（工程力学专业论文）结构分析中的无网格伽辽金法及其应用.pdf

摘要 无网格伽辽金法是一种新兴的数值计算方法，它采用移动最小二乘法拟合场 函数，因此在计算中只需要求解域内部和边界的结点信息，而不需要任何单元信 息。同有限元法相比，无网格伽辽金法在求解某些力学问题时有着独特的优势， 已成为有限元等传统数值分析方法的重要补充和发展。 本文介绍了无网格法的研究历史和发展现状，对各种无网格方法进行了评 述。着重阐述了移动最小二乘法的基本原理及无网格伽辽金法控制方程的推导过 程。编制了无网格伽辽金法计算程序，讨论了基函数、权函数、结点影响域半径 和结点分布密度等因素对求解精度的影响，并通过算例验证了本文所编制的计算 机程序的正确性。 对现有的各种无网格伽辽金一有限元法耦合方法进行了总结和讨论，评述了 各种方法的优缺点，采用b e l y t s c h k o 、o r g a n 提出的耦合方法初步编制了耦合计 算机程序，并用悬臂梁的算例验证了该耦合方法的可行性。 最后，使用所编制的无网格程序对西溪河联补电站首部枢纽拦河闸坝进行了 分析，通过与有限元的计算结果进行对比分析表明了计算模型的合理性和所编制 程序的正确性。 关键词：无网格伽辽金法、移动最小二乘、罚函数、有限元法、耦合方法 a b s t r a c t e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o di san e wn u m e r i c a lm e t h o d ，m o r ei m p o r t a n t ， m o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o df i to ft h em a r k e tf u n c t i o ni su s e di nt h i s m e t h o d t h e r e f o r et h ec a l c u l a t i o no n l yn e e d st os o l v et h eb o r d e rr e g i o na n dt h e d q 咖e n to f n o d ei n f o r m a t i o n , w i t h o u tt h en e e do f a n yu n i ti n f o r m a t i o n c o m p a r e d w i t ht h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d , t h ee l e m e n t - f l e eg a l e r k i nm e t h o di ns o l v i n gs o m eo f t h em e c h a n i c a lp r o b l e m sh a su n i q u ea d v a n m g 韶，a n dh a sb e m 2 0 m et h et r a d i t i o n a lf i n i t e e l e m e n tn u m e r i c a la n a l y s i so f i m p o r t a n tc o m p l e m e n ta n dd e v e l o p m e n t t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e st h er e s e a r c hh i s t o r yo fm e s h - f r e em e t h o d sa n dc u r r e n t s t a t eo fm e s h - f l e em e t h o d sd e s c r i b e st h ep r i n c i p l eo fm o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d a n dd e r i v a t i o n a lp r o t 呛s so fe f g mc o n t r o l l i n ge q u a t i o n t h e nd e m e n t - f l e eg a l e r k i n m e t h o dp r o c e d u r e si sm a d e ，a n di n f l u e n c ef a c t o r so ft h eb a s i cf u n c t i o n , t h ew e i g h t i n g f u n c t i o n , r a d i u so fi n f l u e n t i a ld o m a i na n dn o d ed e n s i t ya n do t h e rf a c t o r so nt h e a c c u r a c yo fs o l u t i o na r ed i s c u s s e d i nt h ee n d ，a ne x a m p l ew