（基础数学专业论文）保2距离等式映射.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库：( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务：( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 11 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺；本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：贾维佳 2 0 1 0年5 月1 8 日 论文题目保2 距离等式映射 姓名贾维佳学号2 1 2 0 0 7 0 0 1 3答辩日期二。一。年五月 论文类别博士口学历硕j 硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系，所数学学院专 业 泛函分析 联系电话 1 5 8 0 2 2 3 4 3 4 le m a l l j i a w e i j i a m a i l n a n k a i e d u c a 通讯地址( 邮编) ：南开大学西区公寓5 - 2 5 0 6 备注： 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 趁 肌0 脚1舢y 。擎徘审革拱覃j 毒妊好非辫申苇草地毒￥拦掣刑鹭革砚覃j 奔妊妤非勘 锆圈辫萃詈专露( 粉丝毕一) 斡晕勘甲。茸拱珥毒明千逊千斟晕组明士斟辫椠崮娶纬砰群卓：翟 曼 茸观妊妤非能裂獬显并：职学 ( i l 0 0 0 e ) 9 0 s 。z 。s 罩孑园疑案y 妊单：( 孵椰) 弭孵署囝f u 3 。n p o ! l ，) i i i b u i ! e m b ! f i ： b ! fu 1 1 9 1 1 1 i 杪钞e 乙z 0 8 s l婴印当独 杀嫌靴霉而每矧杀杀性杀璩鲻酱捌 口千迹华杀金刨口断驿辫掣 口珥柔而每千洫四千迹鲴亲 口千斟0 i f 椠茸拱 曰6 i 皆s 南0 i o e瞵目挺嚣 e 1 0 0 l 0 0 z i z鲁赤 飘彩溢矽掰 骅确醯耘掣珊乙哿目掰茸砚 冒哥晕勘革戳聃毒甭草地毒￥拦阜 目l z 皆与匆o l o z 习嘞基 ：专褥y 砰弭磊霉勤 。拳目勘诈囤咄捌甭琶搬甲锐碰￥一盛焉肆砰群卓。晕群娶丁牟瓤巢刨y 卓 。兽目y 卓甲酱璺膂业帮蒜刨业团蹲鹾一站掣阴茸砚卓彗撕与列士印茸砚砑希明蕈蕾 3 籀嚣茸拱娶毋 召冀智勤6 l i 私毕勘博刨蹲区赤杀￥妊单翠瞽茸磁再杂明y 章：譬 凄y 章 。叫q x 3 p m 1 0 0 8 ：1 9 i 。0 1 5 。e i ! z ；0 e ：如q 。辆豳勘沣囤辫耍蕈群狲壬印覃砚 。茸拱拦影刨暂瓠哇莓暂g 罩缚暂殂希鬻哇迈群蟛掣业掣刮睁犀哿茸旗砑杀妊影非 。胜砰明茸砚擎髯勒聱融茸觋禺哿y 辛轴刨。暂撕冒碧身聚将鞑辚豳* 群并辩联 窜蜜骠茸砚砑杀珂啡y 劲耗狲士审茸疆革祺砑杀朝圈群犁酶藁鬻礴狲承士审( 霉咪) 吐瓣半 杀国审瞠幽延抱冒髫群性国串刨辫嘉碎群岩现茸砚砑赤( 争) 2 茸观码杀6 l i 妊藁鬻珥责军戳 蜾革磷掣杀￥妊掣犁群￥阜勰旦磷辨诽( ) o 髟殂冒粤繇暂岛碡i 、骠噼茸弓茸砚疆相孵 茸、率觋咨目茸砚语群丁豳囡弭翠錾闻甭蛳即瓣艳瞢鲻啄岛勘昝园翠僻瑶k 勤茸旗珥杀钾 拦抒琳诵也辫杀朝目擒性哇杀辚紧( z ) 2 犁鬻】；i i 茸弓茸刁鲁砑杀千逊科杀￥妊单 y 崂# 茸砚砑嘉雨￥抱掣哿硝圭陴酉耐鹭疆由辨、由缮宙滥相且辫杀( 狲士印谣卓0 留由驺狮蹲 回) 茸拱珥杂萃瞥犁群辫酶开某台 罪砑杂( i ) ：曲碑出现茸砚再杀朝掣圈罂羊群嚣碑勤是 翠阜瞬嘉￥妊掣。犁群靛晶朝甾瞠廿i f 群劲茸砚码嘉雨延搬￥阜奈￥妊单掷上弓华y 章 。强f 士目四畔鬈卓雪掳覃拱弭杀聊y 章覃瞥杀￥妊掣刨酶瞬岩咎 濉砑杂千逊、千斟明谢挂餮群醢岛目唑岵磐劲茸砚码杀雨g 搬士￥秦￥妊单 鬻诽 锋砰弭目觋茸识码杀杀￥妊掣 迸暹、l；，；#i k ， 蕴ill_， 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：贾。维佳2 0 1 0 年5 月1 8 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年月 日至2 0 年月 日 审批表编号批准日期 2 0 年月日 南开大学学位办公室盖章( 有效) 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密l o 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年。可少于1 0 年) 中文摘要 中文摘要 2 等距映射是赋2 范线性空间理论中一个极其重要的研究对象。2 一等距映 射、弱2 等距映射和2 连续映射有如下的关系：2 等距映射一定是弱2 等距映 射，弱2 等距映射一定是2 连续映射。但反之不然。 在本文中，借助于保2 距离等式映射这一概念，我们将在赋2 范线性空间中 讨论2 等距映射与2 连续映射之间的关系。我们得到，如果f ：e f 是规函数 为单射的保2 距离等式映射，是2 连续的，并且，的值域中包含一截线段，则- 厂 是2 等距映射，从而是仿射。更进一步地，若定义域空间维数大于2 时，是2 一连 续映射的这一条件可以去掉。 关键词：赋2 范线性空间；保2 一距离等式映射：2 等距映射；2 连续映射 a b s t r a c t a b s t r a c t t h el i n e a r2 - n o r m e ds p a c ei sag e n e r a l i z a t i o no fn o r m e dl i n e a rs p a c e t h e2 - i s o m e 时p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h el i n e a r2 - n o r m e ds p a c et h e o r y , a n ds o m ec h a r - a c t e r i z a t i o n so f2 - i s o m e t r ya r eg i v e nr e c e n t l y t h en o t i o n so f2 - i s o m e t r y , w e a k2 - i s o m e t r ya n d2 - c o n t i n u