（基础数学专业论文）若干算子的第一特征值沿几何流的正则性.pdf

o nr e g u l a r i t yo ft h ef i r s te i g e n v a l u eo fs o m e o p e r a t o r sa l o n gg e o m e t r y l - l o w d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s u b j e c t ： t u t o r ： m a t h e m a t i c s p u r em a t h e m a t i c s ，、 - 1 u e o m e t r l ca n a l v s l s 里! q 堇：迫圣h 旦塾g a u t h o r ： 垦! 丛i 坠翌鲨鱼坠g m a y2 0 1 0 s h a n g h a i 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明 并表示谢意。 作者签名： 至；髟 日期：z o o 年多月z 石e t 关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论 文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、 硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、 缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文幸， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名 互；层 z , o o 年多月2 6e t “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 问学相期大和位范门学师部读东管攻华主学归向大果并 范成 ，师究文东研论 华的位 在文学人论此 本本用 系 ，使 文和 性论留则位保正学定 的，规釉逊舰 何勾把脚韵舭沿“根触舭婵特么范一砚v 师一呼| l的成华子完意算下同干导人若指本 师 。 导有在所 王二民硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 一一、，- d 易正上应j ，壬i t 舯上，7 一、，石 天i 了芍入叮义1 予y 丫多匕八矿弼一矿玑 主席 ! 毒生蓖等欠投罔 务大学麦欠字争、j ? 友j 髻蜀考欠掀华刺中毙大学教学系 葭莩上丧蚕! j 芎久坂华乐l j 币免六学数字多、 摘要 本文主要研究几个算子的第一特征值在几何流下的正则性问题我们首先研 究了半连续实函数的d i n i 导数与其单调性的关系，进而得出连续函数局部利普 希茨的一个充要条件，为我们研究一般算子的第一特征值的正则性问题做了基础 性的工作然后，我们考虑了p - l a p l a c e 算子的第一特征值沿一般几何流的正则性 问题，证明了它沿一般几何流是局部利普希茨的，作为应用我们还得出了它的一 个比较型定理接下来，我们考虑了y a m a b e 不变量沿一般几何流的正则性问题， 证明了它沿一般几何流是局部利普希茨的，而且是方向可导的最后作为应用， 我们部分的解决了当y a m a b e 度量是数量曲率在单位体积常数量曲率空间上的 极大值点时是否是e i n s t e i n 度量的问题 关键词：d i n i 导数，利普希茨，单调性，p - l a p l a c e ，y a m a b e 常数，正则性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h er e g u l a r i t yo ft h ef i r s te i g e n v a l u eo f s o m eo p e r a t o r s w ef i r s ts t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i n id e r i v a t i v e sa n d m o n o t o n eo fs e m i - c o n t i n u o u sr e a lf u n c t i o n t h e nd r i v eas u 伍c i e n tc o n d i t i o no f l o c a l l yl i p