（基础数学专业论文）射影空间中的超平面排列：其组合与补集的拓扑之间的联系.pdf

h y p p e r p l a n ea r r a n g e m e n t si np r o je c t i v es p a c e s ：t h e i n t e r p l a yb e t w e e nt h e i rc o m b i n a t o r i c sa n dt h et o p o l o g yo f c o m p l e m e n t s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y ( 1 0 2 6 9 ) f o rt h ed e g r e eo fd o c t o ro fs c i e n c e f i n i s h e di nm a r c h ，2 010 f e iy e ( 5 2 0 4 0 6 0 1 0 1 3 ) p r o f e s s o rs t e p h e ns t y a u ( s u p e r v i s o o p r o f e s s o rs h e n g l it a n ( s u p e r v i s 0 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文射影空间中的超平面排列：其组合与补 集的拓扑之间的联系，是在华东师范大学攻读硕士心请勾选) 学位期 间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：过：妊 日期：2 0 1 0 年5 月 华东师范大学学位论文著作权使用声明 射影空间中的超平 华东师范大学攻读学位 系系本人在 勾选) 学位论 文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相 关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中 信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师 范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕 士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范火学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文， 于箨月日解密，解密后适用上述授权。 ( 、) 不保密，适用上述授权。 学位论文作者签名： 进! 哇 日期：2 0 1 0 年5 月 导师签名： 日期= 2o o 彳0 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审 定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”市批袈 方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的， 默认为公开学位论文，均适用上述授权) 。 叶飞博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名单位职称备注 豫狃噩蝣壶籀 主席 陈志藏聿茸- 研翟j 溥缸恕 剀汔国仰毒卿埘氟稳 诵每廷啤承溉瓣轧梭 丘成煎 拜翻镯孕火学袤疆 摘要 在关于超平面排列的研究中，组合结构与它的补集的拓扑结构之间的相 互关系一直以来都是该领域的一个非常有意义的中心课题一个很自然的问 题是，在多大的程度上，超平面排列的组合结构决定它的补集的拓扑结构 在这篇论文中，本人着重研究了以下两个论题：( 1 ) 射影空间中什么样的 超平面排列，它的补集的微分同构类具有组合不变性；( 2 ) 纤维型射影直线 排列的组合性质在多大程度上决定它的补集的一些拓扑性质或不变量 对于第一个问题，本人首先研究了c p 4 中的超平面排列，并发现一类我 们称之为“好的”超平面排列，它们的补集的微分同胚类只取决于该排列的 组合性质更一般的，在对c p o 中的超平面排列的研究中，本人也发现了一 类称之为”好的“点型超平面排列，它们的补集的微分同胚类也只取决于它 的组合结构 对于第二个问题，尽管目前还未能证明纤维型射影商线排列的微分同胚 类的刚性仅取决于它的组合结构但足本人证明了，纤维型直线排列的补集 微分结构的由它的辫子单值性决定除次之外，本人还研究了纤维型射影直 线排列的另个重要不变量a l e x a n d e r 模，并得到了它的一个非常有意义的 刻画 关键词：超平面排列，相交格，微分同胚，辫子单值性，a l e x a n d e r 模 a b s t r a c t t h ei n t e r p l a yb e t w e e nt h e t o p o