o u sh a v et h er e l a t i o n s h i pa sf o l l o w s ：t h ep r o p e r t yo f2 - i s o m e t r y i m p l i e st h ep r o p e r t yo fw e a k2 - i s o m e t r y , a n da l s ot h ep r o p e r t yo fw e a k2 - i s o m e t r y i m p l i e s2 - c o n t i n u o u sp r o p e r t y b u tt h ec o n v e r s e sa r e a l lf a i l e d i nt h i st h e s i s ，w i t ht h eh e l po ft h en o t i o ni n t r o d u c e di nt h i st h e s i s m a p p i n g s p r e s e r v i n ge q u a l i t yo f2 - d i s t a n c e ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o nb e t w e e n2 一i s o m e t r i e sa n d 2 - c o n t i n u o u sm a p p i n g si nl i n e a r2 - n o r m e ds p a c e s w ep r o v et h a ti ff ：e - 4 fi sa m a p p i n gp r e s e r v i n ge q u a l i t yo f2 - d i s t a n c ew i t hi t sg a u g ef u n c t i o ni n j e c t i v e ，fi s2 一 c o n t i n u o u sa n dt h er a n g eo ffc o n t a i n sas e g m e n t , t h e nfi s2 - i s o m e t r y , t h u si sa l s o a f f i n e m o r e o v e r , w h e nd i me 2 ，t h ec o n d i t i o nt h a tfi s2 - c o n t i n u o u sc o u l db ee l i m i n a t e d k e yw o r d s ：l i n e a r2 - n o r m e ds p a c e ；m a p p i n gp r e s e r v i n ge q u a l i t yo f2 - d i s t a n c e ； 2 - i s o m e t r y ；2 - c o n t i n u o u sf u n c t i o n 目录 目录 中文摘要 i a b s t r a c t c h a p t e rl i n t r o d u c t i o n l c h a p t e r 2 2 - m e t r i cs p a c ea n d2 - n o r m e ds p a c e 4 2 1 p r o p e r t i e so f 2 - m e t r i cs p a c e 4 2 2 p r o p e r t i e so f2 - n o r m e ds p a c e 7 c h a p t e r 3ac h a r a c t e r i z a t i o no f2 - i s o m e t r y1 3 3 1m a i nr e s u l tw h e nd i m e l 1 3 3 2m a i nr e s u l tw h e nd i m e 2 1 9 参考文献 2 4 致谢 2 6 个人简历 2 7 i i i c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n i nt h e p r e s e n tm a t h e m a t i c s ，o n eo ft h e m o s ti m p o r t a n tn o t i o n si st h en o t i o no fm e t - t i c s ，w h i c hi sf u n d a m e n t a li ng e o m e t r ya n da n a l y s i sa n do t h e r s i n1 9 2 8 ，k m e n g e rl a j i n t r o d u c e dt h en o t i o nc a l l e dag e n e r a l i z e dm e t r i c o nt h eo t h e rh a n d b v u l i c h 【2 】i n - t r o d u c e dan o t i o no fh i g h e rd i m e n s i o n a ln o r mi nl i n e a rs p a c e si n19 3 8 u n f o r t u n a t e l y , t h e s es t u d i e sh a db e e nn e g l e c t e db ym a n ya n a l y s i s t sf o ral o n gt i m e an e wd e v e l - o p m e n tb e g a nw i t h19 6 2 t h i sc o n t r i b u t i o ni sd u et os g 轴l e r 【3 1 h em a d e ad e e p s t u d yo f2 - m e t r i cs p a c e sa n d2 - n o r m e ds p a c e s m a n yp r o p e r t i e so f 2 - m e t r i cs p a c e so r 2 - n o r m e ds p a c e sw e r eo b t a i n e di n 【3 】，【4 】，【5 】 t h en o t i o no fam e t r i ci st ob er e g a r d e da sag e n e r a l i z a t i o no ft h en o t i o no