（基础数学专业论文）on+lie+triple+systems.pdf

a b s t r a c t i nt h i sr e p o r t 、w es h a l lg i v eas t r u c t u r et h e o r yo fl i et r i p l es y s t e m si nt h ef i r s tp a r ta sac o l l e c t i o no f t h ew o r kh a v eb e e nd o n ei n c l u d i n gt h er e a t i o nb e t w e e nl i et r i p l es y s t e m sa n dl i e 出g e b r a s ( j o r d a n a l g e b r a s ) ，s o m er e s u l t so nt h es o l v a b l e ，t h en i l p o t e n ta n dt h es e m i s i m p l e i n v a r i a n tb i l i n e a rf 0 1 2 n s 耐ub ea l s oc o n c e r n e d t h es e c o n dp a r tw es 1 1 a 1 1m a i n l yc o n n e c tl i et r i p l es y s t e m sw i t hs o m e o t h e ra l g e b r a sa n dt h e nt r yt of i n dm o r en e wr e s u l t so i ll i et r i p l es y s t e m s w g l i s t e rp r o v e d t h a tas e m i - s i m p l el i et r i p l es y s t e mc a nd e c o m p o s e di n t od i r e c ts u mo fs i m p l el i et r i p l es y s t e m s w i t ht h et 0 0 1o fs t a n d a r di m b e d d i n gl i ea l g e b r aa n dg a v et h eu n i q u e n e s so ft h ed e c o m p o s i t i o n i n t h ef i r s ts e c t i o no ft h i sp a r tw e 曲a 1 1 西v et h eu n i q u e n e s so fd e c o m p o s i t i o nf r o ml i et r i p l es y s t e m s s t r u c t u r ed i r e c t l y ，a n dc o v e rt h er e s u l to ft h eu n i q u e n e s so fs e m i s i m p l el i et r i p l es y s t e m s i n s e c t i o np a r tw es h a l ld i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ft h et e n s o rp r o d u c to fac o m m u n i c a t i v ea s s o c i a t i v e a l g e b r aa n dal i et r i p l es y s t e r n ，a n dt h e nc o n s t r u c ts o m ef i n i t ed i m e n s i o n a ll i et r i p l es y s t e m s f r o ml a u r e n t 巾o l y n o m i a la l g e b r aa n dn o v i k o va l g e b r a l j s a n t h a t o u a b a n eg a v et h ed e f 【n i t i o n o fn i l p o t e n tl i ea l g e b r a so fm a x i m a lr s n ka n dh a v es h o w ns o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nk a c - m o o d y a l g e b r a sa n ds u c hs p e c i a lk i n do fn i i p o t e n tl i ea l g e b r a sa sf o l l o w s f o ra n yn i l p o t e n tl i ea l g e b r a go fm a x i m a lr a n ka n do ft y p ez ，w i t ham i n i m a ls y s t e mo fg e n e r a t o r sx = e l ，e 2 ，e i ，t h e r e e x i s t sa nf fg e n e r a l i z e dc a f t a nm a t r i xa = ( a i j ) w h o s ee q u i v a l e n c ec l a s si sa ni n v a r i a n to fg s u c h t h a t 。 ( a d e i ) 1 “e 5 0 ， ( a d e t ) - - a i j “e 20 + t h e r e f o r e ，f r o mt h ek a c m o o d ) a l g e b r as ( a ) a s s o c i a t e dt oa 、as p e c i a lk i n do fn i l p o r e u tl i e 舢g e b r a so tm a x i m a lr a n kw i t hs o m eu n i v e r s a ip r o p e r t yw e r ec o n s t r u c t e d i nt h et h i r ds e c t i o n w e s h a ug e n e r a l i z et h e s en o t i o n sa n dm e t h o dt ot h er e s e a r c ho nn i l p o t e n tl i et r i p l es y s t e m s c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n a na b s t r a c tl i et r i p l es y s t e mr ( 1 2 0 ，f 3 1 】， 3 6 1 ) i sav e c t o rs p a c ew i t hat e r n a r yp r o d u c t ，】 s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n s ：vo ，b ，z ，y ，z t ， 胁，9 ，z _ 一z ，z 】， 忙，口，z 1 + 恒，z ，z 1 + 扛，z ，1 = 0 a ，b ，p ，= 1 = 【。