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拟周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性 摘要 摘要 本文讨论拟周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性碰撞振子是非线性振动和非光滑 h a m i l t o n 系统的重要模型之一，它的研究与f e r m i u l a m 加速器问题、对偶台球问题、 金属断裂学、天体力学稳定性等相关联。拟周期碰撞振子的l a g - r a n g e 稳定性研究需要 应用k a m 技巧 本文给出了解析以及光滑条件下的拟周期扭转映射的不变曲线定理，并利用这些 定理讨论了拟周期弹性碰撞振子运动的l a g r a n g c 稳定性文章有三个主要部分 一、证明了三个甲面拟周期扭转映射的不变曲线定理 先应用m o s e r 的经典k a m 迭代技巧证明了解析的拟周期扭转映射的不变曲线定 理然后根据拟周期频率的不同情形，分别把上述定理推广到甲均小扭转和频率有理 相关时的小扭转情形 对于甲均小扭转定理，频率只是有理无关，并不满足d i o p h a n t i n e 条件，因此我们 无法处理小分母问题，这里我们采用经典k a m 定理证明中的“截断”方法求解同调 方程，给出坐标变换，并把同调方程求解带来的误差直接放在小扰动中，把它转化为 一般的小扭转映射，从而得到不变曲线的存在性 对于频率有理相关时的小扭转定理，我们先分离映射中对应于频率有理相关和有理 无关的部分对于有理无关的部分类似平均小扭转定理的处理方式有理相关的部分 是对应于变换后的映射的主要部分，我们通过h a m i l t o n 系统的作用一角变换，并把原 系统的角变量作为新系统的时问变量，给出相应的同胚变换，使得变换后的映射满足 一般的小扭转定理的条件，从而得到不变曲线的存在性 二、讨论了解析的拟周期碰撞振子的解的有界性( 即l a g r a n g e 稳定性) 问题 先考虑了渐近线性拟周期碰撞振子在非共振和共振点附近的解的有界性首先把碰 撞系统转化为具有中心对称向量场的h a m i l t o n 系统，再通过h a m i l t o n 系统的一系列 坐标变换把碰撞问题转化为一可积系统的小扰动问题，变换的过程中我们始终保持向 量场的中心对称性，然后运用p o i n c a r 6 映射把它转化为拟周期小扭转映射接下来， 分别应用第二章得到的乎均小扭转定理和频率有理相关时的小扭转定理，得到在一定 条件下，渐近线性拟周期碰撞振子在非共振和共振点附近的相平面上不变曲线的存在 性，从而证明了碰撞解的有界性 再考虑了一类超线性拟周期碰撞振子的解的有界性，同样先把碰撞系统转化为具有 中心对称向量场的h a m i l t o n 系统，然后通过作用一角变换以及尺度变换把它转化为一 可积系统的小扰动问题，接下来的证明与渐近线性拟周期碰撞振子在共振点附近的情 拟周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性 摘要 形类似 三、讨论了光滑的拟周期扭转映射的不变曲线的存在性问题 在保相交和一定的光滑性条件下，利用j a c k s o n 、m o ：；c r 、z c h n d c r 解析逼近定理 构造出一实解析映射序列，利用k a m 迭代并在迭代过程中直接进行估计，得到了拟 周期映射的不变曲线的存在性从而对充分光滑的拟周期碰撞振子，在渐近线性和超 线性条件下，可证明碰撞解的有界性 关键词：拟周期碰撞振子，扭转映射，不变曲线，碰撞解，l a g r a n g c 稳定性 i i 作者：孙西滢 指导教师；钱定边 拟周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性 a b s t r o z t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h el a g r a n g es t a b i l i t yo fq u a s i p e r i o d i ci m p a c to s c i l l a t o r s i m p a c t o s c i l l a t o ri st h eo n eo fi m p o r t a n tm o d e l so fn o n l i n e a ro s c i l l a t i o na n dn o n s m o o t hh a m i l t o n i a n s y s t e m s t h ed y n a m i c so ft h ei m p a c to s c i l l a t o r sr e l a t e t ot h er e s e a r c ho ft h ef e r m i - u l a m a c c e l e r a t o r d u a lb i l l i a r d s ，t h ef r a c t u r em e c h a n i c so fm e t a la n dc e l e s t i a lm e c h a n i c s t h e s t u d yo ft h el a g r a n g es t a b i l i t yf o rq u a s i - p e r i o d i ci m p a c to s c i l l a t o r si s b a s e do nt h ek a m t e c h n i q u e s i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h ei n v a r i a n tc u r v e st