（基础数学专业论文）描述3维双曲空间的偏微分方程.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文引入了描述3 维双曲空间( 3 - h s ) 的微分方程这一几何概念，这是描述伪球面 的微分方程这几何概念的3 维推广，并给出了三个实例：( 2 + i ) 维非线性s c h r 6 d i n g e r 方 程对( ( 2 + 1 ) c n l s ) ，( 2 + 1 ) 维导数非线性s c h r s d i n g e r 方程对( ( 2 + 1 ) c d n l s ) 及( 2 + 1 ) 维广义h f 模型( ( 2 + 1 ) g h f ) ：& = ( 面1 。s ，岛1 + 2 i a s ) 。，口。= 一去t r ( s & 岛) ，其中s 瓦孤u l 两c ( 丽2 )。另外，本文还给出了构造这类微分方程的无穷多个守恒律的几何方法，作 为实例，具体求出了( 2 + 1 ) 维非线性s c h r s d i n g e r 方程( ( 2 + 1 ) n l s 一) 和( 2 + 1 ) 维导数非 线。 生s c h r s d i n g e r 方程( ( 2 + 1 ) d n l s ) 的新的无穷多个守恒律。 关键词：( 2 + 1 ) 维可积偏微分方程，描述3 维双曲空间的微分方程，守恒律 中图分类号：0 1 7 52 9 复旦盔堂亟主堂焦迨塞 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no fa ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n d e s c r i b i n gt h r e ed i m e n s i o n a lb y p e r b o l i cs p a c e s ( 3 - h s ) w h i c hi st h eg e n e r a t i o no ft h e n o t i o no fa ( i + i ) d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e s c r i b i n gp s u d o s e p h e r i c a ls u r f a c e t h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lc o u p l e dn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o na n di t ss i s t e re q u a t i o n ， t h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lc o u p l e dd e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，a r es h o w n t o d e s c r i b e3 - h _ s t h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dh fm o d e l ：s t = ( 去【s ，s + 2 i a s ) 。， 如= - a t r ( s 最s ) ，w h e r es 瓦夏g 砸l c 瓦( 2 ) 孑丁玎p r o v i d e sa n o t h e re x a m p l e o fs u e he q u a t i 。n s a sad i r e c tc o n s e q u e n c e ，t h eg e o m e t r i cc o n s t r u c t i o no fi n f i n i t en u m b e r so fc o n s e r v a t i o n l a w sf o r3 - h s ，e q u a t i o n si si l l u s t r a t e d f u r t h e r m o r ew ed i s p l a yn e wi n f i n i t en u m b e r s o fc o n s e r v a t i o nl a w st ot h e ( 2 + 1 ) n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o na n d ( 2 + 1 ) d e r i v a t i v e n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nb yp u r e l yg e o m e t r i cw a y s k e yw o r d s ：( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a li n t e g r a b l ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e s c r i b i n gt h r e ed i m e n s i o n a lb y p e r b o l i cs p a c e s ，c o n s e r v a t i o n l a w 8 c l a s s i f i c a t i o nc o d e ：0 1 7 5 2 9 第一章引言 可积偏微分方程是一类重要的非线性方程，有着广泛的物理背景，在物理学， 力学，化学，生物学等领域都有许多实际应用。