（基础数学专业论文）弱hopf代数的结构及其箭图表示.pdf

a b s t r a c t o m rw o r ke x t e n s i v e l yd e p e n d su p o nt h er e g i l l a rm o n o i d s t h ec l i f r o r dm o n o i d s ， t h e i ra l g e b r a s ，t h eh o p fa l g e b r a sa n dt h ew e a kh o p fa l g e b r a s ( l i s ) b ym p e t r i c hf 7 4 1 t h ec l a s so fa l lc l i f f o r dm o n o i d sf o r mav a r i e t yo fi n v e r s em o l l o l d f u r t h e r w ec a l l s a y t h a t t h e c l a s s o f i d e m p o t e n t s o f a u c u 肋r d m o n o i d s f o r m t h e s u b v a r i e t yo fa l lc l i f f o r dm o n o i 出a h c l i f r o r di 1 2 5 ip r o v e dt h ef a m o u s s t r u c t t t r et h e o r e m s ；t h e o r e m4 1 3a n dt h e o r e m4 2 1f o rt h es e m i g r o u p s w h i c hc l 珊b r du s e dt h en a m es e m i g r o u p sa d m i t t i n g 他l a t i r ei 竹v g r s 9 8i nf 2 5 1 ， b yv i r g u eo ft h e s er e s n l t sh o w i ef i r s tt i m en a m e ds u c hs e m i g r o u p 日t h ec l i f r o r d s e m i g r o u p si n 4 2 1 i th a sb e e ns t r u c t u r e db yc l h t o r di n 【2 5 ia n dl a t t e rh o w i e d e s c r i b e di n 4 2 1t h a tac h 肋r ds e m i g r o u pi sas t r o n gs e m i l a t t i c eo fg r o u p s b y f 7 4 1a n df 4 2 1 ，i fsi sac l i 0 r dm o n o i dt h e nsi sd i s j o i n tu n i o no fi t sm a x i m a l s u b g r o u p s f l ii n t r o d u c e dt h es o - c a l l e dw e a kh o p fa l g e b r ai n1 9 9 9 ( 3 f 5 5 1 ) ，l a t t e r h ed e f i n e ds e m i l a t t i c e 盯甜e dw e a kh o p fa l g e b r a h el a i di t sf o u n d a t i o ni nh i s l a t t e rw o r k ，( s e e 5 5 】，【5 6 】，【57 j ，【5 8 】， 5 9 】，【6 0 】，1 6 1 】a n d1 6 2 1 ) m o r e o v e r ，i ti s k n o w nt h a tt h er e g u l a rm o n o i da l g e b r aa n dt h ec l i f f o r dm o n o i da l g e b r aa r e t h er e s p e c t i v ee x a m p l e so ft h ew e a kh o p fa l 鼯b r aa n dt h es e m i l a t t i c ew a d e d w e a kh o p fa l g e b r a w e a kh o p fa l g e b r ac a nb ec o n s i d e r e da st h eg e n e r a l i z a t i o n o fh o p fa l g e b r at h es e to fg r o u p l i k ee l e m e n t so ft h eh o p fa l g e b r aj 8 盯o u p ， h o w e v e rt h eg r o u p l i k ee l e m e n t so ft h ew e a kh o p fa l g e b r ai sar e g u l a rm o n o i d a n dt h a to fs e m f l a t t i c eg r a d e dw e a kh o p fa i g e b r ai sa 蹦肋r dm o l l o i d t h e c l i f f o r dm o n o i di sa ni n v e r s es e m i g m u p ( w i t h1 1w h o s ei d e m p o t e n t sl i e si n i t s c e n t e r t h n sac l i f r o r dm o l l o i dm a ya l s ob en a m e da sg e n e r a l i z e d 盯o u pi nt h e v a g n e r ss e d s e1 8 9 la n d1 9 0 1 、】l ，ed i s c u s sc l i f r o r dm o n o i da l g e b r aw h i c hi 8an a t u r a le x a m p l eo ft h es e m i - 】a t t i c eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r a w es h e dh g h to nt h es t r u c t u r e so fc l i 肪r d m o l l o i d s ，i t sa l g e b r a sa n dt h es t r u c t u r e so fs e m i l a t t i c e 灯a d e dw e a kh o p fa j g e - b r a su s i n gq u i v e r s o n eo ft h em a i no b j e c t so ft h i sw o r ki st om a k ei tp o s s i b l e d e v e l o pt h et h e o r yo fw e a kh o p fa l g e b r a s a n o t h e rp u r p o s eo ft h ew o r k i st od v e l o p t h es t r u c t u r e t h e o r y o f w e a k h o p f a l g e b r a sa n do f s e m i l a t t i c e 舟f a d e d w e a k h o p fa l g e b r a su s