（基础数学专业论文）（21）维非线性演化方程的新分离变量解.pdf

摘要 摘要 在线性理论日臻完善的今天，非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域而 成为研究焦点。因此，在研究过程中将不可避免的碰到各种各样的用来描述非 线性系统的非线性方程，而这些非线性方程的求解无疑成为非线性研究的关键 和难点所在。 众所周知，不同于线性方程，非线性方程没有统一的求解方法，一种方法 通常不能得到各种类型的特解。目前人们已经建立了不少有效的求解方法，如 经典和非经典李群法，直接法，几何方法，广义条件对称法，形式分离变量法 和多线性分离变量法等。 本论文运用一种改进的多线性分离变量法，研究分析了一类( 2 + 1 ) 一维的非 线性演化方程。并将此方法进一步改进，得到了此类方程的新的包含分离变量 形式的精确解。 第一章中我们简述了一些研究非线性偏微分方程精确解的方法。 第二章中我们引进一种改进的多线性分离变量法，并将此法进一步改进， 求解了一类( 2 + 1 ) 维的非线性演化方程，分别给出其新的包含分离变量形式的 精确解。 第三章中我们对论文所作的工作进行了总结和展望。 关键词：非线性演化方程，贝克隆变换，分离变量解。 垒! 璧! 竺! l 叁叁塑兰2 n e wv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n st ot h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l n o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n s a b s t r a c t w i t ht h el i n e a rt h e o r yb e i n gp e r f e c ti n c r e a s i n g l y , t h en o n l i n e a rs c i e n c ew i d e l y a p p e a r i n gi na l m o s ta l lt h es c i e n t i f i cf i e l d sh a sb e e nt h ef o c u sf o rt h er e s e a r c h e r s s oi t si n e v i t a b l yt oc o m ei n t oc o n t a c t d t hv a r i o u sn o n l i n e a re q u a t i o n sw h i c h d e s c r i b et h en o n l i n e a rs y s t e m sf o rt h er e s e a r c h e r s a sar e s u l t ，t od e a lw i t ht h e u o n l i n e a re q u a t i o n sb e c o m e st h ec r u c i a ia n dd i m c u l tw o r kf o rt h er e s e a r c h e r si n t h en o n l i n e a rf i e l d i ti sw e l lk n o w nt h a tt h e r ei s n ta nu n i f o r mm e t h o dt od e a lw i t ht h en o n l i n e a r e q u a t i o n s ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h el i n e a re q u a t i o n s a n do n em e t h o du s u a l l y c a n tg e ta 1 1k i n d so fs o l u t i o n s f o rt h en o n l i n e a rp d e t h e r ea r em a n ye f f e c t i v e m e t h o d st oo b t a i ne x a c ts o l u t i o n s ，s u c ha st h ec l a s s i c a la n dn o n c l a s s i c a ll i es y m - m e t r y , d i r e c tm e t h o d ，g e o m e t r i cm e t h o d ，g e n e r a l i z e dc o n d i t i o ns y m m e t r y , f o r m a l v a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c ha n dm u l t i h n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c ha n d8 0 0 n i nt