（工程力学专业论文）微型光开关的动静态响应特性分析.pdf

a d i s s e r t a t i o n s u b m i tt e d i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f ma s t e r i n e n g i n e e r i n g t h e s t a t i c 一 d y n a m i c r e s p o n s e a n a l y s i s o f m i c r o f i b e r o p t i c a sw lt c h ms . d. ca n d i d a t e : ma j o r s u p e r v i s o r l i u s h i l o n g e n g i n e e r i n g me c h a n i c s : p r o f c h e n g h u a z h o n g u n i v e r s i t y o f s c i e n c e 日 本通产省1 9 9 1 年开始启动一 项为期1 0 年耗资2 5 0 亿日 元的微机械研究计划:欧共体国家在尤里卡计划中将微机 械作为 个重要的 研究内 容， 并 在法、 德两国组织实 施。 在我国， 微机械的 研究也逐 渐得到重视，国家科委、国防科工委、国家自 然科学基金委等部门 将其列为重点发展 项目 (2 1微光机电系统( m o e m s ) 是 将微光学器件集成到m e m s 中， 现已 成为m e m s 研究领域中的一个重要方向。目 前， mo e ms 技术己 经广泛应用于国防、航天航空、 通讯、交通、医学，甚至已经渗入了每一个家庭。 mo e ms 的应用领域主要可分为三 个部分:( 1 )利用 me ms 结构对光束进行操作，( 2 )通过me ms 装置进行光传感， ( 3 ) 利用光能对m e ms 结构进行物理操作。 虽然目 前微光学元件与其它元件 ( 如微 惯性测量仪、微流体元件、和压力测量元件等)相比，在 m e ms产业中 所占市场份 额还很小， 但是它的增长率却是最快的。 可以认为mo e ms 是继微电子技术之后的又 一 次产业革命和技术革命，它的发展将会对 2 1 世纪的科学技术、生产方式和人类生 活方式产生极其深远的影响。 1 . 3 光开关应用及研制的必要性 光开关是一种可对光传输线路或集成光路中的光信号进行相互转换或逻辑操作 的器件，它具有一个或多个可选择的传输端口。光开关的分类根据其有无可动部件， 可分为 机 械式 和非 机械式两大 类 m 。 机械式光开关具 有可 动的 机械部 件， 主要 靠移动 光纤或光学元件， 使光路发生改变。 机械式光开关的优点是插入损耗较低， 一般不大 于2 d b ; 隔离度高， 一般大于4 5 d b ; 不受偏振和波长的影响。 它的不足之处是: 开关 时间较长，一般为毫秒数量级， 有的还存在回跳抖动和重复性较差的问题。 机械式光 开关还可以细分为移动光纤、移动套管、 移动准直器、 移动反光镜、 移动棱镜、移动 偶合器等多种。 根据光开关对光的作用原理， 还可以分为波导型和自由空间型等. 波导型中也可 分为具有可动部件的机械式和没有可动部件的两种类型。 非机械式波导型光开关是利 用 一 些材料的电光、 磁光、声光和热光等物理效应来改变波导折射率， 使光路发生改 变， 一般都是采用波导结构制成。 非机械式波导型微型光开关与机械式光开关相比能 获得快的开关速度、结构紧凑、 便于实现集成等优点。一些利用量子阱原理研制的波 导开 关具有极高的开关 速度， 可以 达到1 0 - 1 2 秒级， 利 用微电 子工艺可以 实 现高 密度集 成和光电 集成， 非常适合应用于未来的集成高速光交换和光电子交换系统中， 所以它 是近年来非常热门的研究课题。波导型微光开关的不足之处是插入损耗和功耗都较 大，因此大规模光开关阵列的设计受到一定的限制， 而且一般都是平面结构， 设计自 由度较小。对波长非常敏感，并且隔离度低，只有2 0 d b左右。热光型的光开关功率 消耗大，电光型的光开关对极化非常敏感。根据光开关的传输端口 数可分为 1 x1 , 1 x2 , 1 xn , 2 x 2 , 2 x n , mx n等多利 ， 。 根据不同原理或机理作用的光开关具有不同的性能，它们分别应用在不同的场 合，如可应川于光纤通信系统、光纤网络系统、光纤测量系统或仪器以及光纤传感系 统和光学信息处理系统中， 起到开关切换作用。随着信息的大爆炸， 超高速、宽带的 全光网络 ( a o n ) 通信技术的发展己 经成为世界各国通信业发展的焦点。 全光网络的 建成，是光纤通信业的一个重要突破口，光交换技术是实现全光网络重要的一 步 ， 而 高速、 大规模阵列式的光开关是光空分交换技术中必不可少的核心器件， 普遍的观点 认为， 光空分交换技术与光波分交换技术相结合是构造未来全光网络的基础， 在将来 光纤直达用户的大容量光纤通信网中有着重要的地位。 