（应用数学专业论文）按比例分红策略下具有常利率的复合泊松风险模型.pdf

南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导帅指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 方，日 搋2 嬲既 蚴九、瓣 v 嬲 中文摘要 中文摘要 我们考虑按比例分红策略下具有常利率的传统的风险过程。我们得到了关于 g e r b e r - s h i u 折现罚金函数的积分方程并且给出了确切的解。进一步我们又得到 了关于破产时间，破产前的瞬时盈余额及破产赤字的联合分布的确切表达式。 关键词：复合泊松分布的风险模型利率按比例分红策略g e r b e r - s h i u 折现 罚金函数破产时间破产前的瞬时盈余额破产赤字转移密度函数拉普拉斯 变换。 a b s t r a c t a b s t r ac t w ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a lr i s kp r o c e s sw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c eu n d e ra t h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g y w eo b t a i nt h ei n t e g r a l e q u a t i o n f o rg e r b e r s h i u d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na n dg i v ei t se x p l i c i ts o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，w ed e r i v et h e f 1 录 口罩 目习弋 第1 章前言1 第一节盈余过程的动态形式1 第二节按比例分红策略下修改的盈余过程的动态形式2 第三节按l t n 分红策略的研究进程及该文章的研究内容2 第2 章预备3 第一节引理的证明3 第3 章g e r b e r s h i u 折现罚金函数8 第一节折现罚金函数m ( u ) 所满足的积分方程8 第二节折现罚金函数( u ) 的明确表达式10 第三节( u ) 的表达式与所满足的积分方程的关系l l 第4 章三个保险精算量的联合分布1 3 第一节 r ( t ) ，t 0 ) 及 r ( f ) ，f 0 ) 的转移概率1 3 第二节三个保险精算量的联合分布的确切表达式1 5 第三节转移密度函数歹( f ，“，x ) 的拉普拉斯变换的表达式1 6 第1 章前言 按比例分红策略下具有常利率的复合泊松风险模型 南开大学数学学院t 玲芝邮编3 0 0 0 7 1 第1 章前言 第一节盈余过程的动态形式 设( q ，s ，p ) 是一个包含我们在下面见到的所有随机变量的全概率空间，我们 用u ( t ) 表示在没有支付红利条件下保险公司的盈余额，然而，盈余过程是按动 态形式给出 d u ( t ) = c d t + u ( f ) 础一d s ( t ) ( 1 1 ) 或等价地 u ( f ) = “+ j ：( c + 尸u ( s ) d s s ( f ) ( 1 2 ) 从s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) ，我们有 u ( f ) = “p + c j ：p 芦d s j ：e p ( t - s ) d s ( s ) ( 1 3 ) 那里 ，v f t l s ( f ) = x 。 这里u o 是保险公司的初始盈余额，p 0 是常利率，c o 是不变的保费收 益率，s ( t ) 是复合泊松过程表示到时间t 时理赔量的总和。 n ( t ) ，t 0 是具有 参数入 0 ，以相同时间问隔计算总理赔次数的泊松过程，x n ，n = l ，2 ，独立于 n ( t ) ，t o ) 是正的独立同分布的随机变量，随机变量x n 表示理赔额，我们用 f ( x ) 和f ( x ) 分别表示通常的分布函数和概率密度函数，且有f ( 0 ) = o 。我们也假 设x n 来表示u = e ( x n ) 是有限的且c = ( 1 + 0 ) 入u ，那里0 是j 卜的相对安令附加 系数。 