（基础数学专业论文）若干离散孤子方程的精确求解.pdf

本篇论文主要讨论了如下两个问题 摘要 1 利用矩阵代数的方法构造离散的c a s o r a t i a n 解以t o d a 链方程为例，讨论并构 造其c a s o r a t i a n 条件方程组的通解，并由此引出t o d a 链方程的孤子解、j o r d a n 块解、 c o m p l e x i t o n 解以及混合解。目的在于从理论上进一步完善利用矩阵代数直接求解w r o n - s k i a n 条件方程组的方法，还在于给出对应于j o r d a n 块解的c a s o r a t i a n 显式元素的构造 方法 2 用h i r o t a 方法给出了差分一差分k d v 方程的新解，并对解进行了初步分析给 出了差分一差分k d v 方程从h i r o t a 形式的2 n 孤子解到新解的极限过程，这个求极限 的过程也可以应用于其它具有h i r o t a 形式多孤子饵的孤子方程 关键词，双线性导数，w r o n s k i a n 技巧，t o d a 链，c a s o r a t i a n 解，差分一差分k d v 方程，极限解 a b s t r a c t i nt h ep a p e ram a t r i xa l g e b r aa p p r o a c ht oc o n s t r u c tc a s o r a t l a ne n t r i e si 8i n t r o - d u c e d t a k i n gt h et o d al a t t i c ea sa ne x a m p l e ，a l lp o s s i b l es o l u t i o n sf o ri t sc a s o r a t i a n c o d d i t i o ne q u a t i o n sa l ed e r i v e d ，a n da sar e s u l t ，s o , t o ns o l u t i o n s ，j o r d a n - b l o c ks o l u t i o n s ， c o m p l e x i t o ns o l u t i o n sa n dm i x e ds o l u t i o n st ot h et o d al a t t i c ea l eo b t a i n e d b e s i d e s ，w es h o wa ne x a c tl i m i tp r o c e d u r eb yw h i c has i m p l ef o r m u l af o rt h en - d o u b l e - p o l es o l u t i o nt ot h ed i f f e r e n c e 。d i f f e r e n c ek d ve q u a t i o ni sd e r i v e df r o mi t s2 n - s o l i t o ns o l u t i o ni nh i r o t a sf o r m t h i 8l i m i tp r o c e d u r ei sg e n e r a la n dc a na p p l yt oo t h e r s o , t o ne q u a t i o n sw i t hm u l t i - s o l i t o ns o l u t i o n si nh i r o t a sf o r i l l k e yw o r d s ：b i l i n e a rd e r i v a t i v e s ，w r o n s k l a nt e c h n i q u e ，t h et o d al a t t i c e ，c a s o r a t i a n s o l u t i o n s ，t h ed i f f e r e n c e - d i f f e r e n c ek d ve q u a t i o n ，l i m i ts o l u t i o n s 原创性声明 本人声明。所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作 的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及 送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 酗憋名 第一章绪论 l 1 孤立子的历史回顾 孤立子理论是数学物理领域的一个重要组成部分近几十年来已经引起了国际上数 学界和物理学界的充分关注，有关孤立子的研究工作十分活跃，其涉及范围日趋广泛孤 立子往往也称为具有碰撞特性的孤立波，它是指一些非线性偏微分方程的非奇异特解， 是一种具有永久形状的、局域化的行波解它具有以下特性【1 】 ( 1 ) 空间局域化( 能量集中在个较狭小的局域) ； ( 2 ) 单个孤子是一个行波解； ( 3 ) 