（基础数学专业论文）上三角块阵代数保幂等的线性算子.pdf

中文摘要。 中文摘要 。仨i | 刭 y = k0ko o 圪 令r = p y i p 2 = p ) ，r l = 尸 靠( 冗) l p 2 = p ) 若a ，b 均为r 中的幂等阵 且a b = b a = 0 ，则称a 与b 正交 设，为y 到且磊( r ) 的线性算子，若，又满足，( 尸) ci 、1 且由r 中a 与b 正 交可推出，( a ) 与，( b ) 正交，则称，为保幂等及其正交性的线性算子所有这样的 算子构成的集合记为本文就是在一定条件下刻划从y 到 厶( 冗) ，y 到y 的保 幂等线性算子的形式，同时又解决了保立方幂等及保群逆的相应问题 关键词：上三角块阵模；正交阵；幂等阵；立方幂等阵；矩阵的群逆 。 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t 巨净 y = oh0 ok l e 七r = p y ，2 = 尸) ，r 1 = p j ( 固i p 2 = p ) i fb o t ha a n db 脚陀 i d e m p o 七e n tm a t r i c 箦i nr 舡通a b = b a = o ，t h e nw ec a d lt h a ta 锄db 缸e o r t h o g o n a l l e t ，b e 缸o p e r a t o r 劬myt 0 坛( 固，i f ，8 a t i s 丘留，( p ) cr l 觚daa n d 日 眦o r t h 0 9 0 砌m 良t r 岫i nri m 加铭t h a t ，( a ) 觚d ，( b ) 勰o r t h o g o n 8 lm a t r i c 髑i n r 1 ，w ec a u ，i 8ap 嘟e 州n g 岫o t 朗ta n do r t l l o g o n a ll i n e a r 叩e r a t o r w bd e n o t e t h e8 e t0 f ，b y i nt b j sp 印e r ，w eg e tt h ef o r 脚0 ft h e0 p e r a t o r 丘0 my t o 螈( 固，劬my t 0y w i t hs o m ec o n m t i o 璐a n d 嬲印p h c a t i o n ，w es o l v et h ec 0 r r e s p o 办d i n gp r o b l e m 80 f p r 睽孢r 、r i n gt r i p o 白暇l ta i l dg r o u pi i r v e 髂e k e y w o r d s ：b l o c kt r i a n g u l 缸m a t r i c 笛l i n e a ro p e r a t o r ；i d e m p o t e n tm & t r i ) 【；o r t h 0 9 0 n a l m a t r i x t r i p o t e n 七tm a t r i 文；g r o u pi n v e r 8 e 一n 一 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 陲 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料 学位论文作者签名：1 币参徊 签字日期：。艿年石月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解墨垄垄2 登有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查潞和借阅本入授 权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：啪j 签字日期：明年占月日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位喻细爱嘭氟 电话：彦啦f d 7 岁 通讯地址：瞻韦南角俚心府牛函钶蹦 邮编：f 弘。矽石 v 锄一 、 年 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 “线性保持问题 的简介 矩阵论领域的个比较热门的研究课题就是保持问题，其中包括线性保持问题， 加法保持问题，乘法保持问题或者一些特殊性质的保持问题保持问题在众多领域 有着实际的应用背景，许多学者做了大量的研究工作，如文献【1 】一【9 】等 什么是线性保持问题呢? 