（热能工程专业论文）涡轮叶栅气膜冷却流场的数值研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 提高转子进口温度是改善燃气轮机性能和提高其经济性的重要途径，气膜冷却作为 重要的冷却手段，在燃气涡轮中得到了最广泛的应用。为了设计一个能充分冷却涡轮高 温叶片的系统，了解涡轮叶栅通道内流动的详细机理是很有必要的。 本文以m u n i c h a r m e df o r c e su n i v e r s i t y 的a r d e y s 和f o t t n e r l 的实验涡轮叶栅为研 究对象，采用n u m e c a 公司的f i n e t u r b o 软件包对没有气膜冷却的涡轮叶栅以及叶片 前缘具有两排气膜冷却孔的涡轮叶栅分别进行了详细的三维数值模拟，静压分布计算结 果与实验结果得到了很好的吻合，从而验证了数值模拟的可信性。本文主要研究了叶栅 端壁附近复杂的三维流场以及冷却孑l 附近和冷却孔内的三维流场特性，分析了叶片表面 气膜冷却的形成机理以及不同吹风比下冷气射流与主流之间的相互影响。 关键词：涡轮叶栅，气膜冷却，数值模拟，流场特性 a b s t r a c t i n c r e a s i n gr o t o ri n l e tt e m p e r a t u r e si sas i g n i f i c a n ta p p r o a c hi nr a i s i n gg a st u r b i n ee n g i n e p e r f o r m a n c ea n de n h a n c i n gi t se c o n o m i cc a p a b i l i t y , a so n eo fk e yc o o l i n gm e a n s ，f i l m c o o l i n g ，h a sb e e nw i d e l yu s e di ng a st u r b i n e 。t od e s i g nas y s t e mt h a tm o s te f f i c i e n t l yc o o l s t h et u r b i n eh o t g a sb l a d e ，i ti sn e c e s s a r yt ob e t t e rc o m p r e h e n dt h ed e t a i l e dh o t g a sf l o w p h y s i c sw i t h i nt h et u r b i n ei t s e l f t h i sp a p e r ss t u d yo b j e c ti sb a s e do nt h ee x p e r i m e n tt u r b i n ec a s c a d eb ya r d e y sa n d f o t t n e r li nm u n i c ha r m e df o r c e su n i v e r s i t y , u s i n gt h ef i n e t u r b os o f t w a r eo ft h eb e l g u i m c o m p a n yn u m e c a ，s i m u l a t e dat u r b i n ec a s c a d ew i t ht w or o wc o o l i n gh o l e si nf r o n to f l e a d i n ge d g ea n dw i t h o u tf i l mc o o l i n gh o l e s ，a n dt h er e s u l t sf r o ms i m u l a t i o ns h o wt h a tt h e s t a t i cp r e s s u r ed i s t r i b u t i o n sa g r e ew e l lw i t ht h ee x p e r i m e n t ，i ts h o wt h a tt h es i m u l a t i o ni s b e l i e v a b l e t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e dt h et h r e e d i m e n s i o n a ls t r e a mf i e l dn e a r b yt h ee n d w a l l o f t u r b i n ea