h e o r e m so fq u a s i p e r i o d i ct w i s tm a p p i n g su n d e r a n a l y t i co rs m o o t hc o n d i t i o n s a sa p p l i c a t i o n so ft h e s et h e o r e m s ，w eo b t a i n t h el a g r a n g e s t a b i l i t yo fi m p a c tm o t i o nf o rq u a s i - p e r i o d i ce l a s t i ci m p a c to s c i l l a t o r s t h et h e s i si sc o n s i s t e d o ft h r e em a i np a r t s 1 ，w ep r o v et h r e et h e o r e m so fi n v a r i a n tc u r v e sf o rp l a n a rq u a s i p e r i o d i ct w i s tm a p a tf i r s t ，b yu s i n gm o s e r sc l a s s i c a lk a mt e c h n i q u e ，w eg i v ei n v a r i a n tc u r v e st h e o r e m o fa n a l y t i cq u a s i - p e r i o d i ct w i s tm a p p i n g s t h e n ，a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n ts i t u a t i o n so f q u a s i p e r i o d i cf r e q u e n c i e s ，w eg e n e r a l i z ea b o v ei n v a r i a n tc u r v e st h e o r e mt ot h ev e r s i o n w i t h a v e r a g e ds m a l lt w i s ta n dt h ev e r s i o nw i t ht h ef r e q u e n c i e sb e i n gr a t i o n a ld e p e n d e n t ，r e s p e c - t i v e l y i nt h cd r o o fo ft h ei n v a r i a n tc u r v e st h e o r e mo fm a p p i n gw i t ha v e r a g e ds m a l lt w i s t ，b e c a u s e t h ef r e q u e n c i e sa r eo n l yr a t i o n a li n d e p e n d e n ta n dd o n ts a t i s f yd i o p h a n t i n ec o n d i t i o ni nt h i s c a s e w ec a n td e a lw i t ht h ep r o b l e mo fs m a l ld i v i s o r s t h u s ，w es o l v et h eh o m o l o g i c a l e q u a t i o n sb ya p p r o x i m a t em e t h o d w ed e f i n et h et r a n s f o r m a t i o no fv a r i a b l e sa n dt a k et h e e r r o r si n t ot h es m a l lp e r t u r b a t i o nt e r m s ，a n dt h e nw eg e tt h en e wm a p p i n gw h i c hs a t i s f i e s t h ec o n d i t i o n so fq u a s i p e r i o d i cs m a l lt w i s tm a p p i n ga n do b t a i nt h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n t c u r v e s i nt h ep r o o fo ft h ei n v a r i a n tc u r v e st h e o r e mw i t ht h ef r e q u e n c i e sb e i n gr a t i o n a ld e p e n d e n t ， a tf i r s t ，w es e p a r a t et h et e r m so f r a t i o n a ld e p e n d e n ta n dt h et e r m so f r a t i o n a li n d e p e n d e n ti n t h em a p p i n g t h e n ，w eu s et h es a m e m e t h o dt od e a lw i t ht h ep a r to f r a t i o n a li n d e p e n d e n ta n d g i v et h ee r r o r se s t i m a t i o n t h ep a r to f r a t i o n a ld e p e n d e n ti s t h em a i np a r to ft h et