设r 是个有1 交换环，尬，尬为冗模( 空间) 如果 个映射，： 毛_ 朋2 满足，( z a + 可b ) = z ，( a ) + 可，( b ) ，v 省，b 舰，v z ，y r ， 则称，是m 到肘| 2 线性映射或线性算子特别地，当尬= m 2 = m 时，也称，为 线性变换刻划从尬到的保持某些不变量的线性映射的形式的问题称为线性 保持问题，简称为l p p 关于l p p 的最早文章是1 8 9 7 年g n o b e n i u s 的【1o 】和s k a n 七0 r 的【1 1 】，国内 l p p 的研究起步较晚，1 9 8 9 年曹重光先生在黑龙江大学自然科学学报上发表局 部环上矩阵模的保幂等自同态【12 】，一文，在国内引发了线性保持问题的研究，并且 出现了一大批不错的成果g n o b e n i 瑚在论文中得到了复数域上的n n 阶线性 空间上保行列式的线性变换的形式为，( a ) = 烈q 或，( a ) = p q ，其中只q 为 可逆阵且d e t ( p q ) = l ，印是a 的转置阵从此，l p p 开始被广泛研究，陆续得到 许多有意义的结果有意思的是，矩阵空间上的保某些不变量的线性映射的形式与 g f 均b e n i u s 得到的结果大体一致2 0 0 0 年，a g u t e m 岫，c k l i 和p - e m r l 在文献 【4 】中指出矩阵代数上的l p p 可以借助线性保幂等问题加以勰决，并且得到的形式 通常和g f 如b e l l i l l 8 得到的结果很相似1 9 9 1 年，m o m l a d 瓷和p 鹃m d 在文献【1 3 】 中，用= 勾玎法算子，代替线性算子 ，开始了力法保持问题”的研究，并于1 9 9 3 年 在文献【1 4 】中得到了复矩阵秩1 保持的结果这之后曹重光和张显1 9 9 6 年在文献 【1 5 】中，将b 法保持同题的研究弓i 向更般的矩阵近几年来，这个领域的研究 也取得了一些成果，主要包括幂等保持、逆及广义逆保持、秩l 保持等相关结果可 见文献【1 6 】一【2 2 】选择新的更加有意义、有背景的不变量，寻找各种不变量保持的 内在联系，寻找更有效的一般化的处理方法以及特殊技巧等等都是尚待研究的课题 l i 在文献【5 】中将线性保持问题概括为四个主要类型，包括( 1 ) 保持函数，相 关文章有g h o b e n i 瑚的f 1 0 】和h m i l l c 的【2 3 】等；( 2 ) 保持子集，相关文章有张显 的【2 4 】和【2 5 】，王路群等的【2 6 】及l b b e 嘲口的【2 7 】等；( 3 ) 保持关系，相关文章有 黑龙江大学硕士学位论文 s p i e r c e 和w w a t k i n s 的【2 8 】，文献中刻划了任意域上保交换的非退化线性算子， 之后w l c h o i 等的文献【2 9 】中又去掉“非退化，的条件进行研究另外g h c h 强 和m h l i m 在文献【3 0 】中研究了实对称空间及复h e m i t e 空间上保交换的线性算 子；( 4 ) 保持变换，相关的文章有g h c h a n 等分别在文献【3 1 1 和【3 2 1 中考虑了保幂 等及保矩阵伴随的线性算子的保持问题 1 2 “上三角块阵的保持问题乃的研究 在研究l p p 的过程中，许多研究者对不同矩阵集合上的线性或加法保持问题 感兴趣，( 见文献【2 0 】一【2 2 】以及【3 3 】一【3 8 】) 而文献【2 0 】，【2 1 1 现已将最基本的不变量( 般是指秩l 和幂等) 的保持映射推 广到不同矩阵集合之间的加法保持自然地，我们就会想到考虑不同矩阵集合之间 的其他不变量的保持( 包括线性和加法) 上三角块阵集合之间的保持问题目前的研究成果还是比较少的，相关的主要文 献有w l c h 0 0 i 与m h l i m 合作的【3 9 】和【4 0 1 。j b e u 与a r s o l l r o l l r 合作的【4 1 1 以及黄冲和曹佑安合作的【4 2 】其中文献【3 9 】刻划了上三角块阵空间的保粘切双射 妒的结构，文章中妒和妒_ 1 都保粘切，作为应用，刻划了保枯切的映射和半同构的 形式文献【4 0 】刻划了上三角块代数上的保秩1 不增的映射的形式，作为应用彻 底解决了上三角块代数上的可交换伴随转置映射和可交换复合映射的形式的问题 【4 l 】考虑了上三角块阵代数上的保持秩1 问题【4 2 】确定了类分块匕三角矩阵代 数的保持秩1 的线性满射所具备的形式 1 3 “矩阵模的幂等保持问题”的研究 1 9 8 7 年，g h c h a n ，m h l i m 和k k 首次在【3 2 】中给出了 厶( 硒或 肘( c ) 上的线性保幂等映射的形式这个结果在1 9 9 2 年被g h c h a n 和m h l i m 在【3 1 】中推广到任意特征不为2 的域上，在1 9 8 9 年被曹重光先生推广到局部交换环 上，在1 9 9 2 年，被王路群等推广到任意有1 交换环上曹重光先生在【4 3 】中研究了冗 上的有限维除环上的矩阵空间之间的线性保幂等映射的形式1 9 9 1 年，l b b e 喊e y 和n j p u