s c h i t zp r o p e r t yo fac o n t i n u o u sf u n c t i o n ，w h i c hp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei nt h es t u d yo ft h er e g u l a r i t yo ff i r s te i g e n v a l u eo fg e n e r a lo p e r a t o r sa l o n g g e o m e t r yf l o w w et h e nc o n s i d e rt h er e g u l a r i t yo ff i r s te i g e n v a l u eo fp - l a p l a c e o p e r a t o ra l o n gg e n e r a lg e o m e t r yf l o w ，w es h o wt h a ti ti sl o c a l l yl i p s c h i t za l o n gt h e f l o w a n da sa na p p l i c a t i o n ，w ec o m et oac o m p a r a t i v et y p et h e o r e mc o n c e r n i n g i t n e x t ，w ec o n s i d e rt h er e g u l a r i t yo fy a m a b ec o n s t a n ta l o n gg e n e r a lg e o m e t r y f l o w ，w ep r o v et h a ti ti sl o c a l l yl i p s c h i t za n dd i r e c t i o nd i f f e r e n t i a la l o n gt h ef l o w i nt h el a s t ，a sa na p p l i c a t i o n ，w eg i v eap a r t i a la n s w e rt ot h ep r o b l e mw h e t h e ra y a m a b em e t r i ci se i n s t e i nm e t r i ci fi ti sal o c a lm a x i m u mo fs c a l a rc u r v a t u r eo n t h es p a c eo fc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r em e t r i c s k e y w o r d s ：d i n id e r i v a t i v e ，m o n o t o n e ，l i p s c h i t z ，p - l a p l a c e ，y a m a b ec o n s t a n t ， r e g u l a r i t y 目录 摘要 泌 a b s t r a c t x i 目录x i i i 第一章引言 1 1 1 研究背景及主要结论 1 1 2 本文中的一些符号和记法 6 第二章d i n i 导数及其性质 7 第三章矿特征值沿几何流的正则性及其应用 1 3 3 1 预备知识1 3 3 2p 特征值沿几何流的正则性1 4 3 2 1 连续性1 4 3 2 2 局部利普希茨性1 6 3 3 p 特征值比较型定理2 1 第四章y a m a b e 常数沿几何流的正则性及其应用 2 5 4 1 预备知识2 5 4 2y a m a b e 常数沿几何流的正则性2 8 4 2 1 连续性2 8 4 2 2 局部利普希茨性3 2 4 2 3 方向可导性3 4 参考文献3 9 致谢4 3 第一章引言 1 1 研究背景及主要结论 自从1 9 8 2 年r s h a m i l t o n 在文【1 6 】中引入r i c c i 流并利用它证明了具有正 r i c c i 曲率的3 维闭流形微分同胚于常截面曲率流形后几何流的方法被广泛的 应用于研究流形的拓扑以及其它性质如1 9 8 4 年g h u i s k e n 在文【2 0 1 中引入平 均曲率流并证明了沿此流凸曲面最终会演化成球面；1 9 8 8 年r s h a m i l t o n 在文 f 17 1 中引入了曲面上的瞰c c i 