（基础数学专业论文）关于范数的延拓.pdf

国防科学技术人学研究牛院硕十学位论文 摘要 当向量空间基域发生变化的时候会产生很多有趣的问题向量空间范数的延 拓问题在许多应用学科( 例如随机过程理论和量子力学) 中都有着其重要性在 本文中，我们研究了当基域从r 扩张到c ，再扩张到时所产生的范数延拓问题 我们首先考虑了四元数体上的赋范空间和内积空间我们把四元数赋范空间 上的有界线性算子表示为实线性算子的组合，运用这个表示，我们分别在四元数 赋范空间和四元数h i l b e r t 空间中建立了h a h n b a n a c h 定理和r i e s z 表示定理 其次，我们介绍了实向量空间的复化和四元化的概念，并考察了其基本性 质接下来我们证明了实向量空间中的每一个范数都可延拓到该空间的复化空间 和四元化空间上进一步，我们具体构造出了从实向量空间到其复化空间的极大 范数延拓，并由此导出了从m 。( r ) 到m a c ) 的相容矩阵范数的延拓最后，我们 把这个结果推广到了四元数矩阵的情形：m 。( r ) 上的每个相容矩阵范数都能延拓 为m 。( ) 中的相容强矩阵范数 关键词：范数延拓，相容矩阵范数，四元数矩阵 第i 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 a bs t r a c t m a t h e m a t i c a l l ym a n yi n t e r e s t sa l s ot a k ep l a c ew h i l et h eb a s ef i e l do ft h ev e c t o r s p a c ev a r i e s t h ee x t e n s i o np r o b l e mo fn o r m si nv e c t o rs p a c ei so fs i g n i f i c a n c ei nm a n y a p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e s ，s u c ha sa s t o c h a s t i c t h i sd i s s e r t a t i o n ，s t u d yt h en o r me x t e n s i o n rt oc t h e nt o 皿 p r o c e s s e sa n dq u a n t u mm e c h a n i c s w e ，i n p r o b l e mw h e nt h eb a s ef i e l de x t e n d sf r o m w ef i r s tc o n s i d e rt h en o r m e ds p a c ea n di n n e rp r o d u c ts p a c eo v e r q u a t e r n i o n s k e w - f i e l d w er e p r e s e n tt h eb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so na q u a t e r n i o n i cn o r m e ds p a c e a sc o m b i n a t i o n so fr e a ll i n e a r o p e r a t o r s u s i n g t h i s e x p r e s s i o n w ee s t a 瑚i s h h a h n b a n a c ht h e o r e ma n dr i e s zr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mi nq u a t e m i o n i cn o r m e ds p a c e a n d q u a t e r n i o n i ch i l b e r ts p a c e ，r e s p e c t i v e l y w et h e ni n t r o d u c et h ec o n c e p t so fc o m p l e x i f i c a t i o na n dq u a t e r n i o n i z a t i o no far e a l v e c t o rs p a c e ，i