（基础数学专业论文）变分不等式与平衡问题(1).pdf

变分不等式与平衡问题 基础数学专业 研究生屈德宁指导教师丁协平 本文主要对非线性泛函分析中的几个热点问题作了进一步的分析和研究， 对已有的结果进行了统一和推广 首先，我们应用辅助似变分不等式技巧，解决了自反b a n a c h 空问中的一类 非线性混合似变分不等式解的存在性，通过迭代法则计算其近似解，并证明迭代 序列的收敛性 同时，我们利用集值映像的连续选择定理和不动点定理，在拓扑矢量空问 r 1 1 建立了一类关于集值映像的拟平衡问题和广义拟平衡问题的平衡点的存在性 定理，推广了某些相应的结果 最后，我们还利用拓扑空间中的广义r k k m 型定理和有限连续空问中的 k k m 型定理，在有限连续空间中建立了一类抽象广义矢量平衡问题的平衡点的 存在性定理 关键词：非线性混合似变分不等式；辅助似变分不等式； 迭代法则；拟 平衡问题；广义拟平衡问题；连续选择： k k m 性质；( 弱) 向量 极小点；s - d - 拟凸关系；有限连续空间； 抽象广义矢量平衡问题 v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e sa n d e q u i l i b r i u m p r o b l e m s m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t e d e n i n g0 u s u p e r v i s o rx i e p i n gd i n g t h i sp a p e rm a i n l yf u r t h e rs t u d i e ss e v e r a lf o c u sp r o b l e m si nn o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i s ，u n i t e sa n dg e n e r a l i z e ss o m e k n o w nr e s u l t si nr e c e n tl i t e r a t u r e a tf i r s t u s i n ga u x i l i a r yv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fa c l a s s o fn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l 1 i k ei n e q u a l i t i e s ，c o m p u t et h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n so f i t b yt h e i t e r a t i v ea l g o r i t h m sa n ds h o wt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e i n r e f l e x i v eb a n a c hs p a c e a lt h e s a m et i m e ，b ya p p l y i n gt h ec o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e ma n df i x e dp o i n t t h e o r e m ，w ee s t a b l i s h t h e e q u i l i b r i u mp o i n t s e x i s t e n c e t h e o r e m so fac l a s so f q u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m s a n d g e n e r a l i z e d q u a s i 。e q u i l i b r i u m p r o b l e m s f o r m u l t i m a p s ，a n dg e n e r a l i z es o m ec o r r e s p o n d i n g r e s u l t s a t l a s t ，b ya p p l y i n g t h eg e n e r a l i z e dr k k mt y p et h e o r e m i nt o p o l o g i c a ls p a c e s a n dt h ek k m t y p e t h e o r e m si nf c s p a c e s w ee s t a b l i s he q u i l i b r i u mp o i n t se x i s t e n c e t h e o r e m so