a st o o kp a r ti n t o i l l u s t r a t et h ee o l t e c u l e s so f t h ep r o g r a m d i s c u s s i o na n ds u m m a t i o no ft h ev a r i o u se x i s t i n ga p p l i c a t i o no fe f g m - f e m c o u p l i n gm e t h o da r em a d e t h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so f t h e s em e t h o d sa l e c o m m e n t e d t h ei n i t i a lc o u p l i n gc o m p u t e rp r o g r a mi sm a d eb a s e do nc o u p l i n g m e t h o db r o u g h tf o r w a r db yb e l y t s c h k oa n do r g a n f i n a l l y , t h ef e a s i b i l i t yo ft h i s m e t h o di sv e r i f i e db yc a n t i l e v e re x a m p l e s f i n a l l y , x i x ir i v e rh y d r o p o w e rs t a t i o ni sa n a l y z e db ye f g mp r o g r a m ，a n dt h e f i n i t ee l e m e n tc a l c u l a t i o nr e s u l t so f t h ec o m p a r a t i v ea n a l y s i ss h o wt h a tt h ec a l c u l a t i o n m o d e li sr e a s o n a b l ea n dt h ep r o g r a mi sc o r r e c t k e y w o r d s ：e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ；m o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d ；p e n a l t y f u n c t i o n ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；c o u p l i n gm e t h o d 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 学位论文使用授权说明 们年月如 7 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 年z 月、日 一 笫一章绪论 第一章绪论 1 1 选题意义 为了模拟现代工程系统中的复杂物理现象，电子计算机已经成为必不可少的 分析和模拟工具，以电子计算机为基础的数值方法在现代工程分析和模拟中已起 着举足轻重的作用。自2 0 世纪5 0 年代提出有限元法以来，有限元法已经成为工 程分析和计算中不可缺少的最重要的工具之一，目前人们已经成功开发了大量的 有限元商业软件，并在工程分析中得到了广泛的应用。有限元法最显著的特点之 一就是使用预先定义好的网格将一个无限自由度的连续体离散成有限自由度的 单元集合，从而使获得一个复杂问题的近似解成为可能。然而，正是由于使用了 网格使得有限元法在求解某些工程问题时变得相当困难“，例如在处理材料的 不连续问题时，有限元法需要沿材料的交界面布置单元，由于网格的存在，必然 存在单元协调的问题，特别是当交晃面比较复杂，或者交界面两边需要采用不同 类型单元的时候，网格的划分将会变得很困难，而无网格伽辽金法只需在材料的 交界面上布置结点，在交界面两侧可任意布置结点，采用规则的背景网格积分即 可，前处理较有限元法简单。本文把无网格伽辽会法运用到复合地基上结构的计 算中，解决了有限元前处理中网格划分的难点问题，具有一定的学术意义和工程 应用前景。 1 2 无网格法的研究现状 有限元法是2 0 世纪工程数值分析领域中建立的最重要的计算方法，解决了 大量重大科学和工程问题。随着时代的发展，有限元法遇到了越来越大的挑战， 对许多不连续问题，如动态裂纹扩展、材料相变、以及大变形等，需要在计算过 程中不断地重新划分网格，大幅度地增加了计算工作量；复杂三维结构的有限元 网格生成也是极具挑战性的问题。鉴于有限元的这些缺陷，近几年来国际上许多 著名的计算力学学者，如t b e l y t s c h k o ，w k l i u ，s n a t l u r i ，j t o d e n ， k j b a t h e ，0 c z i e n k i e w i c z 等都对无网格方法进行了大量的研究工作。