n v e s t i g a t et h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e m n e x tw ep r o v et h a te v e r yn o r mi n ar e a lv e c t o rs p a c ec a i lb ee x t e n d e dt ot h ec o m p l e x i f i c a t i o na n dq u a t e r n i o n i z a t i o no f t h a t s p a c e m o r e o v e r ，w ec o n s t r u c tt h em a x i m a ln o r me x t e n s i o no far e a ln o r m e ds p a c et oi t s c o m p l e x f i c a t i o na n dd e r i v ef r o mi tt h ee x t e n t i o no fc o m p a t i b l em a t r i xn o r mi nm 。限) t ot h a to f m ( c ) f i n a l l y ，w eg e n e r a l i z et h i sr e s u l tt ot h eq u a t e r n i o n i cm a t r i c e s ：e v e r y c o m p a t i b l em a t r i xn o h t ii n 鸭( r ) c a nb ee x t e n d e dt oac o m p a t i b l es t r o n gn o r m i n m ( h ) k e yw o r d s ：n o r l ne x t e n s i o n ，c o m p a t i b l em a t r i xn o r m ，q u a t e r n i o n i cm a t r i x 第i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：羞王范数鲍延拓 学位论文作者签名：琵丝邃 日期：& 硼年多月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：差士范熬鲍延揸 学位论文作者签名： 逮垄渣日期：“矽年胗月日 作者指导教师 日期：厶p 7 年，2 ，月日 国防科学技术大学研究牛院硕士学位论文 第一章引言弟一早，ii 1 1 研究的背景和现状 四元数体是英国数学家w r h a m i l t o n 于1 8 4 3 年发现的非交换数系，它构成 实数域上4 维可除赋范代数现在人们已经知道，非平凡的包含实数域的有限维 除环仅有复数域和四元数体这两个 尽管h a m i l t o n 和他的追随者从没有间断过对四元数的研究，但是在发现四元 数之后相当长的时间里，人们找不到四元数实际有效的应用，四元数的研究进展 缓慢，甚至在一段时期里几乎完全被向量分析所取代直到2 0 世纪中后期，随着 刚体动力学理论的发展，人们发现四元数理论可以有效地应用于刚体运动分析， 从那以后四元数才重新被人们所重视四元数可以用来表示空间的旋转，而且与 矩阵表示比起来，旋转的四元数表示形式更紧凑，计算更便捷为此，四元数广 泛应用于计算机图形学、控制理论、信号处理、姿态控制、生物信息学、分子动 力学、计算机模拟和轨道力学此外，四元数还与二次型理论有密切的联系 四元数体上的矩阵，作为非交换代数的典型例子，吸引了众多数学- t 作者的 关注，其中也有不少著名数学家，如华罗庚 1 】、p m c o h n 2 等但是由于四元数 乘法不满足交换律，四元数体上矩阵理论的研究非常困难 在经典的泛函分析和算子理论中，所考虑的各种空间的基域要么是实数域， 要么是复数域但是近三十年来，随着量子力学、随机过程等应用学科的发展， 四元数分析受到越来越多的重视，特别是四元数体上的函数分析和算子理论发展 迅速，方兴未艾 1 9 7 1 年，k v i s w a n t h 首次在文【3 】中研究四元数h i l b e r t 空间上正规算子的结 构，建立起四元数h i l b c r t 空间上正规算子的谱理论和算子推演理论；文【4 】【5 】进一 步研究酉算子的谱理论；在文【6 】中，a s u d b e r y 