（基础数学专业论文）内射模的推广和rad平坦模.pdf

摘要 本文是对环与模范畴中重要的模类一内射模与平坦模的延拓，引入 了广义直内射模、r o 以内射模与r n 扛平坦模的概念，研究了它们的一 系列性质，以及探讨了r n d - 内射模与r n 如平坦模的一些联系，最后还用 r n 出平坦模刻画了一些常见的环 在第一章中，我们对内射模进行了一类推广，在直内射模的基础上， 我们提出了广义直内射模的定义，并得到了一些良好的性质，如证明了 模。饕。舰是广义直内射的当且仅当每个模坛，( i = 1 ，2 ，柚) 是广义直内 射的 在第二章中，我们对内射模进行了另一重要推广，引入了r 口出内射 模的概念，得到若干性质，证明了若m r 是投射模，则r a d - m 一内射模的 商模是r n 出肛内射的当且仅当r a d ( m ) 是投射模，并证明了模m 是强 ，n 舡内射模当且仅当m 能分解成一个内射模和一个根为0 的模的直和， 并证明了环r 是n o e t h e r 环当且仅当强r 口扣内射模的直和也是强，口扛内 射的 在第三章中，我们对平坦模进行了自然推广，引入了，口扣平坦模的 概念，得到了它的若干性质，探讨了t n d _ 平坦模与r 口扛内射模之间的一 些联系，最后我们用r 口d _ 平坦模及r 口出内射模刻划了某些环的性质 关键词：内射模，广义直内射模，r 社内射模，强r 址内射 模，平坦模，r a d - 平坦模 a b s t r a c t t h ei n j e c t i v em o d u l e sa n dt h ef l a tm o d u l e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nm a n y p a r t so fr i n ga n dc a t e g o r i e so fm o d u l e s ，s ow ei n t r o d u c et h en o t i o no fg e n e r a l i z e d d i r e c t a n j e c t i v em o d u l e s ，r a d - i n j e c t i v em o d u l e s ，a n dr a d - f l a tm o d u l e sa n ds t u d y t h e i r sp r o p e r t i e s n e x t ，w er e s e a r c ho ft h em l a t i o no ft h er a d - f l a tm o d u l e sa n d r a d - i n j e c t i v em o d u l e s f i n a l l y , w eu s et a d - f l a tm o d u l e sa n dr a d - i n j e c t i v em o d u l e s t oc h a r a c t e r i z es o m er i n gp r o p e r i t i e s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v eag e n e r a l i z a t i o no fi n j e c t i v em o d u l e s ，f u r t h e r ，w e i n t r o d u c et h en o t i o no fg e n e r a l i z e dd i r e c t - i n j e c t i v em o d u l e s ，a n do b t a i ns o m ef a v o r - a b l ep r o p e r t i e s f o re x a m p l e ，w ep r o v e dt h a to 鍪l 舰i sd i r e c t - i n j e c t i v ei fa n do n l y i fs oi se a c h 舰，( i = 1 ，2 ，死) i nc h a p t e r2 ，w eg i v ea n o t h e rg e n e r a l i z a t i o no fi n j e c t i v em o d u l e s ，w ei n t r o d u c e t h en o t i o no fr a d - i n j e e t i v em o d u l e s ，o b t a i ns o m ep r o p e r t i e s ，a n dp r o v e st h a ti f 嗡 i sap r o j e c t i v em o d u l e ，t h e ne v e r yq u o t i e n to far a d - m - i n j e c t i v er i g h tr - m o d u l ei s