（基础数学专业论文）有限典型群作用下子空间轨道按联生成的格.pdf

中文摘要 设是日上的n 维行向量空间，6 是日上的n 级典型群之一设m 是g 竹作 用下的一个子空间轨道，c 是m 中子空间的联生成的集合本文分别讨论了在一 般线性群，辛群和酉群作用下，各个轨道生成的集合c 之间的包含关系，一个子 空间是给定的由m 生成的集合中的一个元素的条件，以及何时c 作成几何格 关键词：典型群，子空间轨道，几何格，辛空间，酉空间 a b s t r a c t l e tf j 叫b et h e 竹- d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo v e rt h ef i n i t ef i e l dba n dl e tg n b e o n e o f t h e c l a s s i c a l g r o u p s o f d e g r e e n o v e r b l e t a 4 b e a n y o r b i t o f s u b s p a c e s u n d e r d e n o t eb y t h es e to fs u b s p a c e sw h i c ha l ej o i n so fs u b s p a c e si n 朋 t h i sp a p e rd i s c u s s e st h er e l a t i o no fi n c l u s i o nb e t w e e ns e t sg e n e r a t e db yd i f f e r e n t o r b i t su n d e rt h ea c t i o no ft h eg e n e r a ll i n e a rg r o u p ，s y m p l e c t i cg r o u pa n du n i t a r y g r o u p ，t h ec o n d i t i o nt h a tas u b s p a c ei sa ne l m e n to f s e tg e n e r a t e db yt h e g i v e no r b i t ， a n dw h e ns e t sg e n e r a t e db yo r b i t sf o r mg e o m e t r i cl a t t i c e s k e y w o r d s ：c l a s s i c a lg r o u p s ；o r b i to f s u b s p a c e s ；g e o m e t r i cl a t t i c e s ；g a i - e r a ll i n e a rs p a c e ，s y m # e e r i es p a c e ，u n i t a r ys p a c e 第一章绪论 1 1 课题背景、发展概况与本文的内容结构 我国典型群的研究，是华罗庚教授在2 d 世纪4 眸代开创的，特点是在几何背 景的指导下，用矩阵方法研究典型群，它在典型群的结构和自同构的研究中很有 成效，在2 皑纪中叶取得了丰硕的成果，受到国际同行们的重视，把以华罗庚为 代表的典型群研究群体誉为典型群的”中国学派： 后来，典型群的研究领域逐步扩大，万哲先与他的学生和合作者们对有限域 上典型群几何学的理论和应用作了深入的研究。其应用所涉及的内容有：结合 方案和区组设计，认证码，射影码和子空闯轨道生成的榕等 霍元极和万哲先等，曾讨论在有限域的各种典型群作用下，由各个轨道或 相同维数和秩的子空问按交生成的格渗见文献1 3 1 - h i ) , ：研究了不同格之间的 包含关系，刻画了给定格中子空问的特性，讨论了格的几何性，计算了格的特征 多项式而其对于子空问轨道按联生成的格的相应问题，却没有研究本文旨在 讨论子空问轨道按联生成的格的问题文章分为四章第一章阐述了问题的背 景，发展概况及一些预备知识第二章讨论一般线性群作用下子空间轨道生成 的格，研究了不同格之问的包含关系，刻画了给定格中子空间的特性，讨论了格 的几何性第三章讨论辛群作用下子空问轨道生成的格，研究了不同格之间的包 含关系，刻画了给定格中子空问的特性，讨论了格的几何性第四章讨论酉群作 用下子空间轨道生成的格，研究了不同格之间的包含关系，刻画了给定格中子 空闻的特性，讨论了格的几何性 1 2 预备知识 设最是一个g 元有限域。