（基础数学专业论文）最大公约数与最小公倍数的k次和函数.pdf

最大公约数与最小公倍数的k 次和函数 摘要 本文在第一章中首先介绍最大公约数，最小公倍数，积性数论函数，d i r i c h l e t 卷 积，d i r i c h l e t 级数，r i e m a n nz a t a 函数，e u l e r 求和公式及数论函数的均值等一些基 本概念及结果第二章则对( t ，歹) 的渐进公式的误差项进行改进，并给出了最大 i - - - - 1j = 1 住nnn 公约数与最小公倍数的k 次和函数( t ，j ) 知( 七 0 且k 1 ) 、瞄，矿( 七 0 ) 的 i - - - - 1j = lt = lj r l 均值公式 关键词：最大公约数；最小公倍数；渐进公式 作 者：邢慧 指导老师t 余红兵教授 t h e 七t hp o w e rs u mf u n c t i o n so fg c da n dl c ma b s t r a c t t h ek - t hp o w e rs u mf u n c t i o n so fg c da n dl c m a b s t r a c t i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fg r e a t e s tc o m m o n d i v i s o r ， l o w e s tc o t t l r n o l lm u l t i p l e ，m u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n ，d i r i c h l e tp r o d u c t ，d i r i c h l e ts e r i e s ，r i e m a n n z a t af u n c t i o n ，e u l e r si d e n t i t ya n df l oo n i nt h es e c o n do n e ，w ei m p r o v e dt h ee r r o rt e r m a n dw ea l s og i v et h ea s y m p t o t i cf o r m u l a sf o rs 啦 = l j = l nnnn ( t ，j ) 七 0a n d 七1 ) a n d p ，刃( 七 o ) i - - - - 1j f f i lf f i lj f f i l k e y w o r d s ： g r e a t e s tc o m m o nd i v i s o r ；l o w e s tc o n u 卫o nm u l t i p l e ； a s y m p t o t i cf o r m u l a i i w r i t t e nb yx i n gh u i s u p e r v i s e db yp r o f y uh o n g b i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：季罄鏊 e t 期： 。乞! 丕 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 琊轧日 袅多丝e l纽笙兰丝 最大公约数与最小公倍数的七次和函数 引言 引言 数论函数是指定义在整数集( 或者其某个子集) 上，而值为复数的函数数论中自 然地产生许多这样的函数如除数函数r ( ，1 ) 、欧拉函数o c n ) ，m s b i u s 函数p ( ，i ) 等 ( 可以参考【1 1 1 2 1 1 3 1 ) 数论函数在数论及组合数学等领域都占有十分重要的位置，因而 对其值的研究也有了特殊的意义 数论函数值的分布往往非常不规则，但许多数论函数的均值( 算术平均值) 则呈现 规则的性态例如，r ( n ) ，毋( n ) 的值并不规则，然而对于。