因为光纤直达用户的通信难以 窃听， 故在国防专用通信中更有不可替代的地位。 光开关的应用可以克服目 前电交换 技术中存在的越来越严重的电子“ 瓶颈” 问题， 是目 前最可能实现实用化的关键技术， 构建全光网络包括重构插入/ 分接节点和光的交叉链接 ( o x c ) ， 这些都需要超高速大 规模的光开关阵列。 日 前， 光纤通信系统和在光纤通信基础上发展起来的光纤传感技术是微型光开关 的两个重要应用领域， 它主要用于光纤通信中的光交换系统和主备系统中，以及光纤 测试技术和光学信息处理中。 光开关除了 用于光通信以 外， 还可以用于光学测量系统 和光信息处理系统中，实现光路的切换和转换以及光学扫描等，如nx1 的光开关可 以作为光纤传感系统的多路采样器。 因为光开关被使用的广泛性， 要求其具有性能高、 小型、价廉等特性， 传统的光 开关一 般都采用可以 移动的棱镜、 透镜、 反射镜等光学元件组成光学系统来实现光路 开关功能，这种开关一般都存在着机械电气结构复杂、插入损耗大、开关时间长、外 型体积大、高精度调整困难、功率消耗大、制作成本高等缺点。而利用 m e ms工艺 制作的微光开关正能克服传统光开关的以上缺点， 其研究得到了 各国的重视，国外对 me ms 微光开关的研究己经有6 到 7 年的历史，其中日本 n t t和美国的b e l l 实验室 在 m e ms微型光开关方面研究得最多。我国在这方面的研究， 特别是自由空问微镜 型微光开关方面的研究几乎是空白。 随着光通信技术的发展， 网络带宽的扩大， me ms 光通信器件产业势必具有十分 重要的 研究价值和广阔的应用前景。因此应尽早开展对m o e ms 光开关的研究工作。 1 . 4 本论文主要工作 本论文对运用微光机电 ( m o e m s ) 技术制备的一种新型微光开关进行工作特性分 析及有限元仿真。主要工作包括: 1 )分析薄膜淀积工艺中残余应力产生机制，通过了解制备工艺参数特性和薄膜 形成过程的微观结构模型， 得到应力产生机理的明确解释。 针对光开关中的主要结构 部件一悬臂层合板结构建立了计算其中应力分布的等效模型， 得出厚度方向应力分布 的变化值. 2 )分析光开关中悬臂微梁的结构特点，建立悬臂矩形板横向弯曲大变形计算模 型。 得出模型横向弯曲和自由振动的平衡方程。建立能描述层合板结构特征和残余应 力分布的层合板单元， 运用有限元方法求得悬臂微梁静态挠度随残余应力及结构参数 的变化规律，求解出微梁自由 振动固有频率和相应振型模态。 3 )根据光开关工作特性，考虑残余应力的影响和静电力的作用特点，对悬臂微 梁进行静电场一结构的祸合分析。由于静电一结构祸合场的非线性特性， 使用多次迭 代法求得系统的收敛解。 计算得出了光开关工作时的开关电压， 切换过程的稳定时间 等工作参数。 2 悬臂微梁的残余应力分析 光开关中的悬臂微梁在制作工艺中，通过控制工艺参数使结构中产生残余应力， 并使得悬臂微梁产生预弯曲 变形。 光开关工作时， 在微梁与底板间施加静电压， 产生 静电力将微梁吸附到底板上; 撤去静电压， 微梁重又弯曲 翘起。 微梁上的光反射镜也 随微梁的形态改变而实现上下运动， 从而对光信号实施切换操作。 残余应力是影响淀 积薄膜层热应力循环次数、 疲劳裂纹扩展及键合失效等表现的重要因素。了解微梁中 残余应力的产生、 分布及对结构形态的影响， 对制造出合格的产品是至关重要的。本 章在分析结构制作工艺的基础上，获得这方面的相关内容。 2 . 1 微型光开关的结构设计 光纤定位槽出射光纤1 下电极 入对先纤1 图2 . 1 微型 光开关结构示意图 i l i 图2 .2 复合悬臂微梁结构图 光开关由 悬臂微梁、 微镜、 底板等组成。其中悬臂微梁有一部分为薄膜一基底复 合结构 ( 见图2 . 2 ) ，残余应力分布在复合结构中并使其弯曲。从图2 . 1 中可以看到， 悬臂微梁上下运动， 改变微梁端部微镜的空问位置， 可实现两组输入输出光纤光路间 的切换。当微梁翘起时，入射光纤 1 中光线将从微梁下部穿过，传入出 射光纤2 中; 入射光纤2 中光线也将相应传入出射光纤2 中。当微梁向下运动，与 底板接触并达到 稳定状态后， 微镜正好处于光纤通路的中间位置，此时入射光纤 1 中射出的光线将被 微镜反射而进入出射光纤2 中， 入射光纤2 中射出的光线也由微镜面反射进入出 射光 纤1 中。 控制悬臂微梁的上下运动，即可实现对光路的切换。 微光开关器件本身特征 尺寸在微米量级，使得静电力能够对结构产生有效的驱动力。微光开关制作工艺中， 底板上覆有一层薄二氧化硅层作为绝缘层。 微梁与底板间加静电 压， 微梁由于受到静 电力作用将克服薄膜层中残余应力产生的弯矩作用而向下运动。 由于静电力大小与 两 带电 物体间距离的平方成反比， 所以在微梁向底板运动过程中， 两者间距离不断改变， 使得静电 力大小也随之变化。 如静电 压达到某一量值时， 悬臂微梁被完全吸附到底板 上与底板上绝缘层接触而变成平板， 上下电 极间仅相隔一很薄的二氧化硅绝缘层。 