提一个素数幂。设砖“是日上的n 维行向量空问， 繇是局上的n 级典型群之一，即6 t n = g k ( 日) ；s 加( 日) ，这里n = 2 v ；“( 日) ，这 里g = 菇；c k ( 目) ，这里n = 2 + 正且6 = 0 ，1 或缄p ( 日) ，这里n = 2 u + 正6 = 1 或2 ，且g 是2 的方幂( 参见文献f 劬6 k 在硝帕上有一个作用： 掣g 。一曩哪 ( ( 。i ，勋，) ，印一( 。1 ，如，珥 河北师范欠学同等学力申请硕士学位论文 设p 是日叫的一个m 维子空闻，由予空间p 的基向量组成的秩为m 的mx 阵称 为子空间p 的一个矩阵表示，仍记作p 上述作用诱导出在瑶w 的子室阐集台上 的一个作用即一个子空问_ p 在儡的作用下变成p t 日唧的子空同集合是瓯作 用下的轨道的不变井显然， 田和硝叫是两个平凡的轨道设h 4 是g 。作用下的 任一子空间轨道，用c ( m ) 表示m 中子空问联生成的集合，并称( 朋) 是由朋的 子空间生成的集合约定 田是川中0 个元素的联，即 d ) c ( 朋) 如果按包含或 反包含规定( m ) 的偏序，那么c ( m ) 是一个偏序集，并分别记为o 似) 或c e ( m ) 对任意p ，0 d ( m ) ， 尸v q = p + q ，尸八q = + r c o ( 朋) i r p n o ) ， 这里+ 冗毒z o ( - m ) i r p n q 指o ( 朋) 中所有含于p n q 的手空同的 联于是c d ( m ) 是一个有限格对任意p 0 厶t ( m ) ， v p v o ；+ i n ec 且( m ) 陋p n q ) ，p 人口= p + o ， 岛( m ) 也是一个有限格c o ( - 矗) 和_ c 且( m ) 都称为由m 生成的格， 现在给出格的有关概念r 可参阅f j j 或f 2 1 ) 设p 是一个偏序集，d ，6ep 称b 是n 的一个覆盖，如果不存在c p 绽得a c b ，记作o b ，p 中元素m 称 为p 的一个极小元，如果不存在oep 使得a 仇若p 有唯一的极小元，则称其 为最小元，记为o 井称p 是台0 的偏序集 设p 是一个舍0 的偏序集设8 只如果以。为起点社为终点的极大链有相同 有限长，就称它为n 的秩，记作r ( 如果对任意口p 都规定了秩r ( n ) ，就称p 有秩 函数r ：p 寸n ，其中是全体自然数和0 组成的集合 偏序集p 说成是满足，o 柑柏- d 舳d 条件，简称j d 条件，如果对于任意口，6 p ，n b ，以口为起点，b 为终点的所有极大链有相同有限长 命题1 i 【i l 设p 是一个舍0 的偏序集如果p 满足皿条件，那么p 上有秩函教r p n 并显 r ( 0 ) = 0 ， 如果( b ，那么r ( 6 ) = r ( a ) + 1 反之，如果存在p 上而在中击值的函数t 并且满足，那么p 满足j d 条件，并 且以r 为_ p 上的秩函数 一 设p 是一个合0 的偏序集p 中元素p 称为p 的原子，如果0 p 含0 的格l 称 为原子格，如果对每个a 工 o ，n 都是l 中一些原子的上确界印n = s t 妒伽 l 10 p d 塑韭堑垄垄兰旦量兰垄主堕塑主兰堡垒叁 命题j 2 设厶黾含d 的有限格那么三是原子格当且仅当趴 o 中每个元素是 箕原子的并 设l 是一个含0 的格正称为一个几何格，如果 饿对每个元素8 队 o ) ，口= s u p p 二f0 1 下面证明u v 不成立 如果u = o ) ，则d i m v m + 1 由y 是m ( m ，哟中子空间的联。知存在w m ，n ) 冬1 2 0 ( m ，n ) ，使得u w v 如果u o ，设u 和y 分别是m 2 ，m l 维子空间，则r ? l l - - m 2 2 设 0 1 ，一，t k n ： o r n 2 + l ，l 是y 的一个基，而 1 3 1 ，是的一个基则( 1 1 1 ，2 ， t i m , 1 ) c ( m ，n ) ，记为w ；并且u w v ， 由上述讨论可知，如果u v 那么r ( y ) = ，( u ) + 1 ，即命题1 ，1 中回成立 因此r 是1 2 0 ( m ，n ) 到的秩函数 ( 矽当m = 1 时，c d ( 1 ，竹) 是功叫的所有子空间组成的集合设阢w l ：o ( 1 ，礼) ， 则有维数公武 d i m ( u4 - i 矿) + 如n ( u f1 - 矿) = d i m u + d r o w 因为u w = u n 彬故 r ( u v n 7 ) + ，( 矿a 1 l 矿) = r ( u + w 7 ) + r ( u n i 功 = d i m ( u + w 7 ) + a i m ( u f l i 矿) ；d i m u - i - d i m w = r ( u ) + r ( i 矿) 因此g 2 在：o ( 1 ， ) 中成立，故c o ( 1 ，n ) 是一个有限几何格 当m = 住一1 时，d 一1 ，惋) 由 o ) ，尉哪和尉哪的所有竹一l 维子空阀组成， 容易验证g 2 在l ：o ( n 一1 ， ) 中成立因此z ：o ( n 一1 ，叻是一个有限几何格 设啦，抛，是日卅的一个基，2 m n 一2 取 u = ( v l ， m ) ，w = 忱，一，t ，m + 2 ) m ( m ，n ) d ( m ，哟 则u 人w = o ) 且f ( u 人仰7 ) = 0 果m r ( u ) + ，( 彤) ，因此由命题1 3 知c o ( r n ，n ) 不是几何格 定理2 4 设n l m 1 那么c r ( 仇，n ) 是一个有限几何格 i j y 踢容易知道砖“) r ( m ，n ) ，r ( m ，礼) 是一个有限格 对任意x c r ( m ，竹) ，规定 郴，= n n - m d r e “x , 如果x 0 ) ， 如果x 一 o ) 则，是c r ( m ，哪到n 的一个满足命题1 1 中( 耽伍) 的函数因此，是c r ( r a ，n ) 的秩 函数 设u c 矗( m ，n ) ，由定理2 2 知，或者u = o ) 或者u 是硝州的子空间 而a i l l l ( t r ) m 设u 砖，d i m u 一凫，那么七= o 或仇| n - - 1 因为硝哪的 任一个日哪的子空间都是若干个仉一1 维子空间的交，所l ；【不妨设u 是f 个仉一 1 维子空间m ，w 2 ，w z 的交，即 则 因此g 1 成立从而c _ r ( m ，他) 是一个有限原子格 设阢w c r ( 仇 ，1 ) 如果d f 加( c 厂n ) m ，那么矿 o ) ，w o ) ， 且u v w = u n 形于是 r ( u v w 7 ) + r ( t r 八i 矿) = 仃一d i m ( u n w ) + n a m ( u + 缈) = n d i r a u + 礼一d r o w = r ( v ) + r ( ) 因此( j ) 成立当d 妇( u f l ) m 一1 时，u v w = o ) 当u 和彬至少有一个 取 o ，时，“) 成立当u o 且i 矿 o ) 时，设幽玎u ；1 1 1 , 12m ，d i m w = m 2 m ，且d i n l ( u + i 矿) = d ，那么a i m ( u n w 7 ) = m l + r n 2 一d 因此 r ( u v + r ( u 八) = n - - r a + l + n d 佗一m 1 + n 一忱= r ( u ) + r ( 彬) 从而“) 成立于是由命题j 3 知，：a ( m ，札) 是一个几何格 6 哌 。n斟 | i u ， 眠 ：n： c 一 彤 哪 m “ c缈 r l + i l 哌 ；v：l j j 矿 第三章 辛群s 2 ，( f g ) 作用下的情形 3 1 引言 设n ；2 v ，而是正整数设k 是马上的2 i ，级交错矩阵， k = ( 一訾) 日上满足z 删7 的全体2 v 级矩阵t 对矩阵乘法作成一个群，称为届上的2 v 级辛 群，记作s 惋”( 日) 一企m 维子空问p 说成是( m ，s ) 型的，如果矩阵p k p t 的秩是孙， 这里把s 叫做p 的指数由文献砸r 可知，( m ，8 ) 型子空间存在当且仅当2 s m + 文胤v l ( m ，式2 v ) 表示可2 中全体( m ，s ) 型子空间所成的集合则由文献 6 1 0 e 定理3 7 知朋( m ，s ；2 l ，) 是跏知( 蜀) 作用下的轨道，再用c ( 竹l ，式2 p ) 表示由m ( m ，弗2 l ，) 的子空问生成的集合如果按包含或反包舍关系规定c ( m ，s ；2 v ) 的偏序c ( m ，s ；2 p ) 分别记作o ( m ，彤2 功和z ：r ( m ，彤2 功 3 2 辛群却。