（应用数学专业论文）非线性二阶常微分方程解的多重性.pdf

非线性二阶常微分方程解的多重性 摘要 本文主要讲述非线性二阶常微分方程的两点边值问题( 简记为b v p ) 解的多重性共分二部分内容 在前言中，我们简单介绍了我们所研究方向的发展情况，自然地引出 了我们的研究问题 第一章研究了二阶微分方程( p ( f 姐，) + j i l ( f ) ，( 甜) = 0 ，0 t 1 在边条件 u ( o ) = o ，u ( 1 ) = o 下解的多重性利用推广的p r t l f e r 变换和s t u r m 比较定理 及一些新的技巧，打破了已有的证明方法从而得到主要结论 第二章研究t - - 阶微分方程( 烈“，) ) + a c x ) f ( u ) = 0 ，0 工 1 在边条件 “( o ) = ( 1 ) = 0 下解的多重性，其中烈“) = i l p - i “是半线性算子在得到主要 结果之前，先讨论了相应的初值问题，再由f ( s ) 欢j ) 在0 0 和o 的极限值凡 和厂0 与边值问题相应特征值之间的关系引出了本章的主要结果，最后利用 广义的p r t l f e r 变换和s t u r m 比较定理，采用打靶法证明了这一结果 关键词：两点边值问题；打靶法；非线性；多重解 m u l t i p l es o l u t i o n so fs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a b s t r a c t t h i st h e s i s ，w h i c hi sd i v i d e di n t ot w op a r t s ，i sc o n c e r n e dw i t ht w o p o i n tb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s ( b v p ) o f n o n l i n e a rs e c o n d - o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h ef i r s tp a r t ，t h ea u t h o rs t u d i e st h em u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o r t h es e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p ( f ) + _ i l ( 力，( “) = o ，0 t 1 ，w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n“( o ) = “( 1 ) = 0 a g e n e r a l i z e d p r t i f e r t r a n s f o r m a t i o n ，s t u r mc o m p a r i s o nt h e o r e ma n ds o m en e wt e c h n i q u e s ， w h i c ha r ed i f f e r e n tf r o mt h eo r d i n a r yr e a s o n i n g s ，s h o wt h em a i nr e s u l t s t h es e c o n dp a r tg i v e sal o w e rb o u n df o rt h en u m b e ro fs o l u t i o n st o t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 吠，) ) + d ( 劝，( “) = 0 ，“( o ) = 甜( 1 ) = 0 ，w h e r e 烈“) - - 1 h r “，o x 1 t h ea u t h o re s t a b l i s h st h ec o n d i t i o nc o n c e r n i n gt h e b e h a v i o ro ft h er a t i o f ( s ) m s ) a ti n f i n i t ya n dz e r of o rt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sw i t hp r e s c r i b e dn o d a lp r o p e r t i e s t h e nt h ea u t h o rp r o v e st h e m u l t i p l i c i t y r e s u l tf o rt h i s p r