（应用数学专业论文）cbézier曲线的光顺处理与拼接条件研究.pdf

宁夏大学硕i ：学仲论文 摘要 曲线曲面的光顺是计算机辅助几何设计( c a g d ) 中的重要研究课题之一由于测量过程中系 统误差和随机误差等各种因素的影响，所得到的数值都是近似的如果用这些测量数据不加处理 地直接生成曲线曲面，就会失去设计原形，甚至出现波纹、皱折或锯齿因此，必须对测量数据 进行光顺处理，除了对原始型值点进行光顺之外，有时还要控制修改后的型值点同原始型值点的 坐标偏差，使得偏差不应太大，以保证设计部门给出的指标不至于受太大的影响所以几何外形 设计的光顺处理和拼接研究，在曲线曲面的几何造型中起着非常重要的作用近几年，在c a g d 中产生了一种新型曲线模型：c - b 6 z i e r 曲线类它已成为一种广泛和灵活的外形设计方法，能够 精确地表示二次曲线，具有许多类似b 6 z i e r 曲线的性质本文重点研究讨论了c - b 6 z i e r 曲线的 光顺处理和拼接条件，论文完成的主要工作和结果如下： 第一论文对现有的新型c - b 6 z i e r 曲线，推导出了三次c - b 6 z i e r 曲线导矢计算的简洁公式， 证明了b 6 z i e r 曲线的速端曲线( f i r s th o d o g r a p h ) 性质对c - b 6 z i e r 曲线不成立第一次给出了 三次c - b 6 z i e r 曲线导矢的一个极限性质：当口专o 时，三次c b 6 z i e r 曲线一阶导矢的极限为同 次b 6 z i e r 曲线的一阶导矢，并指出了该极限性质对c - b 6 z i e r 曲线的二阶导矢不成立然后在能 量法的基础，进一步研究了控制参数口对曲线的影响，并给出了通过调整口使得曲线的能量最小， 以达到光顺的目的 第二论文对c - b 6 z i e r 拼接曲线出现不光顺的情况进行研究，从两个角度研究曲线光顺，一 方面通过调节控制顶点来达到光顺的目的，另一方面通过调节参数以和吼达到光顺的目的，并 对光顺前后的能量对比，取得满意的效果然后给出了c - b 6 z i e r 曲线与n u r b s 曲线的光滑拼接 条件 一 c - b 6 z i e r 曲线作为一种新的参数曲线，对其进行光顺和拼接的研究，具有很强的现实意义， 其研究内容将在c a d c a m 技术中得到广泛应用 关键词：c a g d ，c - b 6 z i e r 曲线，光顺，拼接 宁夏人学硕l ：学位论文英文摘要 a b s t r a c t f a i r i n g ，o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e si nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r yd e s i g n ，h a sa t t r a c t e d w o r l d w i d ea t t e n t i o n o w i n gt ot h ee f f e c t so fs y s t e me r r o ra n dr a n d o me r r o rh a p p e n e di nt h em e a s u r i n g p r o c e s s t h ed a t ao b t a i n e di s 胁f r o mb e i n ga c c u r a t e a p p l y i n gt h ed a t aw i t h o u tf u r t h e rt r e a t m e n tw o u l d i n e v i t a b l yr e s u l ti nt h el o s si nt h es h a p eo ft h ed e s i g n ，r i p p l e ，r u f f l ea n di n d e n t i o n ，t h e r e f o r e ，ad e m a n d o ff a i r i n gi nt h ep r o c e s so fm e a s u r i n gd a t ab c c o m o sn e c e s s a r y a n dt h er e v i s a b l ec o n t r o lp o i n t sa 他a l s o v i t a li na s s u r i n gt h a tn ob i gw a r ph a p p e n e di nt h eo r i g i n a lc o n t r o lp o i n t sr e q u i r e db yt h ed e s i g n i n g o f f i c i a l s t h ep r o c e s so ff a i r i n ga n dt h ea r t i s t i cd e s i g no f c u r v e sa n ds u r f a c e sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei