（流体力学专业论文）气动声学数值计算的算法研究.pdf

j，_1 - ， h n a n ji n gu n i v e r s i t yo f a e r o n a u t i c sa n da s 仃o n a u t i c s t h eg r a d u a t es c h o o l c o l l e g eo fa e r o s p a c ee n g i n e e r i n g r e s e a r c ho fn u m e r i c a lm e t h o d f 0 rc o m p u t a t i o n a la e r o a c o u s t i c s a t h e s i si n f l u i dm e c h a n i c s b y z h a n gj i n 疵n g a d v i s e db y p r o x i aj i a n s u b n l i t t e di np a n i a lf u l f i l l m e n t o fm e r e q u i r e m e n t s f o rt h ed e 铲e eo f m a s t e ro fe n g i n e e n n g d e c em _ b e r ，2 0 0 9 3 承诺书 本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行 的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：j 长金旦目 日 期：2 型里：三：l 呈 ， 南京航空航天火学硕士学位论文 摘要 计算气动声学问题和典型c f d 问题的目标和特征之间都有本质的不同。本文介绍了计算气 动卢学问题的数值方法，包括高精度的c a a 方法、人工选择粘性和高质量的边界条件。同时，对 于声学波动方程的耗散、色散误差分析是必不可少的。气动声学数值方法的关键是建立能保持色 散关系的差分方程和正确处理无反射边界条件。对于非线性声波传播的问题，为了得到正确的解， 应注意提高差分格式对短波的分辨能力，同时发展能抑制短波数值振荡而对长波基本不起作用的 数值方法。 空腔流动是航空上程实际中常遇到的问题，有很高的1 ：程应用价值，而且不论在学术方面还 是在上程方面，它都是一个研究热点。本文采用了声源提取的耦合方法来模拟汽车门缝低速非定 常流动的气动噪声的产生和传播。耦合过程中，首先求解i 乙蝌s 方程米得到非定常的空腔流场。 从非定常流场中提取出源项后再求解声学方程可得到对外传播的声场。声场求解器中使用了4 阶 优化的色散关系保持( drp ) 格式。空腔噪声的计算结果与参考文献吻合的较好。 关键词：计算气动声学，无反射边界，声源提取，数值模拟，空腔，自维持振荡 d i s p e r s i o na l l dd i s s i p a t i o n 锄r s 弱s o c i a t e dw i t l lw a v ep r o p a g a t i o nc o m p u t a t i o 船ni sp o i n t e do u tm a t n l ed i s p e r s i o n - r e l a t i o n - p r e s e r v i n g i t ed i 能r e n c es c h e m e sa i l d 印p r o p r i a t e n o n r e f l e c t i i l gb o u l l i l 哪 c o n d i t i o i l sa r eo fc r i t i c a li r n p o r t 锄c et o 肌r n e r i c a lm e t l l o d sf o r r o a c o 髑t i c s f o rt h ep r o b l e mo f n o n l i n e a ra c o u s t i c s ，n l er e s o l u t i o no fl l i g h 叼r d e rd i 丘e r e n c i l l gm u s tb ei n l p r o v e d h lo r d e rt og e te x a c t n u m e r i c a ls o l u t i o n ，s o n l en u m 嘶c a l p r o c e d u r e s h o u l db e d e v e l o p e d t 0e l i i l l i l l a t en 啪e r i c a l o s c i l l a t i