（工程力学专业论文）中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 我国是一个地震多发国家，保证桥梁在地震作用下的安全性对人民生命财产安全的 保护有重大意义。中大跨度桥梁建设的迅猛发展，桥梁抗震分析方法的研究也成为国内 外学术界的研究热点，研究普遍认为，进行中大跨度桥梁抗震分析时需要考虑地震激励 的空间变化效应。但目前设计规范普遍采用的反应谱方法不能处理这类问题，时程分析 方法因计算量极大也难在工程应用中得到普及，随机振动方法在处理这类问题时理论上 有很大的优越性，但因其传统计算方法的复杂性也没有获得实际的工程应用。虚拟激励 法突破了计算效率的瓶颈，使随机振动方法引入新的公路桥梁抗震设计规范成为可 能。 但随机振动方法实际为地震工程界广泛应用，还有不少问题需要解决。例如，如何 确定地面作用于结构的输入功率谱，多方向地震问题的处理等等。本文主要是为随机振 动功率谱法在修订中的公路桥梁抗震设计规范中的应用进行一些基础研究。主要研 究了地震动输入功率谱的确定方法，多方向地震作用下结构响应的组合。并且对多维地 震分析的虚拟激励法进行了初步研究。本文研究工作包括：( 1 ) 基于规范地面加速度反应 谱曲线，生成当量的地面加速度功率谱曲线。比较了用迭代修正方法和k a u l 方法生成当 量功率谱曲线的效果，并对g a u l 方法中基于经验的概率参数进行了修正。针对我国规范 所适用的所有地区进行了系统对比，并借助于虚拟激励法对多座实际桥梁按均匀地面运 动和考虑行波效应分别进行了计算比较。大量数值计算和对比研究表明，k a u l 方法在按 本文的建议修正参数之后，精度已经比较满意，同时保持了使用特别简便的优点，很适 用于实际桥梁的随机抗震分析。( 2 ) 新公路桥梁抗震设计规范编写大纲中关于地震 作用组合的规定主要是依据欧洲规范的规定，这种规定的误差估计和适用性我们并不完 全了解。因此有必要对这些“引进”的规定进行检验甚至于修正，才能真正实现符合国 情的“洋为中用”。为此，本章结合一些典型的工程实例作了大量的计算分析对比工作， 基本弄清了这些规定的适用性和与精确解的误差程度。而且对于在考虑行波效应的情况 下，这些条文的可用性进行了适用性检验。研究表明对行波效应情况这些条文的结论并 不成立，工程上应按多个方向的地震分别实施计算，然后从中提取最不利响应供设计使 用。 关键词：反应谱；功率谱；随机振动；虑拟激励：地震作用组合；多维地震作用 主塑堑墨堕壁堡生塑蔓塑兰鎏型燮塑窒 a n a l y s i sm e t h o do f e a r t h q u a k e - r e s i s t a n tc o d e f o rm i d d l e - o r l o n g - - s p a n b r i d g ea n d t h e p a r a m e t e r s e l e c t i o n a b s t r a c t b r i d g e sa r eu s u a l l yi m p o r t a n tp u b l i cf a c i l i t i e sa n ds om u c ha t t e n t i o nh a sb e e ng i v e nt o e v a l u a t i n gt h e i rs a f e t yd u r i n ge a r t h q u a k e s t h ec o n s t r u c t i o no f m i d d l e o rl o n g - s p a n b f i d g e si s a l s od e v e l o p i n gr a p i d l yw i 廿1t h e1 1 i g hs p e e de c o n o m i cd e v e l o p m e n t si nt h ew o r l dt h e r e f o r e s e i s m i ca n a l y s i sm e t h o d sf o rb r i d g e sh a v er e c e i v e dm u c ha r e n t i o nd u r i n gt h ep a s ty e a r s ，i ti s w e l lr e c o g n i z e dt h a tt h es e i s m i cs p a t i a le f f e c t sa r ei m p o r t a n tf o r 硼i d d bo rl o n g - s p a n b f i d g e s h o w e v e r , t h er e s p o n s es p e c a x u nm e t h o do l s m ) a d o p t e da st h em o s ti m p o r t a n tt o o lb yt h e c o d ei su n a b l et od e a lw i t hs u c h p r o b l e m s ，t h et