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叼上线性映射的拓扑熵 中文摘要 摘要 有理数域本质上只可以赋予两种不同的度量：种是阿基米德度量，即通常的绝 对值度量，而另一种是非阿基米德度量，即少a d i c 度量。q 在这两种度量下的完备化 分别得到实数域r 与p a d j c 数域姊域q p 上的分析学对研究数论，李群表示论甚至 理论物理都有重要意义 阿基米德度量下的动力系统自p o i n c 盯6 创始以来至今已有1 0 0 多年的历史近年来 出于对数论，理论物理和人工智能研究的需要，人们也开始关注p a d i c 空间上的动力 系统由于p a d i c 度量的非阿基米德性，使得这类系统表现出很多有别于实系统的有 趣性质 本文研究线性映射t ：q 孑_ q 爹的拓扑熵，并证明了 一 ( t ) = m a x 【1 0 9 p ，o ) ， t ：l 毗l p 1 ) 其中q c p 是t 的特征值 尽管该结论与欧氏空间r m 上线性映射熵的结论相似，但所使用的证明技术是不同 的相较实的情形，该证明过程更为简单直接 关键词：少a d i c 度量，( 竹，e ) 一生成集，( ) 一分离集，拓扑熵，线性系统 作者：周凤芹 指导教师：周友成教授 史恩慧副教授 ，工1 0 p o l o 百c a le n t r o p yo ft h eu n e a l rm a p o nq 罗 a b s t r a c t a b s t r a c t t h e r e 盯ej u s t ，e s s e n t i 赳l y t w od i 脑e n tm e t r i c s ：o n ei sa j c h i m e d e a nm e t r i c ，i e g e n e r a l l a b s o l u t ev a l u em e t r i c ，w h i l e ，t h eo t h e ri sn o n - 舡c b j 刷e a nm e t r i c ，i e p a d i cm e t r j c r h e c o m p l e t i o no fqu n d e rt h o 钾帕d i 酗e n tm e t r i c s 龃et h e6 e l dro ft h er e a ln u i i l b e r sa n dq 口 o f p a d i c 肌m b e r 8 ， a n a l y s i so ft h e 矗e l d i sv e ui i l l p o r t a n tt os t u d yn u i i l _ b e rt h e o r y ，r e p r e s e n t a t i o n0 f l 涪g r o u p 8a n dt h e o r e t i c a lp h y s i c a l i th 嬲b e e nm o r et h a n1 0 0y e a r s8 i n c ep o i i l c a 硝i n t r o d u c e dd y n 锄i c a ls y 8 t 印0 j su n d e r 舡c h i m e d e a nm e t r i ci n i nr e 8 e n ty e a 船，w r h e nt h en e e do fs t u d y i n gn u m b e rt h e 0 t h e o r e t i c a l p h y 8 i c a la n di n t e l l j g e n t 蒯8 铝，m o r e 日髑r e l yo nd y n 锄i c a ls y s t e r n so np a 出cs p a o 馏d u e t on o n a r c h i m e d e 蛆0 fp 砌cm e t r i c ，t h 船es y s t e m sh a v em 锄yi n t e 瑚t i n gp r o p e r t i 鹤t h a t d i f f b r e n t6 砌t h o s eo ft h er e a ln u 1 b e r s t h i s s a ys t u d i e dt o p o l o 百c me n t r o p yo ft h el i n e a rm a p t ：q 孑_ q 罗，龃dg e t ( = m a x l o g i 啦i p ，o ) ， ：l q b 1 ) w h n e 啦c pa r ee i g e n v a l u 瞪o f t e v e 皿i ft h er e s u l ti ss i m i i 盯t ot h eh n e a rm 印o fr m ，b u tt h ea r to ft h ec e r t m c a t i o ni s d i 妇衙e n t c 锄p a r et ot h er e a lc a s e ，t h