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东北大学硕士学位论文 摘要 数学抽象度理论及其应用 摘要 数学抽象度分析法由徐利治教授及其合作者在二十世纪八十年代最早提出，后 来又有了进一步的发展该方法给出了数学抽象的定量分析，主要是应用了偏序集 理论和图论等一些数学方法，它有助于揭示具有丰富内涵的数学理论的内在结构 在绪论中，我们对与本文有关的已有的一些研究成果进行了概述，进行了系统 化的整理，并且指出了其中存在的一些疏漏之处，同时进行了修正 徐利治教授等对于数学抽象度分析法的研究提出了一些待解决的问题，其中包 括运用图论工具建立一套形式化的数学抽象度分析法理论并且将这一理论进行应用 的设想本文即是在已有工作的基础之上，沿着这样的方向进行的工作，对于数学 抽象度分析法作进一步的讨论，给出了相对关系度和半核的概念及其它们的布尔矩 阵算法，并且给出这些算法在绝对几何系统中的应用 关键词抽象度；抽象关系度；半核；绝对几何 一一 东北大学硕士学位论文a b s 廿a c t m a t h e m a t i c a la b s t r a c t i o nd e g r e e t h e o r y a n di t sa p p l i c a t i o n s a b s t r a c t t h em e t h o d so fm a t h e m a t i c a la b s t r a c t i o nd e g r e ea n a l y s i sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db y p r o f e s s o rl c h s ue ta l ，i nt h ee i g h t i e so f t h e2 0 t hc e n t u r y ，a n dh a v ef u r t h e rd e v e l o p e d l a t e r t h em e t h o d sq u a n t i t a t i v e l ya n a l y z et h em a t h e m a t i c a la b s t r a c t i o na n dc a l lh e l p r e v e a l i n gt h ei n n e rc o n s t r u c t i o no f m a t h e m a t i c a lt h e o r yw i t hr i c hc o n n o t a t i o nb ym e a n so f t h et h e o r yo f p a r t i a lo r d e rs e ta n dg r a p ht h e o r y ，a n ds oo n i nc h a p t e r1w eg i v eas u r v e yo ft h ep r e v i o u sw o r k sr e l a t i n gt ot h et h e s i sa n dm a k e t h e ms y s t e m a t i c s o m em i n o rf a u l t si nt h er e f e r e n c ea r ep o i n t e do u ta n dc o r r e c t e d p r o f e s s o rl c h s ue ta 1 p u tf o r w a r ds o m eo p e np r o b l e m so nt h es t u d yo f m a t h e m a t i c a la b s t r a c t i o nd e g r e ea n a l y s i sw h i c hc o n t a i n e dt h es u g g e s t i o n st h a tas e to f f o r m a l i z e dt h e o r ys h o u l db ee s t a b l i s h e do nm a t h e m a t i c a la b s t r a c t i o nd e g r e eb yg r a p h t h e o r ya n di t s h o u l db ea p p l i e dt oa n a l y z et h ea b s t r a c t i o nw i t h i ns o m em a t h e m a t i c a l s t r u c t u r ew ea r ei nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3w o r k i n ga l o n gt h el i n eo nt h eb a s i so ft h e r e s u l t so b t a i n e d t h ec o n c e