（基础数学专业论文）离散时间的红利模型及markov链转移概率在其中的应用.pdf

离散时间的红利模登及m a r k o v 链转移概辜在其中的应用 摘要 风险理论已经发展了很长段时问。关于经典风险模型( 特别是连续时间的经典 风险模型) 的理论已经发展成了个较为完善的体系毫无疑问，经典风险模型的理 论为保险公司的险种设计及风险管理起到了重要的作用d ef i n e t t i 于1 9 5 7 年在纽 约召开的国际精算学术会议e 报告了一篇论文，文中首次提出了保险风险模型的分红 问题。并用它来更为现实地反映保险公司的剩余现金流显然，红利的引入能为保险 公司提供更多有价值的理论依据，梅蝴b 为保险公司设计带红利的险种及其管理提 供了理论依据最近。风险理论中的分红问题引起了学者的很大兴趣但是基本上都 是考虑连续时间风险模型中的红利问题然而，引入红利的离散时间风险模型不但有 其固有的研究价值，作为连续时间的风险模型的近似也有它研究的意义，而且保险公 司的实际攥作不可能连续时间进行，面只能在离散对刻进行所以，本文考虑了离散 时问风险模型中的红利问题 关于红利同题，本文对两个离散时间的红利模型作了讨论这两个模型在本文 中分别称作红刺模型( i ) 和红利模型( ) 对这两个模型的讨论主要采取两种方法。 c , e r b e r - $ h i u 期望昭现羁金函数方法和本文提出的m a r k o 链转移矩阵方泼其中 g e r b e t - s h i u 期望贴现罚金函数法自提出以来，在连续时间模型中的应用比较广泛而 且相当有效但是很少在离散时间模型中看到它的应用，原因是其运用的难度本文 尝试着用这种方法得到了一些满意的结论而m a r k o v 链转移矩阵法在当前的文献中 很难见刭，其原因可能是此法计算e - x ，也可能是因为这种方法只能在离散时间模型 中或对连续时间模型离散化后的模型中才能运用，而离散时间模塑的研究往往比连 续时间模型难度大可以认为，在当前计算机技术高度发展的情况下，m a z k o v 链转 移矩阵法值得大力推广，这也是本文撰写的一个初衷 红利模型( i ) 是个随机支付红视的离散时间模型这一模型是在复合二项模型 的基础上引入红利支付而修正了的模塑我们假设保险公司在盈余大于或等于某一 给定的非负整数的红利界( 门街z 时，保险公司以概率q 0 支付1 个单位的红利给受 保者或本公司股票的持有者本文第二，三四章讨论这个模塑 在第二章中，我们推导出了这个红和i 模型的罚金函数圣( o ) ，圣( 1 ) ，圣( 妨满足一 个线性方程( 组) ，并且运用矩阵论的知识证明了这个线性方程组在正的安全负载条件 下存在个唯一的解而当” z 时，我们获得了罚金函数量( u ) 满足的两个递推公 式接着我们推导出了罚金函数满足的个渐近估计公式。匕述公式的获得经历了一 个非常复杂的推导过程，并且对它们的推导完全异于连续时间模型的推导，很难借鉴 连续时间模型根据罚金函数，我们能获得许多重要的风险量所满足的线性方程组 i i 博士学位【论文 递推公式以及渐近估计公式，倒如，( 本文提供的) 最终破产概率、破产时赤字的分 布函数破产时赤字的母函数破产前一时刻盈余的概率函数等在本章的最后，我 们运用所得的公式对上述风险量进行了数值计算，获得了十分满意的效果 在第三章中，我们用另一方法一一m a r k o v 链转移矩阵法推导了红利模型( i ) 一 些重要风险量的矩阵表达式可喜并难得的是这些表达式全是显式形式的运用这些 矩阵表达式计算出的结果与第二章中数值计算结果完全吻合这一章的论述过程大 致如下在假设条件下。保险公司的盈余过程u c t ) 是个初始分布为单点分布的齐 次马氏链，如果在停时( 破产时刻) t 处k n l 这个过程所得的k g t e d 过程u ( t t 3 仍然 是个齐次马氏链运用这个k i l l e d 过程的步转移概率矩阵我们首先推导出了破产 时刻、破产前一时刻的盈余和破产时的赤字的联合概率函数从这个联合概率函致我 们可以求出各边际分布。从而获得有限时间内的破产概率最终破产概率、破产时赤 字的分布函数、给定破产( 或破产时刻) 的条件下破产时赤字的条件分布函数等运 用这一章的公式进行计算时显然计算量巨大但值得一提的是，我们获得了一些第二 章中无法得到的风险量，例如，有限时间内的破产概率，赤字的条件分布等 在第四章中，我们在正的安全负载的条件下考虑红利模型( i ) 的负盈余时问。即 保险公司的盈余处于赤字状态的时间如果允许保险公司在破产之后仍然正常经营。 或迟或早盈余将回到零状态，以后将有可能第二次破产，第三次破产，我们发现 破产次数的分布有两种情况t( 1 ) 当初始盈余“= 0 时，服从几何分布；( 2 ) 当u 2 1 时，服从如下分布， p r n ：k i u c 0 3 ：叫： 妒( 砷眇( 0 ) 】k - 1 【1 - - 妒( o ) 】k 2 1 ，2 ， 【l 一母 k = o 所以我们就上述两种情况，分别推导了第一次负盈余时问、以后各次负盈余时阿以 及负盈余时问总和的一阶矩、二阶矩，母函数，分布函数( 矩阵表达式) 值得强调的 是，负盈余时间与首达时( 盈余从0 出发首次到达某一大于0 的给定水平的对问) 的 分布有着密切的关系首达时分布的推导已有一套成熟的方法，值得庆幸的是这套方 法能成功地运用到红利模型( i ) ，这就是本章的切入点 我 】常见的复合二项模型，即c