（应用数学专业论文）具变号位势的二阶离散hamilton系统的周期解和同宿轨.pdf

博士学位论文 摘要 本博士论文应用临界点理论研究具变号位势的二阶非线性离散h a m i l t o n 系统 的次调和解、周期解与同宿轨的存在性本文将离散h a m i l t o n 系统的次调和解、 周期解与同宿轨的存在性问题转化为适当函数空间上对应泛函的临界点的存在性 问题，得到一系列全新的结果全文共分四章，内容如下： 在第一章中，我们回顾了所研究问题的历史背景与发展现状，并且对本文的 主要工作进行了简要的陈述 在第二章中，我们利用环绕定理主要讨论了当位势函数的一个因子是具零均 值的非零变号周期函数，另一个因子是具有某些增长性条件的函数时，二阶非线 性离散h a m i l t o n 系统的次调和解的存在性，得到了该系统至少有一个非平凡次调 和解的若干充分条件 在第三章中，我们考虑一种具变号位势的二阶非线性离散h a m i l t o n 系统的周 期解的存在性其位势函数中不仅含有具非零均值的变号周期函数，而且含有正 负定未定的对称矩阵值周期函数已有文献利用临界点理论中的m o r s e 理论考虑 具渐近二次位势函数的该系统的一种特殊情形的周期解的存在性，本文则利用临 界点理论中的极小极大方法考虑具非渐近二次位势函数的该系统，建立了该系统 至少存在一个或两个非平凡周期解的若干充分条件，所得结果丰富和发展了离散 h a m i l t o n 系统理论 在第四章中，我们利用山路引理研究一种具变号位势的二阶自伴非线性离散 h a m i l t o n 系统的同宿轨的存在性该系统中两对称矩阵值函数正定，位势函数在 原点与无穷远点均是超二次的我们分别在有周期假设条件和无周期假设条件下 建立了同宿轨存在的若干判别准则，所得结果推广了某些文献的结论 关键词：二阶非线性离散h a m i l t o n 系统；变号位势；临界点；次调和解； 周期解；同宿轨 具变号位势的二阶离散h a m i l t o n 系统的周期解和同宿轨 a b s t r a c t 7 1 1 h ee x i s t e n c eo fs u b h a r m o u i cs o l u t i o n s p e r i o d i cs o l u t i o n sa n dh o m o c h n i co r - b i t so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i s c r e t eh a m i l t o u i a ns y s t e m sw i t hp o t e n t i a lc h a n g i n g i ns i g ni ss t u d i e db yu s i n gc r i t i c a lp o i n tt h e o r yi nt h i sd i s s e r t a t i o n as e r i e so fn e w r e s u l t sa r eo b t a i n e db yc h a n g i n gt h ee x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i cs o l u t i o n s ，p e r i o d i c s o l u t i o n sa n dh o m o c i m i co r b i t si n t ot h ee x i s t e n c eo fc r i t i c a lp o i n t so ft h ec o r r e - s p o n d i n gf u n c t i o n a lo ns u i t a b l ef u n c t i o ns p a c e t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e do f f o u rc h a p t e r s i c o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d 嬲f o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h er e c e n td e v e l o p m e n to ft h e p r o b l e m st ob es t u d i e da r ei n t r o d u c e d ，a tt h es a m et i m e ，t h em a i nc o n t e n t so ft h e d i s s e r t a t i o na r eo u t l i n e d t h ee x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i cs o l u t i o n so