i 8c e r t i f i c a t i o ni sm o r eb r i e fa n dd i r e c t k e ”y o r d s ：p a d i cm e t r i c ，) 一s p a n l l i n g t ，( 佗，) 一p a r a t e d 跎t ，t o p o l 晒c a le n t r o p 弘 n n e a r8 y s t 锄 w r r i t t e nb yz h o uf e n 争q i n s u p e r v i s e db yp r o f z h o uy 0 u - c h e n g a j l dp r o s h ie n - h u i i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名= f 弛啉幽盟7 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：啦魄 名：衅 叼上线性映射的拓扑熵 第一章引言 第一章引言 1 9 6 5 年r l a d l e r ，a g k o n h e i m 和m h m c a n d r e w 对于紧致拓扑空间上的连续 自映射引进拓扑熵”1 9 7 1 年r b o w e n 用生成集和分离集对一致连续映射定义了拓 扑熵 2 ，3 】拓扑熵是拓扑动力系统的重要数值不变量，也是系统混乱程度的个数值 量度。自拓扑熵引进以来，已得到广泛而深入的研究，并对动力系统的各个分支都产 生了深远的影响 拓扑动力系统中，如何估算一个系统的拓扑熵以及探索拓扑熵与各种动力性质的关 系都是基本的研究课题例如，在文献【3 】中，区间和圆周自同胚，符号系统，紧群仿 射作用，流形上光滑映射以及p 上线性映射的拓扑熵的计算和估计都进行了详细的 论述文献 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 】中，人们也研究了树映射和一些连续统映射的拓扑熵的估 算关于拓扑熵与动力性质的联系，有下面几个著名的结论：可扩系统具有有限熵【3 】； 正熵蕴含l i - y o r k e 混沌 1 0 】；特别地d i s t 出系统具有零熵对于区间映射，零熵当且仅 当周期点的周期都是2 的方幂 1 1 ，1 2 ，1 3 】 h e n s e l 出于对数论的研究最早引进了少a d i c 数它是有理数按p a 出c 度量的完备 化随后，p a d i c 域上的分析得到了广泛的发展 1 4 ，1 5 】近年来，出于对复动力系统， 数论，理论物理及人工智能等方面的研究，人们开始考虑p a d i c 空间上的动力系统 这方面已经获得了很多深入的结果，见 1 6 _ 1 9 ，2 0 】但是，p 砌c 空间上连续映射熵理 论的研究还未见开始 对于线性映射s ：r m _ r 一的拓扑熵有以下的经典结论。 抑( s ) = m a x 【l o g m o ) t ：k i 1 其中眦c ，i = 1 ，2 ，是s 的特征值( 重数计算在内) 见【3 ，c h 8 ，定理1 4 】 自然我们有下面问题：对于线性映射t ：q 罗_ q 孑， 卸( t ) = 7 本文我们研究这 一问题并得到了类似结论 叩( t ) = m a x l o g 锄j p ，o ) t t ：l 毗i ， 1 其中毗q ，i = 1 ，2 ，是t 的特征值( 重数计算在内) 对于实的情形，证明是较为复杂的但对于p a d i c 情形，由于度量的非阿基米德 性，使我们的证明反而变得简单直接通过矩阵计算就可以得到该定理 1 叼上线性映射的拓扑熵 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 度量空间( 哂，) 的基本知识 通常n ，q ，z ，r + 分别表示自然数，有理数，整数，正实数这篇文章中我们也采 用这些记号并且，如果给定一个素数p n ，姊表示有理数域q 在p a d i c 度量下的 完备化，砀为姊的单位闭球，定义为z p = o 为半 径的球记作b ( 口，r ) 并且所有这样的球构成了q p 上的一组可数基 2 2 拓扑熵的基本知识 设伍，d ) 是度量空间， t ：x x 是上一致连续变换， 佗n 定义x 上度量 d n ：厶( z ，) 2o 孽祭1 d ( ，( z ) ，( 可) ) ：z ，可x ) 可以验证厶下以z 为心，r 为半径 n 一1 的球是口( 毛r ) = nt - b ( p ( z ) ，r ) 以下? 都是指x 上一致连续变换 = 0 定义2 2 设扎n ，e o ，k 是x 的紧子集，x 的子集f 称为k 关于t 的( 佗，) 一 生成集，若任意的z k ，存在耖f ，满足厶( z ，可) 即 kcunt - 噜日( 2 1 ( ) ，e ) 1 ，f t _ 0 令( e ，k ) 表示k 关于r 的( n ，e ) 一生成集的最小基数，定义r ( ，k t ) ：l i m 。