（基础数学专业论文）paneitz问题的集中解.pdf

硕士学位论丈 m 人sr e r st h e s i s 本文主要研究p a n e i t z 问题 摘要 乱 0 ，y r ， 其中p a n e i t z 曲率k ( 可) 有一串趋于无穷的严格极大值点通过变分方法，得到了 该p a n e i t z 问题无穷多个解，且每个解恰好有两个极大值点 关键词：p a n e i t z 型问题；变分方法；临界点；集中解 铲l k 气= 瑶 气 u ，j(1【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t b yv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，w ec o n s t r u c ti n 6 n i t e l ym a l l yc o n c e n t r a t i o ns 0 1 u t i o n s f o rat y p eo fp a n e i t zp r o b l e m j ，2 乱= k ( y ) u 2 _ 1 ，乱 o ，y r ， 、u d 张r ) ， u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ep a n e i t zc u r v a t u r eh a sas e q u e n c e 。fs t r i c t l yl o c a lm a 挣 i h m mp o i n t sm o v i n gt oi n 盆n i t y k e y 、b r d s ：p a n e i t zt y p ep r o b l e m ；v 甜i a t i o n a lm e t h o d ；c r i t i c a lp o i n t ；c o n c e n t r a t i n gs o l u t i o n s 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：l 虱许 日期：z 弼年r 月2 8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：阀静 日期：2 峭年r 月6 日 导师签名：彳们聊乞 日期：刃口5 年f 月埸日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重论塞握童蜃进卮! 旦坐生；旦= 生；旦三生筮查! 作者签名：i 虱静 日期：埘年皇月2 艿日 导师签名：南穆铆幺 日期：力。s 年f 月西日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 1 ) 第一节引言 在本文中，我们考虑如下的非线性双调和问题： 乱 0 ，可跫， 其中k ( 萝) 是一个连续有界的函数，5 ，d 护( r ) 为曙( r ) 在 ， l = ( u ，乱) 壹，( u ， ) = u 钌匆 t ，r 下的闭包2 + = 2 ( 一4 ) 是嵌入d 2 ，2 ( r ) q 三2 ( r ) 的临界指标经傅立叶变 换可知d ；2 ( r ) = d 2 ，2 ( 豫) 这种类型的方程源自于共形几何，其中最著名的一 个问题就是指定p a n e i t z 曲率问题：给定定义在维数5 的黎曼流形( m ，夕) 上 的函数k ，考察是否存在与夕共形的度量雪，使得函数k 就是在新的度量雪上的 p a n e i t z 曲率对此类问题从 4 ，8 ，1 l 】及其参考文献中可以有更详细的了解 与问题( 1 1 ) 对应的e u l e r - l a g r a n g e 泛函，如下： j ( u ) = 三上i u 1 2 咖一去上k ( 训u p 咖，u 。驴( r ) 问题( 1 。1 ) 的一个主要特点就是失紧，即能量泛函，并不满足尸s 条件。这个事 实是因嵌入d 2 ，2 ( 瓞) q 厶z + ( 瓞) 失紧和区域r 无界直接导致的然而，易验 证要问题( 1 1 ) 有解的必要条件是函数k 必须在某些地方是正的而且，如果扎 是问题( 1 1 ) 的解，那么由( d 出) ，( “( 幻) ) i 扛1 = o ，易得k a z d a n w 抽n e r 型条件【8 】 。