o b l e mb yu s i n gs h o o t i n g m e t h o da n d g e n e r a l i z e dp r i l f e rt r a n s f o r m a t i o ns t u r m sc o m p a r i s o nt h e o r e m k e yw o r d s ：t w o - p o i n tb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ；s h o o t i n g m e t h o d ；n o n l i n e a r ； m u l t i p l es o l u t i o n s ； 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师朴大雄教授指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 i 逵! 翅遗直墓丝盖矍挂趔壹明数：查拦卫窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：嘭孑径l l t 7 - w - ! t 1 1 l ：i 吵年夕r i 3 ，e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人， 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名： 谈f ； 签字i t 期：五种年5 - 月南e t 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签字：钟 签字日规哆年、眵阳 电话： 邮编 刖吾 方程是个古老的研究课题，解是方程的灵魂微分方程的基本问题在于求解 及研究解的基本属性 在微分方程的定解问题中除初值问题外还有一类同数学物理问题密切相关 的边值问题这一问题早在一百多年前的所谓s t u r m 和l i o u v i l l e 时期就开始了 至今，无论在问题的深度和广度方面，还是在研究方法上都有了很大的发展 边值问题的提出和发展与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密 切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用因为常微分方程可以解析求 解的类型很少，所以求边值问题的解也很困难为了适应实际问题的需求，不得 不采用近似解法，这样，边值问题的解是否存在，是否唯一，就成了边值问题的 基本论题 在自然现象和科学技术的理论研究中存在大量的非线性微分方程，这方面的 研究工作始终处于国际数学界的主流研究方向上古典数学的大部分或者基本上 是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究 的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在 很大的范围内对其进行了真正的研究如牛顿引力论中的基本定律是平方反比 关系，粮食产量对肥料未必成正比，引人注目的冲击波、孤立子、混沌现象、n 体问题等都是非线性的非线性问题，不仅涉及面广，而且难度也大，这反而更 能引发人们研究的兴趣 非线性二阶常微分方程的边值问题是微分方程研究领域中一个较为实际，其 发展也较为活跃的一个分支许多重大的力学、工程等问题都可以归结为二阶微 分方程，如弦振动方程、三体问题、s t u r m - l i o u v i l l e 问题等另外，现代的控 制理论、微分对策论以及泛函微分方程理论的基本思想，都起源于常微分方程， 而且在方法上也与后者有密切的关系 对很多常微分方程来说，解的存在性和多重性一直是人们研究的热点问题 常用的方法有不动点定理，锥理论，上下解法，临界点理论，打靶法，时间映射 的方法，基于l e r a y s c h a u d e r 度或拓扑度的连续性理论等，这些方法同样适用 子二阶常微分方程，最初的研究大多针对线性算子的二阶常微分方程边值问题， 如e r b e 和w a n g 在 1 中用不动点方法证明了在超线性和次线性条件下边值问题 r 。