i m eh i s t o r ym e t h o d i sn o t p o p u l a r b e c a u s eo f i t s v e r yl o we f f i c i e n c y t h er a n d o mv i b r a t i o na p p r o a c hi st h e o r e t i c a l l ys u p e r i o ri nd e a l i n gw i t h s u c hm u l t i p l ee x c i t a t i o np r o b l e m s ，h o w e v e ri th a sh a r d l yb e e np r a c t i c a l l ya p p l i e dd u et oi t s c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y t h ep s e u d o e x c i t a t i o n m e t h o d ( p e l v o h a sb r o c k e ni t s e f f i c i e n c y b o t t l e n e c k ，a n d i ti s p o s s i b l e t o a d o p tt h er a n d o mv i b r a t i o na p p r o a c hi n n e w i no r d e rt oa p p l yt h er a n d o mv i b r a t i o na p p r o a c ht os e i s m i cd e s i g n so fb r i d g e s ，t h e r e a r es o m ei m p o r t a n ti s s u e st os o l v e ，s u c ha sh o wt op r o d u c et h ee q u i v a l e n tg r o u n da c c e l e r a t i o n p s d ( p o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ) c u r v e sf r o mt h eg r o u n da r s ( a c c e l e r a t i o nr e s p o n s es p e c t r u m ) c u r v e ss t i p u l a t e db yt h ec o d ea n dd e a lw i t hm u l t i c o m p o n e n te a r t h q u a k ee x c i t a t i o n s i nt h i s p a p e r t h e s ei s s u e sa r er e s e a r c h e d t h ew o r k si n c l u d e s ：( 1 ) ag r e a tn u m b e ro fs d o fv i b r a t o r s w i t hp e r i o d sw i t h i n1 0s ，a n df i v eb r i d g e sw i t hd i f f e r e n ts p a n s ，b a s i cp e r i o d sa n dd i f f e r e n t t y p e sa r ei n v e s t i g a t e dn u m e r i c a l l yi nd e t a i l i t i ss h o w nt h a tf o rb r i d g e sw i t ht h eb a s i c p e r i o d s w i t h i n 8s e c o n d s ，b ym o d i f y i n g ap r o b a b i t i s t i cp a r a m e t e r ，t h ep r e c i s i o n o f k a u lm e t h o d w i l lb er e m a r k a b l yi m p r o v e d ：h o w e v e ri t su s ei ss t i l la ss i m p l ea sb e f o r e ，( 2 ) t h ec o m b i n a t i o n o fe a r t h q u a k ee x c i t a t i o n ss t i p u l a t e db yn e w i sac o p yo fe u r o p e a nc o m m i t t e ef o rs t a n d a r d i z a t i o n ，i nt h i sp a p e r l o t so f c a l c u l a t ew o r k sa r eu s e df o rv a l i d a t i n gt h e s