此 时保持静电压不变， 则微梁将处于一稳定状态， 并保证对光路操作的可靠性。 将微梁 完全吸附下来的最小静电压称为阀 值电压。当电压小于阀值电压时， 悬臂微梁将不能 被完全吸附在底板上， 而是最终保持在某一平衡位置，即偏离原位置向下， 但仍保持 一定的翘起变形量。当需要微梁再次翘起时， 可撤去静电压， 此时由于薄膜层中的残 余应力产生的弯矩作用， 微梁将从底板上翘起并回复初始变形位置。由于薄膜层中残 余应力在微梁运动时已 预先存在， 因此在进行微梁动静态分析时都应考虑残余应力的 影响。 2 . 2 光开关制作工艺 目 前，世界范围内制作微机械的方法主要有三种:美国等国家采用与集成电路 ( i c ) 工艺兼容的体硅加工和表面加工等方法制作微结构;日 本采用传统的逐级缩小 方法， 即先用大机器做出小机器， 再用小机器加工出微机器: 德国开发出电铸模技术， 也称为l i ( i a工艺， 其主要方法是先使用软x射线光刻图形， 然后使用离子电 镀技术 形成电铸模，冉用生成的模具铸造生成微机械。l i g a 工艺优点是可得到大深宽比的 微结构，但由于软x 射线源极其昂贵，因此限制了该工艺的推广。目前m e m s 制作 1 二艺大多采川与i ct 艺兼容的方法，这样可充分利用现有的i c 工艺技术，同时也使 m e m s 技术发展有较好的基础。 本论文中讨论的m e m s 光开关加工工艺采用与传统的i c 工艺相兼容的表面硅微 加工方法。先在硅基板上利用原位氧化工艺制成二氧化硅绝缘层，光刻图形形成电极 接触块后淀积牺牲层材料，通常为p s g 磷硅玻璃，光刻牺牲层图形后再淀积p o l y s i l i c o n 多晶硅基底和 当应力方向与晶 面垂直时， 晶面间距最大。因此， 只要测出不同方向上同族晶面的间距， 根据弹性力学原 理就可计算出残余应力的大小。 用x 射线法对pvd 法制备的薄膜中残余应力的研究 表明 ， 薄膜中存在着三种类型的晶格变形:第一种是薄膜与基底的热错配引 起的宏观 应变， 它会使衍射线向某方向 位移。第二种是位错、点缺陷等引起的微观应变， 它会造 成衍射线的漫散宽化。 第三种是不同晶粒间存在的各向异性产生的微观应变， 它会造成 衍射线的 位移与宽化。x 射线衍射法测量残余应力中最常用的方法是s i n 2 w 法. 由 于x 射线衍射法残余应力的 测定， 只需材料为结晶态， 因此可检测的材料范围比 基底曲 率法要广泛得多。 2 . 4 残余应力的分布 2 .4 . 1 内 应力分布 为分析结构中残余应力的影响，可建立如下的模型进行分析。 图2 .5 复合结构在内 应力作用下弯曲 变形图 取y方 向 宽 度 为w , 薄 膜 层 厚 度 和 材 料 弹 性 模 量 分 别 为 ， ， 马， 基 底 层 厚 度 和 材料弹性模量分别为t ， , e ,两种材料泊松比 均为v 薄膜层内 应力为u in ， 则 薄膜层 中相应的失配应变为: 一 o , l e f( 2 - 1 1 ) 由于薄膜一基底的厚度远小于其横向几何尺寸，可认为薄膜和基底中应力没有沿 厚度方向 梯度变化。 薄膜与基底层中 作用 有大小相 等、 方向 相反的 一对 平衡力f , ， 并 满足下式2 4 1 . : ， = o f + : : = ( f , / t 声， w ) + ( f , / t , e , )( 2 - 1 2 ) 由上式得出: f 、 =，。 w e : r ， t ， / ( e ， t ， +e f t f )( 2 - 1 3 ) 由 图 示月的 作 用 方向 可 看出 ， 薄 膜 层中 受 到 拉 应 力 作 用， 应 力 大 小 为fi t f w， 基底层中受到压应力 作用， 应力大小为f / 1 , w。 这一对大小相等、 方向 相反的力将 产生一弯矩: m一 2 f , 1 ( t , +i f )( 2 - 1 4 ) 当 薄膜一 基底组成的复 合结构在弯矩m 作用下弯曲 时， 其中 性线位于基底内， 且距离界面的距离为2 3 1 . d ， = ( ， 早 e ， 一 ， 厂 : :) / 2 ( t , e , + t , e , ) z坐标值为负。 ( 2 - 1 5 ) d ， 为 负 值 代 表 其 位 置 在 基 底 层内 复合结构的 等效抗弯刚度为2 4 ,2 5 ) . e ， = 、 1 - 成“ ( z “ =e ， w ， ( ， / 3 一 ， ， d ， + d l 2 ) + : ， w ， ， ( ， ， 门+ t s d , + d 。 ) ( 2 - 1 6 ) 由 弯 矩m . 引 起的 结 构曲 率改 变 为: x ! 一k a =m! / e , =( t , +t , ) f , / 2 e ! ( 2 - 1 7 ) 将内应力初始分布与结构弯曲引起的应力变化叠加，得到结构截面中的应力分 布。考虑双向应力的影响，有效弹性模量应为: e =e / 1 一u( i = f , s )( 2 - 1 8 ) 薄膜层应力为: “ ， : 一 。 =f , / w ， + ， 1: 一 r , = f , / w t f - e, ( rc 】 一x 。 ) d ,/ ( i 一 。 ) 一 d , ) / ( i 一 u ) ( 2 - 1 9 ) e j ( x : 一 x u ) ( t r ( 2 - 2 0 ) 基底层底部和界面处的应力分别为: 。 : i: 二 一 ， 一二 、 / w t, + e , ( x ， 一 x o ) ( t s + d , ) / ( 1 一 ” ) (2 -2 1 ) 。 。 i= _ o = 一 f , / w t : 十 : : ( 二 ， 一 x o ) d , / ( l 一 ” )(2 - 2 2 ) 2 .4 . 2 热 应力 分布 热应力是由于结构从加工温度冷却至室温后， 薄膜一基底材料热膨胀系数不同造 成的应力分布. 材料的各项物理特性通常是随温度而变化的， 这使得热应力的计算具 有非线性. 同时应力分布受冷却环境及冷却速率的影响。 此处考虑线性的热应力分布， 非线性的瞬态热应力分布可使用有限元计算进行。 当 薄膜层材料热膨胀系数大于基底层材料热膨胀系数时， 在变温o t 时产生的热失 配应变为: =( a f一a ， ) r 热失 配应变使薄 膜和基底 层中 产生一 对大小 相等、 方向 相反的力f , ( 2 - 2 3 ) 可根据下式 求出: f , 一 “ t f t , e f e ， i ( e f t f +e , t , ) ( 2 - 2 4 ) 作用在薄膜和基底中 的一 对平 衡力f , 产生 弯矩: m, =f , ( t f +t : ) / 2 ( 2 - 2 5 ) 此弯矩使复合结构产生曲率改变 x, 一7c i ，m : / e ( 2 - 2 6 ) 薄膜层中热应力分布: 。 ， 1- 1, = f , / * ， 一 e f ( k 2 一 、 mt f + d , ) / ( 1 一 。 ) ( 2 - 2 7 ) v f f: 二 。 =f , / w t f +e , ( 1c : 一 二 、 ) d , / ( i 一 u ) ( 2 - 2 8 ) . s u b s tr a te 、 f i i . i s u bs tr a t e 户之忿二二二二二于二 犷 二 犷 二 一 二f2fjz 一一 ，尸、 图2 . 6 复合微梁因热应力作用弯曲变形图，图中虚线为弯曲变形中线 基底层中热应力分布: 6 s iz = o = - f 2 / w t, + e f ( x 2 一 、 ,) d , / ( 1 一 u ) 6 s 1, 。 二 一 f 2 / w t, + e f ( rc 2 一 x ts + d ,) / ( 1 一 v ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 此 处气为 薄 膜 淀 积 后， 冷 却 前结 构曲 率， 性为 冷却 至室 温后结 构曲 率， d , ， e , 分别由 ( 2 - 1 5 ) ,( 2 - 1 6 ) 求得。 在力人作用的 基础上， 叠加以曲 率改 变产生的附加应力， 即得出 热应力分布。以拉应力为正。 将内 应力与 热应力表达式( 2 - 1 8 ) - ( 2 - 2 1 ) 和( 2 - 2 6 卜 ( 2 - 2 9 ) 叠加， 得最终的 残余应力 分布。 口 川: * ， =f i w t ， 一 e f ( k ; 一 、 。 ) ( ， 一 d , ) i ( 1 一 。 ) + f / w tf 一 e f ( 一 x , ) ( t f + d ,) i ( 1 一 u ) ( 2 - 3 1 ) 口f : 一 。 =f , 1 w t f + e f ( k 。 一 、 o ) d , / ( 1 一 u ) + f , / 、 ， ， + e f ( 2c : 一 、 ) d , / ( 1 一 u ) 一 f , 1 w t , + e , ( 、 一x , ) d , a1 一 u ) - f 2 / w t , + e f ( k 2 一 、 , ) d , l ( 1 一 。 ) 一 f / w t , + e , ( x : 一 、 。 ) ( ， : + d , ) i ( 1 一 u ) 一 f 2 / 、 : + e f ( k 2 一 、 me, + d , ) l ( 1 一 。 ) ( 2 - 3 2 ) 口: : 二 0 = ， : 1_ - - , = ( 2 - 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) 3 悬臂矩形板的平衡方程 本章根据光开关悬臂微梁的结构形式，建立悬臂矩形薄板的计算模型。在前两节 ， ， 给出基于 k i r c h h o ff假设弹性悬臂薄板弯曲和振动的基本平衡力 一程，根据悬臂板的 边界条件，给出了 近似方法求解的薄板挠度函数和应力函数。 3 . 