ft h e d i s t a n c eb e t w e e nt w o p o i n t s s i m i l a r l y , t h en o t i o no f2 - m e t r i ci so b t a i n e db yag e n e r a l i z a t i o no ft h en o t i o no fa r e af u n c t i o nf o rat r i a n g l ed e t e r m i n e db yat r i p l ei ne u c l i d e a n s p a c e i ti sa r e a l - v a l u e df u n c t i o n ，i n t r o d u c e db ys g 目i h l e ri n 【3 】，o fp o i n t - t r i p l e so na l l a b s t r a c ts e t t h em o s tn a t u r a le x a m p l eo f2 - m e t r i ci st h ee u c l i d e a n2 - m e t r i co ne 聊f o rm 1 e v e r ye u c l i d e a ns p a c eo fd i m e n s i o nm 1 h a sa2 - m e t r i cd e f i n e db y p ，只z ) ：昙e 。f 1 g e n e r a t et h es a m e t o p o l o g y c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n a t o p o l o g i c a ls p a c ei st e r m e d2 - m e t r i z a b l ei fi th a sa2 - m e t r i cw h o s ei n d u c e d t o p o l o g yi se q u i v a l e n tt ot h eo r i g i n a lt o p o l o g y a sf o rm e t r i z a b l ea n d2 - m e t r i z a b l e ， t h e o r e m2 01 3 1t o l du st h a te v e r ym e t r i cs p a c ei s2 - m e t r i z a b l e o nt h eo t h e rh a n d a n e x a m p l e i sg i v e ni n 1 7 【3 】o fa2 - m e t r i cs p a c et h a td o e sn o ts a t i s f yt h ef i r s ta x i o mo f c o u n t a b i l i t ya n dh e n c ei sn o tm e t r i z a b l e i n1 9 6 4 s g i i h l e r 【4 】i n t r o d u c e dt h en o t i o no f2 - n o r m al i n e a r2 - n o r m e ds p a c e i sal i n e a rs p a c eew i t haf u n c t i o n a l1 1 ，i i ：e e 一尺+ t h a ti ss y m m e t r i c ，s u b l i n e a r i ne a c hv a r i a b l ea n ds u c ht h a ti l a ，b l i = 0i fa n do n l yi faa n dba r el i n e a r l yd e p e n d e n t m a n yp r o p e r t i e so f2 - n o r m e ds p a c ew a s d i s c u s s e di n 【4 】 i nt h ef o l l o w i n gy e a r s ，t h e2 - m e t r i cs p a c e sa n d2 - n o r m e ds p a c e sh a db e e ns t u d i e d b ym a n ym a t h e m a t i c a lw o r k e r s t h e r ea r ea l o to fr e s e a r c hd i r e c t i o n sa b o u tt h e2 - m e t r i c o r2 - n o r m e ds p a c e s ，s u c ha sf i x e dp o i n tt h e o r e m si n2 - m e t r i cs p a c e s ，c h a r a c t e r i z a t i o n s o fs t r i c t l yc o n v e xl i n e a r2 - n o r m e ds p a c e s ，c h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ee u c l i d e a np l a n eb y 2 一m e t r i c ，a n dt h et h e o r yo f2 一i s o m e t r y a sw e l l - k n o w n ，t h ei s o m e t r y , t r a n s f o r m a t i o n sw h i c hp r e s e r v ed i s t a n c eb e t w e e n p o i n t si sa ni m p o r t a n ts u b j e c t i v ei ns p a c et h e o r ya n do p e r a t o rt h e o r y i nt h em o s tg e n - e r a ls e n s e ，s u c ht r a n s f o r m a t i o n sa r eb a s i ci nt h er e s e a r c ha b o u tg e o m e t r yw h i c hi sc o n - c e m e dw i t hr i g i dm o t i o n sa n dm a n yp r e s e r