（通信与信息系统专业论文）光子晶体耦合腔光波导（crow）的研究.pdf

y 8 7 8 6 6 5 论文题目：光子晶体藕合腔光波导的研究 摘要 光波导作为现代光通信中的重要器件之一，在通信中起着至 关重要的作用。爰光予晶体实现的光波导，县蠢良好的导波性质， 已经得到了广泛的使用。近年来，人们提出了一种新结构的光波 导一耦合腔光波导( c r o wc o u p l e dr e s o n a t o ro p t i c a l w a v e g u i d e ) 。凝台验光波导具有良好韵群速度和色散性质，褥到 了人们的广泛关注。本文从理论上研究了耦合腔光波导其结构耦 合强度与传输特性之间的关系，结果发现，耦合腔光波导中传输 模式豹群速度及模式的个数明显地受到其腔之润藕合强度的影 响。 本文荫先介绍了光子晶体的概念，传输性质及其在光通信中 豹应用。在第二章中我们分绍了研究光子晶体的常用方法，如平 面波展开泫( p w m ) 、f d t d ( 时域有限差分) 法和多重散射法。 第三章初步探讨了用传输矩阵法( t m m ) 对光子晶体的研究， 主要研究一维光子晶体的传输特性，并对不同结构的一维光子晶 体进行了计算，比较和分析；我们还进一步对二维光子晶体传输 矩阵法做了理论分析。 在最后两章中，我蜘介绍了鼹会黢光波导( c r o w ) 的概念 及其特性。根据紧束缚( t i 曲t _ b i n d i n g ) 近似，并只考虑相邻两腔 之间的耦合影响，我们分别研究了周期结构和准周期结构的耦合 菠光波导豹传输特性和结构特性，并褥出了一些熏要的结论。 最后在结束语部分对耦合腔光波导的研究工作进行了总结， 讨论了其应用前景，并对今后的工作进行了总结。 论文题目：光子晶体耦台腔光波导的研究 关键词：耦合腔光波导，准周期，光子晶体，传输矩阵法，时域 有限差分法 n 论文遥甚：光子箍体藕合蕴光波导的研究 a b s t r a c t a sab a s i cc o m p o n e n ti nm o d e mo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n ，o p t i c a l w a v e g i l i d ep l a yav e r yi 嘲斌a n tr o l e o p t i c a lw a v e 弘i d em a d ei n p h o t o n i cc r y s 协l sh a v em a n yu s e 血lc h a r a c t 嘶s t i c s i na d d i t i o nt of h e w a v e g u i d ec o n s t r u c t e dw i t h al i n e a rd e f e c ti np h o t o m cc r y s t a l s ， p e o p l e 圭l a v op r o p o s e dan e wk i n do fo p t i c a lw a v e g t l i d e 一c o u p l e d r e s o n a t o r0 p d c a lw a v e g m d e ( c r o w ) b e c a u s eo ft h e 中e c i 甜 p r o p e r t i e so f t h ec o m p o n e n t ，c r o w sh 黼a t t r a c t e dm a i l y a t t e n t i o n s b h i sp a p e r m er e l a t i o nb e 柳e 瓤t h et r a n s 戚s s i o np r o p e n i e so ft h e c o m p o n e n ta 1 1 d t h ec o u p l i n gs t r e n g t ho ft h e i rb u i l d i n gb l o c k si s s t u d i e dt h e o r e t i c a l l y t h er e s u l t ss h o wt l l a tb o t l l 1 eg r o u pv e l o c i t yo f m et r a n s m i 搀疆m o d e sa n d 也en u m b e ro ft h ew a v e g u i d em o d e si s a f r e c t e do v i d e n t l yb ym ec o u p l i n gs 协e n 群ha m a n gm ec a v i t i e s t h ec o n c e p to fp h o t o n i cc r y s t a l sa n dm et r a n 8 m i s s i o np r o p e r t i e s ， a sw e l ia st h e 主rp o t e n t i a l 婶p l i e 越i o 芏l s ，w e r ei n t r o d u c e d 矗r s t 。