（基础数学专业论文）拉格朗日子流形几何及相关问题.pdf

论文独创性声明 ? 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：盔查羹；堕 论文使用授权声明 日期：型 。本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 ， 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：望垒墼i 塾导师签名： 日期： 堋心幸 拉格朗日子流形几何及相关问题 摘要 本文主要研究了拉格朗日子流形几何及相关问题，主要内容包括伯恩斯坦型定 理、特殊拉格朗日子流形的扭曲法丛构造、哈密尔顿极小拉格朗日子流以及具有共 形m a s l o v 形式的拉格朗日子流形 标准的伯恩斯坦定理是说三维欧氏空间中的整体极小图是平面更为精确地说， 设z = ，( z ，) 是定义在2 一维欧氏空间r 2 上的整体的光滑函数，如果图e = ( z ，( x ， ) ) 是3 - 维欧氏空间印中的极小曲面，则函数，是一个线形函数，即图是一个平面 在余维数为1 的情况，这个结果以被推广到m + 1 ) 一维欧氏空间中( n 7 ) ，以及在某 种增长性限制下，这个结果被推广到任意维数欧氏空间中，这些结果, - - p a 参考f 17 1 及 其参考文献中所提到的文献对于高余维数的情况变得比较复杂由于l a w s o n - o s s e r m a n 在 3 1 】中所提出的反例，我们不能希望有关高余维的b e r n s t e i n 型定理在最 一般的情况下是正确的因此，我们必须在某种适当的条件下来建立有关高余维情 况的b e r n s t e i n 型定理近年来，有关具有高余维数的极小子流形和特殊拉格朗日子 流形的伯恩斯坦型定理在【2 3 】，【2 4 】，【3 9 】， 4 1 】和 4 3 】取得了显著的进展这几篇文章中 的主要思想是寻找一个适当的次调和函数，然后利用极值原理说明所找到的次调和 函数为零，从而说明极小图是全测地的我们也采取相应的思想，得到一些四元数 欧式空间中有关极小拉格朗日的伯恩斯坦型定理 我们知道特殊拉格朗日子流形的例子对研究此类特殊的子流形是非常重要的 意义因此近年来有不少研究者通过多种方法构造一些有关特殊拉格朗日子流形 的重要例子例如，r h a r v e y 和h b l a w s o n 在【2 0 】在复欧氏空间g “中给出了特 殊拉格日子流形的一些具体例子，特别地，他们通过余法丛构造了一类特殊拉格朗 日子流形d j o y c e 在 2 5 1 ， 2 6 】，f 2 7 】和 2 8 j 中构造了一些有关特殊拉格朗日子流形的 具体例子a b o r i s e n k o 在f 1 1 对r 3 中的极小曲面通过扭曲法丛构造在p 兄3 中构造 了一类扭曲的特殊拉格朗日子流形，他所用的方法是对 2 0 1 中余法丛构造的一种推 广r ，l b r y a n t 在f 3 1 给出了e 3 中一种扭曲特殊拉格朗日子流形，他的这种构造方 式和f 1 1 申的构造方式是两种不同的扭曲构造方式我们也通过扭曲法丛的构造得到 许多特殊拉格朗日子流形的具体例子 除了对特殊拉格朗日子流形的关注以外，近年来关于极小拉格朗日子流形的推 广形式也有一些研究工作y g o h 在 3 3 1 和 3 4 1 中最先引进的哈密尔顿极小拉格朗 日子流形，此类子流形式是对极小拉格朗日子流形一种很好的推广，同时他对此类 子流形作了相应的研究在 1 4 1 ，1 1 6 1 ，【2 l 】，【2 2 j “9 j ，1 3 0 1 和 3 2 i 中，作者采用对称约化或 者可积系统方法在k i h l e r 流形，特别是复空间形式中构造了哈密尔顿极小的拉格朗 日子流形的例子我们知道除了上述推广形式外，极小拉格朗日子流形还有另外一 种很有意义的推广形式，即具有共形m a s l o v 形式的拉格朗日子流形这类子流形中 最经典的例子是在 4 2 1 ，【7 】及 1 1 1 中所给出f f j w h i t n e y 球a r o s 和f u r b a n o 在 3 7 1 详细研究了g ”中的具有共形m a s l o v 形式的拉格朗日子流形x l c h a o 和x y d o n g 在 1 2 】也研究了复空间形式中具有共性m a s l o v 形式的拉格朗臼子流形，并证 明了一个具有共性m a s l o v 形式拉格朗日子流形的刚性定理b ，y c h e n 等在5 1 中发 展了一种非常有效的所扭曲积分解方法用来建立从实空间形式m n ( c ) 到复空间形 式m n ( 4 c ) 的拉格朗日的等距浸入，后来，y m o h 在【3 5 中利用他们的方法构建了 很多此类的拉格朗日等距浸入的例子我们从b y c h e n 等所给出的拉格朗日子流 形中得到很多哈密尔顿极小的拉格朗日子流形以及具有共形m a s l o v 形式的拉格朗 日子流形 关键词：伯恩斯坦型定理，四元数欧氏空间，极小拉格朗日图，扭曲特殊拉格朗日 子流形，扭曲法丛，a u s t e r e 子流形，实空间形式，复空间形式，哈密尔顿极小予流形 具有共形m a s l o v 形式的拉格朗日子流形 中图分类号：0 1 8 6 1 2 2 g e o m e t r yo fl