1 弹性薄板弯曲平衡方程 定义板的 厚度为h ，板平面最小 几何尺寸为l , h l l _ 0 . 1 的 板称为薄板。 弹性薄板弯 曲 变形时，如不考虑剪切变形的影响，可建立基于 k i r c h h o ff假设的薄板平衡方程。 定义薄板内距离两表面等距的一平面为中位面， k i r c h h o ff假设表述如下: 1 ) 垂直于平板中位面的法向 应力可略去不计。 2 ) 变形前垂直于平板中 位面的 任一 直线素， 在 变形后仍为一直线， 且在中曲 面的 法线方向内。 由 第一个假设可认为板的受力状态为平面问 题，因此可适用平面应力状态下的应 变与 应力关系。由第二个假设非中面点的位移、 应变值在厚度方向线性变化。 薄板变 形时中位面内各点在垂直于中面方向的位移，成为挠度。定义挠度值为 w , 当w f h 1 时，薄板变形为小挠度弯曲问 题，有如下假设: 3 ) 薄板中面内没有伸缩或剪切变形。 以薄板的中位面为x - y平面， z方向向下为正。 为列出薄板弯曲的平衡控制方程， 先给出应力和内力分量的定义。薄板小挠度变形时应力分量: 口 r = 一 e z 1一 u x az w + 产 瓦 万 ( 3 - 1 ) e z 口 y= 刁x w a a j万 ( 3 - 2 ) 公x 夕 ez a， w 1+尸 a x a y ( 3 - 3 ) 上述三个应力分量为薄板小挠度弯曲问题中的主要应力分量， 根据中面无应力假 设和直法线假设求得。 从表达式中可看出这三个应力沿板的厚度方向 直线分布， 且最 大应力在板的上下表面，即z坐标绝对值最大处。由三向 应力状态的平衡微分方程: a r : 二=_a 口， _。 r ， a :a x a y ( 3 - a ) 二 二止之 - = az a口， ay xy ax ( 3 - 5 ) 将式( 3 - 1 ) ( 3 - 3 ) 代入上式，可得剪切应力的表达式 公 ， ， e tz z ( 1 一u )- ( 3 - 6 ) r苦 夕 = 2 ( ， 宜 、 z ) ( 普 ) a va x 普 ) a va y 、 ( 3 - 7 ) 式中 _ ， 日 z日 x v“=， 尸 气 :+创 吧 -: . a x a y ( 3 - 8 ) 称为l a p la ce算子。由 上两式可 见剪应力 沿厚 度方向 按 抛物线变化。 应力 最大处 在中位面上。 为建立薄板内力边界条件的合理表述，定义薄板的内力表达式如图3 . 1所示。 内力分量由薄板单位长度内 应力分量沿厚度积分得到，内力分量表达式为: 、 二 = f h12. c ,z* 一 ” 口 2 w日 2 w z - , +产二 - 丁 o x 一o y- ( 3 - 9 ) “ 一 f(/xj-n/2 zq ydz = 一 ” a 2 wa 2 w 二- 犷+产. : ， r 即 -口 义 - ( 3 - 1 0 ) m ， = ( h /!- /几 : : 。 * = 一，、a x w 一 口气 1 一a) : 一 二 厂 一 dxd y ( 3 - 1 1 ) m ， ， =m 二 ，=一 d( 1 、日 2 w 产， 二一 一 二 一 一 一oxay ( 3 - 1 2 ) 。 ， 一 f h r、 22 r xz d- n rz : 二 一 d a v 2 wa x ( 3 - 1 3 ) r r 2_a _ ， v=t r. _ dz 二 一 uv 一w 一i一 n r z a y ( 3 - 1 4 ) 式中 d 二( 3 - 1 5 ) u是泊松比，e是弹性模量。 弹性薄板的弯曲 平衡方程， 可用取微分块进行静力平衡分析得到， 由薄板弯曲变形的最小位能原理求得。其最终形式可写为: dv0 w = 9 也可用变分法， ( 3 - 1 6 ) 、厂一 y 一小 z q少 柳 q x m x 十 ( a m x l a x ) - d x m x j 9 y mx a t ri ， 十 ( a灼声 l a x ) - d x q x + ( a q x l a x ) . d x 八m y + (m y i ay) - dy m y x 十 ( a m y x l a y ) - d y q y 十 ( a q y l a y ) - d y 图3 . 1 矩形薄板内力定义分布图 当 考虑薄板大挠度变形时， 需放弃小挠度变形时的假设( 3 ) 。 此时中面内各点将有 平行于x 一 面的位移分量u, v，同时引起相应的中面应变 a u ax ( 3 - 1 7 ) a v ay ( 3 - 1 8 ) ( 3 - 1 9 ) 如一即 。-+、 少y 八 和内 力从， 戈， 弋等 。 薄 板 大 挠 度 变 形 时 平 衡 方 程由v o n - k a r m a n 首 先 导 出 : 一a a z w 。 、. a z w a z w 。 a z w。 、 、_ 上jvw = 二气尸二尸写 十 二， 气 厂二一 下 一一 二-二 . 