（基础数学专业论文）paleywiener空间的零集.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 !jiii llijl l i mi l l l4 + l lh i l l j i l li i i y 17 3 2 3 3 9 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在l 月解密后适用本规定。 非涉密论文囱 论文作者签名：举赶海日 导师签名：铰妻冬兰乙= 日 p a l e y w i e n e r 空间的零集 摘要 摘要 本文主要研究了p a l e y - w i e n e r 空间的零集，给出了p a l e y - w i e n e r 空间零集的 完全刻画 作为应用，我们讨论了p a l e y w i e n e r 空间零集的性质设a 是p a l e y w i e n e r 空间的零集，a ，ca 我们证明了如果a ，是有限集，则a 。一定不是p a l e y w i e n e r 空间的零集；如果人。是无限集，则a 。不一定是p a l e y - w i e n e r 空间的零集并且 证明了两个p a l e y w i e n e r 空间零集的并集不一定是p a l e y w i e n e r 空间的零集 最后，我们构造了一个具体的型不超过丌的指数型整函数，尽管它限制在 实轴上趋于零，但是却不属于p a l e y - w i e n e r 空间 关键词：p a l e y - w i e n e r 空间；零集；指数型整函数 作者：朱树海 指导教师：侯绳照( 教授) a b s t r a c tz e r os e t so fp a l e y w i e n e rs p a c e z e r os e t so fp a l e y - w i e n e rs p a c e a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t ez e r os e t so fp a l e y - w i e n e rs p a c e ，a n dg i v eac o m p l e t e d e s c r i p t i o no fz e r os e t sf o rp a l e y w i e n e rs p a c e a sa na p p l i c a t i o n ，w ed i s c u s sp r o p e r t i e so fz e r os e t sf o rp a l e y w i e n e rs p a c e s e t t i n g 人i saz e r os e to fp m e y - w i e n e rs p a c e a 1ca w es h o wt h a ta 1i sn o taz e r os e to fp a l e y w i e n e rs p a c ei fa 1i sf i n i t e ；a 1n e e dn o tb eaz e r os e to fp a l e y - w i e n e rs p a c ei fa li si n f i n i t e ， a n dt h eu n i o no ft w oz e r os e t sf o rp a l e y - w i e n e rs p a c en e e dn o tb eaz e r os e to fp a l e y - w i e n e r s p a c e f i n a l l y , w ec o n s t r u c ta l le n t i r ef u n c t i o n o fe x p o n e n t i a lt y p ea tm o s t7 r ，a l t h o u g hi t 目录 引言1 第一节p a l e y w i e n e r 空间零集的几何特征5 第二节p a l e y w i e n e r 空间零集的性质1 2 第三节关于p a l e y w i e n e r 空间元素的一个特征1 5 参考文献1 9 致谢2 1 p a l e y - w i e n e r 空间的零集 引言 芦i 士 i 吕 经典的p a l e y w i e n e r 空间 3 ，17 】是由型不超过7 r 且限制在实轴上平方可积 的指数型整函数全体组成的解析h i l b e r t 空间( 记作p 彤2 或p w ) p a l e y w i e n e r 空 间不仅与小波分析、信号分析等学科密切相关 8 ，2 0 ，而且在经典的f o u r i e r 分析 的研究中起着非常重要的作用p a l e y w i e n e r 空间与l 2 _ 丌，7 r 之间是由f o u r i e r 变换建立起来的 1 6 ，对v y ( z ) p w ，3 0 ( t ) l 2 一7 r ，7 r ，使得 化) 2 去_ 霄妒( 。) e 娩饥 因此，三z 一丌，丌 上的问题可以转化为解析h i l b e r t 空间上算子论和函数论的问 题例如，设a = 【h ) 是一列互不相同的实数，则 e i a n t ) 是l 2 一丌，丌 的r i e s z 基 当且仅当a 是p a l e y w i e n e r 空间的完备插值序列； e i a n t ) 是l 2 一7 r ，7 r 】的r i e s z 序 列当且仅当人是p a l e y w i e n e r 空间的插值序列； e i a n t ) 是l 2 一丌，7 r 的一组标架 ( f r a m e ) 当且仅当a 是p a l e y w i e n e r 空间的样本序列 1 8 目前，p a l e y w i e n e r 空间的插值序列、完备插值序列以及样本序列的研究 已经相当清楚记q ( x ，r ) 表示以z 为中心，2 r 为边长且边平行于坐标轴的正方 形，这里x r ，r 0 我们称序列a 是相对稠的，如果存在珊 0 使得对v x r ， 有a nq ( x ，r 。) 0 ；我们称序列 ) 满足离散( a 2 ) 条件，如果 ，繁等( 去，篓。) ( 去，霎。町1 ) 0 ，邮s u p 。i i 脬，ia j - a k o 并且a 是离黼 即埘一i 0 ( 2 ) 极限s ( z ) 5 热i i i 0 时，i e ( z ) l i e ( 乏) l 的所有整函数e 组成的空间，用h 2 ( c + ) 表示上半平面上的h a r d y 空间对每 一个e 一h b ，记h ( e ) 表示满足厂( 名) e ( z ) ，( z ) e ( z ) 都属于h 2 ( c + ) 的所有整函 数f ( z ) 组成的h i l b e r t 空间，并且 i i l l 刍= e 撩d t = 黔装 ，一o o i 一、，l 2 0 0 2 年，o r t e g a - c e r d h 和s e i p 1 4 证明了由实数组成的离散序列a 是p a l e y w i e n e r 空间的样本序列当且仅当3 e ，f 一h b 使得 ( 1 ) h ( e ) = p w ； ( 2 ) a 由e f + e 。f + 的全部零点所组成 在解析h i l b e r t 空间中，零集的研究与插值序列、完备插值序列以及样本序 列同等重要我们称序列a 是解析h i l b e r t 空间x + 的零集，如果存在非零元素 f x 使得a = z ( ，) 这里z ( f ) 表示，的全部零点( 计算重数) 所组成的集合 正如多项式一样，如果知道了一个多项式的所有零点，那么这个多项式就被唯 一确定( 相差常数倍) ，因此，p a l e y - w i e n e r 空间零集的刻画就成为人们关注的焦 点 p a l e y - w i e n e r 空间的研究与b e r g m a n 空间和f o c k 空间的研究相辅相成 1 9 】 b e r g m a n 空间a 2 是由单位圆盘d 上，满足 i l f l l 2 = 1f di f ( z ) 1 2 d a ( z ) o ，令p a ( z ) = 罢e - 圳z 1 2 如d y ，名= z + i y ，f o c k 空间瑶是由满足 j i f l l 。= l i f l l q ，：= | f ( z ) 1 2 缸az ) p a l e y w i e n e r 空间的零集 引言 的所有整函数，组成的h i l b e r t 空间b e r g m a n 空间零集的几何特征是b e r g m a n 空间三大著名公开问题之一，f o c k 空间零集的刻画等价于量子力学中相干态 系统完备性的刻画1 1 5 ，1 9 9 3 年k z h u 利用整函数的l i n d e l 5 f 定理研究了f o c k 空间零集的基本性质 2 2 ，证明了f o c k 空间零集的子集不一定是f o c k 空间的零 集2 0 0 7 年s h o u 和d z h e n g 证明了单点集与f o c k 空间零集的并集不一定是 f o c k 空间的零集，这说明了现有的刻画零集的不变量( 密度) 不可能对f o c k 空 间的零集给出完整的描述 9 】而对于p a l e y - w i e n e r 空间，单点集与p a l e y w i e n e r 空间零集的并集也不一定是p a l e y - w i e n e r 空间的零集，例如， 佗) 。= z ( - - - 磊- - - z ) s l n 7 r z 是p a l e y - w i e n e r 空间的零集，但是 o ) u n 。