a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d sa n d r e l a t e dp r o b l e m s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yg e o m e t r yo fl a g r a n g i a as u b m a n i f o l d sa n d r e l a t e dp r o b l e m s i n c l u d i n gb e r n s t e i nt y p et h e o r e m s ，c o n s t r u c t i o no fs p e c i a ll a - g r a n g i a ns u b m a n i f o l d s ，h a m i l t o n i a nm i n i m a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d sa n dl a g r a n g i a n s u b m a n i f o l d sw i t hc o n f o r m a lm a s i o vf o r mi nc o m p l e xs p a c ef o r m t h ec e l e b r a t e dt h e o r e mo fb e r n s t e i ns a y st h a tt h eo n l ye n t i r em i n i m a lg r a p h s i ne u c l i d e a n3 - s p a c ea r ep l a n e s t h i sr e s u l th a sb e e ng e n e r a l i z e dt or 【”+ ，f o r 仃s7a n dg e n e r a ld i m e n s i o nu n d e rv a r i o u sg r o w t hc o n d i t i o n ，s e e 【1 7 】a n d t h e r e f e r e n c et h e r e i nf o rc o d i m e n s i o no n ec a s e f o rh i g h e rc o d i m e n s i o n ，t h es i t u a t i o n b e c o m e sm o r ec o m p l i c a t e d ，d u et ot h ec o u n t e r e x a m p l eo fl a w s o n o s s e r m a n1 3 1 】， t h eh i g h e rc o d i m e n s i o nb e r n s t e i nt y p er e s u l ti sn o te x p e c t e dt ob et r u ei nt h em o s t g e n e r a l i t y h e n c ew eh a v et oc o n s i d e rt h ea d d i t i o n a ls u i t a b l ec o n d i t i o n st oe s t a b l i s h ab e r n s t e i nt y p er e s u l tf o rh i g h e rc o d i m e n s i o n i nr e c e n ty e a r s ，r e m a r k a b l ep r o g r e s s h a sb e e nm a d eb y 【2 3 1 ，【2 4 ，【3 9 ，【4 1 】a n d 【4 3 】i nb e r n s t e i nt y p ep r o b l e m so fm i n i m a l s u b m a n i f o l d sw i t hh i g h e rc o d i m e n s i o na n ds p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d s t h e k e yi d e ai nt h e s ep a p e r si st of i n das u i t a b l es u b h a r m o n i cf u n c t i o n w h o s ev a n i s h i n g i m p l i e st h em i n i m a lg r a p hi st o t a l l yg e o d e s i c w eg e tb e r n s t e i nt y p et h e o r e m so f n d i m e n s i o nl a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d si nq u a t e r n i o ns p a c e ”掣r 4 ”b yu s i n gt h e t h es i m i l a ri d e a ， w ek n o wt h a te x a m p l e so fs p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d