屉v k ( 芗) f 程2 匆= o 这就意味着v k ( 分) 芗必然会在r 内变号因此，我们 并不能期望( 1 1 ) 对于所有的函数k 有解那么自然会产生一个问题：k 在什么条 件，问题下( 1 1 ) 有解在这篇文章里我们给出问题( 1 1 ) 有无穷多个解的一个充分 条件，而且每个解都集中在k 的两个距离足够远的极大值点上 近年来，有不少人已经对四阶带临界指标和k ( 可) 三1 的椭圆方程解的存在性 作出了研究，见参考文献【2 ，3 ，7 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 5 ，1 9 在有界区域上集中解的存在 性，可参见【6 】但是，对k ( 可) 1 情况的研究甚少在 5 】中，通过推广无穷远处 的临界点理论中一些拓扑学方法和动力系统的经典理论，b e na y e d ，e lm e h d i 和 h a m m a m i 给出了问题( 1 1 ) 在有界区域上解的存在性结果，而且，他们需要对位势 函数k ( y ) 和区域施加一些拓扑性条件 1 沪 l k 气= 瑶 气 u ，、_， 硕士学位论文 m a s l e r st h e s i s 正如前面所提到的，问题( 1 1 ) 由于不满足p s 条件，运用变分方法因而变得 需要更多的技巧在这篇文章里，我们用构造的方法来获得问题( 1 1 ) 的解确切的 说，我们将y a n 在 2 0 】中的证明思路推广到高阶方程的情形在此之前，通过李雅 普诺夫施密特约化方法，将求泛函j 的临界点问题转化为求定义在有限维区域上 泛函的临界点问题然后再建立一个恰当的具有有限维数的有界区域，使得在其上 的变分问题取到极小值在我们的证明中，为了对泛函，的能量有精确的分析，我 们将利用k ( 可) 在其极大值点的渐进性对，中含有k ( 拶) 的相关项进行精确的计算 从而巧妙地获得了j 的能量估计此外，我们还要证明通过以上步骤得到的解是正 的大家都知道，在高阶方程中这类证明一般来说是件很困难的事 为了陈述主要结论，需要引入一些记号和假设 考虑下面的方程 ( 1 2 )2 u = i 让1 2 _ 2 让，钍 o ，r ，乱d ：2 ( r ) 在 1 6 】中已经证明径向函数 u ( y ) ：咿( 1 + 钟) 一等u ( y ) = 只厂( 1 + 2 ) 一罕 其中 p = ( 一4 ) ( 一2 ) ( + 2 ) 是( 1 2 ) 在r 上的解 对z 匙，与入 0 ，设 岫) = 矿面斋 对= ( 雹，矗) r ，r + ，歹= 1 ，2 ，记z = p 1 ，z 2 ) ，设 = 似瑶2 ( 呐， = ( 等，u 0 ，2 ，2 ，) 假设k ( 可) o 满足下面的两个条件： ( k 1 ) k ( 可) 是r 上连续有界函数； ( k 2 ) k ( y ) 有一串严格极大值点r ，使得i i 一+ 。，并且在的每 个小领域内，存在 o 及岛( 一4 ，) ，使得 k ( 可) = 巧一q j ( y 一) + 马( 可一) ，研( ) ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中玛，0 = 1 ，2 ，) ，满足硒坞弼( 弼娲 o 为常数) ，锄( y ) 满足 n o l 可i 岛q j ( 可) 凸1 i i 岛，j = 1 ，2 ，一， o 。o o o 是与歹无关的常数且马( ) 满足弓( 可) = d ( 川几十。) ，盯 o 是与歹无 关的常数 我们的主要结果是 定理1 1 在( 西) 和( 恐) 条件下对任意小的数肛 o 以及每个k ( 可) 的严格 极大值点- ，可以找到另一个严格极大值点z ：使得( 1 1 ) 有如下形式的解 其中( z ，a ，u ) 满足u b ，a ，z = ( z 1 ，z 2 ) ，入= ( 入1 ，a 2 ) ，及 | j u i j p ，l z l 一z 2 i 去，j z j 一彳幻j p ，丢，歹= 1 ，2 在定理1 1 中构造的解有两个极大值点而且这两个极大值点的距离非常大从 定理1 1 的证明可以看出集中于k ( 可) 的两个不同的极大值点处的两个近似解间的 相互影响在构造问题( 1 1 ) 的解中发挥了关键作用 在接下来的文章中，我们先引入一些记号，在第2 部分进行约化，然后在第3 部分用极小化方法证明定理1 1 为了让证明思路更清晰，将在证明中所需要的一 些估计在第4 部分附录中给出 3 + b 斧 2 触 = 硕士学位论炙 m a sf 】! r st h e s l s 2 1记号 第二节记号和约化 对任意小的p o ， i 1 ， 2 ) cn ，i 1 z 2 ，设 f ( z ，入) ： l z = ( z 1 ，z 2 )b p ( z t ) b 0 ( z ：) ，入= ( a 1 ，入2 我们要找的解是厶的临界点，具有如下形式 4 一 k 8 巩j ，b + u ， ) ( 丢，+ ) ( 