（基础数学专业论文）诱导理想和纯无限toeplitz代数.pdf

a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm yn l o s ts i n c e r et h a n k st om y g u p e r v i s o r s ，p i o f e s s o rx u q i n g x i a n gg i l dp r o f e s s o iy a n gy a - l i ，w h o s ep a t i e n c e ，g u i d a j r m e ，h e l pa n df r i e n d s h i p i n a d et h ec o m p l e t i o no ft h i st h e s i sp o s s i b l e i a l na l s o l i k et o g i v em yt h a n k st ot h em a t h e m a t i c sa n ds c i e n c e sc o l l e g eo f s h a n g h a in m m a j u n i v m s i t y ，w h e r eih a v es t u d i e da n dl i v e df o rt h r e ey e a r s iu n p a r t i c u l a f l yg r a t e f u l t ot h es t a f fo ft h em a t h e m a t i c sa n ds c i e n c e s c o l l e g ef o r t h e i r c o n s i s t e n th e l p m , ys p e c i a lt h a n k sa r ea l s od u e t op r o f e s s o rz e n gl i u c h u a na n dp r o f e s s o rz h e n g l i a nf o rt h e i re n c o u r a g e m e n ta n dh e l p 1 摘要 在过盘薛j b | 年孛，l ：多数学王律者铡磐 a 。n i c a i t ) ，氍，l a c a d l ，陶 r a e b u r b l 目等) 都埘定义存离敲样上的t o e p l i t z 代数作了深入而且广泛的研咒。本文的主要靖的是通过埘相 关t o e p l i t z 代数的诱导理想的刻划来研究t o e p l i t z 代数的纯无限性质。 零文共分五 ，。藏趣节分别给出了几个鬟安的基本概念( 拟播序群和可传定向囊 等) 醛及它 f _ l 再囊相关的鑫越。第三节鹃主要霹涟是聪t o e p l i t z 算子代数阔盎然的嗣 愈成为伊一代数网惫进行说明。其丰要任务是为刻划t o e p l i t z 代数丁g + 的诱姆理想奠定撼 础。对任意的拟格序群( g ，g + ) ，假设e 是g 的一个包含g + 子浆，那么我们可以彳导到两个牛 关鹣勤e p ! i t z 代数? + 霉 7 。定镄3 2 。l 绘出了叮辩矗+ ：? 啦+ 一+ 丁e 乍为9 4 一代数疑态弱充 分都必耍条件怒：存在g + 的w 传定向f 集日，使得e = g + h 。本节量酌定理33 1 遥 从弱一个角度绘出了个充分必监条件。设g 为一个离散群，e l ，e 2 是g 的两个子集， 满足蜀e 2 ，劳且e 恳，定理3 3 ，1 指出丁嬲与r 娩闻的自然间态7 如，马( 满足对任意 瓣9 g 。7 岛，嚣t 蹬，) = 皆) 威为c * - 代数窝杰静充分磐耍象静筵譬2 被墨毒隈镑交提爵。 第一、二、o 节是本文的基础部分，详细内容可以参考( 6 】、【2 7 1 。第鹳、五两节 是奉文的十耍绱粜部分。设( g ，g + ) 为拟格序群，n 表示g + 的所有非宁可传定向集全 体。嚣q ，n 科玻示由日生成的n 携闭乒不变予榘垒俸。口g + 掣d 。印 孽+ ? 囊l g & 楚彳 的一个交炊g 4 一子代数。a n i c a 霸i r a e b u m 等替辩t g + 鹣诱导理想避行过研究。 谯帮叫节中我们指出口o + 的理想五1 。可以表水为g + 一同态核k e r 7 a s ，g 十与伊+ 的交集形 式；从而得到了丁g + 的诱导理想斑j 。就是k e r q g s ，g + ( 定理4 ，2 1 ) 。第五节主要目的是研 究t o e p t i t z 代数瓣筑无疆瞧臻。没爨。表示q 中豹壤犬元垒髂( 羚8 + 熬投失熬霹终定翔集全 体) 。n o 。在q 中的闭包定义为n 的边界，鞋a n 。表示。本节将说明当8 n 0 0 n 时，如果对 任意r l y g + ，o y ，存在目g + ，满足 簪移啦零+ = 。 那么对任意h 疗n o 。，t o e p f i t z 4 峨t g ”都是纯光限的( 定理5 1 ) 。另外，n o a o o n 州，丁a + 不是简甲的。由此，尽管西n 。是丁g 十舶最大的诱导理想，但本节的命题5 1 迸将说 喇函髓。z i 是严+ 嬲最大理恕。 2 a b s t r a c t i nt h ep a s tt w e n t y y e a r s ，i b e p t i t z o p e r a t o md e f i n e do nd i s c r e t eg r o u p sh a v eb e e ni u v e s - t , i g a t e d 坶m a n ym a t h e m a t i c i a n ss u c h 獬a n i c a ，m l a c a ( 4 帅“，ir a e b n r n 5 1e t c t h em a i n o b i e c to i 。t h i sp a p e l 。i s ，b a s e do nc l a r i l y i n gt h ei n d u c e di d e a l s ；t os h o wt h a ts o m et o e p l i t z a l g e b r a $ t l l ep u r e l yi n f i n i t ep r o v i d e dt h a tac e r t a i nc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d t h i sp a p e ri so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y , i ns e c t i o n s1a n d2w ew i l lg i v es o m eb a s i c d e f i n i t i o n ss u c ha sq u a s i l a t t i c eo r d e r e dg r o u p s ，d i r e c t e da n dh e r e d i t a r ys e t sa n ds oo n 。