n m 姐在【2 7 】中刻划了c f 2 和c f = 2 时，螈( f ) 上的线性保幂等 映射的形式此外，z h e n g 在【4 4 】中刻划了m j ( 易) 上的线性保幂等映射的形式，曹 重光先生等在【4 5 】中刻划了c 危f = 2 时， 厶( f ) 上的线性保幂等双射的形式在 一2 一 第1 章绪论 1 9 9 6 年，曹重光先生等在【1 5 】中刻戈! f 了c f = 2 时，螈( f ) 上的加法保幂等映射 的形式，从此开始了异于r ，c 的域上的加法保持问题的研究1 9 9 7 年，刘绍武老 师在【4 6 】中给出了主理想整环r 上的矩阵空间m k ( 固到 ( 冗) 上线性保幂等映 射的般形式，其中n 仇且l 冗i 2 1 9 9 9 年，【4 6 】去掉了曹重光先生的【3 6 1 中 的条件n 仇，并且把。主理想整环。这个条件降低至了“任意可对角化幂等环 近来，姚红梅在【2 0 】中把【3 7 】的结果推广到加法保幂等的情形此外，除环上的矩 阵模的线性保持问题在文献【4 7 】和【4 8 】中都有很好的结果 本文主要考虑的问题是研究上三角块阵模到全矩阵模以及e 三角块阵模到自身 的保幂等和正交的线性算子的形式 1 4 本章小结 在本章中，我们给出了线性保持问题的研究历史及现状，上三角块阵代数的保 持问题的研究现状和矩阵模的幂等保持问题的研究情况，并进步指出了本文的研 究重点 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章关于上三角块阵模保幂等的线性算子 2 1 基本概念及引理 巨 设忌且忌2 ，a 螈( r ) ，若小= a ，则a 称是b 幂等的特别地，当 尼= 2 时，称a 是幂等的；当七= 3 时，称a 是立方幂等的 令r = 尸y l 尸2 = p ) ，r 1 = f p 螈( r ) lp 2 = p ) 若a ，b 均为r 中的幂 等阵且a b = b a = d ，则称a 与b 正交 设，为y 到螈( 固的线性算子，若，又满足，( p ) cr 1 且由r 中a 与b 正 交可推出，( a ) 与，( b ) 正交，则称，为保幂等及其正交性的线性算子所有这样的 算子构成的集合记为e 。本文将在一定条件下刻划这样的算子 在本文中，我们用岛，表示在一定空间中( i ，j ) 位置为1 ，其余位置为。的矩 阵，及d r 表示r 阶单位阵及r 阶零矩阵【1 ，叫记集合 1 ，2 ，n ) ，又俨记a 的转置矩阵 当冗是域时，关于y 的保不变量的线性算子和加法算子的研究已有几个结果 例如文献 3 9 】及【4 0 】考虑了粘切性和秩l 保持问题，文献【删考虑了矩阵逆保持 及群逆保持问题本文则在r 是主理想整环时重点研究y 的保幂等问题，并且作 为应用解决了立方幂等保持及群逆保持 引理1 【4 6 】设a r 1 ，且a o ，则一定存在可逆阵p 必，( 固使得a = p 出口9 ( 耳，d 住一r ) p ，其中r = r 帆七a 一4 一 第2 章关于上三角块阵模保幂等的线性算子 证明。由文献【5 0 】知，存在可逆阵只q 靠( 冗) 使得 因此不妨设 a = p 出口夕( d 1 ，西，o ，o ) q ， a = 成叼( d 1 ，d r ，o ，o ) q ， 因为a 2 = a ，即 击叼( d l ，4 ，o ，o ) = 出。夕( d l ，4 ，o ，o ) q 也叼( 西，露，o ，o ) 冗是整环且应o “= 1 ，2 ，r ) ，我们能得到 d l ，如，西是单位及r o n 七a = r ， 令 q = ( 暑：善：) ，a = ( 尝 此时 甜 尸1 1 = 出口9 ( d 1 ，西) q 1 l ， p 1 2 = 出口夕( 矗，西) q 1 2 由于斧吐我们得到磕堀忍矾令p = ( 三2 ) 得到 一1 = ( 吉r ) 且r 帆凫r l = r 帆七a = f 即p 1 l 磊( 固为可逆阵又由于p i i = p 1 l ，得到 p 1 1 = ，结论成立 弓l 理2 设c r 2 ，( r ) cr 1 则， 证明。设a 与b 为r 中正交幂等阵，即小= a ，b 2 = b ，且a b = b a = 0 ， 于是有+ b ) 2 = a + j e i ，从而由，( r ) cf 1 可得 ，( a ) + ，( b ) = ，( a + b ) = 【，( a + b ) 】2 = 【，( a ) + ，( b ) 】2 = 【，( a ) 】2 + 【，( b ) 】2 + ，( a ) ，( b ) + ，( j 进一步得 ，( a ) ，( b ) + ，( b ) ，( a ) = d ， 两边左乘，( a ) ，同时右乘，( a ) ，得2 ，( a ) ，( b ) ，( a ) = o ，由c j 7 i 冗2 可推出 ，( a ) ，( b ) ，( a ) = d 从而，( a ) ，( b ) = d 同理可证，( b ) ，( a ) = 0 ，即，e 一5 一 黑龙江大学硕士学位论文 ，( 最i ) = p e “p 一，【1 ，川 证明；首先由，是单射知道，( 玩) o ，【1 ，州再由，知，( 风) 均幂 ，( 瓯) ，( 勘) = ，( 马j ) ，( 最) = d 首先由引理1 可写，( 髓1 ) = p 1 ( 。) 