h i sa r t i c l e w eu t i l i z ea ni m p r o v e dm u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p - p r o a c ht os t u d ya s o r to ft h e ( 2 + 1 ) r d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n s a n dt h r o u g hf u r t h e ri m p r o v i n gt h em e t h o d 陪o b t a i ns o m en e we x a c ts o l u t i o n s w h i c hi n c h i d et h ev a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n s i nt h ec h a p t e r1 w ei n t r o d u c es o m em e t h o d st os t u d yt h ee x a c ts o l u t i o no f n o n l i n e a rp a r t i a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n s ， i nt h ec h a p t e r2 ，w eu t i l i z ea ni m p r o v e dm u l t i - l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p - p r o a c ha n df u r t h e ri m p r o v et h em e t h o dt os t u d yas o r to ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l n o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n s a n ds o m en e we x a c ts o l u t i o n sw h i c hi n c l u d et h e v a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n sc s nb eo b t a i n e d ， i nt h ec h a p t e r3 ，w eg i v et h es u m m a r ya n de x p e c t a t i o n so ft h ea r t i c l e k e y w o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n ，b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，v a r i a b l e s e p a r a t i o ns o l u t i o n i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 篡黧篓溆：陋学位论文作者签名：目垒翠盆指导教师签名：脞盈竺 。口弓年6 月占日厶。书年占月乡日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：目鸟岛玺 2 。岛年6 月i6 日 第一章绪论 第一章绪论 人们对于线性系统已经有了深入的了解和应用，而这些线性系统只是对于 复杂客观世界的近似的线性抽象和描述。自然界中错综复杂的现象激发了人们 去进一步探索其本质，由此形成了研究非线性现象的学科非线性科学。非线性 科学主要研究方面有：分岔与混沌、湍流、分形、孤立子、引子、斑图、元胞自 动机和复杂系统。因为相比于线性系统，非线性模型能更好更准确地描述自然 现象从而更接近现象的本质。由此，很自然的，用来描述非线性系统的非线性 方程得以大量涌现，如b u r g e r s 方程、k d v 方程、p m 方程、k s 方程等。从 而研究这些非线性方程就顺其自然地成为了非线性科学研究领域的首要任务之 一。 在研究非线性方程问题中，非线性演化方程的定性分析和定量研究占重要 地位。其中定量研究除了对方程进行数值求解外，另一个重要的研究就是方程 显式求解的问题，这就是求出具显式表达式的精确解( 当然也可以考虑去求方程 的近似解1 。非线性演化方程的解的构造同其它的非线性偏微分方程的解一样可 分为两种情形：一种是幂级数形式的解析解，一种是紧凑形式的解析解( 也称之 为精确解1 。对于非线性演化方程的紧凑形式的精确求解问题由于方程本身的复 杂多变的非线性性，一直尚无统一的求解方法。许多的数学家和物理学家在实 践中作了大量的工作，建立了许多行之有效的求解方法。其中多线性分离变量 法对求解非线性演化方程的精确解具有重要的理论价值和物理意义。 