（基础数学专业论文）一个二阶非线性微分系统解的整体存在性及其有界性.pdf

一个二阶非线性微分系统解的 整体存在性及其有界性 专业：基础数学 姓名：吴昌健 导师：殷朝阳教授 摘要 本论文主要研究一个来自于物理学和生物学等领域的二阶非线性微分系统 解的整体存在性及其有界性 本文在已有成果的基础上进行了进一步探索，得出了一些关于该非线性微分 系统解的整体存在性及其有界性的新结论，文中主要定理的证明方法是通过构造 以二卿姗d v 函数为基础的辅助函数进行证明的 本文共分4 章 第1 章主要介绍了本文所讨论的模型及所要研究的问题 第2 章主要介绍了一些预备知识，如：微分方程解的存在性和唯一性定理， 解的延拓定理以及巧叩聊d 1 ，函数的定义 第3 章给出了在日( x ) 和c ( 力有界的情况下该非线性微分系统解的整体存在 性的一些新结果 第4 章除了给出了在日 ) 和c ( 少) 有界的情况下，该非线性微分系统解的有 界性的一些新结果外，还给出了一个不依赖于日( x ) 和c ( j ，) 的该非线性微分系统 解的有界性的判定定理 关键词：二阶非线性微分系统，母印“以d v 函数，解的整体存在性，解的有界性 论文原创性声明内容： 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 学位论文作者签名：笔虢使 日期：埒占月7 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的 的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以 采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：曩黟役导师签名： 日期：扣瞄年毛月7 日 日期：年月 日 微分方程基本定理 2 1 微分方程解的存在性与唯一性 考虑自变量为r ”中的向量x = ( 西，吃，矗) ，且取值也在尺”中的向量函数 g ( x ) ，即 g c x ，= 三三 = 三兰：三：二： 向量函数g ( x ) 连续，即吕( 一，屯，吒) ( 江l ，2 ，玎) 作为五，x 2 ，而的函数都连续 函数g ( f ，x ) 称为在d = 口见，日cr ，皿c 尺”上关于x 满足利普希茨条 件，如果存在常数三 o ，使得不等式 g o ，) 一g o ，恐) l 0 ，使得在 区间j = 一口，岛+ 口】上存在微分方程( 2 1 ) 的唯一解x = x ( f ) ，且连续并满足初 始条件 ( 2 2 ) x ( 岛) = 定理1 2 ( p e a n o ) 【17 】假设函数厂( f ，x ) 在卜办，乃 【考一6 ，告+ 6 】上二元连续， 且i 厂，z ) i m ，那么当口 去，且口 办时，方程的初值问题 = 厂( f ，x ) ， 卜( o ) = 毒 在【- 口，口】上存在解x ( f ) 2 2 解的延拓 定理1 1 保证了局部区间= 一口，+ 口】上有方程( 2 1 ) 满足条件( 2 - 2 ) 的解存在，而区间是闭的，所以这个解一定有一个比，更大的存在区间因为， 如果令 = 岛+ 口，五= x ( ) = x ( f o + 口) ，那么以，而代替定理1 1 中的和而，就得 3 到一个正数q ，在区间以= 一口1 ，f l + q 】= + 一q ，+ 口o + q 】上存在方程( 2 1 ) 的解x ( ，) ，满足条件x ( ) = 五这样来，在区间与以的交，n 以上先后得到两 个解x ( f ) 与x ( f ) ，但它们在点，n 处相等，即x ( ) = x ( ) 由解的唯一性，它 们在整个区间，n 以上相等这样就得到一个定义在，与以的并区间j u 以上的 解，因而解的原来定义区间，向右延拓了同样地，也可以向左延拓所以解的 存在区间比定理1 1 中那个闭区间j 要大 引理2 1 1 5 】如果向量函数x ( r ) 与- ( r ) 都是方程( 2 1 ) 满足条件( 2 2 ) 的 解，它们的定义区间的交是区间，o ，则在，上x ( f ) = x ( f ) 上述解的延拓的办法还可继续进行，最后我们将得到一个解x = x o ) ，它再 也不能向左右方继续延拓了这样的解称为方程( 2 1 ) 的饱和解任一饱和解 x = x ( r ) 的最大存在区间必定是一个开区间口 r 卢因为如果这个区间右端是 闭的，那么卢是有限数，且点( 卢，x ( 卢) ) d 这样一来，解x = x ( f ) 就还能继续向 右方延拓，从而它是非饱和的对左端点a 可同样讨论究竟解z = x p ) 向两边延 拓的最终情况如何呢? 