只- 1 ，然后由，( 如) 与，( 局1 ) 正交 可推出，( 易2 ) = p l d 叼( d r ，4 ) 耳1 ，其中a 2 = a 螈一，( 冗) 再由引理1 可有 a = 马出凹( 厶，d ) 巧1 ，其中岛为，一，( 励中之可逆阵从而有 ，c 历，= 只( 三三) ( 。) ( 笔三) 一1 p f l ，c 易2 ，= r ( 三三) ( 。l 。) ( 笔三) 一1 p f l ， 引理4 设单射，e ，则j m ( ，l k ) cp p 一，即，诱导出到自身的保幂 等线性单射哦= 诤，i ，其中i p 为相似算子珏) = p 一1 x p 证明：对于任意的五幻y k ，任取a 为k 中之幂等阵，经计算不难看出 a 勘= 勘a = d 由，可知，( a ) ，( 勘) = ，( ) ，( a ) = d ，从而由引理3 可 知，( 4 ) 与p 点b p 一1 正交对于k 中任意幂等阵a 成立又因为k 可由其中的幂 等阵线性生成，故可知虫= ( t p 删k 为k 到自身的保幂等线性单射0 = 1 ，神 ，( a ) = p p ，v a 坞( 固 第2 章关于上三角块阵模保幂等的线性算子 证明：由文献【4 6 】知，若，r l 且l 冗l 2 若如果，o 则，为如下形式之 ( 1 ) 存在可逆阵p 螈( r ) 使 ，( a ) = p a p 一1 ，v a 螈( r ) ； ( 2 ) 存在可逆阵p 螈( 冗) 使 ，( a ) = p a t p 一1 ，v _ a 厶( 固； ( 3 ) 存在可逆阵p 靠( r ) 使 ，( a ) = p ( t r a ) 出口9 ( 厶，o ) p 一1 ，v a 靠( r ) ，c h r = 2 ； ( 4 ) 存在可逆阵p ( 砷使 ，( a ) = p a p 一1 + ( t r a ) 出叼( 厶，d ) ，m 坛( 固，c 施= 2 ； ( 5 ) 存在可逆阵p ( r ) 使 ，( a ) = p a r p 一1 + ( t r a ) 出口9 ( 厶，d ) ，v a 螈( r ) ，c r = 2 ； ( 6 ) 存在可逆阵p m 2 ( r ) 使 ，c a ，= p ( 口言d 阮言c v ) p ，姒= ( 三三) 捣c r ，可r ，c 九r = 2 ； ( 7 ) 存在可逆阵p m 2 ( r ) 使 ，c a ，= p ( 口：d 阮言c 秒) t 尸一l ，= ( ：三) c 固，忱，y r ，c r = 2 容易证明，当，为眠( 冗) 的保正交幂等的线性单射时，算子只能是引理中的两种 形式 引理6 设i 兄i 2 ，k ，单射，则存在相似算子i p 使得 圣( ) = 绉，( ) = 或啄易t ，其中啄o 证明：设z r ，易见( 魄+ z ) 2 = 既+ 茁，由，得 ，( e 矗) + 厂( 易i ) r l 由引理3 知存在相似算子绉使得i p ，( 风) = 既，于是令诤，= 西则有 风+ z ( 风圣( 奶) + 圣( ) 魄) + z 2 圣( 奶) 2 = + z 圣( 岛) 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 注意到l 冗f 2 及z 的任意性可得 垂( ) 2 = d ，墨净( ) + 圣( ) 风= 圣( 岛)( 1 ) 类似研究，( 互确十z 马) 又可得 西( ) + 圣( ) = 西( )( 2 ) 由( 1 ) ( 2 ) 两式经计算可得 圣( 岛) = 岛+ 岛 马，i = o 由r 为整环可得= o 或k = o 注意与啄不能都是o ，这与，是单射矛盾 故结论得证 引理7 设i 冗l 2 ，单射，则，诱导出哦( 见引理4 ) 且存在啦阶可逆 阵只使得如下形式之一成立 ( 1 ) 圣( aod ) = ( 只od ) ( aod ) ( 只od ) ，v a iod k ， 【1 ，川； ( 2 ) 电( aod ) = ( 只od ) ( 砰oo ) ( 只od ) ，眦od k ，i 【1 ，叫 此处我们以a 0 0 中a 表示其核心部分啦阶方阵 证明：若n 1 ，n 七中至多有个数大于l ，则本引理结论显然现在设n 1 ，佻 中至少有两个大子1 首先对每个屯应用引理5 ，则在每个k 的核心部分引出相似 或相似加转置设相似过渡阵分别为只，最，令蜀= p lo 0 最，仍记哦如， 为西，圣l k 为吼并不改变引理6 之记号现在为证引理只需证诸屯在各k 上一致 为恒等，或一致为转置如果不然，设呜在k 