求解和刻画这类方程是一个基本 而又重要的问题。然而，由于非线性方程的复杂性，至今仍有许多重要的方程不知 道如何精确求解，就是已经求解的方程，解法也各不相同，没有一个统一的方法。虽 然如此，人们仍然找到了一系列构造精确解的巧妙方法，反散射方法就是其中卓有 成效的一种。这种方法是g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l ，m i u r a 1 0 在研究k d v 方程时 首先引进的，随后被z a k h a r o v 和s h a b a t 2 3 1 用于研究非线性s c h r s d i n g e r 方程，并 f q a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l ，s e g u rf 1 1 推广到更广的一类非线性方程。现在，这类方程 被称为a k n s 族，他们所发展的方法也称为a k n s 方法。1 9 7 9 年，s a s a k i 2 1 注意 到a k n s 方法与伪球面之间的关系，并从而给出了这种方法的几何解释。1 9 8 6 年， 谷超豪和胡和生1 1 1 也研究了类似的问题，他们指出一个具有s o ( 3 ) ( 或s o ( 2 ，1 ) ) l a x 对的非线性方程就是兄3 中的s 2 ( 或相应地，r 2 ，1 中的h 2 或s 1 ，1 ) 的高斯方程( 或其子 方程) ，并进而给出了具有s o ( 3 ) ( 或s o ( 2 ，1 ) ) l a x 对的非线性方程的一般形式，而 且还给出了一个非线性方程具有s o ( 3 ) ( 或s o ( 2 ，1 ) ) l a x 对的充分必要条件。同年， 在s a s a k i 工作的基础上，陈省身年l ：l t e n e n b l a t 【3 引入了描述伪球面( p s s ) 的微分 方程这一概念。a k n s 族中的k d v 方程，m k d v 方程和正弦戈登( s g ) 方程都是描述 伪球面的微分方程f 2 1 1 。f 应该提到的是，s g 方程与伪球面的关系早在2 0 世纪初就由 e i s e n h a r t 8 1 在研究伪球面之间的b g e k l u n d 变换时发现了，s a s a k i 的工作部分也是受 此发现的启发。) 在3 1 中，陈省身和t e n e n b l a t 系统研究了形如u ：= f ( u ，u 一，谬) 的非线性发展方程，给出了这类方程为描述p s 且的微分方程的充要条件，并给 出了一种构造性方法，用这种方法可以给每一个这种类型的描述p s s 的微分方 程( 无论它是否为a k n s 族方程) 找出相应的伪球面。之后，在【1 5 ，1 8 ，2 0 中，这个 观念还被应用于其他类型的( 1 + 1 ) 维非线性方程。此外，人们还研究了守恒律， 对称性，b g c k l u n d 变换等动力学性质的几何解释2 ，3 ，1 5 ，2 0 ，2 1 1 。1 9 9 5 年，k a m r a n 和t e n e n b l a tf 1 5 1 对形如饥= f ( u ，u 一，札) 的描述p s s 的微分方程作出了完全的 分类。2 0 0 2 年，丁青$ 口t e n e n b l a t 6 1 引进了描述2 维非零常曲率曲面的微分方程组 的几何概念，并对描述叩一伪球面和q 一球面的微分方程组分别给出了完整的分类。 在 6 1 ， 7 】中，丁青，t e n e n b l a t ，朱佐农证明了( 1 + 1 ) 维的f o c u s i n d 线性s e h r 6 d i n g e r ；了程 只能描述球面，而f 1 + 1 ) 维的d e f o c u s i n g j g 线一陛s c h r 5 d i n g e r 方程仅能描述伪球面，却不 复旦大学硕士学位论文 4 能描述球面。这充分说明了引入描述2 维非零常曲率曲面的微分方程的这一几何概念对 研究( 1 + 1 ) 维可积偏微分方程的几何性质是十分必要和有用的。对于描述p s 8 的微分方 程更详尽的几何介绍可参考r e y e s 的综述文章f 1 9 1 ，该文对这个领域的各个方面的内容 都作出了比较完整的介绍。 虽然人们对于( 1 + 1 ) 维可积偏微分方程的几何性质已有较深入的了解，对 ( 2 + 1 ) 维可积偏微分方程的几何描述却知之甚少( 主要原因是：1 缺乏有效的方 法；2 系统复杂1 ，而这也是人们十分关心的一个问题。