p t so fr e l a t i v er e l a t i o nd e g r e ea n ds e m i k e r n e la l ei n t r o d u c e d t ot h et h e o r yo fm a t h e m a t i c a la b s t r a c t i o nd e g r e ea n a l y s i sa n da l g e b r a i c a la l g o r i t h m sa r e g i v e nb ym e a n so fb o o l e a nm a t r i x m e a n w h i l et h ef i n a lp a r t si ne a c hc h a p t e ra r ei n t e n d e d t oa p p l yo u rr e s u l t si nt h ea b s o l u t eg e o m e t r ys y s t e m k e yw o r d s ：a b s t r a c t i o nd e g r e e ；a b s t r a c t i o nr e l a t i o nd e g r e e ；s e m i k e r n e l ；a b s o l u t e g e o m e t r y i l l 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰 写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：7 证k 日 期：如辫f 2 1 日彳汐 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北走学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 数学抽象度分析法由徐利治教授及其合作者在二十世纪八十年代最早提出( 见 文献 1 ) ，后来又有了进一步的发展，见文献 2 ，3 该方法给出了数学抽象的定 量分析，主要是应用了偏序集理论和图论等一些数学方法，它有助于揭示具有丰富 内涵的数学理论的内在结构在绪论中，我们对与本文有关的已有的一些研究成果 进行了概述，进行了系统化的整理并且指出了其中存在的一些疏漏之处。同时进 行了修正 1 1 抽象度及其布尔算法 数学抽象度是关于数学抽象层次的一种数量刻画因为每一个抽象物都是经历 了一个抽象过程而形成的概念结构，所以处于一条链上的诸抽象物的个数自然就代 表着抽象层次数在抽象度分析时，利用抽象物系统的偏序性将系统表示成有向 图g 妒，e ) ，其中定点集矿即代表抽象物集合，e 为各相邻两点之间形成的边的集 合这样，系统又可以用有向图( o ，1 ) 邻接矩阵4 = h ) 来表示，此处的邻接矩阵实 际是一步可达矩阵，即：设q ，“，v ，嘞= 1 当且仅当从“，步可达“j ，否则a 口= 0 定义1 1 设u i , q5 v ，称最长0 ，一“，) 路的长度为叶关于的抽象度，记为 d e g ( u 小，) 如果不存在“一叶) 路，则规定d e g ( “，u t ) = 0 “，关于“，的抽象度可以由邻接矩阵的布尔积算出在矩阵运算时，规定 0 + 02 0 ，0 + 1 = 1 ，o x 0 = 0 ，o x l - - 0 ，1 1 = 1 算法1 1 易见通过布尔积钟= ) 仍是( o ，1 ) 矩阵，其中m 是正整数，并且 1 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 是m 步可达矩阵，即扩= 1 当且仅当从第m 步可达“，否则口扩= 0 将等价的 抽象物看成是矿中的一个元，因此有向图中不存在回路因为纠小1 为零矩阵，所以 d c g ( “小，) = m x m l o 扩= 1 ) m + l + 。o 当川很大时，直接在图上确定最长0 ，一“，) 路从而得到其长度，此种方法显然 不实用算法1 1 将邻接矩阵一，进行幂运算，一直到零矩阵为止，因为爿p 1 一定是 零矩阵，所以最多算到一。的h 次幂，然后即可从这些最多是州个矩阵中，确定任 意两个抽象物，r 间的抽象度如果秽= o ，m = 1 ，2 ，i v l ，则与定义i 1 相 符合，：规定d e g ( u 。) = o 1 2 抽象关系度及其算法 设“，”e 矿，d e g q 小，) 是最长b ，一“j ) 路的长度，它表示了两个抽 象物“，和“，间的相对抽象程度，那么从另外一个角度，最短乜，一“，) 路的长度表示 了两个抽象物“，和“，间的抽象关系紧密程度 记为 定义1 2 设坼，“，s y ，称最短0 厂“，) 路长度的倒数为u j 关于坼的抽象关系度 r d c g ( u ，l u ，) 如果不存在0 ，- - i j ) 路，则规定r d e g ( u ，u ，) = o 于是o r d e g ( u l u ，) 1 算法1 2 抽象关系度也可由邻接矩阵一。