去，+ ) ) 其中与( ) 的某些极大值点充分接近，u d ；2 ( r ) ，且f | 充分小 考虑余维数为2 ( + 1 ) 的子流形 以及泛函 ( 2 1 ) 记 4 p = ( z ，入， ) ：( z ，入) d p ，u 玩， ，i i u | | o ， 是，( u ) 的正临界点当且仅当( z ，a ， ) m p 是j ( z ，入，u ) 在m p 上的临界点另一 方面，由拉格朗日乘数法，( z ，入，u ) 是了( z ，a ，u ) 在约束条件m “下的临界点当且仅 当存在数马r ，q ，i r ，0 = 1 ，2 ，i = 1 ，) 使得对于歹= 1 ，2 ，i = 1 ， 有 ( 2 2 ) 4 a ，b 2 皿 j | u + 沁 以萨 。触 j j ：l 。芦 b 一 堕呐 a 一 岛 2 触 = 一 坐砒 塑 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 2 3 ) ( 2 4 ) 学= b ( 等，u ) 十 a j ( z ，入，u ) = 岛( 鬻，仃) += 岛( 瓦嚣，仃卜 ，u ， 静 类似于 2 0 ，我们首先将求( 1 1 ) 的解转化为求定义在一个有限维区域上泛函 的临界点，然后用极小化方法来解后面的问题 2 2约化 命题2 1 设( 码) 成立则存在肛o o ，使得对肛( o ，卢o ) 和( z ，入) 仇， 有唯一的c 1 映射：( z ，a ) d pqu ( z ，入) b ，a 使得u ( z ，a ) 对于岛，岛，t ( i = 1 ，歹= 1 ，2 ) ( 2 2 ) 成立此外，u ( z ，入) 有下面的估计 ( 2 5 ) 其中r 0 是常数 口l l = 淝l 加阻毒) ) + 。( 蓼、 证明：先将，( z ，a ，u ) 在u = 0 处展开，有 j ( z ，a ， ) = j ( z ，a ，o ) + ( 厂，u ) + 三( q u ，秽) + r ) ， 其中，b a 是如下的线性形式 ( 2 6 )( ，u ) = 一上酬妾) 2 呐， ( q ，u ) 是在忍，a 上的二次型，定义如下 ( 2 7 ) ( 叫刊卜- 1 ) 上酬妾2 怕， 并且r ( u ) 是高阶项，满足： 其中口 o 是常数 d ( i ) r ( 口) = o ( i | u | | 2 + 8 一) ，i = 1 ，2 ， 5 坠槲 沪百 飞 岛 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由命题2 2 可知，q 可逆且存在与z 及入无关的常数c o ，使得l i q _ 1 l | g 由【1 8 的证明，有 a j ( z ，a ，u ) a u 因此存在( z ，入，u ) 使( 2 2 ) 成立与 ( 2 8 ) = ，+ q + d r ( ) 最 ，+ q u + d r ( u ) = o ， 忍，a 成立等价同在 1 8 中，由隐函数定理可知，存在p o o 和一c 1 映射u ：( z ，a ) q 。q 邑，a ，使得当弘( o ，伽】时，( 2 8 ) 成立且 ( 2 9 ) 且 训i c i i 州 现先估计i l 州 由h 6 1 d e r 不等式和附录中的引理4 2 ，有 上( 妾c 2 一c 妾) 2 一1 ) u 咖 一，。嬉上嚷嚷m d y ) ( 2 o q uj | p | i 口i ， v 上乙，a 证明：用反证法假设有一o ，( 扩，a 。) d p 。及u 。e n ，a 。使得 ( 2 1 0 )q 秽。i i = o ( 1 ) i f 。i | ， 其中d ( 1 ) _ o ，佗_ 。o 不失一般性，可设l | u 。l l = 1 令吗，n ( ) = 精7 2 ( a 嘉可+ ，”) ，歹= 1 ，2 因此不妨设存在吻d 2 ，2 ( r ) ，使得当n _ o 。时， ( 2 1 1 ) 在d 2 ，2 ( r ) 中 现在证明三0 令 ，n 。 则奶，n ( 可) 在d 2 ，2 ( r ) 中有界 岛，n = a 嚣7 2 巩抽凡，。( a 互扫+ ，”) ， w 赢 嵋，。 、( 2 一) 2a ，。( p ) l o n 五r l 尸：a 互：掣+ 。，。 、( 6 一) 2a 巩加，。( p ) i n 1 茹弓：_ i p ：a 互三+ 。，。 由e n h 可得对歹= 1 ，2 ，i = l ，2 ，有 ( 2 1 2 ) 吗一) 或全 ， 及 ( 2 1 3 ) 上岘勘旷篙 厂一上 。 上嗡4 吗彬咖= 。