本文的目的就是要为( 2 + 1 ) 维可积偏微分方程提供一种几何描述，并进而探讨这种几何描述对我们研究( 2 + 1 ) 维可积偏微分方程的动力学性质有何帮助。我们在文中引入了描述3 维双曲空间( 3 - h s ) 的微分方程这一概念，并给出了三个实例：( 2 + 1 ) 维非线性s c h r s d i n g e r 方程对( ( 2 + 1 ) c n l s ) ，( 2 + 1 ) 维导数非线性s c h r 6 d i n g e r 方程对( ( 2 + 1 ) c d n l s ) 及推广的( 2 + 1 ) 维h f 模 型( g h f ) ( 详细定义见下一章) 。我们还借助这一几何描述构造了这类方程的无穷多 个守恒律。作为例子，我们具体计算了( 2 + 1 ) 维非线。性s c h r s d i n g e r 方程和( 2 + 1 ) 维导数 非线一眭s c h r s d i n g e r 方程的新的无穷多个守恒律。我们相信本文引入的描述3 维双曲空间 ( 3 - h s ) 的微分方程这一几何概念会对( 2 + 1 ) 维可积偏微分方程的研究起到促进和推 动作用。 本文接下去各章是这样安排的：在第二章里我们介绍了下面各章需要用到的 一些预备知识；在第三章中，我们引入了描述3 一h8 的微分方程的定义，并给出 了三个实例：( 2 + 1 ) 维非线性s c h r s d i n g e r 方程对( ( 2 + 1 ) c n l s ) ，( 2 + 1 ) 维导数非线 性s c h r s d i n g e r 方程对( ( 2 + 1 ) c d n l s ) 及推广的( 2 + 1 ) 维h f 模型( g h f ) ( 详细定义见 下一章) ；最后一章，我们构造了描述3 一hs 的微分方程的无穷多个守恒律，并具体计 算了两个例子：( 2 + 1 ) n l s 一和( 2 + i ) d n l s 一。 本文是作者与丁青教授，t e n e n b l a t 教授合作研究的结果。第三章的内容是丁青教 授和t e n e n b l a t 教授合作完成的，在此基础上，本文作者独立完成了第四章的主要内 容。 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘以 2 1 i i 维双曲空间的结构方程 由于以下几章多次提到双曲空间的结构方程，所以我们在这里集中介绍一下这方 面的内容。这些内容在一般的黎曼几何教材中都可找到。 首先，我们给出一般黎曼流形的结构方程。设m 是n 维黎曼流形，d 是m 上的联 络， e l ， 是m 的一个局部标架， u ，) 是其对偶标架，( c o i j = 一u m1s i ，j n ) 是联络d 关于标架 e 1 ，e 。) 的联络1 一形式，n a ( 1 i ，jsn ) 是联络d 的 曲率2 一形式，则依定义有： q 旷峨一咄k u 嘶( 1 曼i ，j 礼) ( 1 ) k = l 另外，若联络d 是无挠的z 则有 扎。= ( 1s is 凡) ( 2 ) = l 方程( 1 ) 和( 2 ) 就称为流形m 的结构方程。 特别地，当m 是截面曲率为k 的常曲率流形( 或称为常曲率空间) 时，有 q ”= 一ia “。，( 1si ，j 茎n ) 将上式代入( 1 ) ，则m 的结构方程为 f山产e n - 1 岫a ， 、山臼= 趋1 u 让a “巧一耳岫a 屿 因此，伪球面( n = 2 ，k 一1 ) 的结构方程为： fd u l = 0 j 3 a u 2 ， # 【( - j 2 = u 1 u 3 ) 【反出= c o i u 2 其中u 3 = “1 2 a3 维双曲空间( n = 3 ，k 一1 ) 的结构方程为： f d u l2c 0 1 2 ao j 2 + u 1 3 a u 3 ， id 0 2 = u 1ao j l 2h - u 2 3a u 3 ， j 幽3 2 c o i o j l 3 + c 0 2a u 2 3 i 1 山1 22c o l 3a0 3 2 + o j lao j 2 ， i 幽1 3 2l 0 1 2a ( 0 2 3 + l 0 1ac 0 3 ， l 出u 2 32u 2 1a ( , 0 1 3 - f u 2ao j 3 ， ( 3 ) ( 4 ) 型达塑岜兰鱼哒一 6 2 2 具有s o ( 2 ，1 ) l a x 对的可积偏微分方程与伪球面的g a u s s 方程 以下内容主要基于谷超豪和胡和生的论文 1 1 j ，只是符号有些变动。 设可积偏微分方程： 具有如下形式的l a x 对 f ( 札，u t ，u 。) = 0 虹2u 妒， 妒p2y 妒 ( 5 ) ：2 土( t 曼。二c 鼍耋n l k 。，yi ( 、( 量互荨- ) ，砂= f k 篓w ，) ，而a ，b ，c ，。， e ，f 是u 及其各阶偏导数的实函数。