上为恒等，垂q 在k 上为转置，又设 唧 1 ， 1 ，蜀，马，k ，0 g ) ，易见由，( e ：i + + ) 幂 等0 七且置七k ) 知风+ 风+ ，( ) 幂等再由引理6 知，( 岛) = 叼岛 再设勖k ( 1 歹) ，看幂等元，( + 勖+ ) = 勘+ 鳓+ ，( 勖) 由引理6 知 ，( 墨，) = 啄墨，与前面得到的结果矛盾，这证明了结论 引理8 设i r l 2 ，单射，则有如下两种情况之一发生，差个相似算 子可写为 ，( ) = 叼，v y ； ，( 岛) = 如t 马t ，v 勖矿 证明：沿用上引理的证明方法可证对中届，的象结果也是一致的，即或恒等或转 置，并且与诸结果也一致 一8 一 第2 章关于上三角块阵模保幂等的线性算子 2 2 主要结论 定义，如果存在 靠( r ) 到自身的可逆算子9 使得夕，为y 到y 的算 子，则称圣= 夕，为，诱导的算子 。 例如设，( a ) = p a p ，v a y ，p 为 靠( 固之可逆阵，则t p ，为，之诱导算 子 又设盯：ah ，w ( 固为转置算子，设，( a ) = p 尸，v a y ， 则t p ，为，之诱导算子 定理1 设l 冗l 2 ，单射，且厂的诱导算子均为满射，则，为如下两种 形式之一 ( 1 ) 存在可逆阵p 靠( r ) 使得，( a ) = p a p ，v a y ； ( 2 ) 存在可逆阵p m ，( r ) 使得，( a ) = p a t p ，v a v 证明：由引理8 及前面关于诱导算子的定义，若取g 为相似算子或相似算子加 转置算子，则可得，的诱导算子西，由于垂为满射，即j m 垂= y ，所以当引理8 之 ( 1 ) 成立时，存在z r 使西( z e i j ) = ，于是可得z 至冯= 毋，从而z = l ， 即叼为可逆元类似可证引理8 之( 2 ) 成立时可证得啄为可逆元 现在证明定理之结论( 1 ) ，而( 2 ) 是类似的 当n = 2 时，y = m j ( r ) 或y 为二阶上三角矩阵空间若为前者结论由引理5 得出；若为后者，注意 c i i 口g ( 1 ，g 1 2 ) ，( ) 出叼( 1 ，0 0 ) = 如，v e 哆v 易见结论得证 当n 3 时，任取t ，歹，互不相等，使最i + e t k + + + y ，由 ，( 风+ 玩+ + + 勘) r 1 ，再由引理8 可推出口巧= ，于是 出口夕( 1 ，口1 2 ，口1 n ) ，( ) 出叼( 1 ，口暑，口嚣) = ，v 这样定理结论( 1 ) 可证 引理9 设尸为n 阶可逆阵如果烈尸一1 k y 则p y ； 如果p 俨p 一1 k v a y ，则p j y ，其中，= 毋n + 岛”l + 晶1 证明：我们只证前一结论，后一结论是类似的设 最1p 1 2 df ，2i r 1r 2 黑龙江大学硕士学位论文 只七、 1 ，a ： r 岛 由已知得 ，( a 1 1a 1 2 a 1 七) p 一1 、 p a p 一1 = 尸l 。a 2 2 j j a 觋p 一1i y ( dd a 触) p - l 将上式右端后一因子记为b 由于a 选取的任意性，令( a 1 la 1 2 a 1 詹) = ( 厶。d d ) p ，并取b 的其余位置为d ，易见 p 1 1 p b ：f 翰 l i i 局 y 从而得尼i = d ，尼i = d ，最l = d 由上易见p _ 1 = ( 舍鼢其中球酬硪此时不难看出可令 ( da 貂a 2 七) = ( o d d ) 再令此时的b 其余位置d ，可由p b y ，推出p 3 2 = d ，r 2 = 0 按这样的方 法进行下去，可证p y 定理2 设l r i 2 ，为y 到自身保幂等及其正交性的线性双射，则，为如下 的两形式之一 ( 1 ) 存在y 中可逆阵p ，使，( a ) = p a p ，r a y ； ( 2 ) 存在y 中可逆阵p ，使，( a ) = p ，a t j p ，v a 矿 证明。由本定理的条件显然可推出定理1 之条件，从而由定理1 的结果及引理 9 可得本定理之结果 2 3 本章小结 在本章中，在一定条件下我们首先刻划了y 到尬，( r ) 的保矩阵幂等的线性单 射的形式，之后给出了y 到自身的保矩阵幂等及正交性的线性双射的形式 、li一、 拙 蠊； j l a a a s i 娩；)气如；d h d ；d ，j。