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二阶确定性棘齿系统的定向输运 摘要 本文定性分析并运用数值模拟方法研究二阶确定性棘齿系统的定向输运首先，我 们定性分析系统的动力学行为，得到当q 1 + 8 1 r 2 v o 时，不仅系统的p o i n c a r 6 映射族 构成的动力系统的全局吸引子是一维的，而且系统的旋转数存在且不依赖于初值然 后，我们又利用数值模拟方法研究系统的定向输运和共振带结构，得到系统不仅有规 则运动，而且还在一定的参数范围内存在混沌输运现象，另外，当。充分大，系统的共 振带极其规则，并且与一阶棘齿系统的共振带相同最后，我们考察系统在双周期驱动 下的定向输运，发现系统的混沌输运是可调控的 关键词t 确定性棘齿系统，旋转数，共振带，混沌输运 u n i d i r e c t i o n a lt r a n s p o r to fa t w o o r d e rd e t e r m i n i s t i cr a t c h e t s y s t e m a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，u n i d i r e c t i o n a lt r a n s p o r to fat w o - o r d e rd e t e r m i n i s t i cr a t c h e t s y s t e mi ss t u d i e db yb o t hq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n f i r s t l y , s o m eo fd y n 脚c a lp r o p e r t i e so ft h es y s t e mh a v eb e e ne x h i b i t e d ，s u c ha s t h ep o i n c a r $ m a po ft h es y s t e mh a sao n e - d i m e n s i o n a lg l o b a la t t r a c t o r ，a n dt h er o t a t i o n n u m b e ro ft h es y s t e me x i s t sa n di si n d e p e n d e n to fi n i t i a lv a l u e sw h e n 口 1 + 8 7 r 2 n e x t ，u n i d i r e c t i o n a lt r a n s p o r ta n dr e s o n a n c es t r u c t u r e so ft h et r a n s p o r to ft h es y s t e m a r ed i s c u s s e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n w eo b s e r v et h a tt h es y s t e mn o to n l ye x i s tu n i - d i r e c t i o n a lm o t i o nb u ta l s oc h a o t i ct r a n s p o r ti nac e r t a i np a r a m e t r i cr e g i o n m o r e o v e r ， w ef i n do u tt h a tt h er e s o n a n c es t r u c t u r eo ft h es y s t e mi se x a c t l yr e g u l a ra n dt h es a r i l ea s t h a to fao n e - o r d e rr a t c h e ts y s t e mi nt h eo v e r - d a m p e dc a s e f i n a l l y , w eb r i e f l yd i s c u s s t h eu n i d i r e c t i o n a lt r a n s i t i o nf r o mc h a o t i ct or e g u l a rt r a n s p o r ti nt h es y s t e mu n d e rt w o p e r i o d i cd r i v e r s ，a n df i n dt h a tt h ec h a o t i ct