n d e s i g n i nr e c e n ty e a r s ，t h es c h o l a r sg e n e r a t e dan e wt y p ec i l r v em o d e l ：m o d i f i c a t i o no ft h en e w c - b 6 z i e rc u r v e si nc a g d t h e s ec u r v e sh a v eb e c o m eab r o a da n df a i r i n gf o r md e s i g nm e t h o d sw h i c h c a na c c u r a t e l yq u a d r a t i cc u r v e s ，、i t l lm a n ys i m i l a rb d z i e rc u r v e sp r o p e r t y t h i sa r t i c l ef o c u s e s 伽t h e c - b 6 z i e ro u r v ef a i r i n ga n dc o n t i n u o u sc o n d i t i o n s , i t sa c h i e v e m e n t sa n dm a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t a l k sa b o u tt h ep r e l i m i n a r ys t u d yo nt h em o d i f i c a t i o no ft h en e wc - b 6 z i e rc u r v e s ，as u c c i n c t f o r m u l af o rc a l c u l a t i n gt h ed e r i v a t i v eo ft h ed e g r e e3c - b e z i e ro l r v ei sg i v e n t h e na ni m p o r t a n t p r o p e r t yi so b t a i n e d ：w h e n 口o0 ，t h ef i r s to r d e rd e r i v a t i v eo ft h ed e g r e e3c - b e z i e rc i l r v ei st h a to f t h ed e g r e e3b e z i e rg u r v e ，t h es e c o n do r d e rd e r i v a t i v eo ft h ed q 0 e e3c - b e z i e rc u r v eh a sn ot h e p r o p e r t y t h e nf a i r i n gc b d z i e rc u r v e sa r es a t i s f i e db ya d j u s t i n gt h es h a p eo ft h ep a r a m e t e r 口0 nt h e b a s i so fa p p l y i n ge n e r g y s e c o n d l y , n of a i r n e s sa p p e a r si nj o i n i n gc - b d z i e rc u r v e s ，t h ee n e r g y - m e t h o di su s e db ya d j u s t i n g t h es h a p eo ft h ec o n t r o lp o i n t so rt h ep a r a m e t e r 以a n d a ia g a i n t h i sm e t h o ds a t i s f i e sw i t hd e v i s e r t h e nf a i r i n gd i s p o s ea n dc o n t i n u o u sc o n d i t i o n sf o rc - b d z i e rc u r v e si sg i v e n c b d z i e rc u r v e sa sn o wp a r a m e t e rc a l r v e sr e s e a r c h e do ni t sf a i r i n ga n dc o n t i n u o u sc o n d i t i o n sh a v ea s t r o n gp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e ，i t sc o n t e n t sw i l lb ew i d e l yu s e di nc a d c a m k e yw o r d s ：c a g d ，c - b d z i e rc u r v e s ，f a i r i n g ，c o n t i n u o u