第二节按比例分红策略下修改的盈余过程的动态形式 第1 章前言 具有常利率的传统的风险模型，已经在文献中广泛研究，例如见 g e r b e r ( 19 71 ) ，d e l b a e n 和h a e z e n d o n c k ( 19 8 7 ) ，s u n d t 和t e u g e l s ( 19 9 5 ，19 9 7 ) y a n g 和 z h a n g ( 2 0 0 1 ) ，c a i 和d i c k s o n ( 2 0 0 2 ) 和参考文献中。 本文所考虑的按比例分红策略下具有常利率的复合泊松风险模型是在传统 常利率风险模型基础上，考虑如下修改盈余额的动态形式而得到的。 我们假设保险公司是一个股份公司，红利是按具有参数b 0 和q o 的比例 策略支付给股东，无论何时，瞬时盈余额( 修改) 是在水平b 以下，不支付红 利，然而，修改盈余额是在b 以上，连续地以不变的比例q 支付红利，对于t 0 时，设d ( t ) 表示到时间t 支付的红利总和。在这种情况下，保费收益率足 c c 1 ，我们让c q = ( 1 + 0 。) 入u ，且解释为相对安全附加系数0 。可以是非正， 我们假设红利的支付是不会影响公司的经营状况，这样，在t 时修改盈余额是 尺( f ) = u ( f ) 一j ：e p ( t - s ) d d ( s ) = 【，( f ) 一a j ：e p ( t - s ) ，( r o ) 6 ) 幽 ：卜托够舡1 协 肌脚 ( 1 4 ) 【“p + ( c - 口) j ：e m d s j ：e p ( t - s ) a s ( s ) r ( f ) b 、7 然后，修改盈余额过程按照动态形式 删f ) ：j 础+ 尺( ) p a t a s ( ) r ( ) 6 ( 1 5 ) 、7 l ( c a ) d t + r ( t ) p d t d s ( t ) r ( t ) b 一个可选择的表达式足 r ( t ) = “+ i 【c ，( 尺( s ) b ) 十( c a ) i ( r ( s ) 6 ) + p r ( s ) 幽一s ( f ) ( 1 6 ) r ( t ) 的一个典型实例是如图i ( 附表) 显示的。 r ( t ) 就是本文所要研究的风险模型 第三节按比例分红策略的研究进程及该文章的研究内容 对于保险公司风险模型分红策略是由d e f i n e t t i ( 1 9 5 7 ) 首次引进到更逼近地 反映一个保险公司盈余资金流转和南j e a n b l a n c p i c q u es h i r y a e v ( 1 9 9 5 ) t a k s a r 第2 章预备 ( 1 9 9 7 ) 引进到目前所研究的按比例分红策略中，这种策略足在限定条件下进行 推断。近几年来，这种按比例分红策略由一些专家：a s m u s s e n ( c h a p t e r ， 2 0 0 0 ) ，g e r b e r - s h i u ( 2 0 0 5 ，2 0 0 6 ) ，z h o u ( 2 0 0 4 ) 进行了深入的研究，特别是n a t h a n i e l s m i t h ( 2 0 0 5 ) 和l i n 与p a v l o v a ( 2 0 0 6 ) 分别对带常利率的复合泊松风险模型 上带壁分红策略和按比例分红策略进行了详细的研究。 注：如果b 一或c t = o ，本文所考虑的盈余过程就化为具有常利率的复合泊 松的风险模型。事实上，这种模型以及类似本文所考虑的问题已经由吴荣等 ( 2 0 0 5 ) 研究。如果q = c 盈余过程是与具有常利率在限定分红策略条件下传 统的风险模型一致。 这篇论文是研究具有常利率按比例分红策略下传统的风险过程。在第二章 中，我们给出一个引理是这篇论文的基础。在第三章中，我们得到g e r b e r - s h i u 折现罚金函数的积分方程及确切的表达式。在第四章的主要结果是关于风险过 程( 1 6 ) 破产时间，破产前的瞬时盈余额及破产赤字的联合分布的确切表达式。 第2 章预备 第一节引理的证明 我们定义o 域3 ，兰盯 尺( 叭s t v 毋，那里罂是在3 中所有的零测集，由 d e l b a e n 和h a e z e n d o n k ( 1 9 8 7 ) l 蟹l 引理2 1 及p r o t t e r ( 1 9 9 0 。p 2 2 ) 9 l 理的3 1 ，得到族 域 3 ，f 0 足右连续的。设p 、足修改盈余过程 r ( t ) ，t 0 得到的在 q ，3 。 