他们是稳定的； ( 4 ) 两个孤子相互作用时出现弹性散射现象( 即每个孤立子在相互作用之后其波形和 波速能恢复到原状) 性质( 4 ) 不是所有孤子系统都满足的一般来说，只有可积系统才满足弹性散射性 质，不可积系统则般情况下不满足弹性散射性质孤立子具有一切粒子所具有的特性， 如能量，动量、质量电荷，自旋等等，也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质量守 恒定律；它又有波动性，存在于一切可以出现波动的介质里因此可以说，孤立子具备了 粒子和波的许多性能，正是由于孤立子的这些特殊性质使得它在许多科学领域都有着重 要的应用如流体力学、等离子体物理、超导物理，非线性光学、经典场论和量子场论等 等都存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要现象然而，许多物理系统都是不 可积的，甚至还是不稳定的，为了更好地研究这些系统，人们开始在更广泛的意义下理 解孤立子这一术语，比如在不是很严格的情况下，仅满足( 1 ) 的解有时也称为孤子解 孤立子的发展可以追溯到1 8 3 4 年，英国科学家s c o t tr u s s e l l 偶然观测到一种奇妙 的水波t 一条在狭窄河道的船被两匹马拉着前进当船突然停止时，随船一起运动的船 头处的水堆并没有停止下来，它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以几乎 不变的速度和不变的波形向前推进了1 2 英里，最后在运河的拐弯处消失 2 r u s s e l l 认为他观测到的是流体运动的一个稳定解，并称之为”孤立波”经过数次实验，他还认 为这种孤立波的波形应该具有s e c h 2 ( ) 函数的形式但是，r u s s e l l 并未能成功证明并使 物理学家信服他的观点 半个世纪后，1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波的 运动，并在长波近似和小振动的前提下，建立了单向运动方程，即k d v 方程【3 】 t h 4 - 6 u u z4 - “。= 0 1 ( 1 1 1 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 这个方程的解为 “= ；s e c h 2 ( 等f ) ， “2i 。【i 弘 ( 1 - 1 2 ) 其中，= z d ，c 为常数，s e c h ( x ) 是钟形的正割双曲函数这与r u s s e l l 的描述是一 致的，从而从理论上证明了孤立波的存在然而，孤立波的稳定性以及两个孤立波碰撞 后是否会被破坏并未得到解决( 非线性方程不满足叠加原理，人们担心碰撞可能会破坏 孤子解) 由于担心孤立波。不稳定。从而没有太大物理意义，孤立波的研究并没有大规 模开展 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i p a s t a 和u l a m 设计了个数值计算实验：将6 4 个质 点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦初始时能量集中在一个质点上，期望经过相 当长时间后非线性作用会使能量均分、各态历经等现象出现结果发现，经过相对长时 问后，几乎全部能量又回到了初始分布后来t o d a 研究类似的问题一晶体内部非线性 振动时得到孤立波解，该现象才得以解释 1 9 6 2 年，p e t t i n g 和s k y r m e 研究基本粒子模型的s i n e - g o r d o n 方程，得到该方程孤 立波解的解析解，并发现该解具有弹性碰撞的特点，即碰撞后两个孤立波解也保持原有 的形状和速度 1 9 6 5 年，美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 4 1 用数值模拟方法研究了等离子体中孤立 波碰撞的非线性相互作用过程，进一步证实了孤立波相互作用后不改变波形的论断由 于这种孤立波具有类似与粒子碰撞不变的性质，于是他们将这种孤立波( s o l i t a r yw a v e s ) 命名为“孤立子4 ( s o l i t o n s ) k r u s k a l 和z a b u s k y 这项工作是孤立子理论发展的一个重 要里程碑孤立子概念的引入标志着现代孤子理论的开始从此以后，在世界范围内掀 起了孤立子研究的热潮 以后的二十多年，孤立子理论的研究蓬勃发展，研究和应用领域包括t 流体物理 固体物理、基本粒子物理，等离子体物理、凝聚态物理超导物理、激光物理、生物物理 等 1 2 精确求解孤子方程的方法 孤子理论从各个角度研究了孤立子方程以及方程所涉及的数学内容，其中重要的一 个方面就是如何求解孤立子方程以及讨论解的性质因此，寻求非线性偏微分方程的精 确解一直是孤子理论研究中的重要内容之一目前已经有许多成功的方法，如反散射变 换法【5 ，6 1 、h i r o t a 双线性导数法 7 ，8 】、w r o n s k i a n 技巧【9 、d a r b o u x 变换 1o 、 b t t c k h m d 变换【1 1 】等 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 3 反散射变换法 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 5 1 首次提出用反散射变换求解k d v 方程这一工作同1 8 3 4 年r u s e l l 发现孤立波现象，1 8 9 5 年k o r t e w e g - d ev r i e s 建立单向 运动的浅水波方程( k d v 方程) 以及1 9 6 5 年k r u s k a l 和z a b u s k y 命名。