r a d - m - i n j e c t i v e 证r a d ( m ) i sp r o j e c t i v e ，a n d s h o w e dt h a t am o d u l em i ss t r o n g l y f n d - i n j e c t i v ei f fm c a nb ed e c o m p o s e da sad i r e c ts n n lo fa ni n j e c t i v em o d u l ea n d am o d u l ew i t hz e r or a d i c a l f i n a u y , i ti sp r o v e dt h a tar i n gr i s 啦h tn o e t h e r i a n i f fe v e r yd i r e c ts l i mo fs t r o n g l yr a d - i n j e c t i v em o d u l ei ss t r o n g l yr a d - i n j e c t i v e i nc h a p t e r3 ，w eg i v eaag e n e r a l i z a t i o no ff l a tm o d u l e s ，a n di n t r o d u c et h e c o n c e p t so fr a d - f l a tm o d u l e s ，w ew i l li n v e s t i g a t et h er e l a t i o no ft h er a d - f l a tm o d u l e s a n dt h er a d - i n j e c t i v em o d u l e s f i n a l l y , w eu s er a d - f l a tm o d u l e sa n dr a d - i n j e c t i v e m o d u l e st oc h a r a c t e r i z es e v e r a lu s e f u lr i n g s k e yw o r d s ：i n j e c t i v em o d u l e ，g e n e r a l i z e dd i r e c t - i n j e c t i v em o d u l e ，r a d - i n j e c t i v e m o d u l e ，s t r o n gr o 拍n j e c t i v em o d u l e ，f l a tm o d u l e ，r a d - f l a tm o d u l e i i 部分符号说明 冗 m r m r 鼢 h o m r ( m ，n ) f i m _ _ _ - 一 m + e ( ) t a d ( m r ) s o c ( m r ) n 曼m 明。m om nm 带单位元的结合环 右肛模m m r 和凰的张量积 m 到的r _ 模同态环 正向极限 m = h o m z ( m ，q z ) 右r - 模肘的内射包 右肛模m 的根 右肛模m 的基 是m 的子模 是m 的本质子模 是m 的直和项 与m 的交 3 5 ， 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行 研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：日期：眸6 月；日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打誓 静) 作者签名： ，f 守拖 导师签名：帐良 日期：2 魄年6 月弓日 日期：睥参月易日 内射模的推广和r a d - 平坦模 引言 环上的模是向量空间的推广，早在1 9 世纪，d i r i c h l e t 就曾考虑过多 项式环上的模上世纪2 0 年代，e n o e t h e r 曾一再提出过模在代数学上所 起的重要作用到了4 0 年代，由于环论的需要以及同调代数的兴起，模 的理论更进一步得到了发展在代数学中，通常用环上的模来刻画环的 结构例如，环上所有的模都是投射模的环是半单环；一切内射模的商 模都是内射模的环称为遗传环 同调代数是由数学家s e i l e n b e r g 和s m a cl a n e 等做了一系列重要工作 奠基而成的一门学科它的思想方法主要来自代数拓扑学中的复形同调 理论，其主要研究对象是环上的模及其复形它作为一种有用的工具已 被应用到群论、交换代数、代数几何、代数拓扑、微分拓扑、数论、偏微 分方程、非交换调和分析等学科，并越来越受到重视在发展过程中， 同调代数充分地使用了范畴论中的方法和理论，并以h o m 以及它们的导 出函子e x t 、t o t 作为最基本的工具，从而有效的给出环类的一些同调不 变量，成为环论研究的新工具特别是5 0 