fac l a s so fa b s t r a c tg e n e r a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s i nf c s p a c e s k e yw o r d s ：n o n l i n e a r m i x e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ； a u x i l i a r yv a r i a t i o n a l _ l i k e i n e q u a l i t y ； i t e r a t i v e a l g o r i t h m ； q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m ； g e n e r a l i z e d a u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m ； c o n t i n u o u ss e l e c t i o n ； k k m p r o p e r t y ；( w e , , d d y ) v e c t o rm i n i m a l p o i n t ；s - d q u a s i c o n v e x r e l a t i o n ；f c - s p a c e ； a b s t r a c t g e n e r a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u m 第一章前言和预各知识 1 1 前言 第一章前言和预备知识 在现代非线性分析中，变分不等式及其应用具有非常基础和重要的作用 上个世纪6 0 年代，h a r t m a n 和s t a m p a c c h i a 等人在刨建变分不等式理论的基 础时提出和研究了第一个变分不等式 1 ，即h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等 式，并在有限维空间讨论解的存在性，后来被b r o w d e r 和l i o n s 等人推广到 无穷维空间【2 撕】，并把所得的结果应用于研究力学、控制论、经济数学、对 策论、微分方程和最优化理论中的许多重要问题【5 7 】1 9 8 1 年，g w i n n e r 8 借助k k m 定理及其推广形式研究了一类抽象变分不等式，中k yf a n 极大极 小原理就是其中一个很重要的推论接着，s h i h ，t a n 9 ，c h a n g ，z h a n g 1 0 和丁 11 等人研究了多值单调映像的b r o w d e r h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不 等式，张，向【1 2 】等人讨论的双线性型变分不等式解的存在性同时也有很多 人在文 1 3 的基础上继续在b a n a c h 空间的闭球，b a n a c h 空间的球面以及锥 上的凝聚映像 1 4 1 6 ，或局部凸空间 1 7 讨论了k yf a n 变分不等式另外， b e n s o u s s a n 和l i o u s 1 8 ，1 9 1 在研究与随机脉冲有关的某些问题时最早提出了 拟变分不等式，1 9 8 2 年c h a n ，p a n g 2 0 ，, v 讨论了集值映像的拟变分不等式； 后来，s h i h ，t a n 2 1 1 ，k i m 2 2 】等人讨论了广义拟变分不等式，c h a n g ， z h a n g 1 0 1 ，k i m 2 1 等人也进行了深入地研究；1 9 8 9 年p a r i d a ，s e n 2 3 研究 了更一般的集值映像的似变分不等式；1 9 9 1 年张和舒【2 4 】研究了集值映像的 拟一似变分不等式后来，还有很多作者在此基础上，除了讨论变分不等式解 的存在性，还研究变分不等式的各种算法莠证明算法的收敛性。近来， d i n g 2 5 3 0 ，h u a n g 3 1 等人在h i l b e r t 空问中的研究了似变分不等式问题， d i n g 3 2 3 4 ，陈 3 5 和邓 3 6 等人在b a n a c h 空间中也进行了讨论，在文 2 5 3 6 的启发之下，第= 章讨论了自反b a n a c h 空间中的类非线性混合似 变分不等式解的存在性和算法及其收敛性 1 9 9 4 年b l u m ，o e t t l i 3 7 研究了平衡问题：找i x ，使得， ，y ) z 0 ， 兰二里塑塞塑堡鱼垫堡! v y e x ，其中x 是给定集，x x r u + o o 是给定泛函且肛，工) = 0 ，v x z 后来，很多人研究了拟平衡问题：找i u s 何) ，使得，何，y ) 0 ， w 5 ) ，其中x 和，同前定义，s ：x 一是给定的具有非空值的集值映 像同时，有很多人进一步研究了广义拟平衡阃题：找冤s 侮) 和歹丁( 王) ， 使得妒( i ，萝，z ) 之0 ，v z e s ) ，其中z 和s 同前定义，y 是给定集，r ：x 一 2 是集值映像，弘x y x r u + * ) 是给定泛函这些类型的平衡问题包 括了变分不等式、优化问题、鞍点问题、非合作对策的n a s h 平衡、不动点 问题、凸微分优化、相补问题等等，详细见 3 7 进一步地，l i n ，y u 3 8 ，3 9 1 研究了下面的拟平衡问题：找j e s 暖) ，使得z 一i n t d ，v z f ，“1 和 v “s ( i ) ，其中石和s 同前定义，d 是实拓扑向量空间z 的一个点闭凸锥 且一i n t d 妒，f ：j x 一2 2 且触，z ) c d ，v x x ；和广义拟平衡问题：找 i s ( 2 ) 和y e t 辑) ，使得z 圣一i n t d ，y z e f 何，y ，“) 和v h s 何) ，其中x ， y ，s ，d 和z 同前定义，f x y x 一2 0 且f ( x ，y ，x ) d ，v 工并，y y 第i 章将在文 3 8 4 0 基础上，用集值映像d ：工一2 2 满足对任意的的j x ， d “) 是z 中的一凸锥来代替 3 8 4 0 1 中的凸锥d ，讨论了拟平衡问题和广义拟 平衡问题，推广了3 8 4 0 w 相应的结果 同时，基于矢量变分不等式的广泛应熙，l 9 8 0 年g i a n n e s s i 4 1 在有限维 欧氏空间对之进行了研究由于广义矢量平衡问题在矢量优化、优化控制、对 策论和经济平衡问题方面发挥了重要作用( 如3 e 4 2 ，4 3 1 ) ，所以它成为了一个 非常重要的发展方向，从而许多作者在不同方面对此问题进行了研究( 如文 f 4 4 4 9 】) 后来，又有很多人讨论了抽象广义矢量平衡问题：设x 是拓扑空间， nz 是非空集，rx x 一2 2 和c ：x 一2 2 是集值映像，找j x ，使得 f 何，y ) 旺c ( e ) ，v y y ，比如，d i n g ，p a r k 5 0 ，5 1 】研究了x = y 的情况： d i n g ，p a r k 4 8 讨论了在g 一凸空间中的情况第四章在 4 8 基础上，利用1 5 2 1 中弓 入的f 一义r - k k m 型定理和1 5 3 q a 的k k m 墅定理的特殊结论，在有限连 续空间中建立一些新的抽象广义矢量平衡问题的平衡点的存在性定理，把 4 8 的某些g 一凸空间中的结论推广到了有限连续空间 第一章前言和预备知识 1 2 记号与用法 r 西 r l ( ，一) n j 乱 i n t a 爿 c o ( a ) _ x hr & ) s u p f l x c c l ) c l n 酗 实数集 空集 x 的对偶空阳j 或共轭空间 x 和中的范数 绝对值 x 与中元素的配对 非空集黑的一切子集的簇 非空集x 的一切非空有限子集的簇 以e o ，e 1 ，e 。为顶点的n - 维标准单形 集一的内部 集4 的闭包 集爿的凸包 弱收敛 作为z 的函数 上确界 f 在x 上的限制 集月的紧闭包 a n k 在k 中的闭包 第二章 b a n a e h 空间中的一类非线性混合似变分不等式4 第二章 b a n a c h 空间中的一类非线性混合似变分不等式 本章分三部分研究b a n a c h 空间中的非线性混合似变分不等式，其中第一 部分是预备知识，第二变分解决了非线性混合似变分不等式解的存在性；第三 部分利用辅助似变分不等式技巧，研究了非线性混合似变分不等式解的算法和 通过该迭代法则计算其近似解，并证明了迭代序列的收敛性这些推广了许多 文献中的相应结果 2 1 预备知识 设z 是b a n a c h 空间，足是z 的非空紧凸子集 设s ，r ：k 一，f ：足一x ，：f 一和竹：k x k x 是5 个 单值映象设泛函b ：x x r u + o o 满足： ，( a ) 6 缸，y ) 关于第二变量凸； ( b ) 存在1 ， o 使得b 满足： b ( x 。，y 。) + 6 ( z ：，y ：) 一b ( z 。，y ：) 一6 ( x 。，_ ) ，。) z 一，i 卜。一x ：| | l l y ，一y ：1 1 ， 魄i ，工2 ，y 1 ，y 2 工；( 2 1 1 ) ( c ) 6 0 ，0 ) = 0 和b ( o ，) ，) = 0 ，v 工，y x ； ) x b - - ) b ( f x ，) 是凸的 考虑下面非线性混合似变分不等式问题：对给定尸e x * ，找覃e k 使得 ( j v ( 断，r s ) + ，+ ，叩( y ，i ) ) + 6 ( 而，y ) 一6 ( 瓜，i ) z0 ，v y k ( 2 1 2 ) 下面给出一个满足上述条件( a ) 一( d ) 的例子： 例分别定义6 ：r r r 和f ：r r ：6 ，y ) = 忙一一1 l x ( x 1 + y 2 1 ) 和风- , 1 + x 2 ，则b ( x ，y ) 满足上述条件( a ) p ) 注1 2 1 若泛函b ：x x r u + o 。 