（工程力学专业论文）圆薄板及扁球壳轴对称非线性强迫振动.pdf

硕士学位论文 摘要 本论文着力探讨了各向同性圆薄板在简谐载荷作用下的轴对称非线性强迫振 动问题以及各向同性扁球壳在均布载荷作用下的非线性静力稳定性和简谐载荷作 用下的轴对称非线性强迫振动问题。主要内容包括以下几个方面： 1 基于v o nk a r m a n 薄板理论、h a m i l t o n 原理，导出圆薄板轴对称非线性强 迫振动控制方程。在自由振动和强迫振动的一个公周期上运用k a n t o r o v i c h 时间平 均法消去时间变量，将闯题的偏微分方程转化为关于空间变量的常微分方程组。 考虑静载变形和动态响应之闻的相互影响，应用打靶法获得了周边夹紧和周边简 支两种边界条件下的数值结果并通过图表分析了两种边界条件下的载荷参数对 动态响应的影响，讨论了主共振区内的动态响应特性和跳跃现象。 2 基于扁壳理论，建立了扁球壳在均布外压作用下位移型轴对称非线性基本 方程。应用打靶法，得到了周边固支和简支边界条件的数值结果，给出了两种边 界条件下不同矢高壳体的载荷与挠度关系的特征曲线，还给出了一些典型的构型 曲线。并对其刚度变化及稳定性作了分析讨论。 3 基于扁壳理论，忽略面内惯性及转动惯量，得到扁球壳的位移型轴对称非 线性强迫振动控制方程。运用k a n t o r o v i c h 时间平均法消去时间变量，将问题的偏 微分方程转化为关于空间变量的常微分方程组。在内容2 的基础上，考虑静载变 形和动态响应之间的相互影响，在周边夹紧和周边简支两种边界条件下，分别对 两种典型矢高的球壳进行了数值求解。并通过图表分析了两种边界条件下的载荷 参数和几何参数对动态响应的影响，讨论了主共振区内的动态响应特性和跳跃现 象与无量纲参数之间的关系。 关键词：圆薄板# 扁球壳；稳定性；非线性强迫振动；主共振；打靶法 圆薄板及扁球壳轴对称非线性强迫振动 a b s t r a c t t h en o n l i n e a rf o r c e da x i s y m m e t r i cv i b r a t i o no fat h i ni s o t r o p i cc i r c u l a rp l a t e s u b j e c t e dh a r m o n i c e x c i t a t i o nl o a d i n gi se x a m i n e di nd e t a i l s t h en o n l i n e a r a x i s y m m e t r i cs t a b i l i t ya n dt h en o n l i n e a rf o r c e da x i s y m m e t r i cv i b r a t i o no fa ni s o t r o p i c s h a l l o ws p h e r i c a ls h e l l s u b j e c t e du n i f o r ma n dh a r m o n i c e x c i t a t i o nl o a d i n g sa r e i n v e s t i g a t e di nd e t a i l s ，r e s p e c t i v e l y m a i n c o n t e n t so ft h i st h e s i sa r e8 8t h ef o l l o w s ： 1 b a s e do ny o nk a r m a np l a t et h e o r ya n dh a m i l t o n sp r i n c i p l e ，n o n l i n e a r g o v e r n i n ge q u a t i o n so fa x i s y m m e t r i cf o r c e dv i b r a t i o no f at h i ni s o t r o p i oc i r c u l a rp l a t e a r ed e r i v e d t h et i m ev a r i a b l ei se l i m i n a t e db yu s i n gk a n t o r o v i c ht i m ea v e r a g e p r o c e e d i n go nap u b l i cp e r i o do ft h ef r e ev i b r a t i o na n dt h ef o r c e dv i b r a t i o n p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ep r o b l e ma r ec o n v e r t e di n t oas e to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ht h es p a c ev a r i a b l e c o n s i d e r