，6 ，z 】，2 + b ，【a ，b ，们，z 】+ 仕，”， n ，6 ，z ” ( 0 0 1 ) ( 00 2 ) ( 0 0 3 ) l e tfb ea na l g e b r a i c a l l yd o s e d6 e l dt h a th a sc h a r a c t e r i s t i cp20 a n dl e tgb eac o n n e c t e d r e d u c t i v ea l g e b r a i cg r o u po v e rf l e t0 a u t ( g ) b ea l li n v o l u t i o no fg t h e nt h el i ea l g e b r a 9 = l i e ( a ) p o s s e s s e sad e c o m p o s i t i o n g = 七o p i n t o + 1 - a n d - 1 - e i g n s p a c eo f d i f i e r e n t i a lo f 0 ，a n d k = l i e ( k ) f o rk = 伊，t h eg r o u po ff i x e dp o i n t so f0 ，a l t h o l l g hn o ral i es u b a l g e b r a ，t h e - 1 e i g e n s p a c epo f0 a u t ( g ) d o e sb e a rt h es t r u c t u r eo fal i et r i p l es y s t e m ( 1 3 ) l i et r i p l es y s t e ma r o s ei n i t i a l l yi nc a r r a n ss t u d i e so fr i e m a r m i a ng e o m e t r y ，i nw h i c hh e e m p o l y e dh i sc l a s s i f i c a t i o no ft h er e a ls i n p i el i ea l g e b r at oc l a s s i f ya ni r a p o r t a n ts u b c o l l e c t i o n o fr i e m a n n i a nm a i n f o l d s ，t h es y m m e t r i cs p a c e s u pt oaf a c t o ro fae u c l i d e a ns p a c e c a r r a n ：s c l a s s i f i c a t i o na s s o c i a t e dt oe a c hs v m m e t r i es p a c emas e m i s i m p l el i eg r o u pgw i t ha ni n v o l u t i v e a u t o m o r p h i s m m o r ep r e c i s e l y ，f o rs o m en 0 m 岂r ”x g k w h e r eki sac o m p a c ts u b g r o u po fgd e t e r m i n e db yt h ef i x e dp o i n t so fa ni n v o l u t i o nf r o mgt o i t s e l f , a n dg kp o s s e s s e sag - i n v a r i a n tp c 【e m a n n i a ns t r u c t u r eb ym e a x l so ft h i sa s s o c i a t i o no fl i e g r o u p st os y m m e t r i cs p a c e sa n do fl i ea l g e b r a st ot h el i eg r o u p s c a f t a nw e l sa b l et oc l a s s i f yt h e s y m m e t r i cs p a c e s g i v e nar i e m a n n i a ng l o b a l l ys y m m e t r i cs p a c em a n o t h e rr e s u l to fc a r t a n s a s s o c i a t i o n st oe a c ht o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l dso fmal i et r i p l es y s t e mtc 口，w h e r e 口i s t h el i ea l g e b r ao ft h eg r o u po fi s o m e t r i e so fm ，a n dv i c ev e r s at h et h e o r yo fs y m m e t r i cs p a c e s 眦s u b s e q u e n t l yp l a c e di nam o r ea l g e b r a l cs e t t i n gb yt h ef u n d a m e n t a lw o r ko fl o o sl i et r i p l e s y s t e ma n dt h e i rc o n n e c t i o n sw i t hs y m m e t r i cs p a c e sa n dr e l a t e ds p a c e sc o n t i n u et ob eas o u r c eo f i n t e r e s t ( f 5 1 f 2 6 1 f 3 0 ，f 3 1 ) j a c o b s o nf i r s ti n t r o d u c e dl i et r i p l es y s t e m si nc o n n e c t i o nw i t hp r o b l e m sf r o mj o r d a nt h e o r y a n dq u a n t u mm e c h a n i c s ，v i e w i n gl i et r i p i es y s t e m sa ss u b s p a c e so fl i ea l g e b r a sgw h i c ha r e c l o s e dr e l a t i v et ot e r n a r yp r o d u c t ( 2 0 】，f 2 l 】) ，i ti sw e l lk n o w nt h a ta na s s o c i a t i v ea l g e b r a 。