ( w i t he u c l i d e a nm e t r i ca s1 i s u n b o u n d e d ，o rt h eu n i tb a l l 伊i n 伊w i t he u c l i d e a nm e t r i ca s 丁i sb o u n d e d i n 【3 3 ，m o kd e v e l o p e d as c h e m ef o rt h eu n i f o r m i z a t i o no fc o m p l e t ek i i h l e rm a n i f o l d so fp o s i t i v eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r e h eo b t a i n e dt h a ti fm i sac o m p l e t en o n c o m p a c tn d i m e n s i o n a lk i h l e rm a n i f o l do fp o s i t i v eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a l c u r v a t u r e i t sg e o d e s i cb a l lh a sm a x i m a lv o l u m eg r o w t ha n dt h es c a l a rc u r v a t u r ed e - c a y sq u a d r a t i c a l l y , t h e nm i sb i h o m o r p h i ct oaa f f i n ea l g e b r a i cv a r i e t y f r o mt h i sr e s u l t a n dat h e o r e mo fr a m a n u j a m 【4 6 】i na f f i n ea l g e b r a i cg e o m e t r y , h ep a r t i a l l yc o n f i r m e d t h eu n i f o r m i z a t i o nc o n j e c t u r e 、7 n e nn = 2 ，i ft h es e c t i o n a lc u r v a t u r eo fmi sp o s i t i v e ， t h e nmi sb i h o l o m o r p h i ct o ( ：l a t e rh eg o tas e r i e sr e s u l t so ft h eu n i f o r m i z a t i o no f c o m p l e t ek i h l e rm a n i f o l d ，o n e c a ns e e 【3 2 ，【3 3 ，【3 4 ， 3 7 】a n d 3 8 】f o rr e f e r e n c e 一2 一 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n r e c e n t l yc h e n - z h u 【13 】u s e dt h et h e o r yo ft h er i c c if l o wa n dm o k sm e t h o dt o p r o v eac l e a nt h e o r e ma b o u tt h eu n i f o r m i z a t i o n ，w h i c hs a y st h a ti fm i sac o m p l e t e n o n c o m p a c tk 2 i h l c rm a n i f o l dw i t hp o s i t i v ea n db o u n d e ds e c t i o n a lc u r v a t u r e ，lm 磁o i sb o u n d e d ，t h e nmi sb i h o l o m o r p h i ct oaq u a s i p r o j e c t i v ev a r i e t y 。h o w e v e rt h ea s s u m p t i o no ft h es e c t i o n a lc u r v a t u r ei na b o e er e s u l ts e e m ss o m e s t r o n g ，s oi nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ec a s eo fp o s i t i v eb i s e c t i o n a lc u r v a t u r eo rr i c c i c u r v a t u r ea n dp r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m1 1 ：f o ra n yn o n c o m p a c tc o m p l e t ek s h l e rm a n i f o l dmw i t hp o s i t i v er i c c i c u r v a t u r e , s u p p o s ee i t h e rt h eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei sp o s i t i v ea n dt h e s c a l a rc u r v a t u r ed e c a y sq u a d r a t i c a l l yo nt h eg e o d e s i cb a l l , o rmi sn o n p a r a b o l i ca n d 知i t et o p o l o g i c a lt y p e , t h eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ea n dlm 融pa r eb o t h b o u n d e d , t h e nm i sb i h o l o m o r p h i ct oa q u a s i - p r o j e c t i v ev a r i e t y s i n c eh a m i l t o n 【2 4 】f i r s ti n t r o d u c et h er i c c if l o we q u a t i o n ，t o d a yt h et o o lo f r i c c i f l o wi su s e dw i d e l yi nm a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s r e c e n t l yp e r e l m a n 4 3 【4 5 】 a n n o u n c e dt h a th es o l v e dt h ec e l e b r a t e dp o m c a r ec o n j e c t u r em a i n l yd e p e n d i n go nt h e t h e o r yo f r i c c if l o w t h ep o i n e a r ec o n j e c t u r es a y st h a te v e r ys i m p l yc o n n e c t e dc l o s e d t h r e e - m a n i f o l di sh o m e o m o r p h i ct ot h r e e s p h e r es 3 t h i si sac h a l l e n g ep r o b l e m ，s o t h ec l a ym a t h e m a t i c a li n s t i t u t er e w a r d so n em i l l i o nd o l l a r st ot h eo n ew h os o l v e st h i s c