建立起完整的四元数体上正则函 数理论；文【7 】给出了四元数空间上的h a h n b a n a c h 定理；文【8 】对四元数体上的向 量空间、h i l b e r t 空间以及b 代数的结构进行了全面刻画，并给出了四元数h i l b e r t 空间的r i e s z 表示定理；文 9 】【1 0 】【l l 】对有限维四元数空间上的线性算子进行了深 入的研究 在理论研究中时常需要把一个实空间扩张成复空间，并讨论相关的算子扩张 的问题，这就是实空间的复化有关复化空间问题的研究开始于m r i e s z 1 2 和 g o t h o r i n 1 3 】，他们主要讨论实h i l b e r t 空间的复化以及算子范数的变化规律最 近几年，m s h a p i r o ，m e l u n a e l i z a r r a r f i s 和d 。a l p a y 开始研究实赋范空间和复赋 范空间上算子的四元化扩张问题在 1 5 】【1 6 】中他们讨论各类实函数空间上的有界 第1 页 国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 实线性算子；在 1 7 】 1 8 】中他们研究定义在实( 或复) 赋范空间上而取值于四元数 赋范空间的有界算子，并研究了实内积空间的复化空间和四元化空间的联系至 今，这方面的研究还很活跃 1 2 论文的组织和安排 本文讨论实赋范空间嵌入到复赋范空间和四元数赋范空间时范数的延拓 第二章第一节讨论四元数体上向量空间和赋范空间的基本性质，将经典的 h a h n b a n a c h 定理推广到四元数赋范空间第二节集中讨论四元数内积空间的性 质，给出了四元数赋范空问的范数可由内积诱导的充分必要条件，并在四元数 h i l b e r t 空间上建立起r i e s z 表示定理 第三章第一节考虑实赋范线性空间y 扩张到其复化空间y c 时范数的延拓问 题分别利用绝对范数概念和泛函延拓定理，给出两类从y 扩张到矿c 时范数的延 拓，并研究从矿扩张到v c 极大延拓范数的表示和性质 第二节讨论实赋范代数的复化借助r 2 上的绝对范数，给出了一种在实赋范 代数v 的复化空间v c 上构作范数的技巧应用极大延拓范数的表示，证明了实赋 范代数y 的范数的极大延拓使矿c 成为复赋范代数 第三节应用前面的结果得到如下两个结论：实矩阵范数均可延拓到复矩阵上， 实方阵的相容范数均可延拓到复方阵上 第四章第一节研究实空间y 扩张到四元化空间v h 时范数的延拓，将复化空间 的结果推广到四元化空间上利用r 4 上的绝对范数概念和四元数赋范空间上的泛 函延拓定理，给出了y 扩张到矿h 时范数的延拓，并讨论了矿h 上极大延拓范数的 性质 第二节研究四元数体上的矩阵范数定义了强范数和相容强矩阵范数概念， 给出了从r ”到”的强范数延拓，并进一步证明了实矩阵代数上的相容范数均可延 拓成四元数矩阵上的相容强矩阵范数 第三节讨论四元数矩阵的谱值，给出四元数矩阵右谱的谱半径公式 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕+ 学位论文 第二章四元数体上的赋范空间和内积空间 我们用表示实数域上四元数的集合，即 = a o + q f + 口2 j + a 3 ki 口f 酞，= o ，1 ，2 ，3 ) ， f 2 = j 2 = k 2 = i j k = - 1 对q = a o + q i + a 2 j + a 3 k ，称a o 为四元数g 的实部，记为r e q ，称 a l i + a 2 j + a 3 k 为g 的虚部，记为i m q 定义g 的共轭万= a o a i i a 2 j - a 3 k ，q 的模 qi = g 虿= 初= 菇+ 彳+ + 露是非交换的除环( 或称为体) ，i q l 。2 虿就是 非零元q 的逆元中的乘法没有交换律，但是关于四元数的共轭，可以验证对任 意的g 。，q ：有 q , q z2q z 吼 模为1 的四元数称为单位四元数，f ，j ，k 称为四元数基本单位 下面的几个引理可参考线性泛函分析的有关教材 引理2 1有限维实( 复) 赋范线性空间上的任意两个范数等价 引理2 2 实( 复) 赋范线性空间是有限维的充分必要条件是其单位闭球是紧 的 引理2 3 ( h a h n b a n a c h 定理) 设g 是实( 或复) 赋范线性空间e 的子空间， 厂是定义在g 上的有界线性泛函，则厂可以延拓到整个e 上且保持范数不变 引理2 4 ( r i e s z 引理) 对于h i l b e r t 空间u 上的每个有界线性泛函厂，必有 唯一的u u 使得下述等式成立： 厂( x ) = ，且= i u 反之，对任一元素u u ，由等式f ( x ) = l ， 。