t h e c o r r e s p o n d i n gp r o p o s i t i o n sw i l la tt h es a m et i m eb eg i v e nr e s p e c t i v e l y i ns e c t i o n3 ，t h e m a i n 鹅ki s 沁c a 垃和t h en a t u r a lm o r p h i s m sb e t w e e nt o e p l i t za l g e b r a s 。f o ra n yd i s c r e t e g i o u p g ，a n da n y s u b s e t eo f g ，w ec a l ld e f i n e a t o e p l i t z m g e b r a 丁8 g i v e n t w o s u b s e t s e l a n d 岛w i t he 1 上强，t h e r ei san a t u r a lm o r p h i s m 如，髓f r o mt e lt o 丁髓i n8 0 i n ec a 8 e s t h i sm o r p h i s mf a i l st ob eac + m o r p h i s m i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l t 垂s o m en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s 、u n d e rw h i c ht h en a t u r a lm o r p h i s mb e t w e e nt o e p h t z m g e b r a ae x i s t sa s a 伊一m o r p h i s m f i r s t ，l e t ( g ，g + ) b eaq u a s i l a t t i c eo r d e r e dg r o u p ，a n ds u p p o s eei sa s u b s e to fgs u c ht h a tg 十e ，w e 嘶i ls h o wt h a tt h en a t u r a lc + - m o r p h i s m7 e , g 4 序。m ? + t ot 岔e x i s t si fa n do n l yi fe = g + h ，w h e r e 辩i s 氆h e r e d i t a r ya n dd i r e c t e ds u b s e o ig + ( s e et h e o r e m3 2 1 ) n e x t ，i ns e c t i o n3 3 ，w ew i l la l s oe s t a b l i s ha n o t h e r n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s 抒o mad i f f e r e n ts i d e l e tgb ead i s c r e t eg r o u p e 1a n d 硒b e t 踟s u b s e t sw i t he i 蜀a n d8 e 2t h e nt h en a t u r a lm o r p h i s m 扬t e i ：丁局t e a s a t i s f y i n g 了画 霉) = 擘f o ra n yg g e x i s t s 黼a9 一m o r p h i s mi fa n do n l yi f 扬i s f i n i t e l yc o v a r i a n t l i f t e db y 露1 ( s e et h e o r e m3 3 1 ) t h es e c t i o n s4a n d5c o n t a i nt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e rt h em a i na i mo f s e c t i o n 4i s 如p r o v et h a tt h ei n t e r s e c t i o n so ft h ek e r n e l so ft h ec * - m o r p h i s m ss t u d i e d 弦s e c t i o n 3e q u a lt oa l li n d u c e di d e a l so f 丁吼，a n da sa na p p l i c a t i o n ，w ep r o v et h 贰t a + i s s i m p l e i f a n do i f l yi f7 c h ，g 十i si s o m o r p h i cf o ；a n yhen l e t ( g ：g + ) b eaq u a s i 1 a t t i c eo r d e r e d g r o u p t h ec o l l e c t i o no fa l ln o n e m p t yh e r e d i t a r ya n dd i r e c t e ds u b s e t so fg + w i l ib ed e a o t e d 留叠l e t 努炙a n d d e n o t eb y 蟊野t h ec l o s e do - i n 诘r i a n ts u b s e to fq g e n e r a t e db y 茸 萨十型c t o s p 窍+ 噶f geg + ) i s ac o m m u t a t i v e c * - s u b a l g e b r ao f 扣+ i nt h i ss e c r i o n 3 w l 、w i l ls h o wt h e t 五2 月= k e l ，1 g m g + n 静g + ，a n dt h u s 1 h = k e r l g h g + ( t h e o r e m4 2 1 ) 。