（基础数学专业论文）紧致riemann流形第一特征值估计.pdf

摘要 本综述报告综述了紧致m e m 姗流形上l a p l a c e 算子的第一特征值的下界估计的历 史，其中 = 去嘉( 夕巧循南) 对一些定理与结论，报告作了证明与解析。 关键词：r i e m a n n 流形，特征值，r i c c i 曲率 a b s t r a c t l e tm b eac o m p a c tr i e m a n nm a n i f o l d ，t h i ss m a l ls u r v e yi sa b o u tt h ee s t i m a t e so n t h el o w e rb o u n do ft h ef i r s tn o n - z e r oe i g e n v a l u eo ft h el a p l a c i a no p e r a t o rf o rm w h e r e , = 去嘉0 巧妇刍) k e y w o r d s ：r i e m a n nm a n i f o l d ，e i g e n v a l u e , r i c c ic u r v a t u r e i i 第1 章的特征值 1 1 基本概念与定理 设m 为n 维紧致r i 哪a n n 流形，具有边界a m ( 可能a m = 砖，其度量为d s 2 = g i j d x i d x j 其l a p l a c e 算子为 = ：1o ( 严钷刍) 其中( ) = ( ) - 1g = d e t ( g i j ) ，( z 1 ，妒) 为m 上的局部坐标。如有常数入满足让： 一a 乱其中札为不恒为零的函数，则称a 为的特征值，我们知道如下结果： 1 o m = 0 ，有离散的谱却e c ( m ) = o = a o a 1 a 2 ) 2 o m 0 不论是对d i r i c h l e t 边界条件：札( z ) = 0 ，v x o m 还是对n e u m a n n 边界条 件：赛( z ) = o ，比o m ，a 都有离散的谱： s p e c v ( m ) = 入1 a 2 ) s p e c n ( m ) = o = a o a l 入2 ) 在的特征值理论中，以下的极小极大原理有基本的作用 极小极大原理记空间h 为： 1 o m = 弘，h = ，研( m ) i 厶，= o ) 2 踟移，n 条件h = ，聊( m ) l 厶，= 0 ) 3 a m 办d 条件h = 研( m ) 则我们可以找到一组可数正交基 ，v 五= 一九五，五c o o m ，0 0 ，z q f l o m = 0 1 ，如果存在常数弘： 厶l v 妒l 弘厶，坳c 0 。( m ) ，泊m = 。 则入l p 2 这是因为，考虑，2 ，v f 2 = 2 f v f 肛厶咫2 i f l l v f l - - 等乞f 2 即：入l i 1 肛2 浙江大学硕士学位论文3 2 根据c o - a r e a 公式 厂f v 妒i j m仁z ：盯翮 仁( o ) 如 2 ，m e 口( 妒郑) 如 ：0 0 a 、，r e ，a ，( ，妒、= 一a ) v d f ( 妒仃) d 盯 ，一y 扰( 妒) 一盯。7 i 矿( 锱) 仁嘶划d 盯 呼( 锱) 加i 又 似炉q i 酬n f 瓮鬻 0 ，则第一特征值满足 a 1 n k 1 9 6 2 年，o b a t a 证明，如果上式等号成立，则m 等距于常曲率k 的球面伊。以 后，c h e e g e r 给出了入1 的下界估计，其中涉及到他所定义的等周常数。在此基础上y a u 给 出了用便于计算的几何量，例如直径、体积、r i c c i 曲率下界，来估计a 1 的下界的方法， 从1 9 7 9 年开始，l i 和y a u 发展了对第一特征函数进行梯度估计来求得入1 下界的有效方 法，1 9 8 0 年，他们证明了如下结果： 定理l ( l i y a u ) ： ( 1 ) 设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、 其中d 为m 的直径 ( 2 ) 设m 为r i e m a n n 流形， 足 其中d 为m 的直径 r i c c i ( m ) d ，则第一特征值满足： 艟嘉 紧致、无边、r i c c i ( m ) 一( n 一1 ) k ( k o ) ，则第一特征值满 艟堕坐装等竖卿 ( 3 ) 设m 为r i e m a n n 流形，紧致、o m 乃且a m 为凸的( e p 它对外法线方向而言的第二基 本型是正的) ，贝j j n e u m a n n 条件的第一特征值叩1 满足 7 r 2 叩1 面 其中d 为m 的直径 4 浙江大学硕士学位论文 5 在梯度估计方法的基础上，钟家庆、杨洪苍将定理1 ( 1 ) 改进为a l 豢，达到这一问 题的最佳估计。