孤立子。一样， 是孤子理论发展史中的里程碑该方法有其严格的物理背景和数学严谨性f 5 ，1 2 ，而且可 以求出与同一谱问题相联系的整个等谱发展方程族的多孤子解，是精确求解非线性发展 方程的经典方法f 6 ，1 3 ) ，也被称为非线性方程的f o u r i e r 变换方法 h i r o t a 双线性导数法 双线性导数法是由h i r o t a 7 ，8 】于1 9 7 1 年创造性地提出并成功应用于求解孤子方程 精确解的有效方法，是一种应用广、效率高的直接方法其一般步骤为：引入位势u 的 适当变换，将原孤子方程化为双线性导数方程然后将扰动展开式代入到双线性导数方 程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限项，得到线性指数函数形式的单孤子解， 双孤子解和三孤子解等具体表达式，并由此构造出孤子解的一般表达式( 并可以给出 数学证明) h i r o t a 双线性导数法以双线性导数为工具，且只与所要求解的方程有关，而 不依赖于方程的谱问题或l a x 对该方法操作简便，其适用范围几乎涵盖了多有反散射 变换可解的方程最近，陈登远，邓淑芳和张大军【1 4 ，1 5 】还利用h i r o t a 方法构造出孤 子方程的新解，并给出n 孤子解一般表达式的猜测 b i i c k l u n d 变换 b i c k l u n d 变换也是寻求解的方法f 1 ，1 1 ，1 6 ，它将求解高阶的微分方程转化为求解包 含解之间关系的较低阶的微分方程组利用b 冠c l d u n d 变换，可以从已知解出发，求出新 的孤子解，并可进一步以新解作为已知解，求出更新解，周而复始但该方法涉及到解 微分方程组，往往在求多孤子解时会遇到麻烦直到1 9 7 4 年，h i r o t af 1 7 给出了一种 b f i c k l u n d 变换的双线性导数形式，使得求多孤子解变得简单起来b g c k l u n d 变换的双 线性导数形式可以从双线性方程得到 1 7 】，也可以从普通形式的b i c t d u n d 变换得到 1 8 】， 并且这些形式都是等价的1 9 1 w r o n s k i a n 技巧 孤子解可以表示成w r o n s k i 行列式形式【2 0 ，2 1 ，w r o n s k i 行列式技巧也是寻找非线 性发展方程孤子解的一种直接方法，它以双线性方程为桥梁，可以直接带入方程进行解 的验证 2 2 _ 这种表示首先由s a t s u m a 2 1 在1 9 7 9 年引入然而s a t s u m a 本人解的这种 表示与孤子方程的双线性形式联系起来直到1 9 8 3 年，作为一种求解孤子方程的系统 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 4 方法- w r o n s k i 行列式技巧一才由f r e e m a n 和n i m m of 2 3 1 提出并建立起来该方法以 h i r o t a 方法为基础，即首先要得到孤子方程的双线性形式或双线性b i d d 衄d 变换；然后 适当选择也构成w r o n s k i 行列式彤( 也，屯，如) ；再将w r o n s k i 行列式直接代入双 线性方程或双线性b i c k l u n d 变换中进行验证由于b 蒯d u n d 变换中所含导数的最高阶 数比相应的方程要低，所以利用双线性b a c k l u n d 变换( 尽管是方程组) 来进行验证往往 比较简单能够进行解的直接验证，这恰恰是w r o n s k i 行列式技巧的优势所在 除孤子解之外，许多其它形式的解也可以表示成w r o m k i a n 形式，例如一有理解、 p o s i t o n 解，n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解等1 9 8 3 年，n i m m o 和f r e e m a n 首先给出了k d v 方程w r o n s k i a n 形式的有理解 2 4 1 9 8 8 年，s i r i a n u n p i b o o n 等人f 2 5 1 将w r o n s k i a n 元素所满足的条件( 不妨称为w r o n s k i a n 条件方程组) 进行了推广，他们 