这一问题可以由下面的解的延拓定理来回答 定理2 1 1 6 】如果方程( 2 1 ) 右端的函数( f ，x ) 在有界区域d 中连续，且 在d 内关于x 满足局部利普希茨条件，那末方程( 2 1 ) 的通过d 内任何一点 ( ，) 的解x = 工( f ) 可以延拓，直到点( f ，x ( f ) ) 任意接近区域d 的边界以，增大的 一方的延拓来说，如果x = x ( f ) 只能延拓到区间f r 上，则当r 专丁时，o ，工o ) ) 趋于区域d 的边界 推论2 1 【1 6 】如果d 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程 ( 2 1 ) 的通过 x 警= 喜篝鲁= 喜第， d l 暑a x ，d t鲁瓠“ 这样求得的导数华称为函数y 通过方程( 2 3 ) 的全导数 讲 6 解的整体存在性 在本章，我们主要研究非线性微分系统( 1 1 ) 解的整体存在性本论文只研 究f o 的情况 定义如果非线性微分系统( 1 1 ) 对于给定初始值( ，) 的解( x ( f ) ，y ( f ) ) 的 存在的最大区间是 o ，) ，且( x ( f ) ，y ( f ) ) 满足条件 x ( 0 ) = 嘞，y ( o ) = y o ， 则称解( x ( f ) ，y ( f ) ) 是整体存在的 首先定义如下的函数 c ( y ) = r c ( s ) 西 和 ( x ) = r 口2 0 ) 办( s ) 凼， 则有 定理3 1 假设 ( 1 ) 存在k 0 ，成立 s g r l ( 工) ( x ) + k o ，x 尺， s g n ( y ) c ( y ) + k 0 ，y 尺 ( 2 ) 存在0 ，0 q ，l 少i (5) s g n ( x ) 口( x ) 6 ( x ) 乃( x ) 【p ( s g n ( x ) 日( x ) + k ) + a 9 ( s g n ( x ) j r 彳( x ) + k ) 】 ， l x i ，且 办( x ) i m ，z r 如果 降+ q 如 上而再丽一 则( 1 1 ) 所有的解是整体存在的 证明：由于口：r 专( o ，) ；6 ，c ，厅：r 专r 和p ：尺专r 都是连续的，由p e a n o 存在定理，对任意的初始值( ，儿) ，方程组( 1 - 1 ) 存在一个满足初始条件 x ( o ) = ，j ，( 0 ) = ，且定义在 0 ，丁) 上的解( x o ) ，y ( f ) ) ( t 是极大的) 如果r ， 由延拓定理的推论2 1 ，则必有 ! i 碑( i x ( f ) i + i y ( f ) 1 ) = f 1 ) 首先，假设有；蛩i 少o ) l = o o 由y ( f ) 的连续性，可知存在o 瓦 ，即 jc ( y ( f ) ) i 矛盾 令k ( f ，x ，y ) = s g n ( y ) c ( y ) + k ，f r ，x ，y r 当f 瓯，丁) 时，s g n ( 少( f ) ) 恒为一常数，因而k ( f ，x ，y ) 沿( 1 1 ) 的解( z ( f ) ，y ( r ) ) 对，的导数存在，将k ( f ，x ，少) 沿( x ( f ) ，y ( f ) ) 对f 求导，可得 ( 3 1 ) 望：s g n ( y ) 卜口( x ) c ( y ) 办( x ) + 口( x ) c ( y ) p o ) 】 d f ( i 办( x ) l + l p ( f ) i ) a ( x ) i c ( 少) i 这时，如果j 姊x ( f ) = ，则令形( f ，x ，少) = 工，f 足，x ，y r 将矿( f ，x ，j ，) 沿着( 1 1 ) 的解( x ( f ) ，y ( f ) ) 对f 求导，则有 ( 3 7 ) 婴：去一例 斫 口( x ) 7 一 显然存在五和屯，成立 五 艺 ( 3 - 8 ) 警 o ，五娜引邝f 由解的连续性，存在0 f l 如 屯= 形( 乞，x ( 乞) ，y ( 乞) ) 这与五 而矛盾 当! 鲫x ( f ) = 硼时，令形o ，x ，y ) = 一x ，同样可以得到矛盾因而，! 姊iz ( 圳 这与r o 。时，! 鲫( f 戈o ) f + l y o ) f ) = 矛盾因而结合1 ) 和2 ) ，可得到r = ， 也就是说o ( f ) ，y ( f ) ) 是整体存在的由( ，) 的任意性，可知( 1 1 ) 所有的解是 整体存在的证明完毕r 注：将上述定理与 1 】一文中的定理l 比较，可以发现有两点本质不同之处 首先， 【l 】一文中的定理1 的假设条件要求1 i ms u p c = o o ， 。! i 墨( h ( x ) + s g i l ( x ) 6 ( x ) ) = ，而定理3 1 的假设条件则要求野ms g n ) c ( y ) = q ， l j l 1 ，d 一一 一 i 鞋呸= 聂蕞万万两+ s g n ( 功6 ( 功】：其次， 1 】一文中的定理1 的假设条件要求 p ( s ) ，( s ) 为定义在r 