( 1 ) ，坳b 7 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 我们断言满足 ( 2 1 4 ) 一一篙访_ 0 事实上，对任意妒四( r ) ，可以分解如下 2 = 妒一 j = 1t = l 2 勺 t ，。，t 一 j = 1 勺，n w j 一玩 由于妒有紧致支集及 t 和，n 的支集当z j ，佗_ 。o 时，趋于无穷易证当 f 歹，n _ 时，c 厶。，i _ 0 且c 厶n _ o 此外，勺，。l 和勺，。有界 将代入( 2 1 3 ) 并让n _ 。，有 上咖匆一篙厶峙妒咖 ( 2 1 5 )c 厶b ( 等 n r 厶 = 1 矧) 一篙塘( 等 a ：1 一4 刈1 a 入 a = 1) 咖 其中c = 1 i m 一。勺，。且q = l i m 。o 勺，i 另一方面， 厶 ( 等) 一篇毋( 等i 一一u n u ii ：一 a ：1 一4 刈11 a 入 上b ( 等一 因此，我们有 + 4 一4 ) 协_ 0 j a = 1 j 篙毋( 磐h o ，8 上霄妒咖刨， 和证明( 2 1 5 ) 一样，由吗，n ( 可) 玩可知 a ，1 ，贡脯 = = o ，歹= 1 ，2 ， 又由 3 】中的结论：，l 是非退化的因此吻= o 8 一 曲 厂止q汜 是正这 硕士学位沦炙 m a s ，f e r 。sr i i i ：s i s 由于吻= 0 ，我们有 上( 妾 n ，a ，。) 丽j u ：d y k 趴加西。，噱加啪m ( 1 ) ( 1 ) + d ( 1 ) ， 其中当r _ + 。o 时，d r ( 1 )o 所以由( 2 1 0 ) 可知当n _ 。o 时，i i u 。i | 一0 而这 与j | l = 1 矛盾，从而问题得证 口 9 2 芦 o 是一个较小的数而能 o 是一个较大的数，均待定那么问题( 3 3 ) 有一个 最小值( 牙，天) 仇，2 我们将证对脚 o 有，对任意p ( o ，p o 】，可以找到2 0 o 使 得：若f ：= | z l z 2 i z o ，( 3 3 ) 的最小值( 牙，天) 满足 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 砖( ，y l 岛，7 2 岛) ，歹= 1 ，2 ， 和一l 丝4 。i 。2 由命题2 1 及引理4 4 ，可知，对任意的( z ，a ) 仇，2 ， l 厂( z ，入，u ( z ，入) ) = ：= = = 了( z ，入，o ) + d ( | f 厂i ij f 口l l + i i u i l 2 ) m a 0 ) + 。( 蚤l 邢毒) + e i 扩) 妻j ( 凡) 一( 艇鲍) 半d 牝+ o ( 萋鸯) 加( 薹( 妒卅2 毒) 托i 尹) ， 、， 21 上 l | 0 他 0 lh ， p d 、i ， ， 一4 ，我们可以选择( 0 1 ，t 0 2 ) r 2 让。町 o 足够大使得 ( 3 6 ) t 蛋一4 ) 2 艺甾一4 ) 2 耐一4 ) 8 碴一4 ) 8 o 足够小，而这种选择仅依赖于c 和g ，使得 c 1 1 f 一c f ? 一4j c q 于是1 c 击一( 衄) 半d 钆c 竹( 肛4 胁训肿。砌- + 刚- 4 ) 2 ) ，= l ，、， 这与( 3 9 ) 矛盾 若天1 = 倪l 1 = 讹z ( 一4 ) 阮( 卢1 愚一( p 1 + 虎) ( 一4 ) ，那么 因此 勉= ( 矗筹) 叫v 2 2弓器，z一(一4)p1艮(卢1如一(p1+卢2)(一4)2) 0 足够大，而这种选择仅与7 l 有关，当，y 2 _ + 。时，有 ( 1 + d ( 1 ) ) ( 他，y 1 ) ( 一4 ) 2 一o ，我们仍可得到矛盾 对天2 类似可证，从而断言得证 由此可知，的最小值( 牙，天) 在d 肿内部，因此让= 是，的临界点由命题3 1 可知对p o 足够小让 0 + u ( 牙，a ) 2 4 一 命题3 1 设乱2 暑k 睨j + u 是，的临界点且u 满足俾印那么对 p 0 足够小，u 0 证明：我们用 5 】中的思想来证该命题设u 一= m a x o ，一u ) 令 i ”= 一c n | j 掣 l 一z 1 4 一k ( z ) ( 乱弋z ) ) 倦如， 其中c 4 一是算子2 在d ；2 ( r ) 上的格林函数则训d ；2 ( r ) 且叫o 此外， 所以 假设i ( 3 1 0 ) 2 叫：一k ( 可) ( u 一( y ) ) 倦 1 | 叫1 1 2 = 一k ( 可) ( t 正一( y ) ) 等等叫d y c i i 叫u i j 落，4 ) ( 一钔 ，r 一 l 叫| i o ，则 而另一方面， 故 叫恪c 扩f | 黟4 。