1 1 非线性系统求解方法一览 研究偏微分方程的精确解的方法有很多，常常是对于不同的具体问题采 用不同的研究手段。比较经典常用的方法有经典和非经典李群法( c l a s s i c a l a n dn o n - c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ) f 1 - 8 1 、广义条件对称方法( g e n e r a l i z e d c o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d ) 阳一1 8 1 、c k 直接法( c k sd i r e c tm e t h o d ) l1 9 1 、 几何方法( g e o r m e t r i c a lm e t h o d ) 2 0 ，2 1 1 、反散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n g m e t h o d ) f 2 2 ，2 3 】、达布变换法( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 2 4 - 2 6 】、p a i n l e v 截断展 开法f t r u n c a t e dp a i n l e v de x p a n s i o n ) f 2 7 - 3 0 1 、假设法( a n s a t z b a s e dm e t h o d ) 3 1 3 4 】，形式分离变量法【3 5 和多线性分离变量法 3 6 44 】等等。限于篇幅问题，下 面仅对分离变量法作简单介绍，而对其它方法不作任何展开，有兴趣的读者可 查阅文献了解具体的内容。 1 2 分离变量法在非线性科学中的进展 在线性物理中有两大普遍适用的方法，傅立叶变换法和分离变量法。这两 种方法都不能直接应用于非线性科学中。到上世纪六十年代后期，傅立叶变换 l 第一章绪论 法被非常成功地推广到了非线性物理的一些所谓的可积模型中，即著名的反 散射方法。而对于分离变量法，其在非线性物理中一直没有得到非常成功的 推广和应用，直到最近才在几个方向得到了发展。主要有：几何方法( p w d o l y e ) 2 0 ，2 1 ，a n s a t z - b a s e d 方法( r z z h d a n o v ) 3 1 3 4 ，形式分离变量法( 曹策 问，耿献国，程艺，李翊神，曾云波，乔志军，周汝光，马文秀，周子翔等) 【3 5 ， 泛函分离变量法( 屈长征，张顺利等) 【4 5 5 3 ，导数相关泛函分离变量法( 张顺 利，楼森岳，屈长征) f 5 4 _ 5 7 和多线性分离变量法( 楼森岳，唐晓艳) 【3 6 4 4 】。在 所有这些方法中，中国科学家起了非常重要的作用。 1 几何方法 主要举例说明p w d o l y e 的几何法，考察一阶非线性方程 饥= f ( 。，u ，i s x ) ，( 1 1 ) 用几何不变量的方法讨论它的和式分离解( 1 2 ) u ( x ，t ) = 妒( z ) + 妒( ) ( 1 2 ) 此类解满足方程 = 0 ( 1 3 ) 微分( 1 3 ) ，发现( 1 1 ) 和( 1 3 ) 的公共解是下列方程组的解 毗= f ( z ，) ， u n 。0 ， 毗t = f r ( z ，u ，) ， 。一揣 ( 1 a ) 8 维流形j 2 由参数化变量z ，t ，u ，。，u t ，u x x ，u n ，“给出，关系( 1 4 ) 定义了4 维 子流形冗，参数化变量为x ，t ，“，让。从，2 到冗的拉回切映射c 由下述1 一形式 张成 0 = d u 一d x f d t ， o x ：d i s 。+ 挚出 r u 。 c 的2 维积分( 局部积分) 是( 1 4 ) 解集的延长。注意到c 是2 一余维数，不考 虑f ，于是至多存在2 维积分的2 一参数族，所以( 1 1 ) 至多有和式分离解的2 一参 数族。当c 可积时极大情形发生，我们有 和 d o 三0 m o d c 她三( 等竽胪出 出m o d c 2 第一章绪论 故c 可积当且仅当 ( a f + f u u x ) 。；o 口r z “ 一 于是得到方程( 1 1 ) 与和式分离解的约束条件( 1 3 ) 相容当且仅当 ( 等肛( 警扣蜞中或三以+ 峨 类似的，对于k 阶方程 地= f ( x ，u ，u 1 ， w 2 ，- 一，u k ) ， 与和式分离解的条件( 1 3 ) 相容当且仅当 ( 掣) 。- o ， o 瓦沪” 其e eu k 表示z 对的阶偏导数， 西。= 如+ “1 乱+ u 2 鼠1 + - + 乱 。 通过求解相容性条件( ( 西。f ) ( r 。) ) 。= 0 可得到一切可能的f ，从而实现对给 定方程的所有和式分离解的完全归类和求解。 2 假设法( a n s j t z b a s e dm e t h o d ) 主要举例说明r ，z z h d a n o v 的a n s g t z - b a s e dm e t h o d 。