n dn e a r b yt h ec o o l i n gh o l e sm a dt h ei n s i d eo f t h eh o l e s ，b e s i d e s ，la l s oa n a l y z e dt h e f o r mp h y s i c so ff i l mc o o l i n ga n dt h ei n t e r a c t i o no ft h ec o o l i n gf l o wa n dm a i nf l o wu n d e r d i f f e r e n tb l o wr a t i o k e y w o r d s ：t u r b i n ec a s c a d e ，f i l mc o o l i n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，s t r e a mf i e l dc h a r a c t e r i s t i c w a n gh uq i ( t h e r m a lp o w e re n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o f c h e nd a n gh u i 华北电力大学硕士学何论文 摘要 提高转子进口温度是改善燃气轮机性能和提高其经济性的重要途径，气膜冷却作为 重要的冷却手段，在燃气涡轮中得到了最广泛的应用。为了设计一个能充分冷却涡轮高 温叶片的系统，了解涡轮叶栅通道内流动的详细机理是很有必要的。 本文以m u n i c h a r m e df o r c e su n i v e r s i t y 的a r d e y s 和f o t t n e r , l 的实验涡轮叶栅为研 究对象，采用n u m e c a 公司的f i n e t u r b o 软件包对没有气膜冷却的涡轮叶栅以及叶片 前缘具有两排气膜冷却孔的涡轮叶栅分别进行了详细的三维数值模拟，静压分布计算结 果与实验结果得到了很好的吻合，从而验证了数值模拟的可信性。本文主要研究了叶栅 端壁附近复杂的三维流场以及冷却孑l 附近和冷却孔内的三维流场特性，分析了叶片表面 气膜冷却的形成机理以及不同吹风比下冷气射流与主流之间的相互影响。 关键词：涡轮叶栅，气膜冷却，数值模拟，流场特性 a b s t r a c t i n c r e a s i n gr o t o ri n l e tt e m p e r a t u r e si sas i g n i f i c a n ta p p r o a c hi nr a i s i n gg a st u r b i n ee n g i n e p e r f o r m a n c ea n de n h a n c i n gi t se c o n o m i cc a p a b i l i t y , a so n eo fk e yc o o l i n gm e a n s ，f i l m c o o l i n g ，h a sb e e nw i d e l yu s e di ng a st u r b i n e 。t od e s i g nas y s t e mt h a tm o s te f f i c i e n t l yc o o l s t h et u r b i n eh o t g a sb l a d e ，i ti sn e c e s s a r yt ob e t t e rc o m p r e h e n dt h ed e t a i l e dh o t g a sf l o w p h y s i c sw i t h i nt h et u r b i n ei t s e l f t h i sp a p e r ss t u d yo n e c ti sb a s e do nt h ee x p e r i m e n tt u r b i n ec a s c a d eb ya r d e y sa n d f o t t n e r li nm u n i c ha r m e df o r c e su n i v e r s i t y , u s i n gt h ef i n e t u r b os o f t w a r eo ft h eb e l g u i m c o m p a n yn u m e c a s i m u l a t e dat u r b i n ec a s c a d ew i t ht