l o g i c a la n dc o m b i n a t o r i a li n v a r i a n t so f t h ec o m p i e m e n t so f h y p e 巾i a n ea r r a n g e m e n t sh a sb e e na v e r yi n t e r e s t i n ga n dm a j o rt h e m e i nt h es t u d yo fl i n ea r r a n g e m e n t an a t u r a lq u e s t i o ni st ow h a te x t e n dt h e c o m b i n a t o r i c so f a r r a n g e m e n t sd e t e r m i n e t o p o l o g yo f t h e i rc o m p l e m e n t s t h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l yd e v o t e dt os t u d y i n gt h e f o l l o w i n gt w ot o p i c s ：( 1 ) w h a tk i n do f p r o p e r t i e so ft h ec o m b i n a t o r i c so fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ss h o u l d h a v es ot h a tt h ed i f f e o m o r p h i cs t r u c t u r e so f t h e i r c o m p l e m e n t sa r ed e t e r m i n e db y t h e i rc o m b i n a t o r i c s ；( 2 ) t ow h a te x t e n dt h ee o m b i n a t o r i c so f a f i b e r - t y p ep r o j e c t i v e l i n ea r r a n g e m e n td e t e r m i n e si t st o p o l o g i c a li n v a r i a n t s o nt h ef i r s tt o p i c ，if i r s ts t u d i e dt h ea r r a n g e m e n t so f h y p e r p l a n e si nc p 4 ，a n d f o u n dal a r g ec l a s so f h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s ，c a l l e dn i c ea r r a n g e m e n t s t h e d i f f e o m o r p h i ct y p e so fw h o s ec o m p l e m e n t sd e p e n do n l yo nt h e i rc o m b i n a t o r i c s m o r eg e n e r a l l y , if o u n dc l a s s e so f h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t si nc p ，c a l l e dn i c e p o i n ta r r a n g e m e n t s ，d i f f e o m o r p h i ct y p e so fw h o s ec o m p l e m e n t sd e p e n do n l yo n t h e i rc o m b i n a t o r i c st o o o nt h es e c o n dt o p i c ，t o r w a r d st os h o wt h a tt h ed i f f e o m o r p h i ct y p e so f c o m p l e m e n t so ff i b e r - t y p eli n ea r r a n g e m e n t sa r er i g i d ，ip r o v e dt h a tt h e i rd if f e r e n t i a ls t r u c t u r e sa r e d e t e r m i n e db yt h eb r a i dm o n o d r o m i e so ft h e i ra s s o c i a t e ds u b a r r a n g e m e n