（基础数学专业论文）基小波、框架与滤波器构造.pdf

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c o m b i n a t i o no f g a 璐s i a n ) 。 币0 ) ：= c l g a l ( ) + c 2 9 幻( t ) + + c k 9 。( t ) = 0 1 e 一。1 p + c 2 e 一4 2 t 2 + - + 矗e 一。n 户 ( 3 ) 若满足带通条件 山东大学硕士学位论文2 c 1 v 辱1 + 岛压鸲压1 = 。 则成为可容基小波 口 基小波定义要求的可容性条件相当宽松，我在第二节中先对可容性条件进行 了时域形式的等价叙述，即命题2 1 所给出的速降条件和带通条件；从而构造出： ( 1 ) 奇函数调制的具有幂级速降的基小波，即命题2 , 2 由此给出蛇形线函数和箕舌 线函数的改造，并推广为具有形式 n t 2 n 一1 妒( t ) ：= 而，n r ，m n + 1 ( 5 ) 的幂级速降的基小波( 2 ) 截断形式的基小波；( 3 ) 对高斯函数进行奇调制和三角 函数调制形成的基小波在本章的最后，讨论了基小波的可导性，由此给出小波变 换的分部积分公式，即命题2 8 次章首先扼要阐述h i l b e r t 空间框架和二进框架的定义和背景，引述了关于 框架与标准正交基和无约束基关系的命题，并延举著名的d a u b e c h e s 富余框架和 c k c h u i 的二进富余框架以说明之继而详细讨论了形如 l = e l = ( 1 ，0 ) ，咖2 = e 2 = ( 0 ，1 ) ，如= ( c d s o ，s i n a )( 6 ) 的二维空间的富余框架，首先由定理2 2 建立了其粗略框架界，随后由定理2 3 确 定了其最优框架界，即： 咖。) 构成二维空间的最优框架界为a = 1 ，b = 2 的框架 最后利用施瓦兹不等式将结论推广到n 维空间，建立了定理2 4 ，即终点在n 维单 位球面上的标准化的向量组： 妒o = ( n l ，。1 一，a n ) ，l = ( 1 ，0 ，0 ，- ，o ) ，如= ( 0 ，1 ，0 ，0 ) 咖。= ( 0 ，0 ，一，0 ，1 ) ( 7 ) 构成n 维实空间的以a = 1 ，b = 2 为最优框架界，冗余度为n 。+ l 的框架这里 a - f d ；，+ n ：= 1 ( 8 ) 进而变动自由向量为任意单位球向量，证明了定理2 5 ，即n 兰n 个向萤构成的单 位球向量组机，1 n ，n n 是维空间的以a = l s ，b = n 为界的框架 这里 = ( o 巧) 墨1 ，1 s n ，o 巧2 = 1 ，k = 1 ，2 ，- - 一， ( 9 ) j = l 以上述框架界估计为前提，对n 维空间冗余框架的冗余度与框架界得到定理2 6 的 关系式： r ：盟n( 1 0 ) 山东大学硕士学位论文3 最后，对于二维空间冗余框架，我们有定理2 7 ： 定理2 7 设2 维h i l b e r t 空间中的由n 2 个线性无关向量构成的单位 圆框架为机= e “，1 n ，其最优框架界为a = s u p a ，b = i n f b ，冗余度为 r ：= 譬，对于任意二维向量 = ( 1 m ) = p e 讲= 忡0e i o ，定义 朋；峨) ：j 1 n c d s 2 ( 8 一口 ) ( 1 1 ) = i 设 ( 1 2 ) 并令 ”咖，= 一互1v u 蕊2 ，6 = ：m ，= 1 2 ，2 。2 一 ：n 2 o 。 ( 1 3 ) 则成立： ( 1 4 ) ( 1 5 ) 末章总结了正交小波基的优良性评价指标，据此列出经典正交小波基的优良 性评价即定理3 1 至3 6 所述，其证明已见诸文献本章的核心内容是命题3 1 ， 即结合杨辉三角通过求解方程组以确定d a u b e c h i e s 紧支正交小波滤波器系数的算 法，由公式( 3 2 5 ) 和( 3 2 8 ) ： 1 日) 1 2 = l 彗1a 女c o s k w = ( c 0 ，警) 2 一2 + 笾亍c 壹一z ( c o s 2 警) 2 一2 一0 i n 2 警) + g 耀：( c 。，岩) 。