舢 伽| 1 2 ：一k ( u 一) 务箬叫d 可一k ( 乱一) 等箬叫d y 十k ( u + ) 港叫d 可 ，r t 0 = 上k 川南仳叫咖= 上伽2 钍咖= 上u 2 叫匆= 上k ( u 一) 2 + 匆 硎u i 眵 c ，| i 乱一i j 荟。i l 叫i | 2 c | i u i l 磊f 2 ( + 4 显然，i i u i l l 。 o ，u 一三o ，这意味着伽三o ，矛盾于 是，叫三。且u 一三o 所以钆( 秒) = c 丘i 可一z 1 4 一k ( z ) ( 札( z ) ) 倦如 o 证毕口 1 4 一b 尘 。触 硕士学位论文 m a sr e r st h e s i s 第四节附录 在这部分，我们将会给出在前面证明所需要的一些估计 引理4 1 其中d ，。：厂 ，r 对i 歹，i ，j = 1 ，2 ，上暖：，暑，一曲= 礤d 1 2 + 。( 雾j ) ， rn n d z ( 1 + ) 学 证明：设z 一入l ( 可一z ) ，d 巧= z 一z j ，令= a i i d 巧1 2 ，贝 ( 4 1 ) 上咳托y = 上 11 ( 1 + 学( 旭+ i 瓜z + 厕训孚 d z 因 上蠓咖= 上毗t 妒上觑细= 上蠓屯 我们可假设入i 记 a n = z 已i i z + a t d 巧i 1 1 0 a i 奶i ) ， 毛= l ，p l 使 得a + p = 2 + ，口= i n f ( 口，) 证明：与 1 】中证明估计类似，仅需证 考虑 ( 4 5 ) 上嚷嚷咖= 。( e 驴1 n 批口鸹a ，= l z 一口巧i 1 ) ， 地 = i z + 口订i 1 九，i z a u | 1 入j 】- 则r c 尬u u ，因此 ( 4 7 ) s 鼎 o 的球，则 ( 4 1 1 ) 上nk ( ) 咙：i - ：玩。九妇= 甄上昵：，- ：。m 咖十上出。) ( k ( y ) 一k - ) 昵：1 - ：阮z 沁咖 先估计 + l 砩( z 1 ) l 髟( ；1 ) ( k ( 芗) 一坼) 曙，_ ：玩：怠匆 对肛 o 是定理1 1 中足够小的常数，有睇( z 1 ) cb ；一p ( z 1 ) 记岛表示以为心 半径为j d p 0 的球，从而 + 4 蟛爻巩。九咖 上f n 丑2 咄爻巩2 沁咖+ 上 n 磁喵戈2 九咖 rn + 4rn + 4 c 厶寿玩。儿句+ ( 上；嵫咖) 学( 厶域幻) 学 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 埘t ) 撼2 凡咖蝥蓐蠹 厂y 芝 岛 a 。2 将上式代入( 4 1 2 ) ，得 ( 4 1 3 ) 厶，( ) 蠛句c 赤d y _ 。( 爷 最后估计 l ) ( 鼬) 出) 践妞 k ( 可) 可在z 1 处展开如下 k ( 可) = 尬一q 1 ( y z 1 ) + r l ( y z 1 ) ， 具。pv 1 【y z j = u 【i y z i “j ，“l i 一z 1 ) 2u 【i 一z i “j ，盯 u 所以 f 4 】4 、 fn 士4fn 士4rn + a 厶p ) ( k ( 可) 一所) 蟛戈观2 九咖一五，q - ( y z 1 ) 喵墨玩2 九d + c 上蟛戈2 儿咖 又 q 。( y z - ) 卅炭巩。九咖：，。( p 一纠m c 喾) 遽蠢巩：儿咖 以，q - ( y 一) 呢磊巩2 九咖上0 0 ( p 一i m c 等) 呢磊巩2 儿咖 c ( 专小1 叫1 ) 上躐咖 将上式代入( 4 1 4 ) ，得 ( 4 1 5 ) l ) ( 膏竭) 线虻。( ( 妒p + 毒b 2 州手7 ) 由( 4 1 1 ) ，( 4 1 3 ) 及( 4 1 5 ) ，得证 口 奇 顷士哮伍论炙 m 人s ，f e r st l j f s i s 引理4 4 ，( 妾矿a ；) = 喜，c 九，一( k t 尬) 半。钆+ 。c 妾专， 其中d = 礤d 1 2 o 证明：由引理4 1 ， 2 + o ( ( p = 1 一夕i 岛+扣z 坩) ， 妾，刘2 = 喜| | 矿刘2 + 2 ( 虬鲍) 半上蟛，_ ：玩：九咖 利用不等式 我们有 2 ：r zi j = 1 o + 6 i p 一矿一矿一p o p 一1 6 一p o 矿一1 i z + 2 硝( k ，如) 竿d 。：1 2 + d ( i n c 扩2 6 p 2 ，2 3 ， 上酬喜矿) r 咖 喜上酬) 2 4 咖 r4 一nq 。14 一n 十2 + k ( ) ( k - 玩- ，a 。) 