，( f 口) 作用下子空间轨道生成的格 引理3 1 设n = 2 t , 2 ，2 s m 2 u , 从 而州( m + l ，8 + 1 ；2 u ) = 0 ；于是 c ( m + 1 ，s + 1 ；2 王，) = o ) ) ( m ，8 ；2 p ) p 刚旷= ( 一三以i j 。c 砷二： ，其中盯= m 一- 一z & 且 p = ( p f ，z ) t + ( p f ，z ；) t c ( ，n ，s ；2 王，) 定理3 3 设 = 2 u 2 ，2 s m 王，+ s ，2 s i m l p + s 】和m 1 1 那 么c ( m ，s ；2 u ) c ( 仇l ，s l ；2 u ) 的充分必要条件是m r n , 1 s 一 9 1 0 8 河北师范大学同等学力申请硕士学位论文 证明充分性设非负整数对沏，8 ) 满足2 s m l ，+ 8 ，m 一7 7 h s 一8 l2 0 则朋( m ，s ；2 王，) 口令亨一8 1 一o ，t n m l = t + ，那么南r 0 由2 占 m l ，+ 8 得m 1 + r l ，+ 8 l ，再由2 s 1 m 1 v + 8 1 得2 s l m 1 + r l ，+ 兜 对于0 l 一1 ，有2 8 1 m l + i l ，+ 8 1 于是由引理3 1 ，得 c ( m 1 ，s t ；2 | ，) 2c ( ，n 1 + 1 ，8 x ；2 王，) 2c ( m l + r ，s l ；2 p ) 再由2 s f n p + s ，得2 ( 8 1 + t ) ( m l + t ，) + t 矿+ ( 8 1 十t ) ，则对0 t t l ， 总有2 ( s l + 0 ( m l + r ) + 工，+ ( s l + 1 ) 于是由引理3 2 得， c ( m 1 + ，s l ；2 i ，) 2 2 ( m a + t 十1 ，s 1 + 1 ；2 功2 c ( m l 十埘，s l + t | 2 ) = c ( m ，s ； 因此得证 必要性由2 s m p + s ，可知朋( m ，s ；2 ) o 再从 m ( m ，s ；2 ( m ，s ；2 功c ( m 1 ，s a ；2 i ，) 得，对任意口m ( m ，s ；2 v ) ，q 是3 4 ( m x ，s l ；2 v ) 中子空间的联因此存在p , m ( m l ，s l ；2 功使锝p q 于是出文献f 6 ，定理3 2 6 知, m 一弛善一8 1 0 。 定理3 4 设n = 2 y 2 ，2 s m v + 8 ，2 3 l m l l ，+ 8 1 和帆1 那a c ( m l ，8 1 ；2 ) 由 田和所有( m ，s ) 型子空间组成，其中( m ，8 ) 满足仇一m l 8 一s 1 2 0 证这是定理3 3 的直接推论 引理3 5 【4 l 设2 8 l m l p + 8 l 和2 s 2 m 2 王，+ 5 2 ，v 和u 分别 是( m l ，8 1 ) 和( 他，8 2 ) 型子空问且u l d 那么有一个子空问y 的矩阵表示y 使 得 v k i r = 0 1 ( 0 2 ) 一f ( n ) 0 o 0 ( 盯1 ) 一j ( 5 3 ) ，( _ 3 ) o 0f 瓴) 一j “) 0 0 ( ) 这里s 3 和s 4 是非负整数，o r l = 竹砣一2 8 2 一s 3 0 ，c r 2 = m l 一 功一5 3 2 s 4 0 ，8 1 = 劫+ s 3 十，u = ( 巩，t k h ) ，地( 1 i m 1 ) 是y 的行向量，并 且m 1 一m 2 之8 l 一现0 ， 9 河北师范大学同等学力中请项士学位论文 定理3 6 设2 5 m l ，+ s ，1 m 2 v l 那么 1 ，下面证明u y 不成立 如果u = 叮，则d m v r i g + 1 因y 是( m ，s 2 v ) 中子空同的联，故存在 一个子空同w m ( m ，s ；2 v ) c d ( m ，8 ；2 p ) ，使得u 竹k m 芝s 2 - - s 0 故w o ( m ，8 ；2 v ) ，且u w 0 设w = ( v l ，t + 1 ) ，那么w 是一个( k + 1 ，s 2 + 1 ) 型 子空问，由m 2 + 1 一，乃f 2 + 1 3 20 ，知w c o ( m ，2 y ) ，且u ，u w 矿 