拉 c h 印t e rm o ，w ed i s c u s s e dt h es t u d y i i l gm e t h o do fp h o t o n i cc r y s t a l ， f o re x a m p ic ，p w m ( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ) ，f d t d ( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ) a 豹dm u l t i p l e s c a 眭e n gm e 也o d i nc h a p t e r 恤e e ，也et m m ( t r a | ：l s m i s s i o nm a 晒xm e t h o d ) i s d i s c u s s e d 协d e t a i l a c c o r d i n g t ot h em e t h o d ，t 1 1 et r a l l s m i s s i o n c b a r a c t e 连s t c so fl dp 抽t o n i cc r y s t 甜a r ef e s e a r c h e d f 毛l 吡e n n o r c ， w em a d es o m et h e o r e t i c a la n a l y s i so f 2 一dp h o t o n i cc r y s t a l i nt h el a s tt 、v oc h a p t 璐，w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fc r o w ， 珏l 论文题目：光子晶体耦舍腔光波导的研究 a n di t s s p e c i a lc h a r a c t e r i s t i c s a c c o r d i n g t om et i g h t _ b i n d i n g a p p r o x i m a t i o na n dt a l ( i n gi n t oa c c o u n tm a ti n t e r a c t i o no c c u r so n l y b e t ，e e na d j a c e n td e f e c t sa l o n gm ew a v e g u i d e ，t h ef e l a t i o nb e t w e e n l et r a l l s m i s s i o np r o p e n i e s趾dm es t m c t u r a lc h a m c t e r i s t i c so f c r o wc o n s 缸u c t e di np e r i o d i ca n dq u a s i p e r i o d i cp h o t o n i cc r y s t a l s i ss t u d i e da 1 1 ds o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o na r ed f e w k e yw o r d s ：c r ow ，q u a s i p e r i o d i c ，p h o t o n i cc r y s t “，t m m ，f d t d 论文题目：光子晶体耦台腔光踱导勰研究 第一章光子晶体简介 1 1 什么是光予晶体? 从计算枫、互联网到无线逶信等，无不说磺这场由固体物理 和半导体引发的信息革命已经深深地影响到我们生活的每一个角 落。在这冲击背后的物理机理依赖硅原子中的电子能带结构及在 硅酷俸中掺入杂质活引起的能带结构的交化。这种能带结构不仅 仅存在于半导体材料中，当物质的运动受到周期性的作用时，这 种物质的运动也应该其有能带结掏。我们知道一列波通过个周 期牲阵列的散射体时，对某一频率和波矢的波在散射体中赦射时， 如果出现干涉相消，即这样的波就不能在其中传播。这就有一卜 很明显的问题，在礁晶体中对硅原予电子能带结构的操纵己缀导 致了电子革命，那么与龀相同，在周期性电介震的结聿句中，如能 操纵光予的运动，是否也会导致在光电子技术中的场革命呢? y a b l o n o v i t c h 和j o h n 分别在磅究周期性电介质结构材料对 自发辐射的抑制【l 】和电介质超晶格结构材籽中g f 入一定的无序对 光子局域态口 的影响时，于1 9 8 7 年各自独立地提出了光子晶体 ( p h o t o n i ec r y s t a l s ) 的概念。 光予晶体就是两耱或两种以上的其有不同介电常数的材料周 期性排列组成的一种人造晶体。由于介电参量的周期性调制，电 磁波在其中的传播，可以用类似子描述电子在半导体中运动的能 带结构来描述。具体裘现是：一定频率范围的电磁波，在光子鑫 体的特定方向上不能传播。当沿着这个方向入射到光子晶体时， 论文题目；光予晶体耦台腔光波导的研究 光将全部被反射，因而不能透过，形成光子禁带。