i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ns t a t i cd e f o r m a t i o na n d d y n a m i cr e s p o n s e ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa r eo b t a i n e du n d e rc l a m p e da n ds i m p l y s u p p o r t e db o u n d a r yc o n d i t i o n sb yu s i n gas h o o t i n gm e t h o d ，r e s p e c t i v e l y t h ee f f e c t s o fl o a d i n gp a r a m e t e r so nt h ed y n a m i cr e s p o n s eu n d e rt w ob o u n d a r yc o n d i t i o n sa r e i n v e s t i g a t e dt h r o u g hl o t so fc h a r t s t h ed y n a m i cr e s p o n s eo f t h ep l a t ea n dj u m p i n g p h e n o m e n o n i nt h ep r i n c i p a lr e s o n a n c ez o n ea r ed i s c u s s e di nd e t a i l s 2 b a s e do us h a l l o ws h e l lt h e o r y ，d i s p l a c e m e n t - t y p ea x i s y m m e t r i cn o n l i n e a r b a s i ce q u a t i o n so fa ni s o t r o p i cs h a l l o ws p h e r i c a ls h e l lu n d e ru n i f o r me x t e r n a lp r e s s u r e a r ed e r i v e d t h en u m e r i c a lr e s u l t so fap e r i p h e r a lc l a m p e da n ds i m p l ys u p p o r t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d b ye m p l o y i n g a s h o o t i n gm e t h o d s o m e c h a r a c t e r i s t i cc u r v e so fl o a dv e r s u sd e f l e c t i o no ft h es h e l lf o rd i f f e r e n ta r c hh i g ha r e g i v e n s o m et y p i c a lc o n f i g u r a t i o nc u r v e sa r eg i v e nu n d e rt w od i f f e r e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，i na d d i t i o n , s t i f f n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h es h a l l o ws p h e r i c a ls h e l la r ea l s o d i s c u s s e d ， 3 b a s e do ns h a l l o ws h e l lt h e o r y ，t h ed i s p l a c e m e n t - t y p en o n l i n e a rg o v e r n i n g n 硕士学位论文 e q u a t i o n so ff o r c e dv i b r a t i o no fa ni s o t r o p i cs h a l l o ws p h e r i c a ls h e l la l ed e r i v e du n d e r c o n s i d e r i n gt r a n s v e r s ei n e r t i aa n di g n o r i n gi n p l a n ei n e r t i aa n dr o t a t i o n a l i n e r t i a c o n d i t i o n s n et i m ev a r i a b l ei se l i m i n a t e db yu s i n gk a n t o r o v i c ht i m e a v e r a g e p r