er u l e s k e yw o r d s ：r e s p o n s es p e c t r u m ；p o w e rs p e c t r u m ；r a n d o mv i b r a t i o n ；p s e u d oe x c i t a t i o n ； c o m b i n a t i o no f e a r t h q u a k ee x c i t a t i o n s ；m u l 小c o m p o n e n te a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期：竺堕：! ：垒 大连理工大学硕士学位论文 1 概论 1 1 引言 地震是地球上生命面临的最大自然灾害之一，每一次大地震造成的瞬时之间的破 坏都给人类带来严重的灾难，并造成了心理上长久的恐惧。事实上，地震中造成死亡 的直接原因主要是由地震引起的建筑物倒塌所造成的。由此引发的例如火灾、交通中 断等次生灾害也十分严重，甚至可能超过直接破坏造成的灾害“。 1 2 桥梁结构抗震分析方法研究现状 当前国内外的桥梁抗震设计规范，反应谱方法。“3 仍然是最基本的方法它假定 所有的支座按完全相同的规律运动( 亦即假定所有支座之间是刚性连接) 这对于跨 度不大的结构还是可以的，但是对于跨度达数百米甚至更大的桥梁就未必合适了因 为这时必须考虑由于地面变形而导致结构支座之间的相对运动，亦即要考虑多点不均 匀激励包括因有限大小的地震波速到达不同支座时发生的时间延迟( 行波效应) ； 以及因复杂的震源发震机理、地震波在不均匀土壤介质中不规则的反射折射等原因而 导致的支座激励之间的部分相干效应：有时候还要考虑因不同支座处场地土的性质不 相同而造成的局部效应等。这些复杂因素用通常的反应谱方法难于计算。 时程分析方法作为反应谱方法的补充，也是各国规范普遍应用的方法。时程分析 方法主要用于抗震的非线性分析，但是也可计算地震动的空r 司效应。可是，由于在计 算中要选取多条地震波进行时间差分计算和统计平均，工作量十分庞大。而且选取若 干条适当的地震记录以保证抗震分析质量也往往并不容易。积分格式一般分为显式积 分和隐式积分两类。常用的n e w m a r k 法”“1 、w i l s o n 一0 法”1 是隐式积分格式，中心 差分法”1 、精细积分法o 、1 是显式积分格式。由于是在离散时间点上一步一步地求 响应的数值解，所以该法可以在任一时间点上随肘修改结构参数，很适合于处理参数 随时间变化的非线性问题“。在利用时间历程法进行结构的地震响应分析时，只选 取一条地震波是难以说明问题的，我国工程设计中至少选取三条实测地震波和一条人 工地震波，但是不少人认为这不够，意见还不太统一。 大跨度桥梁的广泛建造，已经使传统抗震分析方法难于反映桥墩所受地震激励空 间不均匀性的不足曰益暴露出来，引起了严重关注。随机振动方法在近二十年来被高 度重视，被广泛认为是处理大跨度结构地震空间效应的有效手段。它对结构响应提供 了一个统计的结果，而不依赖于所输入地面运动的特殊选取。但是，理论上先进的随 中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究 机振动方法迄今尚未得到广泛的应用，最主要的困难在于过去计算方法的复杂低效。 为此，世界各国投入了很大力量寻找更为有效的分析手段。美国学者如k i u r e g h i a n 和n e u e n h o f e r “，e r n e s t o 和v a n m a r c k e ，l e e 和p e n z i e n “”，b e r r a h 和k a u s e p l i n 和z h a n g “，l o h 和y e h “，h a r i c h a n d r a n “，欧洲学者如d u m a n o g l u 和 s e v e r n ”，c a r a s s a l e ，t u b i i 0 和s o l a r io ”等，发表了大量研究成果，推动了先进 的随机振动方法在该领域的研究和应用水平。欧共体在1 9 9 5 年颁布的欧洲桥梁设计 规范“中首次将随机振动的功率谱方法与反应谱方法，时间历程方法并列为桥梁抗震 分析的三种主要方法。我国地震工程界许多学者也基本同步地投入了上述领域的研 究，并取得了丰富的研究成果。例如胡聿贤，周锡元，冯启民，王光远，陈厚群，范 立础，林皋，薛素铎，曹智，屈铁军，王君杰，王前信，及他们的合作者。2 “。 近年来，大连理工大学的研究人员从计算力学的角度提出了一种计算结构随机响 应的高效算法一虚拟激励法。”“。这一随机振动方法的计算效率对于大型结构来说不 但大大超过了时程分析法，也显著优于反应谱方法。在普通微机上就可以应付一般的 工程分析问题。特别是虚拟激励法克服了反应谱方法难于处理地震激励空间效应的困 难，而成为大跨度结构抗震分析的有力工具。虚拟激励法是一个精确且极其高效的随 机振动算法系列。它之所以精确，是因为它可以采用自由度很高的三维有限元模型， 而且振型之间的耦合项和激励点之间的相关项都被完全包含在计算结果中。