、上述l a x 对的可积性条件为：7 、fq 只+ a e b d ：0 设日2 是r 2 ，1 中的伪球面，叹z ，t ) 是h 2 的参数表示( i 卅：1 ) ，匠( 。，t ) 和而( 。，t ) 是日2 的 单位正交切向量，因此 t 区，西) 构成日2 的正交标架。日2 的基本方程为： 其中以= 一。 。再对( 7 ) 的两边求微分，可得 f 山1 = 一u ；a “，2 d w 2 = 一u a u l 【口b = 一u 1a u 2 ( 8 ) 8 上还阴弟= 个万程是日2 的g a u s s 方程。若令 f 山1 _ c d x + f d t ， 山：= b d x + e d t ， ( 9 ) ld w 2 _ a d x + d d t 一 并将上式代入( 8 ) 则可得到方程组( 6 ) 。由( 8 ) 或( 6 ) 的头两个方程可求得a ，d 如下f 设e g b f o ) ： a三赤i隅(e-一b啪：)z7+m(f,-gq)f1icl,d ( 1 0 ) l= 赤【( 最一岛) e + ( e q ) f 1 ， ( 1 0 ) 端泖以 卜一 一 心啪啪 = = = 护蜗蜗 ，ij(1【 复里丕堂亟主堂焦迨塞 7 将上式代入( 9 ) 的第三个方程，可得日2 的g a u s s 方程： ( 卫e c 也- b f 目+ e c l - 笪b l fr l v 、 。一( e c 出- b ff + 赫f ) t + e c b f = 0 ， ( 1 1 ) 因此，方程( 1 1 ) 具有如上的s o ( 2 ，1 ) l a x 对( 5 ) 。反过来，若方程( i ) 是方程( 1 1 ) 的子方 程( 即方程( i ) 的解都是方程( 1 1 ) 的解) ，且e c b f 0 ，则方程具有如上的s o ( 2 ，1 ) l a x 对( 5 ) ( 其中a ，d 由( 1 0 ) 给定) 。 在文f l l l 中，还另外讨论了具有s o ( 2 ，1 ) l a x 对的可积偏微分方程与r 2 ，1 中的s 1 ，1 的g a - k i s s 方程，以及具有s o ( 3 ) l a x 对的可积偏微分方程与r 3 中的s 2 的g a u s s 方程的关系，而 且文中还讨论了e c b f = o 盼睛况。但这里不再叙述这些内容。 23 描述p s s 的微分方程 在【3 】中，陈省身和t e n e n b l a t 引入了描述伪球面( ps 矗) 的微分方程这一概念，并 给出了构造这一类方程的无穷多个守恒律的几何方法。我们在这里对这些内容做一简 、 要介绍。以下的叙述主要基于【3 1 0 首先，我们引入描述p s s 的微分方程的定义。 定义l 令口2 为伪球面，局部坐标为( z ，) ，则实函数( 或实向量函数) “( z ，t ) 的微分 方程 u = f ( u ，u 。，u 乎) ( e ) 称为描述伪球面的微分方程当且仅当存在依赖于u ( z ，t ) 及其各阶偏导数的光滑函数 南，1 is3 ，1 j 茎2 ，使得下述j 一形式 0 3 i = 五1 d x + a 2 d t ， 1 i 3 ( 1 2 ) 满足日2 的结构方程佃。 简单的计算表明，d q qa n = 0 等价于伪球面的结构方程( 3 ) ，其中q 是 q = ；( u 。：。u 1 二，3 ) 所以，我们也可以说，u ( z ，t ) 的微分方程( e ) 是描述p s s 的微分方程当且仅当它是下述 线性问题的可积条件： d e = q 移 筮旦鑫凳塑= 耋鲞建造塞 一 8 其中砂= 麓) 。接述p 5s 的微分方程的具体例子嚣参觅f 3 3 。 接下来，我们介鳢= 哿遣描述ps a 的微分方程的无穷多个守恒律的方法。设掰2 是2 维弛e m 锄n 流形，如“u 2 是它的一组标架l 一形式( u l ，地岛( 1 2 j 给出) ，1 2 ( 邵( 1 2 ) 孛的地) 是相应豹联络1 一形式。若m 2 是伪球藤则必存在男一组标絮l 、形式 吼，如 及 相应的联络l 一形式矾2 ( 或写成$ 3 j 便褥下述方程成立j 础l 盎0 ，鸱盘如 学1 2 ，拶l t 十如= ：0 其中 。l ，奶，* i 2 ) 与 移l ，疗i i 满足如下关系： f 目i 。“l c 0 5 p 十u 2s i n p 如一一“la i n p + 地c o s p t口l o 。十如 上式也珂班写艘 n d a a 一1 十a ( 3 a 1 其中翕z ( 。，宰如8 譬) ，而 且一( c 馥0 。8 ；”c 0 8 “5 ) 由( i 3 ) 的第三式及( 1 4 ) ，( 1 2 ) 可知f 述p f & f f 暴统是完全可积髓 jp z 1s i n p 一如1c o s p 一，3 l i 风= 2 s i n p 一，2 2 e o s p 一矗2 并且，由f 1 3 ) 的第式知下述1 形式是闭约： ( nc o s p + ，1s i n p ) d z 十f f n c o s p 。