r a n s f o r m e d m a p p i n g ；w eu s et h ee n e r g y a n g l ev a r i a b l ei nh a m i l t o n i a ns y s t e m i nt h ef o l l o w i n g - w eg i v e at r a n s f o r m a t i o ne x c h a n g i n gt h ea n g l ei nt h eo r i g i n a ls y s t e ma n dt i m ei nt h en e ws y s t e m t h e nt h et r a n s f o r m e dm a p p i n gm e e t sa l lt h ea s s u m p t i o n so fm o s e r ss m a l lt w i s tt h e o r e mo f i i i 拟周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性 a b s t r a c t t h eq u a s i p e r i o d i cm a p p i n g s 。s ot h ee x i s t e n c e so fi n v a x i a n tc u r v e sa r eo b t a i n e d 2 w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o n sf o rt h ea n a l y t i cq u a s i - p e r i o d i ci m p a c t o s c i l l a t o r s ( l a g r a n g es t a b i l i t y ) w ew i l ls t u d yt h e mi nt w os i t u a t i o n s i nt h ef i r s ts i t u a t i o n ，w cc o n s i d c rt h eb o u n d c d n e s sf o rt h eb o u n c i n gs o l u t i o no ft h ca s y m p - t o t i c a l l yl i n e a l q u a s i - p e r i o d i co s c i l l a t o r s ，d o n - r e s o n a n c eo rn e a rr e s o n a n c e f i r s to fm l ，w e t r a n s f o r mt h ei m p a c ts y s t e mt ot h eh a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hi m p a c t s a f t e rc a r r y i n go u t s o m et r a n s f o r m a t i o n s ，t h eh a m i l t o n i a nf u n c t i o ni sr e d u c e dt oan e a r l yi n t c g r a b l co n e t h e v e c t o rf i e l dg e n e r a t e db yt h en e a xi n t c g r a b l eh a m i l t o n i a ni n d u c e san e a r l yi n t c g r a b l cm a p - p i n go nt h cs u r f a c eo ft h es e c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h eb o u n d a r y ( p o i n c a r 6m a p ) t h i sm a p i sa n a l y t i ca n ds a t i s f i e dt h ec o n d i t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dm o s e r ss m a l lt w i s tt h e o r e m si n c h a p t e r2 ，w h i c hi m p l i e st h ee x i s t e n c eo fi n v a x i a n tc u r v e s s ow eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s so f b o u n c i n gs o l u t i o n s i nt h es c c o n ds i t u a t i o n ，w ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sf o rt h cs u p c r l i n c a rq u a s i p e r i o d i ci m p a c to s c i l l a t o r s s i m i l a r l y , w et r a n s f o r mt h ci m p a c ts y s t e mt ot h eh a m i l t o n i a n s y s t e mw i t hi m p a c t s a f t e rc a r r y i n go u ta c t i o n a n g l ev a r i a b l e sa n dc a n o n i c a lr e s c a l i n g ，w e o b