它还十分 便于应用，因为平稳随机振动方程被转化为简谐振动方程；而非平稳振动方程被转化 为普通的瞬态动力响应方程。它们都是普通工科大学生所必需掌握的计算手段。所以 该方法在多个工程领域已经被广泛应用，并被诸多专家学者用于各自领域的发展。例 如在大型水坝抗震分析中。在桥梁抗震、抗风分析中，等等。随机振动虚拟激励法亦 在工程中逐步得到了应用。 1 3 多维地震分析概述 地震动是由震源释放出来的地震波引起的地表附近土层的振动。对地震动的恰当 描述是工程结构抗震计算与设计的主要依据。无论从理论还是从实际震害中看，地震 波传播引起的地震动都是多维的。因此，在结构抗震分析中只考虑单维的地震作用是 不够的。但到目前为止，在实际结构的抗震设计中主要考虑的是地震平动分量对结构 的影响，而且大多仅考虑一维平动分量的影响。 地震震害考察和理论研究都表明地震地面运动是十分复杂的。结构在单维和多维 地震作用下的反应是不同的。近年来，很多学者逐渐认识到对结构进行多维地震分析 的重要型，并作了大量的研究工作。”。反应谱方法是分析结构体系地震反应的简便 2 大连理工大学硕士学位论文 有效的方法，将这种方法推广到多维分析中是很自然的。需要解决的一个重要问题是 不同方向地震激励引起的结构反应的组合问题。针对这问题各国学者提出了多种组 合方法。w i l s o n 等采用主轴模型推导出多维抗震分析的反应谱法组合公式，用其计 算极限应力时，表达式可化为s r s s 法。l o p e z 和t o r r e s ”则指出w i l s o n 方法没能正 确考虑地震动各分量的相关性进行了修正。s m e b y 和k i u r e g h i a n ”在此基础上进一步 提出了实用性更强的c q c 3 组合法。a v r a m i d i s “”也是采用主轴模型提出了c q c 一0 组 合法，这一方法不用求极限角就可得到结构的反应极值。国内学者李宏男。3 1 根据主轴 模型，假定地震动主轴方向的分量为平稳随机过程，推导出多维组合公式。 随机振动虚拟激励法的提出也为多维地震分析提供了有效的工具。本文在这方面 作了探索。 1 4 桥梁抗震设计规范的现状与发展趋势 我国现行公路工程抗震设计规范“( j t j 0 0 4 8 9 ) 在8 0 年代中期开始修订， 于1 9 8 9 年正式颁布) 近几年来，随着我国经济的高速发展，桥梁建设发展迅猛，不但 功能增强，并更多地考虑其轻型美观，因此，工程界也对公路桥梁抗震设计规范的适 用范围提出了更高的要求。1 9 8 9 年的美国l o m ap r i e t a 地震( m 7 0 ) ，只是一个中等 强度的地震，却导致了桥梁的破坏，极大地影响了抗震救灾工作的开展，这一后果告 诫人们地震的次生灾害，例如现代城市交通网络中断的危害性。其后的日本k o b e 地 震( m 7 2 ) ，同样是一个中等强度地震，造成了大量高速公路、高速铁路桥梁隧道的 破坏，使经济蒙受巨大损失。 日本在1 9 9 5 年的阪神地震后，对结构抗震的基本问题重新进行了大量研究，并 十分重视减振、耗能技术在抗震设计中的应用。桥梁、道路方面的抗震设计规范已经 重新编写，并于1 9 9 6 年颁布实施。美国也相继在联邦公路局( f h w a ) 和加州交通部 ( c a l t r a n s ) 的资助下开展了一系列与桥梁抗震设计规范的修订相关的研究工作，完 成了a t c 一1 8 、a t c 一3 2 和a t c 一4 0 等研究报告和技术指南。与旧规范相比，新规范 或指南无论在设计思想、设计手法、设计程序和构造细节上都有很大的变化和深入。 相比较之下，我国有关的桥梁抗震设计规范也必须进行更新了。 目前，由交通部规划设计院和交通部重庆公路科学研究院共同负责，国家地震局 工程力学研究所、长安大学、大连理工大学、同济大学、清华大学、云南省交通厅和 辽宁省交通厅等单位组成的规范修订组已经开展了对j t j 0 0 4 8 9 规范的修订工作。新 规范将原公路工程抗震设计规范中涉及桥梁的部分分离开来，扩充成为公路桥 梁抗震设计规范；而随机振动功率谱方法成为该桥梁抗震规范推荐的基本方法之一； 3 中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究 而且对1 5 0 m 以上跨度桥梁给出了抗震设计的指导原则，强调了地震空间效应的重要 性。 1 5 本文主要工作 本文主要工作是为随机振动功率谱法在修订中的公路桥梁抗震设计规范中的 应用进行些基础研究。主要研究了地震动输入功率谱的确定方法，给出适用于桥梁 抗震随机振动分析的规范反应谱当量功率谱的计算方法。结合随机振动虚拟激励法对 多维地震作用进行了初步研究，通过对一些典型工程实例的大量计算分析对比工作， 基本弄清了新规范意见稿中关于设计地震作用组合的一般规定的适用性和与精确解 的误差程度。本文工作的内容为如下两个方面： 1 基于规范地面加速度反应谱曲线，生成当量的地面加速度功率谱曲线。比较 了用迭代修正方法和k a u l 方法生成当量功率谱曲线的效果，并对k a u l 方法中基于经 验的概率参数进行了修正。