i n gp a t hc o a l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt os e i n eq u i v e r s o n em a y u s et h es t r u c t u r et h e o r ya n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r yo fc i i f f o r dm o n o i d s a l g e b r a sa n do fh o p fa l g e b r a st oa c h i e v et h i st a s k b yf 5 5 la n df 5 9 】，ab i a l g e b r a ( o rah o p fa l g e b r a ) ho v e raf i e l d i sc a l l e d aw e a kh o p fa l g e b r ai ft h e r ee x i s t sa l le l e m e n tti nt h ec o n v o l u t i o na l g e b r a h o m ( 打，仃) s u c ht h a ti d t $ i d = i da n dt i d t = t ，w h e r e 十i st h e c o n v o l u t i o np r o d u c ti nh o m k ( h ，：t h e nti sc a l l e daw e a ka n t i p o d eo f 日a a b s t r a c t w e a kh o p fa l g e b r ahw i t hw e a ka n t i p o d eti sc a l l e das e m i l a t t i c e 厢a d e dw e a k h o p fa l g e b r ai fh = o k i sas e m i l a t t i c eg r a d e d o y l e t rb eac o a l g e b r a t h e nt h es e to fi t sg r o u p - 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c o m o d u l e sw i t ht h es t r u c t u r em a p s 屯a n d6 nr e s p e c t i v e l y , ( 8 2 3 | ) o u l r e s e a r c hw o r km a i n l yc o n s i s t so ff i v ep a r t sw h i c h 啪d e s c r i b e d f o l l o w s f i ) i nf 2 3 1 c c i b i l 8a n dm r o s s od e f i n e dt h en o t i o no fh o p fq u i v e r a n dc l a s s i f i e dt h ep 叮a d e dh o p fa l g e b r as t r u c t u r e su s i n gs u c hq u i v e r s w i t h t h eq u e s t i o no fg e n e r a l i z a t i o no fh o p fq u i v e r t h ea u t h o r sd e f i n et h en o t i o uo f w e a kh o p fq u i v e r d l e 3 311w i t hr a m i f i c a t i o nd a t ao fs o m ec l i 肋r dm o r t o l ds w ea l s od e s c r i b et h e 盯a d e ds t r u c t u r e so fw e a k h o p fm u d n l 髑o v e rt h ec l i f f o r d m o n o i da l g e b r ak 8w h i c hi sas e m i l a t t i c e 阜a d e dw e a kh o p fa l g e b r a w ee s t 出 l i s has t r o n gc o n d i t i o nb e t w e e nt h ep a t hc o a l g e b r ae n d o w e dw i t ht h es t r u c t u r e o fs e m i l a t t i c eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r aa n dt h ew e a kh o p fq u i v e ro fs o m ec l i f - f o r dm o n o i dw i t hr e s p e c tt os o m er a m i f i c a t i o nd a t a ( s t h e o r e m3 35 ) h o p f m u d u l e ea r en a t u r a lr e p r e s e n t a t i o n so fh o p fa l g e b r a s t h e yf o 珊a l la b e l i a n c a t e g o r yu ( h ) b y ( 2 0 i ，p r o v i d e dw i t ht h et e n s o rp r o d u c t h o p fb i m o d u l e so v e r ag r o u pa l g e b r ap r o v i d e su st h ec l a s s i f i c a t i o no fp a t he o a l g e b r a sw h i c ha d m i t g r a d e d h o p fa l g e b r as t r u c t u r e s ，i n t h e f o r mo f c a t e g o r y t ；( k g ) 【2 s w e a k h o p f h i m u d n l e sa r et h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ew e a kh o p fa l g e b r a s w e 址h o p fb i - m o d u l e so v e rac l i f f o r dm o n o i da l g e b r ak sc a 丑b ec o n s i d e r e dt oc l a s s i f yt h e p a t hc o a l g e b r aw h i c ha d m i t sas e m i i a t t i c e 审a d e dw e a kh o p fa l g e b r as t r u c t u r e t h u g w e a k h o p f k s - b i m o d u i e s o x e t h er e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s e m i t a t t i c e 盯a d e d w e a kh o p fa l g e b r a s m r o e s oi n1 8 2 1e s t a b l i s h e d 蛆e q u i v a l e