而其他频率的 电磁渡能透过光子晶体。懿采光子磊俸在所有方向上的禁带重合， 这种光予晶体被称为完仝带隙光子晶体。若光予晶体的禁带不相 互重叠，或只在某些方向重叠，则称为不完全带隙光子晶体。 光予麓带结构是光予器体豹重要特征。扶嚣前的砑究来看， 光子晶体的应用主要是蒸于光子晶体的带隙 3 ，4 1 。利用光子晶体的 带隙，可以抑制自发辐射【l 5 1 ，而且不存在零点脉动。光子晶体的 这穆性质不仅在理论上西且在应用上都是极有意义豹。理论上， 开辟了量子电动力学的新领域，在电磁波和凝聚态物理之间架越 了联系的桥梁。在应用上，自发辐射的抑制可以有效的降低光电 器件的噪声，提高光电器件的工作质爨。由于独特的调节光子传 播特性的功能，光子晶体遥十几年柬瞄成为应髑物理、光通讯帮 材料科学的一个研究热点，得到迅速的发展和广泛的应用。光予 晶体在制备单模发光二机管【6 、小型微波天线基底n 光子晶体 光纤 g 】、光波导、波分复耀器 9 ，“、反射镜【1 1 】、缡振片、光开关 【12 】等方面其用广泛的应用前景。如果在完整的光子晶体中引入不 同形式的点缺陷，可以实现各种各样的缺陷模盼1 4 】。如果引入线 缺陷就会形成波导结构【l 挪。这些缺陷对光子晶体在光学器件和未 来光通讯中的应用都是非常重要的。苇 x 适文怒g ；兜子菇髂鹅台艟光波导豹礤究 圈1 1 维、= 维、三维光予晶体的示意图 3 论文鼯目：光子晶体箱台腔光渡导躺讲究 较简单，利用当前的光刻技术，已扩展到光学波段。 s i g a l a s 等掰究了金属构成的光子晶体。对予金属球做成的光 子晶体，存在截止频率，在该频率下，任何模式的电磁波都建不 能在光子品体中传播的。而频率在l t h z 以下的电磁波，金属对 它的吸收可以忽略f 2 “。出于这些特性，这莉光予黑体将有很好的 应用蓠景。 m a n o r e l 等报道了带电聚苯乙烯微球在水中的悬浊液呈现黼 心立方的脊序排列，匿班牙、俄罗斯和我们物理所等研究组以此 为基硇制碍了固态的球形颓粒戬面心立方排列的光予晶傣【2 羽，髂 之为o p a l 。虽然这种光子晶体不存在完全光子带隙，但在这种光 子晶体中渗入高介电常数介质，然后加热使聚苯乙烯微球气化， 西形成的空气球在高介电常数介质中排列的面心立方结构，这种 结构具有可见光区的究全光子带隙。 l l e n e u c e 等研究了二维光子晶体。二维光予晶体和三维光 子晶体相比制作比较简单，而且在光子晶体中常4 造光子器件也比 较方便。研究表明，在六角形晶格中，无论是空气柱子在电贪质 中的排列，还是电介旗柱子在空气中排列而形成的光子晶体，均 有完全光予带隙。而对于正方晶格和三角晶格，仅空气柱子在电 介质中翡封 列能出现完全光子带酸，由电介质圆控在空气中接列 构成的光予晶体，没有完全带隙f 2 3 】。 随着光刻技术、聚焦粒子束和反应粒子束等技术的出现，近 红外和可见光波段的二维光予晶体的制备技术已相当成熟。 w e n d t 等予 9 9 3 年就案冬了晶格辩数为2 9 5 n m 的，带豫在可见 光区的得光子晶体，精度为5 0 m 但深度仅为o 6 微米( 2 4 j 。 除上述的周期晶格的光子晶体外，非周期晶格的光孑晶体也 锝戳实璐。c h a n 等提出准晶光予晶体，中国科学貌物理研究掰营 次提出了非晶光子晶体的概念。二维准周期的光子晶体是在二维 p e l l r o s e 拼图的格子上构建的。研究表明，这种准周期的光子晶体 论文题星：光子品体耦台腔光波导的研究 有很好的光子带隙。我们所构成的非晶光子晶体也有很好的光子 营障。这些非周联豹光予晶俸的特拣是本文所研究豹主要内容。 1 3 光子晶体的光学特性及应用 光子晶体的最根本特征是具有光子禁带，光子禁带有完全禁 萤与不突全禁带之分。宠全禁带是指光在整个空润的所有传播方 向上都有禁带，且各个方向上的禁带能相互重叠；不完全禁带， 则相应于空间各个方向上的禁带并不完全重叠，或只在特定的方 向上有禁沓。频率落在光子禁带中的光是被严格禁止传播的。光 子晶体对光子的控制主要通过一定的禁带结构来实现。光子晶体 的另一主要特征是光子局域【2 5 l 。固体物理知识告诉我们，在半导 体中引入光序会使带边的电子态发生局域化26 1 。对一维系统中光 局域纯的理论和实验磅究表明，在一维光子晶钵中弓| 入无序露， 由于布拉格反射效应和引入无序造成的光局域。 近年来，人们在探索新型结构光子晶体的同时也做了大量关 于光子最体短蠲的工住。这些工 乍主要有如下几个方恧： a 高效率低损耗反射镜和波导 由于光子晶体中不允许光子禁带范围内的光子存在，所以当 柬频率在光予禁带范藏内的光子入射至l 光子磊体上对，这束光 子将会被全反射回去。利用这一性质可制造高品质的反射镜。特 别是在短波区域，介质对光波的吸收损耗非常小，因此，用介质 材粒靠l 成的光子晶体反射镜其有极小豹擐耗。棂据维光子晶体 理论设计出的全角度反射镜( “p e r f c c tm i r r o r ”) 是一维光子晶 体最直接的应用。这种反射镜弥补了金属反射镜和介质反射镜的 不是，实现了低损耗、众角度反射，豆角度适应性好，是一种凝 型光反射器件。 