v e dp r o p e r t i e s i nt h ef i e l do ff u n c t i o n a l a n a l y s i s ，t h e r ea r cal o to fs u b j e c t sa b o u ti s o m e t r i c s ，s u c ha st h ee x t e n s i o np r o b l e m o fi s o m e t r i c s ，t h es t a b i l i t yp r o b l e mo fi s o m e t r i c s ，t h eg e n e r a l i z a t i o no fm a z u r - u l a m t h e o r e m ，t h ea l e k s a n d r o vp r o b l e ma n ds oo n t h ea l e k s a n d r o vp r o b l e mi sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi nt h ei s o m e t r i c a lt h e o r y i n 19 7 0 ，a d a l e k s a n d m v1 6 jp o s e dt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ： w h e t h e ro rn o tam a p p i n g w i t hd i s t a n c eo n ep r e s e r v i n gp r o p e r t yi sa ni s o m e t r y ? t h ea l e k s a n d r o vp r o b l e mo f m e t r i cs p a c eh a sb e e ni n v e s t i g a t e di ns e v e r a lp a p e r s 【一1 3 】i n 【1 4 1 ，h yc h u ，c g p a r ka n dw g p a r ki n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f2 - i s o m e t r yw h i c hi ss u i t a b l et or e p r e s e n t t h en o t i o no fa r e ap r e s e r v i n gm a p p i n g si nl i n e a r2 - n o r m e ds p a c e s t h e yp r o v i d e da p r o o fo ft h er a s s i a sa n d e m r l st h e o r e m i l1 i nl i n e a r2 - n o r m e ds p a c e su n d e rs o m e c o n d i t i o n a n o t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o no fi s o m e t r i c a lt h e o r yc o m e sf r o ma ni m p o r t a n tr e s u l t 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n o f1 - n o r m e ds p a c e ( i e t h en o r m e ds p a c ei nu s u a ls e n s e ) w h i c hi sd u et os m a z u r a n ds u l a mi n19 3 2 i nt h ei m p o r t a n tp a p e r 【15 ，t h e yp r o v e dt h a te v e r yi s o m e t r yo f an o r m e dr e a lv e c t o rs p a c eo n t oa n o t h e rn o r m e dr e a lv e c t o rs p a c ei sal i n e a rm a p p i n g u pt ot r a n s l a t i o n t h i si st h ef a m o u sm a z u r - u l a mt h e o r e m i nt h ef o l l o w i n gy e a r s ， m a z u r - u l a mt h e o r e mh a sb e e ns t u d i e db ym a n ym a t h e m a t i c a lw o r k e r s w i t h o u tt h e o n t oa s s u m p t i o n ，b a k e r 【l6 】p r o v e dt h a ta ni s o m e t r yf r o man o r m e ds p a c ei n t oas t r i c t l y c o n v e xn o r m e ds p a c ei sa f f i n e v o g t 【1 7 】e x t e n d st h er e s u l t so fm a z u ra n du l a mi na d i f f e r e n td i r e c t i o na n do b t a i n e dt h a te v e r yc o n t i n u o u se q u a l i t yo fd i s t a n c ep r e s e r v i n g m a pf r o mar e a ln o r m e dv e c t o rs p a c eo n t oar e a ln o r m e dv e c t o rs p a c ei sa f f i n e h y c h u 【1 8 】p r o v e dt h a tt h em a z u r - u l a mt h e o r e mh o l d sw h e n ea n dfa r el i n e a r2 n o r m e d s p a c e t h a ti s ，t h e2 - i s o m e t r yb e t w e e nt w ol i n