fak i n do fs e c o n do r d e rn o n l i n e a r d i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m si sd i s c u s s e di nc h a p t e r2b yn s i ：u gl i n k i n gt h e o r e m i nt h e s es y s t e m st h ep o t e n t i a lc o m p r i s e st w of a c t o r s ，o n ei san o n z e r op e r i o d i c f u n c t i o nw i t hz e r om e a n ，a n dt h eo t h e ri saf u n c t i o nw h i c hs a t i s f i e sc e r t a i ng r o w t h c o n d i t i o n s s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hc a ng u a r a n t e et h a tt h e s es y s t e m sh a v e a tl e a s to n en o n t r i v i a is u b h a r m o u i cs o l u t i o na r eo b t a i n e d t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fac l a s so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i s c r e t e h a m l l t o n i a ns y s t e m sw i t hs i g n - c h a n g i n gp o t e n t i a li sc o n s i d e r e di nc h a p t e r3 i n t h e s es y s t e m st h ep o t e n t i a ln o to n l yh a sap e r i o d i cf u n c t i o nw i t hn o n z e r om e a n a n dc h a n g i n gs i g n ，b u ta l s oh a sas y m m e t r i cm a t r i x - v a l u e dp e r i o d i cf u n c t i o nt h a ti s i n d e f i n i t ei ns i g n i ns o m el i t e r a t u r et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fas p e c i a l c a s eo ft h e s es y s t e m sw i t ha s y m p t o t i c a l l yq u a d r a t i cp o t e n t i a li sc o n s i d e r e db y u s i n gm o r s et h e o r y , b u ti nt h i sd i s s e r t a t i o nt h e s es y s t e m sw i t h o u ta s y m p t o t i c a l l y q u a d r a t i cp o t e n t i a la r es t u d i e db yu s i n gm i n i m a xt h e o r e m ，a n ds o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n eo rt w on o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n so f t h e s es y s t e m sa r eo b t a i n e d t h er e s u l t so b t a i n e de n r i c ha n dd e v e l o pt h et h e o r yo f d i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s t h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t so fak i n do fs e c o n do r d e rs e l f - a d j o i n tn o n - l i n e a rd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m