无网 格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，不需要网格的初始划分 i l 海人学坝l ：学位论史 和重构，不仅可以保证计算的精度，而且可以减小计算的难度。 1 2 1 国外研究历史及现状 早在上世纪7 0 年代研究人员就已经开始了无网格方法的研究，最早的无网 格法之一光滑质点流体动力学法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，即s p h ) 是由l u c y 等0 1 于1 9 7 7 年提出，并被大量地应用于天体物理领域中。j o h n s o n 等 ”提出了归一化光滑函数算法，提高了s p h 法的精度，并使其能够通过s p h 法的 分片试验，可以正确模拟常应变状态；s w e g l e 等“1 提出了s p h 方法不稳定的起因 及稳定化方案；v i g n j e v i c 等。1 提出了克服零能模态的具体方案；m o n a g h a n e “1 对s p h 法进行了总结；s p h 法已被应用于冲击波模拟、s p h 高速碰撞等材料动态 响应的数值模拟等领域。 另外一条构造无网格方法的途径是采用移动最小二乘法( m o v i n g l e a s t s q u a r eh p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，即m l s ) 进行近似。它是通过在互不相关 的结点上的值进行插值得到一个函数，该函数光滑性好且导数连续。在1 9 9 2 年 n a y r o l e s 等“”人最早将移动最小二乘法用于g a l e r k i n 方法，并称之为扩散单元 法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，即d e m ) ，分析了p o s s i o n 方程和弹性问题“”。从 计算力学的角度看， 该方法已具有无网格的特点。b e l y t s c h k o 等人在1 9 9 4 年 对扩散单元法进行了改进，提出无网格伽辽余法( e l e m e n t f r e eg a l e r k i n m e t h o d ，即e f g 方法) 1 4 o 这些改进包括：( 1 ) 对形函数导数考虑得更全面；( 2 ) 采用高阶高斯积分进行区域积分；( 3 ) 引入拉氏乘子处理本质边界条件。目前， e f g 方法已被广泛应用于工程力学的许多邻域，如二维和三维裂纹扩展动态模拟、 三维弹性和弹塑性材料变形、不连续材料的断裂和多相多孔介质渗透模拟等。研 究表明，e f g 方法计算稳定、精度较高，是无网格法中较为成熟的一种方法。另 外，l i u 等“”也利用m l s 近似提出了移动最小二乘再生核( m o v i n gl e a s e s q u a r e r e p r o d u c i n gk e r n e l ) 方法，建立了较完善的理论基础。 第三种无网格法的思想基于单位分解法。d u a r t e 和o d e n 等“”1 利用移动最 小二乘法建立了单位分解函数，由此构造权函数和试函数，再通过g a r l e r k i n 方 法建立离散格式，提出了h p 一云团法，并对这种方法进行了严格的数学论证。 m e n d o n c c a 等“”将该方法用于求解铁摩辛柯梁问题，g a r c i a 等”“将其用于求解厚 板的弯曲问题，o d e n 等。”又将有限元形函数作为单位分解函数，提出了基于云 2 第一幸绪论 团法的新型h p 有限元( n e wc l o u d s b a s e dh pf e m ) 。该方法需要借助于有限元网 格，破坏了“无网格”的部分特性，但能很容易进行h 、p 和h p 自适应分析。l i s z k a 等。”改用配点格式，避免了g a l e r k i n 格式中用于积分计算的背景网格，提出了 h p 无网格云团法( h pm e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ) 。 b a b u s k a 和m e l e n k 等2 1 “将单位分解和有限元法相结合，提出了单位分解有 限元法( p a r t i t i o no fu n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，即p u f e m ) 和广义有限元 法嘲“1 ( g e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，即g f e m ) 。该方法在标准有限 元空间中加入一系列能够反映待求边值问题特性的函数( 如由角点附近精确解的 局部渐进展开而得到的奇异函数) ，并将这些特殊函数与单位分解函数相乘后和 原有的有限元形函数一起构造了新的增广协调有限元空间。用该方法求解动态裂 纹扩展问题时，可以处理任意裂纹形状，并且不需要重新划分网格啪”。 