w or o wc o o l i n gh o l e si nf r o n to f l e a d i n ge d g ea n dw i t h o u tf i l mc o o l i n gh o l e s ，a n dt h er e s u l t sf r o ms i m u l a t i o ns h o wt h a tt h e s t a t i cp r e s s u r ed i s t r i b u t i o n sa g r e ew e l lw i t ht h ee x p e r i m e n t ，i ts h o wt h a tt h es i m u l a t i o ni s b e l i e v a b l e t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e dt h et h r e e d i m e n s i o n a ls t r e a mf i e l dn e a r b yt h ee n d w a l l o f t u r b i n ea n dn e a r b yt h ec o o l i n gh o l e sa n dt h ei n s i d eo f t h eh o l e s ，b e s i d e s ，la l s oa n a l y z e dt h e f o r mp h y s i c so ff i l mc o o l i n ga n dt h ei n t e r a c t i o no ft h ec o o l i n gf l o wa n dm a i nf l o wu n d e r d i f f e r e n tb l o wr a t i o k e y w o r d s ：t u r b i n ec a s c a d e ，f i l mc o o l i n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，s t r e a mf i e l dc h a r a c t e r i s t i c w a n gh uq i ( t h e r m a lp o w e re n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o f c h e nd a n gh u i 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文，是本人在华北电力大学攻读硕士学位 期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 量蕴查 日期：丝! ! ：乡 导师签名：必 日 期：i j 华北电力大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第章绪论 燃气轮机广泛应用于航空器推进器、陆用发电以及各种工业用途。燃气轮机的 热效率和功率输出随着透平转子进口温度( r i t ) 的提高而增加。图卜l 清楚地表 示了这一关系，图中凰出了比功率( 它与比推力相关) 随着透平转子进口温度的提 高而增加的函数关系。图中的理想特性曲线表示在没有泄漏和冷却气流的情况下透 平效率为t 0 0 时的循环比功率输出。显而易见，提高转子进口温度是改善燃气轮 机发动机特性的关键技术之一。图卜2 表明先进燃气轮机的转子进口温度远比叶片 材料的熔点高，因此透平叶片需要冷却。 o k 岛 考 譬 o 瓣 蠢： 型 警 磐 透平转予进温度 图卜l 透平进口温度的提高使循环比功率显著改进 先进燃气轮机透平叶片靠发动机的压气机中抽出的空气来冷却。发动机冷却系 统的设计要保证在运行时，叶片表面最高温度和温度梯度与设计寿命规定的最大叶 片热应力相适应。冷却工质太少会导致叶片温度较高，因而会减少部件寿命。但冷 却工质太多又会降低发动机性能。因而必须合理设计发动机冷却系统，以示冷却用 的压气机抽气量最小，使采用高的进气温度能达到最大效益，这就为高温透平叶片 的冷却研究开辟了一个新的研究领域。 从传热学的观点来看，高温透平的冷却研究内容大致为以下三方面：( 1 ) 寻求 用最少的冷却空气量来获得预期冷却效果的冷却技术：( 2 ) 提供传热模型使在给定 1 华北电力大学硕士学位论文 的冷却流量比下能准确的估算温度分布，为预计叶片寿命提供计算方法；( 3 ) 如何 降低叶片横截面的温度差( 最高温度与最低温度之差) 以降低热应力和交变应力。 