4 b e c o m e sal i ea l g e b r aw i t hh6 1 = 曲一k i na na s s o c i a t i v ea l g e b r a 。4an e wc o m p o s i t i o ni s i n t r o d u c e db yp u t t i n g 8 吣= a b + b a ，ab e c o m e sac o m m u t a t i v e ，n o n - a s s o c i a t i v ea l g e b r as u c hc h a t “ 弘) 口) = “n 8 ) ， k ”s u c ha l g e b r a sa n dt h e i rs u b a l g e b r a sa r es p e c i a lj o r d a na l g e b r a sa n 3 r s p e c i a lj o r d a na l g e b r a sm a yb et r e a ta sas u b s p a c eo sa l la s s o c i a t i v ea l g e b r ac l o s e du n d e rt r i p l el i e p r o d u c t ss i n c ei na 【。1b 】，e l = o h m 一 p ) f u r t h e ri na n yj o r d a na l g e b r aaw ei n t r o d u c e 2 o nl i et r i p l es y s t e m s t h et e r n a r yc o m p o s i t i o n a ，b ，c = “曲) n ) 一“) 6 ) ，ab e c o m e sal i et r i p l es y s t e m ，t h ea s s o c i a t o r l i et r i p l es y s t e mo f 且 a l s o ，t h em a p p i n gz 吼= z d ) i naj o r d a na l g e b r ac o n s t i t u t eal i et r i p l e s y s t e mw h i c hi sah o m o m o r p ho ft h ea s s o c i a t o rl i et r i p l es y s t e ma n di sc a l l e dt h em u l t i p l i c a t i o n l i et r i p l es y s t e mo fj o r d a na l g e b r a ( 【3 4 ， 4 7 ) s o ，b yt h e s er e l a t i o n s ，l i et r i p l es y s t e mi sab r i d g e b e t w e e nl i ea l g e b r aa n dj o r d a na l g e b r a a n dl i ea l g e b r a sm e t h o d sa n dr e s u l t sh a v eb e e nu s e di n t h es t u d yo fj o r d a na l g e b r a s s i n c et h es y s t e mw a si n t r o d u c e d ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sd o n eal o to fw o r ko ni t ，a n dt h e s t u d yo fl i et r i p l es y s t e m sh a sm a d eg o o dp r o g r e s sd u r i n gt h el a s tc e n t u r y a sa ni n d e p e n d e n t a l g e b r a i cs y s t e m ，t h e r ea r es t i l lm a n ya l e m e n t a r yp r o b l e m st os o l v e s a m et oo t h e ra l g e b r a s t h ep r o b l e mo fc l a s s i 矗c a t i o ni sb o t haf u n d a m e n t a la n da ni m p o r t a n t o n e b yn o w ，t h es t u d yo fi ti sr e s t r i c t e do nt h es i m p l el i et r i p l es y s t e m si nf a c t ，s i m p l el i et r i p l e s y s t e m so v e rcw e r ef i r s t l yc l a s s i f i e db ye c a f t a n ：h ec l a s s i f i e dt h es i m p l el i ea l g e b r a so v e rr ， w h i c hi m p l i e dac l a s s i f i c a t i o no ft h el i et r i p l es y s t e m so fc o m p a c tt y p eo v e rra n da 1 1s i m p l el i e t r i p l es y s t e m so v e rc w i l l i a ng l i s t e rd e t e r l n i n e da l ls i m p l el i et r i p l es y s t e r n so v e ra na r b i t r a r y a l g e b r a l c a l l yc l o s e d e l do f 出a r a c t e r i s t i c0 ( 3 1 1 、a n o t h e rm e t h o df o rt h i sc l a s s i f i c a t i o nw a s d i s c o v e r e db yj o h nrf a n l k n e r ( f 8 1 ) n h o p k i n sr e c e n t l ys h o w e