= k ) 的布尔积彳“= g ) 算出，即 一2 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 r d e 9 0 小，) = 1 m m 纠。乒= 1 如果椤= o ，m = l ，2 ，旧，则与定义1 2 相符合，规定r d e g ( 叶k ) = o 由算法1 1 和算法1 2 可见，对描述抽象物系统有向图的邻接矩阵( 通常是稀疏 矩阵) 进行幂运算，最多是从吲个矩阵中，可以同时确定任意两个抽象物“，”j 矿 l 司的抽象度和抽象关系厦，这里充分运用了数学中常用的所谓极大极小性原则 称长度为d e 9 0 ，k ) 的0 ，一“，) 路叫做极大典型链，而称长度为1 r d e g ( u ，i 吩) 的b 广u j ) 路为极小典型链在极大典型链上计算抽象物的抽象物时，恒具有可加 性，但如果某一抽象物“。虽在0 。一1 2 ) 路上，却不在极大典型链上，则通常只能有 如下的不等式关系： d e g ( u ：l “。) + d e g ( u 。k ) - d e g ( u ：b 。) 规定抽象关系度的加法运算如下：设 r - d e g ( u ：l u 。) = 1 m ，r - d e g ( u ol u 。) = l n ， 则 r - d e g ( u ：l u 。) o r d e g ( u 。l u l ) = l ( m + n ) 于是，在极小典型链上计算抽象物的抽象关系度时，也恒具有可加性同样， 若某一抽象物虽在0 。一“：) 路上，却不在极小典型链上，则通常只能有不等式关 系： r - d e g ( u ：l “。) 。r d e g ( u 。r - d e g ( u ：i u l ) ( 1 1 ) 记 r - d e g ( u ： u o ) o r - d e g ( u o i “。) = r - d e g ( u ：l u o l “，) ， 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 称为“：通过关于“。的间接抽象关系度，相应地称r d e 9 0 ：h ) 为”：关于的直 接抽象关系度，那么不等式( 1 1 ) 表明，间接关系度不大于直接关系度 1 3 抽象物系统中的核及其算法 因为抽象物系统的有向图g ( 矿，e ) 不存在回路，于是最小出次占+ 和最小入次占一 均为0 因此集合 k = p e y p ( “) = o ，巧= 仁e 矿p ( “) = 0 ) 都是非空的，其中d - 0 ) 是点”的入次，d + 0 ) 是点”的出次分别称和k 为最初 ( 抽象物) 集和最终( 抽象物) 集 定义1 3 设有向图g ( v ，e ) ，点集h c v 如果h 中任意两个点在g 中不相邻， 则称h 是g 中的一个点无关集 由 4 可知，在抽象物系统中必有点无关集h c v ，对任意的抽象物g h ，存 在v 片，使得从v 一步可达“，把这个点无关集h 叫做抽象物系统中的核 定义1 4 设抽象物集v 7 c v ，“，记 r - d e g ( u v ) = m 戕取一d = g ( u i v 】v e 矿 ， 称之为“关于抽象物集y 的抽象关系度 可见，对任意的抽象物”eh ，关于核的抽象关系度 r - d e g ( u l h ) = 1 算法1 3 求抽象物系统核的分层标号选择法： l ，分层过程将最终集k 中的元标号为l ，为第一层：然后将矿一k 的最终集 吒中的元标号为2 ，为第二层；依此进行下去，在这些层中如果有最初集中的元， 则暂时不标号：一直到y 一巧一一。的最终集= k ，将其中的元标号为m ，为 一d 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 第m 层，结束分层标号过程 2 选择过程首先将中的元全部选出，将此集改记为；其次取 嘿。= 仁e _ 一。l r d e 9 0 i 吒) 1 ) 即嘭一，中的元不能从嘭中的元一步可达( 实际上一。是空集) ；再次取 嘭一：= 0e 一： r d e g ( u l v ：u 屹一。) 1 ) 依此进行下去，一直取到 标号 k = “e k l r a e g ( “i q l j t 3 记h = u ，h 即为抽象物系统的核 注1 1 文献 3 在分层过程中，没有指明除最后一层外，对最初集中的元暂时不 将分层标号选择法反映到邻接矩阵上，在实用中更为方便 算法1 4 求抽象物系统核的矩阵算法 1 首先将邻接矩阵a 。中元素均为0 的行标号为1 ，然后去掉这些行及相应的 列，得到低阶矩阵a ：再将a 2 中元素均为0 的彳亍标号为2 去掉这些行及相应的 列，得到更低阶矩阵4 ：依此进行下去，在这个过程中，如果a ，中某列元素均为0 ， 那么即使相应的行在某一低阶矩阵中均为0 ，仍保留该行和列；一直到零矩眸爿。为 止，此时，这些行所对应的抽象物集即为最初集 2 将一。的行用星号( ) 标记：然后在a 。