目前成用的信息传输线主要有同轴电缆和光缆。电缆很灵活， 论文题茸：光子晶体耦台腔光波导的研究 可以任意角度弯曲而信号不受影响，并且可以保持信号的偏振状 态，但是只g 传竣微波段的糕额售号：光缆照蜀以传狻高频光波信 号，但一。鼠弯曲过度，信号就会逸出。电缆和光缆各自的缺陷使 得它们无法应用于需要高频响应的信号传输系统。麻省理工学院 豹研究人员在全角度笈瓣镜豹基础上设诗出一种万能波导 ( “o m n i g u i d e ”) ，这怒一种介质同轴缆线，它的关键是在外层缆 线的内壁环绕了一个按照一维光子晶体思想设计的多层介质反射 貘系，光信号在反射膜形成兹环形空腔中传撵。该缆线一方面爨 有介质膜损耗极低的特性，而且由于反射膜对入射光具有全角度 反射的特性，所以无论缆线如何弯曲，都不会发生信号逸出的现 象。该缆线鳇提出为信哥的远距离无中继传赣和全光路系统豹蘸 度集成化提供了可能。 b 高效率发光二极管和低阐值激光振荡 一般的发光二极管发光中心发潦舔光经过包匿它的介质豹无 数次反射，大部分的光不能有效地耦合出去，使得发光二极管的 光辐射效率很低。如果将发光二极管的发光中心放入一块特制的 光子晶体申，并设计使该发光中心豹自发辐射频率与该光子晶体 的光子禁带重合，则发光中心发出的光不会进入包围它的光予晶 体中，而会沿着特定设计的方向辐射出去。实验表明，采用光子 晶体后，发光二极管的效率会从最蘸豹l o 左右提嵩到9 0 以上o 。 另外，当采用只允许单频率的光波穿透的光子晶体作为发光二 极管的谐振腔时，该发光二极管将只能发出单一频率和良好相干 径的类似激光特性的光，箍虽发光效率也会大大箍高。 在激光器中引入光予晶体还可以实现低阙值激光振荡。网为 光子晶体对位于光子禁带范围内的瞻磁波具有抑制作用，所以当 7 论文题目：光子晶体耦台腔光波导的研究 光子晶体的光子禁带频率与激光器工作物质的自发辐射频率一致 啦，激光籍中的色发辐蘩就会禳毒审斜，这榉激光器中嚣自发辐辩 引起的损耗会大大降低，从而使激光振荡的阈值变得很低“” c 掺杂光子晶体的应用 研究发现，当光予晶体中的某些单元被取消或被男一释分囊 取代而形成缺陷时，就会使光子晶体的光子禁带出现一些“可穿 透窗口”，即光子禁带内的某些频率会毫无损失地穿过光子晶体 咄”。在一维光予晶体的餍期结构中掺入杂质，局部破坏其怒则彝 列，将在光子禁带中引入新的电磁波模式( 称为杂质态或缺陷态) ， 从而使掺杂光子晶体产生一系列有实用价值的光学效应，如光学 延迟、窄带滤波等。通避在光子嚣体中雩l 入缺陷，缝得光子禁带 中产生频率极窄的缺陷态，利用这一性质可以制造高性能的极窄 带选频滤波器。“、高精度相位调制器。2 1 和光子晶体光波导等等。 另钤，掺杂结构能使光予鑫体中的光子态密度集中于杂质层中， 表现出较强的光局域效应，如果把非线性介质材料嚣于杂质层中， 能大幅度提高非线性过程的效率。“。还可以通过恰当地设计晶体 结构，实现睦性过程中的相位嚣酝，从恧进一步增强j 线性效 应。 d 。光子晶体微谐振腔 徽谐摄腔的镶作砖光集成有着重要的意义，毽由于其尺寸黪 别小，用传统方法制造微谐振腔相当困难，而且在光波波段，传 统的金属谐振腔损耗相当大，品质因数很低，而光予晶体微谐振 脏的品质嚣数可以做得缀奁，这是采用其它辛葶精制作的谐振腔瓢 无法达到的。例如，对于采用具有光纤质量的介质材料所制作的 光子晶体微谐振腔，光子的衰减吸收长度达数公里，这对应衰减 论文题瞄：光子晶体耩台腔光波导的研究 时间为t l o 秒，设光波的频率为= 1 0 ”秒，则该光子晶体微 谐摄蕴斡晶蔟因数为黔。t = 1 0 ”。窳省理工学院驰研究人员利用 一维光子晶体制作了一种微腔激光器。该激光器包括一个 i n g a p i n g a a s 量子阱，其下为一个低折射率的a l ；o y 间隔层和高折 射率豹g a a s 层。在量予隧活跃区顶部波导层刻蚀滋周期捧列的小 孔构成一维光子晶体，并在光子晶体中引入缺陷形成空腔，使得 量子阱的发射波长正好位于一维光子晶体禁带中的缺陷模式，并 镬光l 耦合至波号中输出。 除此之外，光子晶体还可用来制造损耗极低的三维光子晶体 天线”“、离偏振度与透射率的二维光子晶体偏振片。，综合利月 光子晶体的各种性能，还可以广泛应用于光子开关、光子放大器 和光子聚焦器等诸多方黼。此外，如果用金属、半导体与低介电 常数材料缀成光子晶体及无序光子晶体，则都会潮为其特殊结掏 而产生一貔特殊性质，从而可以制造融一些新型光学器件。 总而喾之，光子晶体的特性决定了其优越的性能，因此它极 有可能取代大多数传统的光学产品，其发展前景和即将对未来的 电子工业和信息产业产生的影响是不可限量的。 本文主要研究利用二维光子晶体特性实现的耦合腔光波导 ( c r o w ：c o u p l e d r e s o n a t o ro p t i c a lw a v e g u i d e ) ，对其不同结 构的特性进幸亍分析，共进行计算机仿羹，再对结构进行比较分析， 得出结论。 