流用来寻找二维闭流形上的常高斯曲率度量；1 9 8 9 年r s h a m i l t o n 在文f 1 9 1 中引入了y a m a b e 流用来在共形类里寻找流形上具有 常数量曲率的度量而r i c c i 流最后则成功的应用于p o i n c a r 6 猜想的解决 在应用几何流解决问题时，我们往往会应用到相应量沿着几何流的发展方 程，这就要对沿几何流的相应量对时间参数进行求导运算，所以我们希望这个量 沿几何流是可导的，例如黎曼曲率、r i c c i 曲率、数量曲率、体积等等，另外，线 性算子的第一特征值沿一般几何流也是可导的，这可以利用标准的特征值摄动理 论f 2 1 ，3 1 】得到例如p e r e l m a n 在文【3 0 】中引入的算子r 一4 的第一特征值； l m a 在文f 2 8 1 中考虑的l a p l a c e 算子的第一特征值；以及j - f l i 【2 5 】和x 一d c a o 【5 ，6 】考虑的算子c r 一( c i 1 ) 的第一特征值然而，一般而言，相应量沿着 几何流是否可导我们并不知道，一类如数量曲率的最大值和最小值、曲率算子的 最小和最大特征值等等，还有另一类就是非线性算子的第一特征值，这一点和线 性算子不一样，我们没有标准的理论去处理这一类问题对于这些量来说我们不 知道它们沿着几何流是否是可导的，但有时候它们在问题的解决中又起着很重要 的作用我们不得不考虑 我们注意到，在应用中主要是通过对这些量的导数进行积分然后进行估 计的，所以我们并不一定要求这些量沿几何流是可导的，即使可导也不一定要 确切的知道导数是多少，更多的时候我们需要的是一个估计，例如在文 3 0 】中 p e r e l m a n 就是通过厂泛函在复合流下的单调性直接得到算子r 一4 的第一特 征值在r i c c i 流下的单调性的但我们并不会总那么幸运，能找到这样一个复合 流，有时它甚至是不存在的所以考虑导数还是比较一般性的方法，如x 一d c a o f 5 ，6 】在考虑的算子c r 一( c 1 ) 的第一特征值的单调性时就是直接求它沿 r i c c i 流的导数从这些分析可以看出，只要这些量沿几何流是局部利普希茨的就 2 基本上可以满足我们的要求了 我们还发现，在那些不知道是否可导的几何量中，我们所关心的大部分都是 通过对某一光滑的函数( 或泛函) 取最值得到的，如文【1 6 】中正r i c c i 曲率的保持 ( 对应于r i c c i 曲率最小特征值的估计) ，文 17 】中数量曲率的最大值和最小值，文 3 0 】中w 泛函所对应的非线性算子的第一特征值；线性算子的第一特征值也属 于这一类 由于我们是在闭流形上考虑的，对于数量曲率的最大值和最小值、曲率算子 的最小和最大特征值这类几何量来说，连续性甚至局部利普希茨性都是容易知道 的而对于一般非线性算子的第一特征值，沿几何流的连续性都不是可以直接得 到的，更不用说局部利普希茨性质了，当然p e r e l m a n 证明w 泛函的单调性用的 方法有一定的特殊性 由r s h a m i l t o n 在文【1 6 ，1 8 1 中引入的系统极大值原理，在对某些几何量的 估计方面起着相当重要的作用系统极大值原理的证明( 见文【1 8 】) 最终归结为对 数量函数的估计，对数量函数的估计中又用到了它的利普希茨性质及其d i n i 导 数的估计，最后应用利普希茨函数的d i n i 导数的性质完成了证明特殊地，如果 把系统的极大值原理应用于数量函数就是得到了数量函数的估计，它的一个简便 的形式也是由r s h a m i l t o n 在文 1 7 】中引入的，在这篇文章中作者由数量曲率 兄的发展方程 i o r ：a r + 卑一r r 优 直接推出了数量曲率的最大值尼一和最小值i n 分别满足微分不等式 笔芋( 一r ) ， 和 1 d r _ m i n ( n r ) 这里的导数d t 并不是真正意义上的导数，是d i n i 导数中的一个不久b c h o w 和p l u 在文【1 1 】中应用类似的方法推广了r s h a m i l t o n 的系统的极大 值原理，在这篇文章结论的证明中也用到了d i n i 导数的一些性质，不过此时作者 把原来的利普希茨条件放宽到了某种半连续性条件 在书【7 】中，对系统极大值原理证明中的各个方面进行了详细的证明，并进行 了总结其中有一节是专门讲d i n i 导数及其相关应用的不过那里研究的主要是 在紧空间上取极值得到的几何量，只能用于数量曲率的最大值最小值，r