（工程力学专业论文）离散元方法及其在材料和结构力学响应分析中的应用.pdf

摘要 本文首先回顾了直堂远方法发展的一般情况，介绍了有关的基本理论，并 将离散元方法与传统的连续介质力学方法进行了比较。 讨论了用离散元方法解婆焦煎回题时，方法本身造成的鱼墼和塑效应。 白此首先研究7 - - 维三角密排线弹性离散元晶格中的应力波传播，得到了不同 于连续介质力学解的非线性色散关系；接着研究了一维线性粘弹性离散元链中 的应力波传播，得到了不同于连续介质力学解的非线性色散和耗散关系。从而 定量地揭示出色散和耗散效应是离散元方法固有的特性，是“离散化”造成的 必然结果，并且找到了控制这些效应的办法厂。 开展了非线性粘弹性应力波问题的离散元模拟。元间作用力模型采用推广 的“朱一王一唐”模型，即认为各邻居元之间由一个非线性弹簧和多个具有不同 松弛时间的m a x w e l l 体并联联接。利用m a x w e l l 体松弛模量的p 指数形式，证 明了遗传积分的数值计算不需记录和重复计算应变历史从而极大地提高了计 算效率，使计算成为实际可能。模拟了半无限长m a x w e l l 体杆中突加恒值应力 载荷引起的应力波传播，结果与精确解吻合很好。模拟了p b x 9 5 0 1 炸药中的平 面一维应变波，计算波形与实验结果基本符合；接着模拟了p b x 9 5 0 1 在冲击作 用下的细观损伤问题，再现了“压缩损伤”现象，揭示出损伤演化规律，由此 展示了离散元方法模拟非均质材料力学问题的独特能力。尸一” 开展了结牯弹性挝料准静态问题的毫墼霾攘拟。r 元间作用力模型采用广义 m a x w e l l 模型，即认为各邻居元之间是由多个具有不同松弛时问的m a x w e l l 体 并联联接。从静力平衡条件出发，建立了离散元系统的准静态运动方程，这是 一组以元的位移增量为未知量的线性代数方程。证明了该方程组的系数矩阵具 有对称正定、稀疏、非零元素呈带状分布的特点，因而可用“活动列”方法求 解。计算了m a x w e l l 体板和杆沿轴向受正弦应力加载的准静态响应，结果与解 析解吻合很好；计算了均匀拉伸线弹性平板中圆孔的应力集中问题，结果与解 析解较好地符合。广 建立气相元模型并实现了气体的离散元模拟。汽相元的一个显著特点是彼 此相距很远时仍可能有作用力存在，这给邻居关系的查找和元间作用力的计算 带来困难。文中提出了邻居关系的查找算法和元问作用力的计算公式。在d m 2 程序中加入气相元模型后，用它计算了激光辐照下充内压柱壳的热软化破坏、 以及激光引起光学薄膜热爆炸损伤等问题。特别是薄膜损伤问题的模拟，计算 结果不仅定量上与实验符合较好，而且对机理分析提供了很大帮助。 最后对全文工作进行了总结。卜一：一 d i s c r e t ee l e m e n tm e t h o d a n di t su s ei na n a l y s i so f r e s p o n s e o fm a t e r i a l sa n ds t r u c t u r e s a h i s t o r ya n dt h ec u r r e n ts t a t u so fd e m ( d i s c r e t ee l e m e n tm e t h o d ) m o d e l i n ga r e b r i e f l yr e v i e w e d p r i n c i p a l e l e m e n t so ft h et h e o r yo fd e ma r e p r e s e n t e d ，a n d c o m p a r i s o n s b e t w e e nd e m a n dt r a d i t i o n a lc o n t i n u u m m e c h a n i c sm e t h o d sa r eo u t l i n e d d i s p e r s i o na n dd i s s i p a t i o ne f f e c t si ns o l v i n gs t r e s sw a v ep r o b l e m sw i t hd e m a r e d i s c u s s e d f i r s t ，s t r e s sw a v ep r o p a g a t i o ni nat w o d i m e n s i o n a l ，l i n e a re l a s t i cd i s c r e t e e l e m e n tl a t t i c ei nt r i a n g u l a rd e n s ep a c k a g ei ss t u d i e d an e wn o n l i n e a rd i s