考察非线性波动方 程 u “一嚣+ f x ，缸= 0 ，( 1 5 ) r z z h d a n o v 等人在研究此方程时提出一种新的分离变量解的形式【3 1 3 4 】 t 0 ，x ) = q ( t ，z ) 庐1 ( u 1 ) 2 2 ) ， ( 1 6 ) 其中u = w d t ，z ) ，将( f ，z ) 带入到( 1 5 ) 中，则方程( 1 5 ) 约化为关于l ，也的 两个微分方程，对于这两个常微分方程有一般三种情况： i ) 两个二阶常微分方程，此时令 五= a ( 她， ) 也+ s i ( 0 2 l ，a ) 成， = 1 ，2 其中也= 凳蕊= 差 ，鼠c e 2 ( r 1xa , r 1 ) ，a acr 是一个实参数，也 叫分离常数； n 一个二阶常微分方程和一个一阶常微分方程，这时令 妒l = a l ，a ) 妒1 ， 也= b 1 p 2 ，a ) 曲2 - 4 - b 2 2 ，a ) 如 3 第一章绪论 i i i ) 两个一阶常微分方程，令 也= r ( 咄，a ) 也，i = 1 ，2 该方法的基本特点就是假设的具体形式还没有预先固定。一般来说，以情 形( i ) 为例，未知函数a ，b ，也，i = 1 ，2 的选取取决于非线性项f ( 。，u ) ，具体 的操作可参见 3 1 3 4 】。这种方法的个优点就是富于技巧性，它与直接法有类似 之处，但是此法的假设( 1 6 ) 有两个因变量1 ，砂2 ，它的约化方向为两个常微分方 程组，而直接法的假设中只含有一个自变量u f 0 1 ，它的约化方向是自变量减少一 个的偏微分方程或常微分方程。 3 形式分离变量法 在非线性系统的分离变量法的建设中，特别是形式分离变量法的研究中， 我国学者起着非常重要的作用。首先这种方法是由曹策问提出的l a x 对的非线 性化方法，目前我国仍有许多学者继续这一方法的研究( 曹策问，耿献国，乔志 军，周汝光，马文秀，周子翔等) ，将这种方法推广应用至2 + 1 维系统时称之为 对称约束f 程艺，李翊神，曾云波) 。通常这种方法适用于可积模型，楼森岳和 陈丽丽35 1 将该方法推广到不可积系统，为了区别于其他的分离变量法，称之为 形式分离变量法。现举例简单阐述这种方法的重要思想： 我们知道，k d v 方程 有l a x 对 “t 一6 钍t k u 2 = 0 也。+ 扎妒= a 妒， 饥= 2 ( u a ) 也一。妒 选取也= 声，则( 1 8 ) 改写为 k d v 方程( 1 7 ) 的一个对称定义为其线性化方程的解 这表明方程( 1 7 ) 在变换 口t 一6 a u # 一6 u a = 一。口2 = 0 ， 乱 u + e 盯 4 ) ( ；) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 ，1 1 ) 一 b u t ， 2 、 砂 妒 ，、 一 、r珏 、州肛咖 一 就 o 一 a 一 ，一 | i i i t、 砂曲妒西 ，i，、 第一章绪论 下形式不变，其中e 是无穷小参数。我们知道( 妒2 ) 。和u z 是k d v 方程的两个典 型对称，如果我们将约束条件 ；一( 妒2 ) 。= 0 ，即u = 妒2 代入l a x 对( 1 9 ) ，就, - i p a 得到 ( 1 1 2 ) ( 1 ，1 3 ) 显然如果我们可以得到低维方程( 1 1 3 ) 的解，那么由对称约束( 1 1 2 ) 便可以得 到k d v 方程( 17 ) 的对应解。在( 1 1 3 ) 中，每一个方程只显含一个自变量，虽 然妒和西均为自变量z 和t 的函数。由于妒和是两个自变量的函数而( 1 1 3 ) 的每一个方程仅显含有一个自变量，因此称这种形式的对称约束为“形式分离变 量法”。 4 泛函分离变量法 泛函分离变量法主要是由乌克兰的z h d a n o v 和我国的屈长征教授发展的， 在文献f 4 5 5 3 1 中作者提出了泛函分离变量法并建立了利用广义条件对称方法进 行归类和求解的步骤和实现方法。 以k l e i g o r d o n 方程 毗t 一。= f ( u ) ，( 1 1 4 ) 为例。可以对其求乘积型分离变量解 札= 曲( z ) 妒( ) ，( 1 1 5 ) 或和式分离变量解 u = ( z ) + 妒( t ) ( 1 , 1 6 ) 然而，对绝大数的非线性系统是没有这种解的。因此可以进而寻求泛函分离变 量解 厂( u ) = ( z ) + 妒( ) ，( 1 1 7 ) 其中“u ) 是可逆函数。泛函分离变量( 1 1 7 ) 满足约束条件 町= 乱耐+ 9 ( ) 钍，( 1 1 8 ) 其中9 ( u ) 兰，”( u ) ，( n ) 这一问题等价于寻求方程( 1 1 4 ) 的一般条件对称 y = 叩妄三州咖州毫 ( 1 1 9 ) 5 ， 三 陆、一、 三 一 、j一 扩纵岫卅高 。归 队 | | j | 第一章绪论 定义1 1 一般向量场( 1 _ 1 9 ) 叫方程( 1 1 4 ) 的一般条件对称( g c s ) ，如果 v ( 2 ) ( ) i e n w = 0 ( 1 2 0 ) 其中e 是方程( 1 1 4 ) 的解流行，w 是附加于( 1 1 4 ) 的方程列集研叩= 0 ，i = 0 ，i 、2 ，相当于不变曲面条件及其关于。