选择位于已标星号的行中元素全为 零的列( 实际上在a ，一。中不存在这样的列) ，在其相应的行标记星号；再后，在a ，一： 中选择位于已标星号的行中元素全为零的列，在其相应的行标记星号；依此下去， 一直到将a 。中满足条件的行标记星号为止 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 3 标有星号的行所对应的抽象物集即为抽象物系统中的核 注1 2 文献 3 在矩阵算法的第一步骤中，没有指明如果彳。中某列元素均为。 那么即使相应的行在某一低阶矩阵中均为o ，仍保留该行和列 6 一 东北太学硕士学位论文第二章相对关系度与半核 第二章相对关系度 徐利治教授等在文献 2 中，对于数学抽象度分析法的研究提出了一些待解决的 问题，其中包括运用图论工具建立一套形式化的数学抽象度分析法理论并且将这一 理论进行应用的设想文献 3 即是沿着这样的方向进行的工作，本文在已有工作 的基础之上，对于数学抽象度分析法进行进一步的讨论本章我们首先在抽象物系 统中引入相对关系度的概念并给出矩阵算法，然后介绍绝对几何系统，给出相对关 系度及其算法在绝对几何系统中的应用图论中有关最短路算法的研究参见文献 6 1 3 2 1 相对关系度及其算法 g ( v ，e ) 为抽象物系统的有向图，“，q ，v ，其中f ，两两不等如果 r - d e g ( u ，l “，) = r - d e g ( u i l u i ) 0 ， 显然矿( 吩) 0 ，d - ( “，) 0 在上述关系度相等的情形下，我们引入下面的相对关系 度，进一步对抽象物间的抽象关系紧密程度进行辨别 称 定义2 1 g ( v ，e ) 为抽象物系统的有向图，“，叶矿，i # j 如果 r - d e g ( u k ) 0 ， 洲嗄吨，= 鬻，鬻 为有序对( ”，“，) 的相对关系度，其中彤( “，) 是“，的出路中可以到达的个数 东北大学硕士学位论文 第二章相对关系度与半核 布( “，) 是叶的入路中可以从“，而来的个数，矿) 是点“，的出次，d - ( 叶) 是点叶 的入次 因为 r d e g ( u ，l “，) 0 ， 所以矿( ) 0 ，d - ( “) 0 ，并且彬( q ) 0 ，布( 叶) o 显然 从而 o 堕塑蔓l d + ( “，) o 立堕s l ， d 一( “，) 0 s d e g ( u l 虬) 1 关系度和相对关系度之间的关系与作用相当于误差分析中绝对误差和相对误差 之间的关系与作用，下面我们给出相对关系度的一个算法 算法2 1 由相对关系度的定义，显然只需要给出矿( 吩) ，d - ( “，) 以及劈( “，) 和 布 a b 或a ，b t c d 、a b c d 中有且仅有一个成立 定理2 3 3 若a b a b 且a b a ”b ”，则a b a ”b ” 定理2 3 4 如果线段c d 是线段a b 的一部分，则c d 0 为任一正实数，则必有一线段a b ，其长度为a 定理2 5 0 任给一线段a b 和任取一正整数h ，则在a b 中总存在着将a b 等分 为n 等分的那些点， 定理2 5 1 如在取定了单位角以后直角的角度是口，则对大于0 而小于2 口的 任何数，总有角度为卢的角 定理2 5 2 任给一个角z ( h ， ) 和任意取定一正整数”，则总有 z ( h ，k ) 的顶 点而位于它内部的、把z ( h ，) 等分为h 个相等部分的射线 定理2 5 3 对于任何实数x ，在取定了坐标原点和线性单位的直线口上，有且 仅有一个点m ，其坐标为x + 定理2 5 4由直线上一切点构成的有序集合与全体实数组成的有序集合之间 可以建立起保序( 对应元保有同样的顺序关系) 的一一对应关系 定理2 5 5 任给一半径为r 的圆，在此圆周所在平面上有直线a 通过圆内部 的点，则口与此圆的圆周有两个交点 定理2 5 6 对于平面g 上的直线a 、b 、c ，如果c 与、b 相交并有相等的内 错角，则口和b 是平行的 定理2 5 7 对于平面口上的直线a 、b 、c ，如果口和b 同时垂直于c ，则。与 一1 9 东北大学硕士学位论文 第二章相对关系度与半核 b 半行 定理2 5 8 在平面上已知直线外的任一点，至少可以引一直线与己知直线平 行 2 3 绝对几何系统中的相对关系度分析 由绝对几何系统中的四组共1 9 个公理和5 8 条定理( 其中由于定理2 2 0 的3 个 结论在证明时具有一定的先后次序，所以按3 个抽象物来考虑) 之间的推导关系，得 到绝对几何系统有向图的7 9 阶邻接矩阵a 显然，如果证明的方法不同，那么就 会得到不同的矩阵但是我们是在某一给定的抽象物系统中来进行讨论，例如本文 讨论的是文献【1 5 】给出的绝对几何系统，于是矩阵一，是确定的 矩阵一。中等于1 的元素在下面列出，其余元素为0 a i ，2 1 、a l ，2 2 、a 1 ，2 3 、a i 。2 4 、a 2 2 0 、吒，2 1 、a 2 ，2 2 、a 2 ，2 3 、a 3 2 l 、d 3 2 2 、 “3 , 2 3 、“3 , 2 4 、a 3 ，2 6 、a 3 。