o n sw i n ls h o r tw a v e l e n 舒h ，b u tt l l ec o m p o n e n t so f 1 0 n g e rw a v e l e n 昏t l sa r ev i r t u a l l yu i l a f r e c t e d c a v i t yn o wp r o b l e n l se x i s ti nm 眦ya e r o s p a c ea p p l i c a t i o n sw i t hag r e a te n g i n e e 咖gv a l u ea n di ti s o fs i g n i f i c a n c et os t u d yt h ec a v i t yn o wi i lb o m 也e o r e t i c a l 舔p e c t sa n de n g i n e e r i n g 印p l i c a t i o n s t 1 1 e g e n e r a t i o na l l dr a d i a t i o no fa e r o d ) ，n a i l l i cs o u l l d 仔o mal o w s p e e du 1 1 s t e a d yn o wo v e rat 、v o _ d i m e l l s i o n a l 卸t o m o b i l ed 0 0 rc a v i t yi ss i m u l a t e db yu s i n gas o u r c e - e x 订a c t i o n - b a s e dc o u p l i n gm e t l l o d h i l e c o u p l i n gp r o c e d u r e ，m eu n s t e a d yc a v i 哆n o wf i e l di sf i r s tc o m p u t e ds o l v i l l gr a n se q u a t i o n s t h e r a d i a t es o u i l di st 1 1 e nc o m p u t e db ys o l v i n gt h ea c o u s t i ce q u a t i o nw i t hs o u r c et e 如 1 se x 仃a c t e d 丘o mt l l e u n s t e a d yn o w ad i s p e r s i o n - r e l a t i o n p r e s e n r i n g ( d r p ) ，叩t i m i z e d ，f o r t h o r d e rf m i t ed i 任e r e n c es c h e m ei s u s e di nt 圭l ea c o u s t i cs o l v e r t h er e s u l to ft h ec a v i 哆1 1 0 i s ei sa g r e ew e l lw i t hm er e f l e r e n c ep a p e r k e yw o r d s ：，c o m p u t a t i o n a la e r o a c o u s t i c ，n o n r e f l e c t i n gb o u n d a r y a c o u s t i cs o u r c e e x t r a c t i o n ， n u m e r i c a ls i 枷l a t i o n ， c a v i 够， s e l f _ s u s t a i n e do s c i l l a t i o n 南京航空航天人学硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 气动声学1 1 1 1 气动声学的背景1 1 1 2 气动声学的历史发展以及研究现状3 1 2 本文的工作5 第二章非线性扰动方程及数值方法6 2 1 引言6 2 2 非线性扰动方程6 2 3 微分方程的离散格式9 2 4 气动声学中的滤波1 1 2 5 边界条件1 2 2 6 人工源项的处理1 5 2 7 数值计算1 6 2 7 1 初始扰动传播1 6 2 7 2 周期性扰动的传播干涉算例2 2 2 7 3 周期性扰动声源在超音速流场中形成的马赫锥2 5 2 7 4 周期性扰动在绕翼型流场中的传播2 6 2 8 本章小结2 8 第三章自维持振荡空腔的流场计算2 9 3 1 引言2 9 3 2 跨音速振荡空腔流动2 9 3 3 低速不可压振荡空腔流动3 