目前常见的冷却方式有强化对流冷却、冲击冷却、气膜冷却、发散冷却和复合冷却 等，气膜冷却技术是目前所有高温涡轮叶片都采用的冷却方式，如何更有效的组织 气膜冷却，减少冷气消耗，提高冷却效果，一直是燃气涡轮设计者关注的重要问题。 犯 越 酶 口 列 件 昭 t e 图l 一2 近年来透平进口温度的变化 对流冷却多用于高温部件的内部，如将涡轮叶片做成空心的，在内部形成冷却 通道，当冷气从冷却通道通过时，就可以将高温燃气传给叶片的热量带走，达到对 叶片冷却的目的。内部冷却通道采用多个冷却腔串联或彼此独立径向分布方式以及 开设肋槽、凸台或扰流柱等使内表面粗糙的方法，加强扰动，增加换热面积。这种 冷却方式的缺点是冷却效果有限，只通过增加冷气量才能提高冷却效果，这对提高 发动机的效率不利，另一方面，内部换热的提高，又会增加叶片的温度梯度，引起 热应力过大并有可能导致叶片损坏。冲击冷却主要是利用高速气流冲刷被冷却表 面，以达到冷却的目的。在航空发动机也多用于高温部件的内部，特别是涡轮叶片 的前缘部位。以高速气流从内部冲利被冷却部位，带走从另一侧燃气所吸收的热量。 它的主要缺点是压力损失大，容易造成被冷却部件较大的温度梯度，引起热应力。 当前最先进的冷却技术首推发散冷却，通常发散冷却叶片是由骨架和会属丝网制而 成。骨架承受叶片所受的应力，而由高温合金材料编制成的多层密致的丝网形成叶 片所需的气动力外形。这种丝网制成的叶片表面具有无数的细微小孔，冷却气流从 华北电力大学硕十学位论文 这些小孔渗出而在叶片表面外围形成连续而均匀的“空气毯”，从而把燃气与叶片 表面隔开，大大削弱燃气对叶片的加热而起到隔热作用。不过这种发散冷却时片由 于丝网同骨架的连接工艺和材料在高温下的腐蚀问题尚未圆满解决，小孔易被堵 塞，以致目前仍处于实验室研究阶段。 在壁面附近沿一定方向向主流中喷入冷气，这股冷气在主流的压力和摩擦力作 用下向下游弯曲，粘附在壁面附近，形成温度较低的冷气膜，将壁面同高温燃气隔 离，并带走部分高温燃气或明亮火焰对壁面的辐射热量，从而起到良好的保护作用， 这种技术就是气膜冷却。与发散冷却相比，气膜冷却技术所采用的喷孑l 较少，喷出 的冷气较为集中，可在表面上维持存在较长一段距离，因此根据具体情况，可以在 被冷却壁面的前部甚至上游布置适当的气膜孔即可达到冷却的目的。而且喷流方向 和角度等亦可根据实验和计算来进行调整，因而不仅可以达到有效冷却的目的，而 且还可以控制喷射造成的气动损失、湍流流动和壁面热应力集中等。因此，气膜冷 却被广泛地应用于压气机、燃烧室尤其是涡轮上，成为发动机热端零部件的主要冷 却方式之一。 事实上，目前对气膜冷却各方面的研究十分活跃，由于它是两股不同温度、不 同速度和不同湍流度甚至是不同工质的混合流动，其流动和传热过程都比较复杂， 影响因素多，譬如气膜冷却孔的几何形状、主流流场的分布和气冷通道内阻及孔内 的流场分布特性等，虽然多年来国内外的工作者在气膜冷却方面已经做了大量的实 验及数值模拟研究工作，也获得了大量的相关数据，对气膜冷却条件下流动及换热 机理有了进一步的认识，但是仍显不足，有关气膜冷却技术的研究下作还在不断发 展之中，迄今仍然有许多问题有待于深入解决该项技术在高温部件冷却方面的潜 力也有待于进一步的开发和利用。 随着c f d ( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i e s ) 技术和n h t ( n u m e r i c a l h e a t 。f r a n s f e r ) 技术的发展，并借助于计算机能力的迅速提高，人类己经有能力对一般 的三维湍流流动和传热问题进行比较准确的数值求解。但由于实际的湍流流动十分 复杂，目前的湍流模型都存在着或多或少的经验假设，因此对一些偏离模型假设的 复杂流动和传热问题，如气膜冷却和叶栅通道端壁附近的流动和传热问题，计算结 果与实验结果之间尚存在着较大的差距，湍流模型有待进一步完善。但由于数值模 拟具有省时省力和数据完整等特点，有助于人们全面深入的理解现象的本质，对实 验具有指导意义，并随着技术的不断发展，数值计算将变得越来越精确，将会成为 未来的主要设计工具。因此，有必要对其进行更深入的研究。 1 2 气膜冷却的研究现状 最初的气膜冷却研究出现在w i e g h a r d t 为解决机翼的防冻所做二维槽缝热气 3 华北电力人学硕士学位论文 喷射上，航空燃气轮机出现后，该技术首先被用于燃烧室中，但直到七十年代该技 术才开始在涡轮叶片上使用。此后，随着涡轮前温度的不断提高，对其原理的详细 研究工作便蓬勃开展起来。近年来，无论在国内还是国外，在这一领域都曾做过大 量的实验研究工作。