n c eo fb ( 日) a sa m o n o i d a lc a t e g o r yt ot h ec a t e g o r yo fm o d u l e so v e rt h ed r i n f e l dd o u b l eo fh c ，c i b i i sa n dm r u s s oi n1 2 3 lh a se s t a b l i s h e dao n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c eb e - t w e e nt h eo b j e c t so fh o p fb i m o d u l e sb ( k g ) a n dac o m p l e t el l s to f 日a d e dh o p f a l g e b r as t r u c t u r e so nt h ep a t hc o a l g e b r ak fc o r r e s p o n d i n gt ot h eh o p fq u i v e r r w eg i v ea ne q u i v a l e r i c eb e t w e e nt h ec a t e g o r yo fc l i f l u r dm o n o i da l g e b r a s a n dt h ec a t e g o r yo f 女z 百一b i m o d u i e s ( s e et b e o r e m3 39 ) w eu i s oe s t a b l i s h a 1 1e q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ec a t e g o r yo fw e a kh o p fk s - b i m o d u l e sb ( k s ) a n d ac o m p l e t el i s to fs e m i l a t t i c e 灯a d e dw e a kh o p fa l g e b r as t r u c t u r e so nt h ep a t h c o a l g e b r ak fo faw e a kh o p fq u i v e rf ( s e et h e o r e m3 3 1 0 ) i nf a c t c l a u d e c i b i i sa n dm a l cr o s s o 2 3 lc l a s s i f i e dt h eg r a d e dh o p fa l g e b r as t r u c t u r e so v e r a b 6 t r a c t p a t hc o a l g e b r a s ，t h a ti s ，o v e rf r e ep o i n t e dc o a l g e b r au s i n gh o p fq u i v e r sw h i c h a r ea n a l o g o u st oc a y l e yg r a p h s w j 如t h i si d e ao n em a yc t a s s i f yt h es e m i l a t t i c e p 口a d e dw e a kh o p fa l g e b r as t r u c t u r e so v e rt h ep a t hc o a l g e b r au s i n gt h ew e a k h o p fq u i v e rc o r r e s p o n d i n gt os o m ec l i f f o r dm o n o i d t h u st h ek - s p a no ft h e g r o u p - l i k ee l e m e n t sb e c o m e st h es e m i l a t t i e eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r a t h es e t o fg r o u p - l i k ee l e m e n t sa p p e a r st ob et h ec h f r o r dm o n o i dw h o s ee l e m e n t sa r e r e p r e s e n t e db yt h ev e r t i c e so ft h ew e a kh o p fq u i v e r b yt h em a i nr e s u l tt h e - o r e m3 3 5 w eh a v ea l s oo b s e r v e dt h a tac l i f r o r dm o n o i dc a nb es e e n t h e v e r t e xs e t o f a w e a k h o p f q u i v e r a n dh e n e e i t sa l g e b r a i sr e a l i z e da 8 as u b a l g e b r a o ft h ep a t ha l g e b r ao ft h eq u i v e ru n d e rt h em e a n i n go fi s o m o r p h i s m t h a s ，o n e c a nu n d e r s t a n d t h e n o t i o n o f w e a k h o p f q u i v e ra 8 a g r a p h i c a l v e r s i o n o f c l i f f o r d m o n o i d ( i i ) a f t e rg i v i n gd e f i n i t i o no ff i n i t “i m e u s i o n a ls e l f m u mw e a kh o p fa l g e - b r af d e l 4 1 2 ) w ec h a r a c t e r i s et h es e l f - d u a ls e m i l a t t i e eg r a d e dw e a kh o p f a l g e b r a , i np a r t i c u l a r ，w ec h a r a c t e r i z es e l f - - d u a l i t yo fc l i t t o r dm o n o i da l g e b r a ， ( a l s os t h e o r e m4 2 3 t h e o r e m4 2 4a n dp r o p o s i t i o n4 2 5 ) w ba l s o i n t r o d u c en o t i o no fs e l f - d u a lw e a kh o p fq u i v e r ( d e f 4 3 1 ) ，a n dh e n c ec h 鹦i f y t h es t r u c t u r e so fs e r f - d u a lw e a kh o p fa l g e b r aw h i c hi st h ep a t hc o a l g e b r a so fa f i n i t eq u i v e ra n da p p e a r st ob et h ep a t hc o a l g e b r ao ft h es e l fd u a lw e a kh o p f q u i v e r ( t h e