u p 垫塑趔 注2 1 ( e ，k ) o ，f _ n ( ，k ) o ，r ( ，k t ) o 有如下性质： p ，) 如果e l e 即集合nt 一百( p ( 可) ，e ) 不包 含e 中其它点令s 。( e ，k ) 表示k 关于t 的( 竹，e ) 一分离集的最大基数，s ( ，k ，t ) = 甥罂华定义九( k 砷= 舰s ( ，k ，t ) ，九( 砷= s ? 舰s ( ，k t ) 注2 2 由以上定义可以看出，k 关于t 的( 死，e ) 一分离集也是k 关于t 的) 一 生成集我们设e 是k 关于t 的( 竹，e ) 一分离集，任意z k ，- 取! ，e ，使得 如( z ，g ) e 若z e ，取可= z ；若z 喾e ，由e 是k 关于t 的m ，e ) 一分离集，任意 取可e 都满足d n ( 。，耖) e 注2 3 p j ( e ，k ) s 。( ，k ) ( 三，k ) ； 俐如果1 s ( ，t ) sr ( e 2 ，k t ) ； 俐如果e 1 e 2 ，则s ( e 1 ，k t ) s ( 2 ，k ，t ) 由此，动力系统( x ，t ) 的拓扑熵 ( t ) 也可以由( n ，e ) 一分离集定义下面计算用( 礼，e ) 一 生成集来做 4 q 多上线性映射的拓扑熵 第三章主要结果 3 1 叼上的p a d i c 范数 第三章主要结果帚= 早土簧玷禾 设域q p 为q 关于p a d i c 度量的完备化q 罗为q p 的m 次直和，那么q 罗自 然成为锄上m 维的线性空间，现定义q 罗上的范数j p 如下： ( ，z m ) i | p21 燃他协 其中( z 1 ，z m ) q 罗则( q 罗，p ) 成为一个赋范线性空间，p 自然诱导了q 罗上 的度量 d ( ( z 1 ，一，z m ) ，( 秒1 ，) ) = i i ( z 1 一耖1 ，z m 一) i i p 其中( z 1 ，z 。) ，( 分1 ，协n ) q 罗 命题3 1q 罗上任意两个范数，i i 都是等价的，即存在o c c 使得对任 意z q 罗，都有 c l i z | | i j l z i | i o 的球，满 七七 足鼠n 风= 口，i 七，彰n 耳= d ，歹。，并且b ( o ，1 ) 2 些鼠2 旦巧，则必有七= ， 并且对每个i ，有唯一的五使鼠= 黾 由命题3 4 及3 6 ，得到； 命题3 7 对每个非负整数f ，q 罗中单位闭球b ( o ，1 ) 可以唯一地分解成州个半径为 p 一的闭球的并 证明： 唯性由命题3 6 保证，存在性由命题3 4 ，每个邵可以分解成一个半径为 p 一2 的闭球 鼠：1 i p 1 ) 的不交并于是 鼠。b i 。) ：t l ，i 仃。 o ，1 ，p 。】_ ) 为b ( o ，1 ) = z p z p 的一个半径为p l 的闭球的互斥分解证毕 3 2线性系统熵的两个基本事实 设f 是的一个有限扩域，并带有3 1 节中的范数p 6 q 爹上线性映射的拓扑熵 第三章主要结果 命题3 8 设t ：p _ f 为一线性映射，为p 上任一固定范数，记k = z p ： 忪| j 1 ) 为更仉中单位闭球，则 ( f m ，t ) = ( k ，t ) 证明：对于任一紧集k 7cf m ，取c f 使得k 7cc k ，则 九( k 7 ，t ) h ( c k ，t ) 又易见，s 为k 中( n ，e ) 一生成集当且仅当c s 为c k 的( n ，芘) 一生成集这样k 中 ，) 一生成集的最小个数等于c k 中( 扎，) 一生成集的最小个数，由熵的定义知， ( 墨? ) = ( c 瓦t ) 于是九( k ，t ) ( 耳，卵，这时 九( ”，t ) = s u p h ( k 7 ，t ) h ( k ，t ) 危( 砸帆，t ) ， 矗7 所以 ( 砸”，t ) = 7 l ( 墨t ) 证毕 命题3 9 熵h ( f t ) 与f m 上的范数选取无关 证明：设1 与2 为p 上任意两个范数，则由命题3 1 知它们是等价的，即存 在0 c m ，直接计算得到，等于 8 、l， k 冀荔 1 一 k 矿 卜以 一 q 凹 一十 一 m 一 一 一k + 卜 n k 一 卜以 一 咖! ! | + h 一 啊如 ，l 凹上线性映射的拓扑熵 第三章主要结果 这样对任意z ，f m ，有 厶( z ，可) =o 撩1 d ( ( z 1 + t 口t 一1 2 2 + + e r 一1 分一m + 1 z m ，z m ) ， ( 8 1 + i 一1 耽+ + c p 一1 m + 1 ，d 鲕) ) =o 凛1 m a x d ( 。z 1 + 主一1 2 2 + + 叼一1 一竹i + 1 。m ， o 暑，1 + t 一1 掣2 + + c ：一1 n 一m + 1 ) ，d ( n 。m ，) ) 。o g 聚1 憎( z 1 一秒1 ) + i o 1 ( z 2 一抛) + + o 。( 一) ，矿( z m ) | f p 。