e a r2 - n o r m e ds p a c e si sa f f i n e ，a sw e c o u l dn o t i c et h a tt h ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n ，丫 ) ，厂( ) ，) a n df ( z ) a r ec o l l i n e a rw h e n 工，y a n dza r ec o l l i n e a r ，a r eo b v i o u s l ys a t i s f i e dw h e nfi sa2 - i s o m e t r y i n 【19 ，h yc h u ，s h k u ，d s k a n gi n t r o d u c e dt h en o t i o n so fw e a k2 i s o m e t r y a n d2 - c o n t i n u o u sm a p p i n g t h e s en o t i o n sh a v et h er e l a t i o n s h i pa sf o l l o w s ：t h ep r o p e r t y o f 2 - i s o m e t r yi m p l i e st h ep r o p e r t yo fw e a k2 - i s o m e t r y , a n da l s ot h ep r o p e r t yo fw e a k 2 - i s o m e t r yi m p l i e s2 - c o n t i n u o u sp r o p e r t y b u tt h e c o n v e r s e sa r ea l lf a i l e d h yc h u ，s h k u ，d s k a n g 1 9 1g a v eac h a r a c t e r i z a t i o no f2 - i s o m e t r y , w h i c h a l s ot e l l st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n2 - i s o m e t r ya n dw e a k2 i s o m e t r y t h u s ，i ti san a t u r a l s t e pt oa s kt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：u n d e rw h a tc o n d i t i o n s ，i sa2 - c o n t i n u o u sm a p - p i n ga l s oa2 - i s o m e t r y i n s p i r e db yt h ei d e ao fm a p sp r e s e r v i n ge q u a l i t yo fd i s t a n c ei n n o r m e ds p a c ei n t r o d u c e db ya v o g ti n 【17 ，i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w eg i v eac o n c e p to f e q u a l i t yo f 2 - d i s t a n c ep r e s e r v i n gm a p p i n g s ，m a p p i n gw i t ht h ep r o p e r t yt h a tt h e2 - n o r m o fi m a g ep o i n t sd e p e n d sf u n c t i o n a l l yo nt h e2 - n o r r no fc o r r e s p o n d i n gp o i n t si nd o - m a i n w i t ht h eh e l po ft h i sc o n c e p t ，w ew i l lg i v e2 - i s o m e t r ya n o t h e rc h a r a c t e r i z a t i o n a tt h es a m et i m e ，t h i sc h a r a c t e r i z a t i o na n s w e r st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en o t i o no f 2 一i s o m e t r ya n dt h en o t i o no f2 - c o n t i n u o u sm a p p i n g 3 c h a p t e r22 - m e t r i cs p a c ea n d2 - n o r m e as p a c e c h a p t e r2 2 - m e t r i cs p a c ea n d2 - n o r m e ds p a c e i n 【3 】，s g i i h l e ri n t r o d u c e dt h en o t i o no f2 - m e t r i cs p a c ew h i c hi sag e n e r a l i z a t i o n o ft h ea r e af u n c t i o nf o rat r i a n g l ed e t e r m i n e db ya t r i p l ei ne u c l i d e a ns p a c e d e f i n i t i o n2 1 3 1l e teb ea na b s t r a c ts e t w ed e f i n eam a p p i n gpo nt h es e to fa l l t r i p l e so f p o i n t s0 ，只z ) o f ei n t ot h er e a l st h a ts a t i s f i e s ( 1 ) f o ra n yt w om u t u a l l yd i s t i n c te l e m e n t s ja n dyi ne ，t h e r ei sa tl e a s to n ee l e m e n tz 伽ew i t hp ，弘z ) 0 ； ( 2 ) p ，只z ) = 0i f