t a i nan e a r l yi n t e g m b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m t h er e s to ft h ep r o o fi ss i m i l a ra st h ec a s e o ft h ea s y m p t o t i c a l l yl i n e a ro n e 3 ，w es t u d yt h ec x i s t c n c co fi n v a r i a n tc u r y c 骘f o rs m o o t hq u a s i - p e r i o d i ct w i s tm a p ， u n d e rs o m es m o o t h n e s sc o n d i t i o n s ，u s i n gt h ea n a l y t i ca p p r o x i m a t i o nl e r n m ao fj a c k s o n ， m o s e ra n dz e h n d c r ，w cc o n s t r u c tas e q u e n c eo fr e a l - a n a l y t i cf u n c t i o n s a p p l y i n gt h ek a m i t c r a t ct e c h n i q u e s ，w ee s t i m a t et h ee r r o r si nd i r e c tw a ya n dp r o v et h ee x i s t c n c eo ft h ei n v a r i a n t c u r v e s t h c nw ec a no b t a i nt h eb o u n d c d n c s so fs o l u t i o n sf o rt h ea s y m p t o t i c a l l yl i n e a ra n d s u p c r l i n e a xi m p a c to s c i l l a t o r si ft h eo s c i l l a t o r sa x es m o o t he n o u g h k e y w o r d s ：q u a s i p e r i o d i ci m p a c to s c i l l a t o r ，t w i tm a p ，i n v a r i a n tc u r v e ，b o u n c i n gs o l u t i o n ， l a g r a n g es t a b i l i t y w r i t t e nb ys u n x i y i n g s u p e r v i s e db yp r o f q i a n d i n g b i a n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：垫：鱼遣 e t期： 主竺望! 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盈：量遂 日期： 三咩： 导师签名： 日期：三! 望! 拟周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性 第一章 第一章引言 1 - 1研究背景和意义 本文讨论拟周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性碰撞振子是非线性振动和非光滑 h a m i l t o n 系统的重要模型，它的研究与许多重要问题，如f e r m i u l a m 加速器问题f 1 】1 对偶台球问题【2 】、金属断裂学【3 ，4 】、天体力学稳定性等问题【5 】相关联在k u n z e 的 专著【6 】中，把其归为非光滑动力系统的两大模型之一，另一类是带干摩擦的振子，也 可参见综述报告【7 】拟周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性则与二阶周期及拟周期振动方 程、周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性、平面拟周期映射的不变曲线及k a m 理论密切 相关 下面结合对二阶周期振动方程、二阶拟周期振动方程、周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳 定性、甲面拟周期映射的不变曲线以及k a m 理论中光滑性条件的研究现状的简单回 顾，陈述本论文的研究背景和意义 一、二阶周期振动方程的l a g r a n g e 稳定性 考虑二阶方程 + ( z ，t ) = 0 ，( 1 1 ) 其中y 关于t 是周期的。当( z ，t ) = g ( z ) 一p ( t ) 时，即为著名的d u f f i n g 方程方程 ( 1 1 ) 的l a g r a n g c 稳定性，是指它的任何饵z ( t ) 以及它的导数z 他) 都有界 ( 1 1 ) 是 h a m i l t o n 系统，其h a m l i t d n 函数就是系统的总能量 一，2 h ( z ，z 7 ，t ) = 寻+ v ( z ，t ) 由于h a m i l t o n 系统的保守性，解不可能是渐近稳定的所以通常的l i a p u n o v 方法并不适 用对方程( i i ) 的l a g r a n g e 稳定性的系统研究是k a m 理论后才开始的( k o l m o g o r o v a r n o l d m o s e r 理论，被认为是二十世纪关于h a m i l t o n 系统稳定性研究的里程碑成果) 在日( z ，z 7 ，t ) 中譬是动能，v ( x ，t ) 是势能根据势能y 在无穷远处关于位移z 的 增长速度，可分为以下三种情况； ( 1 ) 超线性：监笋_ + o o ，当z 一4 - 0 0 ； ( 2 ) 半线性：0 a ! i 争盟b + o 。