o 器l m a x i i o ( z 1 一1 ) + i 0 | 一1 ( z 2 一抛) + + ( z 仇一m ) i p ，i i ( z 。一鼽竹) i i 口) ( 车) 情况1 l p 1 因为谚zcz p ，故i 四i p 1 于是上式 。牌1 m a x 【l i z l 一秒1 l i p ，i i z m 一妙m i i p ) i z 一分f | p = d ( z ，可) 这样，映射t ：p _ p 是压缩的，进而 ( t ) = 0 情况2 i p 1 假设忙一耖p = 忪七一弧对某个七【1 ，仇) ，那么i 陬一鲰 i k 一奶任意1 t m 于是，由命题2 1 知 i i n i 岳i 陋七一鲰i f p = f f ( z 知一鲰) + t 一1 ( z + 1 一弧+ 1 ) + + c p 一七一m + 七( m 一鲕) i i p 由( 事) 知 厶( z ，秒) 2 o 瓣1 愀z 七一鲰) i i p = i i o n 一1 ( z 七一讥) i i p = i | n i i ；一1 d ( z ，可) 令k = z f m ：叫i p 1 ) 为f m 中单位闭球，k 为f 中的单位闭球，则k = k z p z p 由命题3 9 知，若scf m 为k 的个最小基数的( n ，p 一) 一 、v 。、- 一_ 一 mt t m e 8 m 埔懈 11 生成集，则k 2 望取霸两啬i 尹) ，并且这些闭球口o ，两啬萨) z 毋是两两互斥 的，l 为正整数由命题3 3 和命题3 6 知s 的基数移( s ) = 詹1 ) 删证毕 9 叼上线性映射的拓扑熵 第三章主要结果 3 4线性映射的熵 设a 是q 多上的线性映射，并且a 是形为 陵1 至) 的矩阵，其中姊，i ，歹= 1 ，2 ，m 根据前面的结果，我们要把它转化成若当型矩 阵来计算首先， 命题3 1 0 设( x ，d ) 是非阿基米德的，t ：x x 是连续线性映射，则d r i 也是非阿 基米德的，其中厶如2 2 节中定义 证明：任意z ，玑z x ，计算d ，l ( z ，耖) ： 如( z ，秒) 2 1 瓣1 d ( p ( z ) ，r ( y ) ) ，磐磐，m a x d ( r ) ，p ( z ) ) ，d ( p ( z ) ，p ( 可) ) ) 一1 t n 一1 、“、“、“ = m a x ，翌鲜， d ( r ) ，r ( z ) ) ，d ( p ( 名) ，p ( 妙) ) ) 1 l n 一1 、。 。 = m a x ，j 眵x ，d ( p ) ，p ( 名) ) ，恶鲜，d ( p ( z ) ，p ( 3 ，) ) ) 、1 n 一1 、 。1 n 一1 、，7 = m a x f 厶( z ，z ) ，d n 阮剪) ， 得证 。卜- 三) 百( z ，p 一) = 百( z 1 ，p 一。) 百( z 七，p 一。) 1 0 q 多上线性映射的拓扑熵 第三章主要结果 易见 百( z ，p 一2 ) ：z 易，d 构成了对k 的一个互斥闭球分解，所以由命题3 7 知，磊z 是k 的最小基数的( 礼，p 一) 一生成集，且孝( 玩1 ) = 直t ；- 1 ) 眦d ，这样再结合定理 3 1 得 懈刃= 恕紫警掣 知 死i d f i o g p + ( 佗一1 ) l o g o i i i p 】 = m a x 。魄唑翟堕f 一，o ) _ o 。n _ 7 = m a x 。骢删o g 七 = m a x 【d l o g 蚓i p ，o ) 七 由命题3 8 知， ( f m ，t ) = ( k ，t ) = m a x n 扣l o gi k o ) 证毕 t = l 设a ：q 罗_ 叼是一个线性映射，域f 为q p 的一个d 次扩域， d 1 ， 1 2 昭上线性映射的拓扑熵 第四章小结 第四章小结 本文仅就q 孑上线性映射的熵作了计算，而p a d i c 空间上非线性映射的熵理论还 是一个完全未知的领域进一步的研究自然是考虑p a d i c 域姊上连续自映射的熵的 计算以及讨论拓扑熵与各种动力学性质之间的关系。 1 3 q 多上线性映射的拓扑熵 参考文献 参考文献 【1 】a d l e rr l ，k o n h e 洫a g 锄dm c a n d e r e wm h ，t 0 p o l 嚼c 出e n t r o p y n a n s a m e r m a t h s o c 1 9 6 5 ，v b l u 4 ，3 0 皿3 1 9 【2 】b a w e nr ，t o p o l o 百c a | 印t r o p ya n d 两o ma p r o c s y m p p u r e m a t h ，1 9 7 0 ，v 0 1 1 4 ，2 孓 4 1 【3 】w h l t e r sp ，a ni n t r o d u c t i o nt oe r g o ( n ct h e o r y s p r i n g e r ，1 9 8 1 ，1 6 4 2 0 6 【4 】y e a n g d