五2s i n p ) d t ( 1 3 1 n 4 ) ( 1 5 ) 若南是篡一参数q 的函数，且能髓开成的幂缀数，则我们可以将上述闭1 澎式震舞 藏的幂级数，_ 的怔意次顶静系数都是一个闭i 。形式，所以。我们就有无穷多个守恒 律。c a v m c a n t e 和t e a e n b l a t 在f 2 】中用速种方法具体构造了几个经典盼( 1 + 1 ) 维碍积 偏徽分方程的秃辩多巾守愎律。 第三章描述3 一h s 的微分方程 本章，我们沿用陈省身和t e n e n b l a t 雕 ) l , 何思想来引入描述3 一h s 的微分方程的概 念。根据第二章的定义，实函数u ( x ，t ) ( u ( 。，t ) 也可以是实向量值函数) 的微分方程 ( e ) 称为描述伪球面的微分方程当且仅当存在依赖于u ( x ，t ) 及它的各阶偏导数的光滑 实函数 。1si 3 ，1 js2 ，使得如下的1 一形式 屿= f j i d x + f j 2 d t ，( 0 3 3 ：= 0 2 1 2 ) 1sj 墨3 ， 满足曲率为一1 的曲面的结构方程 d w l = 0 2 3au 2 2 ，d w 2 2 “1al d 3 jd w 32 “1a u 2 类似地，我们定义描述3 维双曲空间( 3 一hs ) 的微分方程如下 定义2 令1 t 3 为雠双曲空间，局部坐标为( 墨弘) ，则实函数( 或实向量函数) u ( z ，y ，t ) 的微分方程： y ( u ，u 。，u ，u t ，u 。，- - ) = 0 ( f ) 称为描述滩双曲空间似一h s j 的微分方程当且仅当存在依赖于u ( z ，y ，z ) 及其各阶偏导数 的光滑函数根，1 j ，尼3 和力。，1 茎j ，k ，f 墨3 使得下述j 一形式 屿5 f j d x + 能：矗d 至，w j k l = f m i k d x + w k j 03 月屹9 + 舰 ( 1 6 ) + 2 ， ls j ，甩sj 满足日3 的结构方程似j 。 如果u lau 2a “3 0 ，则d s 2 = ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 + ( u 3 ) 2 定义了日3 上的一个黎曼度量， 其高斯曲率为一1 ，而u 1 2 ，w 1 3 和u 2 3 是它的联络1 一形式。 下述定理是( 1 + 1 ) 维情形的非平凡推广，是本文的出发点和关键所在： 定理1 h 3 的结构方程( 4 ) 等价于如下p f a f f 系统的可积条件， d e = q 世 其中砂= ( i ：1 ) ，而 q = ；( ”老j 拖讹，叻一w 呦i 2 + 一i 溉3 ) ， ， 即等价于d q q a q = 0 。 复旦盔兰亟主堂焦迨塞 1 0 证明：辛为简单起见，我们只证明d q qaq 的第一行第一列的元素等于零，其它 三个元素同理可证。d q 的第一行第一列的元素为j ( 山2 + d w m ，由结构方程( 3 ) 可知 ( d u 2 + i d w l 3 ) = ( u 1al 0 1 2 + 【0 2 3aw 3 ) + i ( w 1 2a u 2 3 + u 1aw 3 ) 另外，q q 的第一行第一列的元素为；p 1 一u 1 2 + i ( w 3 2 一u 3 ) aw l + 0 9 1 2 + j ( u 3 2 + u 3 ) 将它展开后计算得j ( u 1al 0 1 2 + u 2 3a w 3 ) + i ( w 1 2a “2 3 + u 1a w 3 ) 可见d q q a q 的 第一行第一列的元素等于零。 告与上面的证明方法完全相同。口 s t ( 2 ，c ) 一1 一形式一值矩阵q 可以被视为定义在兄3 舳e 2 a s l ( 2 ，c ) 上的一个联络，u ( z ，y ，t ) 的微分方程( f ) 是描述3 一h s 的方程等价于这个联络的曲率d q naq 等于零。如 果札( 。，y ，t ) 的微分方程( f ) 具有l a x 对：忆= q 1 妒，饥= q 2 妒和也= q 3 妒，则 令q = q 1 如+ q 2 白+ q 3 d t ，而d q q a q = 0 则变成 q 1 t q 3 。+ 【q 1 ，q 3 = 0 ，q 1 9 一q 2 。+ q 1 ，q 2 】= 0 ，q 2 一q 3 ”+ q 2 ，q 3 = 0 这也正是方程( f ) 的l a x 对的可积性条件。 上面我们给出了描述3 维双曲空间的微分方程的定义，并给出了这个定义的一个等 价形式，下面我们要具体举几个例子。 例1 ( 2 + 1 ) 维非线。陛s c h r s d i n g e r 方程对( ( 2 + 1 ) n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u u t i o no r ( 2 + 1 ) c n l s1 。 其形式为： i q t + 一2 q 茁1 岛( 口r ) = 0 ，一i r t + g 一2 r 茑1 岛( 妒) = 0 ( 1 8 ) 它是( 2 + 1 ) 维非线性s c h r 5 d i n g e r 方程 i q + q 。