2 _ 1 k 观。m 咖 ，r 幡厂k ( 可) ( 玩。 ) 2 - 1 玩。九咖+ d ( e 手r ) r 喜上k ( 洲矿一2 咖+ 。( 喜鼍) 2 0 ( 1 一 卅岛+ 方b z 州手7 ) 硕士学位论文 m a s t e r st i i l 三s i s 凡) 喜酽一托酬砉) 扩咖 妾，c 矿一，一c k - 鲍) 华钆+ 。c 骞嚣， 2 十o ( ( i ，= 上 一夕l 岛 2 1 + 抄，z 州孝r ) 口 一2 l | 故。同 ，一 t j 【 硕士学位论文 m 人s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】a b a h r i ，c r i t i c a lp o i l l t s - a ti i l 矗i l i t y i l ls o m e 、，i l r i a t i o l l a lp r o b l e m s ，r e s e a r c hn o t e si n m a t h e m a t i c s ，v o i 1 8 2 ，l o n g m a n - p i t m a n ，1 9 8 9 f 2 】t b a r t s c h ，m s c h n e i d e ra n dt w t h ，m u l t i p l es o l u t i o n so fae r i t i c a lp o l y h a r m o n i c e q u a t i o n ，j r 电i n ea n g e w m a t h ，5 7 1 ( 2 0 0 4 ) ，1 3 l 一1 4 3 3 】t b a r t s c h ，t w b t ha n dm w i l l e m ，as o b o l e vi n e q u a l i t yw i t hr e m a i n d e rt e r ma n d c r i t i c a le q u a 乞i o n so nd o m a i n sw i t ht o p o l o g yf o rt h ep o l y h a r m o n i co p e r a t o r ，c a l c v 缸 p a r t i a ld i 如r e n t i a le q u a t i o n s ，1 8 ( 2 0 0 3 ) ，2 5 3 - 2 6 8 4 】m b e na y e da n dk e lm e h d i ，e ) 【i s t e n c eo fc o n f o r m a lm e t r i c so n8 p h e r e sw i t hp r e s c r i b e d p a n e i t zc l l r v a t u r e ，m a n u s c r i p t am a t h ，1 1 4 ( 2 0 0 4 ) ，2 1 l 之2 8 【5 】m b e na y e d ，k ，e lm e h d i a n dm 。h a m m a m i ，s o m ee x i s t e n c er e s u l t sf o rap a n e i t zt y p e p r o b l e i n 访at h et h e o r yo fc r i t i c a lp o i n t sa ti i l f l n i t y ，j m a t h p u r e sa p p l ，8 4 ( 2 0 0 5 ) ， 2 4 7 2 7 8 f 6 】m b e na y e d ，k 。e lm e h d i ，o n a b i h a r l o n i ce q u a t i o ni n v o l v i n gn e d yc r i t i c a le 印o n e n t ， n o d e an o i l l i n e a rd i 压e r e i l t i a le q u a 上i o i l sa p p l ，1 3 ( 2 0 0 6 ) ，4 8 5 5 0 9 7 】k c h o u ，d g e n g ，a 8 y m p t o t i c so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rab i h a r m o n i ce q u a t i o ni n v o l v i n g c r i t i c a le x p o n e n t ，d i 氏r e n t 王a li n t e g r a le q u a t i o n s ，1 3 ( 2 0 0 0 ) ，9 2 l - 9 4 0 。 