o c e e d i n go nap u b l i cp e r i o do ft h ef r e ev i b r a t i o na n dt h ef o r c e dv i b r a t i o n p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ep r o b l e ma r ec o n v e r t e di n t oas e to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o nt h es p a c ev a r i a b l e c o n s i d e r i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ns t a t i cd e f o r m a t i o na n d d y n a m i cr e s p o n s e ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa i eo b t a i n e du n d e rc l a m p e da n ds i m p l y s u p p o r t e db o u n d a r yc o n d i t i o n sb ye m p l o y i n gas h o o t i n gm e t h o d , r e s p e c t i v e l y t h e e f f e c t so fl o a d i n gp a r a m e t e r so nt h ed y n a m i cr e s p o n s eu n d e r t w ob o u n d a r yc o n d i t i o n s a l ei n v e s t i g a t e dt h r o u g hl o t so fc h a r t s t h cd y n a m i cr e s p o n s eo ft h es h e l la n dj u m p i n g p h e n o m e n o ni nt h ep r i n c i p a lr e s o l l a n c ez o n ea l ed i s c u s s e di nd e t a i l s k e y w o r d s ：t h i nc i r c u l a rp l a t e ；s h a l l o ws p h e r i c a ls h e l l ；s t a b i l i t y ；n o n l i n e a rf o r c e d v i b r a t i o n ；p r i n c i p a lr e s o n a n c e ；s h o o t i n gm e t h o d i l l 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：名仰互 日期：芦月3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。 本学位论文属于 i 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密日。 ( 请在以上相应方框内打“，”) 作者签名：血匈b 红日期：夕年月) 日 导师签名：走醇趟日期：川年厂月3 日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的、意义和来源 振动是物理学、技术科学中广泛存在的物理现象。近代以来，为了适应工程 技术的需要，人们对振动现象已经做了大量的研究工作，并取得了系统化、理论 化的成果一一振动工程。在振动工程中，根据振动系统的特点，人们将其划分为 线性系统和非线性系统。严格地说，自然界中存在的一切振动现象都属非线性振 动，非线性振动是一个非常复杂的动力学现象。到目前为止，人们对非线性振动 理论的研究还远远没有完善，大量的科技工作者仍在这一方面进行艰苦的探索。 人类在长期的生产实践和科学探索中，为了简化振动系统的研究，根据研究 系统的特点，在一定的条件下，将某些系统简化为线性系统，得到的结果与实际 情况很接近，完全可以满足工程实际的需要。由于线性系统的数学模型线性 微分方程的理论早已发展得比较完善，所以线性振动理论也就很快达到了完善的 程度。遗憾的是：当系统参数超出一定范围后，若仍将其简化为线性系统，得到 的结果将与实际情况发生很大的差异，甚至完全相异的结果；另外，有些系统( 如 非理想系统、自同步系统等) 不能进行线性化。随着近代工程技术的迅速发展， 工程机械的大型化、高速化，承载条件日益苛刻，线性振动理论已经远不能满足 工程实际的需要，越来越多的非线性振动课题摆到了科技工作者的面前，需要他 们去弄清楚非线性振动的内在机理。 薄壁构件作为一类弹性元件，在现代工程领域( 诸如航空、航天、海洋工程、 核反应、化工工程、电子器件) 等领域得到了广泛的应用。