r a n s p o r tc a nb er e g u l a t e d k e yw o r d s ：d e t e r m i n i s t i cr a t c h e ts y s t e m ，r o t a t i o nn u m b e r ，r e s o n 黜s t r u c t u r e ， c h a o t i ct r a n s p o r t n 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：琵 主锛 学位论文使用授权声明 e l 瓤：汕6 ，f 1 f 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名：器 刍锋 导师签名：陌豸距醐一幻厶7 一、引论 在诸多非线性系统的输运行为中，有一种现象是近来受到物理、生物等不同领域 密切关注的，那就是在作用于系统上的周期位势的空i 目4 对称破缺的情况下系统出现的 定向输运，称为棘齿效应或分子马达，系统称棘齿系统【1 4 】生物体内的运动如肌肉收 缩、细胞活动和细胞内的输运过程等，追踪到分子水平都是来自具有小马达功能的分 子马达在起作用的结果它们能够高效率地将贮藏在三磷酸腺苷( a t p ) 分子中的化学 能转换为机械能，使得马达蛋白沿着相应的蛋白丝做定向运动，从而实现对物质的定 向输运有关这一能量转换的分子机制已成为分子生物学、物理等诸多学科中引人注目 的问题之一，并且成为一个非常活跃的非线性科学前沿领域 5 】 进一步考虑环境阻尼和系统惯性，相应的棘齿效应称为惯性马达，系统称确定性 棘齿系统【6 惯性马达主要是由系统所受的不对称位势力和阻尼作用产生，它具有非 常复杂的动力学表现，既有规则的输运轨道，也有混沌输运现象，由此人们想到利用 惯性马达来分离不同质量的粒子惯性马达有深刻的分子马达生物学背景和应用价值 【7 9 】 近几年，生物领域中分子运动的定向运动、量子领域中”棘齿效应等现象激发了 人们将棘齿系统模型化加以研究其输运性质的兴趣【l o - t 3 ，例如，对热噪声诱导的棘 齿系统建立了随机模型【1 4 - 1 6 热噪声诱导的棘齿系统是一种结构对称破坏产生涨落 进而发生输运现象的系统，这种涨落通常跟噪声有关f 1 7 1 但是，当受到外加力时，大 阻尼确定性系统，有限阻尼确定性系统也能产生涨落进而发生输运现象 1 8 】 1 9 确定 性棘齿系统在无噪声下仍有很复杂的动力系统性质，倒如，系统出现混沌现象1 1 9 】1 2 0 1 ， 定向运动中发生流的反转 2 0 】确定性棘齿系统在无噪声下的运动方向取决于摩擦与 惯性大小，这一特性有很好的应用价值【2 1 学者们已大量研究了确定性棘齿系统的动力系统性质例如，j o s 6l m a t e o s 通过 分叉图与流速的两者比较，认为流的反转现象可能由系统从混沌区到周期区的突变产 生【2 0 】【2 2 】而m a r i ab a r b i 与m a r i os a l e r n o 经研究，发现流的反转现象在系统不发生 突变的情况下也能产生，并认为流的反转现象可能由系统周期轨道的不同稳定性造成 2 3 另外，s a m e e ra 1 一k h a w a j a 研究了二阶有限阻尼j o s e p h s o n - j u n c t i o n 方程的混沌 动力学行为【2 4 m b o r r o m e o 等人研究了无噪声下的确定性棘齿系统由规则运动到混 沌输运转变的现象 2 5 还有，c m a r i z m e n d i 等研究了空间无序性对确定性棘齿系统 】 产生的影响，发现空间无序性使得系统不仅在规则轨道可能发生流的反转及混沌输运， 而且在混沌轨道也可能产生规则运动【2 6 1 此外，h a l a r r o n d o 等为寻找控制流的反 转行为的方法，分析了无噪声有限阻尼确定性棘齿系统的分岔图、锁相与输运现象三 者之间的关系f 2 7 1 另外，耦合棘齿系统也引起了人们的极大注意，学者们做了大量工作【2 8 - 3 3 例 如，h o n g b i nc h e n 等人讨论了耦合棘齿系统的定向输运问题，发现系统的定向输运可 由系统惯性产生，并且随着粒子之间的耦合强度增大，系统的定向运动也相应增强f 2 8 u e v i n c e n t 等研究了双向耦合混沌棘齿系统的相同步现象2 9 但是，到目前为此， 关于无噪声耦合系统产生的总体定向效果的讨论仍很少，这一问题还待人们深入研究 此外，随着参数的变化，非线性动力系统的运动状态由于失稳而出现混沌状态是 相当普遍的现象但混沌行为是高度不稳定的，对于很多系统，混沌的出现往往是不希 望的，有时甚至是有害的，摆在我们面前的任务是如何来控制混沌行为的产生及其应 用【3 4 】【3 5 1 在文献 2 3 】，m a r i “b a r b i 与m a r i os a l e r n o 已研究过二阶确定性棘齿系统 岔+ “亳= 一y 7 ( z ) + a s i n w t ( 1 1 ) 的定向输运，认为流的反转现象可能由系统周期轨道不同的稳定性造成其中，周期空 间不对称位势v ( z ) = 一v o ( s i n 2 7 r 。