的各阶全导数。 以下具体计算v ( 2 ) ( ) e n 。 对于方程f 1 1 4 ) ，v 的二阶延长为： v 。k 叩爰+ 嘞丢+ 珑”老 v ( 2 ) 作用于方程( 1 1 4 ) ，便有 v ( 2 ( 托一弘。一f ( u ) ) i e n w = 【巧2 卵一d ：卵一f 7 ( u ) 州i e n w ， 借助于表达式d ；叩= 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，和方程( 1 _ 1 4 ) ，从上式中消去的高阶导 函数，上式化为含有u 的独力偏导数项的下式 v ( 2 ( u “一u 描一f ( u ) ) i e n w = d z 2 卵l e n w( 1 2 1 ) = b ”( u ) 一2 9 ( 乱) 9 7 ( 札) 】罐u 。+ 【2 9 ( “) g u ) 一9 ”( ) 】毗“： + 【f ”( 钍) + 夕( u ) f 7 ( ) + ( 3 9 ( u ) 一2 9 ( 札) 2 ) f ( u ) u t u x 方程( 1 1 4 ) 具有一般条件对称( 1 1 9 ) 当且仅当表达式( 1 2 1 ) 为零，这就给出方 程( 1 1 4 ) 具有泛函分离解的充要条件定理： 定理1 1 方程( 1 1 4 ) 具有泛函分离解( 1 1 6 ) 当且仅当 g ”一2 9 矿= 0 ，f ”+ g f 7 + ( 3 9 一2 9 2 ) f = 0( 1 2 2 ) 通过求解( 1 2 2 ) ，可给出方程( 1 1 4 ) 具有泛函分离解( 1 1 6 ) 的完全归类；对任 一等价类，由9 ( u ) 定出，( ) ，再取逆得u ：，_ 1 ( ( z ) + 妒( t ) ) ，将它代入对应 方程得到确定( z ) 和妒( ) 的常微分方程组，求解常微分方程组可得泛函分离 变量解。 5 导数相关泛函分离变量法 导数相关泛函分离变量法 5 垂5 7 】是泛函分离变量的更一般推广。它能够结 合完整得多的分离变量可解归类。 例如对方程f 1 1 4 ) ，可定义下类形式的分离变量解： f ( u ，n 。) = 0 ) + 妒( ) ， f ( u ，“。) = 咖( z ) + 妒( ) + f ( z ) 叩( t ) 在利用导数相关泛函分离变量法对一些类型的非线性方程进行导数泛函分 离变量可解得完全归类的研究巾，对一些不同类型的非线性方程，先要求各种场 6 第一章绪论 量及其导数的某种( 泛函) 组合可以有加法或者乘法的变量分离解，然后根据这 一要求来确定相应的广义条件对称，进而利用广义条件对称、不变曲面条件和群 论方法来确定所有可能的方程和可能的泛函组合、方程所有可能的等价类；最后 再分别求出导数相关泛函分离变量。至今已经利用此方法对一般非线性扩散型 方程、一般非线性波动型方程和一般k d v 型方程做出了完整的分离变量可解归 类，并且给出了这类非线性系统的严格解以及解的对称群解释。具体的操作过 程，请参阅文献f 5 4 - 5 7 1 。 6 多线性分离变量法 1 9 9 6 年楼森岳和陆继宗在关于d a v e y - s t e w a r t s o n 系统的论文3 8 1 中提出 了一种分离变量法，此即多线性分离变量法的雏形。后来唐晓艳和楼森岳在 此法的基础上进一步研究，建立了完善的多线性分离变量法，使得多线性分 离变量法真正得到发展以致能够推广应用于大量的非线性模型【3 6 - 4 4 卜到目 前为止，多线性分离变量法已经成功求解了一大类的f 2 + 1 ) 一维非线性系统， 如d a v e y s t e w a r t s o n ( d s ) 方程，n i z h n i k - n o v i k o v - v e s e l o v ( n n v l 方程，色散长 波方程f d l w e ) ，b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t ( b k k ) 系统，高阶b k k 系统等等。 还有少数( 3 十1 1 维非线性系统也已尝试成功。 利用多线性分离变量法求解( 2 + 1 ) 一维非线性系统 f ( u ，。，蜥，u t ，- ) = 0 ， ( 1 2 3 ) 大致可以分为以下四个步骤： 步骤1 多线性化非线性系统( 1 2 3 ) 。 把解札展开为 一：啦，4 一， ( 1 2 4 ) l = 0 其中“。和厂是关于扛，y ，t ) 的函数，a 是正整数。u i 和n 都可由p a i n i e v 6 截断 展开法确定，即可由p a i n l e v 6 测试的领头项分析得到。u 。是非线性系统( 1 2 3 ) 的任意种子解。把式( 1 2 4 ) 代入( 1 2 3 ) 即可得多线性化方程 f ( ，厶，丘，五，- ) 。0 ，( 1 2 5 ) 可见，( 1 2 5 ) 是关于函数，及其各种导数的方程。