重点是测量被冷却表面的冷却效率n 和换热系数h 等。 通常影响气膜冷却效果的主要参数包括吹风比m ( 或动量比i 和速度比v r ) 、射 流与主流密度比d r 、主流湍流度t l 、主流加速度a 、喷孔的喷射几何角度( 包括流 向倾角a 和侧向倾角且) 、喷孔长度和孔径比l d 、孔径d 的大小和喷射压力损失、 压力梯度、表面曲率、喷孔上游的主流边界层厚度、孔间距和孔径比p d 、孔排数 和孔的排列方式以及喷孔的几何结构等。早期的表面测量研究多是关于单孔或单排 孔的“13 ，所采用的射流与主流的密度比d r 均接近1 0 。由于涡轮叶片中实际的d r 值较高，因而后来的研究者就扩大了研究的参数范围，使d r 、l d 和吹风比b r 在 较大的范围内变化“1 1 以尽量接近真实涡轮情况，如s i n h a 等人”1 测量冷却效率q 时 的d r 分别为1 2 、1 6 和2 0 ，m 为0 2 5 l ，喷孔长度和直径的比l d 小至1 7 5 ， 而文献”8 所研究的l d 的最大值达4 0 o 。 l eb r o c q 等人“”研究了孔型排列、喷射角度、冷气和主流密度以及吹风比等因 素对冷却效率r l 的影响。他们发现，倾斜喷射较垂直喷射的冷却效果要好，叉排比 顺排的冷却效果好，而且存在一个具有最大冷却效率的临界吹风比，过了这个吹风 比，n 又会下降。此后，c h o e 等人1 、g 0 1 d s t e i n 等人”“、c r a w f o r d 等人“”的研究 均得到了一致的结论：圆孔的最佳吹风比约在0 ，4 左右。其中g o l d s t e i n 等人“2 1 发 现将传统圆孔的出口改为梯形扩张形出口后，会使下游的冷却效率提高，尤其是显 著地提高了喷7 l 两侧下游表面上的冷却效率。g o l d s t e i n 等人“”和f o s t e r 等人“” 曾认为孔径对气冷效果影响不大，而a n d r e w s 等人“”通过不同孔径的射流冷却实验 比较后认为，孔径的增大可以降低换热系数并提高冷却效率。 c b o e 等人“”研究了孔距、吹风比、主流速度、叉排孔、来流条件等对传热的影 响，他们发现，孔间距与孔径之比p d 较小的孔排的气膜冷却效率较高。b e r g e e s 等人“7 研究了吹风比在0 2 5 到1 o 范围内的双排孔后的冷却效率，他们发现双排 叉排孔较单排孔的冷却效果好，这与l eb r o c q 等人“”的结论一致。t a y l o r 等人 对流向倾角为3 0 。、喷孔数分别为1 排、2 排、3 排的情况进行了研究，他们发现 换热系数随吹风比和孔排数的增大而增大。a f e j u k u 等人”研究了流向倾角变化时 两排孔后的气膜冷却效率分布，并通过改变孔的间距和孔的排列方式来观察冷却效 率的变化趋势，结果获得了与“”一致的结论。 c r a w f o r d 等人“”研究了喷射角度对换热的影响，他们采用了三个喷射角度：垂 直喷射、a = 3 0 。的倾斜射流和a = 3 0 。、b = 4 5 。的复合射流，结果发现复合角射流 时具有较好的截面平均冷却效果。 对复合角射流的叉排孔，m a y l e 等人“1 和k i m 等人”研究了孔间距和吹风比对 4 华北电力大学硕士学位论文 传热和气膜冷却效果的影响。他们同样发现，孔间距与孔径之比p d 较小的孔排的 气膜冷却效果较高。l i g r a n i 等人”二。”近年来对复合角射流时较小的孔排和孔间距 对冷却效率的影响进行了更为细致的研究，他们测量了a = 3 5 。、b = 3 0 。、p o 分 别为3 ，0 、3 9 的双排叉孔下游以及u = 3 5 。、b = 3 0 。、p o 分别6 0 、7 8 的单排 孔下游的冷却效率分布，所采用的其他实验参数为d r = 1 0 、m = 0 1 5 、i = 0 2 5 2 2 5 。对双排孔，他们发现，在流向距离和喷孔直径之比x o 6 0 的范围内，p d 相 同的复合角射流比b = 0 。的倾斜射流的冷却效果好得多。在x d 4 0 的范围内， p d = 3 ，0 较p d = 3 。9 的孔排射流的截面平均冷却效果高2 5 4 0 。截面平均冷却效 率在m = 0 5 时最高，在m = i 5 时最低，导致m = i 5 时冷却效果较差的原因是射流 的分离。对单排孔，当p b = 6 0 时，在m = o 5 的x d 3 0 和m = 1 0 、1 5 的x d l ，并且s 满足上式，则光顺后的r u n g e - k u t t a 格式保持稳定。虽然从上式 中看，要保持稳定性，o o 可以取任意值，但是实践中得知最好的经验值为 盯居= 2 。