； ( 3 ) 次线性；s g n ( z ) 亿( z ，t ) 一+ o o ，丝笋一0 ，当z _ + o o 这里的极限和不等式关于t 是一致的在弹簧振子中，这三种情况对应于弹簧的不同 软硬程度 拟周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性 第一章 1 9 6 3 年m o s e r 在证明了他的著名的不变曲线定理( m o s e r 扭转定理【8 】) 后宣布可以 用来证明一类特殊的超线性d u f f i n g 方程的解的有界性1 9 6 6 年l i t t l e w o o d 连续发表 了两篇文章f 9 ，1 0 】讨论d u f f i n g 方程的解的无界性，并在他的专著1 1 1 】中提出了超线 性和次线性d u f f i n g 方程的解是否有界2 即是否是l a g r u n g e 稳定的这就形成了二阶 振动方程的解的l i t t l e w o o d 有界性问题1 9 7 3 年m o s e r 在他的专著f 1 2 】中再次提出了 超线性d u f f i n g 方程的解的有界性问题如果对v ( z ，t ) 不作进一步假设，人们可以举 出例子说明方程( 1 1 ) 会出现无界解，如f 9 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 j 等 对于超线性l i t t l e w o o d 问题的第一个正面回答由m o r r i s 1 6 给出，他于1 9 7 6 年证明 了方程 z 7 + 2 x 3 = p ( t 1 的所有解有界，其中只要求p ( 2 ) 是连续的周期函数在1 9 8 7 年，d i e c k e r h o f f 和z e h n d e r 【1 7 1 推广了m o r r i s 的结果，应用m o s e r 扭转定理证明了方程 2 n z + z 2 n + 1 + a ) 。= 0 ， ( 扎n ) ， i = 0 的所有解有界，其中p i ( t + 1 ) = p i ( t ) c o 。( r ) 0 = 0 ，1 ，2 n ) 随后柳彬【1 8 】解决 了d i e c k e r h o f f 和z e h n d e r 在【1 7 】中关于苁( t ) 的光滑性的公开问题此后l e v i ，尤建 功，袁小平等对于一大类超线性函数y ( x ，t ) 讨论，得到了许多深刻的结果，可参见 【1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】以及它们的参考文献 对于半线性d u f f i n g 方程的l a g r a n g c 稳定性和超线性情形是非常不同的，这种复杂 性与线性共振现象紧密相连目前对于半线性d u f f m g 方程的解的有界性问题研究的 最多的是以下两类方程 z + u 2 。+ ( z ) = p ( t ) 和 z ”+ a x + 一& z 一+ 矽( z ) = p ) ， 其中a 和b 是两个不同的的正常数，z + = m a x x ，o ) ，z 一= i t i a ) ( - - x ，o ， o r t e g a 在研究非对称振动 z + a t , + 一b x 一= p ( t 1 的l a g r a n g c 稳定性问题时，遇到了一类不能直接利用m o s c r 扭转定理的甲面映射， 于是他将m o s e r 扭转定理推广到更一般的情形，给出了两个可应用于半线性方程对应 的平面映射的小扭转定理1 2 6 ，2 7 】并分别证明了分段线性方程f 2 6 】和非对称方程f 2 7 】 2 拟周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性 第一章 的解的有界性柳彬在【2 8 】中把它应用于在共振处的二阶周期方程，证明了解的有界 性。同时，柳彬、王奕倩、袁小甲、黎雄等也证明了几类半线性d u m n g 方程的解的有 界性，参见1 2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 】等 次线性的d u f f i n g 方程，由于其弹性项往往不满足m o s e r 扭转定理所需要的光滑性 条件，从而不能直接利用m o s e r 扭转定理来证明其l a g m n g e 稳定性通过交换时间变 量和角变量角色的想法，k t i p p e r ，尤建功【3 5 】和柳彬，z a n o l i n 【3 6 】分别独立地证明了 如下次线性d u f f i n g 方程 z + i z i q 一1 o = p ( t ) 的l a g r a n g e 稳定性，其中0 0 为常数若0 2 n + 2 0 ，a j c 七( p ) ，k 4 r + 6 ，则方程( 1 2 ) 所有的 解有界 差不多同时，柳彬和尤建功f 3 9 】证明了以下方程 f z + x 2 n + 1 + z 2 p ( t ) = 0 ， z 2 n k - - o 的解的有界性并证明了拟周期解的存在性，其中如，p l 沪为拟周期函数，频率 为弘】，肛满足d i o p h a n t i n c 条件 在文章f 3 8 】和1 3 9 】中，作者采用的方法是把甲面拟周期系统转化为2 + 2 一维的 h a m i l t o n 系统，通过一系列坐标变换把它化为一可积h a m i l t o n 系统的小扰动问题，然 后应用h a m i l t o n 系统的k a m 定理得到不变环面的存在性，从而证明解的有界性和拟 周期怨的存在性。