（基础数学专业论文）一类有限群的全自同构群及其全形.pdf

摘要 设g 是有限群g 用群的生成与定义关系描述为 g = ( 9 1 ，卯，一，鲰ls ( 9 l ，舶，一，“) = 1 ，s s ) 本文首先得到了计算a “t ( g ) 的阶的一个可行方法，即 a u ( g ) i = i ( ( 九1 ， 2 ， 。) i g = ( 1 ，h 2 ，一，k ) ，5 ( 厅1 ，屹，一，k ) = l ，8 s 然后利用这个等式求出了二面体群d 2 。( m 兰3 ) 及 1 ，州型交换p 群的全自同构群 的阶 其次，利用有限群的半直积与数论的有关知识，求出了d 2 旷。，3 ) 及d 2 z 。( p 3 ) 的全自同构群的具体构造，并就d z 。( m 3 ) 的全自同构群的构造的形式作了进 一步的讨论进一步讨论了当n 3 时，具有2 n 阶循环正规子群= 的2 蚪1 阶 非阿贝尔群的另外3 种互不同构的群的全自同构群的结构求出了f l ，n 1 形交换3 一群 的全自同构群的具体构造及【l ，1 】型交换p ( p 三3 ) 群的生成元当p 3 时，求出了 1 ，叫2 ) 型交换p 群的全自同构群的一个表现 最后，对有限群的全形作了初步讨论 关键词：全自同构群；半直积；群阶；生成与定义关系；全形 a b s t r a c t l e tgb eaf i l l i t eg r o u p gi sp r e s e n t e dw n hg c n e 伯t o r s 卸dd e f i n i n gr e l a t o r sw h i c hi s g = ( 仇，9 2 ，肌is ( 9 1 ，9 2 ，鼽) = 1 ，s s ) f i r s t ，t h i sp a p e r0 b t a i n saf e 鹊i b l ei n e t h o do fc a l c u l a t i n gt h eo r d e r0 fa u t o m o r p h i s mg m u p a 眦( g ) o ff i n i t eg r 吼l p sg t l l a ti s ， a 札( g ) l = i “ 1 ，h 2 ，- ， 。) ig = ( 忍l ， 2 ，t ，7 h ) ，s ( l ， 2 ， 。) = l ，s s ) t h 锄，w es o l v et h eo r d e ro fa u t o m o r p m s mg r 0 1 l p so fd i h e d r a lg r o u p sd 2 m ( m 3 ) a n d a b e l i a np g r o u p so f t y p e 【l ，钆1 s e c o n d ，m a 虹n gu s eo ft 1 1 ek n o w l e d g et h a tc o n c e m st 1 1 es e m i d i r e c tp m d u c to f 丘n i t e g r o u pa n dt h em e o r yo fn 岫b e r ，s 0 1 v e st h ee x p l i c i ts t m c t i l r eo fa u t o m o i p h i s mg m u p so f d 妒( p23 ) a n dd 2 2 p np 3 ) ，胁h e n n o r ed i s c u s s e sm ef o r mo fc o n s m l c t i o no fa u t o m o i p h i s mg r o u p so f - d 2 m ( m 3 ) w h e nn 3 ，d i s c u 8 s e st l l ee x p l i c i ts t m c t 埘eo fg r o u p s o fa l la u t o m o 呐i s m so f l eo m e r s31 d n d so fm u t u a l l yn o i l i s o m o r p t l i cn o n - c o m i n u t a t i v e g r o l l p sw h e r e 山e i rc o m m o no r d e ri s2 ”+ 1a n de a c hh n do fg m i l ph a sac y c l i cn o 眦a l s u b g r o u p = ( n ) w h o s eo r d e ri s 2 “ s o l v e st h ee x p l i c i ts t m c m r eo fa u t o m o l p h i s m g r o u p so f d b e l i a i i3 一g m l l p so f 帅e 1 ，叫a 1 1 d t h es e to fg e n 啪t o r so fa b e l i a r ip 3 ) g m u p so ft y i ) c 1 ，1 】0 b t a i n sap r e s e n t a t i o no fg r o u p so fa l la u t o m o r p h i s m so fa b e l i 柚 p ( p 3 ) 一g r o u p so f 哆p e 【1 ，札 ( n 2 ) l a s t ，w e 击s c u s st h eh 0 1 0 m o r p ho f 丘n i 皓g r o u p s 1 【e y 砌) r d s ：g r o u p so fa l la u t o m o r p h i s