p e r s i o n r e l a t i o ni so b t a i n e dt h a ti sd i f i e r e n tf r o mt h ec o n t i n u u mm e c h a n i c sc a l c u l a t i o n s e c o n d ， w a v e p r o p a g a t i o ni no n e d i m e n s i o n a ll i n e a rv i s c o e l a s t i cc h a i ni si n v e s t i g a t e d r e s u l t s a g a i ns h o w n o r d i n e a rd i s p e r s i o na n dd i s s i p a t i o nr e l a t i o n st h a ta r ed i f f e r e n tf r o mt 1 1 0 s e o f c o n t i n u u mm e c h a n i c s i ti sc o n c l u d e dt h a tt h ed i s p e r s i o na n dd i s s i p a t i o ne f f e c t sa r e t h ei n t r i n s i cc h a r a c t e r i s t i c so fd e ms i r e u l a t i o n ，a n dm e t h o d sf o rc o n t r o l l i n gt h e s e e f f e c t sa r ep r o p o s e d ad e ms i m u l a t i o no fn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cs t r e s sw a v e p r o b l e m si sc a r r i e do u t t h ei n t e r a c t i o nf o i c e sa m o n ge l e m e n t sa r ed e s c r i b e d u s i n gt h eg e n e r a l i z e d z h u w a n g - t a n g m o d e li nw h i c hn e i 曲b o re l e m e n t sa r el i n k e db yan o n l i n e a rs p r i n ga n da c e r t a l nn u m b e ro fm a x w e l lc o m p o n e n t si np a r a l l e l b ym a k i n gu s eo fe x p o n e n t i a l r e l a x a t i o nm o d u l i 。i ti ss h o w nt h a tn u m e r i c a lc o m p u t a t i o no ft h ec o n v o l u t i o ni n t e g r a l d o e sn o tr e q u i r es t o r i n ga n dr e p e a t e d l yc a l c u l a t i n gs t r a i nh i s t o r y ，a n dc a nr e d u c et h e c o m p u t a t i o n a ic o s td r a m a t i c a l l y t ov a l i d a t et h ev i s c o e l a s t i cd m 2 c o d e s t r e s sw a v e p r o p a g a t i o ni nam a x w e l ir o dw i t ho n ee n ds u b j e c t e dt oac o n s t a n ts t r e s sl o a d i n gi s s i m u l a t e d r e s u l t se x c e l l e n t l yf i tt h o s ef r o mt h ec h a r a c t e r i s t i c sc a l c u l a t i o n s a t i s f a c t o r y r e s u l t sa r ea l s oo b t a i n e di nt h es i m u l a t i o no fo n e d i m e n s i o n a lp l a n ew a v ei nap l