满足以下四个条件： ( j ) 6 _ ) ，) 关于第一变元线性；( j i ) 6 0 ，y ) 关于第二变量凸； ( i i i ) b ( x ，y ) e y l k 8 i l y l l ，v x ，y x ；( i v ) b ( x ，y ) 一6 体，z ) s b o ，y z ) ，v x ，y ，z e x 则6 ：x x r u + o o 满足上述条件( a ) 一( d ) 故泛函6 ：x x r u + o 。 第二章b a n a c h 空问中的一类非线性混台似变分不等式5 关于第一变元不必是线性的，削弱了文 2 5 2 8 ，3 1 3 3 ，3 6 1 中的线性条件 特例若f = ，其中f 为恒等映象， ( 1 ) 问题( 2 1 2 ) 退化为：对给定的，4 ，找e e k 使得 ( ( 断，z i ) + ，+ ，7 ( y ，i ) ) + 6 ( i ，y ) 一b ( z ，i ) 苫0 ，v y k ， d i n g 【3 4 1 已经在自反b a n a c h 空间中研究这类非线性混合似变分不等式 ( 2 ) 若n ( ，t x ) = s x t x ，则问题( 2 l 2 ) i p x 化为：对给定的，+ j ，找 i k 使得 ( s ：i z i + ，+ ，n ( y ，i ) ) + 6 ( i ，y ) 一b ( z ，i ) 0 ，v y k ， 邓3 6 1 已经在自反b a n a c h 空间中研究这类混合似变分不等式 ( 3 ) 若n ( s x ，t x ) = s x t x 和6 ，y ) = ，) ，则问题( 2 1 2 ) 退化为：对给定的 ，4 ，找i k 使得 ( s i z i + ，+ ，r ( y ，i ) ) + f ( y ) 一，( i ) 0 ，v y k ， 在文【3 3 ，3 5 】已经研究自反b a n a c h 空间中这类非线性似变分不等式 定义2 1 1 称映象f ：k x 是v f - l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数 r f 0 使得 1 1 f x 一毋s t f i 卜一y l ，v x ，y k 类似定义映象r ：k 一是r t l i p s c h i t z 连续的 定义2 1 2 称映象叼：k x k xr , r - l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数功 0 使得 ( 工，y ) l is 忙一y l ，v x ，y k 定义2 1 3 设s ，死x j ，聿均是单值映象，称映象：一 ( i ) 3 0 1 对第一变元关于s 是部分松弛量一吁- 强单调的，如果存在常数虽 0 使得 ( n ( s x ，) 一n ( s y ，) ，叩0 ，y ) ) 芑一昌忙一z 旷，v x ，y ，z k ； ( i i l 对第二变元关于r 是 卜矿强单调，如果存在常数曼 0 使得 ( ，z 的一( ，黟) ，露 ，y ) ) 2 亭：悻一y 8 2 ，v x ，y k ； 1 关于第二变元是6 一l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数6 0 使得 l 一( ，“) 一( ，v ) i | s6 怯一v i i ，v “，x 注2 1 2 在定义2 1 3 的( i ) 中，如果z = x ，可知映象：j x 一对 第一变元关于s 足单调的 引理2 1 1 1 5 4 1 设x 是拓扑矢量空间中一非宅凸子集，若泛函妒：x x x 里三要 墅! ! ! ! 室塑主塑二鲞! ! 些壁堡鱼型茎坌至兰茎! f - 鸭+ * 】满足： ( i ) 对任一固定工并，y h 瓣，y ) 在z 的某一一紧子集上是下半连续的； ( i i ) 对任意有限集忸l 娩，粕 c x 和任意y ；妻秘。，( f 。0 ，妻f 。= 1 ) 有m i n 伊“，y ) s0 ； ( i i i ) 存在x 的一非空紧凸子集硒和一非空紧子集凰使得存在x c o ( x o u 忸 ) 使稹k y ) 芑0 ，v y m 岛 则存在y o 凰使得毗，y o ) s0 对任意工彳成立 2 2 非线性混合似变分不等式解的存在性 定理2 2 1 1 5 5 】设x 是自反b a n a c h 空间和k 是x 的非空闭凸子集假设 s ，r ：k 一，f ：k 一工，：驴p r 和叩：k k x 足5 个单值映 象，以及泛函6 ：x x 盖一r u + m 满足： ( i ) 映象f ：k 一工和丁：k j ? 