s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 一繇嘲 幺饭时间：7 彬年厂月zc 】归 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 i 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生虢嘭| i f 匆锹 帆勿一g 年s - 月彬日 导师签名： 墨辱斗 帆舯年朋呷 宁夏人学硕f j 学位论文第一章绪论 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简写为c a g d ) 这一术语1 9 7 4 年由 b a r n h i l l 与r i e s e n f e l d n l 在美国犹太大学的一次国际会议上提出，以描述计算机辅助设计中更多 的数学方面，它是借助于数学的理论和方法并融合计算机应用技术解决计算机辅助设计中的种种 数学问题，建立数学模型，使得设计既适合计算机处理，能有效的满足形状描述与几何要求，又 便于形状信息传递和产品数据交换，它是c a d 的理论基础和关键技术 1 1 概述 随着计算机技术的发展和普及，计算机辅助设计与制造技术也得到了迅猛的发展，由此推动 了许多领域的设计革命c a d c a i 技术的发展和应用水平已经成为衡量一个国家科技现代化水平 的重要标志之一c a d c a m 技术从根本上改变了以往人们用手工绘图、发图、凭图纸来组织整个 生产过程的技术管理方式变成在图形工作站上的交互设计、用数据文件发送产品定义、在统一 的数字化产品模型下进行产品的设计打样、分析计算、工艺规划、工艺装备设计、数控加工、质 量控制、编印产品维护手册、组织备件定货供应等等c a d c a m 技术把人和机器的各自优点结合 了起来，具有应用范围广、直观、优质、高效的特点经过几十年的发展和更新换代，从最初的 c a d 系统只能用于绘图发展到c a d c a m 系统的可视化、集成化、智能化、网络化其中c a g d 是它 的理论基础和关键技术，c a g d 的产生和发展极大地影响着c a d c a m 技术的水平，新的几何造型方 法一出现，往往很快就会反映到实用的c a d c a i l 系统中去c a d c a m 技术最早是在航空、造船及汽 车等现代工业领域里发展起来的，他们要面对大量的工业产品的几何形状工业产品的几何形状 大致可分两类或由这两类组成：一类是仅由初等解析曲线曲面组成，例如直线、圆弧、平面、圆 柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成他们完全可以用画法几何与机械制图清楚表达和传递所包 含的全部形状信息另一类是不能由初等解析曲线曲面组成，而以复杂方式自由地变化的曲线曲 面即所谓自由型曲线曲面组成显然这后一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清 楚在飞机与造船工厂里，传统上采用模线样板法表示和传递自由型曲线曲面的形状模线员和 绘图员用均匀的带弹性的细木条或有机玻璃条或金属条通过一系列点绘制所需要的曲线即模线， 依此制成样板作为生产与检验的依据在曲面上没有模线控制的部分取成光滑过度，这样得到的 曲面称为放样曲面( 1 0 f t i n gs u r f a c e ) 幢在汽车工厂用泥来雕塑模型，即用雕塑曲面来表示汽车 的外型这种采用模拟量传递设计与制造信息的方法所表示和传递的形状因人而异，要求设计与 制造人员付出繁重的体力劳动，设计制造周期长，制造精度低，互换协调性差，不能适应航空、 汽车及造船等现代工业的发展人们在寻求用数学方法唯一的定义自由型曲线曲面的形状，将形 状信息从模拟量传递改变为数字量传递随着计算机技术的发展，采用数学方法定义自由型曲线 宁夏人学硕i ：学位论文第一审绪论 曲面才达到实用的地步这导致了计算机辅助几何设计这门学科的产生与发展依据定义形状的 几何信息，应用计算机辅助几何设计提供的方法，就可建立相应的曲线曲面方程即数学模型，并 在计算机上通过执行计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其他信息通过分析与综合 就可了解所定义形状具有的局部和整体几何特征在这里实时显示与交互修改工作几乎同步进 行形状的几何定义为所有后置处理如数控加工、物性计算、有限元分析等等提供了必要的先决 条件 如何用计算机表示、存储和处理几何形状是c a d c a m 技术的核心问题之一五十年代后期， 随着数控机床的问世，人们用计算机生成数控加工指令，迫切需要一整套适合于计算机的几何描 述方法，几何造型方法的研究就此拉开了序幕1 9 7 4 年b a r n h i l l 与r i e s e n f e l d 提出了c a g d 这 一术语，以描述计算机辅助设计的更多的数学方面c a g d 的产生与发展不仅极大地影响着c a d c a m 的发展，而且也积极地影响与促进着其他众多学科与技术的发展，如计算机图形学、计算机仿真、 计算机动画、计算机可视化，数值计算、计算机模拟技术等1 随着计算机技术的发展和普及， c