2 3 4 本章小结3 7 第四章带源项的声学方程模型及其数值方法3 8 4 1 引言3 8 4 2 带源项的声学方程模型3 8 4 2 1 变量的分解3 8 4 2 2 流场方程3 9 4 2 3 声学方程4 0 4 3 门缝式空腔的声场计算4 1 4 3 本章小结4 6 气动声学数值计算的算法研究 第五章总结与展望 5 1 本文主要工作和贡献 5 2 本文的不足之处与后续研究工作展望 参考文献 致谢 在学期间的研究成果及发表的学术论文5 3 图表清单 2 1差分格式的数值波数1 0 2 2 差分格式的数值相速度与物理相速度的比值1 0 2 3 滤波前后的比较1 2 2 4t a m 的远场的虚拟网格区域1 4 2 5 本文的远场的内三层、外三层虚拟网格区域1 5 2 6 初始扰动算例的边界设置1 7 2 7 初始扰动压强分布1 7 2 8 壁面反射算例不同时刻扰动压强的传播1 8 2 9 三套不同网格的局部放大图1 9 2 1 0 壁面处的压强不同网格结果的比较2 0 2 1 1 波峰波谷的横向拉伸局部放大图2 0 2 1 2 壁面处压强分布不同离散格式计算结果比较图2 1 2 13 波峰波谷处横向拉伸局部放大图2 1 2 1 4 周期性扰动卢源算例2 2 2 1 5 周期性扰动声源算例的不同时刻扰动压强分布云图2 3 2 16 参考文献和本文计算的扰动压强分布云图2 4 2 17 超音速流场中周期性扰动的传播2 5 2 18 马赫锥算例不同时刻的压强云图2 6 2 1 9 声场计算所用的结构网格2 7 2 2 0 绕翼型的真实流场2 7 2 2 l 不同时刻，压强分布云图2 8 3 1 2 d 矩形空腔的几何形状以及网格3 0 3 2空腔定常流场的x 方向速度以及流线图3 0 3 3不同时刻的振荡空腔压强等压线图3 1 3 4振荡空腔湍流动能k 的等值线图3 2 3 5 门缝式空腔尺寸以及计算区域尺寸示意图3 3 3 6 门缝式空腔的计算网格3 3 3 7 门缝式空腔定常收敛时的压强等压线图3 4 3 8空腔不同时刻的压强等压线图35 图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 气动声学数值计算的算法研究 图3 9 不同时刻的湍动能k 的等值线图3 6 图3 1 0 参考文献计算的不同时刻压强分布云图3 7 图4 1 变量分解图3 9 图4 2 门缝式空腔声场网格4 2 图4 3 空腔不同时刻声场压强云图4 3 图4 4 空腔不同时刻声场卢场压强云图4 4 图4 5 参考文献和本文计算的空腔前缘点的声压频谱图4 5 南京航空航天人学硕士学位论文 g r s “，y p e e ” p ，g 2 l p p “d p o p 。 守恒变量矢量 粘性通量矢量 x ，y 方向速度 密度 单位质量气体的总能量 x 方向速度扰动量 压强扰动量 包含扰动项的线性对流项 x 方向速度卢学平均量 压强声学平均量 密度扰动量 x 方向速度雷诺平均量 压强雷诺平均量 密度雷诺平均量 注释表 g ，f p c ，竹 p ， p c ，q v p k ，。 p 。 对流通量矢量 压强 声速 质量 密度扰动量 y 方向速度扰动量 能鼍扰动董 包含扰动项的非线性对流项 y 方向速度卢学平均量 能量声学平均量 湍动能 y 方向速度雷诺平均量 能量雷诺平均量 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 气动声学 1 1 1 气动声学的背景 随着航空运输业的发展，飞机的噪声问题日益引起人们的关注。美国在1 9 7 1 年通过的联邦航 空条例f a r3 6 部和我国在1 9 8 6 年提出的c a 娘3 6 章，都对飞机噪声做出了明确规定。国际比航 组织( i c a o ) 规定了飞机，包括直升机在地面的噪声标准。在军事上，出于隐蔽自我，打击敌人 的目的，预防并减少噪声显得尤为突出。理解、预测并最终能控制气动噪声具有非常重要的意义 【l 】o 气动声学是建立在空气动力学和卢学基础上的一门交义学科。它研究的内容是流动与卢的相 互作用问题，重点研究流动及其与物体作用导致噪声产生的机理，建立气动力与声性能之间的关 系式，在此基础上找出降低气动噪声的方法。气动噪声所包含的基本物理过程包括流体中的波动、 涡和卢等运动之间的相互作用等。具体问题的气动噪卢是多种多样的，如叶轮机械噪声、喷气噪 声、螺旋桨噪声以及管道噪卢等。气动噪声不仅引起环境污染，还会造成结构的疲劳和破坏。 虽然气动噪声形式是多种多样的，但是如果单从基本的发声机理来看，大体可分两种基本模 型【2 】：一个是湍流噪声( 尤其是射流噪声) ，此模型考虑了涡的相互作用、激波与涡的相互作用、 小尺度湍流等运动产生噪声的非线性过程；另一个是具有运动或静止边界时的流动产生的噪声， 主要反映位移噪声、脉动力噪卢、复杂结构干涉噪声等。 