+ js i n 4 7 r 卫) ( 见图1 - 1 ) ，口是阻尼系数，a 是驱动强 度，u 是驱动频率 图l 一1 系统( 1 1 ) 的势y ( ) = - v o ( s i n 2 r x + s i n 4 r x ) 2 本文将进一步研究系统( 1 - 1 ) 的定向输运首先，我们对系统( 1 - 1 ) 进行定性讨论， 证明当“ 1 + 断2 y o 时，其p o i n c a r 6 映射族构成的动力系统的全局吸引子是一维的， 以及其本身的旋转数1 存在且不依赖于初值 接着，我们分析系统( 1 - 1 ) 的旋转数7 的符号在参数平面上的分布情况，并且通 过参数v o ，o ，a ，u 的调节，结合轨道、相图、p o i n c a r 6 截面、功率谱和分岔图的数值模 拟，研究系统( 1 - 1 ) 的规则和混沌输运然后，我们固定参数v o ，o 来分析系统( 1 - 1 ) 在 以一u 参数平面上的共振带结构 最后，我们研究系统( 1 - 1 ) 经周期驱动bs i n 地t 扰动后产生的混沌输运调控性，并 且，我们研究当0 1 和地为有理比，系统( 1 ，1 ) 在双周期驱动下的情况，即系统 的定向运动现象 蕾+ a 圣= 一y 7 ( z ) + a s i n w z t + bs i n w 2 t ( 1 2 ) 3 二、二阶确定性棘齿系统 本章研究系统( 1 - 1 ) 蕾+ a 圣= 一矿( 霉) + a s i n w t 我们先定性分析系统( 1 - 1 ) 的动力学行为，得到当o 1 + 8 7 r 2 v o 时，不仅系统( 1 1 ) 的p o i n c w 6 映射族 p 1 t l n z ) 口一警) 构成动力系统，而且该动力系统存在一维的 全局吸引子，同时，系统( 1 1 ) 的旋转数，y 存在且不依赖于初值最后，我们又利用数 值模拟方法来研究系统( 1 1 ) 的定向输运及共振带结构 ( 一) 、定性讨论 我们先考虑系统( 1 - 1 ) 在无周期驱动下的情况，即系统 + o 圣= 一y 0 ) ( 2 1 ) 等价地，系统( 2 - 1 ) 可表为如下一阶方程组 隹一协卜 c z 叫 当q 2 8 、瓦厍”2 0 时，系统( 2 - 1 ) 有两类平衡点：( 惫一击a r c c o s 鸣量，o ) ( 七z ) 为鞍点，( 膏+ 磊1a r c c o s 丝笋，o ) ( 七z ) 为稳定结点 图2 - 1 当a 2 8 、丽r 2 0 ，系统( 2 - 1 ) 在平衡点 ( 一击a r c c o s 型挚l ，o ) ，( 刍”c 0 0 s 连4 ，o ) 附近的大致相图 4 当q 2 8 、瓦7 薪2 v o 0 时，系统( 2 - 1 ) 有两类平衡点：( 七一薪1a r c e o g 鸣生，o ) ( 七z ) 为鞍点，( 后+ 去a r c c o s 牟，o ) ( 七z ) 为稳定焦点 图2 - 2 当a 2 8 、丽r 2 0 ，使得对于耽r 有 - i - 2 ，y ( t + 于) ) i ( t ) ，可( t ) ) ， 且对任意0 r 0 ，使得对于r 有 ( z + 丁) ，y ( t + 丁) ) i ( x ( t ) + 1 ，( t ) ) ， 且对任意0 九1 ( z ) ，则把集合日一 ( z ，y ) l h i ( x ) y ( z ) ) 称为拟水平区域，把拟水平区域日的宽度与面积分别定义 为 i l h i | 2 罂简 ( 。) 一 - ( 。) 】， ( 2 1 9 ) s 0 = 【 ) 一h l ( x ) i d x ( 2 2 0 ) j 0 显然，拟水平曲线为连续曲线 引理2如果l 为光滑拟水平曲线，那么p 。也为光滑拟水平曲线 证明假设z = ( s ，危( s ) ) i s 埘，令( x ( t ，s ) ，y ( t ，s ) ) 为方程组( 2 - 1 4 ) 满足初值 z ( 0 ，s ) = 8 ，y ( o ，s ) = ( s ) 的解，由系统( 1 - 1 ) 关于。的周期性可知p z 满足( 2 - 1 7 ) ，那 么现只需证明p 。