l h el l l a i l la i mo fs e c t i o n5i st os t l l d yt h ep u r e l yi n f i n i t ep r o p e r t yo ft h ea s s o c i a t e dt o e p l i g z m g e b r a s t h em o t i v a t i o nc o l l i e sf r o mt h ef a c tt h a tt h ec u n t zo j g e b r a 瓯i s e z ( a c t l yp u r e l y i n f i n i t e ( 3 1 ，t h e o r e mv 46 ；p 1 4 7 ) w ew i l td e n o t e 姆如t h es e to fm a x i m a le l e m e n t so fq ( ie t h ec o l l e c t i o no fa l lm & x i m a l h m e d i t a r ya n dd i r e c t e ds u b s e t so fg + ) l e t 毋g 。b et h e c l o s m e 。fn i nn i f0 q 。qa n di o ra n yz ，掣瓯w i t h 弧t h e r ee x i s t sg s s u c ht h a t 嚼哆噶霉r = 0 t h e nw ew i l ls h o wt h a tt h et o e p l i t za l g e b r a 丁g - i sp u r e l yi n f i n i t e ( t h e o r e m5 1 ) t h er e v i s e o ft h i sp r o p e r 玲i s 越s o 惑勰i e da tt h ee n do ft a b 墨s e c t i o n 4 1 1 1 t r o d u c t i o n i nt h ep td e c a d e s 研v e a r s ，t o e p l i t za l g e b r a d rw i e n e r h o p fc + 一a l g e b r a so nv a r i o u s g e n e r a l i z e dh a r d ys p a c e sh a v eb e e n4s u b j e c to fi n t e n s es t u d y o n ew a yt os t u d yt h e s e a l g e b l a si su s i n gt h eg r o u p o i da p p r o a c h s 鼢1 1 7 1 ，f 1 9 la n d1 2 8 ) w h e nt h eu n d e r l y i n g g r o u pi sa b e t l a n t h et h e o r y 。ff o u r i e ra n a l y s i so na b e t i a ag r o u p sm a yb ea p p l i e d ，毪sw s h o w nb ym u r p h yi nh i ss e r i e so fw o r k s ( s e e 【8 1 ，f 1 8 1 ， 2 4 1 ) f o re x a m p l e ：a sa ne x t e n s i o no f t h ec l a s s i c mt o e p l i t z , a l g e b r aa s s o c i a t e dw i t ht h eo j r d e r e dg r o u p ( z ，z + ) ，m u r p h yc o n s t r u c t e d au n i v m s it o e p h t z a l g e b ! ar e l a t e dt oa na b e l i p a r t i a l l yo r d e r e dg f o u p 5 a n d p r o v e dt h a t t h i su n i v m s a lt o e p l i t za l g e b r ai se q u a lt ot h eu s u a lt o e p l i t za l g e b r aw h e nt h eu n d e r l y i n g a b e l i a ng r o u pi st o t a l l yo r d e r e d ( s e ei s l ) h o w e v e r ，t h e r e & r es o m ea b e f i a ng r o u p sw h i c h a i en o tp a r t i a l l yo r d e r e db u ta r ei n s t e a dq u a s i p a r t i a l l yo r d e r e d o n ew a yt od e s c r i b et h e a s s o c i a t e da l g e b r a si nt h el a t t e rc a s ei st oc o n s i d e rs u i t a b l eq u a s i - o r d e r e dg r o u p s c o n t a i n i n g t h e 目v e nq u a s i p r o t i e o r d e r e dg r o u p s ，a n d t ou s et h e i ra s s o c i a t e dt o e p l i t za l g e b r a s t h i s a p p r o a c h ：s u c c e s s f u l l yi n i t i a t e db yep a r ki nm ，h a s b e e n g e n e r a l i z e di n 【2 9 】t ot h ec s n eo f i t o l l a b e l i a nq u a s i p a r t i a l l yo r d e r e dg r o u p s 王珏t h en o n - a b e l i a na g u e 。