a d c a m 技术也得到了迅猛发展和广泛应用，它自己也变成了一个庞大的产业作为c a d c a m 基 石之一的计算机辅助几何设计也得到了系统而深入的发展，成为一个独立的学科它的核心内容 之一就是研究用计算机表示和处理几何形状的数学方法对于这种用来描述几何形状的数学方 法，我们自然希望它能满足一定的要求，主要有以下几条： 1 ) 确定性要求用有限的信息确定的形状是确定的； 2 ) 几何不变性曲线曲面的一些特征几何性质在某种几何变换下不变； 3 ) 易于定界产品的形状是有限的，形状的数学描述应易于定界； 4 ) 统一性能统一表示各种形状及处理各种情况： 5 ) 具有丰富的表达能力迅速与灵活地响应设计员自由地绘制任意形状的能力； 6 ) 易于实现连接单段曲线或单片曲面难以表达复杂的形状，通常由若干曲线段或曲面片按照 一定的光滑性要求拼接而成的，因此，这种数学方法应易于实现这种光滑连接； 7 ) 易于实现对形状的控制要求形状的数学描述不仅具有整体的控制能力，而且具有局部的控 制能力； 8 ) 具有几何直观性几何意义要明显： 1 2 计算机辅助几何设计简介 1 9 4 6 年第一台电子计算机诞生，标志着技术革命的一个新时代的开始，随着电子计算机的不 断发展、更新和社会需要的推动，计算机逐渐应用到产品的设计与制造领域到了五十年代，利 用计算机用数学的方法描述飞机外型成为可能，而圆锥曲线简单、直观、没有拐点、保凸性好， 又为设计人员所熟知，自然而然采用圆锥曲线来建立飞机外型的数学模型然而圆锥曲线方法虽 有简单、直观、保凸性好等优点，但它对复杂曲线曲面的拟合能力差，调整外型的灵活性小h 1 2 宁夏大学硕l j 学位论文第一章绪论 1 9 6 3 年，美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法 哺1 他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的 f e r g u s o n 双三次曲面片这些方法由f m i l l 系统实现，由它可以生成数控纸带在这以前曲线的 描述一直是采用显式的标量函数y = y ( x ) 或隐函数方程f ( x ，y ) = 0 的形式，曲面相应采用z = z ( x ，y ) 或f ( x ，y ，z ) - 0 的形式f e r g u s o n 所采用的曲线曲面的参数形式从此成为形状数学描述的最重要 的标准形式之一但是，当分段曲线段分布不均匀时，所构造的合成曲线会出现波动而对于 f e r g u s o n 双三次曲面来说，它的四个角点处的混合二阶偏导数为矢量导致曲面在角点附近变得 平坦，使其实际应用受到严重影响尽管f e r g u s o n 曲线曲面有一定缺点，但他采用的参数方法 与分片技术都是非常有价值的对于复杂曲面( 诸如飞机，船体表面) ，欲用统一的光滑阶很高的 数学函数来表示几乎是不可能的因而，我们可以将要构造的整张曲面片分解成若干小曲面片， 每张曲面片由满足边界约束的方程表示，而整张曲面具有一定的光滑度或几何连续性这种化整 为零的曲面构造方法在以后的曲面造型中有着非常重要的作用 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的c o o n s 发表了一个具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭 曲线的四条边界就可以定义一块曲面片1 9 6 7 年，他进一步推广了这一思想在c a g d 实践中应 用广泛的只是他的特殊形式c o o n s 双三次曲面片它与f e r g u s o n 双三次曲面片的区别，仅在于 将角点扭矢由零矢量改取为非零矢量 1 9 6 4 年，s c h o e n b e r g 提出的样条函数为解决连接问题提供了一种技术，用参数样条曲线曲 面来描述几何形状样条方法用于解决插值问题，在构造整体达到某种参数连续阶的插值曲线曲 面是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，样条曲线和曲面的形状难以预测和控制上述 造型技术都属于构造插值曲线曲面的方法，即主要用于构造那些通过给定型值点的曲线曲面，并 不是令人很满意的曲线或曲面的设计方法这是因为： 1 ) 在曲线曲面设计起始阶段，设计者对所设计的产品的外形仅有一个非常粗略的概念为得 到满意的外形，设计者尚需不断修正型值点的位置用上述方法对位置尚未最后确定的型值点构 造相应的插值曲线或曲面，显然是不合理的必然导致计算时间和资源的浪费 2 ) 曲线，曲面的形状不易控制例如应用参数方法构造曲线时虽然可以使曲线通过所有型值 点，但其形状还取决于所选定的端点条件 3 ) 上述方法都不具有局部性质，修改一个型值点都会影响整条曲线和整张曲面的形状，而且 形状变化难以预测 在这种情况下，法国雷诺汽车公司的b 6 z i e r ：于1 9 7 1 年发表了一种由控制多边形定义曲线的 方法哺1 b a z i e r 方法简单易用，设计人员只要移动控制顶点就可以修改曲线的形状，而且形状的 变化完全在预料之中，能出色地解决了整体形状控制问题它是雷诺公司u