o = z ( s i n7 1 z ) 不是p a l e y w i c n e r 空间 的零集因此我们期望通过对p a l e y - w i e n e r 空间零集的刻画和深入研究，试图找 到刻画f o c k 空间零集的不变量以及b e r g m a n 空间零集几何特征的有用信息，这 是我们关注p a l e y - w i e n e r 空间零集的一个重要原因 记b 为限制在实轴上有界的指数型整函数全体组成的h i l b e r t 空间，n ( c ，t ) = c a r d x 。：i 入n - - c l t ) ( 称作 k ) 的计数函数( 计算重数) ) ，这里c c 2 0 0 9 年f a v o r o v 完全刻画了空间b 的零集 5 ，证明了序列 k ) cc 是空间b 的零集当且仅当 ( 1 ) 极限盖骢之存在； u a n i - ( 2 ) 礼( o ，t ) = d ( ) ，t o o ；n ( o ，t + 1 ) 一n ( 0 ，t ) = d ( t ) ，t _ 。o ； ( 3 ) 3 b r a ，使得s u p n ( 6 ，t ) 一礼( z ，t ) t 一1 d t o 。 x e ri ，0 由于p a l e y w i e n e r 空间中任意一个元素都在空间b 中 2 1 ，因此，这为我们研究 p a l e y w i e n e r 空间的零集提供了参考 本文第一节主要研究了p a l e y w i e n e r 空间的零集，给出了p a l e y - w i e n e r 空间 零集的完全刻画 作为应用，第二节我们主要讨论p a l e y w i e n e r 空间零集的性质证明了如 果p a l e y - w i e n e r 空间零集的子集是有限集，那么这个子集一定不是p a l e y w i e n e r 3 引言 p a l e y w i e n e r 空间的零集 空间的零集；如果p a l e y w i e n e r 空间零集的子集的补集是有限集，那么这个子 集一定是p a l e y - w i e n e r 空间的零集；如果p a l e y - w i e n e r 空间零集的子集及其子集 的补集都是无限集，则这个子集不一定是p a l e y - w i e n e r 空间的零集并且证明 了两个p a l e y w i e n e r 空间零集的并集不一定是p a l e y w i e n e r 空间的零集 众所周知，竺竺p 彬s i n - 丌x _ 0 ( z _ o 。) ，而极限l i ms i n7 r z 不存在，s i n7 r z 圣 p w 并且知道，p a l e y w i e n e r 空间中任意一个元素限制在实轴上极限都等于零 f 2 1 ，p 8 3 ，因此一个自然的想法是：型不超过丌的指数型整函数，如果限制在实 轴上趋于零，那么它是否属于p a l e y w i e n e r 空间? 本文第三节我们给出了一个 具体的型不超过丌的指数型整函数，尽管它限制在实轴上趋于零，但是却不在 p a l e y w i e n e r 空间中 4 何特征 p a l e y - 定义1 1 我们称由型不超过丌且限制在实轴上平方可积即 忖俨= 去e i m 胪揪o 。 的指数型整函数全体组成的h i l b e r t 空间为p a l e y w i e n e r 空间，记作尸w 2 ( 或p w ) 3 ， 1 7 定义1 2 我们称序列a 是解析h i l b e r t 空间x 的零集，如果存在非零元素，x 使得a = z ( n 这里z ( y ) 表示，的全部零点( 计算重数) 所组成的集合 记n ( c ，t ) = c a r d a 。：一c i ) ( 称作 k ) 的计数函数) ，这里c c 本文中 出现的计数函数均计算重数为了研究p a l e y - w i e n e r 空间零集的几何特征，我 们引入以下引理： 5i 埋1 1 卿呆厅夕ua = k ) cc 0 j - 满足 ( 1 ) 极限肌l i m 。i 1 存在； l a 。i r “ ( 2 ) n ( o ，t ) = d ( t ) ，t 一； ( 3 ) n ( o ，t + 1 ) 一佗( o ，t ) = d ( ) ，t _ ( 这里( 2 ) ( 3 ) 分别表示扣l i m 。n ( o ，t ) t = c 0 ，规h ( o ，t + 1 ) 一n ( o ，t ) t = 0 ，下文同) 则 出，2 般i 黑r ( 1 一砉) i a n i r 、 ”7 5 第一节p a l e y w i e n e r 空间零集的几何特征p a l e y w i e n e r 空间的零集 是一型为有限的指数型整函数，并且对v z c 有 ， i n1 9 ( z ) i = 礼( o ，t ) 一n ( z ，t ) r l d t j 0 这个引理是由+ f a v o r o v 证明的 5 我们称夕( z ) 为序列a = k ) 的生成函数 引理1 2 如果序列a = 【k 是函数s ( z ) p w 的所有零点组成的集合，即 a = z ( ，) ，则 舰。 