将条件方程组中z 部分的系数矩阵由对角阵推广到下三角阵，获得了k d v 方程( 后来命 名) 的p o s i t o n 解，n e g a t o n 解，有理解以及混合解事实上，对p o s i t o n 解的命名以及详 细研究是1 9 9 2 年首先由m a t v e e vf 2 6 ，2 7 给出的k d v 方程的p o s i t o n 解对应于静态的 线性s c h r 6 d i n g e r 方程取正特征值的情况；类似的，n e g a t o n 解相应于取负特征的情况 2 0 0 2 年，马文秀f 2 8 1 首次给出了k d v 方程c o m p l e x i t o n 解的w r o n s k i a n 表示，它相应 于静态线性s c h r s d i n g e r 方程取复共轭特征对的情形，这种解实际上是一种呼吸子f 2 9 1 近年来关于w r o n s k i a n 技巧有很多深入推广的工作例如，2 0 0 5 年，马文秀等首 先考虑了k d v 方程的w r o n s k i a n 条件方程组的通解，他们利用常数变易法，解决了当 w r o n s k i a n 条件方程组中系数矩阵为j o r d a n 块时如何获得通解的问题，并给出获得通解 的递推公式【3 0 ，3 1 】近来，张大军【3 2 】提出构造w r o n s k i a n 条件方程组解空间基的简单 方法，通解可以利用下三角t o e p l i t z 矩阵给出解的显式表示，并讨论了不同解之间的关 系另外，陈登远等提出利用矩阵代数直接求解w r o n s k i a n 条件方程组的方法f 3 3 不同的方法得到的孤子解的表达形式是不同的例如h i r o t a 方法与w r o n s k i 行列式 技巧得到的孤子解的形式是各异的，对于双线性b a e k l u n d 变换h i r o t a 形式的解和 w r o n s k i 行列式表示之间也存在同样的差异但解的这两种表示往往具有一致性对于 同一个方程用h i r o t a 方法得到的解和从b i i d 【1 i l n d 变换的h i r o t a 形式出发得到的解也是 致的事实上，w r o n s k i 行列式技巧就像一座桥梁，将孤子方程的多种求解方法紧密 地联系了起来 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文5 1 3 本文主要工作 本文主要运用h _ i r o t a 双线性导数法和w r o n s k i a n 技巧，在前人工作的基础上对t o d a 链方程和差分差分k d v 方程进行求解 第- - 章y r 绍双线性导数的定义与性质，孤子解的w r o n s k i a n 表示以及离散的双线性 导数，这些都是h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 技巧的基础 第三章以t o d a 链为例，介绍一种构造c a s o r a t i a n 元素的矩阵代数方法，用以获得 t o d a 链的c a s o r a t i a n 条件方程组的通解，并由此引出t o d a 链的孤子解j o r d a n 块解， c o m p l e x i t o n 解及混合解 第四章给出差分一差分k d v 方程的新解以及从h i t o t a 形式的2 n 孤子解到新解的 极限过程 第二章预备知识 2 1 双线性导数的定义与性质 给定非线性偏微分方程，由于解的叠加原理不再成立，因此应用以f o u r i e r 分析为基 础的分离变量法求解是十分困难的为此，日本数学物理学家h i r o t a 提出了双线性导数 f 7 ，8 1 ，并成功地应用于求各种孤子方程的多孤子解 下面简要叙述一下双线性导数的定义与性质 设f ( t ，z ) 与g ( t ，z ) 是变量t 与的可微函数，引进微分算子鼠与见，使得对任意 的非负整数m 和札有 d y d ：，g = ( 6 i 一包，) “( 以一乃) ”，( t ，z ) g ( e ，z ，) i ，4 。，；。，( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数，与g 对t 施行m 次d t ，对$ 施行n 次见的双线性导数这种导 数具有以下性质t 性质2 1 1 函数，( t ，与自身的奇数次双线性导数为零就是m + 礼为奇数时， d y 磷 l = 0( 2 1 2 ) 性质2 1 2交换函数f ( t ，z ) 与g ( t ，。) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其 值不变，而导数是奇次时要改变符号 事实上，从定义可得 d i t t * u n z l g = d m d ，g = ( - t ) ”d 尹d 扫，( 2 1 3 ) ( a 一岛，) ”( 如一吃，r f ( t ，z b ( f ，) i ，。，：。 ( 一1 ) m + n ( 侥，一a ) ”( 也，一玩) ”9 ( t 7 ，。) ，0 ，z ) l t ：，。：一 ( - 1 ) m + n d td = g ， 特别当m + 几为奇数且g ( t ，z ) = f ( t ，z ) 时，公式( 2 1 2 ) 化为( 2 1 3 ) 性质2 1 3函数f ( t ，z ) 与数1 的双线性导数是通常的导数，即 d td 。f 1 = 掣露，( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是t 与z 的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 7 性质2 1 4两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当 倍数，即设 白= w i t + k j x + 锣0 = l ，2 ) ，( 2 1 5 ) 则有 d p d ：1 毋= ( u - 一地) ”( h 一如r 亭，+ 。 ( 2 1 6 ) 由此推得相同线, b i - , l l l 数函敷的双线性导数为零 d d ：乒1 1 = 0 ( 2 1 7 ) 2 2w r o n s k i 行列式 2 2 1w r o n s k i 行列式的定义 一组可微函数 1 ，咖2 ，妒) r 的阶w r o a s k i 行列式定义为 i 驴。妒( 。1 1 w ( 札蚧一加) = l ! ； i i ， f 曲娼拶1 l 其中硝= o a z 它常可写为一种紧凑格式 w = 降，( ”，毋 ”一1 ) i = i o ，1 ，n 一1 1 = i = i l ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 更一般地，我们用阢如，i p l 表示i 庐，毋( 1 ) ，毋“”，毋f ，用厉，也，h 。l 表示i 毋( ”，- ，庐( “”，咖( b ) ，一，毋( k i w r o n s k i 行列式具有这样的特点t 后一列是前一列的导数这使行列式在按列求导 泡括求高阶导数) 时，无论是过程还是结果都很方便简洁依照行列式按列求导法则以 及行列式的基本性质可知，一个w r o n s k i 行列式的导数所包含的项数与行列式的阶数 无关，而只依赖于导数的阶数 离散的w r o n s k i 行列式称为c a s o r a t i 行列式，它可以表示为 i 垂1 ( 佗，力 垂1 ( 扎+ 1 ，t ) 圣l ( 佗+ n 一1 ，t ) c a s ( c , ( n ，t ) ，垂2 ( 佗，t ) ，- ，垂( n ，t ) ) = i i 圣( n ，t ) 唾w ( n + 1 ，t ) 圣 r m + n 一1 ，t ) = j 垂( 几，t ) ，圣( n + 1 ，t ) ，一，圣( n + n 一1 ，t ) i = i g 2 i l ，( 2 2 1 0 ) 其中圣( 几，) = ( 圣l ( n ，t ) ，西2 ( n ，t ) ，垂( 礼，t ) ) tn z ，r 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 8 2 2 2w r o n s k l 行列式的性质 由行列式的性质及一些恒等式，我们可以得到w r o n s k i 行列式技巧中常用的一些恒 等关系 性质2 2 1 珂若记m 为n ( n 一2 ) 矩阵，a ，b ，c 和d 都是n 维列向量，则 成立 i 厶口，6 | | m ，c ，d i l m , a ，c l l m ，b ，d l + i m ，o ，d 1 m , b ，c l = 0 事实上，构造2 n 阶行列式 ，= 旧：。b 科d 从后n 行的每一行减去前n 行的相应行得 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 肚i 羔0 。b 。d m m0 0 00i z ， l i 、 再将第n 一1 列，n 列，2 n 一4 列依次加至第一列，第二列，第n 一2 列，有 拈l m m 0 a 。b 。d 0 0 0 0i ( 2 。，a ) lm0 、7 可见行列式的值为零将( 2 2 1 2 ) 按前n 行展开，应用著名的l a p l a c e 定理，即得所 要的等式( 2 2 1 1 ) 性质2 2 2 w 设矩阵a = ( a i j ) n 。n = i a l ，n 2 ，一，a n ，a j 为a 的列向量，向量 b = ( b l ，幻，b n ) r ，则成立 ，a j 一1 ，b a j ，0 + 1 ，n f( 2 2 1 5 ) 其中嘞表示( b l a l j ，幻呀，b ) r 事实上，设元素的代数余子式为a 甜，于是( 2 2 1 5 ) 的右端可展开成 nnnnn 以= 6 i a j = ( b t a l j 如) ( 2 2 1 6 ) i = 1# l j = l归1 扭1 此即为( 2 2 1 5 ) 的左端 性质2 2 3 矗甜设i a l 是n n 行列式，p = ( ) 。