( 痢n 2 警) 一t 联合决定 关键词 界；滤波器 o j 、波变换；母小波；可容性条件；高斯函数；框架；冗余度；最优 撕n乩 = 蛳 2s | l 咖 6+ r ) = 口 日 + 0 ，c r ，岫= c o n s t ( 1 ) t h u sy i e l d st h e o r e m 1 1 ；i n s p i r e db y t h ef o r mo fd o g w a v e l e t ，w ec o n s t r u c taf a m i l yo f w a v e l e t s i nt h ef o r mo ft h ed i l i e r e n c eo ft w og a u s s i a nf u n c t i o n s s t a t e da st h e o r e m1 2 ；m o r e o v e r 、t h e r e s u l ti s g e n e r a l i z e dt ot h ee a s eo ft h el i n e a rc o m b i n a t i o no ff i n i t eg a u s s i a nf u n c t i o n s ，n a m e d l o gw a v e l e tb ya u t h o r ，f o rw h i c ht h ea d m i s s i b l ec o n d i t i o ni sp r o v e d ，h e n c ew ee s t a b l i s ht h e o r e m 1 3 t h ea d m i s s i b l ec o n d i t i o ni sr e l a t i v e l yl o o s e w er e s t a t et h ee q u i v a l e n td e f i n i t i o ni nt i m e d o m a i n ，e m p h a s i z i n go nt h eb a n d - p a s sc o n d i t i o na n dd e c a yc o n d i t i o n ，w i t hw h i c hw ec o n s t r u c t ：( 1 ) t h em o t h e rw a v e l e t sm o d u l a t e db yo d df u n c t i o n s ，e s p e c i a l l yt h ef o l l o w i n gf a m i l y ： 蚺= 罴，n 咄m 礼+ 1 ( 2 ) 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) t h e m o t h e rw a v e l e t si nt h ef o r mo ft r u n c u l a t e d f u n c t i o n s ；( 3 ) t h em o t h e r w a v e l e t so r i g i n a t e d f r o mt h eg a u s s i a nf u n c t i o n sm o d u l a t e db yo d da n d t r i a n g u l a rf u n c t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r e s t a t e da sp r o p o s i t i o n2 1t o2 8 t h es e c o n dc h a p t e rf o c u so nt h ec o n s t r u c t i o no fr e d u n d a n tf r a m e si n t w o - d i m e n s i o n a l h i l b e r ts p a c e f i r s t l y , t op r o v i d et h e n e c e s s a r yb a c k g r o u n d ，w eb r i e f l yc i t et h ef a m o u sr e d u n d a n t f r a m ea n dd y a d i cf r a m e r e s p e c t i v e l yc o n s t r u c t e db yd a u b e c h i e sa n dc k c h u i t h e nw ed i s c u s s t h e f r a m e s j n t h e f o r mo f ： 毋l = e l = ( 1 ，o ) ，咖2 = e 2 = ( 0 ，1 ) ，庐3 = ( c o s d e ，s i n a ) ( 3 ) i nd e t a i l e s t a b l i