l一 、 d d ；d d d ：d 第璋关于上三角块阵模保立方幂等的线性算子及其应用 第3 章 关于上三角块阵模保立方幂等的线性 算子及其应用 作为保幂等算子的应用，本节研究保立方幂等的问题以及保群逆的问题 3 1 上三角块阵模保立方幂等的线性算子 引理1 q 设a 3 = a 螈( r ) ，则存在坼( r ) 且2 = ，r = ，i 觚克a ，使 得a 与对角块阵c l i 叼( ，d ) 相似 证明：对于主理想整环兄，由1 5 1 】我们有如下的等价标准形a = p 出叼p ，d ) q ， 其中d 为r 阶对角阵，r = r o n a ，p ，q 为j i 靠( r ) 中的可逆元于是可写 a ：p f ，d a l 弛、p - 1 od 其中q ：f ，乇10 、) ，由其立方幂等，可推出( d a ，) 2 d la 2 ) ：d 1a 2 ) ，于是 、 木奉 ， ( ( d a l ) 2 一j ) d = d ，由于d 为非零对角阵，由整环性质可推出( d a l ) 2 二， 令d a l 一，于是2 = 厶从而 ( 会? 2 ) p _ 1 = p ( 比暑比分p 这证明了结论 引理l l 设c ，l r 3 ，则印= a 当且仅当a 3 = a 且( ，一a ) 3 = ，一a 证明：( 必要性) a 3 = a = 印= a ， ( ，一a ) 3 = j 一3 a + 3 a 2 一= j 一3 a + 3 a a = ，a ； ( 充分性) 若( j 一甸3 = j a ，小= a ，则有3 ( a 一舻) = d ， 再由c r 3 ，可碍a = a 2 定理3 设如r 3 ，i 冗i 2 ，是y 到鸭( r ) 的保立方幂等及其正交性的线 性单射且，的诱导算子均满射又，( j ) = e j ，其中e = 士1 ，则，为下列两种形式 之一 ( 1 ) 存在可逆阵p 尬，( r ) 使得，( a ) = e p a p ，v a y ； ( 2 ) 存在可逆阵p 靠( r ) 使得，( a ) = e p p ，v a y 黑龙江大学硕士学位论文 证明：设a 2 = a ，由引理1 1 ，易见a 3 = a ：( j a ) 3 = j a ，从而 ( e a ) 3 = e a ，( e ，一e a ) 3 = e j e a ， 由，保立方幂等的线性算子，从而( e ，( a ) ) 3 = e ，( a ) ，及 ( e ，( ，) 一e ，( a ) ) 3 = e ，( j ) 一e ，( a ) 又因为，( ，) = e j ，则有 ( ，一e ，( a ) ) 3 = ，一e ，( a ) 再由引理1 1 可得 ( e ，( a ) ) 2 = e ，( a ) 这说明e ，为y 的保幂等线性算子又，为保立方幂等元的正交性，当然有e ，保幂 等元的正交性从而由定理1 可得本定理之结论 引理1 2 设c r 2 ，3 ，为y 到尬，( 硒的保立方幂等的线性算子，则，保立 方幂等元的正交性 证明：设a ，b y 且a 3 = a ，b 3 = b 且a b = b a = o 已知，为y 到 ( 兄) 的保立方幂等的线性算子，则，3 ( a ) = ，( a ) ，3 ( j e i ) = ，( b ) 因为c 冗2 ，3 ，由文献【3 1 引理2 2 3 知，) 与，( b ) 是正交的 定理4c ，l r 2 ，3 ，为y 到肘k ( r ) 的保立方幂等的线性单射且，的任意诱 导算子均满射当且仅当，为定理3 的两种形式之一 证明：由引理1 2 及定理3 ，只需证明，( 厶) = e j l l 首先由，为双射，( 魄) d ， 再由引理1 2 及引理1 0 容易证明，存在可逆阵p 厶( r ) ，使 砀，( 风) = e “风，【1 ，叫 现在不妨设e i 。= = e “= 一1 且e i m = = = 1 ，于是 七 ，( 厶一2 忍) = 厶 童= l 如果o 2 ，c 尼r 3 ，则，为到y 自身保立方幂等及其正交性的线性 双射当且仅当，为如下两形式之一 ( 1 ) 存在可逆阵p y 使，( a ) = e 尸a p ，v a y ； ( 2 ) 存在可逆阵p y 使，( a ) = e p p p ，v a 矿 3 2 上三角块阵模保群逆的线性算子 设a ( 固，如果x ( 固是矩阵方程钟x = a ，x 2 a = x ，x a = a x 的解，则称x 是a 的群逆若a 的群逆存在，将其记为 设，为y 到( 固的线性算子，若，又满足，( 州) = ，( a ) - ，则称，是保群 逆的 迄今为止，许多数学工作者在保群逆的研究上做了大量的工作，得到了不少好 结果，如文献【5 2 卜【5 6 】等 推论若，保群逆，则，保立方幂等 事实上，对任意立方幂等阵a ，由于a 3 = a ，故a 2 a = a ，a a = a a ，由 定义知，= a 由，保群逆知，1 ) = ，似) 口于是，( a ) = ，似) 1 则 ，3 ( a ) = ，2 ( 舢，( a ) = ，( a ) ，这说明，保立方幂等 于是定理3 一定理6 中将不变量立方幂等改为群逆结论仍不变，即 定理7 设c r 3 ，i r i 2 ，是y 到 靠( r ) 的保群逆及其正交性的线性单 射且，的诱导算子均满射又，( j r ) = e j ，其中e = 士1 ，则，为下列两种形式之一 ( 1 ) 存在可逆阵p 厶( 固使得，( a ) = e 