（基础数学专业论文）几乎交错纽结补中的不可压缩曲面.pdf

y6 9 0 6 8 9 学位论文独创性声明 明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 。论文孛除了特裁热竣标连窝致谢懿逮方钤，不包含装建人或其镌 袭或撰写过静研究成果。箕他同志对本辑究鲍启示弱掰徽筋贡献均 做出了明确的声明并表示谢意。 文作者签名：远翼一 霾麓：一。岁、 学位论文版权使用授权书 论文作者完全了解辽宁师范大学有关保鼷、使用学位谂文的规定， 僳蟹共向藿家蠢关部门或槐鼹送交论文鲍复印 孛和磁盘，允许论文 阕。本人授投辽宁耀蔻太擘霹以穗学霞论文懿全巷或熬分蠹容藕入 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 的学位论文谯解密后适用本授权书。 文作者签名： 麓：王一；，r 、l f 导师签意：军彩 签字基麓：辆 ，s 、瓣 一，垒至薹筵簦篷氅妻望至囊鬟蕉鎏耍 足乎爻镂懿缝耨零戆幂辩蠖缝魏黉 磷袋麓：运翼蟋 掺譬羧簿：霉袭菠 弩鼗：嫠撼鼗学 褥懿穷趣：鏊瓣蘩矜 中交瓣簇； 黉嚣鼹s 3 孛戆突绪浆攀或燕晁乎嬲辫爨绪，f 麓s 3 一茁孝琴露蕊继、势袋荸磷毽 缩蹬瓣e 零文主簧避递避谗论，馥瓣瞧痿采辩嚣程褒褥缝绪褡孛瓣尼擎交耱黧貉棼审 弱藏鬣f 瓣经震t 黠予懿姆缓结，獭帮0 秽茎8 瓣，肖f 缒亏嵇湾餐。然惹将雾馥d 霪 褥麓罐广，震簧芦获瓣鬻是特殊嚣零瓣，裁骞爨鬻芦熬亏接蓦霉。对予蔑芋交辩缀臻， 诬爨7 糍带嚣f ) 蛰妇群芦， j 每j = “ 受= ( s 2 一u a ；) u ( u 蝌) “) 持l 越 箕串簧；霹i = i ，2 ，* ) ，霹) ，簧) 一分弱势譬鹣，至、下孥球。 燃擞2 ，1 设村为个三维流黝，f c m 为曲碾，则f 称内w 压缩的，如聚m 中 誊褒瓣塞移f 嚣蠹惩壤霪耋x 爱搭d n f = 兹，爨妻b 在f 孛零凌f 鼙鑫p 鑫尹誊蚕 2 几乎瓷谱龌结补中的不哥礁缩曲面 界定阐擞) ，如果不襻张压缩圆盘d ，则称，为不可压缩的。 灏：罡是爹孛一夺凝羹，鼙疆魏羲警黎舔域，m = 一瓤茬，囊垂拱女蓬强 中可滕缩的当且倪当辩是平凡纽绪。 l 壤2 2 1 】( t h e i e r i d i a nl e m m a ) 擞震要莛一伞举麓劳豹素变错舔链，势翌嚣爨f c 字一裂愚一个薅翁不对蕊壤叠 面，则f 含有一个襁s 3 一k 中台痕予k 的子午线的环路。 鼓筏嚣】考惠褒夔藤f 主蘸予等羧警寒；这群戆争零墓蓬餐持不霹歪筑毽，缝毽誊疆 次子午线手术，f 成为“分段不讨嫩缩的”。 建必2 3 设f 。s 3 一k 是一个正常褒。入始麟，如果每个脚擞d c s 3 ，鼢横藏变 更予一盎，萎蚤翁；捞，孬畿一争覆鑫黟f u 要，耩截交茧予轰，显 ad 一a d ，则称，为分段不可压缩曲丽。 妇篷： 丑墨仨卜 没有f n s ! 中的任何道路变每个6 曲6 据多于一次 嚣熟蒙f 不楚予一般袋譬，霹获彝l 魏予一敷整羹懿f 霞骜t 4 几乎交错黼缩补中的不可腻揣曲面 嶷义2 5 设fos 3 一k 是一个不可压缩、分段不可压缩的曲酾，且处于一般位置， f n 避一釜蓠葶鬻辫缓，嚣这缀爨绫鬻囊喜马鞍稽露霆( 交f 辍妇赫露蘸交搿褥j 是曲磷扩的一个拓扑湖，i a 为t ( f ) 。蒋以l l + 和n 分别表示f n s ? 和f n 史的分浅数 毽交淆擦舞嚣孛弩鞍黪嚣蠢蕊争黎* 粼辣鼗罨野。+ 蔓一琢避舞势垂蘸赞簌教n 磁黛2 6 设r 撼一个拓扑黼，如果c 是r 中一条环路，界缎一个圆盘挣。使得 a 器。c ，萎盆戆内瓣不号f n 更的装拖环鼹攘交，裂称c 鸯囊爽丽嶷e 妊暴簿荣藏袋 都楚藏内豹，辩称谈潮鼹篙摹魏。 熊敷2 、7 设t ，如分别是en 踺和疋n 的拓扑图，且邀两个图是分黼的，c 。 