sa r ev e r yi m p o r t a n t f o rs t u d y i n gt h e s es u b m a n i f o l d s i nr e c e n ty e a r s ，s o m ee x a m p l e so ft h e s es u b m a n - i f o l d sh a db e e nc o n s t r u c t e db ym a n yp e o p l e f o re x a m p l e r h a r v e ya n dh ，b l a w s o ni n 【2 0 】g a v es o m ee x a m p l e so fs p e c i a ll a g r a n g i a ns u m b m a n i f o l d si n 伊，a n d e s p e c i a l l yt h e yc o n s t r u c t e dak i n do fs p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d sb yu s i n gn o r - m a lb u n d l e s ，a n dd j o y c ei n 【2 5 1 ，【2 6 ，【2 7 l a n df 2 8 】c o n s t r u c t e de x p l i c i te x a m p l e s 3 o fs p e c i a ll a g r a u g i a ns u b m a n i f o t d si n 伊a n da b o r i s e n k oi nf 1 】c o n s t r u c t e da k i n do ft w i s t e ds p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d si nt r sf r o mt h et w i s t e dn o r m a l b u n d l eo fm i n i m a ls u r f a c e sg i v e ni nr 3 t h i si sag e n e r a l i z a t i o no fn o r m a lb u n - d l eg j v e ni n 【2 0 】w i t hd i m e n s i o n3 ，r l b r y a n ti n1 3 】a l s og a v eak i n do ft w i s t e d s p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d si ng 3 t h i sk i n do fs u b m a n i f o l d sa r ed i f f e r e n tf r o m t h et w i s t e ds p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d sg i v e ni n 1 1 f r o mt h ec o n s t r u c t i o n so f t w i s t e dn o r m a lb u n d l eo fm i n i m a ls u r f a c ei n 彤w eg e tal o to fe x a m p l e so fs p e c i a l l a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d s b e s i d e ss p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d si nk i h l e rm a n i f o l d ，t h eg e n e r a l i z a t i o n o ft h e s ek i n do fm i n i m a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d sh a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o nr e - c e n t l y i nf 3 3 】a n d 【a 4 ，8n i c eg e n e r a l i z a t i o no fm i n i m a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d s c a l l e dh a m i l t o n i a n m i n i m a ls u b m a n i f o l dw a si n t r o d u c e da n di n v e s t i g a t e db yy g o h a n dh ea l s oi n v e s t i g a t et h i sk i n do fs u b m a n i f o l d s i n 【1 4 ，【1 6 m 1 】，【2 2 】，【9 】， 3 0 】 a n d 3 2 1 ，t h ea u t h o r sm a d es o m ee f f o r t st