n 是n n 鼻子矩阵， 只0 ) i a i 表示p 只作用于i a i 的第j 列，只( j ) i a l 表示p 只作用于i a i 的第j 行，则有 r n 只o ) i aj = p ，( j ) i a i ，= lj = 1 ( 2 2 1 7 ) 瓯 ：i a = 吼 ，皿 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 9 2 3 离散的双线性导数 第一节介绍的是连续双线性导数的定义与性质，而在求解离散的双线性方程时，这 些定义与性质将需要重新考虑本节将介绍离散双线性导数的定义与性质，并对其性质 进行系统的归纳与证明，这些性质对于求解离散的双线性方程具有举足轻重的作用本 节中所列关于离散双线性导数的恒等式多可从文献【8 】中找到，其余部分则是我们所做 的推广 2 3 1 离散双线性导数的定义及性质 利用公式 e 5 岛，加) = f ( n + e ) ，( 2 3 1 8 ) 其中e = q - 1 为任意实常数，h i r o t a 引入了离散双线性导数的概念t 设f ( - ) 与g ( n ) 是关于离散变量n 的函数，引进微分算子矿“，即 矿巩，( n ) 夕( 哟= ，m + b m 一) ，( 2 3 1 9 a ) 其逆算子e - e d n 作用在积i ( n ) g ( n ) 时，有 e - - 吐h ，( n ) g ( n ) = f ( n e ( n + ) ( 2 3 1 9 b ) 性质2 3 1 徽分鼻子矿。n 作用在积上时与算子的顺序有关，即 e 5 1 k ，( n ) 9 ( n ) = e - - e d n 9 ( n ) ，( 神，( 2 3 ，2 0 ) 性质2 3 2 双曲余弦鼻子c o s h 风的作用规则是 1 c o s h d n f ( n ) g ( n ) = 去( e l k + e 一2 k ) ，( n ) g ( 犯) 1 = 去 ，( n + 1 冶一1 ) + ，一l b ( 礼+ 1 ) 】( 2 3 2 1 ) 显然由于e o s h 函数为偶函数，所以双曲余弦算子作用在积上时与因子的顺序无关，即 c o s hd t 。，( 竹) g ( n ) = c o s hd ，。g ( - ) ，( n ) ， ( 2 3 ，2 2 ) 此外还成立 c a s h d 。f ( n ) y ( n ) = f ( n + 1 ) f ( n 一1 ) ， ( 2 3 2 3 a ) e o s h d 。，( n ) 1 = 去【，m + 1 ) + ，( n 一1 ) 1 ，( 2 3 2 3 b ) ( c o s h d 。一x ) d 乒= 0 ，f = w t + k n + ( “( 2 3 2 3 c ) 竺竺燮兰塑主兰竺笙奎 ! ! 、h 。h _ 一一一一 性质2 3 3 ( e t d 士e “k ) ，( n ) 1 = e 哦士e - 噙) ，( n ) ， ( 2 3 2 4 a ) 或者是 s i a h ( e d ) ，n ) 1 = s i n h ( e o , o f ( n ) ， c o s h ( s d n ) f ( n ) 1 = c 0 幽( 胡，) ，( n ) 性质2 3 4 设p 为多项式，则有 p ( e “k ) ，( 竹) 1 = p ( d 哦。) ，) = p 矿+ 8 ) 】， p ( e 哦) l ，( 札) = p ( e 哦) ，( n ) - p f f ( n e ) j 性质2 3 5 若p ( 矿d “) 为d 。的奇函数，即p ( 矿d f t ) = 一p ( e c d 。) ，i i , l 芹r p ( e 5 巩) 【，( n ) 1 + 1 一，( 札) 】= 0 ， 若p ( e e o ) 为i k 的偶函数，即p ( e 6 。n ) = p ( e c 巩) ，则有 p ( e z k ) 【，( n ) 一1 + 1 ，) 】= 2 p ( e e 。- ) f ( n ) i = 2 p ( 矿氐) ，( 竹) 2 3 2 几个重要命题 ( 2 3 2 4 b ) ( 2 3 2 4 c ) ( 2 3 2 5 a ) ( 2 3 2 5 b ) ( 2 3 2 6 a ) ( 2 3 2 6 b ) 在证明命题之前，我们首先介绍双曲函数的几个公式，这些公式对于后面命题的证 明是必不可少的 1 s i a h a s i n h b = ； c o s h ( a + b ) 一c 础( a b ) 】 2 一r 一，1 c 。8 h a s i n h b = ；【8 i n h ( a + b ) 一s i n h ( a 日) 】， b i n h a c o s h b = ； s i n h ( a + b ) + 8 i n h ( a 日) ， c o s h a c 0 8 h b = i 【c 。