在上述三种情形中u 0 ，m r ，则口2 0 ) i s p = ( 砰，霹，霹) r ，则 ( 砰，砰) 个，( 砰，霹) t m ( m ，“哟， 于是 p = ( p f ， ) t + ( f f ，z ；) r z ( m ，r ；礼) 因此得证 引理4 2 设，l 1 ，2 r 2 m n 4 - r 和m 1 那么 z c m ，r ；n ) 2l ：c m 4 - 1 ，r + 2 ；哟 证明若m = n ，则m ( m4 - 1 ，r + 2 ；n ) 一m 若m = r ， 2 ( m + 1 ) ，从而朋( m + 1 ，r + 2 ；n ) = d 于是 c ( m + 1 ，r + 2 ；哟= o ) ) c ( m ，r ；n ) p 一矿= ( j 。c 二r - ，。动) 记p = ( 砰，谚) r ，其中卫l ，勋分别是p 的第m 和第m + 1 行，则 ( 兰) ( x 观2 ) 1 圳 q ( ：) ( 虿矿= ( ：) 设q ( ：) = ( 嚣) ，划 ( 砰，订) t ，( b y ，谚尸m ( m ，r ；叻， 河北师范大学同等学力申请硕士学位论文 且 p = ( p t ，订) t + ( j 卒，疆) r ( m ，r ；n ) 引理4 3 设托1 ，2 r 2 m o 时，对0 is t 一1 ，总有2 ( 2 0 2 ( m l + r + t ) 付+ 2 i 由引理4 2 有 z ：( m a + f ，o ；n ) 2 ( r n l + 矿+ 1 ，2 ；哟2 2c ( m l + + ，2 t ；动= ( 仇，r ；n ) ， 当r o 时，z ：( m l + 矿，o ；珏) = z ：( r a x ，o ；n ) i 当1 时，对于o i r 一 1 ，有2 ( r n l - i - i ) n 一2 ，根据引理4 1 ，得 c ( m l ，o ；r t ) 2c ( m 1 + 1 ，0 ；n ) 2z ：( m x + t ，一l ，0 ；n ) 2 ：( m l + r ，o ；n ) 1 6 河北师范大学同等擎力申请硕士学位论文 情形2l = 1 由r l 知 t l ，于是r 3 再由2 y2z 知1 由2 rs 2 ms 露4 - r ，得2 ( r 1 ) 2 ( m 一1 ) o 时，对0 i t l ，总有2 ( r x + z + 2 t ) 2 ( m l + + i ) 竹+ t - l + z + 2 1 由引理4 2 ，有 c ( m l + ，7 1 + 厶礼) 2l ；( m x + + t ，n + f + 2 如佗) = ( m ，r ；哟 如果f = o ，那么 ( m l + 矿，r l + j ；哟= 2 ( m a + ，r l ；哟 当r = o 时，；( m l + t ，r l ；哟= l ；( m x ，r l ；佗) ；当1 时，对于o is 一 1 ，由2 r i 2 m 1 有2 n 2 ( m l + i ) n + 乒一2 根据引理4 j ，得 r ( m a + ，n ；n ) l ；( m l ，n ；扎) 如果l = 1 ，则t ，1 那么 c ( m 1 + ，t 1 + l ；n ) = ；( m a + r ，n + 1 ；n ) 若t ，= 1 ，则 l ；( m l + ，n + 1 ；n ) = ；( m l + 1 ，n + 1 ；n ) ； 若2 ，对o i 亡，一2 ，有2 ( r l + 1 ) 2 ( m l + 1 + i ) 竹+ n 一2 ，出引理4 l 有 l ；( m l + ，n + 1 ；n ) l ；( m l + l ，n + 1 ；礼) 因r 1 1 ，根据引理4 3 ，得 ；( m l + 1 ，7 1 + 1 ；n ) ；( m l ，r l ；n ) 定理4 6 设n 1 ，2 r a 2 m l n - t - r l 且m 1 1 如果r l21 ，那么c ( m 1 ，f 1 ；n ) 由 o ) 和所有( m ，) 型子空间组成，其中( m ，r ) 满足条件2 m 一2 r n l ，一n 0 如果n = o ，那a z ；( m l ，o ；竹) 由 o ) 和所有( m ，r ) 型子空间组成，其中( m ，r ) 满足 条件2 m 一2 r n a r o 且r 1 1 8 河北师范大学同等学力申请硕士学位论文 证这是定理4 4 和4 5 的直接推论 引理4 7 嘲设2 ns2 r a l n4 - n 和2 仡2 m 2 嚣+ r 2 ，矿和矽分别 是( m l 。