oc o n s t r u c te x a m p l e so fh a m i l t o n i a nm i n - i m a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d si nk i i h l e rm a n i f o l d s ，e s p e c i a l l yi nc o m p l e xs p a c e f o r m s ，b ym e a n so fs y m m e t r yr e d u c t i o no ri n t e g r a b l es y s t e m s t h e r ei sa n o t h e r g e n e r a l i z a t i o nw h i c hi sl a g r a n g i a ns u b m a n i f o l dw i t hc o n f o r m a lm a s l o vf o r m a t y p i c a le x a m p l eo ft h i sk i n do fs u b m a n i f o l di sw h i t n e ys p h e r ew h i c hw a ss t u d i e di n 4 2 1 ， 7 1a n d 【n l ，a r o sa n df u r b a n oi n 3 r li n v e s t i g a t e dl a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d s w i t hc o n f o r m a lm a s l o vf o r mi nc “i ng e n e r a lc a s e ，x l c h a ca n dx y ，d o n gi n f 1 2 ja l s oi n v e s t i g a t e dt h i sk i n do fs u b m a n i f o l d s ，a n dt h e yf i n dar i g i d i t yt h e o r e mf o r t h e s es u b m a n i f o l d s i n 【5 】 t h ea u t h o r sd e v e l o p e da ne f f e c t i v em e t h o dc a l l e dt w i s t o rp r o d u c td e c o m - p o s i t i o nt oc o n s t r u c tl a g r a n g i a ni s o m e t r i ci m m e r s i o n so far e a l s p a c e - f o r mm ”( c ) i n t oac o m p l e x - s p a c e - f o r m sm “( 4 c ) l a t e r ，y ，m o h1 3 5 】f o l l o w e dt h e i rm e t h o dt o c o n s t r u c tal o to fe x a m p l e so fs u c hk i n do fl a g r a n g i a ni s o m e t r i ci m m e r s i o n s w eg e t al o to fe x a m p l e so fh a m i l t o n i a nm i n i m a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d sa n d l a g r a n g i a n s u b m a n i f o l d sw i t hc o n f o r m a lm a s l o vf o r mi nc o m p l e xs p a c ef o r m s 4 k e yw o r d s ：b e r n s t e i nt y p et h e o r e m ，q u a t e r n i o ne u c l i d e a ns p a c e ，m i n i m a ll a - g r a n g i a ng r a p h s ，t w i s t e ds p e c i a ll a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d ，t w i s t e dn o r m a lb u n d l e ， a u s t e r es u b m a n i f o l d s ，r e a ls p a c ef o r m ，c o m p l e xs p a c ef o r m ，h a m i l t o n i a nm i n i m a l s u b m a n i f o l d ，al a g r a n g i a ns u b m a n i f o l dw i t hc o n f o r m a lm a s l o vf o r m m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：5 3 d 1 2 5 绪论 拉格朗日子流形是经典力学和数学物理中自然出现的一种研究对象例女d h a m i i t i o n j a c o b i 型偏微分方程系统自然地导致对于切丛的拉格朗日子流形的研究。