z d j a d l i ，e h e b e ya n dm l e d o u x ，p a n e i t z t y p eo p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n s ，d u k e m a t h j ，1 0 4 ( 2 0 0 0 ) ，1 2 9 1 6 9 【9 】z d j a d l i ，a m a l c h i o d ia n dm o u l da h m e d o u ，p r e s c r i b i n gaf o u r t ho r d e rc o n f o r m a l i n v a r i a n to nt h es t a n d a r ds p h e r e ，p a r ti ：ap e r t u r b a t i o nr e s u l t ，c o m m u n c o n t e m p m a t h ，4 ( 2 0 0 2 ) ，3 7 5 _ 4 0 8 【1 0 】d e d m u n d 8 ，d f b r t u n a 七oa n de j a n n e i ，c r i t i c me x p o n e t s ，c r i t i c a ld i h l e n s i o n sa n d t h eb i h a r m o n i co p e r a t o r ，a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l ，1 1 2 ( 1 9 9 0 ) ，2 6 9 - 2 8 9 【1 1 】v f e l l i ，e x i s t e c eo fc o n f o r m a lm e t r i c 8o ns w i t hp r e s c r i b e df o u r t h - o r d e ri n v a r i a n t ， a d v d i 髓r e n t i a l le q u a t i o n s ，7 ( 2 0 0 2 ) ，4 7 _ 7 6 【1 2 f g a z z o l a ，h c g r u n a ua n dm s q u a s s i n a ，e x i s t e n c ea n dn o n e ) 【i s t e n c er e s u l t sf o r c r i t i c a lg r o w 七hb i h 壮m o n i ce l l i p t i ce q u a t i o n s ，c a l c 、厂a r p a r t i a ld i 髓r e n t i a le q l l a t i o 瑚， 1 8 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 7 - 1 4 3 2 2 硕士学位论文 m a s r e r s 。r i e s i s 【1 3 】j h l l l s h o fa n dr v a nd e rv b r s t ，d i 髓r e n t i a ls y s t e m sw 托hs t r o n 9 1 yi n d e a n i t ev 缸i a t i o n a l s t r u c t u r e ，j f u n c t a a 1 ，1 1 4 ( 1 9 9 3 ) ，3 2 5 8 【1 4 】c l i n ，ac l a s s i 丘c a t i o no fs 0 1 u t i o n so fac o n f o r m a l l yi 】 w a r i a n tf o u r t ho r d e re q u a t i o ni n r ，c o r i u n e n t m a t h h e l v ，7 3 ( 1 9 9 8 ) ，2 0 6 2 3 1 【1 5 】 p p u c c ia n dj s e r r i n ，c r i t i c a le x p o n e n t sa n dc r i t i c a ld i m e n s i o 璐d rp o l y h 甜m o n i c o p e r a t o r s ，j m a 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