a s t i c b o n d e de x p l o s i v e t h ec o d ei st h e nu s e dt o i n v e s t i g a t et h ep r o b l e mo fm e s o s c a l e d a m a g ei nt h i se x p l o s i v eu n d e rs h o c kl o a d i n g r e s u l t sn o to n l ys h o w “c o m p r e s s i o n d a m a g e ”，b u ta l s or e v e a lac o m p l e xd a m a g ee v o l u t i o n t h e yd e m o n s t r a t eau n i q u e c a p a b i l i t yo fd e m i nm o d e l i n gh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s ad e m s t u d yo fi i n e a rv i s c o e l a s t i cq u a s i - s t a t i cp r o b l e m si sa l s op e r f o r m e d t h e i n t e r a c t i o nf o i c e sa n - l o n ge l e m e n t sa r ed e s c r i b e d u s i n g a g e n e r a l i z e dm a x w e l l m o d e l i n w h i c he l e m e r i tn e i g h b o r sa r el i n k e db yac e r t a i nn u m b e ro fm a x w e l lc o m p o n e n t si n p a r a l l e l q u a s i s t a t i cm o t i o n so f t h ed i s c r e t ee l e m e n ts y s t e ma r ec a l c u l a t e du s i n gt h e s t a t i ce q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s r e s u l t i n ge q u a t i o n sa r ea s e to f l i n e a r a l g e b r a i ce q u a t i o n s i nw h i c h d i s p l a c e m e n t so f e l e m e n t sa r et h eg n k n o w n s t h ec o e f f l c i e n tm a t r i xi ss h o w n t ob es y m m e t r i c ，p o s i t i v ed e f i n i t e ，s p a r s e ，a n db a n d e d h e n c et h ee q u a t i o n sc a nb e s o l v e d u s i n g t h es o c a l l e d a c t i v ec o l u m nm e t h o d ”t w os t a n d a r d p r o b l e m sa r e i n v e s t i g a t e d t ov a l i d a t et h eq u a s i s t a t i cc o d es d e m 2 o n ei st h er e s p o n s eo f a p l a t ea n d ar o ds u b j e c t e dt oas i n u s o i d a ls t r e s sl o a d i n g r e s u l t sa r ei ng o o d a g r e e m e n tw i t ht h e a n a l y t i c a lr e s u l t s a n o t h e ri sc o n c e m e dw i t ht h es t r e s sc o n c e n t r a t i o np r o b l e md u et oa h o l ei na1 i n e a re l a s t i cp l a t e a g a i nr e s u l t sa r ei na g r e e m e n tw i t ha n a l y t