为了解决噪声问题，我们有了新的分支计算气动声学( c a a ) ，即用数值方法来研究气 动声学。重点放在产生噪声的非定常流机理，声源的确定，声与流动的相互作用等问题上，使用 的方程可以是原参数时间相关形式的e u l e r 方程或n s 方程，也可以是扰动形式的方程【3 】。 涡、声干扰问题的研究在流体力学与气动声学之间架起了密不可分的桥梁。涡量波是横波， 而声波是纵波，二者在气体运动中的能量转换以及相互的作用即为涡、声干扰。涡运动是流体中 最普遍存在的一种运动形式。许多基本涡运动发出的声音已经被各种实验所证实【卅，尤其是在低 马赫数下的非定常涡运动，已被证实它是唯一的流体声波源。在亚音速射流中，初始的大尺度相 干结构是主要的噪声源；在射流流场中，任何一个脉动总可以分解为相干脉动和随机脉动两部分， 而前者较之后者是更重要的声源。从数值计算的角度来看，计算流体力学是计算气动声学的基础， 许多c a a 方面的工作恰好是探讨c f d 在非定常波动计算问题中的适用性。然而，应该看剑在计 算中气动声学的物理特征使得c a a 较之c f d 会遇到更多的困难。首先是计算区域，对于同一个 绕流问题而言前者要比后者人的多。这是由于c a a 不仅要计算近场还要计算远场，并且通常情 况下远场区域要比近场大得多，例如射流问题，通常情况下远场的距离要大于1 2 倍的喷口直径【7 】。 1 气动声学数值计算的算法研究 另外，在所考虑的尺度上，流体运动中涡的尺度是从边界层厚度到k d l m o g o r o v 微尺度，在r e 取为1 0 4 时上述尺度的范围包括了3 个量级；而且微尺度每减小一个量级，计算机内存和计算时 间就分别需要提高1 0 3 和1 0 4 倍。在声学中，声强从听觉阈剑痛觉阈的量级跨度为1 0 1 4 ，频率范围 为2 0 2 0 0 0 0 h z ，因此要模拟所有这些尺度的运动的确是非常困难的事。从c f d 到c a a ，如果 仅仅想通过提高差分方程的截断精度是不够的。c a a 所要模拟的是实际过程中的物理波，因此 差分方程应该准确的去反映物理过程中波的模式( 其中包括涡、声、热等) 和波传播的特征( 即 色散性、耗散性、方向性、相速度、群速度等) ，也就是说c 从对数值计算方法至少要提出以下 三个方面的要求【3 】： ( 1 ) 要准确的去逼近物理波的幅值。为此可以借助于相容的、稳定的和高阶t a y l o r 截 断的c f d 格式去保证。 ( 2 ) 要较精确的模拟高波数运动，也就是说要求差分方程具有较小的格式频散，其截 断误差可由f o u e r ( 或者l a p l a c e ) 截断式去作判断。事实上，为了计算涡演化过 程，近些年来在c f d 领域内人力研究与发展的紧致格式或者其他高精度格式也都 是力求模拟高波数运动，这些格式也为计算气动卢学问题的求解提供了选择的机 会。 ( 3 ) 要求时间上、空间上的差分格式同时进行设计以便满足原方程所包含的色散关系。 事实上，c a a 中的差分方程对上述三点的要求是各有侧重的：首先，与t a v l o r 截断有关的 精度是局部性的，它影响幅值的计算误差，但总的来说并不影响解的总特征，有时甚至会冈加入 人 粘性增强计算稳定性同时使波幅计算值比实际值小。其次，模拟高波数运动可以提高解的分 辨力，只要在误差允许的范围内时、空波数匹配，那么就可以获得一定精度的物理解。值得注意 的是，在上述三方面中，满足色散关系是c a a 格式设计中最为重要的内容。色散误差是全局性、 积累性的误差。事实上，差分方程所描述的数值波的运动与微分方程所描述的物理过程并不一定 相同。即使是无色散的微分方程其著分方程也往往具有色散性。差分方程的色散关系往往具有周 期性并且是非线性的和多值的；它所描述的相位往往是以异于物理相速度的数值相速度进行传播 着，不同的波数对应于不同的相速度；其波包、寄生振荡、波动能量等以所谓的群速度传播着； 对丁二多维问题，差分方程在不同方向上群速度效应的差异还会引起数值的差异。所有这些都说明 差分离散可能会引起波性质的变化。因此在c a a 中需要采用保持色散关系的差分方程，这里所 谓的保持是指在相应的误差范围内，因为差分方程与微分方程的色散关系必定存在着差异。 关于边界条件，数值模拟真实的波运动给边界条件的处理提出了更高的要求。在远场人工边 界处必须加上无反射边界条件。这就要求所提出的边界条件既能够使小的平均流动顺利流出， 又能够使声波在边界上不产生非物理的反射。数值模拟时，如这些边界上的边界条件处理的不好， 有可能使整个计算域中产生非物理的数值反射。 