sw i t hp o t e n t i a lc h a n g i n gi ns i g ni ss t u d i e di n c h a p t e r4b yu s i n gm o u n t a i np a s st h e o r e m i ne a c ho ft h e s es y s t e m s ，t h et w o s y m m e t r i cm a t r i x - v a l u e df u n c t i o n sa r ep o s i t i v ed e f i n i t ea n dt h ep o t e n t i a lf u n c t i o n i ss u p e r q u a d r a t i cb o t ha tz e r oa n da ti n f i n i t y s o m ec r i t e r i af o rt h ee x i s t e n c eo f i i 博士学位论文 h o m o c l i n i co r b i t so ft h e s es y s t e m sw i t hp e r i o d i ca s s u m p t i o n sa n dw i t h o u tp e r i o d i c a s s u m p t i o n sa r ew o r k e do u t ，r e s p e c t i v e l y o u rr e s u l t se x t e n ds o m ek n o w nr e s u l t s i nt h el i t e r a t u r e k e yw o r d s ：s e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s ；p o t e n - t i a lw i t hs i g nc h a n g i n g ；c r i t i c a lp o i n t s ；s u b h a r m o n i cs o l u t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ； h o m o c l i n i co r b i t s i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担 作者签名。研】幸日期：枷刁年r ，月z 6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密日 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：即日磊 导师签名：庄娃设 日期：卿年，7 月“日 日期：z 明年，月 日 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题产生的历史背景和发展现状 众所周知，多个天体的运动遵从如下形式的非线性二阶微分方程组所描述的 规律 ( t ) + v u ( t ，z ( t ) ) = 0 ，v t r ，、b r 川，( i i ) 其中是给定的正整数，u ：科。一r 是运动的势能函数，v u ( t ，z ) 是u ( t ，z ) 关于z 的梯度，上式通常被称为二阶h a m i l t o n 系统 h a m i l t o n 系统理论是既经典又现代的研究领域，可以从不同的角度利用不同 的方法进行研究，变分法【1 3 】是其中之一h a m i l t o n 系统是具变分结构的系统， 即h a m i l t o n 系统的解可转化为寻找其对应泛函的临界点因此，h a m i l t o n 系统 研究与近3 0 年来迅速发展的大范围变分法即l | 缶界点理论”6 1 相结合，取得了巨 大的进展特别是应用l | 缶界点理论寻找二阶h a m i l t o n 系统的周期解与同宿轨，取 得了丰硕的成果 实际上，研究h a m i l t o n 系统( 1 1 ) 的b 周期解就是寻找该系统满足周期边 值条件 x ( o ) 一x ( t ) = 圣( o ) 一k ( t ) = 0 的解 当u ( t ，z ( t ) ) 0 时，关于系统( 1 1 ) 的周期解问题可参阅文献【7 一1 5 】当 u ( t ，茹( t ) ) 为一般位势即不必为非负实数时，关于系统( 1 1 ) 的周期解问题可参阅 文献【5 ，1 6 4 5 1 ，其中除 1 6 】采用p o i n c a r d - b i r k h o f f 不动点方法外其余均采用变 分法，而且文献i s ，9 ，1 7 ，i s 研究自治h a m i l t o n 系统，文献【5 ，1 9 2 6 研究次二 次h a m i l t o n 系统，文献【5 ，3 8 ，3 9 】研究渐近线性h a m i l t o n 系统，文献【1 7 ，2 9 ，3 5 】 研究奇异h a m i l t o n 系统，文献 4 0 4 5 1 研究带扰动项的h a m i l t o n 系统 当u ( t ，z ( ) ) = 6 ( t ) y 0 ( t ) ) 时，二阶h a m i l t o n 系统( 1 1 ) 为 茧0 ) + b ( t ) v v ( x ( t ) ) = 0 ，v t 畎，v z r ，( 1 2 ) 其中6 ( t ) 是关于t r 的曩周期实变号函数，v ：腮一r 且v v ( z ) 是矿仁) 关于z 的梯度由于6 ( ) 变号，我们通常称系统( 1 2 ) 为具变号位势的二阶连续 h a m i l t o n 系统 早在1 9 7 6 年，b u t l e r 4 6 l 利用p o i n c a x 4 映射的不动点找到系统( 1 2 ) 的无穷 多周期解接着p a p i n i 4 7 ”4 9 也利用此方法研究系统( 1 2 ) 的非周期边值问题和周 期解 具变号位势的二阶离散h a m i l t o n 系统的周期解和同宿轨 1 9 7 8 年美国数学家r a b i n o w i t z i s 首次利用l | 缶界点理论证得6 ( - ) 0 的非线性 h a m i l t o n 系统( 1 2 ) 的周期解的存在性，自这一开创性工作后，h a m i l t o n 系统的 变分方法研究发展极为迅速但由于6 ( ) 变号，利用临界点理论研究二阶h a m i l t o n 系统( 1 2 ) 的周期解的主要困难在于p a l a i s - s m a l e 条件的证明而且，具变号位 势的二阶h a m i l t o n 系统( 1 2 ) 所对应的泛函往往是不定泛函即既无上界也无下界 的泛函，故大多作者采用临界点理论中的极小极大方法来研究二阶h a m i l t o n 系统 ( 1 2 ) 的周期解，而且大多研究具有超二次泛函y ( x ) 的二阶h a m i l t o n 系统( 1 2 ) 的口周期解 1 9 9 1 年，l a s s o u e d 5 0 1 利用临界点理论研究具严凸且齐次位势的二阶h a m i l t o n 系统( 1 2 ) 的非常数周期解首先采用c l a r k e 对偶和l i a p o u n o v - s c h m i d t 鞍点约化 方法，使得系统( 1 2 ) 的非常数周期解就是寻找对应对偶泛函的约化泛函的非零临 界点，然后利用环绕定理在条件fb ( t ) d t 0 下证得系统( 1 2 ) 的非常数周期解， 0 r 利用山路引理在条件f b ( t ) d t 2 使得 y ( a z ) = a 卢矿( z ) ，v t r n , v a r + 则系统( 1 2 ) 至少有一个非常数p 周期解 1 9 9 4 年，b e nn a o u m 等【5 1 】利用直接变分法和条件极值对y 仅齐次时得到一 些周期解的存在性结果，并利用l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n n 畴数理论证得系统( 1 2 ) 的n 周期解的多重性 1 9 9 5 年，g i r a r d i 和m a t z e u i 5 2 】在条件 一 b ( t ) d t 0 j 0 下利用a l a m a 与t a r a n t e l l o 5 3 所介绍的条件 3 c 0 ，卢 2 ：l v v ( z ) 茹一z v ( x ) iscl x l 2 , 比r ， ( 1 3 ) 弱化非凸v 的齐次假设得到系统( 1 2 ) 的非零p 周期解存在性结论首先，分别 利用环绕定理和山路引理证得系统( 1 2 ) 存在非零d 周期解的充分条件，然后利 博士学位论文 用l s 畴数理论在类似( 1 3 ) 的条件下证得y 在整个空间上偶且非严齐次时的b 周期解的多重性，最后利用m o r s e 理论证得系统( 1 2 ) 的次调和解和极小周期解 的存在性 1 9 9 8 年，陈国玲与龙以明 5 4 1 利用环绕定理对满足gb ( t ) d t = 0 且6 ( ) 0 的一类位势函数在无凸性和齐次条件下证明了如下存在性结论 定理1 1 2 假设函数6 ( ) 与y ( ) 满足下述条件； ( b ) 对t 0 ，6 ( ) 是关于t r 的d 周期实函数并满足6 ( ) 0 和j ：；【b ( t ) o ； ( y ) 对n 0 和卢 2 ，y ( x ) = a l x l 4 + w ( z ) ，w c 2 ( r n ，r ) ； ( m ) 存在蜘( 0 ，杀车) 和r o 0 使得 1 w ( 茹) i o r 0 i x l , 比，i z l t o ； ( ) 存在p ( 0 ，丑c o ) 和r l 0 使得 i v w ( 删赢，比r 