r _ 。ou 。 0 i n k ” 存在，并且函数，( 名) 可以表示成如下形式 ，z ) = a z m e i x z 舰。 瑰r ( 1 一瓦z ) 这里a c ，入乏 这是l e v i n 关于整函数零点的一个重要结果【1 0 ，p 2 5 1 由此引理我们可以 知道p a l e y w i e n e r 空间中元素的范数是由其零点的生成函数所唯一确定的( 相 差常数倍) - p a l e y w i e n e r 空间的零集第一节p a l e y w i e n e r 空间零集的几何特征 定理1 1 序列a = k ) 是p a l e y w i e n e r 空间的零集的充要条件是 ( 1 ) 极限n l i m 。去存在； 0 i a n l 0 ，使得n ( a ，) = 0 ，由n ( a ，t ) = o ( t ) ，( t _ 。) 和s t i e l t j e s 积分知 舰i 蒹砑1 = f o 。1 帅一 = 2 。掣出 第一节p a l e y w i e n e r 空间零集的几何特征p a l e y w i e n e r 空间的零集 从而 l a 互r 去一i a 互r 瓦1 2 i 入n - a l r 丽a 习 刚r 刊l a 急rk i a 急r k i 入厶rk ( k 叫) 一r 一p 所以极限 概i a 互冗志a r _ 厶一 a 。一 与 舰l a 互r 瓦1 兄_ o o z o a 同时存在 为了证明( 1 ) 在这种平移下是不变的，现在考虑 i 点冗n r _ 由一a i r 可得 i k i r + a ， i a 善+ n 南 l 蠹南+ 蚓蒹肼。南 i 蒹南+ 蚓蒹脚孬1 由已知上式右边第一个和式是收敛的；又因为 n ( 0 ，r + a ) 一n ( 0 ，r ) = d ( r ) ，r _ o o ， 所以第二个和式趋于零从而 土m 冰 而队 l k 一8 璺 p a l e y w i e n e r 空间的零集第一节p a l e y w i e n e r 空间零集的几何特征 是存在的，这就证明了 舰i a 互r 击 也是存在的，因此( 1 ) 按照这种平移是不变的 由上面的分析知引理1 1 在这种平移下是成立的，所以 北) 2 恕- a r ( 1 一去) i h 、 ” 7 是指数型整函数，并且 i ni 夕( z ) l = 几( o ，t ) 一几( z ，t ) 扩1 d t ， 从而( 3 ) 式不受影响 因此，不失一般性，不妨设0 隹_ h ) 并且( 3 ) 式中b = 0 考) 因为a = k ) 是p a l e y - w i e n e r 空间的零集，所以存在非零整函数，尸w ， 使得z ( ，) = a 由于p a l e y - w i e n e r 空间中除了零元素以外所有元素的型都大于零 且不超过丌( 见 2 1 ，p 8 4 问题2 ) ，因此由引理1 3 知( 2 ) 是显然成立的再由引理 1 2 知( 1 ) 也是成立的，并且s ( z ) 形如 s ( z ) = a e 。a 。9 ( z ) ，入r ， 这里 出，2 舰i 黑i r ( 1 一砉) i k 、”7 由于( 2 ) 成立，所以 n ( o ，t ) = d ( t ) ，t _ o o ； 从而利用引理1 1 可知 n ( o ，t + 1 ) 一n ( o ，t ) = o ( t ) ，t o o ，o 。 i nf 夕( z ) l = n ( o ，t ) 一n ( z ，t ) t 一1 d t ，0 9 第一节p a l e y w i e n e r 空间零集的几何特征p a l e y - w i e n e r 空间的零集 因为 i f ( x ) 1 2 d x 0 0 ， 所以 i a e 加a ( x ) 1 2 d x 0 0 ， 从而 l g ( x ) 1 2 d x 。 结合i ni 夕( z ) i 的表达式可知( 3 ) 成立 乍) 由( 1 ) ( 2 ) 可知引理1 1 是成立的，故 出) 2 恕f 墨r ( 1 一瓦z ) i a 。j r 、 ”7 是一型为有限的指数型整函数，并且对v z c 有 i n1 9 ( z ) i = n ( o ，t ) 一佗( 2 ，t ) 旷1 d t 由( 3 1 式立即可知 - i g ( x ) 1 2 d x 。 