文章【4 0 1 和【4 1 1 分别考虑了拟周期摆方程和拟周期l o t k a - v o l t c r r a 系 统的解的有界性和拟周期解的存在性，其研究的方法与( 3 8 ，3 9 1 类似由于线性共振的 关系，这类方法在处理半线性、在共振点附近的二阶拟周期方程的解的有界性问题时 会遇到一些困难 三、周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性 二阶振动方程( 1 1 ) 描述的是振子的运动，如果振子在运动过程中遇到障碍并发生 碰撞就成为碰撞振子为了对碰撞振子的模型有一个了解，下面我们先对它作一个简 要介绍 完全弹性碰撞振子的模型一般可表示为 rz + l ( t ，。，z 7 ) = 0 ， z ( t ) g ( t ) ； z ( t ) g ( t ) ； ( 1 3 ) lz ( t o ) = q ( t o ) = z 7 ( t o + ) = 一。( t o - - ) + 2 q 7 ( t o ) 其中。( t ) 表示t 时刻振子的位置，g ( t ) 描述给定碰撞墙( 障碍) 的运动，当z = q ( t o ) 时发生完全弹性碰撞，因此振子的运动速度是一个不连续的量如前所述碰撞振子是 物理、力学中一个非常重要的模型，所以研究它具有广泛的意义同时，也为检验一 些非光滑动力系统的数学方法提供一个很好的模型 对于碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性的研究，主要有以下几个工作 2 0 0 1 年，o r t c g a1 4 2 1 讨论了带周期强迫力的完全弹性线性碰撞振子 fz + a 2 x = p 0 ) ，z o ； x ( t ) o ； ( 1 4 ) 【x ( t o ) = 0 ：争z 7 ( t o + ) = 一。( t o 一) 4 拟周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性 第一章 并给出了碰撞解的定义 定义1 1 连续函数z ：r r + 称为方程( 1 1 ) 的碰撞解，如果存在一个双向无穷序 列协) t z 使得对所有的i z ，以下性质成立： j ，z ( 如) = o ； 2 ，z ( 赴+ ) = 一z ，( t i 一) j 只z c 喀( ( 如，t i + 1 ) ，r + ) 是( 1 4 ) 的通常意义下的解 在这篇文章中，o r t e g a 定义了碰撞振子的后继映射，并利用推广的m o s e r 小扭转定理 【2 6 ，2 7 】，证明了在一定条件下，线性碰撞振子( 1 4 ) 的解的有界性 z h a r n i t s k y 根据完全弹性碰撞的特点，把碰撞系统转化为具有中心对称向量场的 h a m i l t o n 系统，分别得到了线性碰撞振子 3 】和台球问题的解的有界性【4 z h a r n i t s k y 在这两篇文章给出了一种对于非光滑系统的处理方式在【4 3 中，z h a r n i t s k y 还研究 了f e r m i - u l a m “乒乓”问题的不稳定性 后来，钱定边和孙西滢在【4 4 】中，结合【4 2 】和【2 8 】中的方法，利用o r t e g a 推广的 m o s e r 小扭转定理 2 6 ，2 7 】，解决了渐近线性周期碰撞振子的l a g r a n g e 稳定性问题 四、甲面拟周期映射的不变曲线 从周期碰撞振子的研究经验看，用化为映射的途径来研究振动方程可以化解物理 和力学模型中的不光滑性，从而再应用相应的平面映射的不变曲线定理就有可能得到 振动方程运动的l a g r a n g e 稳定性近期已有如下通过研究平面拟周期映射的不变曲线 来讨论一些模型运动的l a g r a n g e 稳定性的工作 在【4 5 】中，z h a m i t s k y 研究了以下实解析、保面积拟周期单调扭转映射 蛋：y l 麓 5 ， l = 币1 2 【z ，秒j ， 其中庐l ，锄关于z 是拟周期的，频率满足d i o p h a n t i n e 条件若圣是恰当的，在一定条 件下，映射圣存在拟周期不变曲线特别地，映射 fx l = z + y + o ( e ) iy l ：可+ d ( e ) 作为保面积可积映射的小扰动，满足圣的条件应用这个定理，z h a r n i t s k y 证明了拟 周期f e r m i u l a m 问题的运动的l a g r a n g e 稳定性 拟周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性 第一章 在【4 6 】中，柳彬研究了实解析拟周期的可逆映射 a： o ； x ( t ) o ； ( 1 7 ) lx ( t o ) = 0 辛z 讹o + ) = 一z 7 ( t 0 - - ) 其中，关于t 是拟周期的 在碰撞问题的研究中，z h a r n i t s k y 做了一系列的工作z h a r n i t s k y 在p h y s 耽v l c t t ，c o m m m a t h p h y s 和n o n l i n e a r i t y 等重要期刊上发表了关于碰撞问题l a g r a n g c 稳定性的论文，他相继证明了线性周期碰撞振子，台球问题和拟周期f c r m i - u l a m 问题 的l a g r a n g e 稳定性f 3 ，4 ，4 5 】，讨论了f e l 瑚i u l a m “乒乓”问题的不稳定性f 43 】因此，从 碰撞问题的角度看，拟周期碰撞振子( 1 7 ) 的l a g r a n g e 稳定性可以作为上述z h a r n i t s k y 研究问题的必然延伸但我们将讨论的问题与z h a r n i t s k y 已解决的问题比，还是有两 个实质性的困难 1 。