肛| r - ， n 1 ；( 羔一锄) 矿一口雪咄 o ， n 1 三( 石研一锄，矿一口爿 u ， 其中b + = m a x ( b ( t ) ：b ( t ) o ，雪= m a x l b ( 0 1 ，c o 为吩2 到伊的s o b o l e v 嵌入 常数； ( w j ) 存在r 2 0 和d 0 使得 1 m a x i w ： 即( z ) is d j x l # - 2 , 比，r 2 则系统( 1 2 ) 至少有一个非平凡的口周期解 显然，由上述定理1 1 2 中的条件( 1 ) 知，当一o o 时i v w ( z ) i 一0 2 0 0 4 年，唐春雷和吴行平【删进步弱化该条件，仅要求i v ( z ) i 关于任意z r 一 致有界，并利用环绕定理推广了上述定理1 1 2 的结论： 定理1 1 3 假设定理1 1 2 中的条件( b ) 和( y ) 成立，而且w c 1 ( r ，r ) 满足 ( 嘶) 存在a o ( 0 ，籍) 和r o 0 使得 w 7 ( z ) i 凸幻i z l 2 ，v x r ，i z i t o ； ( i ) 存在g o 0 使得 i v w ( x ) isg o ，比r n 则系统( 1 2 ) 至少有一个非平凡的p 周期解 而对具有次二次泛函y ( x ) 的二阶h a m i l t o n 系统( 1 2 ) ，目前只有文献【5 6 】论 及y 齐次时该系统的周期解的存在性，以及蒋美跃【5 7 i 利用辛变换得到y 次二次 时系统( 1 2 ) 的次调和解的存在性 3 - 具变号位势的二阶离散h a m i l t o n 系统的周期解和同宿轨 当u c t ，9 7 ( 0 ) = a ( t ) 9 7 ( t ) 9 7 ( t ) + v ( t ，9 7 ( t ) ) 时，二阶h a m i l t o n 系统( 1 1 ) 为 岔( t ) + a ( t ) 9 7 ( t ) + v v ( t ，z ( ) ) = 0 ，v t 酞，v z r “，( 1 4 ) 其中a ( t ) 是关于t r 连续的n n 实对称矩阵值p 周期函数，v ：f r 且v v ( t ，z ) 是v ( t ，z ) 关于z 的梯度 当v ( t ，9 7 ) 为般位势时，利用临界点理论研究系统( 1 4 ) 的周期解的存 在性结论可参见文献 5 8 6 5 ，其中文【5 8 】中的a ( t ) 为常数矩阵，文 6 0 ，6 1 1 中 的a ( t ) 为一般矩阵，而文( 6 2 6 5 】中的a ( t ) 为负定矩阵，并且得到至少三个周 期解的存在性 二阶h a m i l t o n 系统( 1 ，4 ) 的一种特殊形式为 量( t ) + a ( t ) x ( t ) + b ( t ) v v ( 9 7 ( t ) ) = 0 ，v t r ，v z r “ ( 1 5 ) 其中a ( t ) 是关于t r 连续的t 一周期实对称xn 矩阵值函数，是正负定未定 的，6 ( t ) 是关于t r 的n 周期实变号函数，v ：r 一r 且v v ( z ) 是v ( 9 7 ) 关 于z 的梯度，我们通常也称系统( 1 5 ) 为具变号位势的二阶连续h a m i l t o n 系统 特别的，当a ( t ) 三0 时，系统( 1 5 ) 即为系统( 1 2 ) 对具有超二次函数y ( x ) 的二阶h a m i l t o n 系统( 1 5 ) ，已经有很多文献研究其 d 周期解，主要有以下两种情形 情形1 ：a ( ) 负定 1 9 9 3 年丁彦恒与g i r a r d i 6 6 l 在y 齐次情形下利用山路引理证得非常数亚周 期解的存在性； 定理1 1 4 假设 ( b ) 存在t l ，t 2 【o ，卅使得b ( t 1 ) 0 ，b ( t 2 ) 0 ，比0 且存在p 2 使得 v ( a 9 7 ) = 胪v ( 9 7 ) ，v a 0 ，r 则系统( 1 5 ) 至少有一个非常数弘周期解 并用亏格理论证得y 偶时系统( 1 5 ) 有无穷多个非常数p 周期解 1 9 9 6 年，a n t o n a c c i 6 t i 利用山路引理证得矿弱齐次时系统( 1 5 ) 的非平凡p 周期解的存在性： 定理1 1 5 假设6 ( ) 与a ( ) 满足 ( b 1 ) 存在t o 【o ，卅使得b ( t o ) o ； ( b 2 ) 片b ( t ) d t o ； ( a ) 存在o 0 使得 a ( t ) x z 一百i z l 2 ，v t o ，卅，v z t 一垂 博士学位论文 v c 2 ( r n 职) 满足 ( k ) y ( z ) v ( o ) = o ，v x r ( ) 当z 一0 时v ( x ) = o ( i x l 2 ) ( ) 存在p 2 ，r 0 使得 x 7 v ( x ) z p y ( z ) ，v x