9 论文题目：光子晶体耦合腔光波导的研究 第二章相关理论和实验方法 2 1 电磁波在光子晶体中的传播及光子能带 光子晶体是两种或两种以上介质周期性排列所构成的复合结 构，电磁波在这种复合介质中传播将满足m a ) 【w e l l 方程组 v 雪= o ( 2 1 a ) v 西= p( 2 1 b ) v 豆：一罢 ( 2 - 1 c ) 乱 、7 v 青：罢+ 7 ( 2 _ l d ) a 一7 其中，云和厅分别为宏观电场强度和磁场强度，西和雪分别为电 位移矢量和磁感应强度。p 为自由电荷密度，1 7 为电流密度。当 所考虑的问题为无源场时，了= p = o 。对于无色散的介质，在不 考虑损耗时，西和豆、雪和疗之间的本构关系为 d ( 尹) = 岛占( f ) e ( 尹)( 2 2 ) b ( 尹) = 鳓日( 尹)( 2 3 ) 其中s ( i ) 是光子晶体的相对介电常数的分布，s 。和盹分别为真空 中的介电常数和磁导率。利用2 1 、2 2 和2 3 分别消去西和雪， 得 论文题目：光予晶体耦台麓宽波导韵研究 篓 5 ( 尹) 一l 】铮矿 c 。 篓营e c 。 ( 2 一l o ) ( 2 1 1 ) 它们有类 娃豹形式，睁介电常数的周期性变化相当予势能静阎裂 一2 性变化，而兰一相当于能量本征值。 c 。 从光予茅丑电子运动方程的可类比惶，可以得崮以下豹结论： 在一个介电常数周期性变化的结构中，光子的运动将类似于在周 期势场中电子的运动。蹰此，电磁波在介电常数周期性变化的介 逛结构中传撵具有光予麓带结构特饺，在一定的条件_ f 其有光子 能隙。半导体中的相应物理概念也可以类推到光予晶体中，例如： 倒易空间、布里渊区等等。 当然，光子和蠢予蹙有着本质区嗣豹，光予燕玻色子丽电予 是费米子，光子的色散关系和电子也商着不同的形式，它们所用 理论的精确性也不同。电子由标量波近似方程描述，且忽略了电 子电子及邀予声子相互侔罔；露光予采焉矢量波理论描述，由 于光子光予间的相互作用很小( 可以忽略) ，所以光子的运动方 程式是严格的。 2 2 光子晶体理论计算方法 光予晶体理论的计算已相对成熟，通常用于计算光子晶体特 性豹方法有：平錾波法( p w m ) 、对域有限差分方法( f p t d ) 、多重散 射法传输矩阵法( t 锄) 等等。本章主要介绍平面波法、时域有限差 分法和多塑散射法。传输矩阵法将在下一章进行详细讨论。 2 论文题臻；逝子鑫蒋藕合整光波嚣的辑究 令色- ( 露+ g ) = o( = l ，2 )( 2 一1 7 ) 则 2 豆 ( 扩：巷；) 一如岔：) 转；，色) 1 l 孝，毛) ( 爹；毒：一( 毛t 拿，x 孝，宅) 害，- 是) ( 邑- 争：) 一蠡t 孝： f 枣。蔷：) 0 ，。，岛，屯，；：，屯是薅髓于蓐+ 0 的单位矢鬣。 ( 2 2 5 ) 式是一个媳激的求解2 n 2 n 矩阵的特征值问题，n 是平 嚣渡韵个数；攫摇搿嚣簧瓣诗薄耱褒，确定n 瀚大小，歇两在倒椿 矢空闯截断鼹0 静求穰，辩每个绘定鲸波矢茁，就能技至l 冀对 应的本征频率。，这栉就掰以得到光子鑫体的能带结构以及电磁 场在空间的分布。 2 。2 。2 辩溅鸯隈差分滚( 的t 銎) 用f d t d 方法求解光予晶体中的麦党斯韦方糕地具体方法是： 将其谯蕊角坐标系中展开成标量场的方程组，然届用二阶精度的 堡苎鳖旦! 垄王叁箜塑笪婆查婆曼塑翌茎 数值差商代替微商，将连续的空间和时间问题离散化，得到标量 场分量的差分方程缓。囱数僮色散关系和我们新关心的光波长大 小来确定空间离散步长的大小，进而用此空间步妖将我们所要研 究的光子晶体沿坐标轴向方向分成很多的y e e 氏网络单元；求出每 一个网接点的有效介电常数；由空闼步长和时闻步长掰满足豹数 值稳定性条件关系，得出相应的时间步长。 一y e e 氏阚格 我们要用时域有限募分法求解光予晶体中的麦克斯韦方程， 需要在包括时间在内的四维空间进行；于是我们首先要把这四维 空闯进行离散化，也就楚建立合适的阿格剖析体系。在这方露， y e e 氏做了很多工作，他提出了一个合理的网格体系，被称为y e e 氏网格。在本文中，我们也是采用他的这一网格体系。在直角坐 标系中的饱豹这一网格体系如图2 。1 所示： 圈2 ，l 电磁场分量在弼格空间高教点豹分布 从图2 1 中可以看出，电场和磁场的各个分量在空间的取值点 被交叉地放置，使得在电场分量的四阁由磁场分量环绕，同时每 1 6 论文题目：光子晶体藕台蔽光波导的研究 个磁场分最的四周由电场分量环绕。这样的电磁场宝间配置符合 麦克鬏韦方程豹基本耍求，因面也符合电磁波在空润传援的溪咎。 二麦克思维方程的差分形式 在蠹焦坐标系中， 令雪= e ，f + e ，+ 量；惫 曰= h ，f 十。