s h i n gt h e i rc o a r s ea n d o p t i m a lb o u n d sr e s p e c t i v e l yi nt h e o r e m2 2a n d2 3f u r t h e r m o r e ，u s i n gt h es c h w a r zi n e q u a l i t y , t h ec o n c l u s i o ni sg e n e r a l i z e di n t on d i m e n s i o n a lh i l b e r t s p a c e ，w r i t t e na st h e o r e m2 4 ie ，t h en + l u n i ts p h e r ev e c t o r s ： 庐o 。( 。l ，a 1 ，一，) ，西1 = ( 1 ，o ，0 ，- - ，o ) ，西2 = ( 0 ，1 ，0 ，o ) ，芦。= ( 0 0 ，一，0 ，1 ) ( 4 ) f o r mar e d u n d a n tf r a m ew h o s er e d u n d a n c yr a t i oi s 簪a n d o p t i m a lb o u n d sa r ea = 1 b ： 2 w h e r e、 口；+ 口；，- + 。2 = 1 f u r t h e r m o r e ，w eg e n e r a l i z et h ec o n c l u s i o nf o rt h eu n i ts p h e r er e d u n d a n tf r a m e 庐 e 冬n ，n na n dp r o v et h a ti t sb o u n d sa r ea = 1 一e b ：n w h e r e n 咖k = ( n 柳) 1 ，1 k n ，a k j 2 = 1 ，女= 1 ，2 ，- 一， j = l ( 5 ) 1 ( 6 ) b a s e do nt h ee s t i m a t i o ni nt h e o r e m 2 4a n d 2 5 ，w eg e tt h ei n e q u a l i t yb e t w e e nt h er e d u n d a n c y r a t i oa n df r a m eb o u n d s ： r ：= i n n 一 ( 7 ) r 2i s ( 7 ) w h i c hi st h e o r e m 2 6 t h em a i nr e s u l tf o rt h e2 - d i m e n s i o n a lf r a m ei st h e o r e m 2 7 ： t h e o r e m 2 7a s s u m et h a tt h eo p t i m a lb o u n d sf o ra2 - d i m e n s i o n a l f r a m e 机= e i c t ，1 ksn ，a r ea = s u p a ，b = i n f b x ，t h er e d u n d a n tr a t i oi s r ：= 譬，f o ra na r b i t a r yv e c t o r = ( v l ，也) = p e 硼= 0e 槽，d e f i n i t e f ( o ；口t ) ：写1 nc 。s 2 ( 8 - a k )( 8 ) 。 = 1 s u p p o s e ( 9 ) 赢 2 似 乳 | | b曲 b2 武 = 钆 a n d t h e n 山东大学硕士学位论文 。：= m i 礼，= 一；而，6 ：= m 。，= ；磊了丽虿n 。 ( ，。) r + u = a b = r + b( 1 1 ) a n d 1 r = 妄( a + b )( 1 2 ) i nt h el a s ts e c t i o nw es u m m a r i z et h ee v a l u a t i o ns t a n d a r d sc o n c e r n e dw i t ht h eo r t h o n o r m a lw a v e l e tb a s e s ，s t a t e da st h e o r e m3 ，1t o3 6 ，w i t hw h i c hw eg i v et h ee v a l u a t i o no fs o m e c l a s s i c a lo