2 7 、口4 2 1 、a 4 ，2 2 、a 5 ，2 0 、a 5 ，2 1 、a 5 。2 2 、d 6 。2 0 、 口6 , 2 1 、a 7 ，2 0 、a 7 ，2 2 、a 8 。2 2 、a 9 2 3 、a 9 ，2 4 、a l o 2 3 、a l o 2 4 、a l o 2 6 、a l o ，2 7 、 0 1 1 , 2 3 、o l i ，2 4 、a l l ，2 5 、口1 1 。2 7 、a l l ，2 9 、a 1 1 3 1 、a 1 2 2 3 、a 1 2 2 4 、a 1 2 2 5 、。1 2 ，2 6 、 口1 2 , 2 7 、 a t 2 ，3 3 、a 1 2 3 4 、a 1 2 3 6 、a 1 3 ，3 5 、a 1 3 ，3 7 、a 1 3 3 9 、a 1 3 柏、口1 3 ，4 l 、口1 3 ，4 3 、 口1 3 5 3 、a 1 4 ，3 5 、a 1 4 3 7 、a 1 4 。6 9 、1 2 1 5 ，3 7 、a 1 5 ，4 3 、d i s 4 8 、a 1 6 ，3 9 、a 1 6 4 0 、口1 6 ，4 l 、 口1 6 ，4 3 、d 1 6 5 1 、a 1 6 。5 7 、a 1 6 ，6 4 、口1 7 ，3 9 、a 1 7 ，4 0 、a 1 7 ，4 2 、a 1 7 “、a 1 8 7 0 、a l g 7 5 、 口1 9 ，7 0 、a 1 9 。7 5 、a 2 0 2 1 、t 2 2 0 2 2 、a 2 0 2 3 、a 2 0 ，2 4 、a 2 0 ，2 6 、a 2 3 ，2 8 、a 2 3 。3 1 、a 2 4 。2 5 、 a 2 4 ，2 9 、d 2 5 ，3 3 、g 2 6 ，2 7 、a 2 6 2 9 、a 2 6 3 1 、a 2 6 ，3 2 、a 2 7 ，2 8 、a 2 7 。2 9 、a 2 7 ，3 0 、a 2 7 ，3 1 、 a 2 7 ，3 2 、a 2 7 。3 3 、a 2 7 ，3 4 、口2 9 ，5 5 、a 3 0 。”、a 3 0 ，3 4 、a 3 1 ，3 4 、a 3 2 ，、a 3 2 。3 4 、a 3 2 5 3 、 一2 0 东北大学硕士学位论文 第二章相对关系度与半核 a 3 4 6 5 、a 3 5 5 4 、a 3 6 ，4 3 、a 3 6 ，7 2 、a 3 6 。7 6 、口3 7 ，3 8 、a 3 7 ，7 6 、a 3 9 ，4 l 、a 3 9 4 3 、a 3 9 “、 口4 1 4 4 、 口4 l ，4 8 、a 4 1 ，5 0 、a 4 1 。5 1 、口4 2 4 1 、，5 8 、口4 2 6 0 、a 4 3 ，4 l 、口4 3 ，4 5 、, , 7 4 4 ，4 5 、 0 4 5 4 6 、a 4 5 ，4 7 、a 4 5 ，4 9 、0 4 6 ，5 6 、a 4 7 4 9 、a 4 7 ，5 7 、，5 6 、0 5 0 7 2 、a s l 5 2 、a 5 1 , 7 9 、 a 5 2 ，7 9 、a 5 6 5 7 、a 5 6 ，5 8 、吩6 ， 、a 5 1 1 ，5 9 、a 5 8 ，6 0 、a 6 0 6 1 、a 6 0 ，6 2 、a 6 2 ，6 3 、“6 2 “、 口6 3 ，6 5 、口6 4 ，6 6 、a 6 5 ，6 7 、口“，6 b 、a t o ，7 1 、a 7 0 ，7 4 、a 7 2 ，7 3 、1 1 7 4 ，7 6 、a 7 7 7 8 、a 7 8 , 7 9 为了符号的简洁，以下在不发生混淆的情形下，省略群= ( 妒) 中的上标( m ) 彳中元素等于1 的元素在下面列出，其余元素均为o a x 2 1 、0 1 2 2 、a l ，2 3 、a i ，2 4 、a t ，2 5 、a i ，2 6 、t 2 1 ，2 8 、口1 ，2 9 、a 1 3 1 、a 2 2 1 、 口2 , 2 2 、口2 , 2 3 、口2 2 4 、a 2 ，2 8 、a 2 ，3 1 、1 2 3 2 5 、a 3 ，2 7 、a 3 ，2 5 、a 3 ，2 9 、a 3 3 0 、 口3 。3 1 、a 3 ，3 2 、口3 , 3 3 、a 3 ，3 4 、a 5 2 1 、a 5 ，2 2 、a 5 ，2 3 、a 5 ，2 4 、a 5 2 6 、0 6 2 1 、 口6 , 2 2 、口6 , 2 3 、口6 , 2 4 、a 6 ，2 6 、a 7 ，2 1 、 a 7 2 2 、a 7 ，2 3 、a 7 ，2 4 、口7 2 6 、口9 ，2 5 、 a 9 2 1 1 、日9 , 2 9 、口9 , 3 1 、口1 0 ，2 5 、a l o ，2 7 、a l o ，2 8 、a l o 2 9 、a l o , 3 0 、口l o ，3 l 、a l o 3 2 、 口i o 3 3 、 口1 0 ，3 4 、a n ，2 5 、a l i 。