针对我国规范所适用的所有地区进行了系统对比，并借助 于虚拟激励法对多座实际桥梁按均匀地面运动和考虑行波效应分别进行了计算比较。 大量数值计算和对比研究表明，k a u l 方法在按本文的建议修正参数之后，精度已经 比较满意，同时保持了使用特别简便的优点，很适用于实际桥梁的随机抗震分析； 2 新公路桥梁抗震设计规范编写大纲中关于地震作用组合的规定主要是依 据欧洲规范“”的规定，这种规定的误差估计和适用性我们并不完全了解。因此有必要 对这些“引进”的规定进行检验甚至于修正，才能真正实现符合国情的“洋为中用”。 为此。本章结合一些典型的工程实例作了大量的计算分析对比工作，基本弄清了这些 规定的适用性和与精确解的误差程度。而且对于在考虑行波效应的情况下，这些条文 的可用性进行了适用性检验。 4 大连理： 大学硕士学位论文 2 结构抗震分析方法综述 2 1 引言 反应谱方法是当前世界各国应用得最广泛的抗震分析方法。我国和其他许多国家 的抗震设计规范中广泛采用反应谱理论确定地震作用，其中以加速度反应谱用得最 多。时程分析法作为反应谱方法的补充，也是各国规范普遍应用的方法。例如中国 建筑结构抗震设计规范”2 3 ( o b 7 1 卜8 9 ) 中规定，对于特别不规则的建筑、甲类建 筑和高层建筑，宜采用时程分析法进行补充计算。 随机振动方法不但可以实现反应谱方法的功能，而且更能应用于大跨度结构受 多点地震激励的抗震分析，因此功能更为强大。以往由于计算方法的复杂低效，很难 实际应用于工程设计。随着计算机技术和计算力学研究水平的发展。随机振动理论与 工程设计之间的距离正日益缩短。 地震动是一个非平稳的随机过程，即使是一个线性的系统，受到这样一个激励 所产生的反应也是一个非乎稳的随机过程。但是对于非平稳随机振动，虽然虚拟激励 法可以解决其结构响应分析，目前距离工程实用还有很大的距离。我们当前正修订的 规范，则完全假定地面加速度是平稳随机过程，而基本计算方法是虚拟激励法。 2 2 反应谱方法 单自由度体系受到均匀地面激励时的运动方程为。、6 够妒+ 矽+ 匆= 一胁聋g ( f ) ( 2 - i ) 或表示为 夕+ 2 f 。p + c o j y 2一j；(f)(2-2) 其中m 、c 、k 分别是质量、阻尼和刚度，f = c ( 2 m c o 。) 和( 2 2 。= 撕丽是结构的临界 阻尼比和自振圆频率。y 的稳态解可以表示为如下杜哈梅尔( d u h a m e l ) 积分形式。” y ( f ) = 一c o l d f b e p ( ，一i g ( f ) s i n ( f f ) d r ( 2 3 ) 中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究 式中吼= , 1 - d 2 c o 是有阻尼圆频率。 按照基于包络线控制的反应谱方法“3 ，其解为 y 2 昭。：( 2 - 4 、 其中a 是由规范给出的地震影响系数，g 是重力加速度。 三维结构受到来自任意方向的地震作用时，其运动方程为 阻】移 + 【c 侈 + 医】l y ) = 一陋肛) 鹫。( f ) ( 2 - 5 、 其中 m 】、【c 】、医】为结构的n ”阶质量、阻尼与刚度矩阵； e ) 为结构非支座节点 惯性力指示向量。当前的规范必须假定结构的跨度不大，以至于结构所有地面节点均 按同一加速度戈。0 ) 同相位地运动。方程( 2 5 ) 一般用振型迭加法求解。先求出结构的 前叮阶自振圆频率，( 户1 ，2 ，动及相应的n q 质量规振型向量矩阵陋】。然 后令方程( 2 - 5 ) 的解按这些振型进行分解 龇) _ 睁 “o ) ) ：主“，妣( 2 - 6 ) = 1 将睁】左乘以方程( 2 5 ) 各项，并以( 2 6 ) 式代入在正交阻尼假定下得f 7 个单自 由度方程： ，+ 2 q j 哆t ，+ 嘭“j = 一y 芷。( f ) ( 2 7 ) 其中f ，为第j 阶振型阻尼比，而n 为第j 阶振型参与系数 乃= 静) ；泓) ( 2 8 ) 方程( 2 7 ) 与( 2 2 ) 只在右端相差一个乘数y ，所以( 2 7 ) 的解答可由( 2 4 ) 式乘以7 j 丽得到 u j 。y g ：g c o j ( 2 - 9 ) 由于“，并非( 2 7 ) 式的严格解，所以不能简单地将它们代入( 2 6 ) 式来求c y ，而应先 对于每一个“，求出相应的涉l = u 移l 。然后，若只对移 的第七个元素y 。感兴趣， 一查垄望三奎堂堡主堂堡垒塞 则将所有b 0 中的第尼个元素取出，组成个有口个元素的向量d ) 。，再代入下式组 合出该元素的值： y 。= c y 羟阽 d k( 2 1 0 ) 这里k j 是表示各阶振型分量之间相关性的“相关矩阵”，其对角元全为1 ：w i l s o n 和k i u r e g h i a n 。”按随机振动理论推导出其非对角元的下列计算式 旷刊筹鬻 广” ( 1 一厂2 ) 2 + 4 六f ，r ( 1 + ，2 ) + 4 ( 舁+ f ；) r 2 、6 1 1 7 这就是当前被广泛应用的反应谱c q c ( 完全二次组合) 算法。如果将所有这些p 。