年代末，数学家们运用同调代 数的理论和方法证明了k r u l l 的推测一任何正则局部环都是唯一分解环 这一个纯属于环论的问题因此，同调代数已不仅是一种理论，而且 是一种可以用来解决环论与模论中的问题的有力工具 在环与模理论中，最基本的三大模类：投射摸、内射模和平坦模这 三类模也是同调代数和模论中的主要研究对象近年来，很多作者对他 们进行了推广，这方面的工作见【8 , 9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 】 内射模是模论与同调代数理论中重要的模类首先，它既可看作投射 模的对偶，也可以看作是域上线陛空间的推广，因此有着深刻的研究背 景其次由于内射模的内部结构至今不被人们所掌握，从而对内射模及 其性质的深入研究就自然成了模论里的重要研究课题之一不仅如此， l 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 在对内射模的推广得到的新模类的研究过程中，人们往往可以更深刻的 认识内射模的内部结构，并且还能用于对环类进行深入的刻划 在文【8 】中，毛立新提出了广义内射性；在文【9 1 中，杨刚等进一步研 究了广义内射模的一些性质；在文【1 0 】中，程治中提到了直内射模的定 义在此基础上，作者在【1 1 】中结合广义内射模和直内射模的特征提出 了广义直内射模的定义，并作为本文第一章 称r - 模吖是广义( n e a r l y ) n 一直内射模，如果对于任意x 。，任 意单同态，：x _ m 存在同态h ：n _ m ，使得k e r ( f h i ) 。x ，其中 i ：x 叶是标准嵌入同态称弘模m 是广义直内射模，如果m 是广 义m 一直内射的 在本章中，我们得到了两个重要定理：。 定理1 2 6 0 叁。尬是广义直内射的当且仅当每个尬g = l ，2 ，n ) 是广 义直内射的 定理1 2 8 设舰，尬是左肛模，x m t ，m = m 1om 2 ，死：m _ 尬( i = 1 ，2 ) 是标准投影，则以下条件等价： ( 1 ) m 2 是广义m 1 x 一直内射的； ( 2 ) 对任意x 。且nm 2 = 0 ，7 r l ( ) x ，7 r 1 ( ) n ，总存在 子模x ，m 使得nn 。n 且m = om 2 ； ( 3 ) 对任意x 。且n n m 2 = 0 ，x n ，总存在子模x n 7 m ， 使得n 。n 且m = n om 2 在【1 2 1 中，作者a m _ i n ，y o u s i f ，z e y a d a 提到了8 0 c - 内射模，强$ o c - - 内射模 的定义，对于右融模m ，模m 称为s o c f 旷内射( 8 0 c - - 内射) 模，如果 对于任意肛同态，：s o c ( r ) _ 肘可以扩张到r ；称右肛模m 是强$ 0 c - - 内射模，如果对于任意右肛模，m 是s o c i r 一内射的在本文中，我 2 内射模的推广和r a d 一平坦模 们引入并研究了( 强) r a d - 内射模的概念，并给出了一些例子作为内射模 的推广，我们就r n 乒内射模也得到了一些类似的结果例如：强r 口以内 射模在同构、直积、有限直和以及直和项下是封闭的此外得到了一个 重要结论，即若m r 是投射模，则r a d - m 一内射模的商模是r n 出 仁内射 的当且仅当r a d ( m ) 是投射的我们主要证明了模m 是强，n d - 内射模当 且仅当m 能分解成一个内射模和一个根为0 的模的直和，并推广了内射 模与n o e t h e r 环的相关结论，得到了环r 是右n o e t h e r 环当且仅当强r 弘 内射模的直和也是强他乒内射的，利用此结果我们还可以得到环r 是一 个右n o e t h e r 弘环当且仅当每个右肛模是强r o d 一内射的 平坦模是模范畴中非常重要的一类模，一方面它是投射模的自然推 广，因为任意一个投射左肛模都是平坦左肛模；另一方面由l a m b e k 引 理我们知道通过构造特征模，它又与内射模有着密切的联系，而且利用 平坦模可以刻划许多重要的环，1 9 6 0 年c h a s es u 在文献【1 铷中证明了如 果平坦右肛模的直积也是平坦模，那么环就是左凝聚环；同年，h b a s s 在文献【1 4 】中也用平坦模给出了完全环的一个等价条件，等等所以平 坦模在环和模范畴中的重要性由此可见 1 9 7 9 年，d a m i a n o 在文献 1 5 】中引入了上平坦模的概念； 1 9 8 0 年， m i n g 在文献【1 6 】中又引入了p _ 内射模的概念，等等他们并用引入的这 些新的模类来刻划了已知的一些环，如n o t h e r 环，凝聚环等，使得这些 环的性质得到了更进一步的研究所以，对平坦模进行延拓就成为了一 种必然右船模m 称为平坦模，如果对任一( 有限) 生成左理想j ，有 ”0_m圆jr_m0r ( 幸) 正合1 9 8 8 年，杨同海等在文献【1 7 】中将( 