r ，i x l r ； ( k ) 存在爿 o ，c 0 ，r ” 0 使得 i v y ( z ) i a l i x 4 - 1 , v z ，i x i r ， 且存在元 0 ，d 0 使得 b 一( i y ”( z ) i d i x 4 2 ) o ，v z r ，i z i2 盂 则系统( 1 5 ) 至少有一个非平凡弘周期解 1 9 9 7 年，g i r a r d i 和m a t z e u a s 讨论了具非齐次位势y 的变号系统( 1 5 ) 的 n 周期解 情形2 ：a ( - ) 不满足负定条件 1 9 9 7 年a n t o n a c c i 6 9 1 首先提出两个公开问题： ( 1 ) 如果a ( ) 满足 ，t 似( t ) 6 f ) 出 o r k r ，= 1 ， ( 1 6 ) j 0 且不存在任意区间【0 ，卅使得a ( ) 在其上正负确定，fb ( t ) d t o ； a ( ) 满足 ) 存在l o 使得 a ( t ) z z s lj z l 2 ，v t 【o ，卅，v z r ； ( a 1 ) j a o k “，k r ，i 引= 1 v c 2 ( r n 豫) 满足 具变号位势的二阶离散h a m i l t o n 系统的周期解和同宿轨 ( y o ) y ( x ) v ( o ) = 0 ，比r ： ( h ) 当3 7 0 时y ( z ) = d ( h 2 ) ( ) 存在卢 2 ，r 0 使得 v v ( z ) z z v ( x ) ，r 。，i z i r ； ( k ) 存在 0 ，c o ，学f 再耳犏一叫) 使得 b 一【v 矿( z ) z p y ( z ) 】c l 。1 2 , v z ，i z i r 其嘲纠= 。1 ： ( k ) 存在d 0 ，詹 0 使得 b 一( i v ”( z ) i d 1 2 ：1 4 2 ) o ，比r ，i z i 豆 则系统( 1 5 ) 存在非平凡p 周期解 最后解决了公开问题( 1 ) ，即利用环绕定理证得以下结果； 定理1 1 7 假设v c 2 ( r nr ) 满足定理1 1 6 中的( h ) 一( k ) ，而且有 ( k ) 存在a 1 0 使得 y ( x ) 2a l f z l 9 ，、0 r ； 6 ( ) 满足 慨) 石b ( t ) d t 0 ； ( 硅) 由( b 3 ) 与6 ( ) 的连续性，存在6 0 使得 b ( t ) 0 ，v t 厶= t o 一五t o + 司cf o ，列； a ( ) 满足定理1 1 6 中的( a 1 ) 与 ( a 2 ) 存在叩 0 使得 ，r a ( t ) x x d t 叩i x l 2 d t ，协珥( o ，t ；r ) j i t j 1 6 则系统( 1 5 ) 至少存在一个非平凡耳周期解 1 9 9 8 年a n t o n a c c i i 7 0 l 利用n e h a r i 流形和【广s 畴数理论研究具一定偶条件的 系统( 1 5 ) 的多个周期解的存在性 令6 + ( t ) = m a x b ( t ) ，o ) ，b - ( f ) = 一i i l i n 6 ( t ) ，o ，6 + = 詹b + ( t ) d t ，b 一= 詹b - ( t ) d t 2 0 0 2 年徐远通与郭志明i t l 】解决了a n t o n a c c i 6 9 1 提出的公开问题( 2 ) ，利用环绕定 理证得b = 后b ( t ) d t 0 时系统( 1 5 ) 的非平凡p 周期解的存在性结论： 博士学位论文 定理i i 8 假设a ( ) ，6 ( ) ，y ( ) 俨( r ，r ) 满足 ( ) y ( z ) v ( o ) = o ，协e 酞； ( ) 存在n 卢 2 ，r 1 0 使得 p y ( 甸v v ( x ) z ，j v y ( z ) j j z js 口矿( z ) ，v z ，kj r 1 ； 积分( k ) 的左式有 ( 巧) 存在m 0 ，0 2 0 使得 v ( x ) 2a l l x l 4 一a 2 , v z r ( ) 当z 一0 时y ( z ) = o ( i x l 2 ) ； 由( ) ，令e o = 簪，则存在r 0 使得 ( ) y ( x ) e o i z l 2 , 比er ，h r ； ( a ) 存在l ( o ，搞) 使得 a ( t ) x z s l l x l 2v t 0 ，t i ，v z r ； ( a 2 ) 存在7 ( 0 ，a l 够) 使得 a ( t ) f f2 一t , v ( 6r i v ，睡i = 1 ； ( k ) 存在c ( o ，g ( 葙一l ) ) ，岛 0 使得 b 一 v y ( z ) z 一y ( z ) j c k f 2 ，甘t 碾，i z i 吼 ( 6 1 ) f i b + 一a b 一 0 ； 池) 6 ( 