1 ，我们能够证明 r ( n ) = x l o g z + d ( z ) ； n 9 三如) = 萼+ d ( z 吲- 数论函数的均值的研究，不仅仅在许多问题中具有较基本的重要性，而且往往具有自 身独特的兴趣 本文主要考虑两类与最大公约数及最小公倍数有关的数论函数的均值在2 0 0 1 年 b r o u g h a nk a 研究了最大公约数的和函数( 参考【4 】) ，并证明了 喜扣，= 鲁删， = 1j = 1 ”7 ( 这里及以下的e ( n ) 表示r i e m a m az a 组函数，参见第一章) 2 0 0 6 年朱瑾相应地考虑了 最小公倍数的和函数( 参考【5 】) ，并证明了 砉扣= 帮删酬 本文首先对( i ，j ) 的上述渐进公式的误差项进行改进；其次，给出最大公约 i - - - - 1j - - 1 nnnn 数与最小公倍数的七次和函数( ，j ) 七 为正实数且七1 ) 、【i ，刃七 为任 i - - - - 1 扣1 i - - - - ij - - - 1 意正实数) 的均值公式 最大公约数与最小公倍数的七次和函数 引言 卒艾的主要绪论郊卜l 1 壹釜( ) ：喘铲c 0 1 i , j- i - c o n 2 - i - o ( 礼( 忱几) ) ， ( ) = 堡擗 2 o ( 礼；( 忱几) ) ， 其中，c 0 = 南一耋学l o g d + 南一莉1 一；为常数，7 为欧拉常数 2 对正实数七( 七1 ) ，有 f 嘲铲+ d ( n 1 l o a n ) ，0 七 1 ； 亡、k j 垒( k - i - 竺1 ) e ( 盟k + 1 ) 替+ o ( n 2 ) ，1 1 定理1 4 假设级数曼掣绝对收敛，如果，( n ) 是积性函数，则有 耋警= i 口x ( + 等+ 等+ ) ，粤l ” p ， 例3 由于掣绝对收敛，p ( n ) 是积性函数，利用定理1 4 得 薹烈n 2 = 9 c 1 + 譬，= 志 下面我们看d i r i e h l e t 级数的乘积和d i r i c h l e t 卷积之间的联系 定理1 5给定两个d i r i c h l e t 级数f ( 竹) 和g ( n ) ， f = 薹警劁= 薹譬， 则在它们的绝对收敛的半平面上有 f ( s 川= 主警， 其中， ( n ) = ( ，洲= 萎删9 ( 三) 5 最大公约数与最小公倍数的七次和函数第一章基本知识 利用这个定理我们可以得到很多重要的结论 例4e ( s ) ：曼1 n ，g ( s ) ：曼警，由于咖( n ) n ，则g ( 8 ) 在r e ( s ) 2 时绝对收敛， 记 l ( n ) = l ，g ( n ) = 咖( n ) ， 则 故当觑( s ) 2 时，我们有 即 1 7e u l e r 求和公式 ( n ) = ( 1 幸咖) ( n ) = ( 回= n ， d l - 耋警= 帮俐 2 鲁矿 e ( s ) ”一r 一 定理1 6 设，( n ) 为任意个函数，如果，在b ，司上连续可微，其中0 l ， l ， “j嘉= 胃。g l - - $ + c + d ( z 一) ，其中c 为常数，0 s 1 ， d 一 “ = n 矛 l l l 盟矿 1 曲“ 最大公约数与最小公倍数的k 次和函数第一章基本知识 例；专= 譬孑+ d ( z 一。) ，s 0 竹q 1 8 数论函数的均值 一般情况，数论函数的值的性态极其复杂，例如随着n 的变化，下( n ) ，妒( n ) 的值 极不规则但是，下面的定理1 8 及定理1 9 表明，r ( n ) ，妒( 仡) 的均值却有规则的性 态 定理1 8 设z 1 ，则 定理1 9设1 ，则 r ( n ) = z k z + d ( z ) n 垒 仃) 州= 茄+ d ( z 1 0 9 z ) ， 例墓掣= + o ( 1 0 9 z ) ； 例墓掣= 将+ o ( 譬) + c ，其中，c = 南一暑o d 铲崦d 为常数 上述两个定理的证明可参见【3 , p 5 7 - 6 2 7 最大公约数与最小公倍数的k 次和函数 第二章 最大公约与最小公倍的k 次和函效 第二章最大公约数与最小公倍数的尼次和函数 2 1 一些记号 本文将涉及到最大公约数与最小公倍数k 次和函数的问题，我们首先对这些概念 及记号作一些说明 ( 1 ) 记最大公约数的和函数为 最大公约数的七次和函数为 ( 2 ) 记最小公倍数的和函数为 最小公倍数的七次和函数为 9 ( n ) = ( ，j ) g ( n ) = ( i ，矿 九( n ) = p ，n i = 1j = 