宰) 中的，限定为有限表现理 想，引入了倍平坦的概念；而近年来朱占敏也在平坦模的延拓上做了 工作，他引入了极小平坦模和极小内射模，见文献【1 8 】；李珊珊在文献 【1 9 】中研究了p - 平坦模、p - 内射模以及它们的维数 3 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 在本文中，我们将( 木) 中的j 限制为r 中的根，给出了r n 扣平坦 模的定义，并给出了一些例子作为平坦模的推广，我们就r 口d _ 平坦 模也得到了一些类似的结果例如：若m 是r 口d 一平坦右r 一模，假定 0 _ k _ m _ 一0 正合，则膨是，o 小平坦模当且仅当对环r 有 k r a d ( 功= k a m r a d ( r ) ；r n 小平坦模的纯子模是r 口小平坦模；( 厶) 口a 是一簇右肝模，则o a a 毛是t 口d _ 平坦模当且仅当每个 气都是r a d - 平 坦模 文章第二部分，我们主要得到了一个重要结论，即 命题3 2 9 对任意环r ，下列条件等价： ( 1 ) r a d - 平坦右弘模的直积也是r o 扣平坦模； ( 2 ) 对每个有序集j ，( r ，) r 是r 口玉平坦模； ( 3 ) 对环r 有r a d ( r ) 是有限表现的 文章第三部分，我们主要讨论了r q 扣平坦模与p r i i f e r 环、v o nn e u m a n n 正则环、r 口d _ 凝聚环之间的关系，得到了一个重要的定理，即 定理3 3 7 对于环r ，下列条件等价s ( 1 ) r 是左r o d _ 凝聚环； ( 2 ) 对任意集合a ，r a 是r a d _ 平坦的； ( 3 ) r a d - 平坦右肛模的直积是r n 舡平坦的； ( 4 ) r a d - 内射左肛模的正向极限是r o d - 内射的； ( 5 ) 对任一左肛模的正向系统( 坛) 斛有 l i _ m m e z t h c r i r a d ( r ) ，尬) 垒e x t l a ( r r a d ( r ) ，豳坛) ； ( 6 ) t 甜 ( 肌，r l r a d ( r ) ) 冬i i t o r ( g o ，r r a d ( r ) ) 对任意一簇右肛模 眠( 。f ) 成立； 4 内射模酌推广和r a d 一平坦模 ( 7 ) 一个左弘模m 是r 口扛内射的甘m 是r n 如平坦的； ( 8 ) 一个左肛模m 是r a d 一内射的，则m ”是7 口扛内射的； ( 9 ) 一个右肛模m 是7 口d 平坦的甘m ”是r n 扛平坦的； ( 1 0 ) 对任意环s ，t o r ( h o m s ( b ，c ) ，r i m d ( r ) ) 垒h o r n s ( e x t h ( r r a d ( r ) ，b ) ，( 其中b 为( f t ，s ) 一双模，舔是内射的 在本文中，所有环是含单位元的结合环，模均为酉模 5 内射模的推广和r a d 一平坦模 第一章广义直内射模 1 1 定义与介绍 本文引入了广义直内射模的定义，证明了模。鍪。坛是广义直内射的 当且仅当每个模脱0 = 1 ，2 ，n ) 是广义直内射的，另外得到了一个重要 定理： 设m ，是左肛模，x m x ，m = 尬om 2 ，死：m _ 尬( 江1 ，2 ) 是标准投影，则以下条件等价： ( 1 ) m 2 是广义m 1 x 一直内射的； ( 2 ) 对每一。m 且nm 2 = 0 ，7 r i ( ) x ，7 f 1 ( ) n ，总存在 子模x m 使得n 。n 且m = om 2 ； ( 3 ) 对每一。m 且n n m 2 = 0 ，x n ，总存在子模xsn m ， 使得n 。且m = n om 2 定义1 1 1 【9 1s 称殍模膨是( n e a r l y ) n - 内射模，如果对于任意子模 x n ，任意同态，：x _ m ( 且k e r ( y ) 0 ) 存在同态h ：n _ m ，使得 ，= h i ，其中i ：x 一是标准嵌入同态 定义1 1 2 【9 】：称弘模m 是广义( n e a r l y ) n - 内射模，如果对于任意子 模x n ，任意同态，：x _ m ( 且k e r ( f ) 0 ) 存在同态h ：n _ m ，使 得k e r ( f h i ) 。x ，其中i ：x _ 是标准嵌入同态 定义1 1 3t 称弘模m 是( n e a r l y ) n - 直内射模，如果对于任意x $ ，任意同态f ：x m 存在同态h ：n m ，使得f = h i ，其中i ：x 一 是标准嵌入同态 定义1 1 4 ：称r _ 模m 是广义( n e a r l y ) n - 直内射模，如果对于任意 x 。，任意同态，：x _ m 存在同态h ：n _ m ，使得k e r ( f h i ) 。 