下一步就要对函数，给出具 体的形式，这是多线性分离变量法的创新之关键。 步骤2 做变量分离假设。 假设函数，的形式是 ，= a o + a l p ( x ，t ) + a 2 q ( y ，t ) + a 3 p ( x ，t ) q ( y ，t ) = a o + a l p + a 2 q + a 3 p q ，( 1 2 6 ) 其中p 和q 是t 马z 和f ，t 的函数，a o ，a l ，a 2a 3 是常数( 也可以是t 的函 数) 。把上式代入( 1 2 5 ) 得 g ( p ，口，m ，吼，m ，- ) = 0 7 ( 1 2 7 ) 第一章绪论 显然，上式是关于变量分离函数p 和q 及其导数的一个方程。假设( 1 2 6 ) 的提 出为多线性分离变量法的建立打下了本质的基础。当p 和q 都取作行波型指数 形式时，( 1 2 6 ) 就成为h i r o t a 方法的二孤子假设。 步骤3 分离方程( 1 2 7 ) 在分离方程( 1 2 7 ) 过程中，要求函数p 和q 分别满足变量分离方程 g 1 ，m ，a ，) = 0 ( 1 2 8 ) g 2 ( q ，妁，吼，- ) = 0 ( 1 2 9 ) 若任意函数( 模型的种子解或者来自其它途径如任意积分函数等) 是关于 x t 的，那么这个任意函数就会出现在方程( 1 2 8 ) 中，否则就出现在方程( 1 2 9 ) 中。也就说，方程( 1 2 8 ) 中的函数的自变量只能是 x ，t ) 或者f ，而方程( 1 2 9 ) 中的函数的自变量只能是 y ，t ) 或者。如何将方程( 1 2 7 ) 分离成( 1 2 8 ) 和( 1 2 9 ) 是多线性分离变量法的难点。一旦解决了这个难点，多线性分离变量法就基本 上成功了。 步骤4 求解变量分离方程( 1 2 8 ) 和( 1 2 9 ) 。 在求解变量分离方程( 12 8 ) 和( 1 2 9 ) 的时候采用了一个非常巧妙的方法。 不失一般性，假定方程( 1 2 8 ) 中含有一任意函数h 一 ( z ，t ) ，则在求解该方程 时求解出 而不是p ，即用p 来表示h 。可见，h 的任意性转移给了p ，即p 是 任意的。类似地，可以用q 来表示一个关于 y ，t ) 的函数。 完成以上四个步骤后就可得到非线性系统f 1 2 3 ) 的多线性分离变量解，往 往可以得到一个相当普适的公式： u = u = 7 _ i ( - z 2 瓦) a q v - p x ( a oa l pa 2 qi a 蕊a p q ) ，= 印n 3 一n l n 2 十+ 以上的讨论仅针对单个方程的情形，对于方程组的求解步骤是完全类似的。唯 一需要指出的是可能会同时得到多个任意函数且分别出现在了几个变量分离方 程中。 下一章将具体举例说明如何采用以上的四个基本步骤来得到( 2 + 1 ) 一维色散 长波方程的多线性分离变量解。 1 3 非线性演化方程的研究发展状况 演化方程f e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，叉称发展方程，是包含时间变数的许多 重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或其他自然科学中用来描述 随时间而演变的状态或过程随着近代物理、化学、生物学、流体力学等学科对 有关问题的研究，提出了大量的演化方程，其中包括许多的具有非线性色散或 耗散的非线性演化方程。如波动方程、热传导方程、流体动力学方程组、k d v 方程、非线性薛定鄂方程、正弦一戈登方程、萨哈罗夫方程、朗道一利弗席茨 8 第一章绪论 方程、布森内斯克方程、反应扩散方程等。一方面，这些方程和物理问题、化 学反应问题、生物学的种群问题、流体力学的波动问题紧密相连，成功的描述 了自然界中出现的大量的波动现象，广泛的应用在这些学科的许多分支中，如 基本粒子、流体物理、等粒子体物理、凝聚态物理、超导物理、激光物理、生 物物理、统计物理等另一方面，演化方程的研究与数学的其它领域，如：经典 分析、李群、李代数、无穷维代数、代数几何、拓扑学、动力系统、计算数学 及泛函分析等数学的分支紧密相关，互相促进。 演化方程的研究内容十分丰富，仅就非线性演化方程( 组) 来说，除了经典 解的存在性、唯一性、正则性外，还研究它的长时间行态，其中包括解随空间 和时问的衰减性、散射性、稳定性以及有限时间内可能的爆破性。目前对这些 问题的研究已有大量的很好的工作，并已逐渐形成了许多独特的估计方法。 非线性演化方程的研究除了上述的定性研究外，还有一类是它的定量的研 究，在定量的研究中除了对方程进行数值求解外，另一个重要的研究就是方程 显式求解的问题，这就是求出具显式表达式的精确解( 当然也可以考虑去求方程 的近似解1 。有了一个具体微分方程的解，可以用来解释或描述一些自然现象或 发现自然现象的新的规律，从数学上讲，显式求解方程的过程，是一种构造性过 程正是这种构造性过程，往往会产生新的数学思想、方法和理论。有时也会对 其他学科领域产生较为直接的推动。 