n e s o u rv i r t a lr e s u l ti s p r o p o s i t i o n3 1 i nw h i c hw es u m m a r i z et h ea l g o r i t h mo f d a u b e c h i e s c o m p a c t l ys u p p o r t e do r t h o n o r m a lw a v e l e t f i l t e rc o e f f i c i e n t sb a s e do i ly a n g h u it r i a n g l e ，c o m b i n i n gt h ee q u a t i o n s ( 3 2 5 ) a n d ( 3 2 8 ) ： 1 日( u ) 1 2 = 2 当1a k c o s k w( 1 3 ) = ( c o s 2 詈) 2 。+ 学一2c o s 2 ；) 2 。u 2 _ ( s i n 2 警) + c 妊j 2 ( c o s 2 筹) ”( s i n 2 ；) 肛1 口 k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；m o t h e rw a v e l e t ；a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ；g a u s s i a n 沁n c t i o n 加m e jr e d u n d a n c yr a t i o ；o p t i m a lb o u n d s ；f i l t e r 山东大学硕士学位论文z 引言 本文的撰写初衷相当单纯，概言之即四字：拾遗补闽 基小波的可容性条件最初由g r o s s r n a n n 和m o f l e t 建立后迄今未有大变，然面 工程应用所引基小波却往往局限于数个经典特例；大多书籍对之关注甚少。我借 助高斯窗函数和d o g 犬小波结构的启示，构造出若干类满足可容性条件的一般基 小波族。就纯粹理论的观点，推导是完全合理的；而基于高斯窗函数调制的基小波 由于其优良的速降性，预计大有用武之地。 框架理论业已深入到高不可攀的领域，而平易的例子却乏善可陈我在文中 以著名的d a u b e c h i e s 二维框架为发轫点，构造出二维h i l b e r t 空间的一般非紧冗余 框架，自由向量限定为一个；推广至拥有更多自由向量的有限维空间，我们获得了 类似的结论。冗余度与框架界的关系是个有趣的话题，我们给出其一般公式的猜 想，并获得在特殊情形下的证明；其一般情形的严格证明仍是开问题。 d a u b e c h i e s 紧支正交小波滤波器的构造相关于多项式最小相位平方根分解，然 而计算并不直观。大多书籍与论文引述的结果仅止于3 阶，我们并不知道图表列 举的小数形式的系数从何而来本文总结了结合国人引以为傲的杨辉三角通过方 程组求解确定系数的算法，将之完全转化为为线性代数的问题。 山东大学硕士学位论文 8 第一章基小波构造 第一节基于g a u s s i a n 窗函数的小波构造 1 1 连续小波变换c w t 我们首先阐述基小波的连续小波变换的定义，继而结合它研究一类基于g a u s s i a n 窗函数的可容母小波的构造 定义1 1基小波的连续小波变换1 如果妒l 2 ( r ) 满足容许性条件： 秘厂样山一 ( 1 ) 则称砂是一个基小波。关于每个基小波妒，三2 ( 固的连续小波变换定义为 吼m 斗i 电e 巾) 妒( 等) 出 ( 1 2 ) 其中a ，b r 而q 0 1 2 基于g a u s s i a n 窗函数的小波构造 本节致力于研究基于g a u s s i a n 窗函数的小波构造。首先给出若干经典可容基 小波的结构 例1 1m a r r 墨西哥草帽小波2 墨西哥草帽小波规范化的一般形式定义为 妒( t ) 。去丌。胆( 参一1 ) e x v ( 一参) ( 1 3 ) o2+ 2 其f o u r i e r 变换为 m ) = 一筹盯 ，r l 4 w 2 e 卅t 0 2 6 0 2 ) ( 1 4 ) 相应尺度函数为 鼬) = 一筹南l 4 u 2 泖( 一丁o r 2 l “ 2 ) f 1 5 ) 1 小渡十讲p 2 4 ；小波导论p 8 0 2 信号处理小波导引p 5 9 ；小波变换工程分析与应用p 2 2 取o = 1 ，常见形式为 其f o u r i e r 变换为 山东大学硕士学位论文q 妒( t ) = ( 1 一t 2 ) e x p ( 一；4 2 ) 谚( 班佤z e 印( 一譬) 例1 2m o r l e t 地震小波3m o r l e t 地震小波的时频形式如下定义： 妒( t ) = e “。