n ) 和( m 2 ，r 2 ) 型子空间j t u v 那么有一个子空问y 的矩阵表示y 使 得 f ，加。j 、 饵- t ； 删小。 l ， ( 3 ) j 【r 3 ) i o ( ) j 这里s 和如是非负整数，t 7 1 = 砌一您一5 0 ，0 2 = m l r n a 一占一r 3 o ，r l = 您+ 2 s4 - r a ，u = 砚，一，弘，1 2 ) 。地( 1 lsm 1 ) 是y 的行向量，并 且2 r n x 一2 r n 2 r 1 一r 2 芝0 定理4 8 设2 r 2 m n q - n1 m ，l 一1 那么 c 矽d ( 1 ，r ；玎) p = 0 或j ) 和z ：o ( n 一1 ，r ；死) ( r = 住一2 或n 一1 ) 是有限几何 格， c o ) 当2 m n 一2 时o ( m ，；钆) 是一个有限原子格，但不是几何格 证明由定理4 6 知，c o ( m ，r ；n ) 是一个有限原子格，( m ，r ) 型子空问是它的 原子， d ) 是它的最小元 对任意x o ( m ，；札) ，规定 r ( x ) ： d m x m 十1 ，如果x 0 ) ， 、7 10 ，如果x = o ) 则r 是c o ( m ，r ；t 1 ) 到的一个满足命题1 1 中的函数设阢v z ：o ( m ，r n ) 且u 1 ，下面证明u v 不成立 如果u = o ) ，则d m v 2 m + 1 因y 是朋( m ，“n ) 中子空间的联，故存在一 个子空闻w m ( m 。r ；n ) z ：o ( m ，r ；n ) ，使得u 2 r a a 一2 m r 2 一l r i 0 故w z ：o ( r a ，r ；哟，且u w o 设w = ( i ) 1 ，t - m ，m + 1 ) ，那么- 矿是一个( m 2 + 1 ，您4 - 2 ) 型 予空阔由2 ( 忱+ 1 ) 一2 ，珏2 ( r 2 + 2 ) 一r o 知，w j d ( m ，r ；功，且， w 矿 情形3 眈= 8 = 0 此时7 n 1 一 k = 1 3 ，由r n l - - m 2 2 知，r 3 2 由文献f 曰引 理王j 知，有一个a j 使得贩= - - 1 y a w = ( 口l ，戗m ，t m 。一l + a ，) ，那 么是一个( 抛+ l ，您) 型子空间因u z ：o ( m ，r ；曹1 ) ，所以，当r = 0 时，1 再 由2 ( m 2 + 1 ) 一2 m 咆一r 0 知，w 仨c d ( ，n ，r ；n ) ，u w v 在上述三种情形中u r ( + r ( w ) 。于是6 r 2 不成 立说明c d ( m ，r 佗) 在2sm 他一2 时不是几何格 定理4 9 设2 r 2 m n 4 - r 1 m n 一1 那么 ( r 一1 ，n l ；n ) 和c r 一1 ，n 一2 ；n ) 是有限几何格； f 功当l m ”一2 时，r ( m ，“n ) 是一个有限原子格，但不是几何格 证明由定理4 6 知，碜c r ( m ，r ；嘭a c n ( m ，r ；妨是一个有最小元毋 的有限格 对任意x c 控( m ，r ；妨，规定 ，c x ，= ：二m d m + x ，, ，翥量妻兰；嚣： 2 1 河北师范大学同等学力申请硕士学位论文 那么，是格a ( 仇，；妨上的秩函数下面证职c 丑( m ，“，；) 中g 1 成立 当m = 拜一1 时z 冗( m ，“妨由 o ) ，r e - 和所有( n l ，r ) 型子空间组成，其 中r = 竹一l 或n 一2 容易验证c r ( m ，r ；哟中g l 成立 当1 仇n 一2 时，分两种情形讨论 情形j2 r 2 r n v ( c 2 ，e 3 ) v ( e l ，e 3 ) 设 u g r ( 1 ，o ；3 ) o ，磴 ， 那么厂是( 2 ，2 ) 型子空问或( 1 ，0 ) 型子空问，若c 厂是( 2 ，2 ) 型子空间则它是原子 若u 是( 1 ，o ) 型予空间，则咙_ = o 记u = ( l ，屹，嘶) ，则由 u 矿= 牡1 酉+ 蛹+ t 1 3 丽= 0 ， 、 知u 至少有两个分量不等于o 不妨设u x u 2 0 ，则 ( 兰) ，( 兰) 是( 