毫无疑问，计算气动声学是一个急待发展与完善的新分支，而它的目标则是发展一套数值方 2 南京航空航天大学硕+ 学位论文 法计算由流动产生的噪卢脉动，加强我们预告和了解流动产生“声”的能力，提供值得信赖的 预报最终达到控制噪声的目的。 1 1 2 气动声学的历史发展以及研究现状 2 0 世纪5 0 年代初，l i g h t i l i l l 采用与古典声学类比的方法，引入拟声源的概念推出l i 曲“n 基本方程，奠定了气动声学的理论基础【8 母l 。最初的l i g l l t h i l l 方程的求解是在自由空间的假设下， 针对那些固体壁面边界不起主要作用的问题( 例如研究喷流区的噪声) ，采用“曲t 1 1 i n 基本理论 进行求解，并且可以得到比较满意的结果。他指出，这种由湍流引起的喷流噪声具有四极子卢源 特性、与速度的八次方成正比。他的基本理论对指导喷气发动机设计、降低气动噪声起了很大作 用。然而，大量的实验表明在许多的情况下，流体与固体壁面边界相互作用对声音的产生起着很 重要的影响作用，于是1 9 5 5 年c u r l e 应用飚r c h o f ! f 方法首先将“曲t 1 1 i n 基本方程进行了推广，考 虑了静止的同体壁面边界带来的影响【l 引。研究结果表明：同体擘面边界的作用相当于在整个固体 壁面边界上分布着偶极子源，并且在每一点上偶极子源的强度等于【司体壁面表面在该点处作用在 流体上的力。在这种情况下，声场可由四极子源和偶极子源迭加组成。c u r l e 成功地解决未涉及 到运动的l 司体壁面边界与流体的相互作用而导致的发卢问题，1 9 6 9 年f f o w c sw i l l i a i i l s 和 h a w k i n g s 采用了广义函数法将c u r l e 的结果进行了拓展，考虑了运动同体擘面边界对发声的影响， 得到了f w h 方程【1 1 】。之后，f a r a s s a r 十分巧妙的变换了f w h 方程的积分形式，并使它能用于 物体的运动为亚卢速、跨声速和超音速的情况。值得注意的是，无论是c u r l e 方程或者是f w h 方程均假定声源传播的介质为静止的，显然这个假定限制了对实际问题的应用，例如轴流压气机 或者涡轮所产生的声波，它们都是在运动的介质中传播的，所以考虑运动介质对声波传播的影响 是非常必要的。1 9 7 4 年g o l d s t e i i l 用格林函数方法研究了均匀运动介质下运动物体的发声问题， 得到了广义的“曲t h i l l 方程。另外，应该看到，气动声学是朝着多个方向发展的，一方面可以按 照l i 曲t l l i l l 的基本思想继续深入研究，另一方面许多学者也从不同的角度对流体所产生声音的机 理，声波与湍流的相互作用等问题进行细致的研究。从目前文献上所反映出的这些学者的t 作上 看，几乎都毫无例外的显示出声波的产生式与流体中的漩涡以及漩涡之间的相互作用密切相关： 声波能量的形成与转换也是通过这些非线性的相互作用米完成的。因此这些问题的深入研究，是 目前气动卢学基本理论的又一个重要方向。 对于f w h 方程，自1 9 6 9 年提出至今已经三十多年过去了，人们围绕这个方程已做了许多 改进与进一步完善。目前对于f w h 方程主要有时域与频域解两人类形式，它们各有自身的特点 并且有相应的应用范围。f a r a l s s a r 在计算螺旋桨辐射声场是，考虑积分表面为不可穿透即积分面 与物面重合，并且给出了时域中f w h 方程的音速解与超音速解。在此基础上，美国n a s a l a n g l e y 中心还开发了一套预测直升飞机旋翼离散频率噪声计算的“w o p w o p ”程序；2 0 0 1 年文 献【1 2 】从延迟时间出发，进一步完善f w h 方程在时域解的形式，使它在求解运动积分网格时 3 气动声学数值计算的算法研究 更有效。2 0 0 2 年文献【1 3 】在假设声源做弧音速匀速直线运动的情况下对于f w h 方程的频域公 式进行了完善，并对飞机起落架的噪声进行了计算。为了节省计算时间及计算资源，采取将f w h 方程的积分方法与计算气动声学( c 从) 的数值模拟相结合，以便高效而准确的去预测声远场， 显然这也是一个很好的发展方向。 “曲m i l l 【1 4 】把计算气动声学的方法归于两类： 一类方法是利用声类比。例如l i 曲t h i l l 的声类比，c f d 方法用于估计声源强度和分布，随后 与声有关的量传至远场由波动方程控制，流动对声波的影响( 对流、折射) 忽略不计。然后使用 l 【i r c h h o f f 方法积分得到远场声场。为了利用声类比，要做一些典型假设，例如假定声源可由不可 压流场刻画。对格林函数的需要也限制该方法只能用于简单的几何区域。 