e x p ( 一g i - ) j 2 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 其f o u r i e r 变换为 每( u ) = v s - ；e x p ( 一坚掣)( 1 9 ) 例1 3d o g 犬小波4 d o g 犬小波( d i f f e r e n c eo fg a u s s i a n ) 的时频形式如下定 义： 4 212 妒( o2 e z p ( 一) 一；8 印( 一苦) ( 1 - l o ) 其f o u r i e r 变换为 西( u ) = 4 5 - ； e 印( 一等) 一e 印( 一2 w 2 ) ( 1 1 1 ) 定义1 2解析小波的连续小波变换s如果妒l 。( 兄) 满足其f o u r i e r 变换 在负频率处为0 ，即； 妒( u ) = 0 ，u 蛐辛雪( u ) = 0 则u 0 ，c r ，蛐= c o n s t ( 1 2 2 ) 称为高斯g a u s s i a n 窗函数 高斯o a u s s i a n 窗函数具有许多优良的性质，由如下命题给出： 命题1 1 高斯g a u s s i a n 窗函数的基本性质 6 信号处理小波导引p 6 5 加 n 旦舻 卜印 代一丌 土 = ”“ 数函 山东大学硕士学位论文! 1 1 g o ( t ) 为无穷可微的光滑函数，且对于零相位实高斯g a u s s i a n 窗函数乳( t ) = e 一2 根据莱布尼兹公式，其高阶导数可由下述迭代算法得到： 9 5 n ( ) = ( 一2 。) ( t 9 驴一1 ( ) + ( 礼一1 m 一2 ( z ) ) ，n 2 ( 1 2 3 ) 可见高斯型g a u s s i a n 窗函数的任意高阶导数仍为高斯型g a u s s i a n 窗函数 29 。( ) 为速降衰减函数， l i m t , 。t “9 。( t ) = l i r a t - - + a o t 8 e “2 = 0 ，v n 1 ( 1 2 4 ) 3 g o ( t ) 具有时频域的自相似性7 ，其f o u r i e r 变换仍为高斯型g a u s s i a n 窗函数： ) ：= = ee 1 e - - a t 2 d t = - - a t 2 d t 喜：e 一 ( 1 2 5 )盘( u ) ：= = e 1 “e 、 一卷 ( 1 2 5 ) j 一 yu 4 9 n ( t ) 可以作为卷积恒等脉冲泛函5 的逼近函数列s 。取o = 去，则 9 n ( t ) ：。赢8 一，d o (126)v 的f o u r i e r 变换为 疵) = e 1 ( 1 2 7 ) 从而有： l i m , 一- o + 蠡) = i ( 1 2 8 ) 或等价于时域中有 ( t ) d t = 1 ( 1 2 9 ) 于是对，l 1 ( r ) 的连续点，成立 2 i m 。- + o + f f + g o ) ( t ) = ，( t ) ( 1 3 0 ) 或等价地， “m n 一+ o + 站= 6 ( 1 3 1 ) 5 舶( t ) 为使h e i s s e n b e r g 测不准原理之等式成立的惟一函数类。，即在时频窗半径 乘积最小的意义下它是最优的。 7 小波导论p 3 4 8 小波导论p 3 7 9 小波导论p 7 6 山东大学硕士学位论文1 2 现在易证下述结论： 定理1 1 高斯g a u s s i a n 窗函数生成经典小波 经典基小波如m o r l e t 地震小波、m e x i c a n 草n d , 波和d o g 犬小波均为高斯 g a u s s i a n 窗函数生成。 证明 ( 1 ) 取o = i 1 ，c = 1 ，相位为u o ，则 + 2 9 ( t ) ：妒( t ) = e i t w o e z p ( 一寻) ( 1 3 2 ) 即为m o r l e t 地震小波 ( 2 ) 取o = ，c = 1 ，相位为u 0 - 0 ，则对应高斯g a u s s i a n 窗函数的二阶导数 9 望( ) ：妒( t ) ：一( 1 一t 2 ) e 一譬( 1 3 3 ) 2 即为m e x i c a n 草帽小波 ( 3 ) 取a l = ，0 2 = ，c i rl ，q = _ 1 1 相位为l 0 0 = 0 ，则对应两个高斯g a u s s i a n 窗 函数的差分 妒( t ) ：= a 9 洲一岛9 荆= e 一暑一；8 一昔 ( 13 4 ) 即为d o g 犬小波 口 现在考察一类由高斯g a u s s i a n 窗函数的差生成的犬小波族。