e r l m r ( 1 9 鹧) 最初定义的模型假设了单位时简内 的保费收人为1 个单位、每次索赔的量都是保费率的正整数倍，这不具有一般性因 此我们在第五章对这个模型作了改进，考虑个任意正整数保费率的复合二项模型 这个模型的c e r l r o s h i u 期望贴现罚金函数的推导遇到了严重的困难所幸的是我们 仍然获得了罚金函数满足的个线性方程、个上吴、个下界以及个不完善的逡 推公式上述这些公式虽然不能精确地求出罚金函数，但可为保险公司提供一个粗略 的风险估计，并且在运用第六章的公式( 矩阵表达式) 进行数值计算时可用来作误差 估计第六章的矩阵表达的公式虽然是精确的表达，但数值计算时只能作近似计算， 离散时伺的红利模型及m a r k o v 链转移概率在其中的应用 i i i 其误差不太好估计。第五章中的公式正好弥补了这一不足之处 在第六章中，我们提出红利模型( ) ，它是在第五章改进了的复合= 项模型中弓l 入红利支付而得到的模型与红利模型( i ) 对比，个主要的区别是红和的支付不是 随机羽：决策决定的我们假设当盈余大于或等于给定的红利界时保险公司就支付1 个 单位的红利红利模型( ) 是复合二项模型的推广，因而所得结果全部包含了复合二 项模型的结果本章所采用的方法主要是m a r k o v 链转移矩阵法( 与第三章类似) ，这 比第五章中的罚金函数法有效得多，并且所处理的模型更为广泛这也就是本章的目 的所在 m a r k o v 链转移矩阵法值得推广不仅体现在处理离散时问模型中的强大功能，我 们也可以用它来对许多连续时间模型的风险量作近似计算为了抛砖引玉，在第七章 中我们考虑个连续时间风险模型一一s p a r r ea n d e r s e n 模型我们用m a r k o v 链转移 矩阵法成功地推导出了这个风险模塑的最终破产概率的近似计算公式以及上下界。 在运用我们提供的公式进行数值计算时有一个显著的优势。那就是所得的近似值与 精确值之间的误差从理论上来说是可以控制的，即误差可以控制到事先给定的任意 水平 从本文可以看出，g e r h e r - s h i u 期望贴现罚金函数法在风险理论中有其独特的优 势一一计算量小。但在离散时间风险模型中运用时困难不小，这方面难题的解决还有 待更多的同行的参与对比之下，m a r k o v 链转移矩阵法在风险理论中具有广阔的应 用前景本文仅仅提出两个红利模型，我们还可以设计更多更复杂的离散时甸的红利 模型，并且还可以换个角度来考虑红利问题，伪如最优红利问题 本文表格中所有数据是作者自己使用s - p l u s 统计软件编程计算得到的 关键词t 离散时间模型；复合二项过程；红利；破产概率；递推公式；渐近估计； c - e r b e r - $ h i u 贴现罚金函数；m a r k o v 链转移矩阵 i v 博士学位沦文 a b s t r a c t t h er i s kt h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e di naf l ol o n gp e r i o dt h n tt h et h e o r ya b o u tt h e e l a 鹤i e a lr i s km o d dh 觞a l m 0 6 tb e 电p e 矗e 吐e d ，酋g e e i a l l y , a b o u tt h e 出l 暑8 i c a l n t i 盈1 洮8t i m e r i s k m o d e l b e y o n d a l l d o u b t t h e t h e o r y i s p l a y i n g a i n i m p o r t a n tr o l e f o r a n i n f l l n e l g t o d e v i s e f l e wp r o d u c t sa dt om a n a g et h e m s o m ed i v i d e n dp r o b l e m sb a s e do nt h ee o n t i n u o t t 8t i m e r i s km o d e lh ea t t r a c t e d8 i g n i f i e s , n ti n t e r e s ti n 翻) l n er e c e n tl i t e r a t u r e d i v i d e n ds t r a t e g i e s f o ri l l l r l r a l l c er i s km o d e l s f i r l g d yp r o p 0 6 e db yd el ，i n e t t ii nap a l p r e s e n t e dt ot h e i n l ；e r m t i o n a l c o n g r e s s o f a c t l r i i n n e w y o r k i n1 9 5 7 o b v i o m l y , d i v i d e n ds t r n t e g i e s 鼬 n l o l r l r e a l i s t i c a l l yl l 如3 tt h es u r p l u sc a 8 hf l o w si na ni m u r a n