分别是t f 一和印一l i p s c h i t z 连续的； ( i i ) 映象x f - n ( s x ，r x ) 在，l 是从弱拓扑到强拓扑连续的，其中s ：k 一 是单值映象； ( i i i ) 映象：x + 驴一j 关于第二变元是6 - l i p s c h i t z 连续的，对第一变 元关于s 是部分松弛量俨强单调的和对第二变元关于r 是 矿强单调的； ( i v ) 映象t 7 ：k k x 满足： ( a ) 叩( ，) 是r _ - l i p s c h i t z 连续的，且叩0 ，z ) = 帐，y ) + 叩o ，z ) ，v x ，y ，z 匕 ( b ) x h 诫- ，x ) 是从弱拓扑到弱拓扑连续的， ( c ) 对任意固定的x k 和z 4e x * ，y 卜臼+ ，枢，y ) ) 是凸的； ( v ) 泛函6 ：x 工一r u + 。 满足条件( a ) 一( d ) 使得曼 v v f 则对给定的广，非线性混合似变分不等式问题( 2 1 2 ) 有唯一解 i k 证明：定义泛函9 ：k k 一( 一0 0 ，+ 叫如下； 妒o t ，工) = ( u ( s x ，? x ) + ，4 ，7 ( 工，_ ，) ) + b ( f x ，工) 一b ( r x ，y ) 首先证明问题( 2 1 2 ) 解的存在性。f 证q ( y ，满足引理2 1 1 的一切条件： ( 1 ) 蓿任意序列，ck ，当，l 一* 时令旦一工由条件( i i ) ，( i v ) 和( ”， 对给定的y k 有当n 一。时， 墨= 兰 ! 竺! 生皇堕! 塑二鲞! ! 堕垡堡鱼型壅坌至量苎! l ( n ( s x 。，t x 。) + ，+ ，7 7 ( y ，z 。) ) 一( n ( s x ，投) + ，+ ，町( y ，工) ) l s i i n ( s x 。，t x 。) 一n ( s x ，致) | ，7 ( y ，h ) ”i ( n ( s x ，n ) + ，+ ，叩( y ，屯) 一叩( y ，工) ) l 一0 ， 又由x h b ( r x ，) 和y 6 ( - ，) ，) 都是凸下半连续的，因而是弱下半连续的，从而 对任一固定y k ，x 时两，x ) 在足上是弱下半连续的 ( 2 ) 假设甲，工) 不满足引理2 1 1 的条件( i i ) ，则存在一个有限集 y 1 ，y 2 ， ) c k 和z = f ：) ，。，也0 ，蔓f ：= 1 ) 使得咖，z ) ) 0 ，v i = 1 ，2 ，_ ，1 即： 善( ( 取，r x ) + ，4 ，叩o ，y 。) ) + b ( f x ，z ) 一z t i b ( f x ，y ，) o 由条件( i v ) 和( v ) 有 7 。c ，z ) = 0 ，且 o c 酗( ( ，r x ) + ，+ ，叼( 上，y 。) ) s ( n ( s x ，r x ) + ，4 ，叩( z ，t i y ，) ) t ( n ( s x ，? x ) + ，+ ，叩( x ，x ) ) ；0 矛盾所以础，工) 满足引理2 1 1 的条件( i i ) ( 3 ) 下面验证妖y ，砷满足引理2 1 1 的条件( i i i ) 取多e d o m q p ，有 妒( 夕，z ) = ( n ( s x ，r x ) + ，+ ，呀( x ，萝) ) + b ( f x ，工) 一b ( f x ，岁) = ( | v ( ，z x ) 一( s y ，巧) ，叩( z ，夕) ) + ( ( 黟，z 梦) + ，4 ，叩( 上，萝) ) + 6 ( 凡，x ) 一b ( f x ，夕) z ( 宇z 一竹，) 肛一训2 一氓i n ( s p ，黟) + ，+ 峥，1 1 巧酬k 一列 由假没( i ) 和( ii ) 知l i n ( s 箩，黟) + ，+ 8 和l i 毋| | 均有界，从而取 ，墨墨坚坚翌塑二上捌，由条件( 5 ) 知r 0 ，取k 。兰 p ( s k ，l l x 一，0 王r ) ，则 ；z 一”7 。= 萝 和硒都是k 弱紧凸集，从而对任意工k 、k 0 都存在y c o ( x o u 硒) 使得9 0 ，x ) 0 由引理2 1 1 知存在x o k 使得对任意的y k 都有，x o ) s0 ，又由 叩。( ，y ) = 一，7 0 ，工) ，v x ，y k ，故有 ( ( o ，t x o ) + 厂+ ，q ( y ，x o ) ) + b ( f x o ，y ) 一b ( f x ”x l ，) 0 ，v y k 其次证问题( 2 1 2 ) 解的唯- - 性假设工l ，工2 是问题( 2 1 2 ) 的任意两个解， 则对任意的y k ，有 ( n ( s x l ，t x l ) + ，+ ，r l ( y ，x 1 ) ) + b ( f x l ，y ) 一b ( f x l ，x 1 ) 0 ，( 2 2 1 ) ( n ( s x 2 ，t x2 ) + ，8 ，叩( y ，工2 ) ) + b ( f x 2 ，_ ) ，) 一b ( f x 2 ，工2 ) 0 ，( 2 。