o n em a ya l s oc o n s i d e r t o e p l i t za l g e b r a so nq u a s i l a t t i c eo r d e r e dg r o u p s t h e s et o e p l i t za l g e b r a sw e r e f i r s ts t u d i e d b yn i c ai n 【7 1 ，l a t e rl a c e r a e b u r n r e p h r a s e d t h e n ：a sc r o s s e dp r o d u c t so fa b e l i a nc + - a l g e b r a s b ys e m i g r o u p so fe n d o m o r p h i s m s ( s e ef 5 i ) t h em a i no b j e c to ft h i sp a p e ri st os t u d yi n d u c e di d e a l sa n dt h e p u r e l yi n f i n i t ep r o p e r t y o ft h ea s s o c i a t e dt o e p l i t za l g e b r a s l e tgb ead i s c r e t eg r o u pa n d 岛fg c ) b et h e u s u a lo r t h o n o r m a lb a s i st b r 护( g ) ，w h e r e 删：；t i f g = h 1 0 ，o t h e r w i s e w f b rg h gf o ra n yg 芭g ，au n i t a r yo p e r a t o r 嘶o n # 2 ( g ) i sd e f i n e db yu g ( a h ) 拳屯 f b rh g f o ra n ys u b s e teo fg ，t o td ( e ) h et h ec l o s e ds u b s p 8 】c eo f 垆( g ) g e n e r a t e d b y 南涉e ；t h ep r o j e c t i o nf r o m 轳f g ) o n t o9 2 ( e ) i sd e n o t e db yp 嚣t h e nw ec a l l d e f t n et h et o e p l i t za l g e b r aw i t hr e s p e c tt oe ，n a m e l yt h ec * - a l g e b r ag e n e r a t e db y 呼磐 5 p f “口p i 口 ? ) ，w h i c hw i l lb e d e n o t e db yt eg i v e nt w os u b s e t se 1a n de 2w i t he 1 量。晚 t h e l - ei san a t u r a lm o r p h i s m1 岛，量f r o m 丁甄t o 丁岛i ns o n i cc a s e s ，t h i sm o r p h i s mf m l st 。 b ea9 8 m o r p h i s m i ns e c t i o n3w ew i l le s t a b l i s hn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo fc * = m o r p h i s m sb e t w e e nt o e p l i t za l g e b r a so nd i s c r e t eg r o u p s f o ra n yq u a s i l a t t i c eo r d e r e dg r o u p ( g ，g + ) ，a n yd i r e c t e da n d h e r e d i t a r ys u b s e th o f g 。( ) l i ec a nd e f i n et w oa s s o c i a t e dt o e p l i t za l g e b r a st g + a n dt c i nt h e o r e m3 。2 1 ( e l ( i 1 7 1 ；t h e o r e m2 嘲w e w i l ls h o wt h a t * 。：t a _ 十t 置e x i s t sa sac 。一m o r p h i s mi fa n d o n l yi f t h e * 。ei s ad i r e c t e da n d h e r e d i t a r y s u b s e tho fg + s u c ht h a te = c + h i n a d d i t i o n ： w ee s t a b l i s ha n o t h e rn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fc m o r p h i s m s ： b a s e d 删；s c a l l e df i n i t e l yc o v a r i m t l i f tc o n d i t i o n 。l e tg b ead i s c r e t eg r o u p ，墨a n d 场b e t w os u b s e t sw i t he 1 e 2a n de e 2 t h e nt h en a t u r a lm o r p h i s m1 秘，髓：丁g l _ t e 2 s a t i s f y i n g 如，e 1 ( 华) = 铲f o ra n yg 毫g ， e x i s t sa sac * - m o r p h i s mi fa n do n l yi fe 2i s f i n i t e l yc o v a r i a n t - l i f t e db ye 1 ( t h e o r e m3 。3 、1 ( c f ( ( a o l ，t h e o r e m21 ) ) ) s e c t i m x s4a n d5c o n t a i nt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r l e tf g ，翁) b eaq u a s m a t t i c e o r d e r e dg r o u p ，t h ec o l l e c t i o no fa i ln o n e m p t yh e r e d i t a r ya n dd i r e c t e ds u b s e t so fg w i l lb e d e n o t e db yn l e th na n dd e n o t eb yn 盯t h ec l o s e d0 - i n v a r i a n ts u b s e to fn g e n e r a t e db y h 萨+ d o dc 1 0 3 p 雩+ 蠕lg q i s ac o m m u t a t i v ec * - s u b a l g e b r ao ft a + i ns e c t i o n 4 w e w i l ls h o w t h a t 珏嚣= 抒e q 妇，。