8 h ( a + b ) + c o s h ( a b ) 】 2 c o s h a c a s h b2 s i n h a s i n h b = s i n h a + s i n h b = c o s h a + c o s h b = 蛐竿， s i n h 竿， c o 出掣， 砌竽 ( 2 3 2 7 a ) ( 2 3 2 7 b ) ( 2 3 2 7 c ) ( 2 3 2 7 d ) ( 2 3 2 8 a ) ( 2 3 2 8 b ) ( 2 3 2 8 c ) ( 2 3 2 s d ) 。一。一。一。 = 曼 劬 血 曲 s o 嗣 a 2 2 2 2 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 1 3 s i n h ( a + b 1 c o s h ( a + b ) 4 s i n h 2 a c o s h 2 a c o s h 2 a s i n h a c o s h b + s i n h b c o s h a ， c o s h a c o s h b + s i n h a s i n h b ( 2 3 2 9 a ) ( 2 3 2 9 b ) 2s i n hac 0 8 ha ， ( 2 3 3 0 a ) c o s h 2 a + s i n h 2 a = 2 c o s h 2 a 一1 = 1 + 2 s i n h 2 a ，( 2 3 3 0 b ) s i n h 2a = 1 ( 2 3 3 0 c ) 根据离散双线性导数的定义( 2 3 1 9 a ) 式可得 e e d + $ d t f ( n ，t ) g ( n ，t ) = f ( n + ，t + 6 b m 一，t 一6 ) 在上式中若取g ( n ，t ) = 1 ，则有 e e l ) 十舰，( n ，t ) 1 = ，( n + e ，t + j ) = e 鲥k + 6 况f ( n ，t ) ， e e d - 啊d t l ，( 礼，t ) = ，( 仃一，t j ) = e - ( 5 西+ 5 巩，( n ，t ) 命题2 3 1若取函数o ( n ，t ) = e k l n 4 - “i = e q l ， b ( n ，t ) = e k 2 ”+ ”。= e t 2 ， e e d + 5 协e 啦e 诒= 矿风+ 阳n m ，t ) b ( n ，) = 口( 礼+ e ，t + 占) 6 ( n 一，t 一6 ) =e ( 知l b ) 卧和l 一吨) d e _ l + 啦 如果取7 1 = 啦，可得 从而有 e 8 k + # 觑e 仉e 搬= e 巩怖= e 2 m s i n h ( e 玩+ 6 d t ) 矿1 - 沙= 0 ， e o s h ( e d + 6 d t ) e 目1 驴1 = e 2 m ( 2 3 3 1 ) ( 2 3 3 2 a ) ( 2 3 3 2 b ) 则有 ( 2 3 3 3 ) ( 2 3 3 4 a ) ( 2 3 3 4 b ) ( 2 3 3 4 c ) 命题2 3 2 以下等式成立 4 s i n h ( e l d n + 6 1 d t ) s i n h ( e 2 d 。+ 5 2 d ) a ( n ，t ) 6 ( n ，t ) = f e ( e l + e 2 ) d + ( 6 i + 6 2 ) d 。+ e - ( e l + e 2 ) d 一( 6 l + 5 2 ) d t e o l 一如j n + 似1 一屯) 皿一e - ( e 1 6 2 j 岛一( 6 1 一屯) 2 h j n ( 几，t ) b ( n ，t ) = a ( n + e l + e 2 ，t + 6 1 + 5 2 ) b ( n 一1 一e 2 ，t d 1 一如) ( 2 3 3 5 ) + 口m e l e 2 ，t 一以一如) 6 ( n + e 1 + e 2 ，t + 最+ 如) 一a ( n + - c 1 一e 2 ，t + 6 1 一如) 6 ( n 一1 + e 2 ，t n + 如) 一a ( n 一1 + e 2 ，t 一以+ 而) 6 ( n + 5 1 一龟，t + 以如) ， 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 2 若取a ( n ，t ) = b ( n ，则上式可化为 2s i n h ( e i d + 6 1 d t ) s i n h ( e 2 d 。+ 6 2 d t ) 口( n ，t ) a ( n ，t ) = a ( n + 1 + 2 ，t + 矗+ 而) 0 ( n e 1 一e 2 ，t 一以一如) ( 2 3 3 6 a ) - - a ( n + g l 一2 ，t + 6 1 一h ) a ( n e 1 + 9 2 ，t 一6 1 + 如) ， 若取a ( n ，t ) = b ( n ，t ) = 印，则有 s i n h ( e l d 。+ 6 1 d t ) s i n h ( s 2 巩+ 如现) e ”e m = 0 若取a ( n ，t ) = e m = e k x 州“，b ( n ，t ) = e t i 2 = e k a n + ”，则有 4s i n h ( e l d 。