2 2 ) 在( 2 2 1 ) 中取y = x 2 和在( 2 2 2 ) 中取y = x 1 ，然后把两个不等式相加得 第二章b a n a e h 窄问中的一类非线性混合似变分不等式 ( n ( s x ，t x i ) ， 7 ( x ：，x 1 ) ) + ( ( ：，t x ：) ，叩( x ，z ：) ) 0 因为c x ，y ) = 一叼p ，工) ，帆，y 心所以有 宇：f k ，一x ：| | 2s ( ( s r ，t x ) 一n ( s x ：，t x 。) ，7 ( 工，x ：) ) s0 因为曼 0 ，所以x 1 = x 2 得证 2 3 算法及收敛性 为了解决非线性混合似变分不等式问题( 2 1 2 ) ，构造下面的辅助似变分不 等式定义一个凸可微泛函：k r u + o 。 ，并假设h 0 ) 是 强单调和从 弱拓扑到强拓扑连续的对给定的产和任意给定的j x ，找唯一解 f p 何) 使得 ( h ( 萝) 一h ( i ) ，y 万) + p ( ( 跞，巧) + f + ，r l ( y ，声) ) ， + p 6 ( f x ，y ) 一p b ( f f ，芦) 0 ，vy k ，( 2 3 1 ) 其中参数p 0 在辅助似变分不等式( 2 3 1 ) 中，若万；i ，则f 就是非线性混合似变分不 等式问题( 2 1 2 ) 的解 定理2 3 1 【5 5 】设工是自反b a n a c h 空问和k 是并的非空闭凸子集假设s ， 丁：k j p ，f ：k 一石，n ：j x j ，丰一x 嚼口卵：k x k - * x 共5 个单值映象，以 及泛函6 ：x 疋一r u + o 。) 和凸可微泛函日：k r u + m ) 满足： ( i ) 映象x h - - n ( s x ，孤) 在上是从弱拓扑到强拓扑连续的； ( i i ) 映象叩：k k x 满足： ( a ) 巩，- ) 是b 一l i p s c h i t z 连续的，且叩0 ，z ) = 叩o ，y ) + 叩o ，z ) ，v x ，y z k ， ( b ) x 叼( ，x ) 是从弱拓扑到弱拓扑连续的， ( c ) 对任意固定的z k 和z + ，y z + ，叩0 ，y ) ) 是凸的； ( i i i ) 泛函6 ：j x x r u + o 。 满足条件( a ) 一( d ) ： ( i v ) 盯0 ) 是 强单调和从弱拓扑到强拓扑连续的 则对给定的，+ j 和任意给定的x k ，辅助似变分不等式( 2 3 ，1 ) 有唯一 的解p = p 。c ) 证明：首先证明辅助似变分不等式( 2 3 1 ) 解的存在性对任意给定的工 k ，定义泛函妒：k x k 一( 一。，+ 叫如下： 妒( _ ) ，t l l 一( h ( p ) 一日o ) ，p y ) 一p ( ( s k 2 x ) + ，+ ，叩o ，y ) ) + p 6 ( 风，j 口) 一p b ( r ，z ) 翌三皇璺! ! 些皇塑主盟二鲞! ! 些丝堡盒型茎坌至竺茎 ! 仿照定理2 2 1 的证明，可证砌，p ) 满足引理2 1 1 的条件( i ) 和( i i ) ：对任意 给定的萝如卅妒，取，。蝗里业蝗! 坚业竺：嵝堡，翌! ! ! ：91 竺8 竺8 和k 弱紧凸集 x o = 侈 和k o ； p 盖州p 一刘r ，引理2 1 1 的条件( i i i ) 成立从丽存在 p o - - k 使得对任意的y u _ k 都有，p o ) s0 ，即 ( 7 。) 一日7 0 ) ，y p 。) 一p ( n ( s x ，戤) + ，+ ，叩( y ，p 。) ) + p b ( f x ，_ ) ，) 一加( f x ，p 【，) 0 ，v y e 其次，仿照定理2 2 1 的证明，由r ( x ) 是争强单调知辅助似变分不等式 ( 2 3 1 ) 解是唯。的 算法2 3 1 1 5 5 1 迭代法则 ( 1 ) n = 0 ，从任意初始点x o k 开始； ( 2 ) 计算辅助似变分不等式( 2 3 1 ) 的与相关的解p ) ，并i 己为x n + 1 = 1 9 嘶) ； ( 3 ) 对任意给定的 o ，若l 卜。一矗l ic ，停止：否则，重复步骤( 2 ) 定理2 , 3 2 5 5 1 设z 是自反b a n a c h 空间和k 是x 的非空闭凸子集假设定 理2 2 1 和定理2 3 1 的所有条件都满足若参数p 满足条件： 日。