一二一丁- 下 y o x 一o y 一 a y 一o x 一o x o y o x o y / ( 3 - 2 0 ) _ ，_ ( 。 ， 、 。 ， 、。 ， * 1 v w=七日 : ， 二 二 -一下 一7二 - 花 i l o x o y / o x o y ( 3 - 2 1 ) 式 中 必 为 应 力 函 数 ， 后 一 式 为 中 面 内 力 和 挠 度 应 满 足 的 相 容 方 程 . 从， n , 不 =0 ( 3 - 3 8 ) a w a x3 a3 w 一 尸j犷 ox口y 二 0 ( 3 - 3 9 ) x 二 0 固定边界上 ( 3 - 4 0 ) ( 3 - 4 1 ) x = b , y = 士 a 1 2 自 由角点上， 有 ( 3 - 4 2 ) 对悬臂板大挠度弯曲，与应力函数对应的纵向边界条件为 y 二 士 a / 2 自 由 边 界: a 2 ax 二 0 ( 3 - 4 3 ) a 二 ip= 0 a xa y ( 3 - 4 4 ) x = b自 由 边界 和x = o固 定 边界上均有 a 2 v a y2 =0 ( 3 - 4 5 ) 0 二 v 二。 a xa y 如按照第二章中分析结果，结构中残余应力分布可等效为弯矩作用 ( 3 - 4 6 ) 即层合板受 面内 双向 弯 矩m , = m ， 作 用， 则 边 界 条 件 改 为 : y = 士 a / 2 自 由 边界上 日2 wa2 w a y 2 + 尸a x 2 m y ( 3 - 4 7 ) x = b 自由边界上: ai w ai w m x a x e 十 at 不 下= 一d ( 3 - 4 8 ) 悬臂板边界条件较复杂，不易直接求得合适的精确解场函数。张福范运用叠加法 首先求得了悬臂板的级数形式精确解。对于悬臂板大挠度问题，由于涉及到应力函数 的求解， 需同时求解两联立方程组， 曲 庆璋等通过运用广义g a l e r k i n 方法求解此问 题， 并定义挠度函数和应力函数的形式如下: - (. ,y ) = f ,( l - 1 - y s i n2 ;r b q ， 一 鑫， + 艺n 兴y 2 l z o一少 : cos a x l cos /fy + 2f y 一 fb z y a + ， 一 。 2二 ) ，( 3 - 4 9 ) (0 ( x , y ) = 儿 c o s t a x s in 2 q y ( 3 - 5 0 ) 式中 ( 3 - 5 1 ) ( 3 - 5 2 ) f =刀 2 + 2 u a 2 4 + u a b = ( 3 - 5 3 ) f，几，儿为待定 系数。 将函 数表达式带入平衡方程及边界条 件中，由 广义 g a l e r k i n方法求得关于三个待定系数的非线性方程组，即可求出待定系数，得到近似 解。 对薄板的大挠度问 题，除运用 v o n - k a r m e n方程组外，基于有限变形理论求解具 有一次加载， 去除了累积迭代计算误差等优点。 板的变形应分为形变分量和转动分量 两部分， 其咋 ， 转动分量在悬臂板有限变形中具有不可忽视的作用。同时在板的有限变 形中，转动分量的合成具有顺序相关性。因此通过建立应变一转动分离的方法，能够 更精确的计算出板的变形位移及应力分布。 4 有限元法求解悬臂矩形板振动特性 本章在上一章建立的悬臂矩形板平衡方程和边界条件基础上， 利用有限元计算其 在不同残余应力作用下的挠度分布和振动模态参数。 最后根据光开关工作环境， 进行 了 瞬态分析， 得出了 光开关振动稳定时间。 前两节中 分别给出 相关的有限元计算理论 基础， 包括几何非线性计算， 子空间法提取特征频率等。 然后根据实际模型进行了计 算。 4 . 1 几何非线性问题的有限元法 小变形假设假定物体所发生的位移远小于物体自 身的几何尺度， 同时应变远小于 1 。在此前提下，可用物体变形前的几何尺寸代替变形后的几何尺寸而不会有显著的 误差，同时物体及其微元体在变形过程中的应变可用一阶无穷小的线性应变进行度 量。 物体平衡方程和几何条件的线性化都是基于小变形假设。当物体的位移及材料线 元素转角较大时， 平衡方程需考虑物体变形后的几何尺寸;同时几何条件，即应变一 位移关系都将是非线性的。 这种由于物体的大位移和大转动引起的非线性问 题即几何 非 线性问 题。 它在结构分析中 具有重要的 意义 2 1 1 . 大 应 变问 题常 见于 金属成型、 橡皮 材料受载等情况， 它也属于几何非线性问 题， 通常情况下需要涉及材料非线性，此处 不对大应变问题作过多讨论。 非线性问 题有限7 g 法的求解， 通常是将其转化为一系列线性方程进行求解。 基本 步骤包括: 线性化方案的选择、线性化方程组的求解以及新的状态的决定和收敛准则 的检验。 涉及几何非线性问题的有限元法， 通常采用增量分析法， 这种方法便于得到 加载过程中应力和变形的演变历史，以及保证求解的精度和稳定。 增量法中采用两种 表达格式， 第一种称为完全的l a g r a n g 。 