非线性演化方程的解的构造同其它的非线性偏微分方程的解一样可分为两 种情形：一种是幂级数形式的解析解，一种是紧凑形式的解析解( 也称之为精确 解) ， 对于幂级数形式的解析解，从c a u c h y - k o w a l e v s k i 的k o w a l e v s k i 型方程组 的解的存在唯一性定理可知f 5 8 ，5 9 1 ，对于大批的非线性演化方程都是可以由合 理的初始条件或边值条件程序化的构造出来，这方面的结果可见1 9 9 1 年以来 的由加拿大学者r e i dg j 等人所给出的更为广泛工作6 0 ，6 1 。最近，美国的学 者a mw a z w a z 利用a d o m i a n 分解法，仅利用初始条件就给出了许多的非线性 演化方程f 组) 的幂级数形式解，同时也可获得一些紧凑形式的精确解，当然， 对于高维情形，还需加入边值条件虽然这些方法具有相当大的普适性，但其计 算量是很大的，不能很有效的获得紧凑形式的精确解6 2 6 5 1 。 长期以来，非线性演化方程的紧凑形式的精确求解问题由于方程本身的复 杂多变的非线性性，一直尚无统一的求解方法。许多的数学家和物理学家对于 这些方程的精确解作了大量的工作，对+ 些特殊类型的非线性演化方程出现了 多种风格不同的构造具有紧凑形式的精确解的方法。如反散射方法，b s c k l u n d 变换和d a r b o u r 变换法，相似约化法，h i r o t a 双线性法及分离变量法等。这 些方法给出了求解非线性演化方程的直接而又有效的途径，同时，对数学一 些分支的发展也起着促进作用并有很强的应用性在这里只对本文中涉及到 的b a c k l u n d 变换进行简单介绍如下： b 五c k l u n d 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b t c k l u n d 6 6 在研究负常曲率曲面时，发现s i n e - 9 第一章绪论 g o r d o n 方程叱q = s i n u 的两个不同解札和u 7 之间有如下的关系 u ：地一z 阳n 半，嵋= 一+ 知孚 此即为b s c k l u n d 变换。另外还得到了一个非线性叠加公式 毗= 4 删a n 【糌t a n 半 慨 ( 1 3 0 ) ( 1 3 1 ) 其中“o 为s i n e g o r d o n 方程的解；当趾= “o ，u 7 = u 】，卢= 岛时，从( 1 3 0 ) 可 得到“l ，同理可得到“2 。这个公式在非线性理论中具有重要的作用但由于这 个变换在当时并没有别的应用，因此被冷落了近百年。直到2 0 世纪6 0 年代， 由于非线性光学，晶体位错等许多领域的研究都与s i n e g o r d o n 方程有关，这 时b s c k l u n d 变换才受到重视1 9 7 3 年v c a h l q u s t 和e s t a b r o o k 6 7 发现k d v 方 程也具有b i c k l u n d 变换，也有类似的叠加公式。1 9 7 6 年他们提出了求非线性 方程的b i c l d u n d 变换的延拓结构法，将b i c i d u n d 变换，守恒律及反散射变换 统一在一个拟位势中。1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 6 8 1 推广了常微分 方程的p a i n l e v 可积的判定法，提出了偏微分方程的p a i n l e v 6 可积的判定法， 并用其来获得可积方程的b s c k l u n d 变换。在方程的求解中，得到b s c k l u n d 变 换是非常有价值的一步，许多方程可利用它来得到一些更简单的变换，从而进 一步的简化原有的方程特别是一些高维的藕合方程可以被化简为单个的低维方 程。这为方程的求解带来了许多的方便，也可更有效的发挥一些求解法的应用 本文中的解法就是依赖于此而获得的。 本文在诸位专家学者的研究工作基础上，研究了一类( 2 + 1 ) 一维的非线性演 化方程的精确求解的方法问题。第二章在多线性分离变量法的基础上介绍了一 种改进的多线性分离变量法，该法是对楼森岳教授提出的求解非线性演化方程 或方程组的分离变量解的多线性分离变量法作了进一步的研究，利用b i c k l u n d 变换和c o l e h o p f 变换，将一些非线性演化方程或方程组化为一个具有一个或 两个分别以 x ，t 和协t ) 为自变量的任意函数的线性偏微分方程，从而得到新 的分离变量解。本论文将此法进一步改进，求解了一类f 2 + 1 ) 一维的非线性演化 方程，得到了较该法更一般形式的精确解，发现了新的分离变量解。第三章对 本论文所作的工作进行了总结和展望。 1 0 第二章非线性演化方程的新分离变量解 第二章非线性演化方程的新分离变量解 在本章，我们主要研究非线性演化方程。对于非线性演化方程的研究，上 一章我们已经提到，构造它的精确解是一项主要的工作。这一章主要针对一 类f 2 + 1 ) 一维的非线性演化方程，通过改进一种简化的多线性分离变量法，构造 此类方程的新的包含分离变量形式的精确解。