o n g ，t o p o l o 百c a le n t r o p yo fat r a 舳i t i v em 印so fat r 朗，数学进展， 1 9 9 6 【5 】y e a n g d o n g ，i o p o 姆c a le n t r o p y0 ft r 衄s i t i v em 印so fat r e e e r g o d i ct h e o r yd y n 锄 s y s t e l s2 0 0 0 ，、u 2 0 ，n o 1 ，2 8 9 _ 3 1 4 【6 】l t l j i e ，) 【i o n g j i i l c h e n ga n dy ex i a j l g d o n g ，a 卫e q u i v a l e n tc o n d i t i o nf o r n t i 加 0 l 璐m a p 8o fac l a s 8o fc o n t i n u at oh a 、他z e r ot o p o 蛔c a le n t r o p 弘t s u k u b aj m a t h 1 9 9 9 ，v b l 2 3 ，n o 3 ，5 3 5 0 【7 】y e ) 【i a n g d o n g ，n o ( 1 i v i s i o n 蚰dt h ee n t r o p yo ft r m 印s d 娃眦e t ed y n 锄i c ms y s t e 强 i n t e m a t j b i f u r c h a o sa p p l s d e n g r g 1 9 9 9 ，v b l 9 ，n o 9 ，1 8 5 9 _ 1 8 6 5 8 】k a t oh t o p o l 0 西c a le n t r o p y0 fm a p s 蚀r e g i l l a rc u n ，t o p o l o 盯a p p l 2 0 0 7 ，v 0 1 1 5 4 ， n o 6 1 0 2 卜1 0 3 1 【9 】k a t oh t o p o l o 舀c a le n t r o p yo fp i e c e w 幽e m b e d d i n gm 印8o nr e g u l a rc u r v 铝e r g o d i c t h e o r yd y n 锄s y s t e n l s2 0 0 6 ，v 0 1 2 6 ，n o 4 ，1 1 1 5 _ 1 1 2 5 【1 0 】b l 龃c h a r df ，g l a s n 盱e ，k o l y a d as 如dm a 嘲a ，o nl i - y o r k ep 幽，j 鼬i n e a n g e w m a t h 2 0 0 2 ，v 0 1 5 4 7 ，5 1 - 6 8 1 1 】熊金诚， m i 8 i u r e 丽定理的一个简要证明中国科学技术大学学报， 1 9 8 2 ，v r 0 1 2 7 ，5 1 3 - 5 1 4 【1 2 】周作领，小熵猜测的一个证明中国科学( a 辑) ，1 9 8 4 ，v 0 1 1 0 ，8 8 孓8 8 9 【1 3 】m i s i u r e 呐c z m ， h o 联s h o 瞪f o r m 印p i n g o f t h e i n t e m a l ， b u u a c a d p o l o n s c i s e r s d m a t h 1 9 7 9 ，v 0 1 2 7 ，1 6 7 - 1 6 9 【1 4 】王电r n a n d oqg o u v 芭a ，p a d i cn u m b e r 8 ：a ni n t r o d u c t i o n s p r i n g e r ，1 9 9 7 q 多上线性映射的拓扑熵 参考文献 1 5 】r d b e r ta m ，ac o u r s ei np a d i ca n a l y s i s s p r i n g e r ，2 0 0 0 ，6 9 7 4 ，9 1 9 2 ，1 2 1 【16 】k h r e 皿i k o v ，a n d r e iy - ua j l dm a r c u sn ，p a d i c d e t e r m i n i s t i ca n dr a n d o md y n a m i c s m a t h e m a t i c sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，5 7 4 k l u w e ra c a d e r n i cp u b l i s h e r s ，d o r d r e c h t ，2 0 0 4 【17 】a i h u a ，l im i n 分t i 锄，y 抽，j i 跏y a na n dz h o ud a n ，s t r i c te r g o d i c i 毋o fa m n ep a u d i c d y n