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，即r b f ) 具有形式简单、各向同性等 优点，数学界对其进行了大量的研究，成功地应用于多变量插值中。k a n s a 。1 将径向基函数引入配点法中，用以求解双曲、椭圆和抛物线问题。w e n d l a n d 3 将径向基函数引入g a l e r k i n 法中，建立了相应的无网格格式。c o l e m a n 。”用径向 基函数求解椭圆型边值问题。h o n 等“”采用径向基函数求解两相流问题。 近年来，多尺度科学及多尺度方法的发展使无网格法有了新的发展方向。多 尺度方法是一项基于不同尺度连接的新技术。”，其考虑了空间和时间的跨尺度与 跨层次现象，并将相关尺度耦合。多尺度方法是求解各种复杂的科学技术和工程 问题的重要方法，对于解决与尺度相关的各种不连续问题、复合材料和异构材料 的性能模拟问题以及考虑材料微观力学特性、材料晶格错位、剪切等问题时较为 有用。l i u 等“、3 ”首先将小波与r k p m 相结合，对小波变换与r k p m 之间的关系进 行了较全面、理论性的研究，提出了多尺度再生核粒子方法( m u l t i s c a l e r e p r o d u i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，即m u l t i s c a l er k p m ) “州，并对其收 敛性进行了研究。在应用方面，多尺度r k p m 自适应计算方法被用于求解结构声 学问题、大变形问题、计算流体力学问题、大变形断裂和破坏问题以及剪切带问 题等。 无网格法还可以从许多不同的角度进行构造。p e r r o n e ，k a o ”1 和l i s z k a 、 o r k i s z 3 提出了从有限差分法发展而来的单位分解方法。其他无网格方法还有胞 l i 海人学帧i 。学位论义 质点法( p i e ) 、一般有限差分法、有限点法、自然单元法和小波伽辽金法等。 1 2 2 国内研究历史及现状 国内对无网格方法的研究始于1 9 9 5 年。清华大学的周维垣对无网格方法的 基本理论进行了阐述，并首次将无网格方法应用于岩土工程断裂力学的研究中。 清华大学工程力学系的陆明万和张雄等于1 9 9 6 年以加权残量法为离散方法 进行研究，取得了许多研究成果“”1 ：( 1 ) 以紧支函数作为试函数，以建立了紧 支试函数加权残量法及最小二乘配点型无网格方法，并在此基础上建立了加权最 d , - 乘无网格方法。这些无网格方法吸收了g a l e r k i n 法和配点法各自的优点， 显著的提高了精度和效率；( 2 ) 建立了基于子域法的无网格方法，控制方程的残 差在每个子域内予以消除，避免了目前广泛采用的基于g a l e r k i n 无网格法借助 背景网格积分的做法，是一种真正的无网格方法；( 3 ) 提出了h e r m i t 型无网格边 界格式和含域外结点的无网格法及施加边界条件的位移约数方程法，大幅度地提 高了无网格法的精度，减少了计算量，易于计算机实现；( 4 ) 将其建立的无网格 法成功地应用于求解弹塑性问题、波动传播问题、对流一扩散方程等问题中，充 分显示了无网格法在求解某些特殊问题中的优势。 1 9 9 8 年刘欣、朱德懋“对无网格方法进行了较为深入的研究，提出了一 种按四象限法则来确定覆盖大小的方法，并对边界奇异性半解析无网格方法进行 了初步探讨，提出了基于流行覆盖思想的无网格方法。 庞作会、葛修润等”对无网格伽辽金方法进行了引入、改进和推广研究， 并将该法用于边坡开挖问题，所得的结果与有限元法计算结果十分接近。 湖南大学的龙述尧“”受国家自然科学基金资助对无网格局部边界积分方程 方法进行了研究，提出了弹性力学平面问题的局部p e t r o v - g a l e r k i n 方法。该方 法可以推广到求解非线性问题及非均匀介质的力学问题，在工程中具有广阔的应 用前景。 陈建、吴林志等m 1 采用无网格方法计算了含边沿裂纹功能梯度材料板的应力 强度因子。 陈文“删采用径向基函数提出了边界点法，只需对求解域的边界用结点进行 离散，而不需要离散求解域。 李卧东、王元汉等”采用罚函数法满足无网格法的位移边界条件，给出了罚 4 第一章绪论 因子的选择方案，并用无网格g a l e r k i n 方法模拟了岩体介质中裂纹面实际的应 力状态及计算平板弯曲问题。 清华大学的张见明、姚振汉“2 1 提出了一种新型边值问题求解方法一杂交结点 法，该法将用于杂交边界元法的修正变分原理与移动最小二乘方法相结合，不但 具有边界元降维的优点，而且亦属于一种“真正的无网格方法”，该法既不需要 插值网格，也不需要积分网格，输入数据只是求解域边界上的离散点，域内未知 量的计算也不需要像边界元法中那样，再一次沿边界积分。数值实例表明该法计 算精度高、收敛性好，可以基于三维弹性理论求解宽厚比达到微米级甚至纳米级 的薄型结构问题。 周瑞忠、周小平等嘲研究了无网格方法的权函数问题，提出了求解权函数影 响域半径的自适应方法，计算表明采用自适应影响半径的权函数对求解应力集中 或断裂力学问题具有较大的优越性。 