dh o wt oc o n n e c tt h ec l a s s i f i c a t i o n t ot h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef o r m so ft h ed e r i v a t i o na l g e b r a ( 【1 6 ， 2 5 】) t h e r ei sal o n gw a yf o ru s t og i v ef i n dt h ea n s w e rt ot h ec l a s s 进c a t i o no fs i m p l eo n e so fc h a r a c t e r i s t i c0 t h ef i n i t el i ea l g e b r ao naf i e l do fc h a r a c t e r0h a sal e v id e c o m p o s i t i o n ( 3 3 1 ，j 1 4 ) ，t h a ti st o s a y i tc a nb ed e c o m p o s 酣i n t oas u mo fas e m i - s i m p l es u b a l g e b r aa n dm a x i m a ls o l v a b l ei d e a l l e v id e c o m p o s i t i o ni sa ni m p o r t a n tr e s u l ti nt h es t r u c t u r et h e o r yo fl i ea l g e b r a s t h a n k st ol e v i d e c o m p o s i t i o n ，t h es t u d yo fl i ea l g e b r a sc a r lb ed i v i d e di n t ot h es t u d i e so ns u c ht h r e eb a s i ct y p e s a st h es e m i s i m p l e ，t h es o l v a b l e ，a n dt h en i l p o t e n t u s i n gt h en o n d e g e n e r a t ek f i l i n gf o r mo fs e m i s i m p l el i ea l g e b r a ，s e m i s i m p l el i ea l g e b r ac a l lb ed e c o m p o s e di n t oad i r e c ts u i t ! o fs i m p l ei d e a l s w g l i s t g a v e t h es t r u c t u r e t h e o r yo f l i e t r i p l es y s t e m s o f c h a r a c t e r i s t i c o a sa p a r t o f h i s t h e s i s f o r p h d ( 3 1 1 ) h ed e v e l o p e d n o t i o n s o f t h e t a d i c a l ，s e m i - s i m p l e - s i m p l i c i t y , a n ds o l v a b i l i t y a s d e f i n e d f o rl i et r i p l es y s t e m si n c l u d i n gp r o o f so ft h ee x i s t a n c eo fas e m i - s i m p l es u b s y s t e mc o m p l e m e n t a r y t ot h er a d i a l ，w h i c hi sa l s oc a l l e dl e v id e c o m p o s i t i o n ，a n do ft h ed e c o m p o s i t i o no fas e m i s i m p l e s y s t e mi n t ot h ed i r e c ts u mo fs i m p l ei d e a l s n o r ac h o p k i ni n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fn i l p o t e n t i d e a la n dn i l - r a d i c a lo fl i et r i p l es y s t e l t i s ，s h es u c c e s s f u l l yg e n e r a l i z e de n 删st h e o r e mt ol i et r i p l e s y s t e m si nc h a r a c t e r i s t i cz e r o ( f 1 5 1 ) t h e nt h es t u d yo fl i et r i p l es y s t e mc a nb ed i v i d e di n t ot h r e e b a s i ct y p e ss i m i l a rt ol i ea l g e b r a s ：t h es i m p l e ，t h es o l v a b l e ，t h en i l p o t e n t i t i sw e l lk n o w nt h a t t h es e to fi n v e r s a b l el i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so fav e c t o rs p a c ec o n s t r u c t ag r o u p ，a n df r o mt h es e to fa 1 1t h el i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s ，w ec a r lg e ta s s o c i a t i v ea l g e b r a ，l i e a l g e b r a ，j o r d a na l g e b r a ，a n ds oo n ，t h eh o m o m o r p h i s m so fa b s t r a c tg r o u p s fa s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，l i ea l g e b r a s ，j o r d a na l g e b r a s ) t ot h eg r o u p s ( a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，l