e ep o r f f o l l oa n dt h et h e o r i e s a b o u tt h e m8 v e r yv a l u n b l ei nt h ed e w i n ga n dm a n a g i n go fi ) r o d u e t sw i t hd i v i d e n d s b u t o u rc o l l e a g u e so n l yl u ￥v eb e e ne o n e e r a e dt ot h ed i v i d e n dp r o b l e m si ns o m ec o n t i n u o u s t i m em o d e l su n t i ln o w w h i l et h ed i s c r e t et i m er i s km o d d sw 托hd i v i d e n d sa r ea l 亭ow o r t h y o fo u rd i s c u s s i o no w i n gt on o t 皿l yt h e i ri n d e p e n d e n ti n t e r e s tb u t 缸t h e i ru s ea 8 腿 a p p r o x i m a t i o nt ot h ee o n t i n t t o t mt i m em o d e l sw i t hd i v i d e n d s t h e r e f o r e ，i nt h 珥p b p 口，1 障 a mi n t e r e s t e di nt h ed i s c r e t et i m er i s kl l a o d e l sw i t hd i v i d e n d s i nt h i sp a p e r 啪e o n s i d e rt w od i s c r e t et j m er i s km o d e l sw i t hd i v i d e , d 8a n dc a l lt h 柏d i v i d e n dm o d e l ( i ) a n dd i v i d e n dm o d e l ( i i ) r e s p e c t i v e l y t w om e t h o d sa r ea p p l i e d v h e n w ed i s e t t i l et w om o d e l s ，i e ，c , e r b e r - s h i e , 俾印耐耐d i s c o u n t e d ) p e n a l t i tf u n c t i o na n d m a 捕o vt r a n s i t i o nm a t r 4 口s u g g e s t e db ym y s e l f t h eg e r b e r - s l a i up e n a l t yf t m e t i o nw a s p r o p o s e db yh u g e r b e r de l i a ss ，w $ 1 a i ui nl 7 ，a 丑d 镕w i d e l y , , p 1 ) l i e dt ot h e c o n t i n u o u st i m em o d e l sw i t l ae o c e e l l e n tb e t m v e s b t a tw ea l m o s tc a n 、f i n dt h em e t h o di n t h ed i s c r e t et i m em o d e l so w i n gt ot h ed i t t l e t t l t yo fi t sa g p l i e a t i o l a si n t o m e8 u c hm o d e t s i n t h i sp a p e r mt r yt oa p p l yt h em e t h o da n do b t a i nf l o l n es a t i s f i e dr e s u l t s a sf a ra st h e m a r k o vt r s n s i t i o nm a t r i x ，i ti sd i l t i e u l tt of i n di tn o to 1 yi nd i s c r e t et i m em o d e l sb u t a l s oi ne o n l ：i n u o t l st i m em o d e l s t h ec 8 1 1 m a yb et h eg r e a tq t m n t i t yo fc a l c u l a t i o na n d t h a ti tc a n ta i r i l yb ea p p l i e dt oe o n t l n u o u st i m em o d e l s ii ；h i l a kt h em 口k o vt r a n s i t i o n m a t r i x8 1 a o u l db ep a i da t t e 址i o nt oa n db eg e n e r a l i z e db e c