z 满足( 2 1 8 ) 即可 给定s ，令 ) = 塞s ) ，摊) = 塞( t s ) ( 2 - - 2 1 ) 那么( f ( ) ，叩( t ) ) 满足下面变分方程； i 三二8 刁一4 。；。$ 。力，+ 。，。4 。 ，f 并满足 ( o ) = l ，研( o ) = ( s ) ( s 为固定的) 显然，现只需证明对任意t 0 ，有 f ( t ) 0 ，一亭( t ) 叩( t ) f ( t ) ( 2 2 2 ) f 2 2 3 ) r 2 2 4 ) 图2 - 3 系统( 1 一1 ) 的流在的方向示意图 记= ( f ，叼) i f 叼， o ) 我们只需考虑在e 边界上( 2 - 2 2 ) 式的流的方向， 注意到，在上边界切= 引 o ，流沿方向( i , - 1 ) ( 这一方向朝正交其上边界) 的投 影为 ( ，而) ( 1 ，一1 ) = 1 + 而( 一1 ) = ，7 一卜o 叼一4 r 2 v o ( s i n ( 2 1 r x ( t ) ) + s i n ( 4 7 r z ( 亡) ) ) 翱 = ( 1 + a ) 町+ 4 1 r 2 v o ( s i n2 7 r 。+ s i n4 7 r 。) = 1 + a + 4 7 r 2 v o ( s i n2 1 r x + 8 i n4 丌。) 】 1 + 口一8 7 r 2 】 0 ，( 2 2 5 ) 类似地，在下边界如= 一f l i o ，流沿方向( 1 ，1 ) 的投影为 ( ，竹) - ( 1 ，1 ) = 葶1 + 西1 = 叩+ 一口即一4 丌2 v o ( s i n ( 2 7 r x ( t ) ) + s i n ( 4 7 r x ( t ) ) ) 刳 = ( 1 一n ) 卵一4 7 r 2 v o ( s i n2 丌。+ s i n4 7 r z ) 亭= 【口一1 4 7 r 2 v o ( s i n2 1 r x + ，s i n4 丌z ) 】亭 【d r 一1 8 7 r 2 v o l e 0 ( 2 2 6 ) 因此，在e 的边界上流的方向是进入，所以，v ( f o ，7 d ) ，式( 2 - 2 2 ) 过渤，珊) 的流 将始终在中( 如图2 3 ) 式( 2 - 2 4 ) 得证 推论1 给定t r ，映射p t 将s 中的拟水平曲线l 映为s 中的拟水平曲线 p l ，s 中的拟水平区域日映为s 中的拟水平区域p 日 9 推论2 给定佗z ，映射p 。将s 中的拟水平曲线z 映为s 中的拟水平曲线 p 以z ，s 中的拟水平区域日映为s 中的拟水平区域p 汀日 引理3 拟水平区域p 。h 的面积是拟水平区域日的面积的e m ，即 s p t h r m s h 其中( r 1 + 8 ”2 证明 令x o = z ( o ，s ) = s ，如= 矿( o ，5 ) = ( s ) ， 显然： ( 2 2 7 ) 昂懈= z 。如匆= f 。i d e t 助p ) l d x o d y o = f f n i d e t m ) i d x d y ，( 2 - - 2 8 ) m c 功 耋粪 = ：耄 ，m c 。，= ： c 2 2 9 ， 由于d e t m ( t ) = 畿蒜垒o y o 丑o x o ，则 爱( 妣m ( o ) = 蕊蒜+ 蠹蛊一丑。一舞鑫 5 叩蒜+ f 口蒜一4 2 v o ( s i n2 ，r z + 8 i n4 7 r z ) 意】 一蒜碍一甓 一叩一4 2 v o ( s i n 2 r x + s i n 4 ，r z ) 刳 2 卜4 ”2 k 8 1 n 2 ”。+ 8 2 7 4 ”z ! + 口刀+ 4 7 r 2 ( s i n 2 + s i n 4 册) 翻舞+ 铆一口f 一刀) 蒜 = 口叩舞_ 。f 者旨= 一。j ；羹= - - o t ( d e t m ( t ) ) , 鑫( d 甜m ( ) ) ：一。