i c a lc a l c u l a t i o n f i n a l l y , g a s e o u se l e m e n t sf o rt h ed e mm o d e l i n ga l ep r e s e n t e d o n ed i s t i n c t f e a t u r ei st h a tt h e yh a v ei n t e r a c t i o n se v e ni ft h e ya l es e p a r a t e do v e ral a r g ed i s t a n c e n e l o n gr a n g ei n t e r a c t i o np r e s e n t sap r o b l e mi ns e a r c h i n gn e i g h b o r sa n dc a l c u l a t i n g i n t e r a c t i o nf o r c e s a na p p r o a c hi s p r o p o s e dt o d e a lw i t ht h i s d i m c u l t y u s i n ga m o d i f i e dd m 2 c o d e ，s e v e r a lp r o b l e m si n v o l v i n gg a sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d r e s u l t s s h o wt h a tt h ea p p r o a c hi sp r a c t i c a l t h em o s tm e a n i n g f u ls i m u l a t i o nw i t hg a si st h e p r o b l e m o fl a s e r - i n d u c e de x 口l o s i o nd a m a g ej no p t i c a lf i l m r e s u l t sa r ei nq u a n t i t a t i v e a g m e m e n t w i t he x p e r i m e n t a lm e a s l l r e m e n t s ，d e m o n s t r a t i n ga u n i q u ew a yo fs t u d y i n g s l i c hp r o b l e m s 致谢 在本文脱稿之际，谨将最诚挚的谢意献给我的导师唐志平教授，感谢老师 几年来对我的关怀和教诲，特别感谢老师将我领入离散元方法这一引入入胜的 领域。老师严谨的学风、渊博的学识、对科学深邃的洞察力以及创新精神永远 是我学习的榜样。 1 9 9 9 年2 月至2 0 0 0 年1 月，作者作为联合培养生在托卡罗来纳州立大学 ( n c s 啪土木工程系进行访问研究。本文第三、图章的工作主要是在诧期间完成 的，符剐是关于( 准) 静态程序的研究，当时麓一个紧追的课题，该稳序的完成 解决了动态程序不能计算静态闯裁的潮难。僚者蒜谢p r o f y a s u y u k ih o r i e 在学 蛩上鑫孽指点和其它事务上豹关照，特涮感谢镪帮劲喾改了本文簸英文攘餐。嗣 酵感谢稔驹学生d r y a n o 在王佟上的帮韵，感谢m s 。k l i n e 帮助确定了p b x 9 5 0 1 一维戏变波冀铡联用懿参数。 趣本系虞吉抟、正肖钧、李永池、胡对胜诸位教授表示感谢，传者从她们 的课穰或其它方蕊褥到了教盏。感谢胡晓军、廖善露、张岩等老师各方嚣的帮 助。 感谢n c s u 土木工稷系的p r o f k i m 允许作者听取他的课稷，使之获绲关 于粘弹性力学的系统知识。 感谢p r o f k i m 的学生冯震、徐冰、温海防的商益讨论和生活中慷慨的帮助， 湖边羲钓和大雪纷飞的日子让我终生难忘。祝愿他们在美国万事如意。 在科大几年，与张树道、郑宏飞、陈颉、钟义贵、汪洋、张江跃、叶宏等 结下深厚友谊，谨以此文作一注记。 文u 文彦、龚平、郭阳波、戴掰字等师弟在我盼工作和生活中提供了各种帮 助，在诧表示感谢。 感谢辫家鲁然幂串学基金对本文工作静支持f 1 9 7 7 2 0 5 0 ) 。 最磊，褥深深静爨念帮谢意献给我韵父母亲、妻子秘岳父母，他们携理耩 翻关爱是我最大熬耩享枣动力。 中国科技大学博士学位论文 第一章绪论 连续介质力学是当今力学研究最强有力的武器，但由于连续介质概念本身 是一种抽象，它在描述局部非均匀、非连续演化等问题时有相当的困难。 为了克服这些困难，出现了一些新概念数值模拟方法，离散元方法是其中 有潜力的一种。该方法的思想与分子动力学方法相似，但后者直接处理分子原 子的相互作用，目前还难以给出宏观响应。