本文采用的是s w a n s o n t u r k e l 光顺方法，其的定义式如下： 2 丢降南2 。 协4 。，轳百忙而丽弧万嗣l 。1 | 。、 2 6 2 多重网格技术 多重网格法是一种加速收敛的比较好的方法。它的思想比较简单。求解一个问 题时总要将区域分成网格，为了提高计算的精度。一般应将网格划分得足够细密， 这样计算就会比较麻烦，迭代时间也比较长。为此可以先将网格划分得稀疏一些， 得到一个初步的结果，然后再加密网格，其初值可以在上一次计算的基础上插值得 到，这样就可以减少计算时间。另外为了减少计算时间一般说一开始并不需要很高 的精度，而是通过网格的反复加密和稀疏，最后得到精确的结果，当然多重网格法 需要在粗细网格上交替进行，目的还在于将误差通过滤波的方法减少。 f i n e t u r b o 软件中的求解器e u r a n u s 就采用了可以加速迭代收敛的多重网格技 术。可由用户在专家模式下的n u m e r i c a lm o d e l 页上的n u m b e ro fg r id s 给定网 格的层次数。其稀疏网格由e u r a n u s 直接从各个方向上的节点得到。 e u r a n u s 的多重网格法可以选择v 、w 、z 三种不同的交替方式，或者选择v s a w t o o t h 、ws a w t o o t h 、zs a w - t o o t h 交替方法，后三种交替方式在由稀疏网格 到加密网格的过程中没有滤波的处理，所以会在由稀疏网格转到加密网格的过程中 延长收敛时间。 e u r a n u s 的多重网格法是以非线性椭圆型方程的多重网格法( f a s 方法一一f u l l a p p r o x i m a t i o ns t o r a g e ，) 为基础的。f a s 方法求解的是非线性微分方程，因此， f a s 方法在多重网格上是求解微分方程的差分格式。在每层网格上求出的解包括两 部分。一部分是上一层的解在该层的插值，另一部分是该层网格消除的误差。将该 l g 华北电力大学硕士学位论文 层所消除的误差( 上层未能消除) 插值到上一层网格上作为对上一层上原有的解的 修正，从而得出差分格式在细网格上的解。 vc y c l e & wc y c l e vs a w - t o o t hc y c l e & ws a w - t o o t hc y c l e 图2 - 3 多蓖网格法交替方式示意图 假设网格层数为1 2 1 一，l ，而l 为最密的网格，n - s 方程在最密网格下的形式 为： a u l + n ，妙。) ：0 a t ( 2 5 0 ) 式中，妙。) 是n - s 算予在最密网格下的空间离散形式。 在l 层网格上求解以上微分方程的差分格式。求解时，给定初场u 。，代入差 分格式，有剩余一”。以此剩余为右端项求解上式，迭代p 次，消除一部分误差后， 得出在l 层网格上迭代的解u ”。将u ”代入微分方程有相应的剩余鼻”，即 些+。旷)：at 、7。1 ( 2 5 i ) 此时，u ”和初值u ”之差为l 层网格上被消除误差u “u ”，这一误差所对 应的是l 层网格上被消除剩余疋。一。p “j 。将这部分被消除剩余插值到粗网格l - 1 上，将u ”也插值到l - 1 上并代入方程，得出它在l - 1 层网格上所对应的剩余，于 是，这两部分剩余之和为在l - 1 层网格上求解的总剩余 民一= 。眦一1 u ) + 冠。k 一。移”) j 2 - 5 2 ) 在l - 1 层网格上求解 等巩咿) 吨。 求解时初场为硭一1 u ”。迭代q 次后，得到了u “两。若求解时收敛变慢，则再 过渡到更粗的网格上去求解。求解方程的普遍写法是： 2 0 华北电力大学硕士学位论文 鼻= 如0 ：u “1 ) + 曩，k + ，一n 。移) 】 r 2 5 4 ) 百a u i + m ( u * c f 2 5 5 1 其中，工t 和取t 是约束算子。它们的定义式为： 巩r “1 = r “1 ( 2 - 5 6 ) 旷1 ；蜚 阻，、 厶“旧一s 7 、 式中，q 为单元格体积，r “1 的定义式为： r “1 = 巧r n l + 。“1j f 2 - 5 8 ) 在，层网格上求解方程的普遍式，迭代r 次得出解u “是以该网格上的总剩余在 该网格上求解消除误差后的解。 当用多重网格将绝大多数部分误差消除后，不再向更粗的网格过渡。设此时的 最粗网格为1 ，网格上的收敛解是u “，则它和2n n n 上的解u ”在2 层网格上的 插值之差即为l 层网格消除的误差u “一以u “。将( u