虽然我们可以应用z h a r n i t s k y 【3 】中的方法把碰撞振子转化为具有中。5 - 对称向量 场的h a m i l t o n 系统，即 z = y ，日= h ( i x l ，y ，t ) ( 1 8 ) 但台球问题和“乒乓”问题有两面固定碰撞墙，运动区域是有界的，交换时间变量和 位置变量就可化成可应用m o s e r 扭转定理的框架而碰撞振子只有一面碰撞墙，运动 区域是无界的 6 拟周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性 第一章 2 如果我们研究渐近线性共振点处的拟周期碰撞振子，其可能产生的扭转很小， 需要通过一系列同胚变换把扭转“放大”，但是变换中我们只能保证映射保相交，并不 能保辛形式( 或保面积) z h a r n i t s k y1 4 5 给出的甲面不变曲线定理要求映射是拟周期保 面积辛映射，该定理无法处理仅保相交的拟周期映射 近年平面拟周期映射和线性共振附近。小扭转”的研究工作( 如o r t e g a 【4 2 】，柳彬 f 4 6 ，l e v i 和z e h n d e r 【3 8 】等) 对我们解决上述困难带来多方面的启示，我们可以根据碰 撞问题的特点综合相关工作的思想来发展拟周期碰撞振子的研究思路 首先，我们把m o s e r 不变曲线定理推广到拟周期、保相交的扭转映射上( 定理2 1 ) ， 并把o r t e g a 的两个小扭转不变曲线定理推广到了拟周期平均小扭转和频率有理相关 时小扭转的情形( 定理2 3 ，定理2 4 ) 通过拟周期情形下的小扭转定理得到平面拟周期 映射的不变曲线，从而证明了渐近线性拟周期碰撞振子的解的有界性( 定理3 1 ，定理 3 2 1 对超线性拟周期碰撞振子，我们先采用l c v i 和z c h n d c r 【3 8 1 中的方法把它转化为 具有中心对称向量场的可积h a m i l t o n 系统的小扰动问题但由于碰撞点的关系，系统 ( 1 8 ) 对z 而言只有l i p s c h i t z 连续性，因此在作用一角变换中失去了对角变量的光滑 性为此我们再交换时间变量和角变量，并采用文f 4 4 】处理周期碰撞振子的步骤，应 用我们推广的拟周期、保相交的扭转定理证明甲面拟周期映射的不变曲线的存在性， 得到原方程的解的有界性( 定理3 3 ) 五、k a m 理论的光滑性条件 k a m 理论的光滑性条件一直是研究的焦点问题之一2 0 0 8 年，s c v r y u k 在题为 k a m t o r i ：p e r s i s t e n c ea n ds m o o t h n e s s 的综述文章f 4 9 ) 中提出了1 0 个公开问题，其中光 滑性条件的讨论是第3 个问题 k o l m o g o r o v 和a r n o l d 关于k a m 理论的贡献均只在解析系统上，m o s c r 首先讨论 了非解析系统1 9 6 2 年，m a s e r 证明了环域上的保面积扭转映射在c 3 3 3 阶可微条件 下的不变曲线f 4 8 】的存在性后来，h e r m a n 和r i i s s m a n n 等人做了十分细致的工作 f 5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ，把光滑性大大降低对二维扭转映射而言，c 3 + 5 忙 0 ) 是为了保证不 变曲线存在性所需的最低可微性要求h e r m a n 给出了反例说明对于只有c 3 “的映 射，不存在不变曲线【5 1 】 甲面拟周期辛映射在一定条件下可嵌入到h a m i l t o n 系统中【5 4 1 对于光滑的h a m i l t o n 系统的k a m 定理，已有很多结果，如【5 4 ，5 5 ，5 6 】 7 拟周期碰撞振子的l a g r a n g c 稳定性 第一章 对于任意n 个自由度的h a m i l t o n 系统，s a a m o n 和z e h n d e r 证明了对于具有k o l - m o g o r o v 非退化的系统，如果u r “满足d i o p h a n t i n e 条件，近可积h a m i l t o n 系统只 要具有弘+ 2 舶( 6 0 ，p 亿一1 ) 可微性，则相应于旋转向量u 的不变环面在小扰动下 依然存在，参见 5 4 1 最近，s a l a m o n 结合k o l m o g o r o v 、a r n o l d 、m o s e r 和r f i s s m a n n 、z e h n d e r 、p s s c h e l 等很多入的想法和工作，综合性的给出了不变环面扰动定理的完整证明，并得到了最 优的结果证明的方法主要是k a m 迭代，首先给出了解析的k a m 定理，证明了扰动 后的不变环面在一较小的复带域中存在然后考虑光滑的h a m i l t o n 系统，利用解析逼 近定理构造出解析半径逐渐减小的解析系统，并利用已得到的解析条件下的k a m 定 理说明这些系统的不变环面的存在性最后通过迭代的收敛性得到原光滑系统的不变 环面，详见【5 5 】 在f 5 6 】中，c h i e r c h i a 和钱定边证明了光滑h a m i l t o n 系统椭圆型低维不变环面的 m o s e r 定理。他们用解析函数逼近原来的光滑系统，直接进行k a m 迭代，得到低维不 变环面的存在性 对于我们所考虑的拟周期扭转映射，由于只有相交性质，不一定是辛映射，从而与 h a m i l t o n 系统有区别s a l a m o n 给出的证明h a m i l t o n 系统的最