了解薄壁构件在各种 载荷及边界条件下的静、动态力学行为，不仅具有重要的理论价值，而且能够为 工程设计提供可靠的理论根据。因此，准确把握薄壁构件的静、动态力学行为， 成为力学工作者的重要使命。 圆形薄板、扁薄壳作为现代工程机械的重要薄壁构件，在工作过程中不可避 免的要产生各种复杂的振动。诸如可以视为线性系统的小振幅振动和非线性系统 的大振幅振动。正如对线性系统的研究已经趋于完善一样，人们对圆形薄板的线 圆薄板及扁球壳轴对称苷线性强迫振动 性振动已经有了比较全面的了解，对扁球壳的线性振动也有了一定的研究。当然 了，圆形薄板、扁球壳的线性振动只是一种理想化的模型，它的实用范围相当有 限。现代工程实际中的载荷具有很大的随机性和不稳定性，许多圆形薄板、扁球 壳构件在各种各样复杂的动态载荷下工作时，它们的动态力学行为仅靠线性振动 理论来分析研究已经不能满足工程要求，它的很多力学行为( 诸如振动稳定性、 分岔或跳跃现象、颤振问题和涮沌运动等等) 必须依靠非线性振动理论来分析研 究，这方面还有大量的研究工作等待人们去探索。 1 2 板理论简介 如果片状结构的厚度尺寸h 远小于其它面内尺寸，称这种结构为板，对于圆板， 是指它的厚度尺寸h 远小于唯一的面内尺寸r 。板理论可以有多种分类方式。一种 分类方式是基于其厚度( b a i r a g i ，1 9 8 6 ) ，也就是薄板和厚板理论。由于我们的论 文只涉及薄壁结构，因此，我们仅对薄板理论加以重点回顾。通常所说的薄板是 指它的厚度与面内尺寸之比 佃小于1 2 0 。在薄板理论中，沿垂直于中面的z 轴方 向的应力吒、乇和与其它应力相比通常是被忽略的。相比之下，在厚板理论中， 应力吒、乇和吃则是不能被忽略的。薄板的承载行为可以明确的分为两种：薄膜 行为( m e m b r a n ea c t i o n ) 弯曲行为( b e n d i n ga c t i o n ) 。根据横向挠度w 与厚度尺 寸h 的比例范围，薄板理论又可作如下分类： 1 薄板小挠度理论( t h i n p l a t e st h e o r yw i t hs m a l ld e f l e c t i o n ) 。 在小挠度理论中，挠度w 是小于板厚h 的，理论上认为，只有当w o 2 h 时， 薄板小挠度理论才能给出精确的结果。但在实际应用上，认为静态情况下，挠度w 小于板厚h ，就能给出很好的结果。这是因为在小挠度情况下，斜率、斜率的任意 高次项和挠度的任意高次项都可以被忽略。因此，在小挠度理论中，认为弯曲作 用处于支配的地位，而薄膜效应从总体上可以被忽略。虽然在小挠度的框架下有 各种不同的理论，但最为常用的是k i r c h o f f 假设条件下的板理论。这一理论通常 也被称之为经典板理论( c p t ) 。 2 薄板大挠度理论( t h i n p l a t e st h e o r yw i t hl a r g ed e f l e c t i o n ) 。 当w h ，由于小挠度理论计算得来的结果通常与实验结果不能很好的一致， 2 硕十学位论文 在这种情况下，较好的解决办法是应用大挠度理论。考虑大挠度并不是意味者只 有当挠度大于板厚时才是必要的。例如在以下三种情形下，就需要大挠度理论； 第一种情况是：随着板的厚度越来越小，弯曲刚度d = e h 3 1 2 ( 1 一v 2 1 将会有显著的 减小，致使板变的非常柔软。第二种情况是：薄板有面内承载行为。第三种情况 是：薄板在弹塑性范围内工作。在大挠度的情况下，薄膜效应与弯曲效应共同参 与承载。对于同一结构，挠度越大，弯曲效应越明显，薄膜行为也越显著。关于 薄板大挠度理论有好几种，最为常用的是y o nk a r m a n 板理论。本文就采用该理论。 3 薄板的过度变形理论( t h i n p l a t e st h e o r ye x c e s s i v el a r g ed e f l e c t i o n ) 。 工程中的某些薄板由于非常薄而不能抵制弯曲变形，或者当薄板承受过大载 荷而处于临界失效情形时，被认为是过度变形，在这种情况下，薄膜行为是主要 的承载行为，适用薄板过度变形理论。 1 3 薄壳理论简介 所谓扁壳，就是指壳体的矢高f 和被覆盖的底面最短边a 之比f a 1 5 的壳 体，它广泛应用于工程实际。对于扁壳，它的中曲面长度，比起曲率半径r 在量级 上要小的多，而且中曲面位移u ，y 远小于矿。薄壳理论的基础是l o v e 奠定的， 他提出了下面两个假设，即k i r c h o f f - l o v e 假设： 1 薄壳变形前与中曲面垂直的直线，变形后仍然位于已变形中曲面的垂直线 上，且保持其长度不变。 2 平行于中曲面的面素上的正应力与其它应力相比，可以忽略不计。 扁壳非线性理论就是基于上述特征、k i r c h o f f - l o v e 假设建立起来的，其内容可参阅 有关壳体理论的专著。本文涉及的扁球壳几何方程、物理方程和平衡方程就是依 据这些理论为基础的，具体参阅第二章。 1 4 文献回顾 关于薄板壳的静、动态力学特性已有大量文献报道。