，+ 日：a ，其中i ，j ，k 为x ，y 和z 三个坐标的单位矢 量；姆麦克簸韦方程展舞，可以得到下西六个标墼方程： 孕孕：占睾 ( 2 - 2 6 )“= 占2l z z bj 妙0 2 甜 警等= s 鲁 浯z ， _ _ 二= s 一 t z z ，j 0 zc 1 ) c0 l 警一警= 占鲁 z s ，“= 占一l z z j a xa v甜 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 鲁一鲁确警 s t ， i i 2 鳓i 瞄哨” 以上六个方程构成了完整的三维光子晶体问题的情形，用数 值差商代替方程中的导数，将连续的微分方程离散化，可以得到 光子晶体麦克簸韦方程豹差分形式： 1 7 盟钟 堕西 邓 确 堕妙 暖i 堡瑟 堡玉 论文题目：光予晶体耦台茬光波导的研究 + 丽蒜防气f + l 缇川绣妒秽”l 2 ，一缇幻】 一面靠时2 ( j + 1 2 ，2 ) 叫2 ( i + 1 2 ，m 州2 ) ( 2 3 2 ) e ( f ，+ l 2 ，女) = e ；( f 十1 2 ，) + 瓦靠 气“+ 1 2 ，川2 ) 一彰”( f ，川2 ，2 ) 】 一鬲蒜融气，2 川，2 ，妒彰( h ，2 川缇女) 】 ( 2 3 3 ) e ! + 1 ( f ，j ，七十l ，2 ) = e ；( f ，露+ l 2 ) + 瓦蒜酚气2 舭十1 ，2 ) 盯( 2 i m + 1 2 ) 】 一石蒜盼”川2 ，川2 ) 秽瓴川缇川2 ) 】 ( 2 3 4 ) h ：+ 1 “，j + l 2 ，七+ l 2 ) = 日? 叫坨( f ，+ l 2 ，七+ 1 2 ) + 老吼川缇蜘一刚一1 2 ，竞) 】 3 5 ) 一老眺川，2 ) 叫“舭十1 2 ) 日；“舱0 + l 2 ，七+ l 2 ) = 爿；一心口+ l ，2 ，走+ l 2 ) + 去咖蝴川2 ) 叫( f ，舭+ 1 2 ) 】 ( 2 _ 3 6 ) 一老陋( 川2 m + 1 ) 一珊+ l 2 _ 意) 】 8 论文题目：光子晶体耦台腔光波导的研究 ；卅”( f + l 2 ，j + 1 2 ，七) = 爿：- 1 坨( f + 1 2 ，j + 1 2 ，尼) + 者陋( f + l 缇川内一瓒捌2 囊量) 】 ( 2 - 3 7 ) 一蒜陋( f + u + l 2 问吲u + 1 2 瑚 上式中霉“f ，_ j + l 2 ) 表示稠格标号为( i ，j ，k + l 2 ) 处第 n + 1 个时间步长时的电场分量e ，的值，其他场分量类似。 s ( f ， 君十l 2 ) 是羽格标号为( i ，j ，k + l 2 ) 处豹有效奔电常数，它的 值由体积投影的权重来确定。 三。空溺步长的选取 我们前面导出的用f 光子晶体的麦克斯韦差分方程组，是妇 用对时间和空间的差分柬代替微分得到的，很自然地就会想到： 这种代祷产生了多大的误差昵? 怎么才能减少这些误差呢? 时域有限差分法作为光子晶体理论研究的种方法，它的一 个优点就是可以把一个包含很大范围频率的脉j 串作为激励源；但 是，由于脉冲可以展开为很多平面波的叠热，因此，我们可以用 平面波为对象来进行讨论这种算法的误差问题。 我们知道，光子晶体是出具有不嗣介电常数的电介质组成的， 可醵将其看作是分区均匀的。由电磁场理论可敬知道，平五波在 均匀介质中的解析色散关系为 ，、2 f 熙卜+ 女；+ 酵 ( 2 瑚) 0 在y e e 氏网格空间中，平面波的各分量可以表示为： 1 9 论文题目：光子晶体耦台腔光波譬的研究 ：( f ，j ，七) 篇占。oe x p ( 一，( 尼。a x 十七，- 妙+ 七：尬z 一删 ) ) ( 2 3 9 ) e ；( f ，盘) 篇e ，。e x p ( 一j ( 七，f x 十尼y ，y + 惫：露t 盎皇一蝴a f ) ) ( 2 4 0 ) 占：( f ，j ，七) 篇e 曲e x p ( 一，( 后。e a 石十b ，y + 尼：七z 一蝴f ) ) ( 2 4 1 ) 西：( f ，歹，枣) 嚣，。e x p ( 一，( 丸f x + 是，印+ j ：殷k c e 搬f ) ) ( 2 4 2 ) 月：( f ，j ，膏) = 日，oe x p ( 一，( 尼。f d + 七，- 垒y 十七：七z 一瞳肌 ) ) ( 2 4 3 ) 为r ；f ，露) 嚣爿：。e x p ( 一，( 七，拯崔+ 女，j + 盘：素z 一国弹f ) ) ( 2 4 4 ) 将上谢六式分别代入差分方程组中，化简，可以得到f d t d 方 法的数值色散式为： ( 去) 2s i 酸等，= 古s i 玳竽，+ 古s i 哦竽，+ 古斌竽， ( 2 4 5 ) ( 2 4 5 ) 式中掰为平蔼波瓣角频率，是。，。，t 分翻为波矢瓣三个坐 标分量，c 是均匀介质中光速。 数值色散是由于用近似差商代替微商丽引起的，所以当选择 阐格空间步长稚时阔步长足够小时，数值色散可以减小到所要要 求的程度。当然这种减少是受实际限制的，因为时间步长和空间 步长的减少导致计算网格空间的总网格数的增加和时间循环次数 的增加，嗣而相应遣增加了对计算枧性能的要求。 计算表明，当空间步长为波长( 媒质中) 的十分之一时，最大 误差为，1 3 ，当空间步长为波长的二十分之一时，最大误差己 经减少到一0 3 1 。光予晶体中有两萃中不同的电介质，我们以电磁 波在介电常数较大的电介质中的波长为参考对象来选择空问步 论文题目：光子晶体耦台腔光波导的研究 长，相当于以最坏的情况选择空间步长。当模拟电磁波在光予晶 体中转传播时，我们肖拜幸瑶豹是时交泳冲源，这； 孛源其毒很宽的 谱，在网格空间中传播时，其较高频率部分的误差比较低频率部 分的误差要大。