拉格 朗日子流形本身也具有丰富的几何性质，这些性质自然地应用在弦理论中。在1 9 9 6 年 s t r a n i g e r 。y a u 和z a s l o w 在弦理论的研究中提出一个著名的猜想，即s y z 猜想，这个 猜想的主要意思是有关两个3 维c a l a b i - y a u 流形的镜对称问题，此问题可以转化为 具有以特殊拉格朗日子流形为纤维的丛之间的对偶问题，此猜想又引起了对c a l i b r a - t e d 几何的研究兴趣。尤其是引起了对特殊拉格日子流形子流形的研究热潮由此可 以看出拉格朗日子流形对经典力学、数学物理及弦理论的研究具有比较重要的理论 意义 本文分为三个部分，第一部分包括第一章，我们讨论了四元数欧氏空间h n = j 冲中形如= ( z ，v u l ，v u 2 ，v “3 ) 的m 维拉格朗日子流形的伯恩斯坦问题，以及复 欧氏空间e n 中形如e = ( o ，v u ) 的m 维拉格朗日子流形的伯恩斯坦问题，并得到了 一些相应的伯恩斯坦定理第二部分包括第二章，我们在t r n = c n 中通过扭曲法 丛构造，给出了一种构造特殊拉格朗日子流形的方法第三部分包括第三章和第四 章，通过对 5 】和【3 5 】所给出的复空间形式中的拉格朗日子流形的研究，我们找到了两 个判定法则，一个是判断拉格朗日子流形何时是哈密尔顿极小的判定法则，另外一 个是判断拉格朗日子流形何时具有共形m a s l o v 形式的判定法则通过这两个判定法 则，我们找到了复空间形式中哈密尔顿极小的拉格朗日子流形，及具有共形m a s l o v 形式的拉格朗日子流形的一些具体例子 我们首先研究四元数欧氏空间中有关n 维拉格朗日子流形的伯恩斯坦问题标 准的伯恩斯坦定理是说三维欧氏空间中的整体极小图是平面更为精确地说，设z = ，( ，口) 是定义在2 一维欧氏空间舻上的整体的光滑函数，如果图e = ( 。，y ，( 。，掣) ) 是3 - 维欧氏空间印中的极小曲面，则函数，是一个线形函数，即图e 是一个平面在余 维数为1 的情况，这个结果以被推广n ( n + 1 ) 一维欧氏空间中( n 7 ) ，以及在某种 增长性限制下，这个结果被推广到任意维数欧氏空间中，这些结果可以参考f 1 7 】及 其参考文献中所提到的文献对于高余维数的情况变得比较复杂由于l a w s o n - o s s e r m a n 在【3 l 】中所提出的反例，我们不能希望有关高余维的b e r n s t e i n 型定理在最 6 一般的情况下是正确的因此我们必须在某种适当的条件下来建立有关高余维情 况的b e r n s t e i n 型定理 近年来。有关具有高余维数的极小子流形和特殊拉格朗日子流形的伯恩斯坦型 定理在 2 3 】， 2 4 】， 3 9 ， 4 1 】和【4 3 】取得了显著的进展这几篇文章中的主要思想是寻找 一个适当的次调和函数，然后利用极值原理说明所找到的次调和函数为零，从而说 明极小图是全测地的设m 是( n + m ) 一维欧氏空间r “+ ”中的n 一维极小子流形，并且 可以表示成一个光滑函数，：舻一f y 的图，即吖= p ，( 工) ) 其中z r “在子流 形m 上构造这样一个函数 + q ：一 ! j d e t ( i + ( d r ) 。d f ) j o s t x i n 在 2 3 e p 在 q k ；这个条件下，建立了一个有关子流形m 的伯恩斯 坦定理，他们的这个结果改进了 1 9 】和【1 8 】中的结果w a n g 在【4 1 】中推导出有关函 数胁一q ) _ 1 的一个漂亮的b o c h n e r 型公式在所谓面积递减的条件下，在高余维的情 况下，他得到了一个伯恩斯坦型定理 近年来，由于弦理论的缘故，特殊拉格朗日子流形受到了人们的极大关注，有些 作者试图建立有关特殊拉格朗日子流形的伯恩斯坦型定理，可以参考【2 4 】， 3 9 】和1 4 3 我们知道对于特殊拉格朗日图m = ( z ，( z ) ) 中的光滑映照，( z ) 可以表示成某个函 数的梯度，即存在舻上的光滑函数让( z ) ：j p r 满足，( 。) = v u ，其中，：r ”一 冗“从r f 到舻的光滑映照我们称函数u ( z ) 为势函数t s u i 年i l w a n g 在 3 9 】中利 用在f 4 1 1 中的b o c h n e r 公式得到一些有关特殊拉格朗日图的伯恩斯坦型定理我 们应指出的是y u a n 在f 4 3 1 中用不同的观点也推导出了有关特殊拉格朗曰图的相同 的b o c h n e r 公式y u a n 在 4 3 】中用了一个重要的技巧，即所谓的l e w y 变换，他用这种 技巧证明如下结论：由凸函数牡：r ”一r 所给出的特殊拉格朗日图= 扛，v u ) 一定 是仿射平面。事实上，y u a n 还证明了一个较强的结果，即如果函数u ( 。) 满足_ h e s s ( u ) 一f ( n ) j ，那么特殊拉格朗日图= ( z ，v u ) 一定是仿射平面，其中e ( n ) 是与维数有关 的比较小的正常数， 我们在四元数欧氏空间日“兰兄缸中研究n 。