即： 定理2 i 钟家庆、杨洪苍) ：设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) o ，则第 一特征值满足 砣荔 其中d 为m 的直径。 另外，定理1 ( 2 ) 的另外一种常见形式是： 定理1 ( 2 ) + ：设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一n ( r = c o n s t o ) ，则第一特征值满足 艟堕坐筹篆坐业 其中d 为m 的直径 不仅如此，y a u 还有一个猜想：入l 蘩- e x p ( 一g ，蚤丽) 1 9 8 9 年，杨洪苍证明了该猜 想，即 定理3 ： 设m 为慰e m a r u l 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t o ) ，则 第一特征值满足 入1 篆e x p ( 一c m 4 丽) 其中= m a x v 乞，圻而1 ) 该定理i m p r o v e st h e o r e m1 ( 2 ) + a n di n c l u d e st h e o r e m2 1 9 9 6 年，陈木法、王风雨得到紧致r i e m a n n 流形上第一特征值下晃估计的一个通用 公式 a ，4 r q i n 。f ，哪f ( r ) z rc ( s ) 一1 d s e c ( 札) ，( “) d 札) 一1 ( 2 1 ) 并且陈木法、王风雨将此公式推广到非紧流形的领域。该公式i m p r o v e s 定理o 和定 理2 。 在杨洪苍的证明过程中，他给出了这样的猜想：设m n r i e m a n n 流形，紧致、无 边、r i c c i ( m ) 一n ( n = c o n s t o ) ，则第一特征值满足 1 a 。器一 r 2 入，器e x p ( 一；廊) 6第2 章紧致黎曼流形第一特征值下界估计 对于1 ；1 9 9 8 年赵迪有这样的结果： 定理4 ： 设m 为r i e m a r m 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t 0 ) ( 1 ) 第一特征值满足入1 薯0 5 2 r ( 2 ) 若冗i 磊，则入l 碧一 r 在此基础上，2 0 0 1 年，徐森林、庞华栋证明了杨洪苍的猜想： 定理5 ：设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t o ) ，则第 一特征值满足 入1 万7 1 - 2 一互1r 为证明此定理，徐森林、庞华栋给出了关于第一特征值的新的估计式： 定理6 ：设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t o ) ，则第 一特征值满足 入- 薹 1 + ( 昙一8 ) e x p ( 昙r 沪) 一1 2 2 关于定理o ( l i c h n e r o w i c z ) 定理0 ( l i c h n e r o w i c z ) 设m 为r i e m a r m 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) ( 佗一1 ) k d 即嘞( 佗一1 ) k s , j ，则第一特征值满足入1 n k o b a t a 考虑了等号成立的情况： 定理7 设m n r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) ( n 一1 ) k d 即 ( 佗一1 ) k s , j ，如a i ( m ) = a t ( s ) = k n ，其中驴为具有常曲率k 的球面，则m 等距于s n 。 对于具有边界的流行而言，r e i l l y 考虑了d i r i c h l e t 问题，e s c o b a r 考虑了n e u m a n n 问 题，相应结论为： 定理8 设m 为r i e m a n n 流形，紧致、具有边界，r o ( n 一1 ) k s 0 ，假设下述两个 条件其中之一得到满足： ( 1 ) 入1 为第- - d i r i c h l e t 特征值，o m 具有非负平均曲率 ( 2 ) 入1 为第一e u m o n 礼特征值，o m 是凸的 则a 1 n k 成立。 