上的正的非递减的连续函数，而定理3 1 的假设条件要 求j “( j ) ，( s ) 为在【0 ，k + q ) 上有定义且在【0 ，k + q ) 为正的连续函数，且定理3 1 和 1 】一文中的定理l 对于要求j l l ( s ) ，( s ) 控制口0 ) ic ( 夕) l 的条件也不同这两点 本质不同之处使得定理3 1 与 1 】一文中的定理1 用于辅助证明的句印姗d ，函数 有些不一样，定理3 1 中的辅助函数是k ( ，x ，y ) = s g n ( y ) c ( j ，) + k ， ( ，而y ) = s g n ( x ) 疗( 工) + k 和( f ，艺y ) = x ，而【1 】一文中的定理1 的辅助函数则 是矿( ，x ，y ) = c ( y ) + h ( x ) + 五十吃和形0 ，戈，y ) = x 由此可见，并不能由定理3 1 推出【l 】一文中的定理1 ，也不能由 1 】一文中的定理1 推出定理3 1 例1 ：考虑方程 ，1 + x 2 x 。= 广， 1 + v 2 。 y 一志+ 南 y2 一丽+ 丽 令m ) 2 击，6 ( 加。“y ) 2 专州加 彰椰么 c ( y ) = 似) 凼= r 啬= a r c t a n y ， 砸) = 肛啪函= r 鲁= a r c 锄z 取k = o ，= o ，9 = 要，容易验证c ( 少) 和日( x ) 满足定理3 1 的假设条件 ( 1 ) 一( 3 ) 取胛阄( 啦半，州o ，三) ，则 m m c 川2 志。专鲕n t 南，赤， = m i i l p ( s g n 0 ) a r c t a i lx ) + ( s g n ( x ) a r c t a nx ) ， p ( s g n ( y ) a r c t a ny ) + ( s g n ( y ) a r c t a i ly ) ) = m i n ( s g n ( x ) a r c 触x + k ) + ( s g n ( x ) a r c t a i lx + k ) ， p ( s 鲥y ) a r c t a i l y + k ) + ( s g n ( y ) a r c t a l l y + k ) 即p ( 8 ) ，( d ) 满足定理3 1 的假设条件( 4 ) 因为s 烈x ) 口( x ) 6 ( x ) 办( x ) = o ， f 厅( x ) f = 1 ，定理3 1 的假设条件( 5 ) 容易验证 由于 f 斋= f 器三f 熹一 应用定理3 1 ，可知上述方程所有的解是整体存在的 注：显然【1 】一文中的定理l 不能应用在上述方程中因为在上述方程中， c ( y ) 肯定为i + c ( c 为常数) ；若c = 。，则i 辫s g n ( y ) c ( y ) = 三，若c 。， 则l i mc ( y ) l i mc ( y ) 即在上述方程中，取不到满足【l 】一文中的定理1 的假设 条件的c 抄) ，因而应用不了【1 】一文中的定理1 定理3 _ 考虑了熙s 驴( y ) c ( y ) = q 】塾咎万= 蒜+ s g n ) 6 0 ) 】= 的 川 j j i ，一s g n lr l ，了ir l 情形，当j 辫c ( y ) = 9 ，般虿= 斋两+ s g n ( x ) 6 ( z ) 】= 时，也有相应的结论因 而，类似可以得到以下定理 定理3 2 假设 ( 1 ) 存在k o ，成立 日( x ) + k o ，x r ， c ( y ) + k o ，y r ( 2 ) 存在o ，0 q ，川 ( 5 ) 口 ) 6 ( x ) 办( x ) 1 ( 日( x ) + k ) + ( 日( x ) + k ) 】，l x i ， 如果 且lj i 2 ( x ) l a f o 。，x r 举+ q d s i 一= ， 由 ( s ) + 国( s ) 则( 1 1 ) 所有的解是整体存在的 证明：取k ( f ，x ，y ) = c ( y ) + k ，o ，x ，y ) = 日( x ) + k ，仿照定理3 1 的证明 过程即可证明定理3 2 例2 ：考虑方程 那么 令口( x ) = 拈斋+ 学茅，( 1 + j ，2 ) 2 ( 1 + y 。) 2 2 xf y 一面7 面面f 而+ 百丽。 i 丽6 ( x ) = 。