n i s u r f ，c a d 系统的数 学基础b 6 z i e r 方法在c a g d 学科中占有重要的地位，它广为人们接受，为c a g d 的进一步发展莫 定了坚实基础但b 6 z i e r 方法仍存在一些缺点：首先，不具有局部性，特征多边形或特征网格的 每个顶点都对曲线曲面的形状作贡献，因此修改任一个顶点会影响整条曲线或整张曲面的形 3 宁夏大学硕f j 学位论文 第一章绪论 状故而不能做局部修改：其次，曲线曲面次数依赖于特征网格的顶点个数，当曲线曲面形状复 杂时，需增加特征多边形或特征网格的顶点数而必须增加曲线或曲面的幂次数，从而增加计算 量，而且此时高次数导致曲线曲面形状有较大的波动，与特征网格的形状有较大差异再次，在 处理曲面片间的光滑拼接方面也存在困难就b 6 z i e r 方法中出现的连接问题和局部修改问题， 雪铁龙( c it r o e n ) 的d ec a s t e l j a u 也独立的研究和发展了同样的方法，但他没有发表 1 9 7 2 年，d eb o o r 和c o x 分别独立地提出了关于b 样条标准算法的d eb o o r - c o x 公式，使b 样条开始得以广泛的应用美国通用汽车公司的g o r d o n 和r i e s e n f e l d 在1 9 7 4 年将b 样条用于 形状描述，提出了b 样条曲线曲耐 ，它几乎继承了b 6 z i e r 方法的一切优点，成功的解决了局部 控制问题，轻而易举地解决了在参数连续基础上的连接问题与控制多边形和节点相联系，1 9 8 0 年分别由b o e h m 和c o h e n 等人给出了节点插入技术，f o r r e s t 和p r a u t z s c h 发展了升阶技术等节 点插入技术，分割技术及升阶技术的给出，使b 样条方法更加完善，达到更实用的阶段但是， b 样条方法不能精确地表示圆锥曲线，二次曲面与旋转曲面，只能给出近似的表达式，因而不能 满足大多数机械产品的要求代数几何里的隐方程形式可以满足这一要求在参数表示范围里， f o r r e s t 在1 9 6 8 年首先给出了表达为b 6 z i e r 形式的圆锥截线哺1b a l i 在他的c o n s u r f 系统中提出 的有理方法在英国飞机公司得到普遍的使用国内一些航空工程部门也移植并发展了这些结果， 且应用到飞机外型数模系统中1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 在他的博士论文中首 次提出了有理b 样条方法，提出了非均匀有理b 样条( n o n - u n i f o mr a t i o n a lb - s p l i n e 简称 n u r b s ) 嘲对其性质做了研究几乎同时，美国b o e j i n g 公司、s d r c 公司和u t a h 大学三家研究 机构都在努力探求将有理b 样条应用到c a d c a m 领域的可能性，1 9 8 1 年8 月在国际图形交换标准 ( i g e s ) 会议上，n u r b s 被b o e i n g 公司作为i g e s 标准后来，主要地由于p i e g l 和t i l l e r 等人的 功绩，至8 0 年代后期，非均匀b 样条n u 咫s 方法成为用于曲线曲面描述的最为流行的技术非 有理与有理b e z i e r 和非有理b 样条曲线曲面都被统一在n u r b s 标准形式之中，因而可以采用统 一的数据库国际标准组织( i s o ) 继美国的i g i s 标准之后，于1 9 9 1 年颁发了关于工业产品数据 交换的s t e p 国际标准n 训，把作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法n u r b s 技术仍在发展之 中，还有很多问题有待进一步研究叫 有理曲线、曲面几何性质的研究归公于苏步青、f o r r e s t 和刘鼎元等1 9 7 7 年苏步青首先讨 论了有理五次曲线的仿射不变量别，1 9 8 0 年f o r r e s t 对三次有理参数曲线进行了理论研究，讨 论了三次有理参数曲线段上出现渐进方向的条件1 9 8 2 年刘鼎元给出了有理三次的相对射影不变 量，详细讨论了平面三次有理b 6 z i e r 曲线上的奇拐点分布和形状控制问题此后，叶正麟、汪 嘉业解决了三次非等距b 样条曲线的几何形状分析问题，叶正麟、穆玉杰解决了空间三次有理参 数曲线段的奇点与泛拐点、渐进线排除、几何形状特征等问题吕伟和梁友栋就有理b 样条曲线、 曲面的离散性、几何包络性等作了研究u 跚康宝生给出了有理曲线的凸性条件及避免渐进方向的条 件n 引1 9 9 2 年叶正麟利用射影变换方法构造了任意函数类的有理参数曲线曲面，将有理化方法提 高到一个新的高度及扩展到更广的范围 4 宁夏人学硕f 学位论文第一章绪论 前面提到的曲线曲面造型方法，尤其是曲面造型方法都采用张量积的参数多项式与分片参数 多项式描述曲面一般n u b r s 曲面是张量积曲面的推广虽然n u r b s 是一个比较好的造型方法且 被s