此外还有光滑粒子流体动力学方法 s p h ( s m o o t h e d - p a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ) ( m o n a g h a n ，1 9 8 3 ) 、无网格有限元方法 e f g ( e l e m e n tf r e eg a r l e r k i n ) 、链网模型( c h a i n - n e t w o r km o d e l ) ( 粱乃刚等，1 9 9 7 ) 等，但它们仍然是基于连续介质的概念并应用三个基本守恒方程，出发点与离 散元方法不同。 本文在离散元方法的理论和应用方面开展了一些工作。本章就有关背景作 一简要介绍。 1 1 离散元方法发展概况 在英语文献中离散元方法有d i s c r e t ee l e m e n tm e t h o d 和d i s t i n c te l e m e n t m e t h o d 两个略为不同的名称，也有学者称之为粒子动力学方法( p a r t i c l ed y n a m i c s m e t h o d ) ，不同的称呼只是个人偏好问题。这个方法的基本思想是把介质离散为 独立的“元”( e l e m e n t ) 或“粒子”( p a r t i c l e ) ，相邻的元之恻存在某种或某几种作 用力，元的运动受牛顿定律支配，通过研究离散元系统的集体运动就可得到模 拟对象的力学、热学、物理和化学的状态分布及演化规律。 用这种概念处理离散介质的思想早在1 9 6 8 年已经提出( g o o d m a n ，1 9 6 8 ) 。但 是第一个实用的离散元模型是在七十年代初由c u n d a i l 及其合作者发展起来的 f c u n d a i l ，1 9 7 1 ) ，它最初被用于分析岩石边坡的运动。1 9 7 8 年c u n d a i l 和s t r a c k 开发了用于研究颗粒介质力学行为的二维程序，得到与动光弹实验极为吻合的 结果( c u n d a l l 。1 9 7 8 ；c u n d a ua n ds t r a c k ，1 9 7 9 ) 。以后陆续有k a w a i 和t o i ( 1 9 7 7 ) 提 出刚体一弹簧模型并用于结构失效问题，g r e e n s p a n ( 1 9 9 1 ) 提出准分子模型并用 于固体和流体，等等。所有这些模型虽然其细节和应用对象不同，但其基本思 想是完全一致的。 八十年代以来，由于来自力学、物理学、机械工程、化学工程等不同科学 技术领域的需要，以及计算机能力的飞速增长，离散元方法在理论和应用研究 方面都取得了丰硕成果。在理论方面，从刚性元发展到可变形元( 另一种方法是 把大元分为小元，小元仍是刚性的，它们的相对运动则造成大元的变形) ，从单 中国科技大学博士学位论文 2 纯离散元模拟发展到这一方法与有限元和边界元方法的结合( 王泳嘉等，1 9 9 1 ) ， 从二维计算发展到三维计算( t a n g ，e ta 1 ，1 9 9 9 ；邢纪波，1 9 9 9 ；唐志平，2 0 0 0 a ) ，从 纯力学模拟发展到热力耦合以及化学反应和相变的模拟( t a n g ，h o r i ea n d p s a k h i e ，1 9 9 7 ) 等等。在应用方面，最初离散元方法主要用于离散介质( 这是很自 然的事情) ，但是随后发现它也是求解连续介质力学问题的有效手段，特别是可 以方便地应用于非均匀局域以及大变形和结构失效破坏等过程的现象和机理研 究，这使它比之于基于连续介质力学方程组的数值模拟方法，如有限元法和有 限差分法，更凸显其独特的能力。目前，离散元法已成为颗粒材料研究中最有 效的数值模拟手段( h o g u ea n dn e w l a n d ，1 9 9 4 ) ，在有限元法的传统应用领域一结 构动力学，它也找到了用武之地( s a w a m o t o ，e ta 1 ，1 9 9 7 ) 。 美国到1 9 9 3 年，就已召丌两届离散元方法的国际会议( w i l l i a m sa n d m u s t o e ，1 9 9 3 ) ，这漉明他们已有一支相当的研究力量。俄罗斯、日本、德国、 法国、以色列等国均有学者研究或应用离散元方法。我国学者王泳嘉、邢纪波 等从八十年代起在岩土力学的离散元模拟方面做了大量工作。唐志平研究小组 自1 9 9 4 年以来在与美国北卡罗来纳州立大学的合作研究以及国家自然科学基金 项目的研究中，也取得了一系列成果。 在冲击波物理和力学研究方面，h o r i e ，t a n g 和p s a k h i e 是最早应用离散元 方法的三位学者。