我们有下述定理： 定理1 2d o g 犬小波族如下定义的高斯g a u s s i a n 窗函数的差可生成一族基小 波，称为犬小波族： 州：= c ( 詈8 1 “2 一e 1 2 庐) ，g r ，口1 】0 2 o ， ( 1 3 5 ) 证明 形式上设高斯g a u s s i a n 窗函数的差 妒( t ) ：= c a g , , 。( t ) 一c 2 9 。：( t ) = c 1 e 一。l ”一c 2 e 一8 。2( 1 3 6 ) 其f o u r i e r 变换为 妣m 屉采巴居一番 为使它成为可容基小波，其速降性由高斯g a u s s i a n 窗函数的性质( 命题1 1 2 ) 导出， 还需满足带通条件： 每( o ) = 0( 1 3 8 ) 山东大学硕士学位论文1 3 从而有比例关系： 坠c 2 旦a 2 ( 1 3 9 ) 一2 一 圳 故而选择c 2 = c ，代入形式解( 1 3 6 ) 即得犬小波族。 口 较一般地，可考虑有限个高斯g a u s s i a n 窗函数的线性组合，我们有下述定理： 定理1 , 3l o g d 、波族考察有限个高斯g a u s s i a n 窗函数的线性组合( l i n e a r - c o m b i n a t i o o fg a u s s i a n ) ： 妒( t ) ：= c i g a ，( t ) + c 2 9 。( t ) + + g 9 。( t ) = 口e l p + c 2 e m 。2 + + g e 一州2 ( 1 4 0 ) 其f o u r i e r 变换为 m 户g 居一番+ q 居一番+ + g ，仁e v 口” 为使它成为可容基小波，速降性是显然的，还需满足带通条件： 西( o ) = o = a 三+ 岛v 三a 2 + 一+ g 1 乏 ( 1 4 2 ) 从而有 a 去+ q 壶+ + g 、妾= 。 c a s ， 即参数 古，、去， 击在形式上“线性相关”( 这一概念是对向量而言) 。 口 由以上两定理可选择不同的参数因子得到无穷多的d o g 小波与l o g 小波， 为小波构造开辟了一条蹊径。我还猜想，由高斯g a u s s i a n 窗函数的导数可生成类 草帽小波族： 妒( t ) = c 9 5 2 n - 1 ( t ) ，n 1 ( 1 4 4 ) 而由其旋转相位的不同可得到类m o r l e t 小波族： 妒( ) = 9 。( t ) = c e 池o e “p( 1 4 5 ) 而分解出其实部与虚部又可获得三角函数调制的高斯型基小波。关于基小波构造 的更一般讨论见于次节。 山东大学硕士学位论文一 1 4 第二节一般基小波族的构造“ 我们首先对基小波可容性条件进行时域形式的描述，由此讨论较经典高斯型 小波更为宽泛的广义小波族的构造其速降性有所减缓，但种类更为丰富。 2 1 幂级速降的母小波 命题2 1基小波可容性条件1 0 妒l 2 是可容基小波，如果满足 1 带通条件： 厶州出= o ，营妒( o ) = 0 ( 2 1 ) 即小波具有零均值的正负交替的振荡波形； 2 时域速降条件： 1 州= d ( 赤) r ( 2 2 ) 或等价于频域变换移) 连续可微。 口 对任意奇函数砂( t ) ，在对称区间上的积分，尝妒( t ) 出= o 为零，这导致它具有 零均值；于是若再施以衰减性，则可成为小波。这就得到了下述结论： 命题2 2奇调制基小波妒五2 ( r ) 如果是奇函数且满足( 2 2 ) 则是可容基 小波， 这个条件是相当宽松的，我们可以研究许多类满足它的函数 例2 1n e w t o n 蛇形线函数改造1 1n e w t o n 蛇形线函数妒( t ) 如下定义： 9 + 饥( t ) ：= 惫i ( 2 3 ) 它是奇函数，但不满足衰减条件。事实上， j ( + ”( 十t ) 咖( t ) 出= z + ”三 辜菩d t = o o ( 2 4 ) j c ( 1 十) 咖( 。) 出2 上等带出= 。0 ( 2 4 ) 现在提升其速降性，将它改造为 喇：= 丽a t ，口r 它将成为一个具有幂函数级衰减的母小波 口 1 0 小波导论p 9 ，1 2 ；小波十讲p 2 4 ，4 5 ，4 9 ；信号处理小波导引p 3 ，5 8 ，6 1 ”吉米多维奇 叫p 1 4 1 ，题2 5 7 ( 2 5 ) 山东大学硕士学位论文l 例2 2箕舌线函数改造 1 2 箕舌线函数砂( t ) 如下定义： 钆( t ) ：= 南 ( 2 6 ) 它满足衰减条件，但不是奇函数。