( 如 竹( t ) ) ， 又因d e t m ( o ) = 1 ，可得 i d e t m ( t ) j = e 一“ 故昂2 日2 ，厶t d x d y = _ r 厶i d e t m ( t ) l d x d y = e 一“翰式p 2 7 ) 得证 推论3 拟水平区域p r 口日的面积是拟水平区域目的面积的e a ，即 其中n 1 + 8 7 r 2 s p ”h2 矿”s h 1 0 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) f 2 3 2 ) 引理4 存在某一常数卢 0 ，使得对于任意拟水平区域hcs ，日的面积妇 与h 的宽度1 1 日| l 之间都有如下不等式： n i g l l 2 岛i i h i i ( 2 3 3 ) 证明 令h = ( z ，暑，) i 1 ( 动y 危2 ( 。) ，z 研显然， 踞j i g l l ( 2 3 4 ) 下证存在某一常数口 0 ，使得 n 1 月r l l 2 鼬 既然而， 2 在 0 , 1 】上连续，所以存在8 0 0 ，1 】，使得 ( 2 3 5 ) h 2 ( s o ) 一h i ( s o ) = j i h i i ( 2 3 6 ) 考虑4 条直线： l l o ：y = h 1 ( 8 0 ) + ( z s o ) ，1 2 0 ：y = h 2 ( s o ) 一( 茁一s o ) ， l t o ：y = h i ( s o ) 一( 2 8 0 ) ，1 2 0 ：y = h 2 ( s o ) + ( 一s o ) 令p 1 = l dnz 2 0 = ( x 1 ，y 1 ) ，j 毛= 五on 易o = ( z 2 ，耽) ， q 】一( s o ，h i ( s o ) ) ，q 2 = ( s o ，h 2 ( s o ) ) 易知 。1 = s o + ij h h 2 ，。2 = s o i i h i 2 ( 2 3 7 ) 如果1 1 日| | 1 ，那么 i h l i 2 2 = s p i q 啦q 。s h ，( 2 3 s ) 如果i i 甘| i 1 ，那么i i h i i 2 s 鼻，1 1 日i l 1 ，即 1 1 日1 1 2 2 p s 嚣，( 2 3 9 ) 其中= 丛吲笋丝为s 的宽度因此，令卢= 1 i n ，去) ，那么，我们有z l l g l i 2 式( 2 - 3 3 ) 得证 1 】 推论4 对于v n z ，存在某一常数卢 0 ，使得拟水平区域：“t h 的宽度与拟 水平区域日的宽度之间有如下不等式t i i p 柑日1 1 2 丁e - - 。c r * t 恻| ( 2 - - 4 0 ) 其中a l t - 8 7 r 2 定理1如果a 1 + 8 1 r 2 v o ，那么由系统( 1 - i ) 的映射族 p t 口i n z 卜陶成的动 力系统的全局吸引子为一维的 证明记直线l 1 ：y = 一- - 2 - - 3 2 “- 口v i - - 2 a ，l 2 ：y = 址学 显然，厶0 = 1 ，2 ) 为s 上的拟水平曲线由引理2 ，p 1 。厶为s 上的拟水平曲线 当。 0 ，1 时， p ”厶) 符合拟水平曲线定义的条件表明， p 盯厶 为一致有界、等度 连续的函数族因此，根据 p ”厶) 的周期性与紧性 3 6 】得知，存在子序列t 忆k i 讯一 o o ，k o o ，及其两拟水平曲线z cs ，满足当七一o 。时， d ( p n k t 厶，如) 一0 ，i = 1 ，2 ( 2 4 1 ) 令h = s 是以l 1 ，l 2 为边界的拟水平区域，显然， 日) p t h p 2 t h ) ( 2 4 2 ) 因此，由式( 2 - 4 0 ) ，我们便有 i i p 柑日i | 一0 ，n o o ( 2 4 3 ) 所以，1 ：= 1 2 = l ocs ，存在唯一的拟水平曲线l ocs ，使得在p t 作用下s 的“极限 集为n 。o p l 7 s = z o 又因s 为系统( 1 1 ) 的吸引集，故映射族 p 灯i n z ) 构成的动力系统的全局吸 引子为z o ，即为一维的定理1 得证 3 、旋转数对初值的不依赖性 定义5 1 3 7 给定z o = ( 知，y o ) r 2 ，设( x ( t ，2 ，t o ) ，y ( t ，名，t o ) ) 是方程组( 2 - 1 4 ) 满 足初始条件t = o ，$ 一盆o ，笋= 珈下的解，如果 1 i m x ( t , x o , y o , t o ) - x o t 一t 一亡0 1 2 存在，那么，我们定义 1 ；l i m x ( t , x o , y o , t o ) - x o t t o 为系统( 1 - 1 ) 对应于初值( z o ，可o ) 的旋转数 旋转数描述了单位时间内粒子绕圆周的平均圈数，是刻画系统周期性的一个重要 量 令映射m ：r 2hr 2 ( z ( o ) ，耖( o ) ) - - + ( z ( 誓) ，妙( 百2 1 r ) ) 为系统( 1 1 ) 的p o i n c a r 6 映射，由定理1 的证明知，当o 1 + 8 7 r 2 时，系统( 1 1 ) 在 映射m 下不变的拟水平曲线存在且唯一，现不妨设为z ：寥= 九( z ) 作映射f ：r r 。