f f ，d + w ，= ：一”， z ，w ，o cptm i n 素，者 ( 2 3 2 ) 则对给定的广j ，幸，从给定点x oe x 开始，由算法2 3 1 确定的序列 h 强收敛非线性混合似变分不等式问题( 2 1 2 1 的唯一解i 证明：定义泛函咖k k 一( 一吧+ m 】如下： 0 ) = h 哼) 一h ) 一( h ) ，i x ) 因为i t ( x ) 是 强单调，所以 h ( i ) 一打( z ) 一( h ( z ) ，i x ) z 等i f x 4 2 由算法2 3 1 知+ 1 k 是辅助似变分不等式( 2 3 1 ) 与x 。相关的唯一解， 所以有 ( 硝( x 。+ 1 ) 一t r ( x 。) ，y xn + 1 ) + p ( n ( s x 。，t x 。) + ，8 ，7 0 ，茗n + 1 ) ) + 加( f x 。，y ) 一力( f x 。，工”1 ) - - 0 ，v y k ( 2 3 3 ) 在( 2 3 3 ) 中取y = i ，于是有 庐( 石。) 一庐( x 。+ ，) = 月( z 。+ 。) 一h ( j 。) 一( h ( z 。) ，。+ 。一j 。) 一( 日7 ( x 。+ 。) 一h ( z 。) ，i z 。+ z ) 第二章b a n a c h 空间中的一类非线性混合似变分不等式 1 0 z 等l k 。一x n + l0 2 + p ( n ( 。，t x 。) + ，+ ，叩( x 。+ ，i ) ) + p b ( f x 。，x ) 一p b ( f x 。，i ) ( 2 3 4 ) 在( 2 1 2 ) 中取y = x n + l 因为i 是问题( 2 1 2 ) 的唯一艇，所以有 ( ( 断，瓶) + ，+ ，叩( 工。，i ) ) + 6 ( 瓜，x ) 一6 ( 而，孑) 0 ，v y 矗 ( 2 3 5 ) 由( 2 3 4 ) ；0 1 ( 2 3 5 ) 式有 萨( x 。) 一妒( z 。+ 。) z 告1 1 z 。一x 。+ 8 2 + p ( ( 。，t x 。) 一( 断，而) ，q ( x 。，j ) ) 二 + p b ( f x 。，x n + 1 ) + 6 ( 瓜，x 。+ 1 ) 一b ( f x 。，i ) 一6 ( 厮，i ) z 等1 k 。一x n + l 旷+ p ( ( 。，t x 。) 一( 瓿，t x 。) ，7 ( 。更) ) + p ( ( 昕，t x 。) 一j v ( 瓯，而) ，”( x ，工。) ) + p 0 如果工。= i ，则i 是问题( 2 1 2 ) 的解；否则 妒) 是非负的严格单 调递减的数列，因而极限唯一，所以! 觋峥。一硎；0 ，从而序列+ i ，”。- 又由x 卜n ( s x ，孤) 和x i - - ) 试，戈) 的连续性以及x 卜( 风，) 和y h 凸( 。，) 7 ) 凸下 半连续的性质，由算法2 3 1 确定的序列 h ) 强收敛非线性混合似变分不等式问 题( 2 1 2 ) 的唯一解i 得证 第三章 一类集值映像的拟平衡问题 第三章一类集值映像的拟平衡问题 本章将分两个部分讨论集值映像的拟平衡问题，第一部分是预备知识，第 二二部分是主要结果 3 1预备知识 设z 和y 是非空子集，集值映像f ：j i 一2 7 有非空值，任意y y ，用 r - ( y ) 表示其逆，即工f - ( y ) 雏t 仪当y f ( x ) 设x 和y 是拓扑空间，称集值 映像，：x 一2 7 ( 1 ) 是闭的，若其图g r ( e ) = ，y ) i x x ，y ) ) 在x xy 中是闭的； ( 2 ) 是紧的，若f 0 ) 在y 中是紧的； ( 3 ) 是上半连续i 拘( u s c ) ，若对任意的x 工和任一y 中的开集y 且满足f ( x 1 cv ，存在一个j 的邻域 ) 使得脚) ) ck ( 4 ) 足下半连续的( b c ) ，若对任意的z 卫，y ，( x ) 和任一y 的开邻域v t y ) 且满足f ( x ) n v t y ) 一枷存在一个工的邻域 ) 使得f ( x ) n v ( y ) ，咖v x 慨) ： ( 5 ) 是连续的，若f 既是u s c 又是1 s c 称一个实值泛函g ：盖一r 是u , s c ( 或1 s c ) ，对每一r r 缸e x l a ( x ) r ) ) 是开的 设x 是t v , s e 的非空子集，称x ( 在k l e e 5 6 意义f 1 是容许的，若对x 的 任一紧子集a 和e 中原点o 的任一邻域v ，存在连续映像h ：a x 使得工一h ( x 1 v 和h ( a ) 包含在e 的一有限维子空间中注意到局部凸f 肌s 中的非空凸子 集，h a r d y 空蚓h 9 ( 其中0 p 1 ) ，p ，l p ( o ，1 ) ( 其中0 p 1 ) ，p 正规f 肌s 中 的局部凸子集和t v , s 中的紧凸的局部凸子集都是容许的，详细见 5 7 5 9 1 称拓扑空间是零调的，若它的约化c e c h 同调群在有理域上等于0 称集值 映像g ：z 一2 7 是零调的，若g 是有零调紧值的r g s c 映像零调映像类记为 川zy ) = g i g ：石一2 是零调映像 设x 是f 肌s 中的凸子集，y 是拓扑空间若集值映像f g ：x 一2 7 满足对x 的 釜三兰= 耋墨堡堕堡堕鳖兰堑塑壁 ! ! 