上 的概率具有，p 1 ( r ( 0 ) = x ) = l ，x ( 一，+ o 。) ，由p r o t t e r ( 1 9 9 0 ，p 2 3 8 ) 的) 引理的 3 2 ，在( 1 6 ) 中盈余过程f r ( t ) ，t o ) 是一个具有关于p 1 ，x ( 一o o ，+ c o ) ，右连 续轨道的强马尔可犬过程。 t n ，n 1 ) 表示一系列的保险公司发生的理赔时刻，它是泊松过程f n ( t ) ，t o 的一系列的跳跃时问，i ( ) 是一个示性函数，f 面, - j i 理是这篇文章的雏础。 第2 章预备 引理2 1 对于n 1 ，设x l ，”，x 。，y i 一，yn - l ( o ，o o ) ，以y ，k ：l n ，x l u 0 , 0 y o = “。假设，万0 ，y 。0 ，然后，我们有 e 【p 一矾，( 尺( 正一) d x 。，尺( 正) a y 。，r ( l 一) d x 。，尺( 瓦) a y 。) i 尺( o ) = u l 兰e “ 一。7 i ( r ( t t 一) d x ，r ( 正) e l y 。，尺( 瓦一) d x 。，尺( 瓦) d y 。) 】 ( 2 1 ) = g 。( 万，u ，x i ，y l ，x 。，y 。) d x l a y i d x 。e l y 。， 那里 g 。( 万，“，x 。，y ，x 。，y 。) = 丌h ( x ，y 矿( x 女- y t ) k - _ l h ( x 。，y 。一1 ) = 一一c - p a ) 了 p ( 工。+ 坐) 1 4 等 ( 工。+ ) 尸 p ( 6 + 尘旦) 了 兰旦 p ( x 。+ 坐) 1 + 等( 。+ ) p p ( y 川+ 三) 了 x 。 y 。一1 b ( 2 2 ) 生坚 ) 9x 。b , o y 川 b 0 y 。一1 y = 尺( 瓦一。) b 而 尺( 瓦一) = y , - i p p 一+ ( c j r ( l 一) = y - i e p l 一瓦 刮r e dd t + 竺( p p ( l 一一1 ) p a = e “ p i ( y 川e 朋+ 以 ( y 。 2 + 8 + 竺) 7l + ) p p l x n + 证明：设 p 一朋： c 一口 y 月一l + 1 + 2 + 5 ) p c 一口 出。 x = y _ l e 朋+ c a x n + c 一口 ( p 朋一1 ) d x 。) c 一口 ( p 硝一1 ) ，则 丑+ 占 a = p 一奶2 e 一矾d 互= a ( e 一加) pd r , c 一口 = 2 ( n l + c a x n + p 出。， 5 ( 2 6 ) 第2 章预备 这样 以 五+ a ( y 川+ 型) 7 p 出。， 情况( 2 ) ：如果，x 。= 尺( 一) b , o y 川= r ( 一，) r ( 瓦一1 ) 0 k = 1 ，2 尺( 瓦一) r ( 瓦) 0 k = 1 ，九一1 lr ( 一，) “，尺( 互) o l r ( o ) = 甜】 = f 以x l , y 。i 堙( 万，“，_ ，y 。) 妙。d x 。 = f “x l , y 。i 弦( “) 似，唱) a y 。d x 。 ( 3 7 ) 对于n 2 ，从引理2 1 我们得到 吮( “) = e e 一识w ( r ( l 一) ，i r ( 瓦) 1 ) ，( 丁= l ) k ( o ) = “ = e p 一吼w ( r ( 瓦一) ，l r ( 瓦) 1 ) ，( “ 尺( 正一) ，0 r ( 互) 尺( 互一) ， 尺( 五) r ( t 一) ，o 尺( 疋) r ( 疋一) ，尺( l 一2 ) 尺( l 一。一) ， 0 r ( l 一。) r ( 瓦一，一) ，尺( l 一。) r ( l - ) ，尺( l ) q r ( o ) = “】 = r 出。e 1 砂j ：一。出。以x 。，l y 。i ) g 。( 正“ ，y 。，x 。，y 。) 咖。 ( 3 8 ) 把( 3 7 ) ，( 3 8 ) 代入到( 3 6 ) 即得到( 3 5 ) 。我们就完成了引理的证明。 第三节( u ) 的表达式与所满足的积分方程的关系 引理3 2 折现罚金函数矽( “) 的表达式( 3 5 ) 是积分方程( 3 4 ) 的解 证明：从引理3 1 和( 2 2 ) 对于门2 我们有 第3 章g e r b e r - s h i t 折现罚金函数 吮( “) = f 出，咖j j i 一出。