2 瞵i 而j ， 定义的p 和l 都是皿”上的范数( 这里i x tl 表示四元数西的模) 注意到有限维实( 复) 赋范空间有两个重要的事实：1 ) 有限维实( 复) 赋范 空i b j 的任意两个范数总是等价的，2 ) 有限维实( 复) 赋范空间的单位闭球是紧 的四元数赋范空间天然地是实赋范空间，而且维数为门的右向量空间看成实空 间时是4 门维的，由此不难得到有限维四元数赋范空间的相应结论 称右向量空间v 上的范数i 。和l 口等价，指的是存在常数m 鸠 0 ， 使得m 。蚓l 。蚓i 口m ：1 1 善1 口对所有善v 成立 命题2 7 有限维右向量空间上的任意两个范数都是等价的 命题2 8四元数赋范空间是有限维的充分必要条件是其单位闭球是紧的 设y ，都是四元数赋范空间，对线性算子t ：v 专w ，记 i l r l | = s u pi i 丁孝| i i i f | i = s u pi i 丁f | j = s u pi i r f l l ， u 告c e v ，1 4 1 1 = ic e v 言【。至1 当例f 0 0 时，就称丁为有界线性算子例i 为算子范数，它是使得i p 刮c 蚓i 对所 有f v 成立的最小的界c 命题2 9 设y 是四元数赋范空间，厂：v 专是有界线性算子，令缈( 善) = r e ( 孝) ( 对所有善v ) ，则缈是v 上的有界实线性泛函，且 厂( f ) = 缈( f ) 一缈( f f ) f 一缈( 孝_ ，) 一妒( 善尼) 后，i i s l l = 0 妒0 ( 2 1 ) 证明：显然妒：v 专瓞是实线性的在四元数恒等式 g = r e q r e ( q i ) i - r e ( q j ) j - r e ( q k ) k 中用厂( 孝) 替代g ，并用厂的线性，就可以得到( 2 1 ) 中的第一个等式 由iq , ( 4 ) l - lf g ) i - q ， 3 ( 缶，磊) = ( 岛，点 ， 4 ( 孝，孝) 0 ；( 孝，孝) = 0 当且仅当f = 0 四元数内积空间与复内积空间有许多相似的性质，但是当把系数从内积中提 出来的时候要特别小心，因为四元数乘法不是交换的比如 = 玩( 点，x q 2 ，卣，乞v ，q lq 2 丑 对孝v ，令蚓l = ，则l 是矿上的范数( * g s b 由四元数内积( ，) 诱导 出的) ，并且c a u c h y s c h w a r t z 不等式仍然成立： i ( 点，磊 蚓圳i 剑 如果v 在四元数内积诱导出的范数下是完备的赋范空间，则称v 是四元数h i l b e r t 空间 第6 页 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 四元数内积和诱导的范数之f u j 也有极化恒等式： ( f ，7 7 ) = 丢( 1 1 7 7 + 善0 2 一u 7 7 一善1 1 2 ) + 去( 0 7 7 + 善f i l 2 一u 7 7 一孝州2 ) f + f 2 2 ) 扣+ 彰卜研) + 扣+ 洲一炉剐) 尼 事实上， 0 r l + g 旷一1 1 7 7 一手1 1 2 = ( ，7 + ，刁+ 孝) 一( 7 7 一f ，r z - ( ) = 2 ( 孝，r 1 ) + 2 ( q ，孝) = 4 r e ( 孝，7 7 ) ， 于是 i 阿+ f f | 1 2 一r 一f 邛2 = 4 r e ( 4 i ，7 7 ) = 一4 r e ( i ( 善，7 7 ) ) = 一4 r e ( ( 孝，7 7 ) f ) 同理， l i r + u 0 2 0 7 7 一f 1 1 2 = - 4 r e ( ( 与x ，7 7 ) 歹) ， 1 1 7 + 孝后1 1 2 - , 7 - f k l 2 = 4 r - e ( ( 孝，7 7 ) 尼) 再由四元数恒等式 g = r e q - ( r e q i ) i - ( r e o j ) _ ，- ( r e q k ) k ， 就可得到( 2 2 ) 式证毕 现在，我们就可以给出范数可由四元数内积导出的充要条件了 