取为 0 ，则k j 成为一单位阵，而按( 2 - 1 0 ) 的计算就成为反应谱s r s s ( 平方和开平方) 算 法。 上述反应谱方法使用简便，是当前应用得最广泛的抗震设计方法。但它是基于 一致地面运动假定而建立的，尚难实际用于大跨度结构多点地震激励问题。 2 3 时程分析法 如果考虑多点( ，个地面节点) 不均匀地震激励问题，运动方程( 2 5 ) 成为下列 形式“1 隧帆m 。舭j l 2 + 1 + 陋巳c + j g + j 十匮础昝鼢 其中向量0 k 代表n 个支座的地面强迫位移，阮 代表结构系统所有非支座节点位 移，阮) 代表地面作用于个支座的力；通常采用集中质量离散化模型， m 。 为零。 求解方程( 2 1 2 ) 时，可将绝对位移口。) 分解为拟静位移睨 和动态相对位移影) 之和 阱鼢m 其中拟静位移满足 证 = 一阪】_ 2 k 。】慨 ( 2 1 4 ) 将式( 2 1 3 ) 和( 2 - 1 4 ) 代入( 2 1 2 ) ，得至i i 中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究 阻，肛 + e 酝) + k 似) = 阻，i l k ， 。医。 忙。 + 峨 医， 。瞳。卜【巳】肛0 ( 2 1 5 ) 方程( 2 1 5 ) 在一致地面运动条件下不能退化为广泛应用的方程( 2 - 5 ) ，这是因为 在方程( 2 1 2 ) 中假定了阻尼力与绝对速度成正比。为了避免这种不协调，应假定阻尼 力与相对速度成正比，即在( 2 1 2 ) 式中以戤 与 o 代替协 与也 ，则( 2 1 5 ) 式成 为 瞰，豫) + c ，酝j + 医，酝 = 阻。】区，】_ 噼。 忙0 ( 2 1 6 ) 对于均匀地面运动 池 = 慨批： ( 2 1 7 ) 将式( 2 - 1 7 ) 代入式( 2 1 6 ) ，并利用( 2 1 4 ) 式，就可导出方程( 2 5 ) 。 当需要考虑行波效应时，可以利用同一个地面运动加速度记录曲线在地面不同节 点处以一定的时间差输入，由此而产生( 2 1 6 ) 式右端的阮 。如果要进一步考虑各地 面节点加速度之间的部分相干性，则产生 毫 的过程较为复杂。时程分析方法在进 行非线性地震响应分析时，具有它的优越性。这种方法的一个重要缺点是计算量过于 庞大：而且由于是用确定性的时间历程来模拟尚未发生的地震，理论上应取许多条地 面运动加速度曲线作为样本分别进行计算后进行统计分析较合理。但受到计算效率低 的制约，目前在工程上只能用很少几条样本曲线进行结构分析统计。往往难于保证得 到可靠的统计量。 2 4 随机震动虚拟激励法 24 1 虚拟激励法基本原理 在工程应用中，如果假定外部激励是一个平稳随机过程( 通常还假定是服从正态 分布的) ，则一般应该给出随机激励的自功率谱密度函数s 。( 0 9 ) ，结构分析的主要计 算量则是计算重要的位移、内力等响应的功率谱密度。然后计算出相应的谱矩( 特别 是方差、二阶矩) 。根据这些谱矩，就可以计算各种直接应用于工程设计的统计量， 例如导致结构破坏的首次超越概率或疲劳寿命，评价汽车行驶平顺性的指标等。显然， 改进结构响应功率谱密度的计算方法，使其计算方便高效精确，对于推进随机振动成 果的实用性具有重要意义。虚拟激励法就是为达到此目的而发展起来的精确高效新算 法。下面按单点激励问题来阐述其基本原理。”3 “。 大连理工大学硕士学位论文 ( a ) s 。 ( b ) x = 口 ( c ) z = s 麒8 耐 ( d ) 暑= s 科g “ 【，一 s 。= 矧2 s 。 v = h e “ 歹= s 4 g 2 z e “ 亨。：s 。h 一“ 亨2 = 0 s 。h 2 e j “ 图2 t 虚拟激励法的基本原理 f i g 2 1b a s i cp r i n c i p l eo f p s e u d oe x c i t a t i o nm e 血o d 若一个平稳随机激励作用于线性系统，谱密度s 。 ) 已知，则任意响应量y ( t ) 也是平稳的，它的谱密度可以表示为“： s 。- - 1 日1 2 ( 2 1 8 ) 这种转换关系见图2 - i ( a ) ，其中日为转换函数。本文中，线性系统为工程结构， 因此日为结构的频率响应函数。日的含义见图2 1 ( b ) ，若有一单位简谐激励p 作 用于结构，则响应为hg “。显然，若单位简谐激励前乘因子s 。( ) 即构造一虚拟 激励 z o ) = s 4 e 2 ( 叻e “ ( 2 19 ) 则响应也应前乘相同因子，见图2 - l ( c ) 。这里用( 再) 代表随机变量( # ) 的相应 虚拟量，由此可导出如下关系”： y y = l 歹1 2 = i h l 2 s 。= s 。 ( 2 2 0 ) 中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究 i 了= 瓜矿“厩h e ”= s = h = s 。( 2 - 2 1 ) 了。x = _ s n h e - 。q s 。e “”= h 。s 。= s 。