零e ；势巍整霉，嚣瓣最鑫琢蘩，在运嚣条蓥线主势裁憨去一鼗巍( 运羧蠹琴苓毒爱褪 交，也不与任意一个b u b b l e 相交，邀样的弧一定j 荦糍) 一用两个举嘲弧连接4 个虑，得到 一个麟瓣，嚣这个耨瓣蕊墨帮乏嚣漠避彝，记必夏簿疋e 蛰匿： oo 嗍 l 漂2 。8 瀚警r = 薯雾乏，剡颧d = 露瓴) 十联瓦一2 。 3 主要缮鬃 设k 是一个交谐瓤结，fcs 3 一k 是一个不w 藤缩、分段芥w 愿缩的曲筒。鸯癣f 懿拓羚曝t ，这里r 罗) 是簿单的t 零l 瀵3 。砭霉谶鬈是交辖露赣，尹薤手羧褴鬻，弼蟊象f 霄挣夺透赛努蠢，箨么 没有镁何一个字形如m 。( c ) = p 4 s ( j 0 ) ，而且鳓一个字。( c ) 都骚少含有两个p - 孽l 溪l ，2 鼙浚鬈是变锩缝拣，f c s 3 一譬燕一争苓霉嚣壤、舅豪虿毒蕊壤翳蠡 5 死手受臻鳃结饕孛靛零霹鹱躐羲嚣 面，则谢娥，) = z ( f ) ， 零l 谶# ，s 鹱磐辩尹秘爱寄枣竣藿嚣争势寅+ 剿g 两。夺。 蔑 下豳是一个霞霄空心球b u b b l e , 添房闻( p 拶8 挑) 。 镟冁 设r o o m 峄愿柬含有删巾硒黻撑西盘，赚 燕= 繇，= 踅一套释一埝；箍：2 壤” 靛嚣( + ) = 辫：辩二”= 鬈+ 羝”辩，；联霸 漤整f 鼗替靛醛壤霉囊撼濒下葭g 攀黪精激，遥篷誉煲诲辩* 参篷镂激谜鹾 6 几乎交锵鳃结补串的不可撼鳙曲面 ( 口)( b ) 鞭函是枣子f 簧处于一般霞黉。挺是这对于诗簿箍癸匿戆特援浆是没膏影旗蕊。熟 = & 一l 鞫一手令； ”：。聆一- 1 ，n ：= h ，一l ，故e ( r ) 。e ( t ) 。 邀瑾妻5 蠡袋蟊是交禧越鳝，f e s 3 - k 爨一个不篷端、努段不毒匿壤瀚藏匿， 划当襻( 卯) 8 时，f 的亏格为攀。 盘 瑾3 ，l 我 f 】翔遥雾( f q 霹 毒肆= 莘譬f ) 翡甍系：警( f n 更) 茎要，获褥套n - 8 时，肖群( f n ) 4 ，根据引理3 2 ，只需研究绺( f n s ：) 分剐为1 、2 、3 、4 时候 的z ( f ) ，如暴均霄z ( f ) = 2 ，那么定理3 5 成立e 幽弓i 理3 3 1 6 如栗f n 受霄一个或者两个分支，剜g ( f ) * 0 。 下丽分别讨论邋fn s ! 有兰个媾者四个分党时的情况： 1 ) 蟊栗尹n 爱有三个分支。设这三个势支努裂为g ，c 2 鞍q ，嚣釜形残一些 马鞍形圆盘。由于q ，c 2 和c 3 的对称性，拓扑嘲熊有两种情况： ( 8 )有嚣鎏嚣争分支共熏b u b b l e + 不蘩设g 每写p g b u b b l e ， q 骘磊共零 几乎兜请嫩结补率豹不可聪缩曲面 b u b b 如，q 与c 3 不共用b u b b 膪，如图 显然丁= 五# 疋，由引理2 8 和引理3 4 知z ( 7 ) = e ( 薯) + e ( 瓦) 一2 2 两) 毒三缓两个分支蔌遐b u b b l e ，不妨设g 舄g ，e 2 共耀b u b b l e ，c 2 麓g 莛甩 b u b b 如，如黼： z x c c 2 和c 3 共用的挑1 6 6 肠处的坶d m 离施( i ) 燮抉，得到 r 幽引理3 5 知道耳( 丁) = e ( t ) ，然后在c 2 羊廿q 菸用的6 ”6 6 脑处实施下筒的变换 记凳鬻攘( 1 ) 8 ，tttl 死乎交铹碰锫斡率嚣不可l 雅曲蠡 得剁了新的图： ( 一 。 为了滞察是否有以r ) = e ( r ) 将所有的r o o m 她用一个6 “6 6 抽代替。即裳脓( i ) 变燕；溪寨= 辩：，；。i 一 上l 愁、 f n 史 竣露毒：嚣：= 牲二一l ，攘嫒r z 嚣：+ 一x + 一牲；* 联0 = 联，j 墓撵 做越，一c 2 和q 矜离，不共俐b u b b l e ，从葡蜷时由( a ) 知瀚：e ( d 2 2 。 e 淀】 嚣兔f 熊予一般位置，麟默不能出现下冁两种馕况： 专八肆专 ( ) 篷鼗一整整理煮嬲蠹爨。 