i c c i 曲率 3 用于线性或非线性算子的第一特征值上， 因为这些特征值是通过在无穷维空间上取最值得到的 本文主要通过d i n i 导数的方法来考虑某类算子的第一特征值( 可以看作某 个泛函的最值) 在几何流下的正则性问题根据此类问题的一个充分性条件( 定 理1 1 ) ，我们可以知道在一定的假设条件下这类算子的第一特征值沿几何流是局 部利普希茨的，并且可以简单的求出它的分布导数除此之外，当它可导时，这个 分布导数就是它通常意义下的导数做为应用，我们研究了p - l a p l a c e 算子的第 一非零特征值和y a m a b e 常数在一般几何流下的正则性，证明了在光滑几何流下 它们都是局部利普希茨的，应用这个结果我们还得到了一些其它的结果 在第二章中，利用d i n i 导数，针对某类算子的第一特征值( 可以看作某个泛 函的最值1 我们给出了在连续性条件下这些特征值局部利普希茨的一个充分条 件 定理1 1 设m ( t ) 是区间z 上的连续实函数如果对任意的实数t o z ，存在一 个定义在t o 的某个邻域上的连续可导函数m ( t o ，s ) 使得m ( t o ，t o ) = r e ( t o ) 并且 m ( t o ，8 ) m ( s ) j 只要不等号两边有意义就有警( 亡) 百o m ( ，) 百d _ m 。，o 2 如果警( 亡，t ) 局部有界，则m ( t ) 局部利普希茨； 舅对区间z 的任意内点t o ，如果m ( t ) 在t o 点可导，则m 他d ) = 百o m ( 亡o ，t o ) 注1 定理中的玺和瓦d - 都是d i n i 导数，详细的介绍见第二章定义2 1 我们注 意到在这个定理中只要m ( t ) 在t o 点可导，则它的导数就是警( 钿，t o ) 而与函数 m ( t o ，8 ) 的选择无关，利用这一点我们可以简化一些运算 推论1 1 设m ( t ) 是区间z 上的连续实函数假设对任意的实数t o z ，存在 一个定义在t o 的某个邻域上的连续可导函数m ( t o ，8 ) 使得m ( t o ，t o ) = r e ( t o ) 并且m ( t o ，s ) 仇( s ) 如果酉o m ( ，t ) 局部有界，则m ( t ) 局部利普希茨，并且 m ，( t ) 筌百o m ( ，亡) 在第三章中，应用上述结果于p - l a p l a c i a n 的第一特征值( 以下简称为p 特征 值) ，在p 特征值沿几何流的正则性方面，我们得到如下结果 定理1 2 设9 ( ) 是n 维紧黎曼流形m 上的一族g 1 光滑的光滑度量，入1 ，p ( 9 ( ) ) 和，( 亡) 分别是度量9 ( 亡) 所对应的p 特征值和p 特征函数则当m 是闭流形且 4 p 2 或者当m 是带边流形且p 1 时，p 错征值入1 巾( 夕( 亡) ) 作为亡的函数是局部 利普希茨的，并且? 蝴a ：e 刖， (11)dt 、，、， 更精确的，我们有： 丛掣洲躯学， ( 1 2 ) 其中? h ( t ) 氅呈互1 ( 1 v ，( 亡) f ；五；( 7 1 r ( 赛( 亡) ) 9 ( 亡) 一p 塞( 亡) ) ( v ，( 亡) ，v ，( 亡) ) ) a 弛9 c t ) ( 1 3 ) 制北) ) 弘降( 勃) 咖， i m ) | p 毗) 把这个定理应用于2 维闭曲面上的r i c c i 流，在第三章中我们还给出了文 【3 7 】中关于p 特征值的比较定理的更简洁，更具有一般性的证明 定理1 3 江特征值比较定理) 设( m 2 ，g ) 是一个二维定向闭黎曼曲面，且它的欧 拉示性数x ( 舻) 0 都有y ( g ) = y ( 叼) ，再由y a m a b e 度量的定义可 以知道，如果y a m a b e 度量耍是上面所说的一个极大值点，则它必然也是y a m a b e 常数y ( g ) 的一个极大值点，所以我们考虑当一个y a m a b e 度量是y a m a b e 不变 量的一个极大值点时它是不是爱因斯坦的，下面的定理部分的解决了这一问题， 从而也部分的解决了上面的那个开放问题 定理1 7 设m 是维数大于等于3 的闭流形，g 是它上面的一个y a m a b e 度量如 果g 是y a m a b e 常数y ( ) 的一个极大值点且g a m m ，则g 是爱因斯坦度量 1 2本文中的一些符号和记法 在本文中，如果没有特殊说明，那么( m ，9 ( z ) ) 代表一个连通的n 维光滑紧黎 曼流形，我们用r c ( x ) 和r ( z ) 分别表示其上的r i c c i 曲率张量和数量曲率，有时 为了强调度量夕 ) ，我们也记作r c ( 9 ( z ) ) ，r ( 夕缸) ) 简便起见，本文中省略了变量 z ，把相应的量记为( m ，9 ) ，r c ，r ，r c ( g ) ，和r ( 夕) 本文用毗表示度量9 下的体积元，有时也简记为咖；同时用b 表示度量9 下的体积 设h 是黎曼流形( m ，9 ) 上的二阶张量场，记它关于度量9 的迹h 2 。