另一类是直接模拟。直接模拟包括d n s ，大涡模拟及使用雷诺平均n s 方程的模拟计算。通过 模拟，同时算出声源的产生以及声场的辐射。但由于声场与流场在尺度、能级上的差异以及声扰 动比气动扰动小得多，使得直接模拟耗费大。因而一般用分区匹配数值方法。对于卢源，目前比 较多的是使用l e s 来计算，采用雷诺平均n s 方程也可以。而远场多数情形下用线化欧拉方程。由 此可节省内存，减少计算量。 h i x o n r 和s h i h s h 【1 5 j 把k i r c h h o f f 方法和近场c f d 的解结合起米计算模拟了均匀流中单极子 源所辐射的声。其中远场声辐射可由k i r c i l h o 舫法得到。 p h i l l pj ，m o r r i s 【1 6 】等人在研究高速喷气式发动机噪声辐射问题时，提出把变量分解成满足 州s 方程的平均部分，和关丁平均值的扰动部分。通过扰动本质上是无粘的简化假设及变量分 解，推导出非线性扰动方程( n d e ) 。这种分解有许多优势，象边界条件的使用。但更重要的是分 解后的方程可以分别用不同的方法不同的网格：传统的c f d 方法应用于平均流，c 从方法应用 于声扰动。 h a r d i n 和p o p e 旧提出的二步法适合计算模拟由低速、不稳定流产生的声。这种方法通过c f d 方法求解不可压流场，不可压流场的解用丁定义流场平均量和把可压欧拉方程分裂成流场平均量 项和扰动声项。二步法与声类比法相似，因为它把直接模拟方法分成不可压流问题和扰动问题， 不考虑声辐射反向对流场解的影响。但它却以清晰的方式考虑了流一声相互作用。该法可以用于 计算模拟复杂区域中的低速流产生的声及其传播。在h a r d i n 和p o p e 工作的基础上，w e i lz h o n gs h e n 和j e l l sn o r k 霉rs a r e l l s e n 【18 】又进一步发展了这种方法，以使其更好的模拟湍流产生的噪声。 1 2 本文的工作 噪声问题是一个非常重要而又很常见的课题，它在民航、直升机、汽车、潜艇、风力发电机 等领域都不可避免的牵涉到。对其进行数值模拟，掌握噪声的强度及其内在的机理，有着非常重 要的意义。气动声学数值计算( c a a ) 是年轻而又不够完善的一门新兴学科。本文实现了对高频 率、低振幅的声学波动传播的低色散、低耗散的模拟，并且对t 锄提出的辐射边界条件做了进一 步的改进，提出了新的无反射边界条件。然后讨论了各种离散格式在不同网格密度下的色散关系， 4 南京航空航大大学硕十学位论文 最终采用了t 锄提出的7 点4 阶精度色散关系保持( d i 冲) 格式。本文首先模拟计算了声学的传 播、干涉、衍射等算例，比较了不同网格密度以及不同离散格式对计算结果精度的影响，然后使 用n u e i l t 模拟计算了空腔的非定常流场。最后，本文使用了流场声场耦合的方法，从非定常流场 中提取出声学源项，模拟计算了低速不可压的振荡空腔的声场的产生与传播。 全文共分为五章，分别如下： 第一章给出了问题的背景，简要介绍了气动声学的背景、历史发展以及现状。 第二章介绍了声学传播的方程和算例，研究了非线性扰动方程( n d e ) 的微分方程的离散格 式以及相关的色散关系和声学的人工耗散等，并研究了相关的边界条件，本章最后模拟计算了声 学的传播、干涉、衍射等算例，验证了计算程序，并研究了不同网格密度以及不同离散格式对计 算结果精度的影响。 第三章使用n u e m 模拟计算了o 8 m a 的开式空腔的振荡流场和低速不可压的门缝式空腔的振 荡流场。 第四章介绍了w e n z h o n gs h e n 和j e i l sn o r k rs o r e l l s e n 提出的带源项的卢学方程模型，并使 用这种流场声场耦合方法对门缝式空腔的声场做了数值模拟。 第五章总结与展望。 5 气动卢学数值计算的算法研究 2 1 引言 第二章非线性扰动方程及数值方法 声波本质就是一小扰动，因此，声波的传播可以通过求解扰动方程来得到。 对于e u l e r 方程的扰动方程，忽略二阶小量后，可以得到线化e u l e r 方程( l e e ) 程( n d e ) 比l e e 包含了更多的非线性项。同时，声学方程的数值计算需要相应的高精度格式 和边界条件。 2 2 非线性扰动方程 非线性扰动方程( n d e ) 可由完整的非定常n s 方程推导而来。基于任意拉格朗日欧拉描 述方法，直角坐标系下中的二维n s 方程为： a 口 a fa g f 演 a s1 蔷+ 瓦+ 万2 【瓦+ 万j q _ ) a舐 乱i 舐却j 。 