a u s eo ft h ed e w l o p e dt , 比h n j q u e o fe o m p u t , e ra ；tp 聪n t 硼l i si sam o t i v ef o rm et ow r i t et h i sp a p e r 一md i v i d e n dm o d e l ( i ) i sad j b c r e t et i m em o d e lw i t hr a n d o m i z e dd e e i s i o m p 掣i n g d i v i d e n d s ，i , e ，8e o m p o t m db i n o m i a lm o d e lm o d i 丘e db yt h ei n d 妞o fd i v i d e - 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t i m er a i np o b 曲蛳锄dt b e 啦d 幽蛐 ld j s t 】曲蜘鼬i 触0 ft h ed e f i c i ta 土n 血 i n t h ec h 哪口4 ，帆训d e f t h ed t 眦i o no f n 哪撕唧l 埘蛔t h e i ) i v i d e n d m o d e l u n d e rt h ec o n d i t i o n0 fap 涮雌v e c u r i t y1 0 “h 晦i e ，t h e 铀eo fs u 咖t e m p 叫蛐 础咖n gb e l o 宵t h ez e l e v e li fr u i no c 棚巧i h ”t ot h ea s s u m p t i o n sp i 伪既r e d ，t h e 矾l r p l m 耐g o t o i n 丘n i t y w i t hp r o b 8 b n 时1 s o ，姐c e n l i n h 柚o o c t l r r e da t t i m e t a d d t h e 舳r p i i | 8 缸删埘o r 岫甜) 砌础t h e 黜l e v e l 射妇哪壮d s ，t h e 叫n d 曲m 帮c l 玛t h e t h i r d 博士学位 q 文 r u i nm a yo 删r a n d8 0o n w ef i n dt h a tt h ma r et w os o r t so fd i s t r i b u t i o nf o r ( t h e n u m b e ro fr u t h ) ：( 1 ) no b e y sag e o m e t r i cd i s t r i b u t i o ni ft h ei n i t i a ls u r p l u su = 0 ；( 2 ) n 曲螂t h ef o l l o w m gd i 妇 i b u t i o ni f 1 n 峭叭o ) = t 日= ：? 嚣p q 【1 叫1 譬2 ， d i s t i n g u i s h i n gt h et w 0c ，md e r i v et b em o 血砷，t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n s 勰dt h e d i s t r i b u t i o nf u n c 七i o n g ( 旬中北b 8 e db m a ：t r i x ) f o rt h e 丘i 吼d u r a t i o no fn 喇i v es u r p l u s ，t h e c o n d ( o rt h et i e d t 。rt h ef o r t h ，) d u r a t i o no fn e g a t i v e r p l ，a n dt h e ( 8 t o 出t i c ) 朝l mo ft h ed u r a t i o n sr e s p e c t i v e l y n o t et h a tt h ed u r a t i o no fn e g a t i v es m p l u 8m t 汹w i t h t b e t i m eo f 丘r 冒tp a s s a g ea t l e v e l w h 龃t h ed e t i d t i s 掣8 tr u i t h e r e i sas o 吡o f m a t u r e m e t h o df o ri 坤t od e r i v et h ed i s t r i b u t i o no f t h et i n o f f i 船tp 舶8 a g 已i ti sv 凹yl u e l 玎t h 8 tt h i b m e f l m dm 鲥矗l n yb ea p p l i e dt ot h ed i v i d e n dm o d e l ( i ) ，w h i c hi sa 蛔妇w r i t i l 培 t h i s 出a p t t h e r ej sa no b v l o md 如ta b o u tt h ef | 啪畦h a rc o m e , a n db l n c a i a lm o d e lr e c o m m e n