以下给出定理0 的证明： 浙江大学硕士学位论文 7 证明：设让为的第一特征函数，令口= i v 心1 2 = mu m u m 有 扣= 荟1 坎t = 2 缸m i m 主饥= t 知u m i u m i + 铭m 蒯 “m i u m i + u 俐 m ，lm ，l = u 刺施+ 仳舶 m + r i c ( v u ，v 让) m ，im ，i = 仳刺m i + 缸m ( z x u ) m + r i c ( v u ，v u ) m ，im ，i = u 刺m i 一入1 u m u m + r i c ( v u ，v u ) m ，im ，i = 缸刺m i a l 移+ r i c ( v u ，v u ) l 妇s c h w a r d z t f _ 让m l 乱m l m z o ( 钍t t ) 2 = t ( z x u ) 2 = 入；u 2 扎妻攀= - ) q u a u 一入1 u u 一入1 口+ ( n 一1 ) k l v u 2 - ) l u a u - - a l u a u 一x a v + ( n 一1 ) k v 厶州一) 忌厶 考虑( u 2 ) = 魏( 2 让仳f ) = 2 u i u i = 2 u u i i = 2 1 w , 1 2 + 2 u a u 有- ： 。= f m a ( u 2 ) = 2 。i v “1 2 + 2 f 仳仳 ( 2 2 ) 8 第2 章紧致黎曼流形第一特征值下界估计 f mu a u = - - f mi v 砰一厶t ， 从而( 2 2 ) 式变成 。( 等 帕叫后) 厶口 由秒o 故等一a a + ( 佗一1 ) 七o 且p a l n k 第3 章部分定理证明及解析 3 1关于定理1 ( 1 ) 及定理2 的证明 首先讨论用梯度估计以求得第一特征值下界的p l i - y a u 方法，设m 为慰e m a n n 流 形，紧致、无边、r i c c i ( m ) o ，设仳是对应于入1 的第一特征函数，因为厶让= 一砉 厶a u = o 所以无妨设1 = s u p u i n f u = 一k 一1 ，1 k 0 引理3 1 女i l r i c ( m ) o , n l v u 2 叁( 1 一) ( 七十u ) 证明：令q = 而u - ( i - k ) 2 则 i 豆= 一入1 ( 面+ 口) 口= 百1 - 磊k ，0 o ( 3 4 ) 1 0 第3 章部分定理证明及解析 在z o 取坐标架，使哆= o o 1 ) 由( 1 ) 知道： 由( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 。5 ) 得到 即 即 因此，v z m 有： 吗壤钉矗= 踌 研2 l v v l 2 刮v 印茎皑盟篙擎业 l v v l 2 2 1 一口2 入l ( 1 一口2 ) i v 秒1 2 + 入l v ( v + a ) 禺l ( 1 托哪冰抱) l v v l 2sa 1 ( 1 + a s ) ( 1 一钐2 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 用u = 可“+ - 。o ) ( - 1 + k ) 七) 2 万，魄= 西渤代入上式，令_ 0 ，得i v u 2 终( 1 一u ) ( 后+ 乱) 。 证明定理l ( l i y a u ) ( 1 ) ：设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) o p 则第一特 征值满足：a l 杀； 证明：取第一特征值u ，根据上述引理有梯度估计： 其中 l v 砰羔( 1 - u ) ( k 刊 1 = s u p u i n f u = 一老一1 取z 1 ，x 2 m 使u ( x 1 ) = s u p u = 1 ，u ( x 2 ) = i n f u = 一而用极小测地线r 连接z 1 ，x 2 有 即 ，1 1 氤= l ，一七 d u 以下讨论定理2 的证明。 仍设u 为第一特征函数 e 艟竽 嘉 d s i n f u = 一忌一1 浙江大学硕士学位论文 1 1 令 他一半 1 一尼 一平面商82 丽 妣满足 ， i 移= 一a 1 p + 8 e ) 8 = 百1 - i k ，0 8 1 s u p v = 雨1 ，i n f v = 景 【= 素 令钉：s i np 贝i j 一熹g n9 去，鐾却卵 定义函数f ( p ) = m a x z m ，p ( z ) ：口i v o l 2 = m a x m ，p ( z ) ：一徉显然f ( 目) 是 _ 考+ 反考一司一 尉拘连续函数，其中6 满足 s i n ( 虿7 1 一6 ) = 雨1 并且因为钞在三一正一( 三一6 ) 处取得最值，有 f ( 一三+ 6 ) = f ( 三一6 ) = o 采用这种术语，引理1 特别是( 3 6 ) 式可以改述成 引理3 2 ：f ( o ) a 1 ( 1 + a e ) ，o 。= 素，口= 糕 从l i - y a u 的定理证明可见，如o = 0 ，k = 1 则a 1 器因此，我们下面只需假设o a 1 问题的关键是要寻找关于f ( 口) 较引理2 更为精确的估计，为此，设 f ( o ) = 入1 ( 1 + o 。妒( p ) ) 其中妒( 秒) 是f - 三+ 5 ，考一司_ 兄的连续函数。