，c ( y ) = i r 寿， 口 揪) = 惫“归一 c c y ，= 出= f 赫小专， 坼) = 阳啪出= r 【南】2 小南 取k = o ，= o ，q = 1 ，容易验证c ( y ) 和日( x ) 满足定理3 2 的假设条件 1 4 l l j l 印 取( ，) ：( f ) ：半，f o ，1 ) ，则 m m c 川= 南，辫列n t 南，专， = m 洒 j l f ( 日( 曲+ k ) + ( 日( x ) + k ) ，( c ( 少) + k ) + ( c ( y ) + k ) 即( f ) ，( f ) 满足定理3 2 的假设条件( 4 ) 因为口( x ) 6 ( z ) 办( x ) = o ， j 办( x ) j - 三嘤l ，条件( 5 ) 容易验证 1 + x 由于 f 斋= f 鲁一 应用窑珲3 2 可知卜诔方程所有的解县罄体存存的 所以存在m 0 ，成立 即 令j ，= m + i 虬l ，则有 f 彳( f ) 衍i 屯 ( 4 1 ) 婴 o ，屯x 五，iy i f 出 1“。 由x ( f ) 的连续性，存在0 而矛盾 当l i m x ( f ) = 时，令形 ，z ，y ) = 工，同理可得到矛盾因此存在x o ，成立 i z o ) i x ，o 综上所述，如果( 1 - 1 ) 满足初始条件x ( 0 ) = 而，少( 0 ) = 的解( x ( ，) ，y ( f ) ) 是 整体存在的，则( x o ) ，y ( f ) ) 是有界的证明完毕 口 1 7 例3 ：考虑方程 锄加志，6 ( 加x “加专州炉_ l + 击栅么 c ( y ) = a r c t a n y ，日( x ) = a r c 切n 兑 取k = o ，= o ，q = 三，容易验证c ( y ) 和h ( x ) 满足定理3 1 的假设条件 ( 1 ) 一( 3 ) 取胛m ( 咖半，吲o ，争则 酬酬2 寿专如叫专，南， = m i i l p ( s 鲷( x ) 日( x ) + k ) + ( s g n ( x ) 日( x ) + k ) ， p ( s g n ( y ) c ( y ) + 足) + a d ( s g n ( y ) c ( y ) + k ) 即( 9 ) ，( 9 ) 满足定理3 1 的假设条件( 4 ) 因为s g n ( x ) 口( x ) 6 ) 办( x ) ：掣o ，i 办( x ) i _ l ，定理3 1 的假设条件( 5 ) v l + x 也是满足的 由于 f 者= f 羔三f 告一 应用定理3 1 ，可知上述方程所有的解是整体存在的 取邪) = o ，邡) = 专，则 彳( ，) = o 纠) 邡) = 击，x 月，f 足 l 喜l x 一一撕击 雩志 ( 6 ) e = f i 衍 ， 如果存在g ( x ) ，成立 且广斋一 。 高g ( x ) ，x r ，y r 且g = rg ( x ) l 办( x ) i 出 ，即 l c ( y ( f ) ) i q ，r 【墨，) 令k o ，x ，y ) = s g n ( y ) c ( y ) + k ，f r ，x ，y r 当f “互，) 时，k ( f ，x ，y ) 沿( 1 - 1 ) 的解( x ( f ) ，y ( f ) ) 对珀勺导数存在，将k ( ，x ，y ) 沿( x ( f ) ，y ( f ) ) 对f 求导，可得 ( 4 2 ) 望：s g n ( y ) 【一口( x ) c ( y ) 办( x ) + 口( x ) f ( y ) p ( f ) 】 d t ( f 乃( x ) i + fg ) i ) 口( x ) lc ( 夕) j ( 1 五( x ) l + fp o ) i ) 【p ( s g n ( y ) c ( y ) + k ) + ( s g n ( y ) c ( y ) + k ) 】， f 石，) 由于f 【五，) 时，o s g n ( y ( f ) ) c ( y ( f ) ) + k q + k ，而p ( s ) ，( s ) 在 o ，q + k ) 上 为正函数，则上式可变为 ( 4 3 ) _ 石_ 差譬( 1 办( x ( ，) ) l + ip ( f ) 1 ) 衍，f 五，) p ( k o ) ) + 国( 巧) ) ”、“1 。 其中k o ) = k o ，x o ) ，j ，o ) ) 由( 6 ) ，可知存在石 乞 g + e 彤( j l l ( s ) + ( s ) 由( 4 3 ) 和( 4 4 ) 可得到 g + e r f 2 生= r 一垡盟 拟( h p o ) + 国0 )奶( p ( k ) ) + ( 巧o ) ) 肌川) ) l 刃+ 腓凇聪) i 斋+ e m ig ( x ) ij l z ( x ) i 出+ e = g + e ，- 显然矛盾，因而存在y o ，成立 l y ( f ) | ，即1 日( x ( f ) ) i ( 5 ) 口( x ) 6 ( x ) 办( x ) o ，lx l ，且l 厅( x ) l m o 。，x r e = 肌凇 o 。，且r 高 如果存在g o ) ，成立 。 