一n 。m ( x ，危( z ) ) ， 这里n 。为z 轴上的投影算子 引理5 1 3 6 1f ( x ) = y i 。m ( 。， ( z ) ) 是关于。的单值严格递增连续函数，而且 f ( z - - t - 1 ) = f ( z ) - - i - 1 作映射f + ：s 1 h s l e 拥。he 脚f ( 引，0 z 1 引理6 3 6 】广为保定向同胚，而f 为广的提升 定理2 当 1 - 4 - 8 7 r 2 v o 时，比r ，系统( 1 一1 ) 存在旋转数，y ，而且 ，y = l i r a 兰p ( z ) ， z n w 并且7 不农赖于茁 证明因为 l i m 坠! 7 i 为保定向同胚广的旋转数，所以 l i m 竺盟 r l 存在并且不依赖于。 3 7 ，同时，不难证明 7 = 规羔f ”( z ) 1 3 因此，定理得证 定理3如果口 1 - - i - 8 7 r 2 v o ，那么对于v ( x o ，y o ) s ，系统( 1 1 ) 的旋转数7 不 依赖于( x o ，y o ) 证明设l ：y = h ( x ) 为系统( 1 1 ) 在映射m 下的不变曲线，而且 h ( x + 1 ) = h ( x ) 对于v ( 尘o ，y o ) s ，则存在点z = ( 童，雪) z ，n ，使得童z o 童- fn o 显然 z 1 = z + ( n o ，o ) ，z ，( 。o ，y o ) 都位于光滑曲线p ：y = h + ( m ) ，其中 h ( z + n o ) = 矿( z ) - 4 - n o 类似引理2 的证明，可证m l + ：掣= 酽( z ) 也为s 上的光滑曲线，而且 定义映射族只。+ ：r 一兄 映射r 为同胚，且 所以，r 为严格递增的，且 无+ ( z - - f n o ) = 矿 ) + n o 。- + n 。 f n ( z ，恕+ ( 茁) )( n = 1 ，2 ，) r + n o ) = r ( 。) + n o ( 2 4 4 ) j ”( 孟) = r ( 孟) r x o ) r + n o ) = f ” + 伽) ( 2 4 5 ) 由定理2 知 7 = 3 蒜p ( 孟) = 恕羔p ( n 。) ，( 2 - - 4 6 ) 因此 7 = 溉嘉r + ( 章) = 恕蒜r = 恕羔r 。( 牙+ 伽) ， 所以，y 不依赖于( 盘o ，v o ) 得证 当n 1 + 8 z 2 v o ，系统( 1 - 1 ) 对不同的初值可能有不同的旋转数， ( 1 - 1 ) 会有复杂的动力学行为，可能出现混沌现象 1 4 ( 2 4 7 ) 此时，系统 ( 二) 、数值模拟 我们运用数值模拟方法来研究系统( 1 1 ) 蕾+ 。嘧= 一y 7 ( z ) + a s i nc o t 我们先分析系统( 1 - 1 ) 的旋转数，y 的符号在参数平面上的分布情况，并且通过参数 ，n ，a ，的调节。结合轨道、楣图、p o i n c a r 6 截面、功率谱和分岔图的数值模拟，研 究系统( 1 - 1 ) 的规则和混沌输运然后，我们固定参数v o ，a 来分析系统( 1 - 1 ) 在a u 参数平面上的共振带结构 定义6 3 6 】设 ( t ) ，( t ) ) 是方程组( 2 - 1 4 ) 以初值( 。( 0 ) ，可( o ) ) 的解，令z o = ( o ) ，耖( o ) ) ，作p o i n c a r 6 映射m ：舻一芹 ( z ( o ) ，可( 0 ) ) - 一( z ( 丁) ，可( 丁) ) 这里t = 誓我们把集合 z o ，! k f z o ，m 2 z o ，m “z o ，) 称轨迹缸( t ) ，( t ) ) 的p o i n c a r 6 截面 对于周期为p t 的轨线，它的p o i n c a r 6 截面只有p 个点，z o ，m z o ，m p z o ， m p z o = g o 对于准周期解，它的p o i n c a r 6 截面表现为一条封闭曲线( 不变曲线) 对于 混沌态的解，其p o i n c a r 6 截面比较复杂当系统参数变化时，将各p o i n c a x 域面沿y 轴 作投影，则我们得到系统随参数变化的分岔图 定义7 3 8 】设 。