因为f 在区间两端为o ，故 妒( 一i 7 r + 6 ) = 妒【i 7 r 一6 ) _ 2 嘶) = z a l 2 d s q 考- 州s 上十d 丽o 由引理4 ，( o ) = 0 ，咖( 一p ) = 一( p ) ，i a e ( p ) l o ) ，则 第一特征值满足 a 1 希e x p ( 一c m v r - r 浮) 其中= m a x v 侄，圻再了) 定理证明中引进了与定理1 ( 1 ) 与定理2 证明过程中引进的函数不同的新的函数并给出 其估计，重要的两个函数是： 定理主要由以下定理3 5 以及定理3 6 推出，简要分析如下： 定理3 5 ： 设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t 0 ) ，则第一特征值满足 a 1 而7 1 - 2 ( ) 2 r e x p ( 三衙) - 1 。2 其中= m a x ( v 侄，圻再丁) 注：由于z e x p z e x p z 一1 ，比 0 故而，此定理有推论 1 4第3 章部分定理证明及解析 推论：同条件下， a 1 磊e x p ( 一何) 其中c m = m a x ( v 侄，何再了) 定理3 6 ： 设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一n ( n = c o n s t 0 ) ，则第一特征值满足 7 1 2 1 a t 一d 2 万丽 注：由于定理3 证明的需要，定理3 6 的结论并不是那么美观，它的等价形式是： 定理3 矿：同条件下， 入1 备一r 口 以下由定理3 5 以及定理3 6 推出本篇中的定理3 ： 证明：由于q = 击由定理3 5 ，有： 瓦r 紊4 孑1 ( e x p ( q n 4 h - 万) 一1 ) 2 刍e x p ( 2 q a 4 - 丽) 一2e x p ( qr x - r - - 万) + 1 e x p ( 2 a 忻涿) 一1 其中最后一个不等式是因为( e x p 2 。- 2 e x p t + 1 ) e x p 现- - 1 ，v t o 从而由原文定理3 6 ，我 们有： 定理证毕 7 1 - 21 二 一 2 d 21 + e x p ( 们丽) 一1 = 万i r 2e x p ( 一c m r v f r - 万) 3 3 关于定理5 和定理6 的证明 定理5 ：设m y 9 r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t o ) ，则第 一特征值满足 。 a - 荔一三r 为证明此定理，徐森林、庞华栋给出了关于第一特征值的新的估计式： 南 矿一护 一 h 浙江大学硕士学位论文 1 5 定理6 ：设m i 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t 0 ) ，则第 一特征值满足 入羞 0 ) ( 1 ) 第一特征值满足入1 万i r 2 0 5 2 r ( 2 ) 若r 吾5 万1 1 - 2 ，则入1 万7 1 2 一喜r 定理5 和定理6 的证明以赵迪的定理4 为基础，只需要证明当r i 万7 f 2 时，结论入1 雾一丢r 成立，定理的证明基于以下引理： 引理3 7 设m 为r i e m a n n 流形，紧致、无边、r i c c i ( m ) 一r ( r = c o n s t o ) ，d 为m 的直径，, 贝l j v f c o ，d s t ：i ( o ，d ) o 有：的第一特征值入1 满足 艟4 叫州r ， 唧( 一) d s d e x p ( 扣) m ，砒) 。1 证明：用至l j ( 2 1 ) 式。 引理3 8 ：设，( z ) ，9 ( z ) ，p ( x ) ：【a ，6 】_ r 可积，( z ) 单i 周上y l - ，9 ( z ) 单调下降，p ( x ) 0 则 b 出) m ) 咖) 如b p ( 州z b p ( 硝( z ) d xz b p ( 咖( 。) 如 证明方法：令g ( z ) = p ( z ) ，( z ) 如p ( z ) 夕( z ) 如一f tp ( x ) f ( x ) g ( x ) d xf tp ( x ) d x 只 证g 7 ( t ) 0 弓l 理3 9 ：三一xs i nx c o sx ( 三一1 ) c o s ，z 【0 ，詈】 证明方法：原式等价于f ( ) = 鑫署 以下证明定理6 ：令，( r ) = s i n ( 器) ，r 0 ，田则 d e x p i r u 2 ) s i n ( 丽 f l u ) 砒= i 2 de x p ( 丢兄s 2 ) c o s ( 荔) + + 等。