( 2 - 2 2 ) 如果考虑二个响应量两与歹：，见图2 - 1 ( d ) ，则不难得如下表达式。： 雾y z y ：蕊瓣东麓器c o ) h 毫s 器 z 。，+ ，= s “( ) 日；8 一州- s 就( 国) 日，已= 日i s 麒(= 。( ) l ”7 p ，( 国) 】_ 饼 1 陋，( ) = 歹 传r ( 2 2 4 ) k ( 叻j - 辟) 汐厂l 量的虚拟简谐响应歹、子和f 后，即可求出它们的自谱密度： s 矿= 研，s 。= t s l2 ，s 。- - i f l 2 ( 2 2 5 ) s 。= 子享，s 矿= 歹， ( 2 - 2 6 ) 阻桫 + c + 医 y ) - 一阻 p 扛。 ( 2 2 7 ) 若地面运动加速度i ；( f ) 为平稳随机过程，其自谱s 。( ) 已给定，则由图2 - 1 ( c ) 应 是( f ) = 丽“ ( 2 2 8 ) 侈) ：一主乃日，抠而扩妨) ( 2 - 2 9 ) t i 大连理工大学硕士学位论文 这里，眵，i y ，h ，分别是第，阶实振型、振型参与系数及频响函数“a o 。将( 2 2 9 ) 代 p 。】- 侈 铆7 = 圭主乃“日，h 。移，瓶) 7 s 。( 脚) ( 2 - 3 0 ) ，；l - i 由此可见，基于公式( 2 - 2 4 ) 、( 2 - 2 9 ) 的算法在数学上等同于传统的c q c 方法。由 公式( 2 一s o ) 右端项可见，i s ，j 必自动包含全部振型耦合项的贡献t 对本方法来说不可 能忽略振型耦合项，所以这是一种c q c 方法，不存在相应的s r s s 公式，这是本方法 与传统的c o c 方法的一个重要区别。另外，对非经典阻尼问题也可通过实振型转换做 出高效的计算。 由虚拟位移响应向量侈) ，很容易算出任意简谐内力响应向量谛 ，则计算b ) 和 的自谱、互谱密度矩阵公式可表示如下： p 。】- 侈) 黟) ，陋。】= 毋 匆厂( 2 - 3 1 ) p ，。】：汐 鼢，b 蛐】= 母渺 7 ( 2 - s 2 ) 242 虚拟激励法多点平稳激励问题 ，= 龇刭 锄 a ( ：1 ，2 ，月) 是实数：。( = 1 ，2 ，) 为滞后时间。这种多相位随机激励问题可 中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究 扛( f ) 仨 s 。( 翻) e “ ( 2 3 4 ) 只要求出该确定性激励作用下系统的稳态简谐响应涉 、譬) 等，就仍可按式( 2 2 4 ) 计算有关的功率谱密度矩阵。如将激励扛j 看作一类特殊的响应0 ) ，同样可以按式 ( 2 2 4 ) 计算激励与响应间的各种功率谱密度矩阵。 24 3 虚拟激励法的特点 虚拟激励法的出发点是将平稳随机过程主。o ) ，通过其已知的功率谱密度s o ( c o ) ， 用一个虚拟简谐输入疆i 两e x p ( f 耐) 来代替，于是方程( 2 5 ) 变成 泓移j + c 移j + 医 眵) = 一她j 巧丽e x p ( f 删) ( 2 - 3 5 ) 上加“ ，的变量为虚拟量。仍应用振型迭加手段，不难得到( 2 3 5 ) 的稳态解为 侈o ) ) = 妒如) e x p ( f 倒) ( 2 3 6 ) 其中 妒如) j 主y ，胃，妨 厕 户1 日= 一2q - 2 i q ，c 0 0 ) ，r 1 ( 2 3 了) ( 2 3 8 ) 而 y 0 ) 的功率谱则为 b 妇) = 舻如) y 妒妇) f ( 2 - 3 9 ) 如将( 2 3 7 ) 代入( 2 3 9 ) 并展开，可得到b 如) 】的传统c q c 算式 b ，如) 】= 杰主y ，“移l 移) 。r ，+ ，h 。如) s a 如) ( 2 - 4 0 ) j - i = 1 这表明虚拟激励法通过不同的途径导得的结果在实质上与传统的c q c 法完全一致，可 见用虚拟激励法求出的结构响应功率谱矩阵也是理论上的精确解。 由于传统c q c 算法式( 2 4 0 ) 的计算量很大，当结构的参振频率分布稀疏且各阶 阻尼比很小时，许多文献都将( 2 4 0 ) 式的交叉项近似忽略，得到 二一 奎堡望三查堂堡主兰堡堡苎 b ) 】=q y ，2 移凡 班1 彰( 】2 足0 ) ( 2 4 1 ) 卢i 这算法称为s r s s ( s q u a r er o o to ft h es u mo fs q u a r e s ) 。 如果令 z ，= z j h ，0 ) 移 ，、西丽 则p e m 、c q c 和s r s s 三种算法可表示为 嘲算法 b 训= ，礁甾， 7 传统c q c 算法 b 。白) ：主妻扛 ，+ 。) ，r s r s s 算法 b ，( ) ：圭鼢+ 乩7 ( 2 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) ( 2 - 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) 从上式可以看出虚拟激励法计算b ) 仅需作一次向量乘法，而常规c q c 法则需作 q 2 次向量乘法。