t a n g 建立了二维细观离散元理论和d m 2 程序，并首次应用 于带化学反应的混合粉末的冲击合成模拟，结果清晰地揭示出孔洞崩塌产生的 材料混合和高温热点引发的化学反应的细观过程和机理( t a n g h o r i ea n d p s a k h i e ，1 9 9 7 ) ，就这类问题来说充分显示了离散元法比之有限元法的优势。这 一工作在m a t e r i a l sw e e k 9 4 ，c h i c a g o 以及s c c m 一1 9 9 5 ，s e a t t l e 会议上被评为该 领域的重要进展。y a n o 和h o r i e 则用d m 2 程序对多晶铜、铁在冲击载荷作用 下的细观不均匀相变发展过程作了很有意义的模拟( y a n oa n dh o r i e 1 9 9 8 ；y a n o a n dh o r i e ，1 9 9 9 ) 。 从1 9 9 8 年起，唐志平进一步发展了三维细观离散元模型，并将d m 2 升级 为三维程序d m 3 。这个程序用于硬化钢球与固壁的碰撞，以及激光照射下充内 压柱壳的热软化失效等问题的模拟，都得到了与实验符合较好的结果f 唐志 平，2 0 0 0b ) 。 综观离散元方法三十年来的发展史，一方面，经过不同学科领域众多研究 者的实践，它已被证明为一种广泛适用的数值模拟手段，在某些问题的计算中， 更是具有传统方法难以企及的独特能力。另一方面，离散元方法尚处于不断发 展中，其基本理论和实际应用都还有大量的工作有待进行。 湛 中国科技大学博士学位论文 1 2d m 2 程序的基本理论 由于本文工作是对d m 2 程序的继承和发展，这罩有必要介绍一下该程序 的基本理论rt a n g ，h o f i ea n dp s a k h i e ，l9 9 7 ) 。 1 2 1 一般描述 如前所述，离散元方法将介质离散为独立的“元”，介质的运动和变化由 系统中各元的运动和变化来描述。元具有几何和物理两类基本特征。几何特征 主要有形状、尺寸以及初始排列方式等。理论上元可以为任意形状，并且允许 变形，但实际常用的是圆盘形f 2 d ) 和球形( 3 d ) 刚体。排列方式则常用类似空间 晶格点阵的有序排列( 这样排列的材料具有一定的各向异性) ，有时也采用伪随 机排列。元的物理性质有质量、温度、比热、热膨胀、元之问的相互作用力以 及相变阈值、化学活性等。在d m 2 程序中不同的材料用不同的代码表示，通 过改变元的材料代码，可以方便地在初始构形中生成夹杂、孔洞等缺陷，并且 在系统演化过程中，当某个或某些元达到相应的阈值时，可发生相变或化学反 应，而改变其材料代码。因此，可以设想这样的模型具有独特的可描述高缺陷、 非均质、多相材料力学行为的能力，并具有相当的细观分辨率。 1 2 2 邻居关系 离散元系统是一个多体系统，每个元除了可能受外力作用以外，还可能受 其它元的内力作用。因为元的尺寸通常在细观和宏观层次，元不是分子或原子， 因此元之间不存在长程作用，而只有那些相邻的元才有力的作用。这样，为了 计算内部作用力，就必须先确定邻居关系，即确定任意两个元之间的联接状态。 在d m 2 程序中，如果某两个元( 互) 为邻居，则它们可能有三种作用方式： 键接并接触、只键接不接触、只接触不键接。如果二者既不键接也不接触，则 它们就不是邻居，没有相互作用。这里“键接”是指两个元之间有化学键，而 “接触”只是机械作用。表1 1 给出了计算中第 步时元i 和元，之邻居关系的 判断标准。 表中：。和是两个重要参数( 通常：。彤，彤= 巧+ 曙，即元f 和的半径之和) ，当两元之距离r ” 二，两元即无相互作用，相当于产生了 一条微裂纹。改变盛。，可改变材料的韧脆特性，而：。则提供了裂纹重新闭合 中国科技大学博士学位论文 的可能。 4 第”步时两元的中心距离，u 胛一l 步时的状态”步时的状态 ，”喘。 所有状态键接并接触 ：。 0 且。? o ( 1 6 ) p ”o 和( 或) v ? = 0 根据经典力学可写出离散元系统的运动方程 式中m 、7 分别为元i 的质量和转动惯量，严7 、莎。分剐为元i 中心的位置和角 矢量，亏“是元j 的邻居元j 对它的作用力，口“是该作用力到元i 中心的力臂 户和詹! 分别为i 元所受的外力和外力矩，是元i 的邻居元数目，是系统 中元的总数。根据初边值条件求解上述2 n 个矢量常微分方程就得到系统的演 化规律( 通常只能数值求解) 。 上述运动方程是动力学方程，反映了系统的惯性响应。对于静态或准静态 问题，因为惯性效应可以忽略，则须令( 1 7 ) 式的左端( 即惯性项) 为零，使之成为 静力( 力矩) 平衡方程。在第五章将会看到，这样的方程不再是常微分方程，而 是代数方程。 1 2 5 波动问题计算中时间步长的稳定性要求 在连续介质力学的数值方法中，波动问题的时问积分方案通常采用显式算 法。