2 ，2 ) 型予空间，且 ( e u l ) v ( e u 2 ) = 阢 因此r ( 1 ，0 ；r 0 是有限原子格 情形j 2 住4 由2 7 - 2 r n n + r 和7 1 4 知，2 r 2 m 犯+ r 一 1 ，竹一2 2 再由定理4 6 知，一1 ，1 0 , 一1 ) 型子空问和加一1 ，n 一2 ) 型子空间 在c r ( m ，r ；n ) 中设u 凡( m ，r 扎) ，由定理4 6 知，或者盯= o ，或者扩是j 努的 子空问而d i m u m ，设u z 害，d i m u = 七，那么k = o 或m ks 1 5 1 因为硌的任一个硌的子空闻都是若干个n l 维子空间的交，所以不妨 设u 是 个吼一l 雏子空间m ，一，m 的交，即 哌 。n：i u 河北师范大学同等学力申请硕士学位论文 因为暇是c r ( r n ，“哟的原子主= l ，2 ，l ，并且 因此g l 成立从而岛( m ，“功是一个有限原子格 情形22 r 2 m = n + r 设( m l ，r 1 ) 型子空间u 在r ( m ，r ；n ) 内，则应 有2 m l 一2 m r 1 一r 0 1 1 2 m = ，l + r 得r t q - r l 2 m a 再1 扫2 r r t l t l + n 可知 有n + r x = 2 r a l 因此c 兄( m ，r ；佗) 由 o ，硌和( m ，r ) ，( m + l ，彳+ 2 ) ，( n 一 1 ，n 一2 ) 型子空间组成对任一个 汐月( m ，r n ) o ) ，f 矿q ( n ) 1 j ， ( ) 酉= r 墙：1 ，) 记 z 制 五=( 笔) 是c 且( m ，r ；彬的原子，且驴= n 2 。五进一步， 、哌 。n：l c r 而 rm “ c r r l + = 眠 。v：l i i u ， 瓦 。n 日 c 一 缈 哟 r仇 “ c 缈 ，t 卜 = 瓦 。v m 1 1 u 河北师范大学同等学力申请硕士学位论文 设t l 为u 的第f l 一1 一 行，因为礼一1 一l m ，所以若记 u = ( ：) ， 则 x = ( ) 也是岛( m ，巧功的原子显然，当砧一1 一l = m 时，d i m ( x n 叻 m 此时， o = x v u = x v x - v v 五 因此，c 矗( m ，；佗) 是一个有限原子格 由上面的讨论可知，起( 仇，r ；) 是一个有限原子格 ( 缈c r 一1 ，r ；n ) ，其中r = n 一1 或n 一2 ，由 o ) ，j 努和一1 ，r ) 型子空间 组成此时一l ，r ；孔) 中g 2 成立因此，c r 协一1 ，竹一1 ；哟和岛 一1 ，竹一2 ；哟 是有限几何格。 c o ) 当1 m n 一2 时，下面证明存在以w z 名( 仇，r ；竹) 使得“) 不成立 设入参是方程面= 一l 的一个给定解渗见文献f 研引理5 u 下面分两 种情形考虑 ， 情形12 r 2 m n 十r 当r = 0 时，由1 m n 一2 知，7 t g 一1 0 ，n 。一1 2 设 u = ( 管舭0 。一0 ，：) ，u 。【 oj ( m 一1 ) a j ( 。一1 ) o7 ， 缈= ( o 加一l ，1 ) ，扣一1 ) ) 则职w c r ( m ，o ；乱) ，_ r u 和分别是( m + l ，2 ) 型和 一l ，n 一1 ) 型子空闻 当r = 仇时，由1 m n 一2 知，m + 2 t t , 设 u = ( j ；：) ，桫= ( 舭，舯，) 则由定理4 6 知，矾w c r ( m ，m ；n ) ，且矿和y 分别是( m + 1 ，m ) 型和一1 ，n 一 1 ) 型子空问 当o r m 时，m r21 ，由2 m r ( u ) + f ( ) 因此，阢使“，不成立故当1 m f i t 一2 时，r ( m ，q n ) 不是几何格 参考文献 la i g n e r 互c o m b i o a t o r i a lt h c o t y m s p r i n g e r - v e z l a g , b e r l i n , 1 9 7 9 2 b i r k i - i o f fg l a t t i c et h e o r y ( 3 r dc d ) f m a m c r i c a nm a t h e m a t i c a s o c