厂d 锃e x p ( 丢舰2 ) c o s ( 丽7 r u ) 九 ( 3 1 2 ) 十瓦以髓镪p 【- 僦j s k 丽，删 么， 由于当仳【0 ，明时e x p ( 舰2 ) 单调上升c o s ( 面 f f u ) 单调下降，由引理3 8 和引理3 9 有 1 6第3 章部分定理证明及解析 d 珏e x p ( 丢脒) c o s ( 署) 妇 ( d 乱婶1j ( a1 i 础砒d s ( 丽u t r ) 砒 3 2 护 r l r 2 ( d 2 一s 2 ) e x p ( 百1 冗d 2 ) 一e x p ( 吾r s 2 ) 】【一盖s i n ( 荔) 一c o s ( 荔) 】 禹【e x p ( 西1 r d 2 ) 一e x p ( ) 】( _ 1 ) c o s ( 丢) 第一步是引理3 8 第三步是引理3 9 从而把上式代x ( 3 1 2 ) 式得到 ae x 吣1 胤2 ) s i n ( 丽7 r u ) 如 _ j o re x p ( 一) d s de x p ( ) s i n ( 丽7 f u ) 砒 - o ri 2 dc o s ( 荔) d s + + z r 翱蚓丢冗( d 2 _ 8 2 ) ) _ 1 】c o s ( s 等s i n ( 菇7 1 - r ) + 3 2 d 2 ( 丌2 ，- 1 ) e x p ( 丢- r 沪) _ 1 】8 i n ( 荔) 最后不等号用到竺监豢学竺学这是因为函数塑萼坚是单调递增的 由引理3 7 知道： ( 3 1 4 ) 独哌一n e 荔，me x p ( 中1s 2 ) d s de x p ( 丢觑2 ) m ，如) b 将3 1 4 代入上式得到： 入，4 t n f r e ( o , d ) s i n ( 丌r 4 d 2 商n ( 荔) + 掣 = 篆 1 + ( i 4 一8 榭却刈) 。 定理6 证毕，以下证明定理5 首先证明一个简单的不等式：雪z 2 时 e x p ( 8 r d 2 ) 坤n ( 荔) ) 一 1 + c 昙一薯恻字h 】- 1 1 一考 事实上此不等式等价于 而 一考+ ；4 一；8 ，) e x p ( 了7 r 2 x ) 一1 】( 1 - 詈) 。 一詈+ ( ；4 一万8 ) 【e x p ( 害) _ 1 】( 1 一差) 4 9 9 3 1 2 9 9 6 5 5 x 4 9 9 3 1 _ 2 9 9 6 5 5 善 4 9 9 3 1 4 9 9 4 2 5 0 令z = 譬则鲁z 2 兮器r 譬由定理6 知道 入l ( 一1 ) - l l 1 jj z 一2 0 2 一 丌一8 2 一 “厶耳z 一2 k 一 旦矿m g 4 一万9 哇 + + z 一2 z 一2 一 一 一 一 i i 一 = r 1 2 一、22 z 一 丌一d 识百 l i p p 铲一p 唧 唧丝卯 rl r，l 、一、夕 一 8一矿8一萨2如 一 一 丌一d 4一丌4一丌 = 一) z 一2 l 1 一 r t r t q 2 2 2 2 2 2 丌一 i = 一d 丌一d 参考文献 【1 】j 米尔诺莫尔斯理论第1 版( 江嘉禾) 北京：科学出版社，1 9 8 8 【2 】丘成桐，孙理查微分几何讲义第1 版北京：高等教育出版社，2 0 0 4 1 1 2 1 f 3 】3z h o n gj i a q i n g , y a n gh o n g c a n g 。o nt h ee s t i m a t eo ft h ef i r s te i g e n v a l u eo fac o m p a c t r i e m a n nm a n i f o l d s c i e n c ei nc h i n a 1 9 8 4 2 7 a ( 1 2 ) ：1 2 6 5 - 1 2 7 3 f 4 】y a n gh c e s t i m a t e so ft h ef i r s te i g e n v a l u ef o rac o m p a c tr i e m a r mm a n i f o l d s c i e n c e i nc h i n a 。s e ra t l 9 9 0 1 3 3 ( 1 ) ：3 5 1 【5 】5j i a f a n g e s t i m a t eo nt h ef i r s te i g e n v a l u eo fac o m p a c tr i e m a n nm a n i f o l d c h i n a n n m a t h 1 9 9 1 1 2 a ( 4 ) ：4 9 6 - 5 0 2 【6 】z h a od i e s t i m a t eo ft h ef i r s te i g e n v a l u eo nc o m p a c tr i e m a n nm a n i f o l d s c i e n c ei n c h i n a 1 9 9 9 2 9 a ( 3 ) ：2 0 7 - 2 1 4 【7 】c h e nm u f a ，w a n gf e n g y u g e n e r a lf o r m u l af o rl o w e rb o u n d o ft h ef i r s te i g e n v a l u e o nr i e m a n nm a n i f o l d s c i e n c ei nc