显式算法是条件稳定的，时间步长必须满足著名的c o u r a n t 稳定性条件： a t 缸c( 1 8 ) 式中血是网格尺寸，c 是声速。 在用离散元方法求解波动问题时，对于时问步长也有类似的要求。因为系 统的变化是由一对对粒子( 元) 的碰撞所构成，故我们可设想对于时问步长存在 着几何和物理两方面的限制。 几鱼腿剑：几何条件的制约为元i 和元，不允许在一个时问步长内沿它们的 中心轴线相互贯穿对方，这意味着： 乃u朋 2卢 忍 + 啦 护 户 矿 m、厶一m己川 l i = ：i r ：i 护 m 一， 中国科技大学博士学位论文 7 一一 a t & 量= ( + 0 ) “： ( 1 9 ) 式中f ! ：为几何约束临界步长，v ：为元i 和元的轴向( 对心) 相对速度。 塑堡匮剑：二体碰撞问题数值计算的物理约家要求一个时间步长内所产生 的动量转移不应超过整个碰撞过程中全部的动量转移。 假定“时刻两个元刚好发生接触，该时刻元i 的轴向速度为v ：，元j 的轴向 速度为0 。则在t 。+ f 时刻有： a u ”= v a t ，占”= a u ”臂，f ”= f ( s ”) = 础础占” ( 1 1 0 ) 其中，a u ”、f u 分别为相对位移和应变，喈= + ，彤为等效模量，御为 元i 和，的作用面积，”为作用力。 于是物理约束条件可写为： f ”a t = m 。v m ( 1 1 1 ) 其中f ”f 为冲量，删一为元j 得到的动量，m 为在整个碰撞过程中元_ ，所能获 得的最大动量。由基本力学知 m ：( 2 _ - y ) _ m m jv ；( 1 1 2 ) m + 聊 式中 o ，1 为非弹性碰撞系数，v ；为碰撞前瞬间两者的轴向相对速度。将式 ( 1 1 0 ) ，( 1 1 2 ) 代入( 1 1 1 ) 得： a t f 二= j ( 2 一i f ，) m 。坩 v ( 1 + ) 瑶a g 式中a t e ；为物理约束临界步长，= m 。m 。 f 1 1 3 ) 为简单计，设两元大小相同，直径为d ；，则喈= 巧+ 可= 2 略= d ；，二维情 况下元相当于轴向长度为1 的圆盘，故a g = d ；，m = 印。( 线2 ) 2 ，于是( 1 1 3 ) 成为： f 1 ( ，= t ，n ) 时，结果也如此。实际上，高频和大r ，是等价的，它们都对应于粘 性不起作用( 来不及起作用) 的瞬态响应。 最后，我们来验证一下上面得到的结果。 对于m a x w e l l 体( 即只含一个元件的广义m a x w e l l 体) ，文献给出的色散和 耗散关系如下( 王礼立，1 9 8 5 ) ： 艮丢 厩+ s e ， 办爿2 c , ? 压w - r , 一 s ， 其中，c 】2 = e ，p o ，下标1 表示广义m a x w e l l 体只有一个元件。 不难证明，当( 2 4 9 ) 令n = 1 时，将其代入( 2 5 2 ) 和( 2 5 3 ) 可分别得到以上二 式。不同的是，( 2 5 6 ) 和( 2 5 7 ) 在文献中是从微分型本构出发推导的，而本文的 推导则是基于积分型本构。 2 3 2 一维离散元系统线性粘弹性波的色散和耗散关系 这一节我们将推导一维离散元系统线性粘弹性波的色散和耗散关系，并且 和上一节得到的一维连续介质线性粘弹性波的色散和耗散关系对比，以探讨离 散元方法本身对结果造成的影响。确切地说，我们将研究离散元方法用于模拟 连续介质线性粘弹性波时，由于“离散化”的原因，在多大程度上改变了原来 的色散和耗散关系。 _ - - 卜- 1 卜_ 卜_ 卜一 n 一1nn + 1 图2 6 一维无限长离散元系统 图2 6 表示一个维无限长离散元系统，元的直径为a ( 即平衡位置时两邻 居元的中心距离) ，质量所= p o a2 。邻居元之间出广义m a x w e l l 模型连接。因为 中国科技大学博士学位论文 所有的元情况部相同，故可任取其中第n 个元进行研究。 元 有两个邻居：元n 一1 和元胛+ 1 ，根据遗传积分( 2 3 9 ) ，在f 时刻它们对 元月的单位面积作用力分别为： 。e ( t 一力蚣d s ，和f 占( 卜j ) 址西 o n ” a 其中v 表示元的速度。 十是兀 所受的合力为： 只= 詈l ( ，一s ) ( v 。+ v 。一2 v ) 出 其中a 为元的作用面积，维及二维情况下均有4 ：口 将( 2 4 0 ) 代入( 2 ，5 8 ) 得： 只= e ，e x p ( 一f f ，) l e x p ( 5 r ，) ( v 。+ v 。一2 k ) 出 于是由牛顿第二定律，得元月的运动方程为 即2 擎= 静e x 卅价f ) i 。e x 吣_ h v + i + v , _ 。- 2 v n ) 凼 与前面的做法一样，仍然假设有谐波解： “。