d e d 坶g e r b e ri nl 螂i ng e r b e r ( 1 驰8 ) ，t h e r ew s u c h 唧u m p t i o nt h a tt b ep r e m i u m s f o fe hp e r i o da r eo n e ，w h 她i m p l i 删t h a t 目m yc l a j l i ii so n l y i n t e g r a lm u l t i p l eo ft h e p r e m i u mr a t e o b v i o u s l y , t i md d n ta c c o r dr u t ht h e 切匠 e r s a l i 钾t h e r e f o r e ，i nd l 川，t 髓 5 w em o d i f yg 口b 口sc o m p o u n db i m i a lm o d e l de o m i d e rt h em o d e lw i t hg e n e r a l p r e i r a t e b u tt h eg e r b 口- s h l up e n a l t yf i | n c t 妣i 8d e r i v e dm o l ed i f f i c u l t l y i ti sv e r y t u c k yt h a 七陀础i 僦a1 j 】峙缸觏i n a 七i a b o u tt h ep 既咖劬c 乞i o n ，缸u p p e rb o u n d ，a l a mb o u n ds a dan o tp e r f e c tr e c 咖nf o 皿a l t h o u g h c a l l ta c c u r a t e l yc o m p u t e t h ev a l u e so ft h ep 衄a l _ 哆f u n c t i o nb 矿t h ea b o v e 如n m l l 柏，w ec a no f f e ra ne s t i m a t e 细 t h ep 既嘶f u n c t i o n t h ef o r m u l a sm e n t i o n e di na 1 ) a v ea 弛a l s oo fa n o t h e ru ，i e ，啪 眦印p i yt h e mt o 啊乞i m a t et h ee l l r o 船o fs p p r 蛐试啷蛔跏er u i nq u a n t i t i e sw i t h m 8 t 出国印咖鼬匮。珊i nt h e & a p t 日6 t h 口u g ht h ef o n m l l a 8w i t hm a t r i x 唧r 龆8 i 蚀8i nt h e 曲a p t e r6a l eo 【8 c tf o r m u l a s 幻f m em i nq u a n t i t i e s ，w e 锄o n l yg e tt h e i ra p p r o d m g t e v a 蛔b e c 黼t h eo r d e r so ft h em a t r i x e s 眦虹l 矗n i t e s o t h ef o r m u l a si nt h ec h a p t e r58 r e 蛐et 2 u l8 u 1 ) p l e m 既曲f ht h e 曲a i 站啊6 h t h e 出a p t 口6 聊o p 0 b ea 咖m o d e l n a m e l y , t h e d i v i d e n d m o d e l ( 1 1 ) i t i 88 d j 懿托t et i m er i s km o d e lb a s e d 衄t h ec o m p o u n db i n o m i a l 删dw i t h 群m e r a lp 】陀m i u mm t e t h ei l l r 凹p a y sad i v i d e n do f1w h e nt h e 蛐- p l mj 8f 妇t h a n e q u a lt oan o n n 唱a t i l l t e g t ! rd i v 埘l e n db o u n d t h ed m d 明d sa l en o p a i d 曲证h a 8 t i c 8 l l y w h l e hi sd i f f e r e n tf r o m t h e 嘲d 即d m o d e l ( i ) t h e 喇d 蛆d m o d d ( i i ) j 8a 目0 r t o f g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c o 掣咖 b i n 伪n i a lm o d e l h e n a r e s u l t si nt h i 8 曲且p t 口i n c l u d et h e 洲髑；p o n d j n g 删缸o ft h e 塞墼塑堡箜垒星 ! l 型墨翌! ：墼壁茎蔓塑主墨茎箜! 