袁振、李子然等嘲1 提出了用无网格g a l e r k i n 法模拟构件在i i i 复合型裂纹 下的疲劳裂纹扩展路径并预估其疲劳寿命的方法，该法能够自然模拟疲劳裂纹的 扩展，不需要网格重构，避免了裂纹扩展过程中计算精度的受损。 1 2 3 主要无网格方法总结 无网格法从产生到现在的二十多年里，已先后提出了十余种无网格方法，他 们之间的区别主要在于所使用的试函数( 如移动最小二乘、重构核函数近似、单 位分解法、径向基函数和p e t r v o g a l e r k i n 等) 。目前已有的主要无网格法小结 如表1 1 所示。 虽然有如此多的无网格方法，但其本质思想是密切相关的。所有这些方法都 有以下的共同点：摆脱了单元的束缚，采用结点信息及其局部影响域上的权函数 实行局部精确逼近，然后通过配点法或伽辽金法对偏微分方程进行求解。 按无网格方法积分求解方式的不同，可将无网格方法分为两大类：一类是目前比 较流行的无网格伽辽金法类( 如d e m 、e f 6 m 、m l p g m 、r k p m 、m l s r k m 和p u m 等) ， 它从微分方程的弱变分原理出发导出求解问题的代数方程。这类方法的特点是求 解精度较高，但计算量大，需要背景网格作为数值积分的积分域；另一类( 如s p h 、 h p c m 和f p m 等) 是基于配点型的无网格方法，该类方法直接在离散点上满足微分 方程或边晃条件以建立求解问题的代数方程。 河海人学坝i + 学位论义 表1 1 主要无网格方法总结 名称代表学者近似方案离散方案背景网格 h p 云团法 o d e n 移动最小- 二乘 g a l e r k i n 法有 ( h p c l o u d s ) 离射单元法( d 酬)n a y r d e s移动最小二乘g a l e r k i n 法有 无网格伽辽金法 ( e f g m ) b e l y t s c h k o 移动最小二乘g a l e r k i n 法有 无网格局部伽辽 a t l u r i移动最小二乘p e t r o v g a l e r k i n无 金法( m l p g m ) 有限点法( f p m )o n a t e 移动最小二乘 配点法无 再生核质点法 ( r k p m ) l i u重构核近似g a l e r k i n 法有 无网格配点法 ( p c m ) a l u r u 重构核近似配点法无 光滑质点流体动 力学方法( s p h ) l u c y t核函数 配点法无 单位分解法 ( p u m ) b a b u s k a 单位分解法 g a l e r k i n 法有 紧支径向基函数 张雄等紧支径向基函数配点法无 无网格法 无网格方法主要依靠形函数逼近来实现，形函数揭示了各种方法的逼近本 质。按形函数逼近方式不同可将无网格方法分为三类：( 1 ) 积分核近似估计类， 这类有s p h 、r k p m 和m l s r k m 等；( 2 ) 移动最小二乘逼近类，这类有d e b l 、e f g m 、 r k p m 、m q m 、f p m 、h p c m 、h p m c m 和p u m 等；( 3 ) 单位分解类，这类有h p c m 和p u m 等。这种分类方法不仅清楚地区分了上述方法的逼近属性，而且找到了它们之间 的内在的联系，如最小二乘逼近( m l s ) 可以组成单位分解函数，m l s 的权函数与 积分核函数可以一致起来，这样的内在联系将会使各种方法相互结合，形成广阔 的发展空间”1 。 1 3 本文所做的工作 与传统的数值方法相比，无网格方法主要有以下优点：( 1 ) 避免了大量的单 元网格划分工作并克服了有限元法中由于场函数的局部近似所引起的误差：( 2 ) 为得到离散的代数方程组仅需要对结点和边界条件进行描述：( 3 ) 场函数及其梯 度在整个求解域内是连续的，无需寻求光滑梯度场的后处理；( 4 ) 无需网格，抗 6 第一帝绪论 畸变能力强；( 5 ) 适合进行自适应分析。 然而，作为一种正处于发展中的新数值方法，无网格法才刚刚起步，在严格 的数学论证、计算效率、边界条件处理和大量应用实例等方面都还不能与成熟的 有限元法相媲美，更未形成有效的通用软件。另外，用m l s 和r k p m 等建立无网 格近似函数时，涉及到对矩阵求逆，计算量较大。与有限元不同，无网格法的近 似函数大多都不是多项式，因而基于g a l e r k i n 法的无网格法( 如e f g 、r k p m 和 m l p g 等) 需要在每个背景网格或结点子域中使用高斯积分以保证计算精度，因而 无网格法的计算量一般大于有限元法。如何提高无网格法的计算效率也是近年来 的研究热点。虽然同有限元法相比，无网格法还不是很成熟，但由于它只需要布 置结点，因此在超高速碰撞、爆炸、裂纹扩展、金属加工成型等邻域中具有广阔 的发展前景。 本文将在以下几个方面开展研究工作： ( 1 ) 采用f o r t r a n 语言编制了平面无网格伽辽金法计算程序，并用经典算例 对程序的正确性进行验测。 ( 2 ) 通过算例，探讨基函数、形函数、结点影响域大小、结点分布密度、高 斯点个数、罚因子的选取以及积分方案等因素对无网格伽辽金法计算精度的影 响。 ( 3 ) 采用f o r t r a n 语言编制了平面无网格伽辽金法一有限元法耦合计算程序， 并与无网格伽辽金法、解析解、有限元的计算结果进行对比。 ( 4 ) 结合工程实例，采用无网格法对一个复合地基上的水闸结构进行了应力、 应变分析，并把计算所得位移、应力结果与有限元的计算结果进行对比，以验证 所编制的程序以及所建立的模型是否正确。 7 第一二章尤i 叫格伽辽会法的肇奉原理 第二章无网格伽辽金法的基本原理 2 1 引言 无网格方法中位移函数的形成和区域积分的实现都可以脱离单元，是因为采 用了与有限元法、边界元法等数值方法不同的插值函数。无网格方法的插值函数 一般有三种：核函数近似方法瞄1 、移动最小二乘法( m l s ) ”1 、单位分解法踟；其中， 移动最小二乘法是目前使用最广泛的插值方法。 移动最小二乘法最早用于构造插值函数来拟合曲线和曲面，它使用随机分布 的结点上未知变量的值来表示试函数，且试函数与有限元法的插值函数一样，具 有局部性质。 本章首先介绍移动最小二乘法的原理，然后对移动最小二乘法的物理意义、 权函数的选取、影响半径的确定等进行讨论。在此基础上推导了无网格伽辽金法 的控制方程，以及对无网格伽辽金法的一些关键问题进行了讨论。 2 2 移动最 b - - 乘法 移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d ，简称m l s m ) ，最早由 l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 在8 0 年代初提出，主要用来进行曲线、曲面的拟合。 1 9 9 2 年n a y r o l e s 等人对其进行了发展，把它用于散射单元法，提出了d e m 方法 ”1 。1 9 9 4 年美国n o r t h w e s tu n i v e r s i t y 的b e l y t s c h k o 对d e m 进行了改造，并 将m l s m 应用到计算力学领域，提出了无网格g a l e r k i n 法( e l e m e n t f r e e g a l e r k i nm e t h o d s ，简称e f g m ) 。它是一种数值分析方法，近年来在数值领域引 起了研究者浓厚的兴趣。移动最小二乘法的提出是对传统加权最小二乘法的进一 步推广。连续性的非奇异性权函数得到不过点拟合的最小二乘法；奇异性的权函 数得到过点拟合的最小二乘法。 2 2 1 移动最小二乘法的基本原理 考虑点x 的邻域( 子域) q 。，它位于全域q 内，为了近似函数在子域q ，的 分布，有限个随机分布的结点可以定义为工，i = l ，2 ，3 ，l ，”，函数“的近似式 8 i l l 海人学顾l ：学位论义 矿，垤q ，可以定义为： u h o ) = 只( x ) q ( x ) = ，( x ) a ( 功 ( 2 - 1 ) 其中，p i ) 表示任意阶的基函数，m 表示基函数的项数，而a ( x ) 表示一个特定 的系数矩阵，与空间坐标了有关。 对于二维情况，基函数p ( x ) 可如下选取： p ( x ) = 1 p ( x ) = ( 1 ，马力7 p ( 力= ( 1 ，x , y ，x 2 ，x y ，y 2 ) 7 p ( x ) = ( 1 ，x , y ，x 2 拼y 2 ，x 3 ，x 2 y ，x y 2 , y 3 ) 7 常数基，m = 1( 2 - 2 a ) 线性基，m = 3 ( 2 - 2 b ) 二次基，m = 6( 2 - 2 c ) 三次基，脚= 1 0 ( 2 - 2 d ) 为确定系数a ( x ) ，在局部范围内构造带权重的二次形式j ( x ) ，并使其取最小值： j ( 力= w ( x t ) 【p r ( a ( x ) 一u f 】= w ( x 一一) 马( 工) 巳( 力一坼】2 ( 2 3 a ) 拉l 1 = 1 这里珂是x 邻域内离散点数，x 的邻域称为x 的影响域。w ( x x 。) 是具有紧 支性质的光滑连续权函数，它为f 结点的权函数在x = o ，y ) 7 点的取值，在x 影响 域内部，w ( x 一毛) 0 ，在其边界及外部w i = 0 ，上式用矩阵形式表达为： j ( x ) = ( p a u ) 7 w ( x ) ( p a u ) 其中，“= ( 甜l ，甜2 ，一，u 。) 7 p = w ( x ) = p , ( x op 2 ( 而) p m ( x i a ( 而) p 2 ( 而) p _ ( 屯 a ( 毛) p 2 ( x n ) p 0 ( w ( x 一葺) 0 00 0 w ( x 一而) 0 00 w ( x 一矗) 9 ( 2 - 3 b ) ( 2 3 c ) ( 2 3 d ) ( 2 - 3 e ) 第二章无网格伽辽金法的基本原理 对( 2 3 b ) 式求导数得： 呈曼：a ( x ) a ( 力一( 力u ：o d a 其中，a ( 功= p 7 w ( x ) p = w ( x 一) p ( ) p 7 ( x 3 ( 2 - 4 a ) ( 2 - 4 b ) c ( 功= p t w ( 功= 【以x 一而) p ( ) ，呱x x o p ( x 2 ) ，w ( x 一矗) p ( 矗) 】 ( 2 4 c ) p ( ) = 【p 1 ( x 3 ，p 2 ) ，p a x , 圹 ( 2 4 d ) 由( 2 - 4 a ) 求解得： a ( x ) = a - 1 ( x ) c ( 功u ( 当a 。