+ 口( f ) ，( “) = 0 ，0 t 1 t a u ( o ) 一伽( o ) = 0 ，钟( 1 ) + 8 u ( d = o 正解的存在性文 9 讨论了非自治的d i r i c h l e t 边值问题 + 4 ( f ) ，( “) = 0 ，0 工 l lh ( o ) = 0 = ( 1 ) 其他相关结果参见 2 ，3 由于在应用数学和物理学中有大量的模型可以归结为 s t u r m - l i o u v i l l e 问题，以及s t u r m 理论在二阶常微分方程和特殊函数理论中的 重要性，s t u r m - l i o u v i l l e 算子一直是人们关注的焦点文 4 研究了下述 s t u r m - l i o u v i ll e 边值问题 r ( p ( t ) u 5 + f ( u ，t ) = 0 ，f f 刁 f a u ( o 一罂p ( 咖( 力= 0 【r u ( v ) + 6 1 i m p ( t ) u ( f ) = p 0 利用s c h a u d e r 不动点定理、上下解方法和l e r a y - s c h a u d e r 映射度理论，获得了 解的非存在性、存在性和多重性结果其他相关结果可参见 5 ，6 ，7 ，8 及其参考文 献本文的第一章考虑了s t u r m l i o u v i l l e 边值问题 f ( p ( t ) u 5 + 4 ( f ) ，( “) = 0 ，0 t l ，就是其中一个重要分支如 1 0 讨论了妒，似j ) 7 f ( t ，“) 的周期解的存在性 2 文 i z 利用拓扑度理论给出了m 点边值问题 r 以0 = f ( t ，h ，u 3 ，t ( 4 ， 【肛( 口) = 0 ，伊( “i 厶) ) = a , o ( u ( 磊) ) 解的存在性文 1 2 ，1 3 用上下解，拓扑度的方法在有界光滑区域qcr ”上讨论 p - l a p l a c i a n 问题径向解的存在性最近，算子是半线性算子的情况也广受关注， m i r z o w 1 4 和e l b e r t 1 5 分别在1 9 7 6 年和1 9 7 9 年给出了与半线性方程： ( 烈“”+ 4 ( 工) 矿( h ) = o ，0 j 1 相关的s t u r m 理论由此引入了半线性算子 “ r j ，当f 0 时 如卜i i , i ，当， 0 g a r c i a - h u i d o b r o 和u b i l l a 在 1 6 中用时间映射的方法研究了非线 性边值问题 f ( 口k u 3 ) + ，( “) = 0 ，0 j l 1 l “( o ) = “( 1 ) = o 的解的多重性，其中，和满足跳跃条件上述问题是一个自治系统，非自治的 情况还没有得到很好的解决n a i t o 和t a n a k a 在 9 中讨论了算子是线性的非自 治边值问题解的多重性在此基础上，本文的第二章讨论了非线性二阶微分方程 ( 烈“) + 4 ( 工) ，( “) = o ，o x 1 在边条件“( o ) = 口( 1 ) = 0 下解的多重性，其中矽( “) 是半线性算子在得到主要结果之前，先构造了能量函数，讨论了相应的初值问 题，再由，( s ) ，( j ) 在。和0 的极限值厶和，o 与边值问题相应特征值之间的关系 引出了本章的主要结果，最后利用广义的p r u f e r 变换和s t u r m 比较定理，采用 打靶法证明了这一结果 3 非线性二阶常徽分方程解的多重性 第一章一类非线性二阶常微分方程解的多重性 1 1 前言 s t u r m - l i o u v i l l e 问题是一个非常经典的问题，在1 8 3 6 1 8 7 7 年间由s t u r m 和l i o u v i l l e 等科学家提出，由于其在力学、量子力学等领域的广泛应用而得到 迅速发展 7 ，1 7 ，1 8 近年，相应的自治问题，即h ( t ) ；常数，已被广泛研究 4 ，1 6 ，1 9 ，2 0 ，而非自治问题，即h ( o 常数的情况还有待解决本章利用f ( s ) s 在一与0 处的极值与该边值问题相应特征值之间的关系，采用打靶法 9 研究了 解的多重性 考虑非线性二阶边值问题 r ( p ( t ) u 5 + i l ( f ) 厂0 ) = 0 ，0 0 ，并且，满足条件： ( c 1 ) 厂c ( r ) ，j 0 时，( j ) o ，f ( - s ) = 一f ( s ) ，并且，在( o ，呦上是局部 l i p s c h i t z 连续的 ( c 2 ) 矗：；1 恐互! 譬，氕：觋互导，并且满足o ，0 ，无o o j - + 十0 fmj 一 ( c 3 ) 当，o = 0 0 时，( j ) 是非减的，f ( s ) s 是非增的，j ( o ，j 。】