x ，其中i ：x _ 是标准嵌入同态 7 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 显然，若m 是a 直内射的，则m 是广义肛直内射的，但反过来不 一定成立 定义1 1 5 ：称肛模m 是广义直内射模，如果m 是广义肛直内射 的 例：( 1 ) 半单模是广义直内射模；( 2 ) 拟内射模是广义直内射模 1 2 广义直内射模及其性质 命题1 2 1 设m ，k ，a ，b 是左肛模，e ，f 是环r 的两个幂等元，下 列条件成立： ( 1 ) 若n 兰m ，m 是广义k 一直内射的，则也是广义弘直内射 的 ( 2 ) 若a 鲁b ，m 是广义a 一直内射的，则m 也是广义j e i 一直内射 的 ( 3 ) 若e r 筌，冗，m 是广义e r _ 直内射的，则材也是广义，弘直内 射的 证明：由定义直接可得 命题1 2 2 设左肛模m 是广义小直内射的，如果b 。a ，则m 是 广义b _ 直内射的特别地，j e i 是a 的单子模，则m 是b 一直内射的 证：设x 。b 。：x m 是任意同态，则存在妒：a _ m 使 得k e r ( 一妒i ) 。x ，其中i ：x _ a 是嵌入同态取妒= 纠b ，则 妒：b m 满足k e r ( + 一枇) = k e r ( 一妒i ) 。x ，即m 是广义b 一直内 射的当b 是单的时，肘显然是b 一直内射的 推论1 2 3 设a 是半单模，则m 是小直内射的，当且仅当m 是广 义小直内射的 8 内射模的推广和r a d 一平坦模 命题1 2 4 设左肛模m 是广义肛直内射的，如果b 是a 的单子 模，则m 是广义a 伊直内射的 证：设驯b 。a b ，咖：x b _ m 是任一同态，则存在同态8 ：a m 使得k e r ( c l r 7 一e i ) 。x ，其中i ：x a 是嵌入同态，7 r ：x _ 科b 是标准满同态显然b k = k e r ( d 钾r 一们) ，于是对任意b b ，有 口( 6 ) = o i ( b ) = 加7 ( 6 ) = 0 所以k e r o r ) k e r ( e ) ，这里7 r ：a _ a b 是 标准满同态，由分解定理知，存在同态妒：a b _ m 使得枷= 口对 任意y k ，有矽( 剪+ b ) = 枷( ) = 口( y ) = 6 i ( y ) = 加b ) = 咖( 箩+ b ) 由b k 。x ，得k b 。州b 又因为叫b k e r ( 矿一) ，其中 i ：州b _ a b 是嵌入同态所以k e r ( 砂一妒，) 。州b ( 参见【4 】中5 1 6 ) ， 即m 是广义a 伊直内射模 定理1 2 5 设尬( 江1 ，2 ，n ) ，a 是左船模，则m = o 鍪1 磊是广义 小直内射的当且仅当每个尬是广义小直内射的 证：充分性：设对任意j = 1 ，2 ，n ，尬是广义a 一直内射的，x 。a ， 妒：x _ m = o 銎。脱是任意同态，对每个坞是广义小直内射的，因此存 在b 。x ，奶：a 一坞使得乃纠巧= 奶勺，其中勺：巧一a 是标准嵌入， ：m = o 冬l 一坞是标准投影从而有妒i 唯。k = c r ，其中下：n 墨1 k _ a 是标准嵌入，妒= 冬l 咖，并且n 警l k 。x ，由n 銎l k e r ( 咖一妒6 ) 得 k e r ( 一妒) 。x 其中：x _ a 是标准嵌入，即m = o 銎l 磊是广义小 直内射的 必要性：设m = o 是。坛是广义a 一直内射的，x 。a ，则对任意 j 1 ，2 ，n ，奶：x _ 坞是任意同态因为m = o 翟l 尬是广义小直内射 的，所以存在同态妒：a _ m = o 銎l 必使得丁j c j l y = 妒r ，其中r ：x _ a ， 勺：m j _ m = 唣1 尬是标准嵌入同态，且y 。x ，取妒= l r j 妒 ，其中 乃：m _ 坞是标准投影，则咖l y = c r ，而y k e ，( 咖一妒) ，所以 k e r ( 咖一c r ) 。x ，即坞是广义小直内射的 9 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 定理1 2 6 唣。坛是广义直内射的当且仅当每个舰( 江1 ，2 ，n ) 是广 义直内射的 证：由定理1 2 5 可得证 推论1 2 7 设m 是左肛模，且1 = e l + + e ，l ，其中e ( 1 t 钆) 是 正交幂等元，则掰是广义直内射的当且仅当m 是广义气弘直内射的 定理1 2 8 设尬，是左肛模，x m 1 ，m = m 1om 2 ，死：m _ 坛( 江1 ，2 ) 是标准投影，则以下条件等价： ( 1 ) m s 是广义m x 一直内射的； ( 2 ) 对任意x 。且nm 2 = 0 ，7 r l ( ) x ，7 r 1 ( ) n ，总存在 子模xg m 使得n 。n 且m = om s ； ( 3 ) 对任意x 。且n n m 2 = 0 ，x n ，总存在子模x n m ， 使得n 。