w ( x 。，k 1 ) 冉矗( x k ，y k - i ) 厂( 工t y 。协。 = f 出c 1 ( x ，“矿( x 。一y 。) 方，f 出：r 2 方： ( 一，出n w ( 帅n 吵( x k , y k - i 小x k - y k 坳一 因为 d x z j ：2 ( 一。出。d ( 咖。唾厶( x k , y k - i 川x k - y k 溉讯川 然而 吮( “) = d x ，r 办( x 。，材矿o ，一y ，) 丸一。( y 。) 砂， 它满足 矽( “) = 破 ) + 窆丸( “) = 么( “) + 主f 出。c 1 ( x 。，“) 厂( 义。一y ，) 吮一，( y 。) d y ， = 办( “) + r 出。r 1 办( x 。，“沙( _ 一弘) t x o 一。( y ，) 坳。 = 办( “) + d x 。r 1 办( _ ，“矿( x 。一y 。) 矽( y 。) d y 。 = r h x li y 。i 沙( _ ，“) 厂( 工。一y 。) d y ，d x 。十r r h ( x i , u 渺( y ，) 厂( 一y 。) d y 。d x ， 这就是完整的证明。口 推论3 1 如果万= 0 ，彩三1 ，我们得到破产的概率 ，z ，u i 妙( “) = p t l 尺( o ) = “ = li 9 1 ( o ，“，x l ，y 1 ) d y l d x i j j z + 薹r 出。r 。d y r j ：i 一d x 。g 。( o y ，y 。) d y 。 对于万，u ，x 0 和y 0 置 f ( 5 ，甜，x ，y ) = e e 一玎i ( r ( t - ) x ，r ( 丁) y ，t 0 0 ) r ( o ) = 甜 具有联合密度函数f ( 6 ，m ，x ，y ) ，让f ( 6 ，“，x ) 表示f ( 5 ，u ，x ，0 ) 的密度函数，即 厂( 万，“，x ) d x = e e 一洲i ( r ( t 一) d x ，t 0 ，x 0 和任意 f 曰( ( o ，) ) ( 在( 0 , o o ) 上b o r e l 仃域) 我们得到 p ( t , x ，r ) = p 5 限( f ) r ) = 五o ，g ( f ，j c ) 一y ) i ( g ( t ，x ) y ) 砂+ 耳( g ( f ，x ) ) 口一詹 ( 4 6 ) 对于t = 0 ，我们得到 尸( 0 毛r ) = i r ( 对 那里0 ( x ) 表示f 的示性函数，由( 4 5 ) 我们有对于任意固定 似x ) ( 0 , o o ) ( 0 ，) ，转移概率p ( t ，墨) 在( 0 ，g o ，x ) ) 上有密度函数p ( f ，焉y ) ，且 p ( t ，x , y ) = j i ( f ，g x f ，x ) 一y ) ( 4 6 ) 现在我们引进以破产时刻t 为分段点的盈余过程 r “) ，t 1 0 ) 的转移密度函 数。定姗轳臀置 ( 4 7 ) 那里o 是一个孤立的点，限定它的值在( 一，o ) ，拆( f ) ，t o 是一个具有概 率元 p 。，x ( 0 o d ) 和右连续轨道的强马尔可夫过程。对于 x ( 0 ，o o ) ，rt - - n ( o ，) ，职( f ) ，t 0 的转移栅率p ( t ，x ，r ) 是 声c 厶x ，r ，= 。p 。仃：；7 fr ：_ ： ( 4 8 ， 从( 4 8 ) 我们能看到对于任意x ( o o o ) , f 曰“0 ) ) ， 第4 章三个保险精算的联合分布 一p ( t ，x ，r ) p ( t ，x ，r ) p ( t ，x ，) 按照关于p ( t ，x ，) 是绝对连续，这样p ( t ，x ，) 在( o ，g ( t ，x ) ) 上有密度函 数万( f ，五) 。 第二节三个保险精算量的联合分布的确切表达式 定义 i o = p i t ( f ，t + d t ，r ( t - ) ( x ，x + d x ，i r ( r ) l ( y ，y + d y l r ( o ) = “】 下面引理就是对三个保险精算量的联合分布厶的确切表达。 