t s ia l s oo b t a i n e dac h a r a c t e r i z a t i o no f t h ea l e x a n d e rm o d u l e so f t h e c o m p l e m e n t so ff i b e r - t y p ep r o j e c t i v el i n ea r r a n g e m e n t s k e y w o r d s ：h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s ，i n t e r s e c t i o nl a t t i c e ，d i f f e o m o r p h i s m ， b r a i dm o n o d r o m y , a l e x a n d e rm o d u l e i i 摘要 目录 i abstracth 1 引言 1 1 1 好的超平面排列2 1 1 1 c p 4 中的好的超平面排列4 1 1 2 c p o 好的点型超平面排列5 1 2 纤维型射影直线排列6 1 2 1 辫子单值性6 1 2 2 a l e x a n d e r 模及特征簇8 2 c p 4 中的好的超平面排列的补集的拓扑l o 2 1 好的超平面排列l o 2 1 1 定义及基本性质1 0 2 1 2 例子2 2 2 2 好的超平面排列的伪复形的性质2 4 2 2 1 多项式方程不规则性2 4 2 2 2 伪复形的一些性质2 9 2 3 好的超平面排列的补集的微分结构的刚性3 2 2 3 1 主要定理的证明3 2 2 3 2 模空间的连通性4 9 3 c p o 中的好的点状超平面排列的的补集的拓扑 5 0 3 1 好的点型超平面排列5 0 3 2 主要结论5 3 旦一墨 i v = = = = = = = = = = = = = = = 景= = = = = = = = = = = 鼍= = ! 鲁= = = = ：= = = ：= ： ：= = = = ：= = = = ：7 - 二= 4 c p 2 中的纤维型射影直线排列的补集的拓扑5 5 4 1 c p 2 中纤维型直线排列的补集5 5 4 1 1 定义及结构5 5 4 1 2 纤维丛的分类5 6 4 2 纤维型射影直线排列的补的拓扑6 0 4 2 1 辫子单值性6 0 4 2 2 辫子单值性决定补集的结构6 1 5 纤维型射影直线排列的a l e x a n d e r 模和特征簇6 3 5 1 a l e x a n d e r 模和特征簇：定义6 3 5 1 1 模的f i t t i n g 理想和特征簇6 3 5 1 2 射影直线排列的a l e x a n d e r 模特征簇6 4 5 2 纤维型射影直线排列的a l e x a n d e r 模的刻画及应用6 5 5 2 1 a l e x a n d e r 模的刻画6 6 5 2 2 a l e x a n d e r 模的应用6 9 参考文献 攻读博士期间的研究成果 致谢 7 0 7 8 7 9 第一章引言 在本文中，一个超平面是指一个余维数1 的线性空间平面，直线和点分 别是指2 维，1 维和0 维线性子空间 一个复，排列是指向量空间c 7 中的超平面的有限集合我们称一 个复，一排列为有中心排列，如果中所有的超平面都过原点给定一个 有中心的复f - 排列，在c ，到c p 卜1 的自然射影下，我们可以得到一个排 列，这个排列恰好是的射影像我们常常称为一个射影超平面排 列令m ( ) = c f u 日为的补集令m ( ) = c p 卜1 一u h 为的补令l ( ) 和l ( ) 分别为和中的超平面和这些 超平面的非空交所组成的集合对于该集合我们可以定义集合中的元素 之间的一个偏序关系，其中大于关系由反包含定义( 见【4 5 】第2 3 页定 义2 1 ) 当所考虑的排列是有中心排列的时候，上面所定义的偏序集，实际 上是一个几何格( 见【4 5 】第2 4 页引理2 3 ) 一般来说，( 可能不是一 个几何格，但是在本文中我们笼统地仍称它们为超平面排列的相交格假 设奶= h i ，凰 和奶= g l ，g 糟 为两个超平面排列，如果存 在一个双射妒： l ，n 专 l ，刀) 使得对 l ，刀 的任意子集， d i mn 凰= d i mn g 妒( f ) ，则称奶和奶的相交格同构或者相同 在对超平而排列的研究中，一个中心课题是研究超平而排列的相交 格( ) ( 或者l ( 牛) ) 的组合性质与它的补集m ( ) ( 或者m ( d + ) ) 的 拓扑或者微分结构之间的相互联系例如，我们可以问，什么样的超平面排列 它们相交格决定它们的补集的拓扑性质? 对于给定的超平面排列，它们的相 交格能够在多大程度上决定补集的一些拓扑性质? 反过来，超半面排列的相 交格是否由它们的补集的拓扑性质决定呢? 