本章分为四节：第一节介绍由楼 森岳教授等所给出的多线性分离变量法及其在求解非线性演化方程的多种具有 重要的物理意义的精确解方面的应用。第二节介绍一种简化的多线性分离变量 法及其在求解( 2 + 1 ) 一维非线性演化方程的精确解方面的用法。第三节我们对第 二节中的简化的多线性分离变量法作进一步改进，从而获得了此类方程的更一 般形式的新的包含分离变量形式的精确解。第一至三节都以色散长波方程为例 举例说明。第四节将第三节中改进后的方法应用于更多f 2 + 1 1 一维非线性演化方 程，分别给出其新的精确解。 2 1 多线性分离变量法 在第一章中我们概括介绍了如何运用多线性分离变量法求解( 2 + 1 ) 一维非线 性系统，这节我们以( 2 + 1 ) 一维的色散长波方程为例，来具体介绍其用法。 对于( 2 + 1 ) 一维的色散长波方程( d l w e ) i _ 札：t 讹w = ” ( 2 1 ) 【v t + ( + u + 捌k = 0 、 利用多线性分离变量法进行求解的步骤如下： 1 、寻找该方程的一个形式如下的b t i c k l u n d 变换 u = t “，一，u = 地，” ( 2 2 ) i = 0i = 0 这里u 。，v m 是方程( 2 1 ) 的两个任意的已知解。通过标准的首项分析 6 8 】，我们 可得到n ，m 的取值。对于本例米说，有 他= 1 m = 2 将( 2 2 ) ( 2 ，3 ) 代人到( 2 1 ) 并注意到u 1 ，v 2 是方程( 2 1 ) 的解，可得 3 r t ，。4 = 0 ， i = 0 3 民，扣4 = 0 ， i = 0 1 1 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 第二章非线性演化方程的新分离变量解 这里f 1 i ，玛 是u o ，“1 ，v o ，v l ，v 2 和u o ，u 1 ，v o ，u 1 ，地，的导数的函数。令( 2 4 ) ( 2 5 ) 的首项和次首项系数为零，即 f 1 0 ，f 2 0 ，f 1 1 ，f 2 1 = 0 由此可定出 u o = 2 厶，v 0 = 一2 丘矗，v l = 厶， 这样可得该方程的一个具体的b s c k l u n d 变换： 一争帕一一z 等+ z 争+ 也 为了下文中讨论的方便，我们取 u l = u o ( x ，t ) ，v 2 = - - 1 这样一对方程( 2 1 ) 的特解。 2 、利用已得到的b c k l u n d 变换导出一个由，所满足的多线性形式 将( 2 ，8 ) ( 2 9 ) 代入到方程( 2 1 ) ，得到如下的个三线性形式 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 2 ( 厶彬+ u 嘶j b + o j k + 厶。) ，2 + 2 ( 一丘矗o z 一( 咖厶z + 厶t + 厶。) 矗一( 丘- i - 2 u o 厶+ 知) 厶( 2 1 0 ) 一| z h l z z a i z 小 + 4 k # 吨0 z + f ：。+ f t 、= 0 3 、为了获得方程的一些特解，分离变量法的一个重要步骤是取： ，= 1 + a l p ( x ，t ) - 4 - a 2 q ( y ，t ) - 4 - a 3 p ( x ，t ) q ( y ，) ，( 2 1 1 ) 这里a l ，a 2 ，a 3 为任意常数，p i p ( x ，t ) 和q 兰q ( y ，t ) 仅为如，t ) 和佰，t ) 的函 数。由此我们可以看到空间变量，y 己被分离开进入到了两个不同的函数中。 将( 2 1 1 ) 代入到( 2 1 0 ) 中得： +2(a【l+a+3q)-)-(1+哪+02叶警曲掣(pt+：pzz2(a2 a 3 p1 - 4 - a l p - 4 - a 2 q a a p q ) q f 0 栅 ( 2 1 2 ) + 【 + ) 一( 十 1 如】吼= 、1 由于p 与y 无关q 与z 无关，所以方程( 2 1 2 ) 可分拆为如下的两个方程 睢毒：黧：| ：1 ：一裂茗- c l p + 州c o ，) + , 1 a 2c 2a 3 a 2 q ) c 。， 嘲 【吼= ( 1 + 3 q ) 2 c 0 + ( +g ) 2 + ( n 1 +g ) ( 1 + l ， 1 这里c oic o ( t ) ，c 1ic 1 ( ) ，c 2 = o ( t ) 为任意函数。 4 、对任意的函数c l ，c 2 ，c 3 通过求解方程( 2 1 3 ) ，确定p ，q ，从而获得方 程( 2 ，1 ) 的分离变量解。 第二章非线性演化方程的新分离变量解 对于给定的函数u o 和任意的函数印，c l ，c 2 通过求解方程( 2 1 3 ) ，确定p ，q ， 从而获得方程( 21 ) 的特解并不是一个容易实现的事，但我们知道只要u o 是变 量f z ，t 1 任意函数，它与v 2 = 0 就给出了方程( 2 1 ) 的一组解，从而由b s c k l u n d 变换( 2 9 ) 和下面确定的，即可导出方程( 2 1