定理2 11设矿是四元数内积空间，则由v 中内积导出的范数满足平行四边 形公式： i i 孝+ 7 7 1 1 2 + i i 善一7 7 1 1 2 = 2 ( 0 善1 1 2 + 1 1 , 71 2 ) ，f ，7 v ( 2 3 ) 反之，设( 矿，州1 ) 是四元数赋范空间，如果范数i 满足平行四边形公式，则在y 中 可以定义四元数内积，使之成为四元数内积空间，并且v 中原来的范数l 就是由 该内积导出的 证明：定理的前半部分由四元数内积的性质是容易得到的，我们只证后半部 分设四元数赋范空间v 的范数i 满足( 2 3 ) ，对孝，7 7 v ，定义 ( 善，7 7 = 丢( i l 刁+ 善1 1 2 8 7 7 一手1 1 2 ) + 丢( 0 7 + 孝钏2 一i i 刁一善川2 ) f + ( 0 7 7 + 善0 2 一1 1 7 一孝1 1 2 ) + 丢( | 1 7 7 + 七0 2 一1 1 7 7 一孝尼1 1 2 ) 后 剩下的只是验证( ，) 满足四元数内积的全部公理为此我们考虑由下式定义的函数 尸( ，) ：v x v 专r 尸( 善，刁) = ( 0 刁+ 孝0 2 0 刁一手1 1 2 ) 由实内积空间的特征，可知p ( ，) 是v 上的实内积，于是对所有孝，毒，受v 和a r ， 第7 页 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 有 e ( 4 ，氧+ 岛) = 尸( f ，缶) + 尸( 孝，岛) ， 尸( 缶，炙口) = p ( 专，炙) 口 由此不难得到 ( 孝，点+ 受 = ( f ，氧) + ( 孝，彘) ， ( 缶，乞g ) = ( 当，乞) g ，q r 为验证后面那个等式对所有q 成立，剩下的只要验证g = f ，j ，k 就可以了，而这 由( ，) 的定义式不难看出是对的我们还可以容易地得到 ( 卣，彘) = 磊，卣) ；( 孝，f ) = 0 孝旷 可见， = ( e m ，白 ，故a = a 由内积的非负性可知，x a x 0 对所有0 x ” 成立把同时满足a = a 和x a x 0 ( v x 0 ) 的四元数矩阵么称为正定四元数矩 阵这样我们就得到，“上的四元数内积必可表示成( x ，y = x a y = ( x ，a y ) ，其 中a 鸠( ) 是正定的反之，对任一正定的四元数矩阵a 吆( 皿) ，( ，a ) 硝是 右向量空间”上的内积 下面我们利用命题2 9 ，将实h i l b e r t 空间上有界线性泛函的r i e s z 表示定理推 广到四元数h i l b e r t 空间 定理2 1 3 【8 1 设矿是四元数h i l b e r t 空间，对于v 到的每个有界线性算子厂， 必存在唯一的7 v ，使得( 孝) = ( 7 ，善) 且i i 州= m i f t 2 ，对任一元素7 7 v ，由 等式( f ) = 定义了一个y 到皿的有界线。皑t y ：f ，且厂的范数满足i i 州= 蚓1 证明：设f ：v 专是有界线性的，由命题2 9 ，r e f ( ) 是v 上的有界实线性 泛函注意到r e ( ， 是y 上的实内积，于是由实h i l b e r t 空间有界线性泛函的r i e s z 第8 页 国防科学技术人学研究生院硕+ 学位论文 表示定理，h j 知存在唯一的1 7 v ，使得 r e f ( 孝) = r e ( r ，f ) ，v 善v 再次利用命题2 9 ，上式等价于 厂( 亭) = ( 7 7 ，孝) ，v 孝v 由i ( 孝) l = l ( r z ，孝) i l ，我们得到0 州蚓i 而由f ( r ) = ( r ，r 1 ) = 1 1 7 1 1 2 可知l l 州蚓i ， 是i s i - - 1 , 71 证毕 2 3 小结 本章第一节讨论四元数体上右向量空间和赋范空问的基本性质，利用关于有 界线性算子的恒等式把经典的h a h n b a n a c h 定理推广到四元数赋范空间上在第 二节中，我们集中讨论四元数内积空间的性质，证明了四元数赋范空间的范数可 由内积诱导的充分必要条件是范数满足平行四边形公式，讨论了n 元四元数组内积 的结构，最后把有界线性泛函的r i e s z 表示定理推广到四元数h i l b e r t 空间上 第9 页 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 第三章复化空间与范数的延拓 范数是矩阵分析的有效工具，尤其在描述矩阵幂级数这样一些概念时，它是 必不可少的，而在数值计算中矩阵范数也是非常重要的我们知道，当把复矩阵 空间坂，。