3 g i j 为 t r a ( h ) ，通常省略度量g ，简记为t r ( ) ；记它关于度量g 的无迹部分 一击玑( ) 9 为h o ，简记为h o 本文中记9 y t e t ( m ) 为流形m 上所有光滑度量组成的集合，用9 y 【e t k ( m ) 表示 f f 叽e t ( m ) 赋予c 七一拓扑后的拓扑空间 本文中，所有的积分区域都是整个流形并省略了设f ( x ) 是流形m 上的实 值函数，我们用s u pf 表示函数f ( z ) 的最大值 在考虑几何流( m ，9 ( t ) ) 时，用r c ( t ) 和r ( t ) 表示相应的r i c c i 曲率张量和数 量曲率，也记为r c ( g ( t ) ) 和r ( 夕( 亡) ) 如果没有特殊说明，所有省略时间变量的 与度量g ( t ) 有关的量都表示它在时刻t 的取值，例如鲤o s 表示塞( t ) ，t r ( h ) 表示 t r g ( t ) ( ( 亡) ) 其它的些量也有类似的简记方法 第二章d i n i 导数及其性质 在这一苹我们将研究半连续一元实函数的d i n i 导数的相关性质首先研究 了半连续函数的d i n i 导数的符号与函数本身的单调性的关系，然后以此为基础 给出了半连续函数不同d i n i 导数之间的关系，最后利用这些关系我们得出了一 个半连续函数局部利普希茨的充分条件( 定理2 8 ) ，特殊地在本章最后我们给出 了一类函数局部利普希茨的充分条件( 定理1 1 及其推论) ，在后面的章节中我们 将用它来研究几何流中一类算子的第一特征值的局部利普希茨性质 首先我们来回顾一下d i n i 导数和半连续函数的定义： 定义2 1 ( d i n i 导数) 设，( t ) 是区间( a ，b ) 上的实函数，则f 在t 点处的右上d i n i 导数定义为f 在t 点正向差商的上确界： 警毒t 黜p 半， 右下d i n i 导数定义为f 在t 点正向差商的下确界： d j ( t ) - - l i m i n + f 盟半型， 左上d i n i 导数定义为f 在t 点反向差商的上确界： 百d + f 纠i 籼m s u + p 掣， 左下d i n i 导数定义为f 在t 点反向差商的下确界： 等亭l i 籼r a i n + f 半 由于我们在上面的定义中没有对实函数，做任何假设，所以它的每一个d i n i 导数都有可能取或一o o 定义2 2 ( 半连续) 设f ( t ) 是区间( a ，b ) 上的实函数，我们称，在t 点右上半连续， 如果l i m s u p f ( t + h ) ，( 亡) ；称，在t 点右下半连续，如果l i m i n f f ( t + h ) 厂( t ) ； 称，在t 点左上半连续，如果l i r a s u pf ( t h ) 冬，( t ) ；称，在t 点左下半连续，如 果l 呻i n f ，( 亡一h ) ，( 亡) ；称，在t 点上半连续，如果l i m s u p f ( t + h ) ，( 亡) ；称 ，在t 点下半连续，如果l i 粤蝉，( t + h ) ，( t ) 8 上面的定义均来自书 8 】中下面我们首先来看半连续函数的d i n i 导数与函 数本身的单调性之间的关系 引理2 1 设，( 亡) 是区间( o ，6 ) 上的左下半连续实函数，如果鲁0 ，则，在其 定义域上单调递减 证明任意给定实数e 0 ，定义 ( t ) 亭f ( t ) 一e t 假设对于任意的s ( a ，6 ) 和 t 【8 ，b ) 有五( t ) s 丘( s ) 成立，则 在其定义域上单调递减，然后取- o ，即可 得出，在其定义域上单调递减 下面我们证明上面的假设是正确的：定义1 - ( ，8 ) 【8 ，6 】为依赖于和8 的一 个实数，简记为7 ：二 丁- - s u p t 【s ，6 i ( 亡) 丘( s ) ，te 时，) ) 由题设可知警( s ) 0 ，易计算警一，从而存在一个正实数6 ( s ，) 0 使得下式成立： = ! 