塑：翌： e l s s s i er i s km o d e l t h em a i nm e t h o da p p l i li nt l a i sc h a p t e ri st h em a r k o vt r a 瑚i t i o l lm 时r i x ( 由n i 】t o 如ec l a t t e r3 ) a n di sm o l ee f l l e i e l l tt l a n nt h ep 锄, l t yf t m e t i o ni nt h ec h a p t e r5 it h i n kt h em e t h o dm a yb ew i d e l ya , o p l i e dt oo t h e rr i 日l m o d e l s r e e o m m e a a d i n gt h em e t h o d i sam a i np l l 邛。眈o ft l a l ae l l a p t , e r o u rn e wm e t h o d ，i e ，t h em a r k o v i m 晡t t o l al v 扭t r t x , i s 常瑚姆g e a e r a l i z i n go w i n gt o n o o n l yi t ss t r o n ge 击e l e n e yw h e nd e a lw i t hs o m ed i s c r e t et i m er i s km o d e l b u ta l s oi t si l a e o na p p r o x i m a t ea d c l l l a 宣童o no ft h er u i nq t t a n t i t i e 8i nf l o r a ee o n t i m t o u sl i m em o d e l s a s 趾 e r a u n p l e me o m i d e rt h e $ p a r r ea n d e a - s e nm o d e li nt h ee l u i p t d ：7 w e8 u e e e 8 8 f l ：t l l yd e r i v e b , , l l aa p p r a o c i m a t ef o r m u l a , a nu p p e tb o t m da n d8l o w e rb o u n df o rt h er u i np r o b a b i l i t y t b e a p p r o x i m a t ef o r m u l ah a sag r e a ta d v a n t a g e ：t h ee r r o ri sc o n t r o l l a b l el h e o r e t i e , 8 1 1 y 霉她恤p 胡p 口， w ek n o _ rt h a tt h ec ；e r b e r - $ h i ap 期嘶缸l a e t i o nh a 8as g e e i a lv 缸恤 j ni t 8a p p l i e a t i o l a ，i , e ，as m a l le o m p u t 甜i o n a li l l u l i b e r b u tt h ed e r i v a t i o n so ft h ef o r m u l f o ri t a u s u a l l yd i t t i e u l ti nt h ed i s c r e t et i m er i b km o d e l s 8 0 l v i n gt h e s ep r o b l e m sn e e d l l t h es t u d i o u sw o r ko fm o c o l l e g e s i nc o m p a r i s o n ，t h em s r k o vt r a m i t i o x xm a j t r i xh a b l i g h tp r 0 6 p e e t o i x l yt w om o d e l sw i t hd i v i d e n d 8a p r o p o s e di nt h i sp a p e r b u t w ec a n s t i l ld e v i s em o l ea n dm u e l am o r ec o m p l e xm o d e l sw i t hd i v i d e n d s p t t r t ；h e r m o r e ， m 帮 e o l a s i d e r8 0 m eo t h e l p r o b l e m si n 证博d 妇e 乞et i m e 强o d d sw i f e l ad i v i d e a d 8e 埘 p tf o rn 正n q u m a t i t i e s ，f o r m p l e ，t h eo p t i m a ld i v i d e n dp s , v - o u t x e yw o r d s d i e t et i m er i s km o d e l ；c o m p o u n d b i n o m i a lp r o e e ；d i v i d e n d ；r t l i np r o b - a b i l i t y , r l u r s i o r lf o x m u