( c ) 上的范数限制在实矩阵空间坂。( r ) 上时，它自然成为坂。( r ) 上的 范数那么，反过来呢，坂。( r ) 上的范数是否一定是坂。( c ) 上某个范数的限制 呢? 进一步，实方阵空间m 。( r ) 上的相容矩阵范数是否必定是m 。( c ) 上相容矩阵 范数的限制呢? 考虑这些问题是有意义的，因为在解决实矩阵的一些问题时，将 其视为复矩阵来处理会带来不少方便我们从空问的复化谈起，最后回到这些问 题上来 3 1 实赋范线性空间的复化 设y 是实线性空间，记 v c = v - i - i v = x + i yx ，y v ， 其中f 是虚数单位在y c 上规定加法和数量乘法： ( 五+ y 1 ) + ( 屯+ y 2 ) ：= ( 五十恐) + i ( y i + 畎) ， ( 口+ i b ) ( x + i y ) ：= ( a x b y ) + i ( a y + b x ) ，a ，b 匙， 那么v c 成为复线性空间，称矿c 为y 的复化空间自然地，将矿看成v c 的实子空 间对z = x + i y v c ( x ，y v ) ，通常记r e z = x ，i m z = y ，三= x - - y ( 称虿为 z 的共轭) 若y 是实赋范线性空间，问题是：如何在v c 上定义范数使之成为复赋范空间， 并保持y 上的范数不变? 我们指出，空问的复化问题可以追溯到r i e s z 1 2 和t h o r i n 1 3 的一些工作，在 众多应用领域都存在空间复化和算子扩张的问题 如果( v ， ) ( 3 1 ) 可以验证，上式定义的( ， c 是复空j 日jy c 上的内积，并且满足： + ( i m z ，i m z ) 命题3 1 设( 矿，i ) 是实赋范线性空间，| 1 | i 满足平行四边形公式： l i x + y l l 2 + l l x y l l 2 = 2 ( x i l 2 + l y l2 ) ，v x ，y ev ， 第1 0 页 图防科字技术大字研冗生阮坝十字何论又 则在v c = v j 矿上，由公式 l x + y l c ：= ( 2 + 2 ) v 2 ，x ，y v ( 3 2 ) 定义的函数i c 是复空间v c 上的范数 证明：由定理2 11 ，l 可由v 上的内积( ， 诱导出按( 3 1 ) 式在复空间v c 上 定r n n ( ，) c ，可以看到，| i i c 就是内积( ，) c 诱导的范数，并且i c 限制在y 上 恰好是| 证毕 注：“i i 芮足平行四边形公式”也是“( 3 2 ) 式定义的| c 成为v c 上的范数 的必要条件，这可由等式+ f ) + 纱) l i c = il + f 川x + 刎c 得到 定义3 2 例如果x = 誓】矿( r ”或c ”) ，定义l x l = i x , 门我们说i x l - l y l ， 是指i 薯i - l y , i 对所有i = l ，2 ，咒成立旷上的范数i 称为单调的，指的是对所有 x ，y 酽，i x l l y l 蕴涵- y l l ；称为绝对的，指的是对所有x 旷x = 0i x li i r ”或c ”上的p 范数( 1 p 0 至此，我们已经证明了l c 满足范数的全部公 理至于i c 是i 的延拓，由f c 的定义，是容易验证的证毕 将( 3 3 ) 式稍作修改就可得到： 命题3 5 设( y ，| | 1 1 ) 是实赋范线性空间，0 1 1 口是r 2 上的绝对范数，在 v c = y ；f 矿上定义函数l c ： i i x + y l c - a ：1 i i 0 c o s o x s i n 口y l i ，l i s i n o x + c o s o y 1 1 。d o ， o _ j r 2 其中o 。= 4 川 c o s o , s i n 乡】l | 。