鼎g ( x ) ，x r ，少r 且g = g ( x ) j 办( x ) i 出 o o 则( 1 1 ) 所有的解是有界的 证明：取k ( ，x ，y ) = c ( y ) + k ，屹( r ，x ，y ) = 日( x ) + k ，仿照定理4 2 的证明 过程即可证明定理4 3 口 参考文献 【1 】 z y 氓g l o b a le x i s t e n c ea i l db o u l l d e d n e s so fs o l u t i o n st oas e c o n do r d e r n o i l l 洫e a rd i 侬r e n t i a ls y s t e i i l s t u d i as c i m a t h h u n g ，4 1 ( 2 0 0 4 ) ，3 6 5 3 7 8 【2 】h a a n t o s i e w i c z ，o nn o n - 1 i i l e a rd i f r e r e n t i a le q u a t i 0 i l so ft h es e c o n do r d e rw i t h 缸e g r a b l e 南r c i n gt e r 驰j l o n d o nm a t l l s o c ，3 0 ( 19 5 5 ) ，6 4 6 7 3 】 f b r a u e ra n dj a n o h e l ，t h eq u a l i t a t i v et h e o 巧o fo r d i i l ：a r ) ，d i 旋r e m i a l e q 嘣i o n s ：a ni r i t r o d u c t i o n ，d o v e r ，n e wy o r k ，l9 8 9 【4 】 t a b u r t o l l ，o nt h ee q u a t i o nx + ( 工) 力( x ) x + g ( 石) = p ( f ) ，a 越a l im a t p u r a a p p l ，8 5 ( 1 9 7 0 ) ，2 7 7 - 2 8 5 5 】 a c o r l s t a n t 氓g l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n s 旬rp e n u r b e dd i 虢r e n t i a le q u a t i o l l s ， a n n a l im a t p u r aa p p l ，l6 8 ( 19 9 5 ) ，2 3 7 2 9 9 【6 】r c o 毗l 妇i t a z i o l l i ”i l la m p i e z z a ”d e l l es o h l z i o i l id iu ns i s t e 嫩d ie q u a z i 0 1 1 i d i 虢r e n z i a l ie 印p l i c a z i o 吐b o u n m a t n a j ，1 1 ( 19 5 6 ) ，3 4 4 3 5 0 【7 】 j k a t o ，o nab o u n d e d n e s sc o n d i t i o n 向rs o l u t i o n so fag e n e r a l 眈dl i 6 i 埘d e q u a t i o l l ，j d i 脆r e n t i a le q u a t i o i l s ，6 5 ( 19 8 6 ) ，2 6 9 2 8 6 8 】c q i a i l ，b o u n d e d n e s s 锄da s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fs o l u t i o i l so fas e c o n d o r d e r n 0 i l l i l l e a rs y s t e i i l b u u l o n d o nm a t h s o c ，2 4 ( 19 9 2 ) ，2 8l 2 88 【9 】 j s u g i e ，0 1 1t h eb o u l l d e d n e s so fs 0 1 u t i o i l so ft h eg e n e r a l 诬dl i 6 i m de q 删i o n w i t h o u tt h es 远n u mc o n d i t i o 坞n o i l l i l l e a r a m l ，1 1 ( 1 9 8 7 ) ，1 3 9 1 1 3 9 7 【10 】j s u g i e ，o nt h eg e n e r a l 娩e dl i 6 n a r de q u a t i o nw i t h o u tt h es 远n u mc o n d “i o i l ，j m a t h a i l a l a p p l ，1 2 8 ( 1 9 8 7 ) ，8 0 一9 1 1 1 】