2 8 、口儿，2 9 、a ! t ，3 0 、口1 l ，3 1 、a l l ，3 2 、a 1 1 3 3 、a 1 1 3 4 、 口1 1 , 5 5 、口1 2 2 5 、a 2 2 7 、a 1 2 。2 8 、a 1 2 ，2 9 、a 1 2 ，3 0 、q 1 2 3 1 、a 1 2 ，3 2 、a 1 2 ， 、口1 2 、 a 1 2 ，4 3 、口1 2 。5 6 、 口1 2 , 6 5 、a 1 2 ，7 2 、a 2 ，7 6 、a 1 3 3 8 、口1 3 ，4 1 、 口1 3 ，4 3 、口1 3 “、a 1 ，4 5 、 口1 3 ，4 8 、a 1 3 4 9 、a i 3 5 0 、口1 3 , 5 1 、a 1 3 ，5 4 、0 1 3 5 6 、0 1 3 7 6 、a 1 4 ，3 8 、a 1 4 ，5 4 、a 1 4 7 6 、 口1 5 ，3 8 、口1 5 , 4 1 、1 l 1 5 ，4 5 、a 1 5 ，5 6 、a 1 5 ，7 6 、a 1 6 4 1 、a 1 6 ，4 3 、a 1 6 ，“、a 1 6 4 5 、口1 64 8 、 口1 6 ，4 9 、1 6 ，5 0 、a 1 6 5 1 、a 1 6 ，5 2 、口1 6 t 5 6 、 a 1 6 ，6 6 、a 1 6 , 7 6 、口l 卵9 、q 7 4 l 、口1 7 4 3 、 一2 l 东北大学椰i 士学位论文 第二章相对关系度与半核 q 1 7 ，“、a t 7 4 9 、a 1 7 ，5 6 、a 1 7 5 1 、a 1 7 ，6 0 、a 1 7 ，“、a 1 7 ，7 6 、a 18 ，7 1 、a l l l ，7 4 、a 1 9 ，7 1 、 口1 9 7 4 、d 2 0 2 5 、d 2 0 ，2 7 、a 2 0 ，2 8 、a 2 0 2 9 、a 2 0 ，3 1 、a 2 0 3 2 、d 2 3 3 4 、a 2 4 3 3 、如4 5 5 、 口2 6 ，2 8 、a 2 6 2 9 、 口2 6 ，3 0 、l 7 2 6 ，3 1 、口2 6 3 2 、a 2 6 ，3 3 、a 2 6 3 4 、口2 6 ，5 3 、口2 6 5 5 、口2 7 3 3 、 口2 7 ，3 4 、a 2 7 5 3 、a 2 7 ，5 5 、a 2 7 ，6 5 、a 3 0 ，6 5 、a 31 ，6 5 、a 3 2 6 5 、a 3 4 ，6 7 、a 3 6 。4 l 、a 3 6 4 5 、 口3 6 ，5 6 、口强5 7 、日3 6 ，朝、a 3 6 ，7 3 、a 3 6 ，7 7 、口3 9 4 l 、 口3 9 ，“、吗9 ，4 5 、a 3 9 4 8 、 a 3 95 0 、 口3 9 5 1 、 口3 9 ，5 6 、口3 9 ，5 7 、a 3 9 ，5 8 、a 3 9 7 7 、q 1 4 5 、吼1 ：5 2 、 a 4 1 ，5 6 、盘4 1 7 2 、口4 1 7 9 、 口4 2 ，4 4 、 口4 2 ，4 8 、口4 2 ，5 0 、a 4 2 5 i 、a 4 2 5 9 、a 4 2 ，6 0 、 a 4 2 6 l 、a 4 2 ，、口4 3 4 4 、a 4 3 4 6 、 口4 3 。4 7 、4 3 4 1 t 、a 4 3 4 9 、a 4 3 5 0 、a 4 3 5 1 、a 4 3 5 7 、a 4 3 5 s 、a 4 3 7 7 、a “、a 4 44 7 、 口4 4 4 9 、 口4 5 4 9 、a 4 5 5 1 、a 4 5 ，5 6 、 a 4 6 ，5 7 、口“，5 8 、a 4 6 ，7 7 、1 7 1 4 7 ，5 2 、a 4 7 ，7 9 、口4 8 5 7 、 口4 b ，5 8 、 口4 8 。7 7 、口5 0 ，7 3 、口5 l ，7 9 、a 5 6 5 9 、口5 6 6 0 、 a 5 6 7 8 、a s s 6 1 、口5 8 ，6 2 、o 6 3 、 o ，6 4 、a 6 2 6 5 、吼2 。6 6 、a 6 3 6 7 、口“6 8 、a 7 0 ，7 6 、口7 7 7 9 群中元素等于1 的元素在下面列出，其余元素均为0 口l ，2 5 、口1 2 7 、 口l ，2 8 、1 2 1 2 9 、口l ，3 1 、 a l ，3 2 、a 1 孙、口 ，3 4 、a 1 。5 5 、a 2 2 5 、 口2 , 2 7 、口2 , 2 8 、0 2 ，2 9 、a 2 ，3 1 、a 2 3 2 、a 2 。3 4 、a 3 2 1 1 、a 3 ，2 9 、a 3 ，”、口3 ，3 l 、 口3 3 2 、d 3 , 3 3 、a 3 3 4 、 a 3 ，5 3 、口3 ，5 5 、a 3 6 5 、如，2 5 、a 5 ，2 7 、口5 2 8 、口5 2 9 、 d 5 , 3 1 、口5 , 3 2 、d 6 2 5 、 1 2 6 ，2 7 、a 6 ，2 5 、2 9 、口6 ，3 1 、a 6 ，3 2 、口7 。