假设g ( z ) 的型为o r ，利用引理1 3 和( 2 ) 不难证明o r 7 r ，因此g ( z ) p w ，所以 a = 【k ) 是p a l e y - w i e n e r 空间的零集证毕 由定理1 1 的证明过程和引理1 2 我们很容易得到关于p a l e y w i e n e r 空间中 元素的分解定理 定理1 2 对v f j p w 都可以表示成如下形式 = g h 这里c ( z ) 是z ( f ) 的生成函数，并且厂和g 的范数只相差常数倍，即 l i f l l = c l l c l l ，c r 1 0 p a l e y w i e n e r 空间的零集第一节p a l e y - w i e n e r 空间零集的几何特征 证明：设z ( f ) = k ，和定理1 1 一样，不妨设0 隹 k ) 由引理1 2 知，( z ) 可以 表示成 化) - - a e , z 恕1 1 i r ( 一去) 挑酞 1 入n 1 r 、 ”7 令 g 2 舰i i i r ( 1 一未) ，l k k r 、 ”7 由定理1 1 的证明可知，如果厂p w ，则a ( z ) p w , 并且 从而 证毕 互1 丌，f + o o i ( z ) 1 2 d 。 去e i 腓ii i a l 2 i l a ( z ) 1 1 2 f l f = c l l a l l ，e 豫 注1 ：事实上，由此定理可以知道，如果p a l e y w i e n e r 空间中两个元素的零点完 全相同，则这两个元素的模相差常数倍这说明了p a l e y w i e n e r 空间中的元素在 某种意义下是由其零点所唯一确定的，从这一方面也反映了研究p a l e y - w i e n e r 空间零集的重要性 第二节p a l e y w i e n e r 空间零集的性质p a l e y w i e n e r 空间的零集 第二节p a l e y w i e n e r 空间零集的性质 对于b e r g m a n 空间a 2 , h o r o w i t z 证明了b e r g m a n 空间零集的子集是b e r g m a n 空间的零集，两个b e r g m a n 空间零集的并集不一定是b e r g m a n 空间的零集 4 ，6 ，7 】； 1 9 9 3 年k z h u 利用整函数的l i n d e l s f 定理研究了f o c k 空间零集的基本性质 2 2 ， 证明了f o c k 空间零集的子集不一定是f o c k 空间的零集2 0 0 7 年s h o u 和d z h e n g 证明了单点集与f o c k 空间零集的并集不一定是f o c k 空间的零集 9 】作为 定理1 1 的应用，本节我们讨论p a l e y w i e n e r 空间零集的性质 性质2 1 设人是p a l e y w i e n e r 空间的零集，a 1 是其子集( a 1c 人) ，我们有以下结 论： ( 1 ) 如果a - 是有限集( 所含元素有有限个) ，则a 。一定不是p a l e y - w i e n e r 空间的 零集； ( 2 ) 如果a ，的补集( 即a a 。) 是有限集，则a - 一定是p a l e y w i e n e r 空间的零 集； ( 3 ) 如果a 。和a - 的补集都是无限集( 所含元素有无限个) ，则a 。不一定是p a l e y - w i e n e r 空间的零集 证明：由h a d a m a r d 分解定理 1 ；2 1 ，p 6 3 】知，如果整函数的零点是有限个，则它 必为多项式，由于多项式限制在实轴上是无界的，显然不在p a l e y w i c n e r 空间 中，所以p a l e y w i e n e r 空间的零集一定是无限集事实上，由第一节定理1 1 中 的条件( 2 ) 可以更加明显的看出p a l e y w i e n e r 空间的零集必是无限集因此断言 ( 1 ) 是成立的 设f p w 且z ( f ) = 【k ) ，因为 婴p 彬儿) ， z a 七 。 1 空间的零集 第二节p a l e y - w i e n e r 空间零集的性质 ，所以重复此过程有限次即可证明( 2 ) 是正确的 们证明( 3 ) ：令 北) = 警， 则知，( 名) p w 并且 z ( ，) = n n o ( 记为a ) ， 选择a 的子集 a 1 = 2 佗) n o ， 则a 。与人，的补集都是无限集，因为 a l _ z ( 絮磐) 而且 s i n ( 7 r z 2 ) p ，r z 2 。 。 所以a 1 是p a l e y w i e n e r 空间的零集；若选择人的子集 a 1 = n ) 墨1 ， 则a 。与a ，的补集也都是无限集，但是a 。不满足第一节定理1 1 中的条件( 1 ) ， 因此a 。= n ) 芒。不是p a l e y - w i e n e r 空间的零集所以，如果a - 和a 1 的补集都 是无限集，a 。不一定是p a l e y - w i e n e r 空间的零集证毕 性质2 2 两个p a l e y w i e n e r 空间零集的并集不一定是p a l e y w i e n e r 空间的零集 证明：令 = 詈； 厶= 面s i n ( 7 i - z 2 ) ； = 糟 1 3 第二节p a l e y w i e n e r 空间零集的性质p a l e y w i e n e r 空间的零集 则 ，尼，f 3 p w ，并且 a 1 = z ( ) = 几) n o ； a 2 = z ( 如) = 2 n ) n o ； a 3 = z ( ) = 2 住+ 1 。