( t ) ) 是系统( 1 - 1 ) 的解，我们考虑时间序列 s i n2 7 r z ( t ) ) 的功率 谱，其定义为 p ( ，) = 熙“ s i n 2 ，r x 纱衅， ，是频率 实际计算中用离散快速傅立叶变换( f f t ) 计算功率谱周期解的功率谱为间距相 等的尖峰，混沌的功率谱中出现噪声背景谱 定义8 3 6 设 ( t ) ，( t ) ) 是方程组( 2 - 1 4 ) 以初值 ( o ) ，( o ) ) 的解，如果存在互 质整数p ，q ，使得对于v t r 有 ( z + p t ) ，y ( t + p t ) ) = 0 ) + q ，可 ) ) ， 其中t = 警，则称 ( 线影( t ) ) 为( p ：q ) 型共振解取适当的参数平面，如a u 平面， 我们把属于同一个0 ：q ) 型共振解的区域称为( p ：g ) 型共振带 假设系统( 1 - 1 ) 的解为西：型共振解，那么，当q 0 时，系统( 1 - 1 ) 的轨道为 跑周期轨道( 即在p 个周期时间内，粒子在圆柱上绕了q 圈) ，系统作定向运动，并且 1 5 定向流的平均速度为 u = 塑笋= 器( 2 - 4 8 ) 特别地，当q 一0 时，：0 ) 型共振解就是周期解，系统( 1 - 1 ) 的轨道为周期轨道，系 统不作定向运动。 1 、定向输运 首先，我们固定v o ，u 来考虑系统( 1 1 ) 的旋转数7 的符号随参数q ，a 变化的情 况例如，在图2 4 中，我们对固定= o 1 ，u = 0 6 5 ，给出系统( 1 1 ) 的旋转数，y 的 符号在q a 参数平面上的分布情况由图可知，随着口，a 变化，系统( 1 - 1 ) 既可能有 正的定向流，也可能有负的定向流，还可能没有定向流当口= 0 时，系统( 1 1 ) 有定 向流，当口 0 时，我们发现一条分界线l ：a = a ) ，使得当a 0 ，系统( 1 - 1 ) 有正的定向流当。一0 0 2 4 ，a = 0 1 时，7 = 0 ，系统( 1 - 1 ) 没 有定向流当口= 0 4 ，a = 0 5 时，7 。 1 2 。7 v o ( a ) ，系统( 】一1 ) 没有定向流，当k v o ( a ) ，系统( i - i ) 既可能有正的定向流，也可能有负的定向流， 并且，在分界线l 上，随着a 增大，) 的值相应增大 由此可见，若系统的位势高度较大，则粒子在周期驱动的扰动下不能跨过势垒，系 统就不可能有定向流，但若系统的位势高度较小，则粒子在周期驱动的扰动下能跨过 势垒，此时，系统可能有定向流此外，当粒子所受的周期驱动变大，为使系统不产生 定向流，位势高度k 应该增大 1 8 ， 善薹圈。“阚 图2 - 7 系统( 1 - 1 ) 当v o = 0 1 ，o t = o 8 8 ，a = 0 , 7 ，u = o 6 5 时( a ) 轨 道图；( b ) 相曲线图；( c ) p o i n e a r 6 截面图；( d ) 功率谱图 5 0 4 0 3 0 ： 2 0 o 0 “) i o0 5 f 图2 - 8 系统( 1 - 1 ) 当v o = 0 1 ，a = l ，a = 0 7 ，u = 0 6 5 时( a ) 轨道 图；( b ) 相曲线 虱；( c ) p o i n c a r $ 截面图；( d ) 功率谱图 a 图2 - 9 的符号在a 一平面上的分布图- i - ，0 ，”x ”依次x , - j 应 ，y 0 ，y = 0 ，y o ， = 0 。，y ) ，系统( 1 - 1 ) 没有定向流，当 y o ( n ) ，系统( 1 1 ) 既可能有正的定向流，也可能有负的定向流，并且，在分界线 ”上，随着n 增大，陋) 的值减小 由此可见，若粒子所受阻尼较大，则粒子在周期驱动的扰动下不能跨过势垒，系统 就不可能有定向流，但若粒子所受阻尼较小，则粒子在周期驱动的扰动下能跨过势垒， 系统就可能有定向流此外，当粒子所受的阻尼变大，为使系统产生定向流，位势高度 应该减小 2 、共振带结构 下面固定参数y o ，n 来分析系统( 1 - 1 ) 在a u 参数平面上的共振带结构 当“很小，系统( 1 1 ) 的共振带结构很不规则比如，当= 0 0 5 ，o = 0 5 时，不 仅各类共振解交织在一起，而且在很多参数区域，系统( 1 一1 ) 可能出现非o ：q ) 型共振 解，也就是说，系统( 1 - 1 ) 可能作混沌输运( 如图2 - 1 1 ) 从图2 - 1 2 看出，在图2 1 1 的 区域i ，系统( 1 一1 ) 存在不同的共振解，而在区域i i 、i i i 。