( 存在时) ( 2 - 5 ) 把( 2 - 5 ) 代入( 2 - 1 ) 得： h ( x ) = b ( x ) q ( 功= ，( x ) a ( 力= ，( 曲a + 1 0 ) c ( 砷u 将( 2 6 ) 写成： ” 矿( x ) = ，o ) u = 谚( 砒 其中，叩( x ) = p 7 ) a 1 ( x ) c ( x ) = 【磊，杰，无】 称妒( 善) 为形函数，形函数的导数妒( 工) j 为： 妒( 工) = i f 7 a 。c ( x m = p r ( 工) ，t a 一1 ( 力c ( x ) + p 7 ( x ) a - 1 ( 功j c ( 力+ p 7 ( x ) a 一1 ( x ) c ( j 其中，a - 1 ( 力，k = - a - 1 ) a ) ，ia _ 1 ( 曲 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 2 2 2 权函数的选取 权函数及其参数的选取对拟合的效果有很大的影响，一般应遵守以下选取原 1 权函数在求解域内非负； 2 x 点的权函数在自身取最大值，离x 点越近，权值越大，越远权值越小， 且在某个影响半径之外为0 ，即具有紧支性； 河海人学坝i 学位论义 3 l w , d q = 1 ，即具有常态特性； 4 可确定唯一的系数a ( x ) ，即a ( j ) 可逆。 权函数的选取没有理论上的具体规则，可选用指数函数、锥形函数、三角函 数等，只要满足权函数的选取原则即可。 权函数可以表达为两点间距离的函数，即 w a x ) = w ( x 一) = w a r , ) ( 2 - 1 1 ) 其中，f = l l x - x , l l x , x 间的距离。 根据权函数的选取原则，可以提出许多满足这些条件的权函数。如： 1 指数型( 第一类) 钟卜 ，等箬 【0 2 圆椎型( 第二类) 。3 州) ：t - ! 当时 ( 2 一1 3 ) 【0当 ，朋，时 其中，为结点f 的影响域半径，c = o t c , ，1 口2 ，c = 学i h 一q 为t 点 影响域内的构成包围t 的多边形的最小点集，对于均匀分布的结点来说，巳为结 点间的最大距离，k 为正整数。 3 混合型( 第三类) 嘲 喇：j 老( 卜争邬删 1 4 ) 10当 时 其中，占为一正的小量，其它参数符号意义同上。 4 圆椎型( 第四类) 删 毗) ：| 1 _ 6 ( 2 + 8 ( 3 。3 ( 苦) 4 郭删 ( 2 - 1 5 ) w 【) = l z l b ， 1 0当时 纷1q 肘时 o v l 酆 射 第二章无网格伽辽金法的基本原理 四类权函数的形态图如图2 1 图2 4 所示： - 1 图2 1 第一类权函数形态图 图2 3 第三类权函数形态图 2 2 3 结点影响域半径确定 图2 2 第二类权函数形态图 4 图2 4 第四类权函数形态图 影响域半径是指每一插值点权函数的实际作用范围，取值大小与结点分布密 度有着密切的关系，对最终的场函数近似解影响较大。一方面，减小影响域半径 有利于近似解与真实解的逼近，但过小影响域半径会使移动最小二乘法的解不唯 一；另一方面，增大影响域半径又使移动最小二乘法的计算点太多，这不仅增加 了计算量，而且有时会使计算结果失真。因此，我们有必要对影响域半径进行合 理的选择。无网格伽辽金法的结点布嚣有两种形式：均匀分布和加密分布。 对于结点均匀分布的求解域，我们可以取如下形式h 6 1 ： 。厨 邓石 ( 2 - 1 6 a ) 其中，p 为大于1 的系数，s 为求解域的面积，g 为求解域内的结点总数 1 2 河海大学硕士学位论文 f 3 线性基 一= 6 二次基( 2 1 6 b ) 1 9 三次基 对于结点非均匀分布的求解域，可以根据情况采取不同自适应影响域半径的 方法：( 1 ) 背景网格结点与无网格结点重合，这种情况下可以根据背景网格的尺 寸来随时改变影响域半径，也就是对每个结点进行插值时，比较插值点周围的网 格的边长，选取最大的边长，。对于线性基，根据经验，影响域半径取为r 耵i = 1 熨， 即能满足上述要求。这种方法还能基本保证影响域内的结点的分布较为均匀。( 2 ) 背景网格为规则网格，背景网格结点与无网格结点不重合，这种情况下可以采取 控制高斯点( 结点) 影响域内的结点数，具体方法为先取2 5 珀q 影响域半径， 搜索高斯点( 结点) 内的所有结点，然后选取距离最近的疗个结点，根据经验，根 据基函数为线性基、二次基、三次基，月分别取1 5 、2 5 、3 0 即可满足要求。 