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 日( 仃) = h ，非 ( 2 3 ) 以上的七为正实数 2 2 问题的提出 在【4 】中b r o u g h a n 研究了关于最大公约数的和函数( t 住) 的一些性质，并证明 i - - - - 1 了下面的定理 定理2 1 9 ( n ) = 帮+ o ( n 2 ) 在【5 】中朱瑾相应地考虑了最小公倍数的和函数一，n 】的一些性质，并证明了下 面的定理 定理2 2 7 l ( 竹) = 帮+ o ( n 3 l o g n ) 8 最大公约数与最小公倍数的七次和函数 第二章 最大公约与最小公倍的七次和函数 州= n 2 e l ( 0 2 9 ) n + 岛n 2 + 0 m g ( 1 0 9 n ) ；) ， 其中，岛= 南一量够魄d + 南一羽1 一互1 为常数，7 为欧拉常数 f 瑙铲+ d ( n 1 z 唧) ， o 七 1 ； 卜t 辫裁臻 聊) = 篙+ d ( 栉1 酬 ，( m ) 9 协) = ，( 仍活( n ) + ，( m 蛔( 死) t 帅s r a n _ z ，f n tm n t 、 = ，( m ) 9 ( n ) + 9 ( n ) i ，( m ) 一，( m ) l t n _ t n s 景 n t t n s 罟竹i s = ，( m ) 9 ( n ) + 9 ( n ) ，( 仇) 一，( 仇) 9 9 最大公约数与最小公倍数的七次和函数第二章最大公约与最小公倍的七次和函数 引理2 2设七为正实数，则 o ( n 2 一七) ， o ( 1 0 9 n ) ， o ( i ) ， 1 1 ，有 所以，设( i , j ) = d ，则有 = ( 2 1 ) 一l ( 露，) 尊1 l s 霉s v s 七 = 2 妒( 可) 一1 1 s v s 七 夕( n ) = d 1 蝼n - 戥曷 l 蔓m 1 茎马 = d ( 2 l 1 ) d s n 1 s ( r l a s , | 。) f f i s l 警 = d ( 2 ( m ) 一1 ) = 2 踯( 仉) m a n = 2 鄙( m ) m a n 下面我们用d r i c h l e t 双曲线法处理鄙) m d _ n 1 0 1 1 , r d z - d = 1 竹2 + n 2 ，_jli = 盟班 所 知 幻烈为 因 明 证 一l 舭 住僦 = t 一庐 龇 盟庐 n 埘 蠡 最大公约数与最小公倍数的七次和函数第二章最大公约与最小公倍的七次和函数 设正实数t 及t ，满足彬= n ，则由引理2 1 得 嘶( m ) = 踯( m ) + 却( m ) 一姒m ) m d n m t d 景d s t ，f n 暑 m s td s t ， = 咖( m ) d + d 毋( m ) 一d 似仇) m s t d 景 d ， m s 暑 d s t ，m s o 记1 = 砂( m ) d 2 = d 妒( m ) ，3 = d ( 仇) r n s t d 冬景d s t ，竹l 告 d s t ， m t 对于1 利用定理1 9 的( 2 ) ，( 3 ) 得 ，= 三( m ) ( 磊+ d ( 景) ) = 萼掣+ d m 等) = 萼( 焉+ c + d ( 宰) ) + o ( 焉) = 百n 2 l 丙o g t + 下c n 2 + d ( 掣) + d ( m ) = 1 虿函广+ 下+ o ( 亍) + d ( m ) ：_ n 2 万l 历o g f t + 下c n 2 + o ( n t l o g o ( n t l o gt ) + d c 。r y ) 2 1 虿西r + r 十 ) + u 其中，c = 而一暑o o 警1 0 9 d 为常数，7 为欧拉常数 对于2 利用定理1 o ( 1 ) 及定理x r ( x ) 得 2 2 d 瓣r 1 2 + 0 ( 三忱争 = 鑫三三删n 三l o g 兰，2 丽之i 知加乏i ) = 互而n 2 ( 蛾t ，+ ，y + 。( ；) ) + 。( n 崦) = 簧+ 茄+ 0 ( 删+ 。( “l o g n ) = 一+ 一+ i ，i 眦i + ，住i 2 ( ( 2 )。2 ( ( 2 ) 。、7 、7 。