所以我们在计算中选择了这样的空间步长，它使 得我们关心的频率部分满足其波长大于卡倍空翊步长豹条件。 四时间步长的选取 求解差分方程组是一个迭代的过程，当没有选择好时阔步长 和空间步长的关系，就会使所得的数值结果不稳定，具体表现为， 随着时闯的增加，被计算的场量无限制地增大。其原因在于差分 方程的时滴步长和空间步长的选取没有符合电磁场传播的规德， 导致了由差分方程模拟的数字波在网格空间中传播的因果关系被 破坏了。鞭丽，为了用所导出的差分方程进行稳定计算，就需簧 合理造选取时间步长和空间步长之间豹关系。同群的道理，还怒 以平面波为研究对象，将其表达式代入光子晶体麦克思韦差分方 程组，可以得到稳定性条 牛： z c c 古+ 专+ 古啦c 寺 c z 瑙， ( 2 4 6 ) 式中c = 。：是惠磁波在光子晶体中莱租对介电鬻 0 l 庐萨r 量为s ，的均匀区域的传播速度，因为光子晶体是由具有不同的介 毫常数豹电介质组成的；掰潋对于兜子蘸体豹不固电介质区域，e 是不同的。但是，由于稳定性条件是一个不等式，故我们只要选 取对最大的c 满足的条件，则其他区域也就自然满足条件了。即： 2 l 论文题目：光予晶体耦合腔光波导的研究 f = e 壶+ 嘉+ 壶，； 在计算中我们取时问步长为： m i n ( 舭，妙，z ) m i n ( 缸，每，& ) 撕石i = 瓦= 一2 1 一 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 式中s 为光子晶体中介电常数较小的电介质的相对介电常数a 2 。2 ，3 多重教射法 多重散射方法主要应用于有限大小的二维光予晶体，该理论 认为有限大，j 、鳆竞子晶体建个开放环境下许多散射体的组合， 这样边界条件是自动得到满足的。对于一般性的传输系数，可以 通过对远场的散射振幅进行积分获得。 在本论文中，研究对象均为二维光子晶谑或结构，故本，j 、w 萤 将对这种藻于二维光子晶体的多重散射方法进行介绍。 一理论提出和符号标注 如图2 2 所不，在直角坐标系0 一m 曙f ，一y 平面是n 个 平行柱体的截面：q 表示第j 根圆柱的截面；s ，表示第j 根圆柱 截蟊边葬( j = l ，2 ，3 ，) 。 柱体任意的分布在c 区域，每个柱体的介电常数为8 ，= 2 ， c ，豹藏心在d ，半径为晨，。假设饪意的两个圈d ，b 不相交， d ( 半径詹，圆心0 ) 表示包含c 的最小圆。空气中均匀平面波 ( 波矢石，旧= 2 万五) 以入射角口( 棚对于x 轴) 照射柱体，暂时只 2 2 论文题嚣：巍予晶律禚窘腔盎波导豹研究 考虑平行予z 轴的s 一偏掇光，但是该结褐可以撮广到p 一偏振光。取 时润焚化e x p ( 一f 耐) ，刘入射电场为： 学1 = 盂”；= e x p - 陇似c o s 搿+ ys i n 搿) k 。 ( 2 4 9 ) 定义蹙阉强意点抟教瓣逛秘嚣为该熹基场露霸入象场嚣之差。 霹5 = 豆一嚣( 2 5 0 ) f 。 鑫 j + 。一 ； i 、 o j x ； 。二。7 二。臻谂攘尊 圈2 2 理论表述示意图 总e 融场满足h e l m h o l t z 方程： v 2 群十露2 ) 露= o( 2 5 i ) 且有 识耻蹴c 玲傺荔黜裳黔喂， m 是平顾上任意一点，坐标为( 并，y ) ，h e l m h o l t z 方程可以表述为 论文题目：光子晶体耦合腔光波导的研究 如f 形式： v 2 e + k 2 ( m ) e = 恤2 一i 2 ( m ) 忙 ( 2 5 3 ) 如果考虑到入射场满足均匀h e l h o l t z 方程： v 2 e + | j 2 ( 彳) e = o ( 2 5 4 ) 由上面两式可得： v 2 e 5 + 2 ) e = k2 一f 2 ( m ) 忙 ( 2 5 5 ) ( 2 5 5 ) 式表示柱体外空间任何一点的散射场，再根据g r e e n 定理， 有： e 。( p ) = 一去尼2 肛。( 舻m ) 1 一f ( m ) 忙( m ) 出咖 ( 2 5 6 ) ( 2 5 6 ) 式中右边的积分能限制于所有柱体c i 的集合，因 七2 一i2 ( m ) 在柱体外为o ，这样一来，就可以将该积分写成如下 形式： 啪= 问景。鲨半蛆矾c 删顺m ，妫刚 由定义，第j 项叫做j 柱体的散射场，用e5 ，来表示： e 3 = e ， ( 2 5 8 ) 且有： 砖( p ) = 堕竽j f j 矾( 删坝m ) 妫 5 9 ) 为了使e5 j 表达更简单，建立相对于j 柱的极坐标，如图2 3 所 示。该坐标中p 点描述为极角q ( p ) 和0 ( p ) ( 相对于哆) ，用g r a f 论文题目：光子晶体耦合驻光波导的研究 公式和h a n k e l 函数，如果r ，( m ) 7 ，( 聊，有 日( 1 ) 。( 肥材) ：艺e x p 咖够c m ) 】厶睇( 肼) k 娜。溉( 聊】e x p b q ( p ) 】 ，有0 ( j p ) 吩，这样可以得到： e s ( p ) ：艺q 。