( f ) = u e x p i ( w t 一毛n a ) 】 则代x 、( 2 6 0 ) 可推得： 风矿= m 2 - e x p ( 一碱口) 一e x p 、训姜惫 因为w 是实数，故k ，必须是复数，令 尼，= 七+ i a 代入( 2 6 2 ) ，由实部和虚部分别相等得： c 2 一 e x p 6 ：r a ) + e x p ( 一a a ) c o s 勋 一d e x p ( a a ) - e x p ( 一a a ) s i n c a = p o 口2 w 2 d 2 一 e x p o y a ) + e x p ( 幽) 】c o s 矧+ c e x p ( 伽) e x p ( 一a a ) s i n k a ：0 ( 2 5 8 ) f 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) r 2 6 2 ) r 2 6 3 ) r 2 6 4 ) 其中c 、d 仍幽( 2 4 9 ) 给出。 可以证明，( 2 6 4 ) 两边同除以a 二，且令口一0 ，则与( 2 5 0 ) 相同。就是说， 即使不进行下面的推导，我们已经可以肯定当元为无限小时，离散元计算等同 中国科技大学博士学位论文望 于连续介质力学计算。 当口为有限小时，要从( 2 6 4 ) 单独解出k 和口很麻烦，而且也不必要。为了 和连续介质力学的结果( 2 5 2 ) 和( 2 5 3 ) 进行对比，下面定义两个新参量七和口： t ? ：f 三! 些苎) ： ( 2 6 5 ) 口? = e x p ( a a ) - e x p ( - a a ) 。 ( 2 6 6 ) 这样定义的理由是： h m k ：；k2 ，l i m a , 2 = 口2( 2 6 7 ) 因此，k 和k ，口和口各自是一对相对应的量。 下面求解砰和口? 。从( 2 6 4 ) 直接可得： s i n 妇= 一西而篇2 筹面丽 c o s 妇= ( z 一筹) 丽1 记 掌：孵，x ：e x p ( a a ) c 2 + d 2 “ 则( 2 6 8 ) 可化为 。i n 妇：一兰堕 z 2 1 c 。s 妇：( 2 1 - 参_ c _ ) x 工+ l ( 2 7 0 ) 中两式相除，解得： 。z ：堡二丝2 堡丝二望 ( 2 一笋) t g k a + 印 上式再代回( 2 7 0 ) 的第一式，消去x ，可得： 4 s i n 2 k a = ( 2 4 c ) 2 增2 妇一孝2 d 2 ( 2 7 2 ) 可化作关于s i n2 c a 的一元二次方程，解得 r 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) f 2 7 0 ) f 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) 中国科技大学博士学位论文 3 0 s i n 型堕坐嘎亚亚 显然，根号前只能取+ 号。上式两边同除以a 2 ，并将( 2 6 9 ) 第一式代入，最后整 理得： ；=(业)2=,oow24(11-f万)2c2万+d广2+c(1-f)a ( 2 7 4 ) d l + u j 其中， f ：p 。万w z - a z ( 2 7 5 ) 4 c 、 将( 2 7 4 ) 代入( 2 6 8 ) 第一式，可得： 口叫e x p ( a a ) 2 - 口e x p ( - a a ) j = p o w 2 ( 1 - 琢f ) 2 i c ：可+ 0 厂2 _ c 一( 1 - f ) ( 2 7 6 ) l 2 口 j2 f c 2 + d 2 ) 。 将( 2 7 4 ) 与( 2 5 2 ) 、( 2 7 6 ) 与( 2 5 3 ) 进行比较，从它们的差别可以看到“离散 化”改变了连续介质力学的色散和耗散关系。但是，当a 斗o ，因而也有 厂0 时，则( 2 7 4 ) 和( 2 7 6 ) 分别回到( 2 5 2 ) 和( 2 5 3 ) ，a 越小，离散元计算结果越 趋近于连续介质力学计算结果，这又一次定量地证明了这个直觉可以想象的事 实。 当然，实际计算时元总是具有一定大小，因此原则上离散元计算不可能得 到连续介质力学的精确解。但是合理地选取元的尺寸，就能在一定程度上逼近 精确解。这里，我们从( 2 7 5 ) 出发给出有关选取标准。 因为厂越小越好，故可以把厂= l 作为它的许可上限，从而由( 2 7 5 ) 得到元 的半径r 的上限。： o亡( c f f f ) 2 患2 善昔涛 ，= i1 t w f ， 其中，c 2 = e l p 。 令w ：岛，则( 2 7 7 ) 可改写为 r ， o 一( c t f j ) 2 患2 善等1：i十盯 ( 2 7 7 ) r 2 7