， 0 ( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解u 满足u ( t ) c 1 ( o 1 ) 并且有p ( t ) u ( f ) c 1 ( 吡) 本章结构组织如下：第二部分介绍一些预备知识；第三部分介绍相关初值问 题的结果：第四部分介绍关于方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的主要结果及证明：第五部分是 第四部分中引理的证明 1 2 预备知识 引理2 1 边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 相应的特征值问题： r ( p ( t ) x 5 + 2 h ( t ) x = 0 ，o k t l ( 2 1 ) l 五( o ) = 工( 1 ) = 0 ， 非线性二阶常微分方程解的多重性 有无穷多个特征值饥 ，k = l ，2 ，且 o 丑 五 五 0 假设( 1 1 ) 和( 3 2 ) 有吨和m 2 两个局 部解，则j f l ( t o d 使得 拿( 川。) 喇f o 鲻f i f = l ，2 3 3 其中如( c 3 ) 定义因为f 0 t t l 时 f p ( o “；( w 善= p ( ) ( ，一f o ) 一j ，l ( v ( 峨) ( t - o d f h 所以 p ( f ) ( j ( f ) 一“；( o ) 蟛= f ( f ) ( 卜f ) ( ，( “：) 一，( 吒) ) 蟛 七 6 非线性二阶常微分方程解的多重性 x 知3 t z ( 气，t 1 ) 使得t o f ，则j i 使得解( f ；) ，t + ，在( 0 ，1 ) 上至少有k 个零点 引理4 4 若3 k n 使得丘 i 使得解h ( f ；) ，1 t 卢，在( o 。1 ) 上至多有k - 1 个零点 定理4 1 若3 k n ，使得j ( 0 ，o o ) 时五。 f ( s ) s 五成立，则( 1 1 ) 和 ( i 2 ) 无解 证明： 假设( i i ) 和( 1 2 ) 有一个解口，则有( p ( t ) u ( r ) ) + 6 ( f ) 口= 0 ， o f 1 ，其e p b ( f ) ： ( f ) 粤婴因为，o 九 o 。，所以，( j ) ，j 可定义为r 上 “l t l 的连续函数因此可得b ( t ) c o ，i 】由已知可得： 五- i h ( t ) 以f ) 。 因此，对于取定的0 ，占( f ；) 关于t “o j 】是严格增的由条件( 3 1 ) 可知 p ( o ；p ) = p ( 0 ) ，o ( o ；g ) ；o ( m o d 2 x ) ，这里取p ( o ；) = 0 可知o ( t ；p ) 关于 ( f ，) 【叽】r 是连续的因此，u ( t ；p ) 在( 0 ，1 ) 上恰有k 个零点 k z 口( 1 ；) ( 七十1 ) 万 定理4 2 若3 k n ，使得，0 五 厂坤或无 丑 ，o 成立，则( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有一个解“。，并r u 。在( 0 ，1 ) 上有k - 1 个零点 证明：因为厂o k x ，因为当e 0 ，嘲时，8 ( 1 ；p ) 是连续的，所以 3 p k 【肛，) 使得0 ( 1 ；p t ) = 后万可见，u ( t ；g t ) 是( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，并且 u ( t ；p d 在( 0 ，1 ) 上有k 1 个零点同理，允 九 ，0 的情况可由引理4 2 和引理 4 4 证得 定理4 3 若3 k n ，使得( i ) ，o 丑 五+ i 丘或( i i ) 丘 以 以“ ，o 成立，则( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有两个解口。和“。+ ，并且和。在( 0 ，1 ) 上分别有k 和 k 1 个零点并且当( i ) 成立时，有0 0 证明：当( i ) 成立时，由定理4 2 可得j 以 0 使得口( 1 ；段) = k x ，即( 1 _ 1 ) 非线性二阶常微分方程解的多重性 和( 1 2 ) 有一个解( f ；以) u ( t ；l a 。) 在( o ，1 ) 上恰有k - 1 个零点，并且满足 甜( o ；以) = 以另外，由引理4 3 可得j l 使得曰( 1 ；) ( t + 1 ) 石，+ 因 此， 由口( 1 ：肋的连续性可知j i “( 肌，t ) 使o ( 1 ；t i + 1 ) = ( 七十1 ) 石所以 u ( t ；a i 。) 也是( 1 ，1 ) 和( 1 2 ) 有一个解，并r u ( t ；a i + 1 ) 在( 0 ，1 ) 上恰有k 个零点由 以 z k “可得，( o ；以) “，( 0 ；。) 同理，( i i ) 成立时，结果可由引理4 2 和引 理4 4 证得 推论1 若( i ) = 0 ，厶= c o 或( i i ) 兀= o o ，坤= 0 成立，则( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有解4 i ( 七= l 2 ，并r u 。