引理4 1 设“，x , y 0 ， ( i ) 假设石 g ( t ，u ) ，此时i o = 0 ( i i ) 假设x = g ( t ，“) ，此时i o = a e f ( g ( t ，u ) + y ) d t d y ( 4 9 ) ( i i i ) 假设z 互，如果石 a ( t ，x ) ，事件r ( t 一) ( x ，x + 出) 是不可能事 件，故i o = 0 ( i i ) 假设( i i ) 的跳跃时间t = z ，这样，我们有 i o = a e 一刀f ( g ( t ，甜) + y ) d t d y ( i i i ) 设z = t + 。幺那里= i n f t o ，r ( t ) = z ) 有i n f 矽) - 0 0 和包，t 0 是从q 到它自身的移动变换，由r ( s ，0 o ) = r ( s + f ，国) 对于s ，t 0 表示。而 r ( r ) = r ( t 一) 一x ( n ，按照g e r b e r 和s h i u ( 1 9 9 7 ) 的思路，我们可以改写厶为 厶= p u 【丁 f ，砭( f ，t + d t ，( z ，+ ) = 1 ，x ( ，+ 。) ( x + y ，x + j ，+ 咖) 】 因为z 是一个 3 ，) 停时，在独立条件下我们有 i o = p “( r f ，( f ，t + d t 2 t i e - 厶f ( x + y ) d y ( 4 1 1 ) 那里在两种情况下给出：( a ) 0 x b 和( b ) x b 现在，我们考虑情况( a ) 0 x b ：! 生i - o ( d 2 x ) ( 4 1 2 ) px + 生 第4 章j 个保险精算的联合分布 因为n ( t ，t + d t ) = 0 我们有 r ( t + d r ) = r ( t ) e p d + c 折+ o ( d2 f ) = r ( t ) + ( p j r ( f ) + c ) d t + o d2 f ) 和 瓦( f ，t + d t 】r 、n ( t ，t + d t ) = 0 = r ( t ) x r ( t ，t + d t ) ) r 、 n ( t ，t + d t ) = 0 = r ( t ) f ，( f ，t + 出】，n ( t ，t + 以) = o ) + o ( d2 f ) = p “( 丁 f ，r ( f ) ( x 一( p x + c ) d t ，x ) ，s ( t ，t + d t ) = o ) + o ( d2 t ) = p ( t ，u ，( x 一( p + c ) d t ，x ) ) + o ( d 2 t ) = p ( t ，u ，x ) ( p x + c ) d t + o ( d 2 f ) ( 4 1 3 ) 从( 4 11 ) ，( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) ，我们得出结论：对于0 x 或让口= 0 得到。 第三节转移密度函数试t ，u ，) ( 】的拉普拉斯变换的表达式 从引理4 1 能够看到转移密度函数p ( t ，u ，x ) 在( 4 1 0 ) 中起着重要作朋，这 样，对于研究用声( f ，u ，x ) 表示它的拉普拉斯变换是必要的，即 芦( 万，吣) 2 e - & p ( t ，“，x ) d t 对于任意固定“，工0 引理4 2 对于任意“0 , 0 x g ( t ，“) 我们柯 歹( 万，u ，x ) = ( 五f ( x ) ) j 厂( 万，“，x ) ( 4 1 4 ) 第4 章j 个保险精算的联合分相 那里f ( x ) = 1 一，( x ) 。 证明：设“0 和y 0 。从( 2 2 ) ，( 3 1 0 ) 和( 3 11 ) 我们得到 厂( 万，“，x ，y ) = ( 万，“，x ) 兰；乏妄孚 ( 4 1 5 ) 这是因为设x 。= 工，y 。= y 由( 3 11 ) 式，有 厂( 万，“，x ) = 五( x ，“) 厂似一y ) j ( “x ) 方+ f 出。j ：1 d y ，一篙“ u ( 一：出川r 1 砂川卉k = l 矗( 儿t ) 厂( x k - y k ) 方 = 矗( 训) 一f ( x y m x ) + f 出。e 1 d y 。 j ：一：出川r 1 砂川罂厶( t ) 厂( x t y t ) 厂( x 一少) 办( x y 川) 咖 = ( 五甜) 1 一，( x ) ， x ) + j ：；c 出砂。 j ：i ： n - 2 出川r 一县n - i 而( x k , y k - , ) f ( 屯一y 。) 卜，( x y ) | o 。 ( x y 川) 砂川 = 矗( 训) 1 一，( x ) 砌j ) + f 出。e 。