对于三维结构，日一般为几十至几百，所以计算量相差几个数量级。 即使将( 2 4 4 ) 式中的振型相关项全部忽略。成为s r s s 算法，仍需作q 次向量乘法。 不但不精确，而且效率仍然很低虚拟激励法( 2 4 3 ) 式并没有忽略参振振型之间的互 相关项，所以它没有s r s s 近似形式，是精确结果。 2 5 随机振动的最大反应期望值估计 25 1 d a v e n p o r t 方法 假定地震激励是零均值平稳随机正态分布过程，则结构的任意线性响应y ( t ) 也 是零均值平稳正态随机过程a 记儿为其极值，盯。为其标准差，定义无量纲参数 ( 2 - 4 6 ) ( 2 4 7 ) 基于随机响应跨越指定界限符合p o i s s o n 分布的假定，d a v e n p o r t ”求得极值的概率 分布为 1 3 ，一!l， 形侩 i i 上加 叩 一 中大跨度桥梁抗震设计规范的算法和参数研究 砌) _ e x p - v t e x p ( 一嘭) 刁 o ( 2 - 4 8 ) 极值的期望值近似地为 而标准差为 砌) 2 ( 2 1 n v t ) “2 + 南 他_ 4 9 ) f c1 ，。、 盯- 4 忑( 2 h a r t ) t ：2 2 峭o 式中，t 为地震持续时间，= o 5 7 7 2 为欧拉常数。而y ( t ) 的极值期望为 2 52v a n m a r c k e 方法 e l y 。 = 研叩 - 口。 ( 2 - 5 1 ) v a n m a r c k e “7 1 认为d a v e n p o r t 基于p o i s s o n 假定得到的以上结论对宽带过程和低 闽值水平可能导致不安全的结果，而对窄带过程则得到保守的值。据此，他基于穿越 次数记数过程为两态m a r k o v 过程的假定，提出了另一套较为复杂的近似算法。对于 零均值平稳随机分析过程吖f ，v a n m a r c k e 求得极值的概率分布为 尸c 叩，= 1 - e x p ( - 孚， e x p 一v 。r 三二；辨 c z s z ， 其中 矧i ( 2 - 5 3 ) 九，= r s y ( ) d m ( 2 - 5 4 ) ，、1 q = ( 1 砰丑：) ) _ ( 2 5 5 ) v 。为平均越零率，q 为带宽参数，介于0 和l 之间a 对于窄带过程，q 接近于0 ；对 于宽带过程，g 接近于1 。根据( 2 5 2 ) 式给出的概率分布函数，k i u r e g h i a n “”给出了 最大峰值的期望值和表达式 大连理工大学硕士学位论文 其中 阿r ”、= r 2 1 n vr 、+ 二_ 一 砌卜但毗即力+ 南 一= 丽1 2 一面蔷万v , t 2 1p2 丽一两丽 【= 0 6 5 匕丁s 2 1 h = ( 1 6 3 q 。”一0 3 8 ) v 。q 0 , 6 9 1 y 。：y 。 g o 。6 9 除非特别说明，本文中用于控制响应的设计值按( 2 - 5 1 ) ，取为 y d = e 0 7 ) o - ， 式中，t 为地震持续时间。 ( 2 - 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 - s 8 ) ( 2 - 5 9 ) g u p t a 和t r i f u n a c “”通过大量的数值模拟，表明对地震工程研究中大多数实用 目的来说，d a v e n p o r t 所作的p o i s s o n 独立性假设是合适的。我们也结合本规范的修 订，按多座实桥对这两种方法作了数值比较。表明在一般情况下，二种计算结果很接 近，对于实际的工程分析而言，取哪一种都是可以的。 2 6 小结 反应谱方法使用简单，效率高，在工程中得到了广泛应用。但它是基于一致地面 运动而建立的基于包络的近似方法，而且很难用于大跨度结构多点激励问题。时间历 程法在进行线性地震响应分析时，计算结果过分依赖于所选取的加速度时间历程曲 线。因此需要用多条地震波才可以得到结构响应的统计特性，计算量很大。随机振动 方法是处理大跨度结构抗震分析的有力手段，而虚拟激励法用计算力学的手段突破了 传统随机振动方法计算效率低的瓶颈，使该方法应用于大跨度结构工程地震响应分析 成为可能。 ! 塑垦堡墨堕壁堡生塑垫塑苎鲨塑叁塑堑塞 3 桥梁抗震当量输入功率谱的研究和修正 3 1 引言 要使随机振动方法实际为地震工程界广泛应用，还有不少问题需要解决。特别是， 如何确定地面作用于结构的输入功率谱，更是一个十分基本的问题，国内外都很重视。 我国地震工程界花了几十年的时间，经过巨大的努力，已经建立了一套适合于我国各 地震区的地面加速度反应谱规定。显然，已经不可能再花同样多的时间精力，为应用 功率谱方法而再去专门建立一套地面加速度功率谱规定。面对量大面广的桥梁抗震设 计，也不可能请专业人员一勘测确定当地的地震输入功率谱。比较现实的方法，是 依据已经建立的地面加速度反应谱而建立相应的( 当量的) 地面加速度功率谱。在这 方面，国内外已经研究出一些基本的方法”o “。但是，这些方法迄今亦未被比较全面 地，特别是通过