人教版高二数学课件“三垂线定理”.ppt

三垂线定理,会昌县第一中学高二数学备课组2006-12-13,复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线,O为斜足;,PA是平面的垂线,A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,三垂线定理,性质,判定定理,性质,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,三垂线定理,直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当b时，bOA,如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？,但b不垂直于OP,思考?,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。,说明：,三垂线定理,例1直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1)已知：PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD,(3)已知：在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,(1),(2),(3),(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形O为BD的中点,AOBD,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,证明:,(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1,在正方体AC1中A1B1面BCC1B1且BC1B1CB1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证，A1CB1D1,由三垂线定理知A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一定、二找、三证。即,第一、定平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直,线斜垂直,直线和平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,aPO求证：aAO,三垂线定理的逆定理,例2如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO,分析：要证BAO=CAO只须证OE=OF,OEAB,OFAC,P,?,?,?,证明：,PO,OE、OF是PE、PF在内的射影,PE=PF,OE=OF,由OE是PE的射影且PEAB得,OEAB,同理可得OFAC,结论成立,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,小结,三垂线定理,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,3