这里仅对与本论文有关 的内容也即在机械载荷作用下圆薄板、扁球壳的非线性静、动态力学行为的文献 作以下简要回顾。 3 圆薄板及扁球壳轴对称1 f 线性强迫振动 1 4 1 关于圆薄板、扁球壳静态力学特性的研究 钱伟长【1 】运用摄动法成功解决了周边固支各向同性圆薄板在横向均布载荷作 用下的大挠度几何非线性问题，是针对v o n k a r m a n 方程求解方法的一次重要突破， 在国内外产生了深远的影响，科学界称该方法为“钱伟长法”，时至今日，仍有不 少文献采用该法来求解。早在上世纪前半叶，钱伟长等【2 】就运用摄动法研究了弹性 圆薄扳大挠度问题，给出了不同载荷和边界条件下的摄动解。同年，他【3 】用变参数 迭代法求解弹性地基圆薄板大挠度问题，得到了很高精度的解。1 9 5 3 年，叶开沅 【4 1 用摄动法研究了边缘载荷作用下环型薄板大挠度问题。近年来，王新志等【5 1 根据 变参数迭代法的思想，得到了弹性地基圆薄板的变参数迭代解。并用双参数摄动 法和修正迭代法分别研究了扁锥壳【6 1 和扁球引7 1 非轴对称大变形问题，得到了线性 载荷作用下薄壳变形的三次近似解析解并给出了摄动点的挠度与载荷的特征曲 线。并通过算例对平板及不同初挠度的扁壳大挠度变形进行了讨论。随着工程技 术的发展，近年来，对薄板静态问题的研究则更多的倾向复合材料和功能梯度材 料方面。1 9 9 8 年，李奇等i s , 9 】基于k a r m a n 型板的精化理论，应用剪切板的广义大 挠度k a r m a n 方程，分析了复合材料剪切板的屈曲和后屈曲状态。2 0 0 2 年，王新 志等【1 0 1 从各向异性板的基本理论出发，推导出正交各向异性板的非对称大变形基 本方程，利用f o u r i e r 级数把问题的偏微分方程转化为一组可积分求解的非线性常 微分方程，并给出利用迭代法求解该问题的基本方法。在2 0 0 3 2 0 0 4 年，马连生 等 h , 1 2 1 则从经典板理论( c p t ) 皇发，运用打靶法分别研究了功能梯度圆形板在边界 面内均布压力作用下的轴对称屈曲和热一机载荷作用下圆形板的轴对称弯曲问 题。2 0 0 4 年，马连生等m 1 基于一阶剪切变形理论，研究了功能梯度圆形板在面内 均布压力作用下的轴对称屈曲问题，并得到了一阶剪切变形理论下功能梯度圆形 板的临界屈曲载荷。1 9 9 0 年，郑晓静【1 4 】系统总结了弹性圆薄板大挠度理论的研究 成果及进展，对些解析求解方法的理论与应用作了深入研究，包括精确解的构 造方式和求解方法、y o nk a r m a n 板方程的适用范围以及级数解、摄动解、迭代解 的收敛性等理论问题。对一些典型的理论与应用问题给出了详细的数值结果。另 外，对扁锥壳、球壳的静力稳定性问题作了研究。1 9 9 4 年，冯仲奇【l5 】推导出了几 何非线性和物理非线性的扁球壳在法向载荷作用下增量形式的基本微分方程，并 4 硕十学位论文 用伽辽金配点法求解该方程。给出了轴对称扁球壳在均布载荷作用下的数值计算 结果。1 9 9 7 年，严圣平【1 6 1 首先应用逐步加载法将具有刚性中心的截顶扁球壳在均 布载荷作用下的非线性微分方程组线性化，然后利用样条配点法解线性微分方程 组，得到了临界载荷的数值解。 1 4 2 关于圆薄板、扁球壳动态力学特性的研究 除了对板壳的静力学行为的关注以外，很多学者则把研究的重点放在了板壳 的动力学行为方面。研究的重点放在各种不同几何特性板壳的非线性振动问题， 研究内容涉及到几何非线性或物理非线性对板的振动的影响，还考虑了材料的各 向异性、温度变化、剪切变形、转动惯量、静载变形、附着刚性质量等对板动力 特性的影响。为了便于说明，下面我们按照研究问题的不同种类进行分类介绍。 1 4 2 1 自由振动问题 1 9 5 2 年，h e r r m a n n 【 1 从三维弹性力学非线性理论出发，对板的非线性振动作 了研究，得到了服从胡克定理的各向同性板的运动方程，并运用摄动法求解了该 方程。1 9 5 6 年，c h u 和h e r 咖a n n 【1 8 】忽略面内惯性得到v o nk a r m a n 情形下动态控 制方程，并应用摄动法研究了矩形板大挠度自由振动问题。1 9 6 1 年y a m a k i t l 9 】应用 伽辽金单模态展开法求解了圆板动态y o n k a r m a n 方程，分别考查了简支和夹紧两 种边界条件下大振幅振动问题的解。1 9 6 2 年，n o w i n s k i 2 0 1 研究了圆板轴对称非线 性自由振动。他设定挠度为空间和时间可分的级数形式，并应用正交化过程消去 空间变量，然后求解了关于时间变量的非线性方程。1 9 6 3 年，w a h 2 l 】使用v o n k a r m a n 方程的b e r g e r 近似方法研究了夹紧和简支圆板大振幅自由振动。他使用单 模态g a l e r k i n 展开研究了各阶线性频率与其非线性频率的比率。1 9 7 1 年，h u a n g 和s a n d m a n l 2 2 】研究了不可移夹紧圆板的自由振动，假设稳态响应为关于时间的函 数形式，并应用k a n t o r o v i e h 法消去时间变量，问题的控制方程转化为一组关于特 征值问题的非线性常微分方程，应用数值方法对该组方程进行了求解，研究了大 振幅对横向振型和应力分布的影响。