格式， 即所有的 静力学和运动学变量总是参考 十初始位形， 第二种格式中 所有变量均参考于每一载荷或时间步长开始时的位形， 在 分析过 程中 参考 位形不断更新， 称为 更新的l a g r a n g e 格式。 非线性问题有限元离散化的结果通常得到如下形式的代数方程: k c u ) 。 一 尸 = 。 ( 4 - 1 ) 此处刚度矩阵k依赖于未知量 u , 增量法求解时，将载荷分步施加 ，同时在每载荷步 内采川改进的 n e w t o n - r a p h s o n 法 迭代收 敛。 n e w t o n - r a p h s o n 法 迭代可 写为: k r j a u ,卜 p 卜 扭(4 -2 ) 拟+ ， = ( u ; 卜 a u , ( 4 - 3 ) 式 中 ， 为 迭 代 次 数 ，在 静 力 计 算 中 ，j f 表 示 第 次 迭 代 时 对 应 于 单 元 内 力 的 恢 复 力 向 量 ， k ;t 表 示 正 切 刚 度 矩 阵 在 动 力 分 析 电 k , 是 等 效 系 数 矩 阵 ， f 是 有 效 载 荷 包 括 惯 性 和 阻 尼 影 响 ) 。 厂 和 k t 都 是 基 于 给 定 的 u ; 计 算 得 到 。 ff 认 u m u ,+ 2 图4 -1 n e w t o n - r a p h s o n初始刚度法求解图 m n - r算法的一般步骤如下: 1 )假 设 初 始 位 移 向 量 u . ) 0 f u . ) 通 常 取 上 一 时 间 步 的 收 敛 解 。 2 ， 从 己 知 的 u ;l 中 计 算 出 对 应 当 前 迭 代 次 数 的 正 切 刚 度 矩 阵 【 k ; 和 单 元 恢 复 力 f , f 3 )计 算 4 u , 并 加 到 u ; 上 获 得 u i, 4 )重复2 ) . 3 )步到满足收敛条件为止。 在非线性分析中， 增量法是将载荷分成若干步， 相应的位移也分为若干步， 每二 步之间的增长量称为增量。 增量解法的一般做法是假设第m步载荷p m和相应的位移 u m已 知， 然后 将载荷增加为p . , = p + o p， 再求解u m = u m + a u . 。 如果每步载荷 增量 只足够小， 则 解的收 敛性是 可以 保证的。 一 p - p m十1 - pm 图4 - 2 m n - r载荷增量法求解图 本论文分析的薄膜一基底结构中，由于材料热膨胀系数不同使得结构中产生温度 应力，同时受薄膜淀积工艺的影响， 会产生与温度应力量级相同的内 应力。 薄膜中这 些应力的存在会显著改变结构的平衡位置及动力学特性。 在有限元格式中可引入相应 的应力刚化矩阵来修改结构的刚度矩阵。 基于更新的l a e r a n e i a n 格式的单元平衡方程为: 不 d u , = f 二 i - : 一 ( 4 - 4 ) 此处 k , = k , + s ; (4 -5 ) l k ; j 表 示 通 常 的 刚 度 矩 阵 ， s , 为 初 应 力 引 致 的 刚 度 改 变， 具 有 如 下 形 式 : 囚一 j b ,了 回囚d s rl = 且 g l7 = a crl d v ( 4 - 6 ) ( 4 - 7 ) ! 划为 基 于 当 前 几 何 位 形 的 几 何 方 程 ， d , 为 基 于 当 前 位 形 的 物 理 方 程 。 g , 为 形 函 数 引 出 的 矩 阵 ， 【 司为 全 局 笛 卡 儿 坐 标 系 下 的 当 前c a u c h y 应 力 矩 阵 。 基 于n e w t o n - r a p h s o n 迭代方程的回复力为: f , 一 j b +jt - , ) d , ( 4 - 8 ) 4 . 2 模态分析 机械结构的振动模态是其本身的固有属性，与 结构本身质量及刚度分布有关，与 振动初始条件无关。 每一阶振动模态具有特定的固有频率、 阻尼比和模态振型等参数。 模态分析是指通过计算或试验分析， 获得振动系统的各阶模态参数，并运用线性叠加 原理得到整个系统的振动特性。当结构作自由 振动时， 其低阶频率影响最大。 有限元 法模态分析可转化为求解矩阵方程的特征值问题。 对于无阻尼自由振动，其动力方程为: m l l 小 k t . 1 = 0 假定方程的解具有如下形式: u l = x c o s ( co t ) 可得到如下形式的广义特征值问题 k x l = m m x 式 中 刚 度 矩 阵 ! k 具 有 对 称 正 定 性 ， 质 量 矩 阵 【 m 】 为 对 称 正 定 或 半 正 定 。 齐次方程 ( k 一 。 t m l ) x l = 0 有非零解的条件是: ( 4 - 9 ) ( 4 - 1 0 ) ( 4 - 1 1 ) ( 4 - 1 2 ) k 一 。 