2 7 、a 7 2 p d 7 , 2 9 、口7 ，3 1 、口7 3 2 、a 9 ，3 3 、a 9 ，3 4 、a 9 ，5 5 、a 1 0 ，2 1 1 、a 1 0 2 9 、a l o ，3 0 、口l o 3 l 、 n l o ，3 2 、口1 0 , 3 3 、a l o ，3 4 、a l o 5 3 、a l o 。6 5 、a l l ，3 3 、a 1 1 3 4 、a l ! ，5 3 、a l l ，5 5 、a l i 、 一2 2 东北大学硕士学位论文第二章相对关系度与半核 口1 2 2 8 、a 1 2 ，2 9 、q 1 2 ，3 0 、a 1 2 3 i 、t 1 2 ，3 2 、t 1 2 3 3 、t 1 2 ，3 4 、a 1 2 ，4 1 、t 1 2 , t 5 、口1 2 5 3 、 。 1 2 ，5 5 、t 1 2 ，5 6 、t 1 2 ，5 7 、1 1 2 ，5 8 、t 1 2 ，6 7 、t 1 2 ，7 3 、6 1 2 ，7 7 、6 t 3 ，4 1 、t 1 3 4 4 、口1 3 4 5 、 口t 3 ，4 6 、口1 3 4 7 、n 1 3 4 8 、a 1 3 ，4 9 、t 13 ，5 0 、6 1 3 ，5 1 、1 1 3 5 2 、t 1 3 5 6 、口】3 5 7 、口1 3 5 8 、 口1 3 , 7 2 、口1 3 , 7 7 、口1 3 ，7 9 、g 1 5 4 4 、口1 5 。4 6 、d 1 5 ，4 7 、 g 5 4 8 、q 5 4 9 、a 1 5 5 0 、口1 5 5 l 、 口1 5 , 5 6 、 口l 5 , 5 8 、口1 5 7 7 、a 1 6 4 1 、t 1 6 “、t 1 6 ，4 5 、 口1 6 4 6 、口1 6 ，4 7 、a 1 6 4 8 、 口1 64 9 、 口1 6 ，5 0 、】6 5 1 、6 1 6 ，5 2 、口1 6 ，5 6 、口1 6 5 7 、t 1 6 ，5 8 、6 t 6 ，6 8 、a 1 6 7 2 、6 1 6 7 7 、6 1 67 9 、 口1 7 ，4 1 、a 1 7 4 4 、口1 7 ，4 5 、6 1 7 4 8 、t 1 7 5 0 、 a 1 7 ，5 1 、t 1 7 5 6 、6 1 7 。5 7 、n 1 7 5 暑、 d 1 75 9 、 口1 7 , 6 0 、口1 7 ，6 1 、t 1 7 ，6 2 、6 1 7 6 8 、a 1 7 ，7 7 、6 1 z 7 6 、6 1 9 ，7 6 、t 2 0 2 8 、口2 0 2 9 、口2 0 3 0 、 口2 0 3 1 、口2 0 3 2 、6 1 2 0 3 3 、a 2 0 。3 4 、a 2 0 5 3 、6 2 0 。5 5 、a 2 3 6 5 、口2 6 ，3 3 、d 2 6 3 4 、日2 6 5 3 、 口2 0 ，5 5 、口2 6 6 5 、口2 7 ，6 5 、 6 2 7 ，6 7 、呜o 6 7 、a 3 1 ，6 7 、6 3 2 ，0 7 、6 3 6 ，4 4 、口托4 7 、口3 6 4 7 、 a 3 6 4 8 、 口3 6 ，4 9 、码6 ，5 0 、t 3 6 ，5 1 、口3 6 ，5 7 、6 3 6 5 6 、 a 3 6 5 9 、口3 9 ，6 0 、口坻7 7 、口3 6 7 8 、 口3 9 4 4 、 口3 9 ，4 5 、吗9 ，4 6 、a 3 0 4 7 、6 3 9 4 6 、6 3 9 ，4 9 、 6 3 9 ，5 0 、6 3 0 ，5 1 、口3 9 5 2 、95 6 、 口3 9 5 7 、口3 9 5 8 、 口3 9 ，5 0 、6 3 9 6 0 、6 3 0 7 2 、a 3 0 7 7 、 a 3 9 7 8 、t 3 9 7 9 、口4 1 4 6 、口4 l4 7 、 吼1 4 9 、口4 1 , 5 7 、 口4 l ，5 8 、6 4 1 ，7 3 、6 4 1 7 0 、，4 5 、6 4 2 5 2 、 4 2 5 6 、a 4 2 6 l 、 口4 26 2 、 口4 2 6 3 、4 2 “、 6 4 2 7 2 、t 4 2 ，7 9 、6 0 3 ，4 5 、6 4 3 。4 0 、口4 3 ，5 1 、 口4 3 ，5 2 、口4 3 孙、口4 3 5 9 、 日4 3 ，6 0 、口4 3 ，7 2 、口4 3 ，7 8 、 6 4 3 ，7 9 、a 4 6 4 0 、，5 1 、6 4 4 5 6 、6 4 5 5 2 、口4 5 5 7 、口4 55 s 、 口4 5 ，7 7 、口4 5 , 7 9 、口4 6 ，5 9 、，6 0 、 d 4 6 ，7 8 、a 4 7 ，7 9 、6 4 8 5 9 、口4 8 ，6 0 、口4 8 7 8 、口5 6 6 1 、 一2 3 东北大学硕士学位论文 第二章相对关系度与半核 口5 6 ，6 0 、a 5 6 6 2 、t 7 5 6 ，7 9 、a 5 8 6 3 、a 5 8 ，6 4 、口6 0 ，6 5 、o ，6 6 、2 ，6 7 、1 2 6 2 6 8 4 中元素等于1 的元素在下面列出，其余元素均为0 a 1 2 8 、a l ，2 9 、a t 3 0 、口l ，3 1 、a t ，3 2 、a i 。