g 士2 q 霹1 岛i q l 2 = 0 ( 1 9 ) 的推广形式。实际上方程( 1 9 ) 可以通过在方程( 1 8 ) 中令r = 干牙而得到。 ( 2 + 1 ) c n l s 的l a x 对如下： j 疋( z ，y ，t ，叩) = ( i 7 a 3 + 矿) f 扛，y ，t ，q ) 、只( z ，y ，t ，叩) = 2 1 b ( z ，y ，t ，叩) + i 霹1 岛u 2 + ) o r 3 f ( z ，y ，t ，q ) 复旦盔兰塑主堂焦迨塞一一 t t u ：( 。! ，曲7 ( z 0 。) 盯。= ( 1 0 - 。1 ) c ，2 iq ( z ，可，t ) o 一 黛慧鳓巍，裂x , y , t ；豫2 = 霎孺茹们 窖兰譬霉“，c ：”：i 喘篡篓翟2 ”芝笔。咖。：警i ：删v f ”箱毛兰v 。f , 鬻记l?激臻?词妻篙爹晶纛溉嚣晶孺个蒜，赢v p 2 r ； 2 卵+ i ( 霹1 吼己，2 一 十) 盯3 】f 的可积条件相匝地导出邓聊。1 大。q 虮1 2 或者写成矩阵形式：、 ( 小0 z - 池q ) ( 茏) + 0 ：) ( 2 0 ) 以及 ( v , i + ：z ”( 囊) 。+ 0 z i 霹- 1 i 争q v c a 一。i o - - i r 岛v 。，) + ( i 譬犁、) ， 要黑鼍慧芋：鉴? 器了毽黛纂篡警鬈萎篡? 鬈嚣2 呈 和( 2 1 ) 的解u 1 ，“1 和u 2 是存在的，但我们却不能给出e 制刚显a 7 眵a 。1 工“ ( 1 7 ) 定义的1 一形式值矩阵q 是： n ：( i v a 3 十矿) d z 十v d y + 2 v v + i ( 嚣1 a ”矿2 + ) 盯3 d t 饥| i “蕊 鬻帆 国| _ 复旦丕堂亟主鲎焦迨塞 1 2 由上式及( 1 7 ) 我们可以求出“。和屿k ，根据( 1 6 ) ，给出髭和疗如下 片= q 1 + r 1 ，矗= “ + j ，矗= 2 叼( u i + u i ) + r 2 掣一q 2 ， 斤= 0 ，露= 2 u ；，嚣= 4 t v 一2 0 ；1 岛( q l r 2 + q 2 r 1 ) ， 芹= q 2 一r 2 ，霄= u ；一札i ，槽= 2 v ( u ；一u i ) + q 1 。+ r 1 ， 片2 = q 1 r 1 ，以2 = j 一；，詹2 = 2 v ( u ! 一u ；) 一q 2 。一r 2 9 ， 月3 = 2 r ，矗3 = 2 u ；，砖3 = 4 q ；+ 2 0 2 1 0 u ( q l r l 一q 2 r 2 ) ， 疗3 = 一( q 2 + r 2 ) ，舞3 = 一( u ；+ 札；) ，詹3 = 一2 r ( u i + u ) + r 1 ，一q 1 ， 其中q = 口1 + z q 2 ，r = r 1 + i r 2 。因此，( 2 + 1 ) c n l s 是描述3 一h s 的微分方程。 如果令r = 一口则( 2 + 1 ) c n l s 就变成( 2 + i ) n l s + ：i q t + 啦。+ 2 q 0 2 1 0 口l q l 2 = 0 ， 因此( 2 + 1 ) n l s + 是描述3 一h s 的方程。但其对应的双曲空间的黎曼度量是退化的， 即u 1 “，2 u 3 = 0 。当y = z 时，( 2 + 1 ) n l s + 化为n l s + ，同时，u l = u 2 = t d 3 = 0 ，而 u 。2 ，u 1 3 和u 2 3 则满足高斯曲率等于1 的二维曲面的结构方程，只要注意到如下变换： u 1 2 一u 1 2 ，u 1 3 一u 1 ，u 2 3 一u 2 ，这与 6 得到的结果是相同的。类似地，若令r = 牙则 ( 2 + 1 ) c n l s 就变成( 2 + 1 ) n l s 一：i q + q 。一2 q 露1 岛i q l 2 = 0 ，因此( 2 + 1 ) n l s 一是描 述3 一h s 的方程。但其对应的双曲空间的黎曼度量是退化的，即u 1a “2a “3 = 0 。同样 地，当y = z 时，= 0 ( j = 2 ，1 2 ，2 3 ) ，而u 1 ，u 3 和u 1 3 满足伪球面的结构方程，文 献6 1 也证明了n l s 一是描述p s s 的微分方程。 j ，咒= ，1 ( 磊咱2 t l r 。f 1r = 叩f ：+ ( 咖一i 卵2 0 2 。q 氇o ； l o ，) 毛1 葛蕊裔托n ) f 复旦盔堂亟堂焦迨塞 1 3 令乃= y f ，其中y = ( 逸：箍- 嵋v i + - 仇i v 2 ) 是一个复值矩阵。用和例1 相同 的方法，我们可以求出u ，和u ，根据( 1 6 ) 则有： 片= q ( q 1 + r 1 ) ，疗= “j + u j ， 矗= 叩2 ( u ! + u i ) + 叼( 户。