现在塑造其带通性，将它改造为 妒( t ) ：= 尚，n 冗 ( 2 7 ) 它将成为一个具有幂函数级衰减的母小波 口 一般地，考虑 州：= 苦面，n 兄，m n + 1 ( 2 8 ) 则如是定义的函数成为具有幂函数级衰减的母小波 e l 正弦与余弦实函数的有界性可以用来替代幂级速降的母小波中的分子，导出 下述形式的三角幂级速降的母小波构造： 命题2 3三角幂级速降的母小波 1 3 如下定义的 州：= 篙 ( 2 9 ) 作为奇函数和由箕舌线函数控制的速降函数成为幂级速降的母小波一般地，取 妒( t ) ：= 罴，m 2 1 ( 2 1 0 ) 则它构成幂级速降的母小波 2 2 截断形式的母小波 具有紧支集的函数在无穷远处为零，因而必然是能量衰减的，这启示我们构 造截断形式的母小波回忆哈尔h a a r 小波的定义： 它满足 詹妒。 。：膏。出? 霉二：竺詈1 1 c 2 1 2 ， 这一性质可以作为截断形式的母小波所应具备的一般条件我们有下述的 命题2 4截断形式的母小波 币三2 是可容基小波，如果满足 1 2 吉米多维奇【- 1 p 1 4 1 ，题2 5 6 ”吉米多维奇h p 1 9 5 ，题3 4 4 0 o ，口足。 皿嘲 满足命题2 4 的条件，显然它要比h a a r 小波光滑 口 事实上可以看到它与一阶样条函数相关：取r = 1 ，o = 1 ，考虑标准化的紧支线 性函数： 蛾= k 娄k 1 ； ( 2 1 6 j 将它的图像向上平移1 个单位，再将其右半部分作关于妒= i 的反射或折叠，就得 到所谓的帽函数1 4 ： 如卜h 诈l + t , - 1 0 ，c r ，u o = c o n s t ( 2 2 2 ) 与 鲒( t ) = c e - a t 2 s i n w o t ，口 0 ，c r ，w o = c o n s t ( 2 2 3 ) 是可容基小波 证明留意高斯速降因子e - a t 2 作为偶函数与正弦调制因子s i n u o t 的复 合将是奇函数，因而满足零均值带通条件；同时由正弦函数阶的估计：i 鲥删。ti s 岛iti ，6 o 0 ，其增长性被线性函数所控制，因而当它与高斯速降因子复合时的 速降性是显然的。从而( 2 2 3 ) 式定义的正弦调制高斯函数为可容母小波；进而，由 或( t ) + i a ：( t ) = 2 c g 。( t ) ：= 2 c e 一。庐e ，8 o ，g r ，。o = c o n s t ( 2 ，2 4 ) 知( 2 2 2 ) 式定义的余弦调制高斯函数作为复相位旋转高斯函数与经过虚单位旋转 的正弦调制高斯函数的差成为可容母小波它不满足带通条件，但类似m o l e t 小 波，当叫。充分大时近似满足 口 事实上，调制因子可以从正弦函数拓广为任意幂级增长的奇函数，即成立： 命题2 6奇调制高斯母小波如下定义的奇函数因子调制的高斯窗函数 鳐( t ) = g 讥( t ) e 一”，b 0 ，c r ( 2 2 5 ) 1 5 吉米多维奇f - - p 1 9 6 ，题3 4 5 山东大学硕士学位论文1 8 是可容母小波，其中奇函数因子被幂级增长函数控制： 讥( t ) ) = 0 ( i tl “) ( 2 2 6 ) 因奇函数满足带通条件，而高斯函数导致速降性，从命题( 4 2 ) 即得结论 口 我们在下边给出形如高斯奇次导函数的母小波首先有数学分析的简单引理： 引理2 1导函数奇偶性在可导的前提下，奇函数的导数为偶函数，偶函 数的导数为奇函数；一般地，偶函数的奇次导数为奇函数。 口 由是高斯函数作为偶函数，其奇次导数为奇函数；且由高斯函数的性质( 1 3 1 ) ， 此导函数可写为一个奇多项式与高斯原函数的乘积，而多项式具有有限的幂级增 长，由高斯函数的性质( 1 3 2 ) ，又获得其速降性从而我们有下面的： 命题2 7高斯导数母小波如下定义的高斯窗函数的奇次导数 目：( t ) ：= c ( e 一。p ) 2 “一1 ) = f k ( t ) e 一。p ，n 0 ，c r ，n ( 2 2 7 ) 作为奇多项式因子调制的高斯窗函数成为母小波 e 3 2 4 ，小波变换分部积分 本段讨论基小波的可导性，由此给出小波变换的分部积分公式 引理2 2导函数小波设妒( t ) 为可微基小波，导函数妒( ) g ( r ) ，其 f o u r i e r 变换参( u ) 为窗函数，则妒( t ) 为基小波。 