肌p 一，v a 耽 ( 2 ) 存在可逆阵p ( 硒使得，( a ) = e p p ，v a 矿 定理8 曲冗2 ，3 ，为y 到 靠( r ) 的保群逆的线性单射且，的任意诱导算 子均满射当且仅当，为定理3 的两种形式之一 定理9c r = 2 ，为y 到尬( r ) 的保群逆及其正交性线性单鼽且，的任 意诱导算子均满射当且仅当，为定理3 的两种形式之一 黑龙江大学硕士学位论文 定理l o 设i r l 2 ，c 兄3 ，则，为到y 自身保群逆及其正交性的线性双射 当且仅当，为如下两形式之一 ( 1 ) 存在可逆阵p y 使，( a ) = e p a p ，w y ； ( 2 ) 存在可逆阵p y 使，( a ) = e p a t p 一，y 3 3 本章小结 作为应用，本章在一定条件下刻划了y 到螈( 硒和y 到自身的保立方幂等及 正交性的线性单射的形式及y 到尬，( r ) 和y 到自身的保群逆及正交性的线性单 射的形式 结论 结论 本文主要刻划了y 到 靠( 冗) ) 的保矩阵幂等的线性单射及y 到自身的保矩阵 幂等及正交性的线性双射的形式，并且一定条件下给出了y 到 靠( r ) 和y 到自身 的保立方幂等及正交性的线性单射的形式及y 到a 厶( r ) 和y 到自身的保群逆及 正交性的线性单射的形式目前在上三角块阵上的研究还不是很多，可供发展的空 间很大，值得注意的是上三角矩阵模及全矩阵模都是上三角块矩阵模的特殊形式， 上三角块矩阵上的研究具有很好的实用性，所以本文具有一定的学术价值 今后，我们可以研究匕三角块矩阵模的其他一些保持问题，也尝试着去掉线性 的条件，或研究其他更有实际意义的不变量 另外，值得指出的是最近有关保持问题的研究很大程度上开始倾向于： 1 去掉对映射或算子的限制，例如去掉“线性或加法条伴”、“去掉双射、单射、 满射条件 等( 参见文献【5 7 】) ； 2 对代数结构的限制尽量减少( 参见文献【5 8 】) ； 3 寻找些新的更加具有实际意义不变量，例如李积、约当积等( 参见文献【5 9 】， 【6 0 】) 当然着能在匕述条件下把问题做到不同矩阵集合之间将是很有意义的 黑龙江大学硕士学位论文 参考文献 f 1 】j c h o ua n dj l c u i t h e o r y0 f1 i n e a rm a p s0 n 甜g e b r 嬲o f0 p e r a t o r s 【m 】，s c i e n c e p r e 鹤，b e i j i n g ，2 0 0 2 【2 】s w l i ua n dd b z h a 0 i n t r o d u c 七i o nt o1 i n e 缸p r e 8 e e rp r o b l e n 瑁【m 】，h a r b i n p r e 胬，h 曲i n ，p r c 1 9 9 7 【3 】张显，曹重光保不变量的矩阵加群同态 m 】，哈尔滨出版社，哈尔滨，2 0 0 1 【4 】a g u t 锄a n ，c k “衄dp s 咖1 s o m eg e n e r 8 lt e c h n i q u 笛0 nl i n e a rp r e s e r v e r p r o i b l e m s 【j 】，l i n a l g a p p l ，2 0 0 0 ，3 1 5 ：6 1 - 8 1 【5 】c k l ia n dn k t s i n g l i n e a rp r e e rp r o b l e n 璩：ab r i e fi n t r o d u c t i o n 缸d 8 0 m e8 p e c i a lt e c m q v e s j 】，l i n a 1 9 a p p l ，1 9 9 2 ，1 6 2 1 6 4 ：2 1 7 - 2 3 5 6 】c k l ia n ds p i e r c e e a rp 麟e n r e rp r o b l e 脚【j 】，a m 钉m a t h m 0 n t h ，2 0 0 1 ， 10 8 ：5 9 1 6 0 5 【7 】m m a r c u 8 l i n e a ro p e r a t i o = 陷0 nm a t r i c e 8 【j 】，妇m a t h m o n t h ，1 9 6 2 ，6 9 ： 8 3 7 - 8 4 7 【8 】m m a r c l l s l i n e 8 rt r a n 8 f o m a t i 0 璐o nm a t r i c 髑【川，j r 陷n a t b u r s t 蛆d 盯凼， 1 9 7 1 ，7 5 b ：1 0 7 - 1 1 3 【9 1 s p i e r c ee ta 1 a 明r v e y0 fl i n e 甜p r e s e r 、，ep u e m 8 【j 1 ，l i n e 缸a n dm 比i l i l l e 旺 舢g ，1 9 9 2 ，3 3 ：1 - 1 2 9 【1 0 1g f b b e n i u 8 u b e rd i ed a r 8 t e u l l n gd e r 帆d l i c h e ng n l p p e nd l l r c hh n 朗舱s u b _ s t i t u t i o n e n 【j 】，s i t z u n g s b e r d e u t s c h 舢a d 、矾鼹，b e 池，1 8 9 7 ，9 9 缸1 0 1 5 s 。