在这篇论文中，围绕着这个中心课题，我们将主要讨论以下两个问题： 1 在高维射影空间中，什么样的超平面排列它们的相交格决定它们的补 集的拓扑性质? l 第一章引言2 2 纤维型射影直线排列的补集的拓扑与相交格之间存在多人的联系? 本论文的研究成果分别包含在作者与谈胜利和丘成栋教授合写的一系列 文章【5 8 】，【5 9 】，【5 0 】和【6 0 】中 1 1好的超平面排列 在这一节，我将简单介绍一下本人在第一个问题上的工作关于前。 面提到的问题，早在1 9 8 0 年的时候，o r l i k 和s o l o m o n 4 6 】就已经开始利 用l ( 。聊计算了膨( ) 的上同调代数，并进而猜测补集的各种同伦不变 量只依赖于超平面排列的相交格相反地，在8 0 年代末9 0 年代初，f a l k 在 他的一系列的文章【2 0 】，【2 2 】和【2 l 】中研究了l ( d ) 是否是同伦不变量， 即相交格是否由补集的拓扑或微分结构决定在一般情况下答案是否定 的事实上，f a l k 在【2 l 】中证明了在c 3 中存在两个有中心的超平面排列， 它们的相交格虽然不相同，但是它们的补集却是同伦的尽管在3 维的时 候找到了反例，在2 维的时候丘和江的一个的结果( 见【2 8 ，【3 1 ) 却表明 在c p 2 中l ( d + ) 确实是一个拓扑不变量另一方面，在一篇著名的预印本 文章中【4 9 】中，r y b n i k o v 证明了在c p 2 中存在两个线排列它们具有相同 的组合结构，但是它们的补集的基本群却不同构r y b n i k o v 的结果否定了 o r l i k 和s o l o m o n 的猜测这样的两个直线排列被称为z a r i s k i 对需要指出 的是，寻找c p 2 中z a r i s k i 对也是一个非常有意义的课题 尽管并不是所有的超平面的相交格都能够决定它们的补集的拓扑，然而 在什么样的条件下，超平面排列的补集的拓扑或微分结构由它们的相交格的 组合性质唯一确定呢? 在这方面最早的，也是唯一的一个，一般性的结果是r a n d e u 的格同伦定 理( 见【4 8 】) ，在这篇文章中r a n d e l l 证明了，对于两个具有相同的相交格的超 平面排列，如果它们之间存在一个单参数排列族使得该族中的任意两个超平 面排列都有相同的相交格，则它们的补空间是微分同胚的换句话说，如果超 第一章引言3 平面排列在格同构意义+ 卜的模空间是连通的，则模空间中任意两个超平面排 列的补集微分同胚 受r a n d e l l 的定理的启发，我们自然希望知道究竟相交格要具备什么样的 组合性质才能够保证这样的超平面排列在格同构意义下的模空间是连通的? 丘和江在【2 9 ，【3 0 】中对c p 2 中的直线排列做了研究，丘和王在【5 5 】进 一步研究了c p 2 中的直线排列，并且在【5 6 】，【5 7 】研究了c p 3 中的平面排 列在这一系列的文章中他们定义了一大类的超平面排列，称为好的或简单 的超平面排列，这些超平面排列的模空间在格同构意义下是连通的 尽管在2 维和3 维都存在这样的超平面排列，更高维的射影空间中是否 也有这样的超平面排列存在呢? 答案当然是肯定的但是要给出高维射影空 间这样的超平面排列的相交格的最一般的限制条件却也并非容易事下面我 们先把丘及其学生的这几篇文章中的思路说明一下然后我们将简要地介绍 一下在更高维寻找这样的超平面排列的难处 为了证明具有固定相交格的超平面排列的模空间是连通的，我们需要 构造一个单参数超平面排列族，使得其中任意两个超平面排列具有相同 的相交格而给定两个c p o 中的超平面排列奶= h l 一，巩 和奶= g l 。g 一 ，若它们具有相同的相交格的，则自然到会考虑下面这样 的( c p l p 上的参数族： 伍) = x i h i + y i g i ：( x i ，y i ) c p l , i = l ，2 ，l 显然这样定义的族一般情况下并不满足相交格相同这样的条什若要得到想 要的单参数族，则需要对这样的参数族做些限制，即要求它满足相交格相同 这个条件 在低维射影空间中，满足条件的单参数排列族相对来说比较容易构造事 实上，在c p 2 中，给定任意两个线排列奶和必，假如它们具有相同的格， 要构造这样的单参数族使得它能够连接奶和奶，并且参数族中的排列的 格固定，只需要考虑所有可能的三条线交与一点的情况( 详情见【2 9 ，【3 0 ， 【5 5 1 ) 注意在c p 2 中三条线交与一点等价于这三条线的定义方程的系数矩 第一章引言4 阵的行列式等于零，并且该系数矩阵有一个2 2 的非零子行列式由于这些 行列式和它们的子式展开后恰为一些齐次多项式因此我们需要研究由这些 行列式方程和子式不等式定义在( c p l ) 一中的拟射影簇如果该拟射影簇包 含一条连通曲线连接( c p l ) 中的两点( 1 ，o ) n 和( 0 ，1 ) ，这样我们就找到了 需要的单参数族但是一般来讲这样定义的拟射影簇可能是零维的，也有可 