，k n ，在( 0 ，1 ) 上有k - 1 个零点 当( i ) 成立时， 0 “：( o ) “；( o ) “：( o ) 口：( 0 ) 口：+ 1 ( o ) 0 考虑特征值问题 r ( p ( f ) “，) + a h ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 0 是实参数，矗( f ) 满足( 1 3 ) ，满足条件( c 1 ) 一( c 3 ) 由定理4 2 可得到 以下推论 推论2 若( i ) 五= 0 ，凡= 1 或( i i ) ，o = l ，氕= 0 成立，并r 3 k n 使得 五 五 0 若 。 2s 丽2 a v ( m ) p w a ( 5 1 ) ( 5 2 ) _ ! i ! u 0 t ih 日。，p ( f ；) 1 5 m 证明：( i ) 由引理2 3 知f 0 时 肼；舢脚叭删m p ( 笔挚刁 骈；删洲c 叫i 号挚刁 因此，当0 s t 1 时 ， 跚；肌，华唧q 甓竽西) 跏“觥，譬哪 甓乎d 善 因此( 5 1 ) 成立 ( i i ) 由( 5 1 ) 和( 5 2 ) 可知 e “( ；) 】( f ) s 旦：警a s 以，( 膨) ，。f 1 又因为口f ( “( f ：) ) 研h ( ) 】( f ) ，所以得到口。，( “( f ；) ) 口f ( 肘) 因此当 0 t 1 时，k ( f ；i m 引理4 1 的证明：由厂o 0 使得 盟 以， j i s l - m 取充分小1 ( o ，1 ) ，使得当( o ，雎】时( 5 2 ) 成立令( o ，肛】，由引理5 1 的( i i ) 可得扛( f ；肋l m ，t 0 1 1 定义扫( f ) = h ( t ) f ( u ( t ；a ) ) u ( t ；z ) ，0 f 1 因 l l 非线性二阶常微分方程解的多重性 为y o m ，所以f ( s ) i s 可定义为r 上的连续函数，由此可知b c 0 3 因此 ，b ( 0 五h ( t ) ，0 t s l ( 5 。3 ) 因为与 对应的特征函数以在( o ，1 ) 上有k 1 个零点，“( f ；力是方程 ( p ( t ) u 3 + 以f ) h = 0 的解且f = 0 是口( f ；的零点，则由( 5 3 ) 和s t u r m 比较定理可 知h ；坊在( 0 ，1 ) 上至多有k 1 个零点 引理4 2 的证明：由五 0 使得 以 丛， 占 i s l m i 取充分小肛( o j ) ，使得当( o ，肛l 时( 4 2 ) 成立令( o ，肛】，由引理5 1 的( i i ) 可得| l ( f ；力i m ，f e 【o ，l 】记与五相应的特征函数的零点为 j ( i = 0 , 1 ，2 ，| i ) ，并且满足 0 = t o t l t 2 0 由相应的p i c o n e 恒等式 丢陪c 以u - x k p u ) 砷降一五h 刳2 。 从“到f ，积分上式得 o ：量( 以。一p 。计 “ h = m 华一以h 一爿2 咖。 矛盾，因此“( f ；) 在( f 。t ；) ，i 1 , 2 ，七 上至少有一个零点所以 “( f ；) ，( o m 。】，在( o ，1 ) 上至少有k 个零点 引理5 2 记“= 0 , 1 ，2 ，j ) 为特征函数坼的零点，并且满足( 5 4 ) ( i ) 若名 五，则对于每个f ( 1 , 2 ，料，方程 ( p ( o w ) + 舶( f ) w = 0( 5 5 ) 有一个解w 在( f 。，t 。) 上至少有两个零点 ( i i ) 若旯 o ，t 【t i - 1 】 证明：( i ) 取定i 1 , 2 ，k 考虑初条件 w ( 一i + s ) = o ，w ( _ 1 + 功= 1 ( 5 6 ) 其中0 因为f i t l - l ，t f 】时有a h ( t ) ( f ) ，并且囊( f “) = 屯( ) = 0 ，由s t u r m 比较定理可知，占= o 时( 5 5 ) 和( 5 6 ) 的解在( f 。，) 上有零点z o 由解对初值的连 续依赖性得，占 o 充分小时，( 5 5 ) 和( 5 6 ) 的解在z 。的充分小邻域内有零点z 。 因此，对充分小的5 0 ，( 5 5 ) 和( 5 6 ) 的解在( “，t 。) 上有f i - l + f 和z 。