1 9 8 5 年，d u m i r 等【2 3 1 研究了位于弹性地基上 的正交各向异性圆薄板的轴对称大振幅振动，考虑了周边夹紧和周边简支两种边 界条件，同时考虑了线性和非线性w i n k l e r 弹性地基和p a s t e r n a k 弹性地基。应用 k a n t o r o v i e h 法消去时间变量，对包含空间变量的方程进行求解，给出了地基参数、 圆薄板及扁球壳轴对称j f 线性强迫振动 正交各向异性参数以及边界条件对非线性响应的影响j2 0 0 1 年，s r l i t 2 4 采用打 靶法研究了极正交各向异性圆板的非线性振动和热屈曲问题，文章根据y o n k a r m a n 板理论和h a m i l t o n 原理，借助k a n t o r o v i c h 法将动力控制方程化为非线性 特征值问题，应用打靶法得到了关于板的力学行为的结果。2 0 0 2 年，m h y e o 【2 5 】 用多尺度法研究了周边夹紧圆板非线性非对称振动，发现在不发生内共振的情况 下，稳态响应解不仅有基波成分，也有高次谐波成分。m h a t e r b o u c h 和r b e n a m a r t 2 6 , 2 7 , 2 8 1 应用多模态法系统研究了各向同性圆薄板的几何非线性自由振动， 得到了精度很高的数值结果。l i d i a k u r p a f 2 9 1 基于y o n k a r m a n 板理论及h a m i l t o n 原 理，运用r - - f u n c t i o n 法将微分方程化为代数方程，对任意形状薄板的非线性振动 进行了研究，该法具有广泛的实用性。王永刚和王新志【3 0 1 研究了扁球壳在静载荷 作用下的轴对称非线性自由振动问题，根据扁球壳非线性动力变分方程，运用修 正迭代法给出非线性静力边值问题的一次近似解析解，应用g a l e r k i n 方法得到了 关于时间部分的非线性动力方程，用l i n d s t e d t p o i n c a r e 获得了以静载荷为参数的 非线性结构频率与振幅间的特征关系。谭文宪3 1 给出了解决扁球壳非线性静、动 态分析的另一种新的渐进方法。方法的实质是在壳体中面变形能中引入一新参量， 得到了一组以新参量简单耦合的控制方程，通过迭代一变分方法求解方程，得出 了扁球壳的一般非线性运动方程的近似表达式，并得到了很满意的数值结果。刘 仁怀和李东等【3 2 1 给出了一种研究圆柱正交异性扁球壳非线性轴对称自由振动的时 间模态方法。首先。使用变分方法导出了决定振动频率的一对代数方程，然后利 用改进的修正迭代法求得了渐进解。 1 4 2 2 强迫振动问题 1 9 7 7 年h u a n g 和a i k h a t t a t 3 3 1 研究了各种边界条件圆板的强迫振动，假设稳 态响应为时间的谐响应模式，并应用k a n t o r o v i c h 法消去时间变量，问题的控制方 程转化为一组关于空间变量的非线性常微分方程，应用数值方法对该组方程进行 了求解，并研究了大振幅对横向振型和应力分布的影响。在1 9 7 5 ，1 9 7 8 年，s r i d h a r 等 3 4 , 3 5 】分别研究了圆板承受简谐载荷，激励频率接近结构频率时的对称和非对称 响应。他们应用动态y o nk a r m a n 方程，把解表示成线性自由振动模态的级数形式， 并应用多尺度法得到了关于时间的非线性控制方程的近似解。研究表明，在不发 6 硕：七学付论文 生内共振的情况下，只有当激励频率接近相应模态的结构频率时，激励载荷才会 引起强烈的振动。1 9 9 8 年a b e 等3 6 】应用单模态g a l e r k i n 法将层合板的运动方程化 为关于横向位移的d u f f i n g 型方程，并分析了应用多尺度法得到的方程的解，考查 了铺层次序，厚度比，层数和面内边界条件对亚谐共振( s u b h a r m o n i c r e s o n a n c e ) 响应的影响，就在同一年，a b e 等【3 7 1 将g a l e r k i n 法和多尺度法相结合，研究了简 支层合板对简谐激励的响应，他们通过比较发现，分析结果与数值积分结果一致 性相当好。2 0 0 2 年，崔永俊等1 3 8 1 在线性轴对称假设条件下，运用h a n k e l 变换研究 了圆薄板在弹性边界条件下对简谐激励的响应。2 0 0 5 、2 0 0 6 年，赵永刚等 3 9 , 4 0 】基 于v o r lk a r m a n 薄板理论，结合k a n t o r o v i c h 时间平均法和数值计算的打靶法分别 分析了面内径向周期载荷作用下周边可移夹紧圆板在过屈曲构型附近的轴对称非 线性振动和横向周期载荷作用下周边不可移夹紧圆板在静平衡构型附近的轴对称 非线性振动。并利用数值结果考查了不同的激振力、激励频率以及自振振幅对振 动响应的影响。