能不是零维但是( 1 0 ) 一和( 0 ，1 ) 厅不在同一个分支，这就意味着所要构造的 单参数族可能不存在然而如果上面所定义的多项式是一些相对不可约且系 数全部不为零的多项式，则可以证明确实存在这样的拟射影簇使得它的实余 维数至少为2 ，并且( 1 ，0 ) 一和( o ，1 ) 厅均包含在该簇中( 见 2 9 1 ，【3 0 1 ，【5 5 1 ) 针 对将得到的多项式的所需要的条件( 相对不可约且系数全部不为零) 而对排 列做适当的限制是构造单参数族的关键条件之一对于c p 3 中的排列，要构 造这样的单参数族却相对困难的多主要是因为在这种情况相交格不仅包含 点，并且包含线对于点，我们需考虑任意四个平面在c p 3 中是否交于一点 以及如何相交，这可以和c p 2 中的点一样处理对于直线，我们需要考虑任 意的三个平面是否交与一条直线以及如何相交然而在这种情况，相交性质 一般不能由单一的多项式方程表示，事实上，三个平面的定义方程的系数矩 阵不再是一个方阵而是一个4 3 矩阵，因此三个平面交于一条线等价于所 有的3x3 子阵的行列式等于零，这样就会造成变量个数不增加而方程的数 量的增加，从而可能造成我们所考虑的拟射影簇是个窄集如果是这样，我们 便无法构造出所需要的单参数族 1 1 1c p 4 中的好的超平面排列 在本论文第2 章中，我首先探索了c p 4 中具有类似性质的超甲而排列 研究思路与丘和王的类似，但是在方法上有了很大的改进和完善 寻找c p 4 中这样的超平面排列，主要有两个新的难点第一个难点也是 这类方法的共同难点，那就是如何把相交格的组合性质与一些多项式方程和 不等式的解等价起来以及如何保证解的存在相对于c p 2 或c p 3 ，维数的增 第一章引言5 加，意味着相交格更为复杂，用多项式方程和不等式来表达相交关系变的异 常困难比如在c p 4 中，相交格中除了点和线外，还有平面需要考虑，即任意 三个超平面是否交于一个平面以及如何它们相交的更为复杂的是，相交格 中线与线，线与面，面与面，也有可能相交，显然要把这些关系转化为一些必 定有公共解的多项式和不等式，并不是一件容易的事情第二个难点是如何 使得所得到的所有多项式的全部系数非零我们前面提到过，使得所得到的 多项式的所有系数全部非零是证明的一个重要条件，是利用多项式的不可约 性求解多项式方程的前提条件尽管我们可以利用g p 4 的自同构来改变多 项式的系数，而不影响排列的补集的微分结构，但是此时多项式的系数的个 数要比c p 4 自同构群的维数大，这是低维没有出现过的困难，这种情况意味 着可能缺乏充分多的自同构供选择，使得多项式的系数能够在某个自同构下 全部变为非零系数 尽管对于最一般的情况我们还是无法处理，但是幸运的是，在c p 4 确实 存在类似的超平面排列，保证我们能够克服上面所提到的困难我们仍然称 这类排列为好的排列( 参见定义2 1 1 ) 在本论文中我证明了c p 4 中的好的超 平面排列在相交格同构意义下的模空间是连通的 定理：设蝣和筇为c p 4 中两个好的超平面排列若l ( 簖) 和l ( 吖) 相 互同构，则存在一个单参数排列族砺使得对所有0s f5l 有l ( 群) 笺 l ( 。略) 特别的，在c p 4 中，肘( 。簖) 和肘( 吖) 微分同胚 1 1 2c p o 好的点型超平面排列 通过前而对4 维情况的介绍，可以看的出，对于任意高维的情况，想要找 到较为一般的好的超平面排列将是相当困难的然而这并不能说明不存在这 样的超平面排列事实上，如果超平面排列的相交格中只有点和超平面，事情 要相对容易一些我利用同样的方法证明了下面的定理( 见第3 章) ： 定理：设簖和吖为c p 再中两个好的点超平面排列若( 簖) 和l ( 钟) 相 第一章引言 6 互同构，则存在一个单参数排列族砺使得对所有05 ts1 有l ( + ) 兰 l ( 蟛) 特别的，在c p 4 中，m ( 。簖) 和m ( 吖) 微分同胚 显然【5 6 】中的相应定理可以看作是该定理的一个直接推论利用r a n d e l l 的 格同伦定理和上面所描述的想法，我相信在任意维射影空间中都存在满足格 同伦的超平面排列类，但值得注意的是，格同伦定理只是给出了微分同胚的 一个充分条件 1 2 纤维型射影直线排列 显然并不是所有的超平面排列都是好的超平面排列对于一些特殊的超 平面排列，例如，纤维型射影直线排列，我们希望知道，它们的相交格和补集 的拓扑有多大的联系 对于纤维型射影直线排列，我们知道它们的相交格都有一个固定的中心， 但是除此之外相交格的结构可能非常一般，我们不可能期待它具有格同伦所 第一章引言7 示随后这一新的计算代数曲线的补集的基本群的方法得到了推广和广泛应 用，如t e i c h e r 及a m r a m 的一系列关于曲线的补和曲面的基本群的计算的文 章【2 4 1 ， 2 】，【l 】，【5 3 1 ，c o h e n 在【1 3 】中利用纤维丛的辫子单值性对纤维型超 