o r e m4 3 1 ) b y 5 6 1 ，w ek n o wt h a tae l i f r o r dm o n o i da l g e b r aj sa s e m i l a t t i e e 盯a d e dw e a kh o p fa l g e b r aw i t ht h es e to fg r o u p - l f l c ee l e m e n t s 嬲t h e c l i t f o r dm o l l o i df s e et h e o r e l t l3 3 5 1 h e n e ew ec a nc o n c l u d et h a tt h es e to f g r o u p - l i k ee l e m e n t so fas e l f - d u a ls e m i l a t t i e e 廖a d e dw e a kh o p fa l g e b r af o r m s af i n i t ec o m m u t a t i v ec l i f f o r dm o n o i ds t h a sk sb e c o m e st h es e i f - d u a ls e m i - l a t t i c ef a d e dw e a kh o p fa l g e b r a t h es e to fg r o u p - l i k ee l e m e n t sa p p e a r st o h et h ef i n i t ec o m m u t a t i v ec l i f r o r dm o n o i dw h o s ee l e m e n t sa r er e p r e s e n t e db y t h ev e r t i c e so ft h es e l f - d u a lw e a kh o p fq u i v e r b yt h e o r e m4 3 2 ，a f t e r ( u s i n g t h e o r e m3 3 5 1 w eh a v ea l s oc o m et ok n o wt h a taf i n i t ec o m m u t a t i v ec h 肋r d m o n o i dc a nb es o e a st h ev e r t e xs e to fas e l f - d u a lw e a kh o p fq u i v e ra n dh e n e e i t 8a l g e b r ac a l lb er e a l t z e da sas u b a l g e b r ao ft h ep a t ha l g e b r ao ft h eq u i v e r ( s t h e o r e m4 3 1 1 t h u so n ec a nd e s c r i b et h en o t i o no fas e l f - d u a lw e a kh o p f q u i v e ra sag r a p h i c a lr e p r e s e n t a t i o no ft h ef i n i t ec o m m u t a t i v ec l i f f o r dm o n o i d f i n a l l y f o raf i n i t e - d i m e u s i o n a ip o i n t e ds e l f - d u a ls e m i l a t t i e e 廖a d e dw e a kh o p f a l g e b r a ，w ep r o v ep a r t i a l l yt h ec o j e c t u r eg i v e nb yn a n d r u s k i e w i t s c ha n d h 一j s c h n e i d e r 【5 ，c o n j 1 4 lf o ras e m i l a t t i e eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r a , i e ，i fhi saf i n i t e - d i m e i l 8 i o n a lp o i n t e ds e m i l a t t i e e 盯a d e da n de o r a d i c a 1 y 廖a d e d w e a kh o p fa l g e b r as u c ht h a tg r hi ss e l f - d u a lt h e nhi sg e n e r a t e da sa na l g e b r a b yi t sg r o u p - l i k ea n ds k e w - p r i m i t i v ee l e m e n t s ，( t h e o r e m44 1 ) ( i i i ) e l g t e e na n dd s o l b e r gi n v e s t k a t e ds o m es t r u c t t i r e 6o ff i n i r e - d i m e n s i o n a lb a s i ch o p fa l g e b r ao v e ra l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dk1 3 9 t h e y a l s od e f i n e dt h ec o v e r i n gq u i v e rr c ( w 1i nt e r mo faf i n i t eg r o u pga n daw e i g h t s e q u e n c ewa n dh e n c eg a v eac o n d i t i o nf o rt h ep a t hc o a l g e b r ao ft h ec o v e r i n g q u i v e ra n dt h ef i n i t e - d i m e n s i o n a lb a s i ch o p fa l g e b r a ，w 色c o n s i d e rt h ec a s eo f af i n i t e - d i m e n s i o n a lb a s i cs e m i l a t t i c eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r ao v e ra na l g e - b r a i c a l l yc l o s e df i e l d 七f i r s tw ed e f i n eaw e a kh o p fa l g e b r aw i t has t r o n g l y 肼州e dr a d i c a l ( d e f 5 2 1 ) t h e nw eg e n e r a l i z eac l a s s i c a lr e s u tt h a t ”hi sa a b s t r a c t f i n i t e - d i m e n s i o n a lb a s i ca n ds p l i th o p fa l g e b r ao v e raf i e l d 女i f , a n do l l l yi f , 日垒( k g f o rs o m ef i n i t e 耵o u pg ，f 2 2 1t h a ti s f o raf i n i t e - d i m e n s i