o 妒+ ，a n d t h u s 函对= k e r 7 。, a + ( t h e o r e m 4 2 1 ) t h er o s i nm mo fs e c t i o n5i st os t u d yt h ep u r e l yi n f i n i t ep r o p e r t yo ft h ea s s o c i a t e dt o e p l i t z a i g e b r a s w ew i l ld e n o t eb yn t h e s e to fm a x i m a le l e m e n t so fq ( i e t h ec o l l e c t i o no fa l l m a x i m a lh e r e d i t a r ya n dd i r e c t e ds u b s e t so f ( ；。l e ta 喀b et h ec l o s u r eo fq 。遮建。i f 0 n na n d f o ra n y 譬，y g + w i t hx 弘t h e r ee x i s t sg g + s u c h t h a t 辱哆啦霉+ = 0 t h e nw ew i l ls h o w t h a tt h et o e p l i t za l g e b r az 。8i sp u r e l yi n f i n i t e ( t h e o r e m5 1 t h er e v i s e o rt h i sp r o p e r t yi sa l s os t u d i e d 采t h ee n do f 曲蠡s e e t i a n t h i sp a p e ii s o r g a n i z e di n t h ef o l l o w i n gw a yi ns e c t i o n s1a n d2w ew i l lg i v es o m e b a s i cd e f i n i t i o n ss u c h q u a s m a t t i e eo r d e r e dg r o u p s d i r e c t e da n dh e r e d i t a r ys e t sa n ds o o i l t h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e sw i l l a tt h es & i n et i m eb eg i v e nr e s p e c t i v e l y i ns e c t i o n3 w ef i l s tg i t h ep r e c i s ed e f i n i t i o no ft o e p l i t za l g e b r a s n e x tw ew i l le s t a b l i s hn e c e s s a r ya n d 6 m 1 佑c i c n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fc e r t a i nn a t u r a lm o r p h i s m sb e t w e e nt o e p l i t za l g e b r a s o i ld i s c le t eg r o u p sf r o mt w od i f f e r e n ts i d e s ( s e et h e o r e m s3 21a n d3 3 1 ) s e c t i o n1t h r o u g h s e c t i o n3l 掣t h et b u n d a t i o nf o ru st os t u d yi n d u c e di d e a l sa n dp u r e l yi n f i n i t | et o e p l i t z a n m 躺s e c t i o n s4a n d5a l e t h em a i np a r to ft h i sp a p e ri ns e c t i o n4 t h ei m p o r t a n t c o n n e c t i o nb e t w e e n 一i n r i a n ti d e a l s ，0 - i n w a r i a n ts u b s e t s ，i n d u e e di d e a l sw i l lb ee s t a b l i s h e d a l t md o i n gt h a t w e t lg e to u rm 越nr e s u l to ft h i ss e c t i o n ( t h e o r e m4 21 ) i ns e c t i o n5w e s t u d yt h ep u r e l yi n f i n i t es i m n ep r o p e a 婶o ft o e p l i t za l g e b r a s b yc l a r i f y i n gt h ei n d u c e d i d e m so ft h ea s s o c i a t e dt o e p l i t za l g e b r a s t h e o r e m42 ，1 ) ，w ew i l ls h o wt h a tt h e ya r ep u r e l y i n f i n i t ep l t o v i d e dt h a tac e r t a i nc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ( s e et h e o r e m5 1 ) 7 1 q u a s i l a t t i c eo r d e r e dg r o u p s 1 1 1t h i ss e c t i o n w ew i l lr e c m ls o n i cd e f i a r i o n sa n d p r o p e r t i e sa b o u tq u a s i l a t t i c em d e r e d g r o u p s t h ef a c t sd e s c r i b e di nt h i ss e d t i o nw i l ib u s e dt h r o u g h o u tt h i sp a p e r l e tgh ead i s c r e t e9 1 、0 1 l p ： g + as e m i g r o u po fg s u c ht h a tc + n g ；1 芦f e ) w h e r ee i st h eu n i te l e u l e n to fg ，g i = n 一1i n g + d ra n y 。