系统( 1 1 ) 出现混沌解( 如图 2 - 1 3 所示) 此外，随着增大，系统( 1 - 1 ) 的0 ：g ) ( g 0 ) 型共振解可变成( 1 ：0 ) 型 共振解，也就是说，系统( 1 - 1 ) 能从有定向流变为无定向流( 见图2 - 1 4 ) 为验证定理3 ， 我们在图2 - 1 5 给出了系统( 1 1 ) 当v o = o 0 5 ，a = 5 时的共振带结构图，由图可看出， 当n 1 + 8 7 r 2 v o 时，系统( 1 1 ) 的解都为 ：q ) 型共振解，即系统( 1 一1 ) 的旋转数不 依赖于初值，系统不出现混沌输运 当a 较小，系统( 1 - 1 ) 的共振带结构不规则例如，当= 0 5 ，“= 1 0 时，在 a u 参数平面 o 0 5 ，o 0 7 】) ，各类共振解交织在一起，因此，我们无法对不同的 伽：q ) 型共振解划分区域( 如图2 - t 0 ) ，而在a u 参数平面【0 5 ，o 7 ) ，系统( 1 - 1 ) 的解基本为( 1 ：0 ) 型共振解，但在某些参数区域，系统( 1 - 1 ) 可能出现非0 ：口) 型共 振解，也就是说，系统( 1 - 1 ) 可能作混沌输运( 见圈2 - 1 8 ) 此外，由图2 1 7 知，当a 较小，系统( 1 - 1 ) 的旋转数在不同参数范围不一定是台阶型的，同时，从图2 1 7 中的分 2 】 v o = o 0 5 a 卸5 图2 - 1 1 当= o 0 8 口= 0 5 时，系统( i - i ) 在 a u 【o 0 5 ，o 0 7 ) 平面的共振带结构图 其中 ”o ”，”v ”，”+ ”，”矿，”，1 ，”口”，”矿，”，”，”矿依次对应 ( 1 ：o ) ，( 1 ：3 ) ，( 1 ：4 ) ，( 1 ：5 ) ，( 1 ：6 ) ，( 1 ：7 ) ，( 1 ：8 ) ，( 1 ：9 ) ，( 1 ：1 0 ) ，( 2 ：9 ) ，( 2 ：1 1 ) 型共振解 图2 - 1 2 当= 0 0 5 ，n = 0 5 ，u = o 0 6 2 时，y 在a 【0 2 ，1 2 】 内随a 变化的曲线图及分岔图其中实线对应初值z ( o ) = 1 ，( o ) = 2 ；虚线对应初值z ( o ) = 1 5 ，v ( o ) ；2 5 图2 1 3 系统( 1 - 1 ) 当= o 0 5 ，a = 0 5 ，u = o 0 6 2 时，a 取不同值对 应的轨道图 考 图2 - 1 4 当v o = 0 5 ，a = 0 5 时，系统( 1 - 1 ) 在a u 平面 p 0 5 ，o o r ) 的共振带结构图其中 。”对应( 1 ：0 ) 垄 共振解 a 图2 - 1 5 当v o = o 0 5 ，q = 5 时，系统( i - i ) 在a u 平面 1 0 0 5 ，o 0 7 1 ) 的共振带结构图其中”o ”，”，”依次对 应( 1 ：o ) ，( 1 ：1 ) ，( 1 ：2 ) 塑共振解 岔图看出。0 ：q ) 型共振解是跑周期解 当o f 较大，系统( i - 1 ) 的共振带结构有规则比如，当k = 3 ，o f = 5 0 时，在4 一u 参数平面【0 0 5 ，o 0 7 ) ，我们能对不同的0 ：q ) 型共振解划分区域( 如图2 - 1 9 ) 而 在a u 参数平面p 【0 5 ，o 7 】) ，我们能区分( i - 0 ) 型共振带与( i - i ) 型共振带，但 在某些参数区域，系统( 1 - 1 ) 不仅有不同的p ：g ) 型共振解，而且可能出现非仞：g ) 型共振解。也就是说，系统( i - i ) 可能作混沌输运( 见图2 - 2 0 ) 此外，由图2 - 1 9 可知， 系统的输运速度不一定随周期驱动强度增大而增大 当o f 充分大，系统( 1 1 ) 的共振带结构极其规则，并且与一阶棘齿系统，圣= 一y 7 ( z ) + a s i n u t 的共振带结构相同图2 2 1 是固定= 4 5 0 ，o f = 1 0 0 0 ，系统( 1 1 ) 在a u 参数平面上的共振带结构，由图可看出，不但( p ：q ) 型共振解能划分区 域，而且随着a 增大，各类：q ) 型共振带有序分布，同时，我们还发现一条分界线 i t t t ：a = a ) ，使得当a 1 + 8 7 r 2 1 i o 时，不仅系统的p o i n c a r 6 映射族构成的动力系统的全局吸引子是一 维的，而且系统的旋转数存在且不依赖于初值此外，本文运用数值模拟方法研究二阶 确定性棘齿系统的定向输运和共振带结构，同时，研究了系统在双周期驱动下的定向 输运，发现系统的混沌输运是可调控的， 本文的创新在于将系统的旋转数跟参数的关系作为出发点，运用数值模拟方法来 研究二阶确定性棘齿系统的定向输运通过对旋转数符号与参数的关系进行数值模拟， 得到系统不仅有规则运动，而且还在一定的参数范围内存在混沌输运同时，本文基于 跑周期解可看成：g ) 型共振解，为搞清系统的跑周期轨道跟系统参数的关系，研究 了系统的共振带结构 但应看到的是本文对定理1 、定理2 及定