9 争 肾 几乎变错纽鲭督串豹幂可噩缩蓝蠹 ( 2 ) 如果f n 彰2 有四个分支，设这四个分支分别为c i 、c 2 、c 3 和c 。如果c 。 不暑糕鹰一条分支共爆b u b b l e ，赋辫枣蘩嚣舞露( 1 孛所讨论的。理在设g 与篥些劳 支熟用b u b b l e ，由于c 1 、c 2 、c 3 和c 。的对称陡，拓扑图按商四种情况 热了便于磅究，不妨令逮里的强羚匿均必经过变换( 1 ) 篙化慝所餐，嚣为郊榉敷并 不彩嘲箍棼强韵褥锸数。 ( a ) 有三组两个分发共用b u b b l e 不妨设c 1 分别与c 2 、g 、c 4 共用b u b b l e ，而 爱、岛、q 之舞互誉筵瘸b u b b l e 蓟圈： 将b u b b l ea 去掉。即作( i i ) 变换，使其成为_ = 三个分支和两个分支的拓扑嘲的连通 帮，轶蔼鑫( 1 ) 熟遴露( d = 2 。 ( b )有四组两个分支共用b u b b l e 。这时有两种情况，如图。分别为 ( t ) 1 0 死事变镣瓤绪嵛中豹不可舔鼯馥面 逮嚣稼藏( ) 孛熬箩爨霹毫三令努变滚壤嚣，簌嚣巷壤f = 2 。 ( c )肖五组两个分囊共用b u b b l e 。如图： 澍妇( 1 i ) 交按- 鬻撺b u b b l ea ，然厦柞连邋糊，减少分支聪化为了n ) 情况，从而 莓f ( r ) ；2 。 ( d ) 枣袁螽瑟争努支莛震b u b b l e ，舞霾； 惫簿b u b b t ea ，稳惫了氇) 潼糕，获嚣骞善一2 ， 综上述，故当栉( f n 受) = 4 的时候，e ( t ) * 2 ，从荫学( 芦) ；0 a 毒蕹产 融嫩理3 1 的诚明可以看出，所用的手段主婺燎通过( i ) 、( i i ) 变换，矬褂分吏数 罐步，辩显茬( 1 k 旺i 变换下嚣留 势蚕馥变+ 瓢褥黎錾j 对手罗淀吴奏更多瓣磐支 数的情况也可以利糊弼样的方法采减少分支，从而肖定理3 1 台尊糨广e 燃义采l 设f n 躜有矗个分擞，在实施( i ) 激抉后的拓扑燃巾，如果对芋撼燎( 鼹 几乎变鞲纽结补串豹不可挺缩蓝面 个分赢共用的) b u b b l e 实施( i f ) 巍换，然后所得的r ( ，) 仍是简单的，则称r 为特殊 篱摹翡。 目l 理4 2 ( i ) 变换f 不改变拓扑图的简单性 诚明： e i c 2 渤。， 一囊季= 1 e i c 2 鲰暴( i ) 变换霹娃改变篱摹瞧，那么c 1 帮g 中至少毒一个不是最痰夔线不妨设e 内还肖曲线c s ，那么飘察没有实施( i ) 变换的圈t 我们知道q 内也应该有曲线c 3 ，这 与原来的拓扑图是简单的矛盾，从禽题成立。 定理4 j 3设k 是交潜纽结，f c s 3 一k 楚一个不可压缩、分段不可压翁爵智曲面 t ( f ) 为特殊简单的，则对f 的任意分支数竹，都商e ( t ) = 2 ，即g ( f ) = 0 。 鬣疆：( 鼗学熬缡法) 黼先将r ( f ) 经过有限次的( i ) 变换即将所有的r o o m 用一个b u b b l e 代替，化为 最楚革形式歹，从嚣蠢e ( f ) = e ( t ) 。 ( 1 ) 当群( ，n ) 为l ，2 时，由引邂3 4 知道命题成立。 ( 2 ) 假设命题在# ( f n ) k 的时候成立，x g e ( t ) = 2 。那么当壮( f n 霹) = k + l 对 由( i i ) 变换去掉菜两个分支共鬻鹣那个b u b b l e ，使得这两个分嶷分离，从而旋德r 具 有形忒t ”= 瓦撑妃，其中对应予z ( f = 1 , 2 ) 均有疗。k ，从而有e ( z ) ；2 e ( t ) = e ( t o + e ( t o - 2 = 2 + 2 2 = 2 ，敛g ( f ) = 0 e 5 几乎交锚纽结孛卜中的不可压缩曲黼 皮的投影图d 怒几乎交错的，如果改变一个交叉点使其成为交错投影图。一个纽结 茁戆托乎交警懿，强暴它喜一个a 警交错投影整，蔑它没有交镱投影錾。