i ea l g e b r a s ，j o r d a na l g e b r a s ) c o n s i s to fl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n sa r ec a l l e dt h er e t ) r e s e n t a t i o n so ft h e s ea l g e b r a i cs y s t e m s a s s a i n et ot h ef a c t ，t h es e to fa 1 1l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n sc a nc o n s t r u c tal i et r i p l es y s t e mw h i c hi sa c a l l e dl i n e a rl i et r i p l es y s t e m ，a n dah o m o m o r p h i s mo fa b s t r a c tl i et r i p l es y s t e mt ot h el i n e a rl i e t r i p l es y s t e mi sc a l l e dar e p r e s e n t a t i o no ft h ea b s t r a c tl i et r i p l es y s t e m ( 3 1 1 ) s i n c eal i et r i p l e s y s t e mc a nb ei m b e d d e di n t ol i ea l g e b r a s ，w ec a nu s e dt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fl i ea l g e b r a s i nt h es t u d yo ft h er e p r e s e n t a t i o n so fl i et r i p l es y s t e m s f r o mar i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c emw ec a ng e tal i et r i p l es y s t e mt ，t h es u b s y s t e m s o fw h i c hh a sac o r r e s p o n d e n c et ot h et o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d s s t u d yo i lt o t a l l yg e o d e s i c s u b m a n i f o t d so fr i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c e si sa l li m p o r t a n tp a r to fg e o m e t r y t h er e s u l t so f t h i sr e s p e c t sn a t u r a l l yc a nb et r a n s f o r m e dt ot h o s eo fm a x i m a ls u b s y s t e m so ft ，a n dt h e s er e s u l t s a r er e s o u r c ea n dm o t i v eo fs t u d yo nm a x i m a ls u b s y s t e m so fg e n e r a ll i et r i p l es y s t e m s i nl i e a l g e b r a ，t h eb o r e ls u b a l g e b r a s ( m a x i m a ls o l v a b l es u b a l g e b r a s ) w h i c hh a v ei n t i m a t ec o n n e c t i o nt o g e o m e t r y t h em a x i m a ls o l v a b l es u b s y s t e m so fl i et r i p l es y s t e m sa r ea l s oi n t e r e s t i n go b i e c t s t h e s t u d yo nw h i c hi sj u s ta tt h eb e g i n n i n g b e f o r e1 9 6 0 s ，t h em a i nf o c u so ft h es t u d yo fl i ea l g e b r a sw a sf i n i t el i ea l g e b r a s ，e s p e c i a l l y f i n i t es e m i - s i m p l el i ea l g e b r a ss i n c e1 9 7 0 s ，ak i n do fi n f i n i t el i ea l g e b r aw h i c hi sc a l l e dk a c ， 0 nl i et r i p l es v s t e m s 4 m o o d ya l g e b r aa d v a n c e dr a p i f f l y ( f 2 2 1 ) a n di nt h es t u d yo fk a c m o o d ya l g e b r a ，a f f i n ea l g e b r a h a sb e e np a i dc l o s ea t t e n t i o nt oa na m n ea l g e b r ai sm a i n l yc o n s t r u c t e db yaf i n i t es i m p l el i e a l g e b r aa n dal a u r e n t p o l y n o m i a la l g e b r aw h i c hi si n f i n i t e i ft h el a n r e n t p o l y n o m i a la l g e b r ai si n s e v e r a li n d e t e r m i n a t e s t h ea 最b ea l g e b r aw i l lb eat o r o d i a la l g e b r aw h e ng e n e r a l i z i n gs u c hi d e a l s a n dm e t h o d st ol i et r i p l es y s t e