n 且m = om 2 证：( 2 ) = 争( 3 ) 是显然的 ( 1 ) 兮( 2 ) 定义同态q o ：n _ m s ，口_ 7 r 2 ( 口) 和风：n m 1 x ， n _ 订l ( o ) + x 由于9 1 ( ) n nm 1 = k e r ( a o ) ，则q ：( 7 r l ( ) ) _ ， a + r d u ) 一死( 8 ) 是弘同态显然w l ( n ) k e r ( & ) ，下证r l ( n ) = k e r ( 岛) ， 设a k e r ( & ) ，贝4 丌1 ( 口) ex m ，舰nm s = 0 ，口一r l ( a ) = z 2 ( a ) = 0 于是a = 7 r l ( o ) 7 r 1 ( ) 因此p ：7 r 1 ( ) 一m d x ，口+ 丌l ( ) - + z l ( a ) + x 是嵌入同态。由是广义m d x 一直内射的，可知存在：m d x 一 使得k e r ( 卯一q ) 。7 r l ( ) 定义= 口+ 砂( n + x ) i 口m 1 ，显然 n m 且，nm s = 0 对任意n m ，a = 防l ( o ) + 妒( 7 r l ( o ) + x ) 】+ ( o ) 一妒( 丌l ( n ) + x ) 】+ m 2 ，因此m = om s ，如果0 口n ，则 北( 口) = a ( a + z l ( ) ) 若n + 7 r l ( ) 6 ，则存在rer 使得a r + n l ( n ) 石 且7 r 2 ( a r ) = 口( ( n r ) + 7 r l ( ) ) = c z ( a r + 7 r l ( ) ) = 妒( 7 r l ( c 盯) + x ) ，0 a r = 1 0 内射模的推广和r a d - 平坦模 7 f 1 ( n ，) + l r 2 ( a r ) = 7 f 1 ( a t ) + 驴( 7 r l ( o r ) + x ) e ，即n 。n 由的定 义，显然有x ( 3 ) 兮( 1 ) 设任意l 。尬且x l ，q ：l x 一是任意同态定 义n = 口一a ( a + z ) i 口l ) ，显然n m ，且nm 2 = 0 ，x n 由条件( 3 ) 知，存在子模m 使得m = ，om 2 ，且nn 。n ， x n 设7 r ：m = n om 2 _ m 2 是以为核沿的标准投影由于 x = k e r ( 7 r ) ，：m , x m 2 ，n + x 一7 r ( n ) 是r _ 同态对任意 6 n + xel x ，+ x ) = 7 r ) = 7 r 【n a ( a + x ) + q ( 口+ x ) 】若口en ， ngx ，由n n n 。n ，x 知，存在，r 使得a r a ( a r + x ) n 7 且 a r + x 6 ，于是( n r + x ) = ? t ( a r ) = 州o r q ( n r + x ) + a ( 口r + x ) 】= a ( a r + x ) ， 令下：l x _ m , x 为标准嵌入同态则有k e r ( d 矿r q ) 。l x 条件( 1 ) 得证 推论1 2 9 设尬，是左弘模，s o c ( m ) 指模m 的本质子模，m ； mo 必，l r i ：m _ 坛0 = 1 ，2 ) 是标准投影，则以下条件等价： ( 1 ) 是广义尬s d c ( 尬) 一直内射的； ( 2 ) 对任意。m 且n n m 2 = 0 ，s o c ( r 1 ( ) ) sn ，总存在s o c ( m 1 ) n sm 使得n ， en 且m = om 2 ； ( 3 ) 对任意n 。m 且n nm 2 = 0 ，s o c ( n ) = s o c ( m 1 ) ，总存在 s o c ( 舰) n m 使得n 。n 且m = n om 2 证：令x = s o c ( 尬) ，则由定理1 2 8 直接可证 推论1 2 1 0 设舰，坞是左肛模，m = 舰om 2 ，则以下条件等价s ( 1 ) m 2 是广义m 一直内射的； ( 2 ) 对任意子模0 x 尬，m 2 是广义m , x 一直内射的； ( 3 ) 对任意。m ，i v n m l 0 且n n m 2 = 0 ，总存在子模x 5m 1 】 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 使得n 。n 且m = o 证：( 1 ) 营( 2 ) 显然；( 2 ) 营( 3 ) 由定理1 2 。