证明因妒( t ) 为可微基小波，由f o u r i e r 变换求导公式，口( u ) = i u 审( u ) ， 而由西( u ) 为窗函数知，等i u1 2 1 审( u ) 1 2 扎 。o ，j ：箬l 书( u ) 1 7 幽 o o ，故而由s c h w a r z ：= = - 等式得： ( 虑芈幽) 2 = ( j ：等iuf l 西( u ) i1 西( u ) id u ) 2 ( 2 2 8 ) 兰f 訾i 叫1 2 1 每( u ) l 。d u ，甚i 移( u ) i 。山 o o 命题2 8小波变换分部积分设妒( t ) ，妒( t ) 均为基小波，l i m t + 。妒( t ) = 0 ， 导函数妒( t ) l i ( r ) ，设如导函数，7 为勒贝格可积函数：，7 ( t ) l l ( 固，则，关于 妒( t ) 的小波变换成立下述分部积分公式： 1 ，f ( a 加) = 一。吼，( n ，6 ) 证明 困，( 茚l 1 ( 兄) ，而由n e w t o n - l e i b i n z 公式有 j ( 2 ，( s ) d s = f ( o 一，( o ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 于是 山东大学硕士学位论文! q l i m t _ + 士。，0 ) 冬i ，( s ) id soo o 。 r 十 j o o 故由小波之速降性：l i r a 。妒( t ) = 0 得 ：瓦事= 。 ( 23 1 ) ( 2 3 2 ) 从而 一，( 8 ，6 ) = 击麝，( t ) 母( 警) 巩 = 击( 上2 坤) d n 妒( 学) ) = 击( ，0 ) o 砂( 警) j + 一。o o n j ：訾，0 ) 妒( 譬) d t ) ( 2 3 3 ) = 一8 仁+ 。o o ， ) 去妒( 警) 斑) = 一n ，( n ，6 ) 即得小波变换分部积分公式。 口 山东大学硕士学位论文2 8 第三章d a u b e c h i e s 、波与杨辉三角 3 1 - 小波优良性评价 确立衡量小波优良性的指标是为了小波逼近的高效性：以尽可能少的非 零小波系数有效逼近目标函数这些指标主要是：消失矩：紧支集，正则性， 对称性 3 1 1 # 1 失矩2 5 若函数妒满足下述正规性条件： ，+ t k 妒( t ) 出= 0 ，0 女 p ( 31 ) j 一 则称妒有p 阶消失矩关于消失矩阶数的判别有下述定理： 定理3 1消失矩设砂和妒为生成一族正交基的小波与尺 度函数，满足衰减条件： l 妒( t ) i = o ( 0 + t 2 ) 一p 2 1 ) ，i 妒( f ) i = 0 ( ( 1 + t 2 ) 一p 2 1 ) ，则如下叙述等价； 1 妒有p 阶消失矩； 2 妒( 0 ) = 0 ，= 0 ，1 ，p 一1 ； 3 彬”( 霄) = 0 ，七= o ，1 ，p 一1 ； 4 g o p ，q k ( t ) ：= ：矿妒( t n ) 为k 阶多项式。此条件称为f i x - s t r a n g e 件 消失矩升高时信号在大尺度高分辨率上的小波分解系数( 奶，t ) 将变小， 从而可以较少的非零小波分解有效逼近 3 1 2 紧支集。e 使函数，取值非零的点集的闭包称为，的支撑集，记为 s u p p ( i ) ：= c l o s u r e tlf ( t ) o ) ( 3 2 ) 下述命题给出了尺度一小波一传递函数的支集的联系： 定理3 2紧支集 z 7 尺度函数妒有紧支集当且仅当h 有 紧支集且二者支集相等；设如s u p p ( 妒) ：= s u 卯( h ) = 【n 1 ，2 】则s t 卿( 妒) = 【掣，掣1 ”信号处理小渡导引p 1 8 3 定理7 4 2 。夏道行泛函分析p 3 7 7 七章广义函数目；小波导论* p 2 9 0 附注 2 7 小渡十讲p 1 3 6 式5 1 ，3 6 ；信号处理小波导引p 2 4 0 ，命题7 - 2 山东大学硕士学位论文2 2 3 1 3 正则性2 8 正则性与光滑性以李普希茨l i p s c h i t z 函数类和d ，函数类度 量称函数，是属于l i p s c h i t z a 函数类的，如果存在0 o t 1 ，使得 v t r ，8 u p o 峰i ，( t + 6 ) 一f ( t ) l = 0 ( 矿) ( 3 3 ) 称，是属于三劫o 函数类的，如果其i t i 阶导数，( “( ) l i p a 函数的正则 性与滤波器的