o 我们考虑a 2u a 3 = n ) 。o 1 ，由于 磐p wz l 并且 z ( z y l 一( z 上) ) = a 2u 人3 ， 所以a 2u 人3 是p a l e y - w i e n e r 空间的零集 我们考虑a 。，a 。的密度，记d , 1 ( o ，t ) ，r , 2 ( o ，t ) 分别为a - ，人2 的计数函数，则 l i m 巫塑：l i m 一2 i t ： t t t - - o o t 7 ，- t - o o 则l i m ，( z ) = 0 ，而 i ( x ) 1 2 d x 发散 o 。” - ，一” 对于p a l e y w i e n e r 空间中的元素s i n 7 r z ，显然 s i n = 7 - r x 一0 ( z _ 。) ， 7 r z 事实上，对v ，ep w ，有 l ，( z ) 1 2 d x 0 0 ， ，一 并且由此可以推出l i mf ( x ) = o ( 参见 2 1 ，p 8 3 ) 那么一个很自然的想法：对于型 不超过7 r 的指数型整函数厂( z ) ，如果l i mf ( x ) = 0 ，那么是否有s ( z ) p ，也即是 s ( z ) 限制在实轴上是否平方可积? 本节中我们构造了一个型不超过万的指数型整函数，尽管限制在实轴上趋 于零，但是却不属于p a l e y w i e n e r 空间 例： 化两n = l ( 一南) 第三节关于p a l e y - w i e n e r 空间元素的一个特征p a l e y w i e n e r 空间的零集 为了验证，( z ) 是型不超过丌的指数型整函数且限制在实轴上趋于零，但是 不平方可积，我们首先介绍r ( z ) 函数的定义和一些性质 1 2 ，p 3 9 6 南一 婴( 1 + 护咖， 其中 7 = l i m o o ( 委圣1 一nn ) 由于 暇3 用睁。 重( 1 + 半) ( ，+ 半) e 一嘉 兀3 胆心f 。胆叫 ( 耋) 。通( ，+ 警) 2 e 一袅 = 一南 垂( 一南) 2 卟南) m ) = 而 我们记，一g ，如果 i 慧器毛 由于r ( 名) 一以磊2 2 2 一( 见 2 ，p 5 0 2 ) ，所以 i 怒篆箸= l 怒乏箍警 = i 溉( 1 + 去) 。e - 1 2 = 1 1 6 w i e n e r 空间元素的一个特征 用z + 1 4 代替z ，则 叱+ 五3 ) 一e 名+ 三叱+ 五1 ) ， 所以 一1 2 ( 3 4 1 r 2 ( 3 4 ) f ( 3 4 + z ) r ( 3 4 一z ) e 廊( z + 1 4 ) r ( 3 4 一z ) 从而 化) 。1 塑盟一 e 、z + j r ( z + 1 4 ) r ( 3 4 一z ) 又由r ( z ) 的性质 r ( z ) r ( 1 一z ) 2 志 知 r ( z + 1 1 4 ) r ( 3 4 - - z ) = s i n l r ( z 一+ 1 4 ) 从而 几，一鼍群 由于 墅! ! 兰! 尘 而 是型不超过丌的指数型整函数，并且限制在实轴上模趋于零( z _ 。o ) ，所以，( z ) 也是型不超过丌的指数型整函数，并且l i r a ，( z ) = 0 因为 z 。 。i 篙1 2 d z = f l o 。s i n 2 7 r ( x + 1 4 ) d z = 丢。生铲如 = 三。南如一三。掣如 1 7 第三节 关于p a l e y - w i e n e r 空间元素的一个特征p a l e y - w i e n e r 空间的零集 一。 由狄利克雷判别法知上式右边第二个积分收敛，但是第一个积分发散，所以原 积分发散同理可得 j 一- 1 1 s i n r r ( x + 1 4 ) 1 2 d 跫= - i 。s i nr r ( x + 1 4 ) 2 d z ，十o 。 也发散所以l y ( z ) f 2 如发散这说明了尽管厂( 名) 是型不超过丌的指数型整 ，一o o 函数，并且限制在实轴上趋于零，但是却不在p a l e y - w i e n e r 空间中 注2 ：事实上，p a l e y w i e n e r 空间和三2 _ 7 ，7 r 】等距同构 1 6 ，并且对w p w ，都 j ) l 2 一7 r ，7 r 使得 化) = 去 酢矽硝出 由于 l 2 - - 7 1 ，7 r 】cl 1 一7 r ，7 r ， 对 v ) 三1 一丌，7 r 】l 2 一7 r ，7 r 】， 则函数 化) 一if ，。出 是型不超过7 r 的指数型整函数，并且一l i m 。