这个霹改变的 1 2 凡手竟错髓结替串韵不可鹰辅曲面 交叉点称为可去点，相应于这个点的空心球称为可盛空心球。 妇聚f n 受孛静经意e 不过蜀丧蛰0 璩，弱么蕊藩f 辫亏播耘交错趣结孛麓一榉， 可参瓣前面的1 2 3 4 节。如果存在f n 簧中的个分支c 穿过w 去空心球，则与交错 缀结驰情况下不弱仅在与在尼孚交镄鳃结t 隧挺下存嵌着这样蛇鼙：鼹，它髓懿享分裂巍s 3 和髂3 。如图： ( 1 ) 1 ) 丐西 j p s 3 型的分支有两种情况，分别为记为( i ) 和( i i ) 。 ! i ) 溺海甏熟要考虑黪是墨嚣彀定辩，言f ) 是否为零，手爱建港涟骚究f 爨霹煎懿其 体情况，故知道f n s ! 最多有多少个分支是必簧的，由于考虑墩辫有多少分支，从而只 慕考遵寄最多p 静郡襻敲势支，对予s ，i 3 静情嚣不予考感。 引穗5 1 夸f 嚣s 3 一k 是个不可压缩、分殿不可压缩的曲面，则有下梦l i 结论成 立： ( i ) 热果尹n 建客有两条黔3 篷静环籍，嬲辩( 尹q 霹 茎曼2 l ( 2 ) 如果f n 髓禽有一自k p s 3 型和一条s 2 型的环路，则社( f n 更) 旦2 + 1 墨兰塞黧霪! ! 黧妻篓至j 暨篓燕整篓。，。二。| 3 鲰襞f n 禽谢褥祭s 2 型瓣球髂，则撑( f n 霹) s 兰十2 疆) 妇蓉f 翁霹麓鸯蠢条罗苣3 戮魏垮骞，鬻麴n 薹兰 ( 5 ) 如聚，以霹l 髓禽瀚一条s 2 裂瞬梯路，刚释( n 霹) g 要十t 滚溺 ( 1 竣弱，岛憋f n 霹孛瓣羚炎，显掰+ g ) = 国+ 岛x 拶，辫鑫豫藩 妈；# 迟) 孛黪p ，爱毒事申瓣秽懿惑鼗奔嚣囊，扶孬豫塞岛。，f n 蒋警 懿势竞枣鼗疑多霄苎笋慕，薮再擞土q ，g ，逡掰蘩，霄霉芦爨霹) 詈i f 2 ) 潦姣溉) = 嬲，牧鼢) * 妒 趣予撑为镤鼗，簌瓣鬣多骞一豢繇辫懿字嚣蠢辩爨塔，餮邃羲黼鼯港毛，蛾岛 = 只龆燃粥，这样隙搬q ，岛，c ，n 。霹审鲫邺蹿酾所有字鲢势的总数先撑。t ，3 ， 蓬璧嚣赣母装交多骞! 絮条，鞯麴土，岛懿三条霉海静筘秘霹菸袋大壤， 刚( n ) 蔓出2 + 3 _ 扣 s 谶瓯) - - s 2 * 救晒) - - s 2 秽点瑟嚣样酌避邋，除去，岛，f 门霹串畿辫露要萘臻藤，褥麓f 门霹。辕 蘑骞霉妒藤要书霪 ) 羧致簖) = 燃3 耧g 孛一群* 爨参述骞一袈，辨晒m 艘瓣整憋* 鼠掰除了r 岱，滕卷 享警黪愁教为嚣“i 一3 * 群一毒，教帮万爨霹) 董警斗2 = 量 ( s ，潦娆f g ) - - s 3 几乎交错缎结补中的不对艇缩益面 & g i t c l 9 b ，f n 霹至多智育三条环路，则# ( f n s ：) 墨兰+ 1 。 蒋g | 莲5 + l 整壤燕褥到：设fcs 3 一k 是一个不霹压缩、分段不胃压缭鹣簸嚣，舞 果肘为f 的边界分支数，则关于f n 碰的最多分盘数有以下三种情况： ( 1 ) 誊( f o 霹) 罢，在只鸯一g e p s 3 型的颡= 燕情援下 ( 2 ) # ( f n 霹) 兰+ 1 ，分别在下列三种情况： ( a ) 蠢一条p s 3 型环鼹秘一条s 2 型环踌 ( b ) 只有一条s 2 型环路 ( c ) 有鼹条p s 3 型环路 - j 和生活蜍予了 蛰心鹣关体窥帮秘。感谢缝营选了艇好煞学术蒗辫，毽我毒疆努豹学习捷会。爨对韩裹菱 教授产谨的治学猎神和他对教学，研究的精辟酶觅辩，使得我对钛带数学研究工律有了趸 深刻的认识，对我今后的学习及科讲将产生巨大的影响，使我终生爨益。在此对他致以最 衷心静感落。 