k 缸t o r t h e o r i e d e r a 掣i 谢e n z 咖1 i n e a r 叽s c h 咖b i l i n 哪e r 【j 1 ， s i t z u n g s b e r m 缸c h e n e ra k a d ，1 8 9 7 ，3 6 7 3 8 1 【1 2 j 曹重光局部环上矩阵模的保幂等自同态【j 1 ，黑龙江大学自然科学学报，1 9 8 9 ， 6 ( 2 ) ：1 - 3 【1 3 】m o m l 础琶8 n dp 蚰耐s p e c t 邶m p r e s e r 恤ga d d i t 溉m a p 8 【j 1 l i n 灿昏 a p p l ，1 9 9 1 ，1 5 3 ：6 2 7 2 一1 6 参考文献 【1 4 jm o m l 础芒缸dp s e 脚1 a d 础i v em a p p i n 9 8p r e s e 州n go p e r a t o 墙0 fr a n k o n e 问，l i n 灿g a p p l ，1 9 9 3 ，1 8 2 ：2 3 9 2 5 6 【1 5 】c g c a i o 姐i dx z h a n g a d d i t i v e0 p e r a t 0 玛p r e s e 丽n gi d e m p o t e n tm a t r i c 髑 o v e r 丘e l 幽衄da p p n c a t i o n s f j 】，l i n m g a p p l ，1 9 9 6 ，2 4 8 ：3 2 7 _ 3 3 8 【1 6 】x m 7 i i a n g a d d i t i v er a n k - 1p r 麟e r sb e t l 鹏e nh e r m i t i a nm 8 t r i ) 【s p a c 鹤雠d a p p l i c a t i o 瑚【j 】，l i n a 培a p p l ，2 0 0 5 ，3 9 5 ：3 3 孓3 4 2 【1 7 】j b e ua n da r s o u r o l l r a d d i t i v er a n k - 0 n ep r e 眙州d gm a p p i n g0 nt r i a n g l l l a r m a t r i ) 【a l g e b r 够【j 】，l i n a l g a p p l ，2 0 0 0 ，3 1 2 ：1 孓3 3 【1 8 】x z h 铷唱，c g c 8 0a n dc j b u a d d i t i v em 印8p r e | s e n 恤g 彳一pi n 垤哩s e 80 f m a t r i c 鹤o v e r 矗e l i d s 【j 】，l i n e 缸a n dm u l t i h n e a rm g ，1 9 9 9 ，4 6 ：1 9 9 2 1 1 【1 9 】x 2 m 锄g a d d i t i v em a p 8p r e 8 e n ，i n gm o o r e - p 咖i 刑姗髑0 fm a t r i 斓0 n 町m m e t r i cm a t r i ) ( s p a c e 8 【j 】，l i n e 缸缸dm u l t i l i n e a ra l g ，2 0 0 4 ，5 2 ( 5 ) ：3 4 皿3 5 8 【2 0 】姚红梅全矩阵代数保幂等的加法映射【d 】，黑龙江大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 【2 l 】x z h 缸l g 缸dn s s 孢a d d i t i 、，er a d l k - 0 n ep r 馏e r v e r 8b e t 咖8 p a c 够0 fr e c t a n - 9 1 1 l 船m a t r i c 鹅【j 】，l i n e 缸缸dm u l t i l i n e a ra k ，2 0 0 5 ，5 3 ：4 1 7 4 2 5 廖2 】x m i 魂缸dx z h a n g a d m t 慨喇。砒p r 咖b e 钿e e nm a t r i ) 【印a c 够【司， l i n e 8 r 趿dm m t n i n e a r