m ，w ea l s oc a ng e ti n f i n i t el i et r i p l es y s t e m s t h u st h er e s e a r c ho n i n f i n i t el i et r i p l es y s t e m sh a sg r e a tp o t e n t i a l i t i e s ， al i ea l g e b r a ( r e s p s u p e r - l i ea l g e b r a ) o v e r8f i e l do fc h a r a c t e rp 0i sc a l e dm o d u l e - l i e a l g e b r a ( r e s p m o d u l e - s u p e r - l i ea l g e b r a ) t h ea p p e a r a n c eo fm o d u l e - l i ea l g e b r a sa n dm o d u l e ， s u p e rl i ea l g e b r a si so n eo fs y m b o l sw h a tp r o v et h a tt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a si si n d e p e n d e n t t ot h eo n eo fl i eg r o u p s a s8 a r a et ol i ea l g e b r a s ，a l t h o u g ht h ea p p e a r a n c eo fl i et r i p l es y s t e m s h a si n t i m a t ec o n n e c t i o nt os y m m e t r i cs p a c e sa n dl i eg r o u p s ，t h et h e o r yo fl i et r i p l es y s t e m si s i n d e p e n d e n ti nas e n s e r e s t r i c t e dl i et r i p l es y s t e m s t h el i et r i p l es y s t e m so fc h a r a c t e rp 壬0 a r eg o o de x a m p l e st os h o wt h ei n d e p e n d e n c e t e r r e l ll h o d g ed e f i n e dar e s t r i c t e ds t r u c t u r e f o rl i et r i p l es y s t e m si nt h ec h a r a c t e r i s t i cp 2 s e t t i n g a k i nt ot h er e s t r i c t e ds t r u c t u r ef o rl i e a l g e b r a s ，a n di n i t i a t eas t u d yo ft h e o r yo fr e s t r i c t e dm o d u l e sf f l 9 1 ) n o w ，r e s t r i c t e dl i et r i p l e s y s t e m sa t t r a c tm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n s i nt h i s r e p o r t ，w es h a l lg i v eas t r u c t u r et h e o r yo fl i et r i p l es y s t e m si nt h ef i r s tp a r ta s ac o l l e c t i o no ft h ew o r kh a v eb e e nd o n ei n c l u d i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nl i et r i p i es y s t e m sa n d l i ea l g e b r a s ( j o r d a na l g e b r a s ) ，s o m er e s u l t so l lt h es o l v a b l e ，t h en i l p o t e n ta n dt h es e m i - s i m p l e i n v a r i a n tb i h n e a rf o r m sw i l lb ea l s oc o n c e r n e d t h es e c o n dp a r tw es h a l 】m a i n l yc o n n e c tl i et r i p l e s y s t e m sw i t hs o m eo t h e ra l g e b r a sa n dt h e nt r yt of i n dm o r en e wr e s u l t s0 nl i et r i p l es y s t e m s w g l i s t e rp r o v e dt h a tas e m i s i m p l el i et r i p l es y s t e mc a nd e c o m p o s e di n t o 出r e c ts u mo fs i m p l e l i et r i p l es y s t e m sw i t ht h et o o lo fs t a n d a r di m b e d d i n gl i ea l g e b r aa n dg a v et h eu n i q u e n e s so ft h e d e c o m p o s i t i o n h lt h ef i r s ts e c t i o no ft h i sp a r tw es h a i ig i v et h eu n i q u e n e s so fd e c o m p o s i t i o nf r o m l i et r i p l es y s t e m ss t r u c t u r ed i r e c t l y ，a n dc o v e rt h er e s u l to f t h eu n i q u e n e s so f s e m i s i m p l el i et r i p l e s y s t e m s i ns e c t i o np a r tw es h a l ld i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ft h e