7 1 1 最大公约数与最小公倍数的七次和函数 第二章最大公约与最小公倍的七次和函数 对于3 利用定理i o ( i ) 得 这样 所以 2 烈仇) d t m t 2 三d ( 南+ d ( 姆) ) 2 南善0 ( 她。三d ) = 葡t 2 z j ( e 2 + ) + d ( r 2 她t ) = 焉_ 1 4 - 高4 i - d ( =fj i ，l f ! _ n 口t l 4 ( ( 2 ) 。笛( 2 ) ”一v 6 吖 。+ 2 + 3 = 寄w ( 导+ 南一南) + 。( n t j l o g n ) + d ( 毗 如) = 可n 2 l o g 广n + 以c + 南一志) + 。( n , t l o g n ) + 。( m ) 一t n 2 - - i _ - n = 酉n 2 l o g n ( c + 南一丽1 一互1 ) + 0 ( 学) + 0 ( 以 因为随着t 增加 笋) 递减，而 m ) 增加我们取t 使得生字= n t 则有 t = m 1 0 9 n ) i ，d ( n 2 l 广o g n ) + d ( m ) = d m ( 1 0 9 1 ) ) ， 若记c o = c + 反知一霹b 一乏1 ，则 州= 可n 2l o 矿g n + 舻岛+ 。( t l ；( 蚝亿) ) ， 其中，岛= 南一主铲1 0 9 d + 南一南一为常数，y 为欧拉常数 注我们能够改进定理2 2 中的误差项的关键在于，我们注意到了证明开始所说的 9 ( n ) 的表达形式，因此可以用d i r i c h l e t 双曲线法给出更好的误差估计 定理2 4 的证明 采用和定理2 3 相同的处理方法 1 2 最大公约数与最小公倍数的后次和函数第二章最大公约与最小公倍的次和函数 设( t ，j ) = 亩则 g ) = 矿i 坳，绨；毫 = 矿( 2 荆一1 ) d n 1 s t 詈 = 2 矿妒( t ) 一矿 出s n d = l 记4 = d k ( o ，5 = 驴 对于5 由定理1 7 ( 5 ) 得 5 = 而n k + l + d ( 扩) f 面求4 ( 1 )当0 七 1 时，由定理1 9 ( 1 ) 得 4 = 矿妒( t ) 扛1 t 暑 2 三 k 。瓣n 2 + d ( 三1 0 9 2 南三一+ 0 ( n d = l 一崦 首先考虑主项由于0 七 1 ，所以， 1 2 一七 2 ，从而利用引理1 7 ( 3 ) 得 鑫耋护= 杀娄刍 = 希( ( ( 2 k ) + o ( n h q ) ) = ，i l+。- l 2 ( ( 2 ) n 、 。 ， = 酉n 2 e ( 2 - - k ) + u “( 肼n 1 ) 2 齐石r 十j - k l j 现在考虑误差项d ( n 驴- 1l o g 等) 利用定理1 7 ( 4 ) 得 胁矿- 1 崦三i n d k - 1 l o g n = n l o g n 矿1 d = ld = ld = l ：n 崦仃( 譬+ c + d ( 扩1 ) ) ；o ( n i + 1 l o g n ) 最大公约数与最小公倍数的七次和函数 第二章最大公约与最小公倍的七次和函数 所以，当0 k 1 时， g ( n ) = 2 4 一5 = 酉n 2 e ( 2 - k ) + 。( 竹七) + 。( n m 崦n ) 一丽n k + l + 。( n 七) = 百n 2 e ( 2 - k ) + 。( n m 崦n ) ， ( 2 ) 当1 七 2 时，对于4 利用定理1 7 ( 5 ) ，引理2 2 ( 1 ) 及例4 得 = 和，c 南删勃 = 篇骞等删扣菩， = 而n k + l 宴等+ 0 ( 舻) = 篇耋盟一而n k + l 刮t - w 卜z t k + 1 - ! - o ( 确 2 而垄一而 u p 。j ：而n k + l 毒躲+ d ( n 2 ) - i - ( n 2 ) 2 而丽十u j m ：函r , k + l 毋头o ( n 2 ) - i - - 2 瓦万丽 。 所以，当1 k 2 时， g ( n ) - 2 4 一。