一q 2 u ) + 2 叩 ( q 1 + r 1 ) 西1 a 0 ( q l r l 一q 2 r 2 ) 一( q 2 + r 2 ) 露1 吼( q l r 2 + q 2 r 1 ) 】， 开= 0 ，詹= 2 i ，贾= 2 卵2 j 一2 q 2 霹1 0 y ( q l r 2 + 9 2 r 1 ) ， 片= q ( q 2 一r 2 ) ，疗= u ；一u i ， 露= t 2 ( u i u i ) + q ( q 1 。+ f l y ) + 2 v ( q 1 一r 1 ) 霹1 如( q l r 2 + q 2 r 1 ) + ( q 2 一r 2 ) 霹1 吼( q l r l 一9 2 r 2 ) 】， 矗2 = q ( q 1 一r 1 ) ，矗2 = u ：一u ；， 詹2 = 叩2 ( 札；一钍i ) 一叩( 9 2 口+ r 2 y ) + 2 q ( 9 1 一r 1 ) 霹1 0 y ( q l r l 一q 2 r 2 ) 一( q 2 一r 2 ) 西1 0 y ( q l r 2 + q 2 r 1 ) 】， 片3 疗3 詹3 q 2 ，矗3 = 2 u ；，砖3 = 2 叩2 u ；十2 q 2 茑1 0 y ( q l r l 一q 2 r 2 ) ， 一叩( 9 2 + r 2 ) ，詹3 = 一( u i + u ；) ， 一q 2 ( u l + u i ) 一叩( 9 1 。一r 1 。) 一2 叼【( 矿+ r 1 ) 露1 吼( 9 1 r 2 + q 2 r 1 ) + ( 口2 + 1 2 ) 霹1 0 y ( q l r l 一9 2 r 2 ) ， 其中q = q 1 + i 9 2 ，r = r 1 + i r 2 。所以( 2 + 1 ) c d n l s 是描述3 一h s 的微分方程。 例3 ( 2 + 1 ) 维广义h f 模型( ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dh fm o d e lo r ( 2 + 1 ) g h 川。 下述( 2 + 1 ) h f 模型 1 2 ： = ( 磊1 瞧s + 2 i u s ) ，“。= 一去t r ( s s s ) ， 其中s = ( s ，三3 i s 。s 1 土：s 2 ) 揣且s ：+ s ；+ s ；= 1 ，是如下这个模型的特 例： = ( 去慨s 】+ 2 i c r s ) 。，= 一五1t r ( s & 岛) ， ( 2 4 ) 其中s 5 ( ；三) 瓦而g l ) 。c g ( 2 l ) 。( 1 ) _ 且7 2 + 。卢= 1 ，其中7 2r e a l 。= 声。方程( 2 4 ) 复旦丕堂亟主堂焦迨塞 1 4 g h f 模型的l a x 对如下： fr = i ? ? s f ir = 2 即日+ n ( s s 4 - 2 i o s ) f 令b = 眠其中y = ( 咎荔竺一磊) 叫c ) 用与例相同的方法， 可求得屿和屿女如下： u1= 0 2 2 = 岫。 1 2 = 0 3 1 3 = u 2 3 = - 2 n ( # 2 + 0 9 2 ) d z + 2 ( 札5 + u ；) d y + 4 q ( u j + “i ) + 2 h i 一7 1 ( 园一呓) + 7 2 ( p 2 一0 2 ”) + 霄( p 1 一a 1 ) 一亿( p 2 一a 2 ) 一2 0 r 2 ( p 2 + q 2 ) 一2 0 r 2 ( 卢1 + o l 2 ) 】) d t - - 2 t f 2 d x + 2 v ；d y + 【4 叩u i + 2 v ( 7 1 七一，y 2 霄 + 1 或一2 霹一2 0 1 1 2 2 0 2 ，y 1 ) 班， 2 q ( 卢1 一a 3 ) 出+ 2 ( u l 一让；) d + 4 叩( u ；一u ；) + 2 叼 一一y 2 ( 瑶十q ；) 一，y 2 ( p 1 + q 1 ) + 吒( _ 8 1 + a 1 ) + 七( 卢2 + a 2 ) + 2 a 1 ( 卢1 一q 1 ) 一2 a 2 ( 2 一o l 2 ) - 托， 一2 7 ( 卢2 一a 2 ) d z + 2 ( u 5 一札i ) d + 4 v ( u j u i ) + 2 刁 _ 一y 1 ( 岛+ a ；) + ，y 2 ( 鳄+ ；) + 巧2 ( 卢1 + q 1 ) 一戈( 卢2 十盘2 ) 一2 0 r 2 ( 伊一2 ) 一2 盯2 ( p 1 一2 ) ) d t 2 婶1 1 d x + 2 v ；d y + 4 q 口 + 2 v ( 7 2 1 + 1 1 2 + 。1 鳄+ n 2 岛+ 2 a 1 7 1 2 盯2 ，y 2 ) 】出， 2 q ( p 1 + o t l ) d z + 2 ( u 2 + u i ) d + 4 叩( u ；十u ；) + 2 叩 一7 2 ( 砖一o ；) 一7 2 ( p 1 一a 1 ) + 霄( p 1 一q 1 ) + 七( p 2 一0 2 ) + 2 a 1 ( 口1 + a 1 ) 一2 a 2 ( p 2 + 2 ) 】) d 亡 其中= n 1 + i 血2 ，卢= p 1 + i 卢2 ，7 = 7 1 + 柳2 ，盯= 盯1 + i c r 2 。 