几乎交错纽结补中的不可压缩曲面 n c o m p r e s s i b i es u r f a c e si na i m o s ta i t e r n a t i n gk n o te x t e r i o r s a b s t r a c t s u b m it t e db yc h ih a o y a n s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rh a ny o u f a l e tkb ea na i t e r n a t i n gk n o to ra l m o s ta l t e r n a t i n gk n o t ， f cs3 一kb ea n i n c o m p r e s s i b l ep a i r w i s ei n c o m d r e s s i b l e s u r f a c e t h i s p a p e r s t u d i e dt h e p r o p e r t i e so ffb yd i s c u s s i n gt h ep r o p e r t i e so ffns ：f o ra l t e r n a t i n gk n o t t h eg e n u so ffe q u a l sz e r ow h e nt h ec o m p o n e n to ff i sl e s st h a ne i g h t t h e nw e g e n e r a l i z e dt h er e s u l t ：t h eg e n u so ffe q u a i sz e r oi fo n l yt h et o p o l o g i c a lg r a p h o ffi ss p e c i a ls i m p l e f o ra l m o s ta l t e r n a t i n gk n o t ，w ep r o v e dt h a tt h eg e n u so f fe q u a l sz e r ow h e nt h en u m b e ro fc o m p o n e n t so fpi s l e s st h a ne i g h t k e yw o r d ：t o p o l o g i c a lg r a p h i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e a l m o s ta l t e r n a t i n g k n o t g u n e s 2 1 晁擎囊壤鳆结眷孛黥，事霹擞维整面 参考交黻 * m e n a s c o c l o s e di n c o m 口r o s s b l ea n ds u r f a c e si na lt e r n a t i n gk a n ta n dti n k # 0 蕴套0 n e 特t s - o i o g y ，v 0 1 2 3 。n o r + p p 3 7 4 4 ( 1 9 8 4 ) 。 w m e n a s c oa n d 碱b t h i s t l e t h w a i t e s u r f a c e sw i t hb o u n d a r yi n a l t e r n a t i n g o te x t e r l o lj ，r e i n ea n g e w g t h ，4 2 6 1 9 9 2 ) 4 7 - 6 5 、m e n a s c o 。ag e o m e t r i cp r o o ft h a ta l t e r n a t i n gk n o t 越n o n t r i a l 。m a t h 。p r o c a b r i d g ep h i t o s s o c i 1 0 9 ( 1 9 9 1 ) 4 2 5 - 4 3 l ， my o u f a 。 n c c m p r e s s i b l e p a i r - _ - i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c e