= 龋一篇+ d ( n 味 f 嘲铲+ d m 脚z 0 9 i ) ， o 七 l ； ，= 群麟器l k ； 2 注1 本定理我们能够得证，关键在于我们采用了与定理2 3 相同的处理方法，给出 了g ( n ) 的较简单的表达形式 注2 上述( 1 ) 的证明求5 时先对t 求和再对d 求和而( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 的证明求 5 的过程中必须先对d 求和，再对t 求和；若先对t 求和，则产生的误差项的阶将 高于主项的阶 注3 ( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 证明过程类似，只是因为芝譬对不同的j c 需作不同的处理 定理2 5 的证明 1 5 最大公约数与最小公倍数的七次和函数第二章最大公约与最小公倍的七次和函数 我们首先找个函数，使得 磊i = 朋) ， 由定理1 3 知，这样的函数是唯一存在的： 肋) = 删杀 a l t o 如果令z ( m ) = m k f ( m ) ，则z 为积性函数且 z ( m ) = p ( d ) 矿 d l m = p ( 田矿 p a m d h ，- = ( 1 一矿) i - i 矿 m 七 p 刈m叫m 由定理1 2 知瞄，卅七= 辫，设( i ，歹) = d ，则由定理1 1 ，定理1 7 ( 5 ) 得 所以 g j p ，计= j = 1 堕 刍( i ，j ) 七 i 0 ，( 回 j f - 1 笫 i i j = 产f ( d ) d k 矿 d | q m l “驴c 高茜删勃 = 雨n k + l 矿；等删如七；黔 跏卜雨n k + l 汹矿；器删p n 莓警， = 篇妄筹秦i k + o ( n k 一壹t ( a ) p 1 6 外 哿 回八 那 产 = 最大公约数与最小公倍数的七次和函数第二章最大公约与最小公倍的k 次和函数 令i = 出，由定理1 r ( 5 ) 得 = 丝k + 1 缶塑d k + l 矿善矿 = 篇妄警c 高删勃 = 丽n 2 k + 2 耋筹删箸耋筹， = 器妻盟d k + 2 一蒜圣貉+ 0 ( 而n 2 k + l 盟d k + l 、j 2 丽备一一研之孤州【而、一 。c 雨n 2 k - 4 - 1 娄等，叫而n 2 k + l 耋杀， 叫笛豁 = o ( n 纵+ 1l o g n ) ， 茹圣黑茄圣杀=研n戤+2乏万id 0 ( + 1 ) ， 一、f 一、一= 一、一= ，j ，n t ( 七+ 1 ) 2 惫2 、( 七+ 1 ) 2 急沙+ 2 一( 七+ 1 ) 2 急d 2 一v 、“ 加 一器三等群1 剐鲁d k + l m 秒1 对于主项，由于l ( d ) 为积性函数，且7 l ( d ) 舻，则利用定理1 4 得 耋器= i p i ( + 筹+ 筹+ 筹川 b 1 。p j ，j ， = 耳( 1 + 害+ 害+ ) = 耳p k + ；2 酉- - p k = 掣l i p 两矿+ 2 耳等 e ( 七4 - 2 ) 2 1 瓦广， 1 7 韶 回一降 堕沙 n 僦 扩 = 韶 回丽 盟舭 n 赳 l 一篇 = 记 最大公约数与最小公倍数的_ i c 次和函数第二章最大公约与最小公倍的七次和函数 所以 同理 6 ：茄酉c c k + 2 ) + d ( n z l o g 咄 厶62 丽酉十叭n 。n j “耋警矿善矿 = n 七耋z c 田c 话- = ；刍丽+ 。c 芸， ：雨n 2 k + l 盟d k + l + d ( 妻黔2 雨、一州m 冬万j 一i 口l = l 由于 ( d ) 驴，再利用定理1 7 ( 1 ) 得 宴筹 塞嘉= 圣ni 1 = d c 咄 鲁卅卜台卅1 一台d 一副叫 妻警 壹弘 扛1 ”扛1 从而，7 = o ( n 2 七+ 1l o g n ) 综上 日( n ) = 6 + o ( 7 ) = 丽n 2 k + 2 i 可c ( k + 广2 ) + 。( n 卿n ) 2 丽丽丽十u l 盯”1 0 9 n j 1 8 最大公约数与最小公倍数的七次和函数结论 结论 本文主要是对最大公约数的和函数的误差项进行改进及给出最大公约数与最小公 倍数的七次和函数的渐进公式，现在对本文所得结论作一下回顾 本文主要证明了三个定理， 定理1 量曼( t ，歹) ：帮+ c o + c o n 2 + d ( n l ( 1 0 9 住) ) ，三三( t ，歹)