2 3 无网格伽辽金法 无网格伽辽金法。3 “( e l e m n e t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，即e f g m ) 是一种基 于移动最小二乘近似的无网格方法，它求解力学问题的总体过程与有限单元法大 致相似，无网格伽辽金法可以看作是在力学模型上进行的一种计算方法。首先将 待求解的结构进行离散化，即在整个求解域上分布若干个点作为结点，然后以域 内任意一未知点( 如高斯积分点或结点) 为中心作一影响域( 该影响域可以是圆 形、矩形等) ，该影响域即为插值子域，以该插值子域内的结点作为插值点，应 用加权最小二乘法构造该插值子域内结点的形函数，再由这些结点形函数构造出 该插值子域的近似函数；然后通过引入拉格朗日乘子来施加位移边界条件，应用 变分原理导出整体方程，最后求解整体方程组，求得结点处的位移，再由位移拟 合出域内任意点的位移、应变、应力。这种方法计算稳定，精度较高，是无网格 方法中较为成熟的一种方法。 2 3 1 控制方程 对于小变形的线弹性问题来说，其控制方程为： v f l 口+ b = 0在q 内 ( 2 1 7 a ) 第二章无网格伽辽金法的基本原理 o g n = t u = 1 1 在r f 上 在r - 上 ( 2 1 7 b ) ( 2 1 7 c ) 其中，q 为求解域；r i 为力边界；l 为位移边界；u 是q 中任一点位移矢量；o 是与“对应的应力张量；b 是体力矢量；i 、面分别是边界面力和位移矢量，甩为 边界法向单位矢量。 方程( 2 1 7 ) 对应的能量泛函的弱变分形式为： l j ( v ，) g 耐q 一钿7 由d q i , s u 7 画玎一【以7 和一- ) a t i , , 8 1 1 7 e 3 , t r = 0 v 钿h i , 双h o ( 2 1 8 ) 其中，e l 为位移函数，丸为拉格朗日乘子，钿和戮分别为u 和k 对应的虚函数。 v 。是微分算子v 的转置。和日。表示1 阶和0 阶的s o b o l e v 空间。 因为无网格法不能自然满足边界条件，故采用拉格朗日乘子来强制满足边界 条件。 在l 上，a 由七个互插值得到： k 九( 的= m 互= n 一 ( 2 1 9 a ) ，；l 确：吲 l 勺j 其中，n = l 曼2 是i 警 j = = 元万。，五，乙不毛 而，是拉格朗日插值基函数 ，：竖二亟基兰二苎2 ：! 三二兰= ! ! ! 三二兰1 2 ：坚二鱼2 ( 而一x o x x ，一五) ( 而一而一i ) ( 而一而“) ( 一) u = v = 固恤 = b u 任一点x 处的应力o = d e = d b u 1 4 ( 2 1 9 b ) ( 2 1 9 c ) ( 2 - 1 9 d ) e c 9 ) ) o 1 a b 2 一 o o 一 2 2 2 2 ( 一 一 ( 2 2 河海大学硕士学位论文 其中“：f 1 1 l v j b = 西= 魂0 三屯0 ：丸0 三l 稿z 丸j u - - n 耳呓v ；虻吒 d = 1 l 0 0 0 0 1 一 2 ( 2 - 2 1 a ) ( 2 - 2 1 b ) ( 2 2 l c ) ( 2 - 2 1 d ) ( 2 - 2 1 e ) 对于线弹性平面应变问题，只需将上面的应力矩阵中的e 换成e ( 1 一2 ) ， l 6 ( “) 7 b r d b u d q + l5 ( 乃7 n 叩u + d r f 6 ) 7 矿n - k a = 6 ( u ) 7 叩飞d q + f 5 ( u ) 7 甲初r + 6 ( - ) 7 n 7 砒玎( 2 - 2 2 a ) 嚣矿市r 篙q 2 2 s ， 阿笋c 吖s 盯 r u 矿 1r 嚣研卜z z c ， o鲰一钞监钞 监缸。盟玉 o却一钞锄一钞 盟苏。堕出 。 却一钞铆一钞 纽知。 舰百 第二章无网格伽辽金法的基本原理 g 。斟u 嘲 ( 2 - 2 3 a ) 具甲， k ：rb 7 d i k q( 2 - 2 3 b ) j t l g ：一f 西7 n d i ( 2 - 2 3 c ) j r 。 f = r b d q + f o r v d r ( 2 - 2 3 d ) q = - n 7 解 ( 2 - 2 3 e ) 在q 内及在r ，、r 。上作数值积分，得到k 、g 、f 、q 后，可求出方程( 2 2 3 a ) 的数值解u ：由u 按m l s m 拟合出的u ，便是问题( 2 1 7 ) 的数值解。 2 3 2 位移边界条件的实现 无网格方法的近似函数不精确通过结点变量，必须采用一定的方法来引入已 知位移边界条件。常用的方法有：l a _ g r a n g e 乘子法、修正的变分原理法、罚函 数法及与有限元耦合法等。 2 3 2 il a g r a n g e 乘子法 求解偏微分方程的时候，l a g r a n g e 乘子法1 1 经常用来引入基本边界条件。 对于基于变分原理的无网格方法，该方法最早用来引入边界条件。引用l a g r a n g e 乘子旯构造新的泛函 i - = 兀，+ h ( u 厂u ,