o n a lb a s i c a n ds p l i ts e m i l a t t i c eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r ahs u c ht h a th i sw i t has t r o n g l y 耵a d e dr a d i c a l ，a n dri 8aj a c o b s o nr a d i c a lo fh ，t h e r ee x i s t saf i n i t ec l i 肋r d m o n o i dsw h i c ha p p e o r 8t ob eas e to fi s o m o r p h i s mc l a s s e so f1 - d i m e n s i o n a l h m o d u l e ss u c ht h a t 口一望( k s ) ( s e el e m m a5 24 ) s u c ha ne x i s t i n gc l i f - f o r dm o n o i dsw ec a l las t r u c t u r em o n o i do ft h ef i n i t ed i m e n s i o u r lb a s i ca n d s p l i ts e m i l a t t i c ef a d e dw e a kh o p fa l g e b r a w ea l s og i v eh e r et h el e f ta n dr i g h t a c t i o n so fh o nh w h i c hi l l a k 壁lht ob eak s - b i m e d u l e f u r t h e r ，w eo h - t a i ns o m es t r u c t u r e so faf i n i t ed i m e n s i o n a lb a s i cs e m i l a t t i c eg r a d e dw e a kh o p f a l g e b r ao v e ra l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dk ( l e m m a5 21 一l e m e n a5 2 8 1 i n f a c t w eo b t a i ns o m ef o r m u l a sf o rt h e s es t r u c t u r e sw h i c hh e l pt l t si nr e l a t i n gt h e f i n i t ed i m e n s i o n a lb a s i cs e m i l a t t i c eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r a 日o v e ra na l g e - b r a i c a l l yc l o s e df i e l dkw i t ht h ep a t ha l g e b r ao ft h eq u i v e rfa s s o c i a t e dw i t h 日w ja l s og i v eh e r ean o t i o no fw e a kc o v e r i n gq u i v e rr w ( s 1c o r r e s p o n d i n gt o ac l i f f o r dm o n o i dsa n dt h ew e i g h ts e q u e n c ew ( d e f 5 3 ，1 1a n ds h o wt h a ti t i sd u a lt ot h ew e a kh o p fq u i v e r ( p r o p o s i t i o n53 2 1 w ec l a s s i f yt h es t r u c t u r e o fas o m i l a t t i c e 口a d e dw e a kh o p fa l g e b r aw i t hr e l a t i o nt ot h ep a t ha l g e b r a o ft h ew e a kc o v e r i n gq u i v e r ( t h e o r e m5 3 ，4 1 f i n a u y , w e 嘲t h a tf o raf i n i t e d i m e n s i o n a ls e m i l a t t i c eg r a d e dw e a kh o p fa l g e b r ahw i t has t r o n g l yg r a d e d r a d i c a l t h e r ee x i s t saf i n i t ec l i f f o r dm o n o l dsa n daw e i g h ts e q u e n c ews u c h t h a th 兰k r w ( s ) 1f o rs o m ew e a kc o v e r i n gq u i v e rr w ( s 、a n df o rs o m ei d e a l j i n t h ep a t ha l g e b r ak r w ( s ) ，s u c h t h a tj ”，f o rn 22 ，w h e r e j i sa n i d e a lg e n e r a t e d 时纠t h ea f f r o w si sr w ( $ ，( s e ea l s ot h e o r e m5 3 6 ) ( ) m b e a t t i ee ta li 1 1f 7 1o b t a i n e dt h eo r ee x t e n s i o n so ft h ea l g e b r a o f 眦a h e l i a n 盯o u po fo r d e rp n 一1 w h i c ha p p e a r st ob ea ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l n o n - c o m m u t a t i v ea n dn o n - c o c o m m u t a t i v ep o i n t e dh o p fa l g e b r a t h eq u o t i e n t s o fs u c hh o p fa l g e b r a sa r eo fd i m e n s i o n 矿n 3 t h e ya l s oo b t a i n e dae o n d i - t i o nf o rt h en o n - i s o m o r p h i cc l a s s e so fs u c hq u o t i e n t sw ek n o wt h a tac l i f r o r d m o n o i d g i v e s u s a s p e c i a l c l a s s o f g r o u p s w h i c h f o r ma s e m i l a t t i c e o f t h e s e g r o u p s i nt h ec a s eo fp o i n t e ds e m i l a t r i c e 盯a d e dw e a kh o p fm g e b r a t h ea l g e b r ag e h e r a t e db yg r o u p - l i k ee l e