t e p 国际标准作为定义工业产品的唯一的数学方法但n u r b s 造型方法决非完美，其他造型 方法的发展极大地丰富了计算机辅助几何设计的类容而且这些方法互有短长，相互补充 1 3 曲线曲面光顺研究的发展概况 曲线曲面的光顺研究大约始于上世纪6 0 年代初，国内1 9 7 4 年由苏步青教授率先开辟该研究 方向，通过国内外学者的努力，到目前为止已提出了许多光顺方法：通过“节点删除与插入”对 b 样条曲线进行光顺的方法( f a r i n 等引) ；用三次参数样条曲线和双三次样条曲面的局部光顺方 法( k j e l l a n d e r 等) ；用于空间三次参数样条曲线光顺和网格光顺的能量法( h o s a k a 等n 郇) ；b 样条 曲面光顺的能量法( l o t t 等) ；基样条法n 钔；曲面网格线光顺方法n 引总的来说这些方法可归 为两大类： 1 ) 整体光顺法，如能量法等，是将光顺问题转化为包含型值点偏差和光顺两部分加权平均的 目标函数的极小化问题，光顺是要用到全部型值点来修改 2 ) 局部光顺法，如基样条法，节点插入和删除法等都是选点修改法，是在假设大多型值点都 是好的或比较好的基础上，把少数坏点挑出逐个予于修改，但当连续出现多个坏点时，往往不易 处理这些方法都是比较经典的，实质上，它们相差不大，经过一番沟通，不难发现好几种方法 之间有着某种联系值得一提的是2 0 0 2 年蔡中义啪提出的有限元光顺法开辟了新的研究途径该 方法采用h e r m i t e 单元极小化目标泛函，再现的曲面全场c 1 ，c 2 连续这种结合能量光顺的有 限元插值计算方法抑制了输入数据中噪音的影响，曲面的重建的精度高光顺性好甘屹口1 1 等人给 出了基于遗传算法的曲线曲面光顺大大提高了计算的效率还有近几年出现的利用多分辨率的小 波光顺算法m 1 效率高，光顺可在线性时间内完成，在光顺的同时进行数据压缩，但是无法处理边 界约束在众多光顺方法中能量法仍是一种应用非常广泛的曲线曲面光顺方法，可以处理边界约 束，并适用于大挠度和闭曲线曲面的光顺 由于等距曲线曲面( o f f s e t ) 公式中的单位法向量包括平方根项，所以一般不能用同样的形 式曲线( 面) 准确表示其等距曲线( 面) ，从而无法用通用的c a g d 系统来处理，所以不得不采用各 种手段对o f f s e t 进行逼近，在等距线逼近算法中，文献幢踟引入了光顺处理，给出了非均匀有理b 样条曲线表示等距线的光顺逼近方法，将等距线的逼近和光顺结合起来，部分得解决了o f f s e t 中的奇异情况在基于事物数字化的逆向工程曲面建模中，由于缺乏必要的特征信息( 指连续性 要求信息) ，以及存在数字化误差，曲面光顺变得尤为重要因而，针对复杂曲面产品型面的逆 向工程c a d 建模问题，进一步研究带光顺项的曲面拟合技术，使得曲面拟合不仅具有较高的精度， 而且具有良好的光顺性值得关注 s 宁夏大学硕l j 学位论文第一章绪论 1 4 本文主要研究内容和安排 本文完成的主要工作如下： 1 回顾了c a g d 发展，并且简单的介绍了c a g d 和曲线曲面光顺研究的发展概况 2 介绍了曲线曲面的光顺概念和准则，系统叙述了c a g d 中光顺方法的发展和理论及应用研 究成果 3 首先对现有的新型c - b 6 z i e r 曲线，推导出了三次c - b 6 z i e r 曲线导矢计算的简洁公式， 证明了b 6 z i e r 曲线的速端曲线( f i r s th o d o g r a p h ) 性质对c - b 6 z i e r 曲线不成立第一次给出了 三次c - b d z i e r 曲线导矢的一个极限性质：当口_ 0 时，三次c - b 6 z i e r 曲线一阶导矢的极限为同 次b d z i e r 曲线的一阶导矢，并指出了该极限性质对c b 6 z i e r 曲线的二阶导矢不成立然后在能 量法的基础，进一步研究了控制参数口对曲线的影响，并给出了通过调整口使得曲线的能量最小， 以达到光顺的目的 4 对c - b 6 z i e r 拼接曲线出现不光顺的情况进行研究，从两个角度研究曲线光顺，一方面通 过调节控制顶点来达到光顺的目的，另一方面通过调节参数丑和口。达到光顺的目的，并对光顺 前后的能量对比，取得满意的效果然后给出了c - 8 d z i e r 曲线与n u r b s 曲线的光滑拼接条件 本文共分五章，各章的内容安排如下： 第一章介绍了计算机辅助几何设计及其发展状况，同时给出了曲面曲线光顺的发展 第二章详细叙述了曲线曲面光顺概念和准则，本文提出的许多光顺算法是基于能量法，所 以对能量法做简单介绍并介绍了遗传算法，介绍了曲线曲面的光顺检测的几种手段 第三章讨论了c - b 6 z i e r 曲线及其性质，然后在能量法的基础，进一步研究了控制参数口对 曲线的影响，并给出了通过调整口使得曲线的能量最小，以达到光顺的目的 第四章在第三章的基础上给出了通过调节控制顶点和调节参数以和口。