垒兰i = ! 二垒2 _ = 型一三 8 ( 2 1 ) 实际上我们很容易验证对于任意的t k7 - ) ，公式五( 亡) ( s ) 都是成立的下 面我们只需证明丁= b 即可 假设存在8 ( a ，b ) 和 0 使得7 b ，由公式( 2 1 ) 可知8 0 ，从而假设不成立，即r = b ，引理得证 口 9 半连续实函数，a 是一个常数，如果 上都是单调递减的 在文献 8 ，1 8 】中都出现过类似的结论，但是这里的结论与他们的有些不同 首先注意到以前的假设中函数，的定义域都是闭区间k ，6 1 或者半闭半开区间 【o ，t ) ，通过仔细的分析可以知道，其中有一部分条件只在边界点才起作用所以 在这里我们假设函数，的定义域是开区间( o ，6 ) ，从而使得我们能够进一步减弱对 函数，的其它要求另一方面，由于这里用的是开区间所以没有了初始时刻值的 概念，取而代之我们在这里主要强调单调性 命题2 2 设，( ) 是区间( o ，b ) 上的左下半连续实函数，则警0 当且仅当厂( 亡) 在区间( a ，b ) 上递减 证明充分性可以直接利用引理2 1 得到；如果函数( t ) 在区间( a ，b ) 上递减，则 警= 吉p 半- 絮p 0 _ 。 从而必要性也是成立的从而命题得证 口 类似地，我们还有以下几个性质 命题2 3 设，( 亡) 是区间( n ，6 ) 上的右上半连续实函数，则髻0 当且仅当，( t ) 在区间( a ，b ) 上递减 证明对函数一，( 一t ) 应用命题2 2 即可证明此命题 口 命题2 4 设，( 】 ) 是区间( o ，6 ) 上的左上半连续实函数，则髻0 当且仅当，( ) 在区间( a ，b ) 上递增 证明对函数- f ( t ) 应用命题2 2 即可证明此命题 口 命题2 5 设，( 亡) 是区间a ，6 ) 上的右下半连续实函数，则警0 当且仅当，( 亡) 在区间( a ，b ) 上递增 证明对函数，( 一t ) 应用命题2 2 即可证明此命题 口 从上面的性质中可以看出，如果一个半连续函数的某个d i n i 导数有确定的 符号，则它就相应的有某种单调性进一步的分析表明，单调性也可以把不同类 型的d i n i 导数联系起来，起到了纽带的作用 1 0 引理2 6 设z 是实数r 上的一个区间，记它的内部为士如果，( t ) 是区间z 上 的一个右上半连续且左下半连续的实函数，则： 警冬o , te 士错) 在z 上单调递减筒髻 0 t 士 证明我们首先证明“如果f ( t 1 是区间z 上的一个右上半连续且左下半连续的 实函数，则，( 亡) 在区间z 上递减等价于，( 亡) 在区间z 的内部士上递减 充分性是显然的，下面我们证明必要性： 设a 是区间z 的左端点，b 是区间z 的右端点，如果a z ，则由f ( t ) 在t = 口 处右上半连续可知s ( a ) l i m s u pf ( a + 九) ；另一方面，由，( 亡) 在士上递减可知对 于任意的t 7 士当0 0 ，亡堂 利用上面两个弓l 理，下面我们给出一个利用d i n i 导数判断一个实函数是否 局部利普希茨的方法 定理2 8 设，( 亡) 是( n ，6 ) 上的连续实函数，如果或髻局部有上界，并且 a 出- i 或髻局部有下界，则，是局部利普希茨的 证明对于任意的8 ( a ，6 ) ，设v ( 8 ) 是8 在( o ，b ) 中的一个连通紧邻域，则不失 一般性，我们可以假设存在正实数a 0 使得在u ( s ) 上警a 或者髻a 第二章d i n i 导数及其性质 并且a _ d t 2 l 一a 或者旦茅一a ，从而我们有a + ( 出- a t ) s0 或者d + ( f 出- a t ) 0 和 d - ( f 出+ a t ) 0 或者d - ( f 出+ a t ) , 0 从而由引理2 6 和2 7 可以知道，一a t 在u ( s ) 上递减，+ m 在v ( s ) 上递增，所以对于任意的t l ，t 2 u ( s ) 我们有 i ( t 2 ) 一，( 亡1 ) l ai t 2 一t l i 即函数，是局部利普希茨的 口 定理1 1 的证明由于m ( t ，t ) = m ( t ) 并且当s 属于t 日q 采个邻域时m ( t ，8 ) r e ( s ) ，从而 警= l i 籼m s u + ptm(t+h)-m(t) 0 ，使得 黪卜雕【n ，c 】 从而在区间( o ，c 】上d + ( m