维极小拉格朗日图，其中有如下 方式给出， = ( z ，v u x ，v u 2 ，v 3 ) ：z r “) 7 其中：r n r ，s = 1 ，2 ，3 是冗n 上的光滑函数拉格朗日条件促使这三个矩 阵h e s s ( u 。) 相互交换因此，我们可以选取适当的四元标架使这三个矩阵h e s s ( ，) ( s = l ，2 ，3 ) 在每一点都可以同时对角化我们把w a n g 所给出b o c h n e r 公式应用到我们 所选取的特殊的四元数标架，得出一个有关此类极小拉格朗日图的b o c h n e r 公式 我们利用该公式得到有关此类极小拉格朗日图的如下伯恩斯坦型定理： 定理1 1 设= ( x ，v u l ，v u 2 ，v u 3 ) 是r 4 叫，的n 一维极小拉格朗日子流形如果存在 正常数6 k 0 满足如下关系j a 5 isk ，和+ s + s k t ( - 3 + j ) ， 对于 ，工 1 ，n ) ，s 1 ，2 ，3 ，那么是一个仿射平面 很明显，当函数u 2 和“3 是常数时，就是复欧氏空间c ”中的特殊拉格朗日图结 合w a n g 在1 3 9 】中所得到的结果并1 l l e w y 变换，我们得到了如下伯恩斯坦型定理： 定理1 2 设= ( z ，v u ) 是伊中的极小拉格朗日子流形如果存在一个正常数c 巢满足如下关系j h e s s ( u ) 2 一g j 那么是一个仿射平面 值得提出的是我们所得到的日e s s ( u ) 的下界g 是不依赖于维数的正常数同时 还考虑由三个相同的势函数所给出的极小拉格朗日图，即e = ( z ，v u ，可，v u ) 其 中札是舻上的光滑函数在这种情况下，我们选取适当的l e w y 变换，得到了一个类 似前面所提到的伯恩斯坦型定理： 定理1 3 设= ( z ，x t u ，v u ，v u ) 是r 4 n 中的极小拉格朗日子流形如果存在一个常 数c o 满足如下关系： j a ：町i k ，和+ 岛k + 吼i ( - 3 + 6 ) j 对于i ，j ，k 1 ，n ) ，s 1 ，2 ，3 ) ，那么是一个仿射平面 1 3 第一章四元数欧氏空间中极小拉格朗日图的伯恩斯坦型定理 很明显，当函数u 2 和u 3 是常数时，就是复欧氏空间o - e e 的特殊拉格朗日图结 合w a n g 在【3 9 】中所得到的结果和l e w y 变换，我们得到了如下伯恩斯坦型定理： 定理1 2 设= ( 。，v u ) 是c ”中的极小拉格朗日子流形如果存在一个正常数e 害满足如下关系j h e s s ( u ) 一c j 那么是一个仿射平面 值得提出的是我们所得到的h e s s ( u ) 的下界c 是不依赖于维数的正常数在本 章的最后我还考虑形如= ( z ，v 让，v ，v u ) 其中乱是r ”上的光滑函数在这种情况 下，我们选取适当的l e w y 变换，得到了一个类似前面所提到的伯恩斯坦型定理： 定理1 3 设= ( z ，v u ，v u ，v u ) 是r 4 “中的极小：g - v 格$ 1 日子流形，如果存在一个常 数e 害满足 h e s s ( u ) - c i 那么是一个仿射平面 1 2 准备工作 我们首先回顾一下w a n g 在【4 0 和1 4 1 所得到的一个公式设是舻+ ”中可定向 的礼维子流形，q 是j p + ”上的一个平行n 形式设p 是上任意点，在p 点附近，我们选 取切空间乃的任意可定向的正交标架 e 矗翟。，同时还选取法空间正交标架 ) 。n + ：。m + 子流形的第二基本形式可以表示为：k 玎= 如果子流形具有平行 平均曲率向量，那么整体函数+ f 2 = q ( e 1 ，e 。) 满足如下方程( 详情见 4 0 1 ，【4 1 】) ： a q 十 q ( 醒f ，) 一2 q 啦。h m 触 a g k o t ，卢，k + + q 1 ( 。一2 ) 。p 九。m 1 ) k 危p 。i 】= 0 ( q ) k = q 小。h m + + q 1 ( 。叫。h 砒 1 i ，歹，七n ，n + 1 a ，卢s 几+ m 1 4 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 第一章 四元数欧氏空间中极小拉格朗日图的伯思斯坦型定理 其中是上关于诱导度量的拉普拉斯算子，及q 础。= q ( e 口，即，e 3 ， ，) 等 设g 是四元欧氏空间日“掣j 即上的标准的欧氏度量，同时此度量相对于骨n 中 的三个自然复结构，了和k 还是k s h l e r 度量令u ，= g ( i ，) ，u j = 9 ( 以) 和u 耳= g ( k ，) ，则它们是相对于三个自然复结构的k s h l e r 形式我们称n 维子流形，：驴一 舒“是拉格朗日子流形，如果下面方程成立： l l d i = f u j = r 。k = 0 设是由光滑映照，= ，2 ，3 ) 所定义的一个图，即e = ( z ，( z ) ) ，其中 = ( 片，疗) f p 一舻是光滑映照，s = 1 ，2 ，3 很容易得到图是拉格朗日子流形的充分必要条 件是映照 ，厶，3 满足如下方程组： = 0 = 0 ( 1 2 3 ) = 0 其中t ，j 1 ，n ，很显然，如果五= v ，函数乱。：彬r ( s = 1 ，2 ，3 ) 是形上的光滑函数，那么是拉格朗日子流形的充分必要条件是函数，s = 1 ，2 ，3 满足如下方程： 1 - i e s s