d o 则| | | i c 是复空间y c 上的范数，并且限制在y 上恰 0 好剖1 1 借助泛函延拓定理，我们再给出一种范数延拓的技巧 命题3 6 设( y ，1 1 1 i ) 是实赋范线性空间，则在y c = y 阜f y 上由公式 i i x + y l l c ：= s u p i f ( x ) + f ( y ) l ：fl ( v ，酞) ，i f 1 ( 3 4 ) 定义的函数i c 是复空间v c 上的范数，并且川l c 限制在矿上恰好是| i 1 i 证明：对f l ( v ，r ) ，记 夕 x + i y h 夕( x + 砂) = 厂( x ) + 矿( y ) ，x , y v 容易看出夕k ( 矿c ，c ) 于是( 3 4 ) 式就可写成 c = s u p i ( z ) i ：f l ( v ，r ) ，i f l - m a x r e z l l c ，i j i m z 峪 于是我们有 m a x l l r e z ，i m z c 黔z | i + | | i m z i i 由上述不等式可知，i c 是正定的证毕 注：根据泛函延拓定理，( 3 4 ) 式定义的范数可以用如下等价的式子计算 忙+ 砂i l c = s u p i f ( x ) + f ( y ) l ：fl ( s p a n x ，y ，r ) ，i i s l l i ：“y ，i i 甜8 1 ) = s u p l c 是( 3 1 ) 式定义的v c 上的内积e h fv 是有限维的，b = 甜v ：i 1 ) 是 紧的，而l ( x + i y ，甜) ci 是甜的连续函数，它在紧集b 上能取到最大值，故( 3 4 ) 式定义 的范数就为 0 x + f y l l c = m a x l ( x + 砂，“) ci ：u y ，1 再由内积的c a u c h y s c h w a r t z 不等式，就可以得到 l i x + y l c 拓丽丽= ( 2 + l y2 ) 啦， 等号成立当且仅当，存在u v 和复数c 使得x + i y = c - u ，亦即x ，少线性相关 现在我们已经知道，实赋范线性空间y 的范数l 是能够延拓到它的复化空间 v c 上的如果我们对所有这些延拓取上确界，那么它也是i 的延拓，我们称它为 i 在矿c 上的极大延拓下面的命题就对极大延拓范数进行了一些描述 第1 3 页 命题3 7 设( y ，i ) 是实赋范线性空间，r 是下式定义的v c = v - i - i v 上 的函数 i z l c ：i n f 窆川：z ：窆，巳c ，乃叱胛n ( 3 5 ) 那么以下四条成立： ( 1 ) i c 是复空间俨上的范数，并且i c 限制在y 上恰好是j ( 2 ) 若g ：专c 是复线性的，则在范数| c 的意义下有吲i = 矿，即 s u p i g ( z ) i ：z v c , i l z l l c l = s u p i g ( z ) l ：z y ，i z l - 1 ) ( 3 ) i z i c = s u p i f ( r e z ) + f ( i m z ) i ：厂l ( v ，c ) ，i f _ - l r e c 胙川0 ( r e c ，) 乙l | ：| i r e z i i ， l c j lz , l i m z l i z l l c m a x r e 圳i i m z 第1 4 页 国防科学技术入学研究生院硕十学位论文 由此- u 丁知，当z o 时，叫i c o 当z v 时，恻r 而从l ：= 的定义式中容 易看出，当z y 时，c - l l z l l 于是，俐c = 对所有z y 成立 ( 2 ) 显然g i 矿l ( v ，c ) ，并且恼矿0 1 - 记f = gl 矿，对任一给定的z v c ， 如果z = 巳z ，乃v ，则 i g ( z ) l - - - i c ，g ( 乙) i = i 勺( 乃) l f ql f ( z s ) i 0 厂0 i ei | l 乙 在上式最右端对分解z = c j z j ( 乙v ) 取下确界，得到 i g ( z ) l _ f lz 旷 由此可见，l i g l l - l l f l l = l l g l y i f 故l l g l l ：i l g i ，8 成立 ( 3 ) 对l ( v ，c ) ，记夕为由 x + i y 卜夕( x + 纱) ：= 厂( x ) + 矿( y ) 确定的v c 上的复线性泛函可以看到，k ( w c ，c ) = 夕if z ( v ，c ) ) 于是由泛函 延拓定理，我们得到 c = s u p z ) i ：厂l ( v ，c ) ，i | f l l 由( 2 ) 可知畛0 = s l ，于是集合 厂l ( v ，c ) ：y l - l 撇 