的目的使得c b 6 z i e r 曲线能够光顺拼接同时给出了c - b d z i e r 曲线与n u r b s 曲线的光顺拼接条件 第五章总结过去，展望未来将所做的工作简单地总结，提出有待解决的闷题和需要进一 步完善的工作指出一些具有光明前途和研究价值的探索领域和研究方向 6 宁夏人学硕i j 学位论文第一：章f f f 线曲面光顺 第二章曲线曲面光顺 本章主要介绍了光顺的含义，光顺的检测准则和目前主流的曲线光顺算法最后介绍了曲线 曲面光顺的几种检测手段 2 1 光顺的含义 “光顺”包含“光滑”和“顺眼”两方面的含义，既有数学上连续性的要求，更侧重功能( 如 美学，数控加工，力学等) 方面的要求，通常情况下光顺性是没有准确定义和统一标准的1 在 早期的手工放样中，人们以“眼观光顺”为标准，这就让经验决定了一切而数学放样就相对复 杂多了，它必须把手工放样中的经验准则转化成计算机能识别的数学准则；光顺的不确定性容易 使人们产生错觉，以为量化的数学准则是不存在的，至少是勉强的殊不知，如果光顺性没有其 内在规律可循，又怎么能够区分曲线( 面) 光顺与否呢? 由此可见，阎题的关键并不在于光顺是否 具有客观性( 即规律形) ，而是在于如何协调光顺的客观性和不确定性的关系，这正是光顺定义和 光顺准则要解决的难点 关于曲线、曲面光顺处理，需要解决两个基本问题： 1 ) 什么样的曲线、曲面才是光顺的，即光顺准则； 2 ) 对于不光顺的曲线、曲面，如何进行一定的数学处理使其光顺性得到满足或改善，即采取 何种光顺处理方法 曲线、曲面的光顺问题涉及到几何外形的美观性，是一个较难界定的概念同时针对不同的 实际问题其衡量的标准也不尽相同这里所提出的曲线、曲面的光顺准则是在参考了大量的相关 文献的基础上，针对目前c a d c a l i 系统中普遍采用b 样条曲线、曲面的事实下给出一个比较适合 和便于进行几何评估的准则幢 2 2 光顺准则 迄今为止，光顺性还没有一个统一的标准，不过光顺性有其客观性的一面，虽然不同文献提 法有差异，但它们有很多共同点本文将具有代表性的文献e 2 6 3 和文献e 2 7 分别给出的平面曲线 和空间曲线的光顺准则( f a i rc r i t e r i o n ) 概括推广如下： 定义2 1 凡满足下列三条准则的曲线，= 厂( f ) 孵5 ( s n ，j 2 ) 叫做吼。空间的光顺曲 线： ( 1 ) n 阶光滑( ( 2 n s ) ) ； ( 2 ) 不存在多余拐点( 指使得曲率缸= 0 ( f = l ，s 1 ) ) ； 7 宁夏大学硕 j 学位论文第_ ：币曲线f i 面光顺 曼舅曼曼曼曼曼曼曼蔓曼曼! 鼍曼曼曼o ；ii； i i i。i i i 曼曼曼曼! 曼曼鼍曼曼 ( 3 ) 曲率k ；= o ( f = 1 ，s 1 ) 变化比较均匀 注1 ：当s = 2 时，即为平面曲线的光顺准则文献 2 3 ；当s = 3 时，即为空间曲线的光顺准则 文献 2 5 注2 ：曲率变化比较均匀意味着： ( 1 ) 曲率不连续时，在节点f ，处左右曲率差跃度和足够小，即：k o ；- k ，( f ；) ) l s ( 2 ) 曲率k ；变化比较均匀指无连续变号 。 曲面光顺准则文献 2 6 如下： 定义2 2 凡满足下列四条准则的曲面r = r ( t ) 孵3 做光顺曲面晗引： ( 1 ) 关键曲线( 如飞机或者船舶曲面的骨架线) 光顺； ( 2 ) 网格线无多余拐点( 或者平点) ； ( 3 ) 主曲率( 低次曲面) 在节点处的跃度和足够小； ( 4 ) 高斯曲率变化比较均匀 以上光顺准则都是局部光顺准则，还有一种普遍使用的整体光顺准则，采用“弹性簿板( 细 梁) 的应变能极小”作为曲面( 线) 的光顺准则光颗处理还要兼顾修改后的曲线( 面) 同修改 前的曲线( 面) 的“偏离”，以保证设计部门给出的各项性能指标不受影响，光顺和偏离是一种 对立统一的关系，曲线曲面光顺方法的基本思想就是偏离和光顺两部分的加权综合即在某种逼 近意义下的光顺导致曲线曲面不光顺的因素很多，但本质的原因之一是原始型值点或控制顶点 不光顺所致，光顺处理是适当调整型值点或控制顶点的空间位置以达到曲线( 面) 光顺的目的光 顺的型值点列( 控制顶点) 的定义如下： 一j 定义2 3 对于给定的一组型值点列( 控制顶点) p ( f = 0 ，1 ，咒) 如果至少能找到一条光 一f 顺的插值( 或逼近) 曲线，就称p ( f = 0 ，1 ，刀) 是光顺的，型值点是光顺的，但由于曲线 曲面的生成方式或所采用的曲线曲面表达形式不理想是导致不光顺的另一主要原因，光顺处理是 选择适合光顺要求的曲线曲面模型 本文提出的许多光顺算法是基于能量法，所以下面对能量法做一简单介绍 2 3 能量法 2 3 1 能量法原理 能量法是基于能量极值原理给出的一种包括光顺5 维空间曲线和大挠度曲线在内的光顺 8 宁夏人学硕 j 学位论文第二辛f f f l 线曲面光顺 方法，它的力学模型很直观设给定通过型值点列p r ( f = 0 ，1 ，以) 的曲线为厂= r o ( t ) 吼 的曲线为r = r o ( t ) 吼5 ，型值点q f 倪5 ( f = 0 ，以) ，d j ，d j 之间挂一条弹性为屈的小弹 簧，使q 。靠近p f 因此，包括样条和小弹簧在内的整个系统的能量为： e = 圭口莩j k ? 