其中g 是未知守恒变量矢量，f 和g 是对流通量矢量，尺和s 是粘性通量矢量，分别定义为： ，= p u 鼬u j rp p 执 ( p e + p ) “+ p r = o r h f “ o ， 一 g = p 肼 p e s = g = o f n f 嚣 。一 p y p 玩 p 踟+ p ( p e + p ) y + p ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 以上各式中， p 是流体压强，p 是流体密度，e 是单位质量流体总能，“和，是流体速度哥 在直角坐标系下的速度分量。令7 代表比热比，完全气体的压强p 的计算公式为： p = ( y 一) p e 一三( “2 + v 2 ) ( 2 5 ， 对于牛顿流体，结合s t o k e s 膨胀粘性系数假设，粘性应力张量尹的各分量定义： 6 南京航空航天火学硕+ 学位论文 勺= 2 呶一言( 峻+ 心)勺= z 呶一i i 峻+ 心j 乞= 吆2 ( + 心) ( 2 6 ) 乞= 2 比一专( 蚝+ 心)乞= z 胱一i 【蚝+ 心j 上式中是粘性系数。对于完全气体，通常由s u t h e r l a i l d 公式定： 去= 篙1 5 仁7 ， o 丁+ c 瓦l 、。 上式中瓦、鳓是海平面的温度和粘性系数，常数c = 1 1 0 4 k 。o ，、o ：分别定义为： 暑篙二：z 二麓 亿8 ， 0 ：= “f 。+ w f 。+ 七t 。 上式中七是热传导系数，对于完全气体尼定义为： 拈c p 畚 ( 2 9 ) 上式中p r 为p 啪d t l 数，c 。是等压比热容。 为了得剑非线性扰动方程，流场欠量q 可以进一步区分出平均量和扰动量g ： g = g 。+ g ( 2 1 0 ) 其中： g2 熙jg ( f ) 疵 ( 2 - 1 1 ) 把等式( 2 1 0 ) 代人等式( 2 1 ) 中，可得到一系列包含扰动形式和平均流量形式的方程。由 定义可知，平均流场是与时间无关的，而方程中出现的唯一的时间导数相关量是关于流场扰动量 的。把有扰动量的相关项置丁等式左边，而只有平均流场量的相关项置丁等式右边( 相对于源项) 。 扰动的通量包含了非线性的扰动项。由h 砌i i l 和p 叩e 【盯1 的假设，时间平均量的相关特性是粘性 机制的结果，而大尺度的波动是可以忽略粘性的，所以忽略方程左端粘性项对应的扰动项。在忽 略了扰动粘性项并重新安置了平均流动项和扰动项后，在直角坐标系下可以得到如下的非线性扰 动方程： 掣+ 娑+ 罢+ 娶+ 拿：q a t瓠曲 a x 卸 、 其中： 7 气动声学数值计算的算法研究 。一 g = f = g = 6 p 比。+ 成“+ p “ p j 、) o 七p j p j 、? p p p j 七一u o p “；+ 2 见材。“+ p 成“。1 ，+ 见v d 甜+ 成心“。 ( e ：+ p 。) “+ ( e + pr ) 甜。 p 、j rp 、) o p “。v + 成屹“+ 见k “。 p 谚+ 2 成心v + p ( 乞+ 见) ，+ ( p + p - ) 匕 瓦= 憾z - ：麓侧v 1 ( p + p - ) r p v 万l 成“，+ 户“。v t + p “匕+ p “v q 2 i 成，t 2 + 2 p t 匕1 ，t + 加z ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 以上各式中，f ，g 是包含扰动项的线性对流项，而，g ：是相应的各个坐标方向的1 f 线性扰动项。这里p - ，p ，“，v ，e 分别是密度，压强，速度各方向以及总的能量的扰动量 而它们对应的平均量分别是以，p 。，“。，v 。，巳。由等式( 2 1 2 ) 得到了扰动守恒量的g 后， 速度的扰动量“v 可由等式( 2 1 3 ) 得到，而能量的扰动量p 可由以下等式得到： 出志+ ( 岛+ 似砌。w 心) + 三( 见+ 袱“2 ) + 缸小吃) ( 2 1 8 ) 右端的源项q 可以由非定常流场的流场特性构造，也可以由各种经验以及湍流统计特性等构 造，还可以是各种人工声源等。 2 3 微分方程的离散格式 c a a 所要模拟的是实际过程中的物理波，所以差分方程要准确反映波传播特征( 色散性， 南京航空航天大学硕十学位论文 耗散性，方向性，相速度，群速度等) ，其含义包括3 个方面【2 】。首先是要准确逼近物理波的幅值。 其次，也是相对于定常问题更为重要的方面是精确模拟高波数运动。第三个方面是要求时间、空间 差分耦合设计以满足原方程所包含的色散关系。如对均匀流动问题，t 锄和w e b b 的分析表明，微 分方程支持三种类型的波声波，熵波和涡波。声波是无耗散、无色散的各向同性波。