o n j e c t u r e c h e n - z h u 【14 】a l s ou s e dt h et h e o r yo ft h er i c c if l o wt oc o n f i r mp a r t i a l l y t h eu n i f o r m i z a t i o nc o n j e c t u r e ，t h e yp r o v e dt h a tf o ra n yn o n c o m p a e tc o m p l e t ek f i h l e r s u r f a c ew i t hp o s i t i v ea n db o u n d e dh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r e ，i fi t sg e o d e s i c b a l l sh a v ee u c l i d e a nv o l u m eg r o w t h ，i tm u s tb eb i h o l o m o r p h i ct o 俨 t h e s em o t i v a t 6u st os t u d yt h er i c c if l o we q u a t i o n i nt h i st h e s i s ，w ep r o v i d e da n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no f t h ee x i s t e n c eo f t h ei m m o r t a ls o l u t i o nt ot h er i c c i f l o we q u a t i o n t h e o r e m1 2 ：l e tmb ea n yc o m p l e xn - d i m e n s i o n a lc o m p l e t en o n c o m p a c tk 五h l e r m a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v ea n db o u n d e dh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r e , t h e nt h e r i c c i f l o wh a st h ei m m o r t a ls o l u t i o ni f a n do n l yi f s 七( z ，s ) d s c l 。9 ( 2 + r ) 一3 一 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n f o r s o m e c o n s t a n t s c 0 ，比m ，0 ，w h e r e k ( x ，8 ) = v o l ( b ( z ，s ) ) 厂 r ( z ) 出 ，b ( 王，。) v o l ( b ( z ，s ) ) i s 肪ev o l u m eo f t h eg e o d e s i cb a l lb ( x , 砂w i t hc e n t e rxa n d r a d i u ss 尉砂 i st h es c a l a rc u r v a t u r eo f m w ea l s os t u d yt h eg a pp h e n o m e n ao i lt h ec o m p l e t en o n c o m p a c tl o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a t m a n i f o l d , a n dg e tt h a t t h e o r e m1 3 ：f o ra n y c o m p l e t en o n c o m p a c tl o c a l l yc o n f o r m a l l y f l a tm a n i f o l d s , i f t h e r i c c ic u r v a t u r ei sn o n n e g a t i v e , t h es c a l a rc u r v a t u r ei sb o u n d e da n dt h em e a nv a l u e o f t h es c a l a rc u r v a t u r es a t i s f i e st h ed e c a y i n gc o n d i t i o nt h a t 竞s k ( z o 。s ) d s = o c t o gr ) 。 t h e nt h em a n f o t ai s f l a t f i n a l l yw es t u d yt h eu n i f o r m i z a t i o np r o b l e mo nn o n c o m p a c tc o m p l e t er i e m a n n i a n m a n i f o l ds a t i s f y i n gt h en a s hi n e q u a l i t y , a n dc o n c l u d e t h a t t h e o r e m1 4 ：f o ra n yc o m p l e t en - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hn o n n e g - a t i v er i c c ic u r v a t u r e , i yt h en a s hi n e q u a l i t i e sa r es a t m f i e a l ( ，i ，1 2 如) 1 + 告 c ( fi ，ld e ) ；fiv ，1 2 如，w c 护( m ) ，f o r s o m e p o s i t i v ec o n s t a n te t h e ni t i sd i f f e o m o r p h i ct o 舻 l a t e rw ei m p r o v ea b o v er e s u l t a sw ek n o w n ，t h en a s hi n e q u a l i t yi sas p e c i a lc a s e o ft h eg e n e r a ls o b o l e vi n e q u a l i t y , s ow eo b t a i nt h ea n a l o g o u sr e s u l ta b o u tt h eg e n e r a l s o b o l e vi n e q u a l i t y ： t h e o r e m1 5 ：f o ra n yc o m p l e t e 门d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e , i fo n eo ft h eg e n e r a l 勋6 口伽i n e q u a l i t i e si ss a t i s f i e d ii f ll , c i i f l l , 8i i x t f l l ：- 。, v f c 酽( a ，) ，= ：+ 1 l - - o ，；1 = i 1 一熹，1 g o t h e nm i sb i h o l o m o r p h i ct oaq u a s i - p r o j e c t i v ev a r i e t y o n em a ya s kw h e t h e rt h ec o n d i t i o n ( 2 ) c a ni m p l yt h eo t h e rt w oc o n d i t i o ni nt h e o r e m2 17a sr e m a r ki n 【5 3 1 ，k l e m b e c k 【2 7 】c o n s t r u c t e dae x a m p l ew h i c hd e n i e st h e 一5