d t ( t ) - a t ) 0 ，在区间【口，c ) 上生学0 从而由定理 2 6 可以知道，m ( 亡) 一a t 在区间a ，c 】上是递减的，由定理2 7 可以知道m ( t ) + a t 在区间a ，d 上是递增的，由这两个单调性计算可得： m ( t 1 ) 一m ( 亡2 ) isai t l t 2 i ，t x ，t 2 a ，c 】 从而m ( t ) 在t = a 处是局部利普希茨的 如果b z ，则用与上面类似的方法我们可以证明m ( t ) 在t = b 处是局部利 普希茨的总而言之，函数m ( t ) 在区间z 上是局部利普希茨的 1 2 对区间z 的任意内点t o ，如果m ( t ) 在这一点是可微的，那么函数m ( t o ，8 ) 一 r e ( s ) 在s = t o 处可导，由m ( t o ，s ) m ( 8 ) 可知，函数m ( t o ，s ) 一m ( 8 ) 在s = t o 处达到最小值，从而： o o ( m ( t o , s 一) - m ( s ) ) i = 百o m 8 s = t o ( 舳) 一m ) ， 一 口s 即m ，( 芒o ) = 筹( ，如) 口 第三章p 特征值沿几何流的正则性及其应用 近些年来，人们对黎曼流形上的p - l a p l a c e 算子越来越感兴趣，许多关于 p - l a p l a c e 算予的第一特征值( 简称为p 特征值) 和几何不变量的关系被发现 f 1 5 ，2 2 ，2 3 ，2 9 1 然而这些结论都是在固定度量的情况下得到的为了在能够应用 几何流的方法得到矿特征值的一些性质，在这章我们主要考虑矿特征值在一般 几何流下的正则性问题 我们首先证明了矿特征值在一般几何流下的连续性( 推论3 1 ) ，进而利用第 一章中的相关结论，我们证明了它在一般几何流下的局部利普希茨性质( 定理 1 2 ) ，同时我们还给出了它在一般几何流下的演化方程利用这个演化方程以及 第一章中的相关定理我们指出当几何流满足一定条件时，矿特征值沿此流具有一 定的单调性( 定理3 3 和定理3 4 ) 最重要的是，我们考虑了p 特征值沿曲面上的 规范化p d c c i 流下的情况，并且在曲面具有负欧拉示性数的假设条件下得到了一 个矿特征值的比较型定理( 定理1 3 ) 3 1 预备知识 设( m ，g ) 是一个连通的紧黎曼流形，它上面的p - l a p l a c e 算子a p 定义为： a p f - - d i v 9 ( i v 硝。2 v ，) 我们记它的第一特征值为a 1 ，p ( 9 ) 定义 g 辨铬器 如果流形m 为带边流形，则a 1 巾( 夕) 也可定义为 a 巾( 夕) - i n f g ( f ，g ) lfw o p ( m ) ，o ) ， 如果流形m 为闭流形，则入1 ，p ( 夕) 也可定义为 h ( 班i i l f 印，9 ) l ，庐( 帆fl f l p 2 ，毗_ 0 ，。) 上面的下确界是一个正实数( 见文 2 7 】) ，并且都能够取到，此时对应的函 数f 称为算子p - l a p l a c e 的第一特征函数( 简称为矿特征函数) ，并且f c 1 q 1 4 ( 0 1 ) 是实数r 上的严格，、函数，又，是可维函数， 从而f ( 8 ) 是严格凸的连续可导函数同时计算可得： 。! i 墨f ( s ) ，+ ，f 7 ( s ) = p i ，+ 8 1 p 一2 ( ，+ s ) d p g 1 s 卜。+ ， 一 所以存在唯一的实数s p r ，使得f ( s 7 ) = m 。i r n f ( s ) ，并且f ( s 7 ) = m 。i r n f ( s ) 当且 仅当厂i f + s 7 l p q ( ，+ s ，) 咖9 = j f 78 7 ) = 0 口 定理3 2 设g l ，夕2 是紧流形m 上的两个黎曼度量，如果它们满足( 1 + s ) 9 1 9 2 ( 1 + e ) m ，则对于任意的p 1 ，下式成立： ( 1 州小坞) 黜 - - ( 1 + g ) 一( n + 詈) 1 6 注意到题设中度量g l ，仍的对称性，在上曲的证明过程甲父抉g l 相仍，口j 得： 且入l , p 趔( 9 1 ) - ( 1 + e ) 一( n + 釉， 从而： ( 1 + 旷似坞) 糍 n ，并且 r c 一三。r g 0 ，t 【o ，t ) 则p 一特征值入1 ，p 0 ( 亡) ) 单调递增 证明对r c 一：r g 0 求迹可得