两个零点 ( i i ) 取定i ( 1 , 2 ，七 考虑初条件 w ( _ 1 ) = 占，w ( t i 1 ) = 1 ( 5 7 ) 其中占0 因为f 【t _ l ， 】时有触( f ) o 由 解对初值的连续依赖性得，占 o 充分小时，( 5 5 ) 和( 5 7 ) 的解满足i ，( f ) 0 ， t - i ，】 引理5 3 取m 0 若z 0 满足 加裟 ( 5 8 ) p 【w a ” 贝q 解u ( t ；p ) 满足以下性质： ( i ) 若孤o ( o ，l 】使得“，( f o ；) = 0 ，则f “( “；力i m ( i i ) 若j f l ，t 2e 【o ，1 】使得“( f ：) 在( ，t 2 ) 上无零点，且满足b ( f ；力i m ，t t l ，t 2 】， 则f 2 - t i j ，其中 艿= 万面霜p m i 鬲示 ( 。) p 2 ( o ) 2 a 一知f ( d f ) ( 5 9 ) p + = m a x p ( t ) ：0 t 1 ( i i i ) 定义万 0 如( 5 9 ) 若j 口，【0 ，1 1 ，夕一口 2 6 使得“( r ；) 在( d ，历上无零 点，贝u u ( t ；a ) 1 2 m ，f 口+ 万，一o q 证明：( i ) 因为“( 气；) = 0 ，所以 e t u ( - ；肋】( 气) = a ( t o ) f ( u ( t o ；) ) 4 + f ( u ( t o ；) ) 由( 5 1 ) 和( 5 8 ) 可知 非线性二阶常微分方程解的多重性 研婚；删( f o ) 掣a 口讯m ) f j f p a a f ( 必) 艿当“( f ) m 8 ，t t t 。t 2 时，有 如：) = 毗) + 1 , 7 嘶陟等( f 2 一f 1 ) m 这与“( f 2 ) m 矛盾当一口，( f ) m 8 ，t t l ，t 2 1 时有 “( t 1 ) = 础：) 一i ，2 以触了mm 一 ) m 这与h ( r 2 ) m 矛盾所以f 2 一t i j ( i i i ) 只需证当f e + 万，一回时，卜( f ；力i m 不妨设( f ) - - - u ( t ；a ) 0 ， t ( 口，历由( 1 1 ) 可知( ，( f ) 口( f ) ) o , t ( 口，历，所以p ( f m ，( f ) 在慨用上是严格 递减的假设3 y 融+ 最多一国使得鼙( 力 p ( r ) u c r ) o , t 【口，力可知“在【纠上是严格递增的因此 扯( f ) s 醒( y ) 0 ，t 【a ，】由弓l 理5 3 的( i i ) 知，t i = 口，t 2 = ，时有，一口万， 这与y + 艿，一回矛盾 再考虑“i y ) o 的情况因为p ( t ) u ( f ) 在【口，用上是严格递减的，所以 p ( t ) u ( f ) p ( d u ( 力 0 使得五 a 死怍m 记t ，( f = 0 , 1 ，2 ，t ) 为特征函数以的零点，并且f i 满足( 5 4 ) 由e j i s l5 2 的( i ) 可 知，对每个i ( 1 , 2 ，七 ，方程( 5 5 ) 有一个解w ；在( f ) 上至少有两个零点 取定i l ，2 ，七) 记轰和磊为w l 的两个零点，则t i 。 磊 2 8 和 【卣，邑】匕【“+ 万，t l - 8 ，其中艿 0 如( 5 9 ) 定义令肌假设“( f ；) 在( “，) 上无零点由引理5 3 的( i i i ) 可知当f e t 。- l + 玩t i o q 时i “( f ；驯2 m 因此，当f 【磊，磊】c 【 - i + 疋t i 一羽时， a h ( t ) t 时，对于 每个i 1 , 2 ，| i ，搿( f ；) 在( f “，) 上至少有一个零点因此，“( f ；肋在( 0 ，1 ) 上 至少有k 个零点 引理4 4 的证明：取兄 0 使得厶 0 令 一喘艇，】) ，吲配，川 存在充分大 1 使得时( 5 1 0 ) 成立，并且 , j p 2 ( o ) , d a - 2 d f o o 懈髀：f ：l2 目 ( 5 1 1 ) t ；m 。 、 令p ，记“( f ) = “( f ；) 假设j f l ，2 ，七 使得“( f ) 在 “，t ；) 上至少有两个零 非线性二阶常微分方程解的多重性 点，即3 a , f l 【f j - l ) ，口 0 记u = m a x ，d 。们“( f ) o 可知3 y 妇，力使得“( 力= 二。由( 5 。8 ) ，群( 力= o 和引理 5 3 的( i ) 得 m 因此，3 卣，彘使得口 磊 o “，( 彘) 0 ，所以“，( 盏) 口( 矗) 啊叫( 善o w 。