，掣g l d e f i n i t ez yi f a n do n y 疆： 一5 警c ，t h e n 兰”i s 鑫p a r t i a l o r d e r o ns i nf a c t ， 嚣曼茁s i n c ee g + ， i f g s 帮a n dy 曼。，t h e n5 c - l z = ( # 一坊国一1 2 ) g 斗c + = 0 + ，s o 。墨= ；m a d i f g ：y 分曼搿，t h e nb y d e f i n i t i o n ，x - 1 聱薛+ n g ；1 = f 牡 ，t h u sz = 封 p r o p o s i t i o n1 1 。l e tg b e d i s c r e t eg r o u p , g a s e m i g r o u po fg t h e nt h ef o l l o w i n g f = 。u e h l s i o n $ h a i d ： ， ( 1 ) 搿；= 劣曼z y ，vz ，哥，罩( ， 、 ( 2 ) g 十一g ：1 = g i j 8 十，$ y p r o o f ( 1 ) s u p p o s et h a t 甚兰热t h e n f o r a n y = 攮8 ，f 嚣$ ) 一1 ( z y 描2 ：- - 霉一1 羁f = x - ：t y g + ，t h e r e f o t 霹z zs 善秽 ( 2 ) f o r t h eo n e h a n d i t z = y z f o rs o m e y ，z g + ，t h e nx - l y 黼( z y 一1 ) = 2 g + ， s o 。s 鲈 i tf b u o w st h a tg + g ；1 劣g i 3 y 0 + ，嚣y 。o n t h eo t h e rh a n d ， g i v e n3 ：曼辩岛，t h e ny - t 馨) 葺1 t h e r e f o r e 嚣= 掣- 鼙一1 冀) ( 鼍g ；1 舞 d e f i n i t i o n1 i l e t8b ead i s c r e t eg r o u p ，g + a s e m i g r o u po fg ap a i r ( g ，g 十) i s a t dt ob eaq u a s i t a t t i c eo r d e r e dg r o u pi fv 吼，筇2 ， ，聋gw i t hae o n l n l o nu p p e rb o u n d 弧g + ：t h e nt h e ym u s th a v e al e a s tu p p e rb o u n di ng + 。 i t i s e a s y t o s h o w t h a t g ，g i s a q u a s i - i a t t a c e o r d e r e d g r o u p i f a n d o 躲每i f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n sg l ? es a t i s f i e d ： ( 1 )v 譬g + - g ：1 ，h a s a l e a s tu p p e 等b o u n d i n 盛 1 2 v 髫 筝o + ，王f t h e y h a v e 勰u p p e r b m m d i n ( 强，t h e n t h e y m u s th a v e 3 强舔 u p p e r b o u n d i nc 。 l e t ( g g + b e8 q a a m i d a t t i e eo r d e r e dg r o u p f o r 靴垮2 ：1 ，芏2 ，一；赫lg s ，i f t h e yh a v e 箍l e a s tu p p e rb o u n di ng 牛，t h e n 张d e n o t et h e kt e a s e ：u p p e rb o u n d 谤疗缸! ，耋2 ，孙j c l e m l yl t 一c + g ：1w h e nj g + - 8 ：1m o r e o v e r ，w eh a v et h ef o l l o w i n gp r o p e r t y ： r p r o p o s i t i o n1 2 。l e t ( g ，g + ) b eaq u a s i l a t r i c eo r d e r e dg r o u pa n dz g +g ：1 l e ，tr ( w 1 2 , - 1 口( z ) t i l e n o ( z1 ) = r ( 茹) a n dt h e r e f o r e 。= 口( z ) t ( 茹) 1 ) l o o f ( z 一1 ) 一1 r 霉) 嚣譬x - 1 f ( z ) 尝黟( 。) g + ，文j 嚣一1 f f 。；m l dt h u s 盯( 。1 ) r ( 。) c o n v e r s e l y 、1 e p l a c i n gzb yz ，b y t h ef o r u t e rn a ：l - a t i o l jw ek n o wt h a t 口( 茹) f 江- i ) t h e n r ( c ) = z 叫口( m ) 2 ；- 2 r ( 一1 ) ；x - 1 2 ；a ( x 1 ) = o ( z 1 ) 口 t t t en o t a t i o nzv y i sa l s ou s e df t h el e a s tc o n l u l o nu p p e rb o u n do fza n d ，w i t ht h e e o i l v e l l t i o a v 努= w h e nt h e yh a v en oe o a l m o nu p p e rb o u n di ng + p r o p o s i t i o n1 3 l e tg b ead i s c r e t eg r o u p ， ( g ，g + ) b eaq u a s i l a t t i c eo r d e r e d g i o u p t h e nt h ef o l l o w i n