平面排列的补集的基本群的结构的研究辫子的单值性除了被用来计算基本 群外还有着更为广泛的应用( 见【2 】，【4 】，【7 】， 6 】，【5 】，【8 】，【1 2 ，【1 3 ，【1 4 ，【1 8 ， 【3 3 1 ，【3 8 ，【3 4 】，【3 5 】等等) 其中的一个关于辫子的单值性的非常重要的结论 是l i b g o b e r 【3 5 】8 9 年发表在i n v e n t m a t h 上的一个结果： 定理( l i b g o b e r ) ：辫子单值性表示决定着平面代数曲线的补集的同伦等价 类 这个结论表明辫子的单值性比基本群所含的信息更多此外k u l i k o v 等人在 【3 3 ， 3 2 】中，用辫子单值性的分解研究了某些代数曲线本身的微分同胚性 这同样表明辫子单值性蕴藏着关于代数曲线的更多的信息另一个值得一 提的应用是，a r t a l ，c a r m o n a , c o g o l l u d o 和m a r c o 在【5 】用辫子单值性给出 了r y b n i k o v 反例的严格论证 辫子单值性已经成为研究直线排列和代数曲线的重要工具，关于辫子单 值性的研究和应用也已经成为人们研究的热点在第4 章，利用辫子单值性， 我对纤维型射影直线排列的补集的拓扑结构进行了研究尽管辫子单值性决 定补集的同伦等价类，但是人们并不知道它是否决定补集的微分同胚等价 类而对于纤维型射影直线排列，一个出乎以外的结果是，辫子单值性决定补 集的微分同胚等价类具体来讲，女i i 果两个纤维型排列的附属子排列具有相 同的非一般的辫子单值性，则它们的补集的拓扑同胚： 定理：给定两个纤维型射影直线排列。奶和。呸令留l 和现为相应的附属 子排列如果留l 和踢具有相同的中心投影辫子单值性，则奶和奶的补 集膨( 。嘶) 和m ( 。磋) 微分同胚 该定理的证明的并不复杂，这主要归功于纤维型射影直线排列的补集和相交 格的各自的特殊性质：纤维型射影直线排列的补集是一个纤维丛；射影直线 第一章引言8 排列相交格有个中心，即相交格中的任何点都与该中心通过排列中的 条直线相连如果假定这个纤维型射影直线排列的中心为c = ( 0 ，1 ，o ) ，则这 个纤维型射影直线排列的定义多项式可以表示为z ( x k l z ) 伍- k 2 z ) ( x - - k m z ) ( ) ，一a l x b l z ) ( y 一口2 x - b 2 z ) 一a n x 一z ) 定义该纤维型射影直 线排列的附属子排列为( y - a l x b l z ) 0 一a 2 x b 2 z ) 0 一a n x 一“z ) = 0 的零点集如果我们以c = ( 0 ，l ，0 ) 为投影中心构造该附属子排列的辫子单 值性，我们将得到一个非一般的辫子单值性，称为中心投影辫子单值性中心 投影辫子单值性与补集作为纤维丛的辫子单值性是一致的从而可以证明附 属子排列的中心投影的辫子单值性决定纤维型射影直线排列的补集作为纤 维丛的等价类而等价的微分纤维丛的全空间是微分同胚的 有点遗憾的是，我们这一结论不足以证明纤维型射影直线排列的补集 的拓扑结构是组合不变量原因是，辫子单值性不仅取决于平面代数曲线 的奇点类型，也受奇点的相对位置影响而相交格只能提供奇点的局部信 息，而不能提供相对位置信息换句话说，辫子单值性不完全取决于相交格 然而反过来是对的，c o h e n 和s u c i u 【1 4 】证明了一般的( g e n e r i c ) 辫子单值性 第一章引言9 称为特征簇特征簇和a l e x a n d e r 模是平面代数曲线的两个非常重要不变量 作为对a l e x a n d e r 多项式的推广，这两个不变量最早出现在【3 6 ，之后被 很多数学家广泛的研究，如a r a p u r a 【3 】，c o h e n s u c i u 【1 5 ，l i b g o b e r 【3 7 】等 一个自然的问题是如何有效的计算这些不变量另一个非常有意义的问题是 研究这些不变量与其它不变量之间的关系由于特征簇和a l e x a n d e r 模均由 基本群决定，而基本群一般来说并不是组合不变量，所以一个显然的结论是， 不是所有的a l e x a n d e r 模和特征簇都是组合不变量然而，在这些特征簇中 确实存在组合不变量【1 5 】那么组合不变特征簇具有什么性质呢? 在论文的第5 章，我对纤维型射影直线排列的a l e x a n d e r 模和特征簇做了 一些探索一个主要的结论是： 定理：令m 寸丑是一个纤维型射影直线排列的补集，这里口是该纤维丛的 基空间则肘的a l e x a n d e r 模l ( 庸，尺) 是丑的a l e x a n d e r 模日l ( b ，r ) 关 于凰( 口，日l ( 曰，尺) ) 的扩张 利用该定理，我们可以很容易的看出，每个纤维型射影直线排列的每个中 心都对应一个特征簇的环面子簇( t o r u s ) 反过来，是否每个环面子簇都对 应一个中心呢? 