m 卜 0 解上方程可以得到 一 系列特征值: ( 4 - 1 3 ) a , = 0 ) 2( 4 - 1 4 ) 将所得到的a ; 代入特征值方程中即可得到 对应此特征值的 解向 量，也就是特征向 a- x ; ， 它 反 映 结 构 以 圆 频 率 6 , 作自 由 简 谐 振 动 时 ， 结 构 振 动 的 特 性 形 状 对大型结构的矩阵特征值问题，兄 通常是一个很大的值。求解出几 所有可能取值 具有较大难度。同时影响结构动态性能的主要是其低阶频率特性，因此对大型矩阵特 征值问 题， 采用其它方法求解出低几阶频率更为人们所关注。 求解大型特征值问 题的 解法有矩阵逆迭代法、子空间迭代法等。 前者算法简单，比较适合于只求解系统很少 数目 特征解的情况， 如只求解最高或最低特征值。 后者实质是将前者推广于同时利用 若千个向量进行迭代的情况，可以用于要求得到系统稍多一些特征解的情况。 子空间 迭代法假设r个起 始向 量同 时 进行迭代以 求 得 矩阵的 前p ( r ) 个特征值和 特征向 量.其基本思想是将大型矩阵的n维解空间转化为用n个特征向量张成的解 空间， 特征向量之间的相互正交性保证这种转换的合理性。当 我们只需求 r ( r +n ) 个特征向 量时， 可利用这r 个特征向 量张成的子空间描述解空间， 并采用迭代法保证 解的收敛性，因此称为子空间迭代法。其主要步骤如下: 1 )选 取初 始向 量 矩阵戈， 并形成 矩阵y 。 此处 表示r 个初始向 量组成的 矩阵: x 。 二 x 0 ) x tsa a ， 一 x o x , ( 4 - 1 5 ) 2 )其中初始向量的个数r可用以下方法确定: 如要求系统的前p 个特征解， 则r 取2 p 和p + 8 中 较小 的 数。 起 始向 量o ( i = 1 , 2 , . . .r ) 原 则 上 可以 任 意 选 取， 只 要 它 们 不和系统的前p 个特征向量中的任一 个 正交， 否则无法通过迭代解出前p 个特征向量。 通常取随机向量为起始向量。 3 )对r个初始向量同时进行逆迭代， 下标k 表示迭代序号 p , = k - 、 1 y x ( 4 - 1 6 ) 4 )计算投影矩阵 k = y j k )yk l m=t了 k )yk ) 4 ) 求解方程 k ( a ) = a m a ) 并 得 到 r 个 特 征 对a (k ) a (k ) 5 ) 收敛性判断 ( 4 - 1 7 ) ( 4 - i 8 ) ( 4 - 1 9 占 ( 3 0 0 u m ，厚度仍为 2 u m 。 图4 3 层台单元分层定义材料属性图 q 0j 忡、 图4 - - 4 悬臂微粱有限元模型。左端为施加的位移约束。左边网格 图4 4 左端较密处为薄膜一基底复合结构层，采用定义的层含板壳单元划分。 静态弯曲计算采用施加初始应力的方法模拟内应力，在此纂础上进行热分析以获得热 应力。计算得到的结构自由端弯曲位移与残余应力的大小关系如图4 5 所示。 腓 l l 裟黼 n 2 址h i r e s i d u a ls t r e s s ( m p a ) 幽4 - 5 悬臂微粱自由端静态弯曲位移与薄膜层残余应力对鹰关系 由图4 5 中发现。悬臂微梁自由端静态弯曲位移值与薄膜层巾残余应力幅值对 应为线性关系，由于此处残余应力幅值在i g p a 内，因此此时微梁的弯曲变形仍假设 在弹性范围。当残余应力大于i g p a 时，如薄膜层为脆性材料，则会形成微裂纹，如 薄膜层为塑性材料，则此时通常会发生材料的屈服。 在进行结构的模态计算时，通常结构的低阶振型影响很大，此处提取了结构的前 5 阶振型，如下表示： 表4 - 1 悬臂结构固有频率表 第- 阶5 1 8 6 第二阶 3 0 1 0 9 第三阶 3 2 2 2 0 第四阶8 6 0 7 8 第五阶9 0 3 7 7 考虑残余应力影响的微梁振型模态振型图如下表示 图4 6 悬臂微粱一阶模态振型图 图4 7 悬臂微粱二阶模态振型图 图4 8 悬臂微梁三阶模态振型图 图4 9 悬臂微粱四阶模态振型图。 图4 一1 0 悬臂微梁五阶模态振型图 前五阶振型中，横向前三阶主振型图如下所示 图4 1 1 悬臂微梁横向一阶模态振型图 图4 一1 2 悬臂微梁横向二阶模态振型图 图4 一1 3 悬臂微梁横向三阶模态振型图 4 .4 小结 本章主要运用有限元软件计算悬臂微梁结构的静态变形和固有频率参数。可作为 第五章瞬态动力分析的基础。根据第三章中有关薄板弯曲的平衡方程，本文利用 a n s y s软件提供的单元编辑功能，定义了一种能真实反映薄膜一基底复合结构材料 和应力构成的板壳单元。计算得到了微梁弯曲 变形后的固有模态振型和频率参数。 5 光开关的动态响应分析 在光开关的切换操作中，悬臂微梁作机械运动的时间决定了光开关的切换时ia. 由光开关悬臂微梁的工作特性， 静电力作为主要的控制力，对其变形和运动状态都有 重要的影响。因此，对悬臂微梁进行结构和静电场的祸合分析，是了解光开关工作特 性不应缺少的分析内容。由于祸合场分析的非线性特性， 本章将主要使用有限元方法 进行结构一静电场的祸合分析，计算得出阀值电压和光开关的切换时间参数。 5 . 1 电磁场分析的基本方程 电 磁场问 题的