f l ( v ，c ) ：i l s l l - 1 ， 因而( 3 6 ) 式成立 ( 4 ) 根据泛函延拓定理，对任一给定的z v c ，存在g k ( y cc ) ，使得 g ( z ) = ( z ) ；i g ( u ) l - - - ( 甜) ，v u v c 易知引矿l ( v ，c ) ，j i g i 矿i i _ 1 9 ( r e z ) + i g ( i m z ) l = l g ( z ) l = ( z ) 证毕 上述命题表明，( 3 5 ) 式定义的| | | f c 就是| | | f 在矿c 上的极大延- - h 一- - 数从证明中 可以看到，v c 上适合命题3 7 ( 2 ) 的范数必定适合( 3 6 ) 式，因而它是唯一的由此 我们得到极大延拓范数的一个判别准则： 推论3 8 设( 矿，j | j i ) 是实赋范线性空间，( ) 是矿c = y 阜f 矿上的范数，贝j j n ( ) 为l 在v c 上的极大延拓的充分必要条件是，对所有复线性泛函g l ( v c , c ) 有 s u p 邀型：s u p i g ( z ) 1 o m p c ( z ) o 矿| | z | | 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 3 2 实赋范代数的复化 域砸( r 或c ) 上的赋范代数指的是这样的代数，其上定义了范数，成为f 上 的赋范线性空间，并且范数满足次乘性质：拶0 xy i 完备的赋范代数称为 b a n a e h 代数 现在设y 是实赋范代数，在它的复化空间v c = v - i - i v 中规定乘法： ( 五+ 砒) ( 而+ 坎) ：= ( x 1 x 2 一y l y z ) + i ( x l y 2 + y l x 2 ) 可以验证，按上式规定的乘法旷成为复代数自然要问：能否在矿c 上赋以范数使 之成为复赋范代数，并保持矿上的范数不变? 命题3 9 设( 矿，i ) 是实赋范代数，i 。是r 2 上的绝对范数，通过下面三 个式子在矿c = y 罩f 矿上定义函数l c ： ( x + 纱) ：= g 1m a xec o s o x s i n 目y i i ，i i s i n o x + c o s 护y 1 1 忆， g ( x + i y ) ：= s u p ( ( x + 纱) ( 戈+ 涉) ) i ( 戈+ 步) 1 ，舅，歹v ) ， i i x + y l i c ：= m a x n ( x + i y ) ，g ( x + 砂) ) ， 其中巴= 唧m 引a x ：i c o s o , s i n 秒】| l 口则( v c , i i i c ) 是复赋范代数，并且l c 限制在y 上 恰好是i 证明：由命题3 4 ，( ) 是矿c 上的范数，且是i 的延拓进一步，由l 的次 乘性和l i | i 。的单调性，可以得到 n ( x z ) - 1 1 xn ( z ) ，v x ev ，z v c 于是，对z ，三v c ，有 n ( z s ) = n ( ( r ez ) 5 + i ( i mz ) 5 ) n ( ( r ez ) 三) + n ( ( i mz ) 5 ) ( i f r ez i i mz l i ) ( 三) 这表明，复赋范空间( y c ，( ) ) 上左乘z v c 的线性算子是有界的，g ( z ) 就是算子 范数，f i g ( z ) - r e z l l * i m z l i 由n ，g 都是y c 上的范数，以及( x ) - - i x l ，g ( x ) 对所有x y 成立，可知 i c 是y c 上的范数，且是i 的延拓剩下只需要验证i i i i c 的次乘性 由于g 是算子范数，不难看出 n ( z 5 ) g ( z ) ( 三) ，g ( z ：三) g ( z ) g ( 三) 因此，l i 历0 c c c v c 赋以范数l c 就成为复赋范代数证毕 第1 6 页 国防科学技术人学研究生院硕十学何论文 需要指出，李炳仁已经在义献 2 1 1 q 建立了实赋范代数的复化，命题3 9 巾范 数的构作过程与文献 2 1 】基本相同延用命题3 9 的记号，令彳= 矿c4 - c ，按 ( z l + c i ) ( 乞+ c 2 ) ：= ( z l z 2 + c 2 z i4 c i z 2 ) - - c i c 2 ，z l