关于这个问题目前还没有答案，但是我相信，纤维型射影直 线排列的特征簇的环面子簇是组合不变量我将在第5 章中讨论该问题 第二章c p 4 中的好的超平面排列的补集的拓扑 给定，一维射影空间中的一个超平面排列+ = h i ，i - 2 ，。4 ，它的 相交格和补集分别定义为l ( d + ) = = n凰i 凰 和m ( + ) = f e ， i t 1 2 h 一 c p 一u 凰 在本章中所有的超平面排列均包含于4 维射影空间c p 4 2 1 好的超平面排列 在本节中我们将给出好的超平面排列的定义及一些基本性质对于超平 面排列的更一般的介绍可以参看【4 5 1 不过我们并不需要那么多 2 1 1定义及基本性质 定义2 1 ：令= 风，飓，玩 为一个超平面排列称( ) 中一个 点p 是七重的，记为m ( p ) ，如果中妗好有k 个超平面过p 称) 中 一条直线l 是k 重的，记为r e ( l ) ，如果如果中恰好有k 个超平面过l 称( ) 中一个平面s 是k 重的，记为m ( s ) ，如果中恰好有k 个超平 第二章c p 4 中的好的超平面排列的补集的拓扑 j = i l ，i 2 ，i ，) c ，并且25 ，- = l j i5m ( p ) 一2 ，则我们称p 为一个平 凡点 为了研究+ 的组合性质，我们需要知道相交格( ) 中的元素是怎 样形成的显然，有些相交情况是必然出现在相交格的例如c p 4 中的两个 不同的超平面必然交于c p 4 中的一个平面给定一个平面s l 7 ) 和一 个超平面h + ，如果sgh 则sn 日必为c p 4 中的一条直线给定 一条直线l l o g ) 和一个超平面h ，如果lg 日，则ln 日必 为一个点另外，任何两个处于一般位置的平面必然相交于一点 基于上面的观察，我们知道相交格的主要信息包含于它的一个子集，称为 该超平面排列的伪复形 定义2 3 ：c p 4 中一个超平面排列幸的伪复形够定义如下： 它的o 一维单复形箩( o ) 定义为l ( a z 矿) 中重数r e ( p ) 三5 的非平凡点的集 合，该集合中的点即箩的o 维单形 它的l - 维单复形够( 1 ) 定义为l ( d ) 中重数朋( l ) 三4 的非平凡直线的 集瓮该集合中的直线即够的1 维单形 它的2 - 维单复形箩( 2 ) 定义为l ( d + ) 中重数r e ( s ) 兰3 的非平凡平面的 集合，该集合中的平面即够的2 维单形 它的最高维单复形够( 3 ) 定义为l ( g f + ) 中过集合够( 0 ) u 够( 1 ) u 箩( 2 ) 一 点的超平面的集合，该集合中的超平面即够的3 维单形 令呖和够分别为吖和彰的伪复形且i 吖l = i - , g ；a 设l 铳( 3 ) l = i 绕( 3 ) i 并且存在集合 l ，2 ，3 i 研0 ) 1 的自同构，及其诱导的如下定 义的两个映射沁为：l ( 町) 一l ( z d 2 * ) ，币( nh i ) =nq ，和q ： l ( 蟛) 一- ( a o ，中_ ( ng i ) =n屿，这里妒7 为集合 l ，2 ，3 l 研l 的任意自同构且，i l 一23 l e t o ) l = 驴如果和圣q 能够使得对任意的 厂冬i ，d i mnh i = d i mnq 和d i mng i = d i mn月：，则绣同 i - ， j 咖( ，) i e ， ，e 爹一1 ( ，) 构与魄显然，中( 研) = 晚并且西_ 1 ( 娩) = 鲵 第二章c p 4 中的好的超平面排列的补集的拓扑 1 2 。卜面这个引理是使得我们可以对相交格进行简化处理的基础，也是丘及 其学生在关于好的超平面排列的文章中的利用伪复形取代相交格的理论基 本，遗憾的是，该引理并没有被明确的提出并给于严格的证明 引理2 4 ：令吖和蟛为c p 4 中的两个超平面排列l ( 吖) 同构于l ( 蟛) 当且仅当i 吖l = l 掣i 且鳓同构于皖 证明：设l ( 吖) 釜l ( 蟛) 显而易见，i 吖l = i 赡l 且铳名皖反过来，假 设筑同构于娩令n = i 。吖i = i 蟛1 则存在集合 l ，2 ，刀) 的一个自同 构及其诱导的两个映射中：l ( 一a l * ) 一l ( 赡) 和西一1 ：l ( 叼) 一l ( 吖) 需要证明l ( j z l * ) 名l 0 窖) 由于相交格中所有的非平凡交都在排列的伪 复形中，并且两个伪复形铳和踢已经同构，所以我们只需要验证l 。) 