d y ， e 一：出e 川罂矗( x t ，y ) 厂( x t y k ) 【1 一f ( x ) 】矗( x y 川) 咖川 上式两边同除1 一f ( x ) ，且乘厂( 工一y ) 得到 兰立芋铲= 办( x ，“) 厂( x y ) ，( “x ) + 薹j _ 出，j ：砂 f 2d x 。一。f ”一hh ( x t ，y t 一。) 厂( x y k ) ( x y ) h ( x y 。一- ) d y 。一， o ) 月一2 ，u 七= l = f ( 8 ，“，x ，y ) 而 厂( 万，y ) d x d y = r p 一西p i t d t ，r ( t 一) d x ，尺( 厂) 咖i 尺( o ) = “ = r e - a i ( o _ x g ( f ，“) ) 丁d t ，r ( t 一) 出，尺( 丁) d y + r e - a i ( x g ( t ，“) ) j p “ 丁d t , r ( t 一) d x ，尺( 丁) 咖 兰，。+ ，2 引理4 1 还得到i ，：0 。我们用p 。乘( 4 1 0 ) 式并从( o ，0 0 ) 上积分，得到 第4 章j 个保险精算的联合分布 f ( 6 ，u ，x ，y ) = 矽( x y ) p ( 8 ，u ，x ) 这是因为 厂( 万，“，x ，y ) d x = i o e - 0 。p i t d t ，r ( r 一) d x ，r ( t ) i e l ( 一y ) i r ( o ) = “ = i ；e - 西2 f i ( t ，“，石) ( 工一y 矽t d x ：( x y ) 芦( 万，u ，x ) c l x + ( 4 1 6 ) 证明。口 与吴荣等( 2 0 0 5 ) 研究 参考文献 参考文献 1 a s m u s s e n ，s ，t a k s a r ，m c o n t r o l l e dd i f f u s i o nm o d e l sf o ro p t i m a ld i v i d e n d sf o r p a y - o u t i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ( 1 9 9 7 ) 2 0 ，1 一1 5 2 c a i ，j ，d i c k s o n ，d c m o nt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o na tr u i no fas u r p l u s p r o c e s sw i t hi n t e r e s t i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c ea n de c o n o m i c s ( 2 0 0 2 ) 3 0 ，3 8 9 4 0 4 3 d ef i n f u i ，b s uu n i m p o s t a z i o n ea l t e m a t i v ad e l l ac o l l e t i v ad e lr i s c h i o p r o c e e d i n g so ft h e t r a n s a c t i o n so f t h ex vi n t e m a t i o n a lc o n g r e s so f a c t u a r i e s ，v 0 1 ( 1 9 5 7 ) 2 ，4 3 3 4 4 3 4 d e l b a e n ，f ，h a e z e n d o n c k ，j ，c l a s s i c a lr i s kt h e o r yi na ne c o n o m i ce n v i r o n m e n t i n s u r a n c e ： m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ( 19 8 7 ) 6 ，8 5 11 6 5 g e r b e r ，h u d e re i n f l u s sy o nz i n sa u fd i er u i n w a h r s c h e i n l i c h k e i t m i t t e i l u n g e nd e r s c h w e i z e r i s c h e nv e r e i n i g u n gd e rv e r s i c h e r u n g s m a t h e m a