f ( z ) = 0 见 2 1 ，p 8 3 ，但是很显然厂( z ) 譬 p 形 尽管如此，如果要写出一个具体的函数来则是不容易的，本节中我们给出 了这样的一个例子 1 8 n j 1 9 6 8 4 】p d u r e na n da s c h u s t e r ，b e r g m a ns p a c e s ，a m e r m a t h s o c ，p r o v i d e n c e ，m ( 2 0 0 4 ) 5 s y u f a v o r o v ，z e r os e t so fe n t i r ef u n c t i o n so fe x p o n e n t i a lt y p ew i t ha d d i t i o n a lc o n d i t i o n so nr e a la x i s ，s t p e t e r s b u r gm a t h j 2 0 ( 2 0 0 9 ) ，9 5 1 0 0 6 c h o r o w i t z ，z e r o so ff u n c t i o n si nt h eb c r g m a ns p a c e s ，d u k em a t h j 4 1 ( 1 9 7 4 ) ，6 9 3 7 1 0 【7 c h o r o w i t z ，f a c t o r i z a t i o nt h e o r e m sf o rf u n c t i o n si nt h eb e r g m a ns p a c e s ，d u k em a t h j 4 4 ( 1 9 7 7 ) ，n o 1 ，2 0 1 2 1 3 8 j a h o g a n ，f r a m e b a s e dn o n u n i f o r ms a m p l i n gi np a l e y - w i e n e rs p a c e s ，j a p p l f u n c t a n a l 2 ，n o 4 ，3 6 1 4 0 0 ( 2 0 0 7 ) 9 s h o ua n dd z h e n g ，z e r o - b a s e ds u b s p a c ea n dq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c eo fb a r g m a n n - f o c ks p a c e ，p r e p r i n t ，2 0 0 7 1 0 b y a l e v i n ，d i s t r i b u t i o no fz e r o so fe n t i r ef u n c t i o n s ，t r a n s l o fm a t h m o n o g r a p h ， v 0 1 5 ，a m sp r o v i d e n c e ，1 9 8 0 11 】n l e n v i n s o n ，g a pa n dd e n s i t yt h e o r e m s ，a m e r m a t h s o c c o l l o q p u b l ，v 0 1 2 6 ， a m e r m a t h s o c ，n e wy o r k ，1 9 4 0 参考文献 p a l e y w i e n e r 空间的零集 1 2 s l a n g ，c o m p l e xa n a l y s i s ，3 r de d i t i o n ，s p r i n g ，n e wy o r k ，1 9 9 3 1 3 y i l y u b a r s k i ia n dk s e i p ，c o m p l e t ei n t e r p o l a t i n gs e q u e n c e sf o rp a l e y w i e n e rs p a c e s a n dm u c k e n h o u p t sa pc o n d i t i o n r e v m a t i b e r o a m e r i c a n a1 3 ( 1 9 9 7 ) ，n o 2 ，3 6 1 3 7 6 【1 4 j o r t e g a - c e r d 色a n dk s e i p ，f o u r i e rf r a m e s ，a n n o fm a t h ( 2 ) 1 5 5 ( 2 0 0 2 ) ，n o 3 ， 7 8 9 8 0 6 1 5 】a m p e r e l o m o v ，o nt h ec o m p l e t e n e s so fas y s t e mo fc o h e r e n ts t a t e s ，t h e o r m a t h p h y s 6 ，1 5 6 - 1 6 4 ( 1 9 7 1 ) 1 6 】w r u d i n ，r e a la n dc o m p l e xa n a l y s i s ，3 r de d i t i