a tl e a s tt w op o i n t so f t h r e ep o i n t sa r ee q u a l ； ( 3 ) p ，) ，z ) = p ，z ，y ) = p ( 为z ，工) ； ( 4 ) p ( x ，y z ) p ( x ，只u ) + p 0 ，u ，z ) + p ( “，弘z ) t h e npi sc a l l e da2 一m e t r i co ne a n dei sc a l l e da2 - m e t r i cs p a c e i nt h ed e f i n i t i o n ，( 3 ) m e a n st h a tpi ss y m m e t r i ca b o u tt h r e ev a r i a b l e sz ，y z w i t h o u tt h er e q u i r e m e n to f ( 1 ) ，o n eo b t a i n st h eg e n e r a l i z e d2 - m e t r i cs p a c e , w h i c hi sa s p e c i a lc a s eo fa b s t r a c tm m e t r i c sd e f i n e db yk m e n g e ri n 【l 】i ti se a s i l ys e a e nt h a tp i sn o n n e g a t i v e f o ra n y2 - m e t r i cs p a c e ，w ec a ni n t r o d u c eat o p o l o g ya sf o l l o w s ： f o re a c hp o s i t i v er e a l 口，w ed e f i n et h ea n b d ( n e i g h b o r h o o d ) f o rt w op o i n t saa n d bi nea st h es e t ( 如( 口，b ) o f a l lp o i n t s 工i nes u c ht h a tp ( a ，b ，x ) w h i c hc o n t a i n sa ，a n djb ea n y f = l n a t u r a ln u m b e r n b e c a u s e a u a j ( a j ，b i ) = cip ( a j ，b j ，c ) 哟) t h e r ei sa 嘭w i t h0 嘭 ，s u c ht h a t 口：( a j ，b j ) = cip ( a j ，b j ，c ) 嘭) l e t e y = 华a n d e j = ( n _ j 勺) ，( b j ，勺) ) f o r e a c h p o i n t 口。( 口) = a ，a j ) n a ，b j ) ， w e h a v e p ( a ，a j ，a ) 句 a n d p ( a ，b j ，a 。) 勺 t h i sr e s u l t si n p ( a j ，b j ，a ) p ( a j ，b j ，口) + p ( a j ，a ，口+ ) + p ( 口，b j ，a + ) 嘭+ 句+ e j ：蟛+ 2 掣：哟 t h u s a ( a j ，幻) s i n c e a + w a s a r b i t r a r y i n ( 口) ，i t f o l l o w s w r j ( 口) ( a j ，b j ) a sw ec a r r yo u tt h ef o r e g o i n gc o n s i d e r a t i o nf o re v e r yn a t u r a ln u m b e rj n ，w eo b t a i n f o r = ( 口i ，e 1 ) ，( 6 i ，1 ) ，( 口 ，岛) ，( b n ，岛) ) 口w r ( a ) = n ( 口) nu 啦( a i ，b i ) f = li = l t h et h e o r e mi sp r o v e d s g i h l e rs t u d i e dt h ep r o p e r t i e so ft h en a t u r a lt o p o l o g yo f2 - m e t r i cs p a c ei n 【3 】 t h ef o l l o w i n gt h e o r e m sa r et h et w oo fg r e a ti m p o r t a n c e b yt h e o r e m2 3a n dt h e o r e m 2 4b e l o w , w eg e ta2 m e t r i cs p a c ei sar e g u l a rh a u s d o r f fs p a c e 5 t h e o r e m2 3 【3 】s u p p o s ee i s 口g e n e r a l f z e d2 - m e t r i cs p a c e r yes a t i s f i e s ( 1 ) ，ei s at 2l a n dt h u sa l s oat o ) s p a c e 聪ei sat os p a c e , t h e ne s a t i s f i e sr e v e r s e d , i e t h e c o n d i t i o n ( 1 ) a n d 括t h e na7 2s p a c e p r o o f ( 1 ) a s s u m ees a t i s f i e sc o n d i t i o n ( 1 ) ，t h e nf o ra n yt w od i f f e r e n tp o i n t saa n db o f e ，t h e r ei sa l w a y sap o i n tco f ew i t hp + 全p ( a ，b ，c ) 0 o b v i o u s l y , t h es e t 咋a ，b ) l q 咋( 口，c ) ( r e s p e c t i v e l y , ( b ，c ) ) i san e i g h b o r - h o o do fa ( r e s p e c t i v e l y , 易) w ew i l ls h o wt h a t 咋( 口，b )