凼+ 圭妻肛0 z 一蚕，| 1 2 c 2 3 ， 式中口= ( 日) 2 ，k 为曲线r = r ( t ) 的曲率上式是为光顺的目标函数，求q ，使得e = m i n 即 得到光顺后的曲线，= r o ( t ) 吼5 从以下两个极端情况的分析可以看出这些权因子的具体意义： ( 1 ) 当取所有的屈= 0 ，口o 时，从e = m i n 立即有k ? 凼= 0 曲线p ( 誓) 变成一条直线， i = o 表示了一条最光顺的直线 ( 2 ) 当取所有的口= 0 ，屏o 时，从e = r a i n 可导出只= q f 于是问题就变为插值问题这 表明，所有光顺后的型值点与原型值点相同，没有任何偏差当屈取较大数时，光顺后的型值点 与原型值点的偏差就比较小，但曲线应变能可能较大，曲线的光顺性较差反之，口取较大数时， 曲线应变能就比较小，曲线较光顺，但光顺后的型值点与原型值点的偏差可能较大，使曲线的逼 近性较差因此，称口为光顺权， 屈 为偏差权光顺和偏差在这就体现了一种对立统一的关 系操作者的任务就是根据具体的问题，适当选取光顺权口和偏差权 屈) ，使光顺和偏差两个 方面都得到考虑 2 3 2 离散能量法 给定型值点列，( i = 0 ，1 ，n ) 孵2 ，将应变能弘2 凼离散为： 艺志黔e，rrt=1 2 厶，。， jo “i 其中：；= ! 塑为单位弦向量，= 0 t 一“8 为弦长离散能量法的目标函数成为： e = 口芝矗【尘一与堕l + 芝巾刮2 ( 2 3 2 ) 鲁+ + ， + j 智川“ 引” 注3 ：在实际计算中，光顺目标函数常取： 9 宁夏大学硕 ：学位论文第，二章f f l 线【f n 面光顺 e = 丢口肛2 出+ 抑一? 8 2 眨3 代替( 2 3 2 ) 式，即用控制顶点代替型值点 2 3 3 曲面的网格能量法 设y i ，倪3 ( f = o ，以，= o ，m ) 为光顺前曲面瓯：，= r o ( u ，v ) 倪3 的型值点或者控 制网格顶点，矿；，吼3 ( f = o ，n ，= 0 ，m ) 为光顺后曲面s ：，= ，似，) 吼3 的型值点或 者控制网格顶点，网格能量法的目标函数为： 瞎p 如薹啦2 ) + 酗盼矾9 2 亿3 4 ， k f 为y 曲线，= r ( u f ，1 ，) 的曲率，k 为“曲线，= r ( u ，0 ) 的曲率离散的方法类似曲线的情形 2 4 遗传算法 遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m ，缩写为g a ) 是一种有效地解决最优化问题的方法它最先是 由j o h nh o l l a n d 于1 9 7 5 年提出的遗传算法是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过 程的计算模型它的思想源于生物遗传学和适者生存的自然规律，是具有用随机化技术指导对一 个被编码的参数空间进行高效搜索其中，选择，交叉和变化构成了遗传算法的遗传操作：参数 编码，初始群体的设计，适应度函数的设计，遗传操作设计，控制参数设计等5 个要素组成了遗 传算法的核心内容遗传算法是一种随机的全局多点搜索算法，具有隐含并行性的特点，确定性 的数学表达式对遗传算法的进化过程影响不大遗传算法的操作过程是一种模糊过程而不是精确 的数值计算，特别适合于求解多目标优化问题当约束条件被转换到模糊域中后，模糊可行集合中 既包含可行点又包含不可行点的信息对于约束优化的问题中约束条件的处理，一般的方法都是 将其转化为无约束优化问题求解迄今为止，处理约束条件最有效的方法仍是罚函数法遗传算 法不能直接用于求解有约束的优化问题，所以在遗传算法中，仍可以采用罚函数将有约束转化为 无约束优化 2 5 光顺的检测 曲线、曲面是否光顺应该通过什么方法来检测昵? 光顺性的检测也是相对比较复杂的到目 1 0 宁夏人学硕f ：学位论文第二章【 i 线曲面光顺 前为止，比较可行曲线的光顺分析手段有下面几种协驯： a 显示构造样条曲线的控制多边形和对应的控制顶点 b 画出曲线的曲率随弧长变化的曲率图 c 在原曲线上画出表征曲率半径的矢量刷图 c 1 在原曲线上显示极值点和最值点 。 e 画出挠率随弧长变化的挠率图 根据以上信息可快速地根据有关光顺准则进行进一步的分析和修正调整得到曲面的光顺分 析，曲面的光顺分析相对曲线来说比较复杂，就目前所采用的方法，把它归类为以下四种： 1 基于曲率的分析方法：曲率是曲面几何属性中的重要内容，而且曲面的曲率与曲面的机械 加工制造密切相关，所以曲率分析是曲面光顺分析的重要组成部分，利用曲率进行曲面的光顺分 析有以下几种： 1 1 曲率的颜色映射曲率云图该曲率云图把曲面的每一点处的曲率值用可区别的颜色和亮 度值直观地表示出来，并提供不同颜色所对应的曲率值线性柱状对照表所以我们可以根据曲率 云图的颜色信息较直观地看出曲面的曲率分布情况，进而得到曲面的总体信息一般可提供云图 的曲率主要有：反映曲面在某一点的最小法曲率和最大法曲率，即两主曲率：平均曲率：高斯曲率 和绝对曲率 1 2 绘制出等曲率线把曲面上具有相同曲率( 如高斯曲率) 的点连接成的线称之为等曲率 线它同样可以反映出曲面的总体曲率的分布信息 1 3 绘制反映曲面每一点处曲率的矢量刷图在