( 矗) ，因此 口，( 磊) m ( 磊) 一甜( 鼻) 吖( 轰) 20 ( 5 1 3 ) 由p i c o n e 恒等式知 采卜 兄一刳小甜 对上式从轰到彘积分，由( 5 i 0 ) 可知 w u - - ，- ( p u w , - u p w d 心卜钊+ p 卜铜2 由( 5 1 3 ) 可知社( 磊) m ( 彘) 一h ( 岛) w ；( 磊) 0 ，可得 “7 ( 邑) 、嵋( 易) h ( 彘)m ( 彘) 因此有 巡剑：竺堕 巡腿型形 “( 芭)“( 彘)m ( 乞) ( 磊) 这与( 5 1 2 ) 矛盾因此对每个i 1 ，2 ，七 ，( f ；) 在 “，f i ) 上至多有一个零点 因为t 。= 0 是“( f ；) 在 t o ，t 。) 上的零点，所以u ( t ；a ) 在( 气，t x ) 上没有零点因此 非线性二阶常微分方程解的多重性 “( f ；) 在( 0 ，1 ) 上至多有k 一1 个零点 第二章半线性算子的非线性二阶常微分方程解的多重性 2 1 前言 本章考虑了非线性二阶常微分方程的边值问题 r ( 烈“) + 口( 工) 厂( ) = 0 ，0 x 1 ( 1 1 ) l h ( o ) = “( 1 ) = 0 ( 1 2 ) 其中矿 ，) = u l u7 i ”，p 是正实数( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解“满足“( f ) c 1 ( o ，1 ) 并且 有矿似，) c 1 ( 0 j ) m i r z o w 1 4 和e l b e r t 1 5 分别在1 9 7 6 年和1 9 7 9 年给出了基于半线性方 程： ( 吠“，) ) + 口( 曲烈“) = 0 ，0 0 时，f ( s ) 0 ，( 一j ) = - f ( s ) ；，在( o ，c o ) 上满足局部 l i p s c h i t z 连续 ( a 2 ) 存在，o = 觋等，肛l i r a 等，并且。吼厶组 ( a 3 ) 当，0 = o o 时，( j ) 是非减的，f ( s ) s 是非增的，j ( o ，s o ，s o 0 由( a 1 ) 可知，( o ) = 0 在( a 2 ) 中，当，0 = 0 ，厶= m 时，则称满足超线性条 件；当厶= 0 0 ，厶= 0 时，则称满足次线性条件；当o 厶 o 。，0 无 o o 时， 则称满足渐近线性条件 引理2 1 边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 相应的特征值问题： r ( 烈v ) + _ 4 ( 工) 烈v ) = 0 ，0 工 1 ( 2 2 ) lv ( 0 ) = v ( 1 ) = 0 ， 有无穷多个特征值 丑) ，k = l ，2 ，且 非线性二= 阶常微分方程解的多重性 0 也 以 以“ 0 ，( s ) 是非减的，f ( s ) s 是非增的， 并且q ，s 2 ，屯( o ，】满足j 2 ，屯j i 和s 2 岛，则 o ! 垒2 二! 垒2 盟 ( 2 5 ) s 3 一s 2s i 证明：见 9 引理2 1 2 3 主要结果 定理3 1 若3 i n ，使得 k 等 以， 唧触 。 成立，则边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 无解 定理3 2 若了后n ，使得 ( i ) f o 五 l 或( 国氕 五 o 成立，则边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有一个解，并且在( o ，1 ) 上有k 一1 个零点 定理3 3 若j 七n ，使得 ( d ，o 五 五“ 厶 或 ( 功无 五“ o ( 3 2 ) 成立，则边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有两个解和。，并且和。在( 0 ，1 ) 上分 别有k 和k - 1 个零点另外，当( i ) 成立时，有o 0 非线性二阶常微分方程解的多重性 考虑，满足超线性条件或次线性条件的的情况由定理3 3 得到以下推论： 推论l 若以下条件 ( i ) ，o = 0 ，无= c o 或 ( i i ) = m ，厶= 0 成立，则边值问题( 1 1 ) y # 1 1 ( 1 2 ) 有解( 七= l ，2 ，并且( 七n ) e ( 0 ，1 ) 上有 k - 1 个零点另外，当( i ) 成立时，有 0 “：( o ) “；( o ) “：( o ) h ：( o 口：“( o ) 0 考虑特征值问题 r ( 矿( “，) ) + g a ( x ) f ( u ) = 0 ，0 工 0 是实参数，4 ( 曲满足( 1 3 ) ，f 满足条件( a 1 ) 一( a 3 ) 由定理3 2 可得到 以下推论： 推论2 若以下条件 ( i ) 厶= 0 ，凡= l 或( i i ) = 1 ，氕= 0 成立，并且孤n 使得以 五 + ，其中五是( 2 2 ) 的第k 个特征值，则( 3 3 ) 有k 个解“( ，= 1 ，2 ，七) ，并且“e (