任意有限子集b ，有g ( c o b ) f 佃) ，则称f 是关于g 的广义k k m 映像称集 值映像g ：一2 7 有k k m 性质，若对任意关于g 的，、。义k k m 映像f ，簇 i 石j i z 肼有有限交性质k k m 映像类记为 k k m = g l g ：x 一2 有k k m 性质 在c h a n g 6 0 l e 0 有哪：dc ( m y ) ， 定义3 1 1 设a 是实i v s e 的非空子集，d 是e 内的一凸锥且i n t d 毋和 d e 设y 1 ，y 2 e d ，记y l y 2 若y 2 一y 1 d ；y 1 y 2 若) ，2 一_ ) ，1 i n t d 称点y 8 e a 是爿的向量极小点( 或弱向量极小点) ，若对任意的y e a ，有y y 4 硭d 0 ) ( 或y y 4 垡一i n t d ) ，向量极小点和弱向量极小点的集合分别表示为m i n m 和 w m i n 卅 定义3 1 2 设盖是实f v j e 的非空凸子集，z 是一实l v s ，d 是z 中的一 凸锥，称集值映像g ：x 一是d 一拟凸的若集合讧x l 存在y g 仁) 使得z y e d ，v z z 是凸的 定义3 1 3 1 6 1 1 设x 和y 分别是实f 5 e l 和如的非空凸子集，z 是一实f 肌s ， 集值映像d ：x 一2 z 满足对任意固定的戈x ，d 伍) 是z 中的一凸锥。设集值映 像s ：x 一2 y ，f ：x x y 一2 z 称f 有s d 一拟凸关系，若对任意的x e x ，集 合 y s ( x ) l 存在z 4 雄，y ) 使得z z + d g ) ，v z z 是凸的 注3 1 1 若x = y ，d 0 ) = d ，f ( x ，y ) = f o ，) ，s ( x ) = 工，v g ，y ) x z ，则 集值映像f ：x 一2 z 就是d 一拟凸的 在本章中，所有的拓扑空问都假设是h a u s d o r f f 的，同时需要下面的引理 引理3 1 1 ( a u b i n ，c e l l i n a 6 2 ) 设x 和y 是拓扑空间和集值映像f ：x 一2 7 ， ( i ) 若z 是紧的和f 是具有紧值的u s c 映像，则f ( a 3 是紧的： n i l 若y 是紧的和f 是闭的，则f 是u s c ； ( i i i ) 若f 是具有闭值的u s c 映像，则f 是闭的 引理3 1 2 ( l u e 6 3 ) 设彳是t v 3 e 的非空紧子集，d 是e 的一闭凸锥且d e ，则m i n o a 曲 引理3 1 3 ( l i n ，y u 3 8 ) 设z 是f v j 的容许凸子集，紧的且闭的映像f g a c m ( x , ，则f 有不动点z + x 引理3 1 4 ( k l e i n ，t h o m p s o m 6 4 ) 设x 和y 是拓扑空间，集值映像s ：x 一 2 7 是1 s c ，则夏：x 一2 。也是1 , s l c - ，其中曩定义为对任意的x 盖，s g ) = s 缸) 引理3 。1 5 ( h o r v a t h 4 0 ) 设石是仿紧空间，y 是凸空间，集值映像，g ：膏 蔓兰童二耋叁堕堕堡兰塑! 塑塑里 ! ! 一2 满足对任意x x ，c o g f ( x ) g x = u i n t g i y n 则f 有连续选 择，x y ，即对任意工e x ，有触) 豫1 引理3 1 6 ( l i n ，y u 3 9 1 ) 设x 和y 分别是t v 矗e 1 和如的非空子集，e 是 t v 置和集值映像，：x 】，一垆，s ：x 一2 7 设集值映像g ：x 一严定义如下： g = u y e 孵) f ( x ，y ) = f ( x ，s 0 ) ) ，v x x ( i ) 若s ，f 在x 上均是1 s c ，则g 在x 上是1 s c ( i i ) 若s ，f 均是具有紧值的“j c 映像，则g 是具有紧值的“。c 映像 下面的引理是l i n ，y u 3 9 1 中的定理3 ，即集值映像的广义b e r g e 定理 引理3 1 7 设x 和y 是t v s 和集值映像f ：x y 一2 r ，s ：石一2 7 设m = s u p f ( x ，鼯) ) 和m g ) = y 鼬) l m ( x ) f ( x ，) ，) ，v x x ( j ) 若s ，f 在z 上均是1 s c则m 在x 上是1 s c ； ( i i ) 若s ，f 均是具有紧值的“墨c 映像，则州在x 上是“置c ； ( i i i ) 若s ，f 均是具有紧值的连续映像，则m 在x 上连续且m 是u s _ c 闭映