+ 以d t ) s i n h ( 如玩+ 如d ) e m e = 2 c o s h ( e x + e 2 ) ( k l 一如) + l + 如) ( u 1 一w 2 ) 】 一c o s h ( e l e 2 ) ( k l 一如) + ( 6 1 一如) ( 一忱) 】 e “+ = 4 s i n h e ：( k l 一_ | c 2 ) + 6 1 ( w 1 一w 2 ) 1s i n h e 2 ( k l 一如) + 6 2 ( w a 一眈) 】e 叶1 + n 2 ， 与命题( 2 3 2 ) 最接近也是最常用的公式为 s i n h ( e l d 。+ 6 1 d t ) s i n h ( e 2 d n + 如d t ) e q l 咖 = s i n h e l ( k l 一b ) + 6 1 ( u l w 2 ) 】s i n h e 2 ( k l 一) + 屯( u 1 一忱) 】e 1 1 怖 另外，按( 2 3 2 5 a ) 式应该成立 s i n h ( e a 巩+ 6 1 a ) s i n h ( s 2 巩+ 如魏) e 叶1 = s i n h ( e _ l k l + 以u 1 ) s i n h ( e 2 ) + 如“，2 ) ) 一 由命题( 2 3 2 ) 可知，显然有 s i n h ( e l d 。+ 6 1 d t ) s i n h ( e 2 d 。+ 如d t ) 口( n ，t ) b ( n ，t ) = s i n h ( e l d n + 以d ) s i n h ( e 2 d 。+ 6 2 d t ) 6 ( n ，t ) a ( n ，t ) ， 根据命题( 2 3 1 ) 和命题( 2 3 2 ) ，我们可以得出个更一般的结论，即 命题2 , 3 3 对于二元多项式p ( x ，) ，考虑算子p ( e 5 如，e 6 d t ) ，如果 p ( e d n ，e 一6 皿) = p ( 矿巩，e 毗) ， 则有 p ( 矿仇，e 6 d t ( n ，t ) b ( n ，t ) = p ( 矿风，e 5 d t ) 6 m ，t ) a ( n ，t ) 如果 p ( e 一8 仉，e - 6 d t ) = 一p ( 矿仉，e 6 d t ) ， 则有 p ( 矿巩，e s d t ) o ( n ，t ) 一a ( n ，t ) = 0 删 | ；| 瓣 瓣 詈| 触 舶 0 乳 乞 互 0 o 江 偿 c 0 0 q 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 3 3 关于d 算子的几个公式及证明 下面我们将介绍几个交换公式，这些交换公式可以简化求解双线性b 址m u n d 变换 的过程首先来看最简单的情况； 1 e d l ( e 岛o 6 ) ( e d 3 e d ) = e ( 毋一d a e ( 岛+ d 3 ) + d i a d i 【e ( 伪+ 岛卜研c b l ，( 2 3 4 1 ) 其中职= 矗d x + 最d t ，口，6 ，c ，d 为关于z ，t 的函数注意到这里a 和c 并没有交换位 置，只是b 和d 交换了位置 证明，根据定义 矿皿郴。o ( n ，t ) b ( n ，t ) = d + e ，t + 6 ) b ( z 一，t 一6 ) 对( 2 3 4 1 ) 式左右两边分别计算，有 e d l ( e 岛o b ) ( e 岛c d ) = e 0 1 【。p + 2 ，t + 5 2 ) b ( x e 2 ，t 一6 2 ) 】【c 0 + e 3 ，t + 如) d 0 一e 3 ，t 一如) 】( z 3 4 2 ) = o + 1 + 旬，t + 6 1 + 如) 6 + e 1 一e 2 ，t + 6 1 一如) x c ( x e 1 + 句，t 一以+ 如) d p 一乩一如，t 一西一如) ， e ( d 2 一d 3 ) f e ( d 2 + d 3 ) + d l n 明【e ( d 2 + d 3 ) - d , c 6 1 = e 专( d 一d 3 【n ( z + e 1 + 2 + s 3 ，t + 6 l + ；如+ 如) d ( x 一1 一e 2 一；s 3 ，t 一6 l 一；如一；6 3 ) 】i c ( z e l + ；s 2 + e 3 ，t 一6 1 + ；6 2 + ；6 3 ) 6 p + 1 一 旬一 旬，t + 魂一 如一 如) 】 = 口任+ e 1 + 2 ，t + j l + t 】f 2 ) d ( x s l e 3 ，t 以一6 s ) c 0 一s 1 + s 3 ，t 一6 1 + 6 3 ) 6 + e 1 一2 ，t + 以一如) ， ( 2 3 4 3 ) 左边= 右边，所以( 2 3 4 1 ) 式成立r - 1 在( 2 3 4 1 ) 式中，若取a = c ，b = d 则有 e d - ( e 历a 6 ) ( e d 3 d 砷= e ( 岛一d , ) e 1 ( d 2 + d a ) + d