3 3 、口1 3 4 、a t ，5 3 、a i ，5 5 、a l 。6 5 、 a 2 2 9 、日2 ，2 9 、a 2 ，3 0 、a 2 ，3 1 、c 2 ，3 2 、c 2 ，3 3 、a 2 ，3 4 、a 2 ，5 3 、a 2 ，5 5 、a 2 ，6 5 、 a 3 j3 3 - a 3 73 4 a 3 j5 3 、a 3 7 5 5 、a 3 7 6 5 a 3 7 6 7 a 5 72 8 、a 5 72 9 、a 5 7 3 0 、a 5 j 3 1 1 2 5 ，3 2 、a 5 3 3 、a 5 ，3 4 、a 5 ，5 3 、a 5 ，5 5 、a 6 ，2 8 、0 6 ，2 9 、a 6 3 0 、a 6 3 1 、a 6 3 2 、 0 6 , 3 3 、，3 4 、a 6 ，5 3 、a 6 5 5 、a 7 。2 8 、a 7 2 9 、a 7 ，3 0 、a 7 ，3 1 、a 7 ，3 2 、a 7 ，3 3 、 口7 , 3 4 、d 7 ，5 3 、a 7 ，5 5 、a 9 。6 5 、a t o ，3 3 、t 2 1 0 ，3 4 、t 2 1 0 5 3 、q o ，5 5 、q o ，6 5 、口1 0 ，6 7 、 口1 1 , 6 5 、a l l ，6 7 、a t l 6 8 、0 1 2 3 3 、a 1 2 ，3 4 、口1 2 ，4 6 、a 1 2 ，4 7 、a 2 ，4 8 、a 1 2 4 9 、a 1 2 5 0 、 t 7 1 2 ，5 1 、a t 2 ，5 3 、a 1 2 5 5 、1 2 1 2 ，5 7 、a 1 2 5 1 t 、a t 2 。5 9 、q 2 ，6 0 、a 1 2 6 5 、t 2 1 2 ，t i 7 、“1 2 ，7 7 、 a 1 2 7 8 、a 1 3 “、a 1 3 ，4 5 、a 1 3 ，4 6 、a 1 3 ，4 7 、口1 3 ，4 b 、a 1 3 4 9 、a 1 3 5 0 、a 1 3 。5 1 、a t 3 ，5 2 、 4 1 3 , 5 6 、。1 3 , 5 7 、a 1 3 ，、a 1 3 5 9 、a | 3 ，6 0 、a 1 3 ，7 2 、a 1 3 ，7 3 、a 1 3 7 7 、a 1 3 7 8 、口1 3 7 9 、 口1 5 4 5 、口1 5 , 4 9 、a 1 5 ，5 1 、a t 5 ，5 2 、a 1 5 ，5 6 、a 1 5 5 9 、a 1 5 6 0 、a 1 5 ，7 2 、a t 5 。7 8 、a 1 5 7 9 、 口1 6 ，4 4 、口1 6 。4 5 、d 1 6 ，“、a 1 6 ，4 7 、a 1 6 ，4 8 、a 1 6 。4 9 、0 1 6 ，5 0 、口1 6 ，5 1 、a 1 6 ，5 2 、c 6 。5 6 、 口1 6 ，5 7 、a 1 6 ，5 5 、a 1 6 ，5 9 、0 1 6 ，6 0 、a 1 6 ，7 2 、口1 6 ，7 3 、a 1 6 ，7 7 、a 1 6 7 8 、0 1 6 7 9 、a 1 7 , “、 口1 7 。4 5 、d 1 7 “、a 1 7 ，4 7 、 q 1 7 ，4 b 、a 1 7 4 9 、t 2 | 7 ，5 0 、口1 7 ，5 1 、a 1 7 ，5 2 、a 1 7 5 6 、a 1 7 5 7 、 d 1 7 ，5 8 、a 1 7 5 9 、a 1 7 ，6 0 、t 7 1 7 ，6 1 、a 1 7 ，6 2 、q 7 ，6 3 、a 1 7 ，6 4 、a 1 7 7 2 、1 2 1 7 、1 2 1 7 , 7 s 、 口1 7 ，7 9 、a 2 0 ，3 3 、a 2 0 , 3 4 、a 2 0 , 5 3 、a 2 t l ，5 5 、a 2 0 6 5 、a 2 3 ，6 7 、口2 6 ，6 5 、a 2 6 ，6 7 、a 2 7 ，6 7 、 东北大学硕士学位论文第二章相对关系度与半核 a 3 6 ，4 5 、a 3 6 4 9 、a 3 6 ，5 1 、a 3 6 ，5 2 、a 3 6 ，5 6 、a 3 6 5 9 、a 3 6 。6 0 、口3 6 ，6 1 、a 3 6 6 2 、d 3 6 ，7 2 、 a 3 6 ，7 8 、o m 7 9 、a 3 9 ，4 5 、a 3 9 ，4 6 、吒9 ，4 7 、0 3 9 ，4 9 、a 3 9 ，5 1 、a 3 9 5 2 、q 9 5 6 、a 3 9