8 直接可证 内射模的推广和r a d 一平坦模 第二章r a d - 内射模 2 1 定义与介绍 在本章中，我们引入并研究了( 强) r o 乒内射模的概念，并给出一些例 子作为内射模的推广，我们就r n 舡内射模也得到了一些类似的结果 例如：强r o 出内射模在同构、直积、有限直和以及直和项下是封闭的 本章第二部分，我们主要得到了一个重要结论，即若m r 是投射模， 则o d - 卜内射模的商模是，口乒 卜内射的当且仅当r a d ( m ) 是投射的 本章第三部分，我们首先定义了本质根，接着给出了强r n 扣内射模 的三个等价刻画即：证明了模m 是强r n 乒内射模当且仅当m 能分解成 一个内射模和一个根为0 的模的直和之后我们推广了内射模与n o e t h e r 环的相关结论，得到了环r 是右n o e t h e r 环当且仅当强r n d 一内射模的直 和也是强r 口乒内射的，然后我们把m r a d ( m ) 限定为有限维， n o e t h e r 或a r t i n 时，得到了一些较好的结论，本章最后我们给出了一个关于右 n o e t h e r 右弘环的等价刻画 定义2 1 1 对于右肛模m ，模m 称为r a d i c a l 一_ 内射( t 口扛肛内 射) 模，如果对于任意肛同态，：r a d ( n ) _ m 可以扩张到n ；模m 称 为拟，a 以内射模，如果m 是r 口d - 仁内射的；模m 称为r n 以内射模， 如果m 是，- n 出弘内射模 定义2 1 2 右肛模m 是强r o 出内射模，如果对于任意右弘模， m 是，口乒_ 内射的 例2 2 1 2 2r a d 一内射模 1 3 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 1 拟内射模是r g d - 拟内射模特别地，每个半单模是拟r 讧内射 模 2 内射模是强r 口d _ 内射模 3 根为0 的模是强r n 出内射模特别地，半本原环和整数环z 都是 强r a d 一内射模，但z 不是主内射环，故不是内射环 性质2 2 2 ( 1 ) 设n ，舰( i ，) 都是右肛模，则n 斛坛是r a d - n 一内射的当且仅 当舰是r 口扣_ 内射的 ( 2 ) 设m ，k 是右肛模且k ，若m 是r n 玉肛内射模，则肘 也是r a d - k 一内射模 ( 3 ) 设m ， k 是右肛模且m 掣n ，若m 是r 口乒弘内射模，则 也是r 口d - k 一内射模 ( 4 ) 设n ，a ( i j ) 均为右弘模，则是r a d - - _ 。斛a 一内射模当且仅当 是t n 扣a 一内射模 ( 5 ) 设右肛模p 是投射的，右模m 是r 口出内射模当且仅当m 是 r o d _ p 内射模 ( 6 ) 设m ，k 是右肛模且冬。m ，若m 是r a d - k 内射模，则 也是r 口出石，一内射模 ( 7 ) 设m ，a ，日是右弘模且a 望b ，若m 是7 口扛小内射模，则m 也 是r a d - b 一内射模 证明：显然 由上面定理，我们很快可以得到以下两个推论： 推论2 2 3 1 4 内射模的推广和r a d 一平坦模 1 若是右肛模，则r 口d 一 r _ 内射模( 强r n d _ 内射模) 的有限直和也 是r a d 一- 一内射模( 强r 口d _ 内射模) 2 拟r n 出内射模( r d 扛内射模，强r 口出内射模) 的和项也是拟，口扣内 射模( r 口乒内射模，强r 口d - 内射模) 推论2 2 。4 1 若m 是右肛模，单位元1 = e l + e 2 + + e n ，其中e i ( i ，) 是 正交幂等元，则m 是，口玉内射模当且仅当m 是7 a 出e i 小内射模，其中 1 i 扎 2 设e ，是r 的幂等元，且e r 竺，r ，若m 是r n 挑肛内射模，则 m 是r 弘，肛内射模 定理2 2 5 若r 和s 是m a r i t a 一等价环，其等价范畴为f ：m r _ m s 若m ，k 是右弘模，则m r 是，- 口扣_ 内射模当且仅当f ( m ) s 是r n 扣_ 内射模 证明：若m r 是r 口乒- 内射模，考虑下列交换图 f ( m ) r a 9 d ( f ( n 滏) f ( n ， o 一卜) ( 图2 - 1 ) 其中，是单同态，则o ( f ) 在m r 中也是单的故存在h 使得 曩溢 旺一删 皿 ( 图2 - 2 ) 交换由 4 1 ( 2 1 3 3 ) 可知夕= 0 - i ( 口( 9 ) ) = 0 - 1 ( 加( ，) ) = f ( 丸) ( 9 1 9 ( 跏= f ( h ) f 所以f ( m ) 是r a d - f ( n ) 一内射模同理可以证明定理的另一部分 1 5 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 定理2 2 6 对投射右肛模m ，下列条件等价： ( 1 ) r 口如 仁内射右弘模的商模是r n 乒a 扛内射模； ( 2 ) 内射右肛模的商模是r o 扛肛内射模； ( 3 ) r a d ( m ) 是投射的 证明：( 1 ) 冷( 2 ) 显然 ( 2 ) 令( 3 ) 考虑下列交换图： 昱1 2 n 一0 ! 