还有其它方程，我们在此就不一一列出了。 第四章用几何方法求守恒律 本章准备用几何方法来构造描述3 一h s 的微分方程的无穷多个铲匿律。 在第二章，我们介绍了如何用几何方法来构造描述p s s 的微分方程的无穷多个守 恒律。这里，我们要把这种方法推广到( 2 + 1 ) 维情形。事实上，由形如f 1 7 ) 的联络1 一形 式q ，并通过如下一个s l ( 2 ，c ) 规范变换，可得到一个新的1 一形式值矩阵q ： = d a a - 1 + a 叶1 ：= 互1 ( 目2 j 怒倒钆一0 也1 2 + 砘i ( 0 3 2 卅3 ) ( 2 5 ) 上式中a 的一般形式为 a = ( ；门。一曼z ) ( 。o i o n 4 ( 卢z 2 2 ；- 。s 。i n ( 卢( 卢2 2 ) ) ( i o 。o i 4 n ( 7 7 2 2 ) ) i 。s 。i 。n ( ( 7 7 2 2 ) ) ) 由( 2 5 ) ，我们得到 日1 = c o s c o s 卢u l + ( c o s a s i n p c o s ，y + s i n qs i n 7 ) u 2 + ( 一c o s qs i n ps i n 7 + s i n nc o s 7 ) u 3 ， 臼2 = 一8 i n f b l + c o s 卢c o s ，y u 2 一c o s p s i n 7 u 3 ， 目3 = 一s i n c o s 卢u 1 + ( 一s i n d s i n 卢c o s ，y + c o s as i n v ) u 2 + ( s i n os i n f l s i n 7 + c o s o c o s 7 ) u 3 ， 曰1 2 = ( c o s c o s + s i n a s i n 卢s i n 7 ) u 1 2 + ( 一c o s as i n - + s i n as i n f l c o s 7 ) w 1 3 一s i n nc o s 触2 3 + s i n c o s f l d 7 + c o s n d p ， p 1 3 = c o s 3 s i n ，y u l 2 + c o s 卢c o s h 。1 3 + s i n p u 2 3 一s i n 卢d 7 + d a ， 目2 3 = ( s i n ac o s 7 一c o s q s i n ps i n l ) u 1 2 + ( s i n 理s i n l + c o s q s i n p c o s l ) u 1 3 + c o s ac o s 丸d 2 3 一c o s c o s p d 7 + s i n q 叩 为简便计，我们令= p ，p = 0a n d7 = 0 。则此时有 口1 = u 1c o s p + 3s i n p ， 臼2 = u 2 ，0 3 = 一w 1s i n p + u 3c o s p 目1 2 = 0 - 1 2c o s p + 0 3 3 2s i n p ，目1 3 。0 3 1 3 + d p ，以2 。- - l d l 2s i n p + 0 3 3 2c o s p 因为给定的1 一形式，( 1 j ，k 3 ) 满足( 4 ) ，所以易证 d ( 0 1 2 + 目2 ) = ( u lc o s p + w 3s i n p ) a ( 护1 2 - 4 - 如) 一( 岫2c o s p 一“，1 2s i n p ) a ( 臼1 3 + 如) d ( p 1 3 + 臼3 ) = ( 0 3 3 2c o s p w 1 2 s i n p ) a ( 目1 2 + 学2 ) + ( u 1c o s p + 3s i n p ) a ( 日1 3 + 0 3 ) 再根据f r o b e n i u s 定理，下述p f a f f 系统可积： ；。1 。2 + + 。0 。2 ：= ：i e u d p ，。+ 。w 。l p a + - u w 。l 。s 。i i n n p p - + kw 。3 。c ：o s 。p 2 。 c 。e ， 我们可由上述方程( 2 6 ) 求出p 。 综上所述，我们有： 定理2 给定一形式岣，w j k ( 1sj ，七s3 ) 满足结构方程俘，则存在形如偿髟的规范变 换，其中a = ( 髻。旦g ) ，使得岛，o j 。( 1sj ，3 ) 满足下述方程 d 0 1 = 0 ，d 0 2 = 0 2a0 1 0 3a0 1 ，0 1 2 - 4 - 0 2 = 0 d o a = 0 3a0 1 + o a a 0 2 ，0 1 a + 巩= 0 ，d 0 3 2 = 0 ， 其中p 是可积嘲系统侣剀的解。 、 由上述定理可知0 1 和0 3 2 就提供了描述3 一h s 的方程的无穷多个守恒律。事实上， 对一个描述3 维双曲空间的微分方程，可将其相应的函数髭，疗2 ( 1sj ，七