譬a l + 劬) 1 ，i = o ，刀厶：，y b ( t ) d t + b ( t ) d t 0 ， j i s j i 及假设y 满足以下超凸条件即存在兄 0 与a ，y 使得 v ( z l + z 2 ) ，y ( y ( 2 1 ) + v ( 恐) ) 一a z l z 2 1 2 , y z i ，z 2 酞，2 1 z 2 ，f z i + z 2 i r 具体结论为： 定理i i 9 假设6 ( ) 与a ( ，) 满足 7 具变号位势的二阶离散h a m i l t o n 系统的周期解和同宿轨 ( b 1 ) 譬b ( t ) d t o ； ( 5 2 ) 存在t o 【0 ，卅，6 0 使得 6 【” 0 ，v t 1 6 = t o d ，t o + 刨c 【0 ，t 】； ( a - ) 存在l ( o ，尚) 使得 a ( t ) x z l i z l 2 ，( o ，卅，切璁； ( a 2 ) 存在叼( 0 ，l ) 使得 z 批础2 野加2 砒 f r a ( ) f f d t 一叩正k r n ，撼l = l v c 2 ( r ，r ) 满足 ( k ) y ( x ) 2v ( o ) = o ，比r l v ； ( k ) 存在 2 ，1 0 ，扁 0 使得 卢y ( z ) v v ( x ) z ，y ( x ) a l i z r ，v z r ，i z i r 1 ( k ) 当z 一0 时y ( x ) = o ( i x l 2 ) ； 由( y s ) ，存在e 0 ，r 0 使得 ( k ) y ( x ) f 陋f 2 ，0 r ，j z i 巧 ( k ) 存在c 0 使得 v v ( z ) z z v ( z ) c l x l 2 , v z ，i z i 兄 则系统( 1 5 ) 至少有一个非平凡p 周期解 而s h i l g b a 7 a 去掉上述超凸条件，假设 j 壳 r o ，0 2 1 0 ：y ( z ) 0 1 l z 尸+ n 2 i z l 2 , 比r ，i z l2 壳 具体结论为： 定理1 1 1 0 假设6 ( ) 满足定理1 1 9 中的( b 1 ) 慨) ，a ( ) 满足定理1 1 9 中的 ( a 1 ) 与 ( a 2 ) 存在叩( 0 ，l ) 使得 ：a 。) z ，z a t2 叩：i z l 2 出， i - a ( t ) f 出f v t , v r ，垮i = 1 ； 一8 一 博士学位论文 v c 2 ( r n ，r ) 满足定理i i 9 中的( ) 一( k ) ，且有 ( k ) 存在c 0 使得 a v ( x ) 一v v ( x ) z c l x l 2 , r ，i z i r 2 ( k ) 存在o l p ，r 3 0 使得 a v ( z ) l v v ( x ) l l x l ，沈r ，i z i r 3 则系统( 1 5 ) 至少有个非平凡正周期解 虽然上述定理1 1 9 与定理1 1 1 0 在b = j ： b ( t ) d t 0 时解决了a n t o n a c c i l 6 9 提 出的公开问题( 2 ) ，但是在证明过程中不仅需要进一步的假设条件，而且利用环绕 定理时缺乏类似定理1 1 8 中慨) 的条件因此，本人认为文【7 2 ，7 3 】的证昵不够 严格 而关于y 渐近超二次时系统( 1 5 ) 的周期解，只有邹文明与李树杰【7 4 1 利用 m o r s e 理论证得多个弘周期解的存在性 此外，如果a ( ) 三a 知。( 恒等矩阵) 且入 0 ，那么系统( 1 5 ) 为 岔( t ) - 4 - a z ( ) - 4 - b ( t ) v v ( x ( t ) ) = 0 ，v t r ，v z r l v ( 1 7 ) 当系统( 1 7 ) 中的y 在无穷远点超二次且正时，2 0 0 5 年蒋美跃【7 5 ，7 6 1 分别就厚零 点( t h i c kz e r o ) 情形 0 ：b ( t ) o n o ：b ( t ) o ) = 0 和薄零点( t h i nz e r o ) 情形 6 ( ) c 1 且当b ( t ) = 0 时( t ) 0 利用m o r s e 指标理论考虑方程( 1 7 ) 的周期解 如果a ( ) 三b 是n n 正定对称矩阵，其特征值为0 u 胡 碍，b ( t ) = d i a g ( b 1 ( t ) ，6 2 ( t ) ，6 1 ( ) ) 是矩阵值p 周期连续函数且驴( t ) c ( r ，r ) = 1 ，2 ，) 变号，y ( x ) = h 1 ，2 2 ，0 o ； ( h ) v c 1 ( r i v ，r ) ，v ( o ) = 0 ，且当z 一0 时v v ( x ) = o ( ) ； ( ) 存在p 1 2 ，d l 0 使得 y ( z ) d x i z l “，、b ( k ) 存在肛 2 ，0 0 ，