三掣峙( p ) 】e x p 枷g ( p ) 】 且： 屯，= 竺! 生坦e x p 卜拥q ( m ) 】厶 奶似皿( m ) 蚴( 2 7 。) ox 网2 。3 投坐标示意图 最后，得出总散射场的彤式表达式， v p ，在d ，外： + 岫 e5 ( p ) = 6 ，。攒：【机( 尹) 1 e x p 【触学，( p ) 】 ( 2 7 1 ) 上式是极坐标散射场表达式，为了在统一的坐标系中考虑，例如 玲文题目：光于晶体耦合腔光渡导的研究 以c 为准的坐标，采用g r a f 公式，确 p 嘭( p ) 】e x p 【棚巳( p ) j = e x p 【f ( m 一9 ) 吖懈；l ( 奶7 ) j 。 奶( 尸) e x p i q 日，) ( 2 7 1 ) 用这种方法，h e l m 嘶1 t z 方程可以写成：v p ，如果( ，) 蔓一e 彤( 户) = 艺占圳e x p 【f ( 埘一g ) 列 x ；! 。( ) j 。【奶( p ) 】e x p 【由占。( p ) 】 ( 2 7 2 ) 同样，瞬时场可以写成如下形式： e 。( | d ) = e x p ( 撮。尸) = e x p 请t ( 0 0 ，+ b _ p ) 】 ( 2 7 3 ) = e 5 p 一妇。o s ( 口一目) 】xe x p 卜峨( p ) c o s 【8 岛( p ) 】) 利用恒等式e x p ( 打c 。s “) ：( i ) ”，。( ：) e x p ( 。) ，化简上式 f 2 ( p ) = e x p 一静。c o s ( 口一日。) j ( 一矿。x p ( 一抽) ，。 奶( p ) 1 。x p 【胁b ( p ) ( 2 7 4 ) 最后，由散射场和瞬时场可以得到一个在a 附近展开的场形式： 如果置l ( p ) 掣叫一r 小 蝴 * 届( 即= 口h j ，【抚( p ) 】e x p 【姗日( p ) 】+ 岛。口1 1 【缸( p ) 】e x p f 硎辞( p ) 一 ( 27 5 ) d 抽2 ( 一f ) “e x p 卜鼢。c o s 弛一口) 一咖口 + 6 。e x p 【j ( g m ) 彰 打裟。( 奶) 8 ，口。 ( 2 7 6 ) 论文题耳：光孑晶体藕台艟光棱导扮研究 图2 4f o u r i e r b e s s e l 级数展开示意图 利用口胁，岛，。构成的无穷矩阵占，茸，可以将上式霹成矩阵形式： 盈= 9 + 霉j 茸 ( 2 7 7 ) f 其中9 是由q ，。构成的列矢： 9 、。= ( 一f ) “e x p 一洳7c o s ( 口臼5 ) 一加? 口( 2 7 8 ) 互，的( m ，q ) 分量为： 霉_ 。= e x p f ( g 一聊) 彰】日艘。( 奶7 ) ( 2 7 9 ) 始匿2 + 4 鼹示，c ，附近的场可以展开成d ，闯的磁撞环郓穿 遭其它圆柱最近点的以d ，为中心的f 。u r i e r b e s s e l 级数形式。 散射场以及入射场的系数由第1 个柱体的参数构成的矩阵联系： 岛= 墨a ，( 2 8 0 ) 其中墨是一个无穷维矩阵。 此处的散射矩阵的定义和通常不一样，因为实际上第1 个圆 柱附近的场被分为入射场和出蓊场( 分羽对应第一和第二h a n k e l 论文趣目：光予晶体耦台麓先波导的研究 函数) 进一步的计算表明s 矩阵和经熟形式的线性的连接。 有 与 在x y 乎瑟中的p ，在极坐标中表示为点p ( o 彩，在d 外 + e 5 ( 固= ( 妇) e x p ( 砑目) ( 2 8 1 ) 6 。= 屯，e x 州m 一晕) 毋】一。( 鼢) ( 2 8 2 ) ；1 ，2 ，+ * o 在无限区域，通过用h a n k e l 函数的渐近形式，能用相似方法表达 蹦蜘压唧陋呼一劫 由( 2 8 3 ) 式可以得出： 嚣s ( p ) 。g ( 舀) ! ! ! ! ! ；塑 叫r 与 ( 2 8 4 ) 刚，= j 去唧( 一号) x 羞懿r ( 一呼 唧翰e z 嗡， 在无限区的强度被定义为： d ( 毋) = 2 万l g ( 毋1 2 ( 2 8 6 ) 对于无损失圆柱的能量平衡标准写为： 似刮2 挑z 打鼬h r 班， - o 髀s ， ( 2 8 7 ) 式中的方程被称为光学定理，表明向前散射振幅与总 截面之间的关系。从物理上可以这样来理解：在发生散射的时候， 论文题目：光子晶体耦台腔光波导扮研究 入射波所带来的能量必然有一部分能量从入射波中移出，从而使 褥入魁波方向的散射振幅减弱。 2 3 小结 经过本章对几种研究光子晶体的方法的介绍，我们已对它们 有了一定的了解，下倘让我们来总结一下它们各自的优缺点： 平面波展开法主要是将电磁场以平面波的方法震开。电磁波 在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，将麦克簌韦方程组化成 一个本征矢方程，来解本征值得到传播的光子的本征频率。但是 这种方法巍明显的缺点：计算量与乎瓣波豹波数有缀大的关系，几 乎正比予所有波数的立方，因此会受到严格的约束，对某些情况 显得无