而涡波、熵波 则是强方向性波，现在的人部分格式得不到这些性质，冈而往往得不到正确的波解。实际上，许多类 型是有色散，有耗散且各向异性( 有时是人工耗散，故意加上以改善数值稳定性) 。这样，用现存的 格式计算噪卢问题，虽然能确定获得数值稳定的解，但该解对有限的网格宽度能否足以模拟控制方 程的波解还是未知数。 差分方程对上述3 个方面的要求是各有侧重的【3 】。对第一方面，高阶t a y l o r 截断的格式保证 波幅计算值与实际值偏差较小，总的说来并不影响解总的特征。关于第二个方面，就是要求差分方 程具有较小的格式色散，因而要放在谱空间里进行讨论，截断误差需由f o 嘶e f 或l a p l a c e 截断式判 断。必须注意的是相同t a v l o r 精度的格式其f o u r i e r 精度不一定相同，这就使得在差分离散时，前两 个方面的要求相互牵制。上述最后一个方面，即满足色散关系，是格式设计中最为重要的内容，因为 色散误筹是全局、积累性误差，随时间和距离的延长而增长。事实上，在把连续的介质系统离散为 有限个自由度的数学系统、把连续时间变化离散化的过程中，会引进一些误差，使得差分方程不能 很好地逼近原来的物理过程，即使是无色散、无耗散的微分方程其差分也往往具有色散性、耗散性。 差分方程的色散关系往往具有周期性并且是非线性和多值的，它描述的相位是以异于物理相速度 的数值相速度传播，不同的波数对应于不同的相速度。对于多维问题，连续的波动方程表示波在各 个方向上传播速度相同，而离散后的方程描述的波是在不同的方向以不同的速度传播与所用的数 值算法和网格有关。所有这些都说明差分离散引起原方程所描述的波性质的变化。 此外在用有限差分方程进行数值模拟时，当差分的空间网格间距和时间步长不合适都会引起 波形畸变或重影；波在传播过程中，波前形状发生变化，并且逐渐散开，这种色散不同于波动方 程本身引起的物理色散，而是差分方程所同有的本质特征。 如前所述，色散问题具有全局性的误差，它是计算声学中必须慎重考虑的一个误差来源。设 计计算格式时应注意保持色散关系( d i s p e r s i v e r e l a t i o n - p r e s e n ，i 1 1 9 ，简称d r p ) 【2 0 】。但差分方程与 微分方程的色散关系必定存在着差别，冈此所谓“保持”只是指在相应的误差范围。一般的做法是 把离散方程由变换或变换转换到波数或频率空间，通过优化选择离散系数从而使色散关系在一定 范围内保持。 9 l o 3 2s 2 l15 趣 1 05 o 1 o9 o8 0 7 镪 o 6 os o4 o3 o 2 0 1 o 图2 1 几种差分格式的数值波数 i；1。，。i。一。 k 缸 5 ，一_ 。，。j 图2 2 几种差分格式下的数值相速度与物理相速度的比值 图2 1 给出了几种差分格式的数值波数( 尼缸) 随着( 尼缸) 变化而变化的曲线2 1 2 2 】。图 南京航空航天大学硕士学位论文 2 2 给出了几种差分格式的数值相速度与物理相速度的比值( 口+ 口) 随着( 尼血) 变化而变化 的曲线。显然对于二阶中心差分格式来讲，如果欲使相速度的误差小于o 1 时，则要求p p 、- 8 0 ( 即每个波长要有8 0 个网格点) ；如果采取5 点四阶中心差分格式，也达到上述相速度的误差 时，则要求p p w = 1 5 ；如果采用优化的七点四阶d r p 格式则要求p p w = 6 【2 3 】。从以上列举的几个 差分格式的例子可以看出，发展高精度算法，并进行格式优化还是十分必要的。图中六阶紧致格 式的色散精度最高，但是本文中已经实现的是七点六阶中心差分格式以及优化的七点四阶d i 冲 格式。 同时，我们可以看到数值色散是与网格宽度紧密相关的，在不同方向上，网格宽度的不同会 导致不同的数值相速度误差，从而在各个方向上有所差别，冈此，在网格划分上应该尽可能均匀 且各向同性。 本文中使用优化的七点四阶d r p 格式 七点d i 冲导数模板如下【2 0 1 ： 掣= 击兰州血， 亿 其中： do = o dl = 一以l = o 7 7 0 8 8 2 3 8 0 518 2 2 5 5 5 5 2 d ，= 一d ，= 一0 1 6 6 7 0 5 9 0 4 4 1 4 5 8 0 4 6 9 d3 _ 一以3 = o 0 2 0 8 4 3 1 4 2 7 7 0 3 1 1 7 6 4 3 2 4 气动声学中的滤波 虽然在气动声学的计算中，已经尽可能的通过优化选择离散系数从而使色散关系在一定范围 内保持，实际上差分方程的数值色散仍然不可避免的带来与真实物理波动波速不同的数值波。这 些数值波，也叫数值振荡，必须加以抑制，以保证数值计算的稳定性，以及准确性。气动声学由 于其真实物