i e t y , t s - o v i d e n c e , r i , 1 9 6 z 3 h u oyl i t ya n dw a n z l a t t i c e sg e n e r a t e db yt r a n s i t i v es e t so f s u b p a c c s u n d e r t i n i t ec l a s s i c z d g r o u p sl 国c o m m a j g e b r a2 0 ( 1 9 9 2 ) , 1 1 2 3 - 1 1 4 4 4 h u o z a n d w a n z o n t h e g e o m e t d c i t y l a t t i c e s g c d c r a t e d b y o r b i t s o f s u b - p a c e su n d e r 6 n i t ec l a s s i c a lg r o u p s j j o u r n a lo f a l g e b r a2 4 3 ( 2 0 0 1 ) , 3 3 9 - 3 5 9 ih u oy 删ya n dw a n z l a t t i c e s g e n e r a t e db yt r a n s i t i v es e t so f s u b p a c c s u n d e r6 n i t ec l a s s i c a lg r o u p s 1 日c o m m a l g e b r a2 0 ( 1 9 9 2 ) , 2 6 8 5 - - 2 7 2 z 6 w a n z g e o m e t r yo f c l a s s i c a lg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d 1 v j r s w c d e n ：s t u d c n t l i t t e r a t u r , l u n d 7 h u oy u a n - j i , l i l tl r m g - s h e n ga n dw a n z h e - x i a n l a t t i c e sg e n e r a t e d b ym m s i t i r es e t so f s u b s p a c e su n d e rf i n i t ec l a s s i c a l g r o u p s ，t h eo a h o g o n a lc a s eo f e v e n c h a r a c t e d s t i c l l i c o m m u n i c a t i o n si na l g e b r a2 1 ( 1 9 9 3 a ) , 2 3 5 1 - 2 3 9 3 & h u o y u a n - f ia n d w a nz b e - x i a n l a n c e sg e n e r a t e db ys u b s p a c e so f s a m ed i m e a s i o n a n d r a n k i n o r t h o g o n a l g e o m e t r y o v e r f i n i t e f i e l d s o f o d d c h a r a c t e r i s t i c 册c o m m u n i c a t i o n si na l g e b r a2 1 ( 1 9 9 3 b ) , 4 2 1 9 - 4 2 5 2 9 h u oy 瑚n - j ia n dw a n z h e - x i a n l a t t i c e s g e n e r a t e d 妙s u b s p a c e so f s a m ed i - m e n s i o na n dr a n ki no r t h o g o n a lg e o m e t r yo v e rf i n i t ef i e l d so f e v e nc h a r a c t e t i s d c c o m m u n i c a t i o n si na l g e b r a2 2 ( 1 9 9 4 ) , 2 0 1 5 - 2 0 3 7 1 0 h u