和l ) 在平凡交上同构即可任取) 玩中的一个元素e = n 既 令【e ) =nq 为它的像则圣q ) 也必然平凡否则，圣( e ) 统从 ，e 妒( ，) 而e = 圣一1 ( 垂( e ) ) 西- 1 ( 绕) = 鳓我们假设e 为平凡元素相矛盾我 们接下来要证明对任意的子集，曼i ，d i mn 胁= d i mng ，首先 i e j _ ，e 咖( ，) 假定e 为一个平凡平面，即r e ( e ) = 2 则川( 量( p ) ) 也必然等于2 从而 d i m e = d i m ( e ) = 2 这意味着e 和垂( e ) 具有相同的组合结构现在假 设p 为一条平凡直线根据定义一平面s 和一个超平面的凰的横截交从 而m ( p ) 也必然为一个甲凡元素，不仅如此，它必然为一条甲凡直线原凶是 d i m 垂( p ) 三d i m ( s ) 一l = l 且d i m 垂( p ) 不能等于2 ，否则( p ) 为一个非 平凡平面因此( p ) 必然为( s ) 和( h 1 ) 的横截交故而p 和辔( p ) 具有 相同组合结构，即对任意，si ，d i mn 凰= d i mng ，假设e 为一平 i ， ，曲( ，) 儿点则它或者是一条直线l 与一个超平面日l 的交，或者是两个平面s l 和& 的交考虑第一种情况，e = lnh 1 注意根据前面的证明l 和( l ) 总是具有相同的组合结构由于垂忙) 必然为平凡元素，( l ) 和( 日1 ) 也必 然横截相交因此e 和( p ) 具有相同的组合结构，即对任意的子集，s ， d i mnh i = d i mnq 考虑第二种情况，e = s in 岛显然对f = l ，2 ， 第二章c p 4 中的好的超平面排列的补集的拓扑l3 4 , ( s i ) 和& 具有相同的组合结构并且中( p ) = 中( s 1 ) n 币( ) 容易看出，如 果d i mo ( e ) = 0 ，则西( p ) 也必然为一个平凡点若d i m ( 中( 已) ) 三l ，则西( p ) 不可能为平凡元素矛盾! 综上所述l ( 吖) 呈l ( 。哆) 口 定义2 5 ：够中的一条道路定义为它的单形的一个有限序列 口o ，j l l ，口i 。j 1 2 ，a k 一1 ，j l 露，口七， 兰o ) ， 其中a o ，a l 。鲰和h l 。，| i l 七为箩中两两互不相同的元素，且对于任意 的i = 0 ，l ，七一l ，h i + l w ( 3 ) 且包含口j 和a i + 1 定义尼为从a o 到口七的 这条道路的长度，称a o 和口七为该道路的两个端点称a 和a 7 通过道路相连 接，如果汐中存在一条以a 和a 7 为端点的道路够中的一个圈是指一条首尾 相接的长度大于1 的道路集合汐( o ) u 9 7 ( 1 ) u 箩( 2 ) 中两个元素a i 和a 2 之 间的距离定义为从a l 到a 2 所有路径中的最短长度 定义2 6 ：对于集合够( u 够( 1 ) u 够( 2 ) 中任意元素”，m 上的一个星状 集s t ( u ) 定义为 m ) u 中包含m 的超平面 称够( o ) 中的一点t ，( ) 为 星状集s t ( u ) 的一个紧邻点，若s t ( v ) n s t ( u ) d 称够( 1 ) 中的一条直 线f ( h ) 为星状集s t ( u ) 的一条紧邻线，若s t ( 1 ) n s t ( u ) 够称够( 2 ) 中 的一个平面j ( m ) 为星状集s t ( u ) 的一个紧邻面，若s t ( s ) n s t ( u ) 0 紧邻点，紧邻线和紧邻面统称为紧邻元称两个星状集s t ( u ) 和s t ( w ) 互不 相邻，如果s t ( u ) n s t ( w ) = f 2 f 定义2 7 ：设s t ( u 1 ) ，s t ( u 一) ， o ) ，为够中的一些星状集，令够7 = 够一 s t ( u 1 ) ，s t ( u 矗) ) 称这些星状集在箩中是简单相连的，如果它们满 足下面的条件： 1 s t ( u 1 ) ，s t ( u 厅) 的紧邻元中的任意一个只能与s t ( u 1 ) ，s t ( u 玎) 的 另外一个紧邻元经由够7 中的道路相连 2 够7 中连接s t ( u 1 ) ，s t ( u 厅) 的紧邻元中的任意两个的道路至多只有 一条 第二章c p 4 中的好的超平面排列的补集的拓扑1 4 3 如果几个星状有一个共同的紧邻元，那么包含这个紧邻元的超平面中 至多有4 个来自这些星状集 引理2 8 ：假设s t ( u 1 ) ，。s t ( u 露) 是简单相连的且l l 为够7 中的一个元素， 则只有以下两种情况可以发生： 1 “只与s t ( u t ) ，s t ( u 一) 的紧邻元中的一个经由够7 中的道路连接； 2 如果 同时连接s t ( u i ) ，s t ( u 一) 的紧邻元中的两个，则在够7 中连 接 和这两个紧邻元的道路都是唯一的 证明：首先，我们说u 至多只能连接s t ( u 1 ) ，s t ( u 厅) 两个紧邻元如 果u 同时与这些星状集的三个不同的紧邻元u l ，u 2 ，t ，3 相连，则u l ， 2 ，v 3 中 必有一个同时与其它两个通过“相连这与定义2 7 中的第一条( 1 ) 相矛盾 假设m 与s t ( u i ) ，s t ( u 抖) 的紧邻元中的两个