墓m ( 图2 - 3 ) 其中e 和n 是右肛模，7 是肛满同态，是任意肛同态，i 是单 同态我们不妨设e 是内射的，由n 是r a d - m 一内射的，可以延拓为 r 一同态g ：m _ r ，又m 是投射的，g 可以提升到同态蚕：m e 使得 f 7o 季= 9 我们定义，：r a d ( m ) _ e 且，= 雪l ，甜( m ) ，显然，t 7o ，= 厂故 r a d ( m ) 是投射的 ( 3 ) 兮( 1 ) 若m ，n 是右弘模，且 7 ：n _ l 是r 一满同态，是 r n 出肛内射的考虑下列交换图： 0 一r o d ( m ) 上丝m 么0 ( 图2 - 4 ) 由r a d ( m ) 是投射的，可提升到r _ 同态g ：r a d ( m ) _ r ，使得o o g ( = ) = ，( z ) ，z r a d ( m ) 由n 是，o 乒肛内射的，9 可以延拓到弘同态 蚕：m _ n 显然，7o 亘：m _ l 提升了，从而得证 1 6 内射模的推广和r a d 一平坦模 推论2 2 7 下列条件等价。 ( 1 ) r a d - 内射模的商模是r 口扛内射模； ( 2 ) 内射右肛模的商模是r 口玉内射模； ( 3 ) r a d ( r r ) 是投射的 推论2 2 8 ( 1 ) 若0 一k m _ _ 0 是右肛模正合列，对于右肛模l ，则m 是，口舡l 内射模( r n 出内射模) 当且仅当k 和是r 口d 内射模( r n 扛 内射模) ( 2 ) 设0 _ k u _ 一0 是右肛模正合列，若u 是拟r o 如内射 的，则u 是r 讧胙内射模且u 也是r a d - n 一内射模 证明：( 1 ) 显然 ( 2 ) 设 ：r a d ( k ) _ k 是嵌入同态，7 ：r a d ( k ) _ u 是弘同态由于u 是拟r 8 乒内射的，则存在冗一同态元：u _ u 和嵌入同态能：r a d ( u ) 一u 令，：k _ u ，我们有r a d ( k ) 兰f ( r a d ( k ) ) r a d c u ) ( 由 4 】9 1 4 ) 则下列图 u 1 _ u f ， k ( 图2 - 5 ) 这里7 1 ：r a d ( k ) 一r a d ( u ) 是肛同态使得h = 1 1 蚀= ， 是单的令 _ 彳= 无，则1 = 无h = 元， = 彳 因此厂是社k 一内射 由正合列可得n 垒叫k ，再由性质2 2 2 和定理2 2 6 知u 也是r 口扛- 内射的 1 7 湖南师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 推论2 2 9 设u 是拟r a d - 内射右肛模，存在弘单同态，：r 叶u 或 r 满同态g ：u _ r ，则u 是7 凸出内射的 2 3 强r a d - 内射模 首先我们给出本质根的定义，若r a d ( m ) 为右r - 模m 的根，r 是m 的任意子模，且r a d ( t ) or a d ( m ) = 0 时r a d ( t ) = 0 ，则称r a d ( m ) 为m 的 本质根 定理2 3 1 对右肛模m ，下列条件等价： ( 1 ) m 是强r o d 一内射模； ( 2 ) m 是强r a d - e ( m ) 一内射模； ( 3 ) m = eet ，其中e 是内射的，t a d ( t ) = 0 此外，若m 的根不为0 ，则r a d ( e ) 为m 的本质根 证明：( 1 ) 号( 2 ) 显然 ( 2 ) 兮( 3 ) 若r a d ( m ) = 0 ，则已得证设r a d ( m ) 0 ，考虑下面交换图： 1 0 _ 一r n ：( m 卜塑oe ( r n d ( m ) ) l i 肘 ( 图2 - 6 ) 其中c 是嵌入同态由于m 是r a d - e ( m ) 一内射的，所以m 是r a d - e ( r a d ( m ) ) 一 内射的，故存在弘同态矿：e ( r a d ( m ) ) _ m 延拓l 又因为r a d ( m ) 。 e ( r a d ( m ) ) ，从而口为嵌入同态若我们记e = a ( e ( r a d ( m ) ) ) ，则m = eot ，其中t 是m 的某个子模显然，e 是内射的且r a d ( t ) = 0 ( 3 ) 号( 1 ) 因为r a d ( t ) = 0 ，故t 是强r 口d 一内射模，又强t n 乒内射模 1 8 内射模的推广和r a d 一平坦模 的有限直和是强r n d _ 内射模，故得证 由此定理，我们很快可以得到： 推论2 3 2 若右冗- 模m 有本质根，下列条件等价。 ( 1 ) m 是强t 口d _ 内射模； ( 2 ) m 是内射模 我们知道，环r 是右n o e t h e r 环当且仅当内射右肛模的直和是内射 的特别地，如果虬，飓，都是单右肛模则。墨。e ( k ) 是内射的，下面 这一定理可以由此平行推出 定理2 3 3 对环r ，下列条件等价： ( 1 ) 冗是右n o e t h e r 环； ( 2 ) 若任意坛( i ，) 是强r o 扣内射的，则。墨1 m 也是强r n 出内射 的 证明：( 1 ) 号( 2 )