1 9 9 7 年，刘仁怀等h 1 1 研究了考虑横向剪切的对称层合圆柱正交异 性扁球壳的非线性强迫振动问题，得到了共振周期解和非共振周期解。并分析了 横向剪切对幅频特性的影响。 1 4 2 3 颤振问题 颤振是指系统内部自然形成的内在反馈所引起的一类自激振动。它一旦发生， 往往对系统或设备造成极为不利的影响。对这类问题的研究通常有定量和定性两 种方法。1 9 9 7 年，h p l e e 【4 2 1 定量分析了任意位置附着集中质量，自由端受轴向 随动载荷e u l e r 悬臂梁颤振的动力稳定性。发现，在存在内部小阻尼的情况下，集 中质量位置的微小变化对颤振临界载荷的影响较小。相比之下，对于无阻尼的情 形则影响很明显。2 0 0 4 年，蔡明等【4 3 】将增量谐波平衡法推广运用于二元机翼的颤 振问题，采用振幅作为控制参数应用谐波平衡过程，求得强非线性振动方程解的 表达式，并由此分析系统的分岔现象和极限环颤振现象，得到了极限环的大小。 用龙格一库塔法进行数值计算验证，结果表明，推广后的增量谐波平衡法在强非 线性颤振分析中合理可靠，具有足够的精度。 1 4 2 4 混沌问题 2 0 世纪在非线性力学方面最重要的进展是发现并深入研究了混沌( c h a o s ) 。 7 圆薄板及扁球壳轴对称非线性强迫振动 对于混沌现象的研究揭示出关于非线性系统的一系列鲜为人知而有耐人寻味的行 为模式与特点。1 9 9 0 年，h a d i a n 和n a y f e h 4 4 1 应用多尺度法研究了承受简谐载荷圆 薄板的振动响应。他们发现由于霍普分岔( h o p f b i f u r c a t i o n ) ，多模态响应会失去 运动稳定性，导致结构在简谐和混沌运动之间转化。2 0 0 1 年，w e i t 4 5 1 对y o nk a r m a n 运动方程运用g a l e r k i n 法，分析了简支矩形薄板受参数激励时的全局分岔和混沌 运动。2 0 0 1 年z h a n g t 4 6 1 运用g a l e r k i n 法将v o nk a r m a n 运动方程转化为一组非线性 常微分方程，研究了简支矩形薄板受参数激励时的全局分岔和混沌运动。2 0 0 3 年， 王新志等f 4 7 】基于经典板理论( c p t ) 及h a m i l t o n 原理，导出圆薄板的动力变分方程， 用g a l e r k i n 法得到了一个三次非线性动力方程，用f l a q u e t 指数和m e l n i k o v 方法 分别研究了圆板的分岔问题和可能发生的混沌运动。 1 5 本文主要研究内容 通过大量的文献调阅，可以发现关于圆薄板的静力学行为及自由振动特性的 研究已经非常深入和广泛。关于圆薄板在外加动载荷作用下的动力学行为( 强迫 振动) 也有一定的研究。对于扁球壳的静力学行为有少量报道，但对其动力学特 性的研究仍然不多。众所周知，在轴对称的情形下，此类问题的控制方程是相互 耦合的非线性常微分方程组( 静态) 或非线性偏微分方程组( 动态) ，求其精确解 在数学上遇到了极大的困难，因此，通常求助于近似分析。近似的求解方法主要 有两条途径：一条途径是对空间位移模态做出假定，利用振型正交或g a l e r k i n 方 法，得出关于时间形式的二阶非线性常微分方程组，通常用摄动法例如多尺度方 法或平均法求解。第二条途径是假设时间模态，利用k a n t o r o v i e h 方法，得到关于 空间形式的非线性耦合常微分方程组。在轴对称的情况下，该问题成为常微分方 程两点边值问题，可以采用打靶法进行数值求解。本文采用的是第二条途径。以 下是本文的主要内容： 1 运用h a m i l t o n 原理，导出了圆薄板位移型非线性运动方程，并化为相应的 无量纲运动方程。假设位移为无量纲时间变量r 和无量纲空间坐标x 的可分函数， 并假设时间函数为简谐函数，在自由振动和强迫振动的一个公周期上运用 k a n t o r o v i e h 时间平均法消去时间变量r ，将问题的偏微分运动方程转化为关于空 硕士学位论文 间变量，的常微分方程组，考虑周边夹紧和周边简支两种边界条件，然后应用打靶 法( s h o o t i n g m e t h o d ) 得到了问题的数值结果。并通过图表分析了两种边界条件下的 载荷参数对动态响应的影响，讨论了主共振区域内的动态响应特性和跳跃现象。 2 基于扁壳非线性理论，推导出受均布外压作用下的扁球壳位移型非线性基 本方程，运用打靶法寻求问题的数值解，得到了无量纲载荷与扁壳中心横向挠度 的过屈曲平衡路径和一些典型的构型曲线，并对其刚度变化及稳定性作了分析讨 论。 3 基于扁球壳的位移型非线性运动方程，假设位移为时间变量r 和空间坐标工 的可分函数，并假设时间函数为简谐函数。运用k a n t o r o v i c h 时间平均法消去时间 变量f ，将问题的偏微分运动方程组化为关于空间变量工的常微分方程组，然后应 用打靶法得到了问题的数值结果。通过图表讨论了物理参数和几何参数对扁壳动 态响应的影响。 4 寻求矢高，由零逐渐增加时圆薄板的力学行为向扁球壳的力学行为的过渡 特性；寻求周边夹紧和周边简支边界条件下的扁球壳的结构频率与矢高相互关系 的特征曲线。 9 圆薄板及扁球壳轴对称非线性强迫振动 第2 章圆薄板非线性强迫振动 本章摘要：从v o nk a n n a n 板理论出发，运用h a m i l t o n 原理，导出了圆薄板位移 型非线性运动方程，假设位移为时间变量f 的简谐函数形式，运用k a n t o r o v i c h 时间平均法消去时间变量f ，将问题的偏微分运动方程转化为关于空间变量x 的常 微分方程组再考虑周边夹紧和周边简支两种边界条件，应用打靶法( s h o o t i n g m e t h o d ) 得到了问题的数值结果。并通过图表分析了两种边界条件下的载荷参数对 动态响应的影响，讨论了主共振区域内的动态响应特性和跳跃现象。 板是工程中最常见的构件之一，对板的静动态力学行为的研究具有一定的代 表性，可以反映一类弹性构件的静态和动态力学特性。另外，对板的研究相对比 较简单。所以，它一直是研究结构静动态响应的代表性元件。本章研究圆薄板在 随时间周期性变化的横向载荷作用下的非线性强迫振动。 2 1 圆薄板非线性强迫振动控制方程的建立 考虑各向同性圆薄板如图2 1 ，厚度h ， 半径a ，受周期性分布载荷q = q o + g 。c o s d # ， 依中面中心为原点，z 轴向下为正，建立 圆柱坐标系( r , o ，z ) v = u ( r ) 、w = w ( f ) 分别为面内径向和面外横向位移。根据 g 图2 1 周边夹紧圆板 y o n k a r m a n 非线性板理论，任意点a ( r ，口，z ) 处的几何方程为： 彩一罢+ 丢f 罢 2 一：粤 ( z 1 a ) 彩一石+ j i 石j - 2 可 ( 2 ，uza w 2 7 7 i 弹性变形时的物理方程为： 1 0 ( 2 1 b ) 硕士学位论文 f 2 2 a ) ( 2 2 b ) 圆板的总变形能为： y = 吡三矿彩+ 三诉卜 = 万。r 降 2 + 吉( 警) 2 伽吾罾等卜+ 1 2 。n r o 小 ( o 加v j + 1 7 v 2 铊v 了u 石o u + f 竺o r1 2 ) 丝a r + 三( 詈) + v u 八( o 西w 2 l r a r ( z m ) _ = _ 2 万r g 附 忽略面内惯性质量和转动惯量，系统动能为： r = 矽j r 。= 【( 百a w j 3 2 胁 ( 2 3 b ) ( 2 3 c ) 其中p 为圆敬单位回积上的质量。 根据h a m i l t o n 原理，结构的动力控制方程如下： 料r 一( 矿+ _ ) p = o ( 2 4 ) 将( 2 3 a ，b ，c ) 代入( 2 4 ) 式，经过变分运算得到如下运动方程： 害+ 三型一要+ 翌罟+ 生2 rf k 塑o rjorro rr o r 2 r o r1 2 = 。 ( 2 5 a ) 22 a r 2 。v 4 矿+ p 可o e w 一旦1 - v 2 警+ 互1 。( o 加w ， 2 + v u ，j 0 矿2 w + 降+ v i o u + 兰2 f l 堡o t ) 2 ；詈 = q o + g lc o s l 3 1 ( 2 5 b ) 嘎 蟛 鬈 与专 = = 圆薄板及扁球壳轴对称北线性强迫振动 式中：v 4 = 害+ 兰尝一丢害+ 丢望，d = 面e h 丽3 0 r ro r ro r ro r 22 1 2 ( 1 一v 2 ) 引入无量纲量： 工= 三，w = 百w ，甜= 万u a ，= 鲁，蜴= 焉，q l = 焉，r = 砉污，簖= 譬 得到如下无量纲运动方程： 耄+ j l o u 一u + 磐塑+ 生2 xf k 塑o x ) o xo xo x o x2 xo x 2 = 。2 工， 2 ” v 舢雾垅 罡+ 三罡) 2 + v 要 窘+ i + v 面o u + 兰( 罢) 2 j l 瓦o w = 骁+ q lc o s c o o t 式中：v 4 ，w = 丽0 4 w 十要窘毒窘+ 当芸僦xo 。cxo 。cxo x 给定初始条件： f ：o n ，o w ：0 d f 固支边界条件： x ：1 时，“：0 ，w ：0 ，o w ：0 融 简支边界条件： 川时一o ，雾+ v 罢= 。 ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 中心对称条件： j = 。时，“= 。，罢= 。，蚴( 窘+ 三窘一专罢 = 。，w 有限 c z 加， 1 2 硕十学位论文 2 2 定解问题的数值求解方法 方程( 2 6 a ，b ) 、( 2 7 ) 、( 2 8 ) 和( 2 1 0 ) 构成了初始条件与周边夹紧边界条件的初 边值问题；方程( 2 6 a ，b ) 、( 2 7 ) 、( 2 9 ) 着f l ( 2 1 0 ) 构成了初始条件- q 周边简支边界条 件的初边值问题。由于上述问题是关于空间变量x 及时间变量t 的混合非线性偏微 分方程的定解问题，到目前为止，求其精确解析解还非常困难，本文采用数值方 法进行求解。由于激励载荷是时间的三角函数，我们假设满足初始条件的稳