m s ； s e r n i d i r e c tp m d u c t ；o r d e ro fg r o u p g e n e r a t o r sa i l dd e f i i l i n gr e l a t o r s ； h 0 1 0 m 眦p h i i z z m z o - o mn m f n = ( m o dm ) d 2 m 日 g 1 日| q g z ( g ) g 工( 扎，p ) f ( x ) c h a r g 口，卢，6 ， g = ( x ) p a ac 口 符号说明 整数环 模m 的剩余类环 模m 的既约剩余类乘群 z 映到 m 能整除n m 不能整除n 模m 同余 2 m 阶的二面体群 同构 直积( 或卡氏积) 日是g 的子群 群日的阶 n 是g 的正规子群 群g 的中心 域z 。上的n 维一般线性群 集合x 上的自由群 是g 的特征子群 映射 g 由子集x 生成 p ；的正整数次幂 左正则表示 a 是b 的真子集 正规子群与子群日的半直积 群g 的全自同构群 。一1 b 一1 n b m 所在的模n 的剩余类 群g 的全形 集合x 的对称群 素数 g 关于子群日的商集 元素。所在的陪集 e u l e r 妒函数 日是g 的真子群 元素。的阶 同态核 元素n 在映射妒下的象 由元素n 生成的循环群 子集s 在f ) 中的正规闭包 9 1 口9 集合的元素 群用生成元x 与关系r 的表示 全体正整数之集 右正则表示 a 是b 的子集 一一p卵以州妇扩舯萨咖n，一 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：秀艮昌祀 日期：如0 6 年6 月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名：旁豇昌丸 日期：2 0 口年6 月5 日 导师签名：爹晴气 日期：2 年6 月j 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。匦丞监塞握窑益溢豆! 旦坐生；旦二生；旦三生筮壶! 作者签名：彦受昌亢 日期：西。佯6 月5 日 导师签名：串一刍 日期：2 0 。忤6 月5 日 引言 群论的渊源可追溯至对置换群的研究早在十九世纪初期，e t 伽罗瓦研究高次 方程是否可以用根式求解的问题时，就引入了置换群的概念f 1 9 】现代数学观点认 为，集合是最底层( i l i l d e r l y i n g ) 的东西，各种数学对象都是在集合的基础上添加各 种结构如序结构，拓扑结构，代数结构等而形成的数学家感兴趣的是考虑保持这 些结构的置换例如，设y 是数域f 上的n 维向量空间，则我们往往考虑保持y 的加法与纯量乘法的置换，即y 的可逆线性变换 设g 是群，群的运算写作乘法如果我们考虑g 的所有保乘法运算的置换，则 我们得到了一个集合，这个集合反映了群g 的元素关于此乘法运算的匀称性如 果在这个集合中再引入代数运算即映射的合成的话，则这个集合关于此二元运算 成群，我们称这个群为群g 的全自同构群，记为a u t ( g ) a u “g ) 的元素称为群g 的自同构显然有a 疵( g ) = 口s y m ( g ) i 口( z ) = 口( 。) 口( f ) ，v z ，g ) 故 月疵( g ) s y m ( g ) 我们知道，群在集合上的作用给出了群到这个集合的对称群的一个群同态群 在向量空间的作用给出了群到这个向量空间的一般线性群的群同态，即群的表示 而群在群上的作用则给出了群到群的全自同构群的群同态例如，设g = h ，则 日在上的共轭作用给出了一个群同态妒：日，a u t ( ) ， 一妒( h ) 其中 ( h ) = o n 危，v n 反过来，给定群，h 及群同态妒：日+ a u ( ) ， 一 妒( ) ，我们可以构造日与的半直积令g = ( n ， ) in ， 日) ，群运算规 定为( n 】， 1 ) - ( n 2 ， 2 ) = ( n l n 2 p ( “- ) - 1 ， 1 2 ) ，则不难验证g 关于此运算成群，记作 g = x 。好，称g 是被日的可裂扩张 一方面，研究群的全自同构的结构是随着代数学的发展所提出的课题之一，事 实上，群往往是以群的作用及自同构群的方式显示它存在的价值的；另一方面，群 的全自同构群的研究在有限群论中占有至关重要的地位事实上，研究有限群的实 质问题是有限单群的决定与扩展理论的探索但谈扩展又和决定一群的自同构是紧 密相关的，所以研究有限群，归根到底是决定有限单群，探索扩展理论，以及求一群 的自同构群这三个根本问题【9 】由此可见研究一群的自同构群这个问题的重要性 给定有限群g ，如何求a u t ( g ) 的构造一直以来是群论学者关心的课题之一由 于群g 的性质对于它的自同构群a u t ( g ) 而言大多数情况并不成立，因而对一般的 有限群来说，求它的自同构群的构造是异常困难的事情，即使求出它的自同构群的 阶也并不容易然而。对于某些特殊的有限群来说，不少学者研究过它们的全自同构 群的构造如我的导师朱德高教授利用群的置换表示的方法求出了一系列群的全自 同构群的具体构造( 【1 】，【2 】，【3 ) 郑州大学的王长群教授等利用群的扩张理论对广义 四元数群及超特殊p 群的全自同构群的结构进行了讨论( 【5 】，【6 】) 樊恽教授等利用 群的同调理论对分裂扩张的稳定自同构群的结构作了研究，给出了循环群的半直积 的自同构群的结构【7 】 本文的工作则是对文献【1 】，【2 作了进一步的推广求出了二面体群上1 2 p 与 d 2 和的全自同构群的具体构造，对二面体群d 2 仇，( m 3 ) 的全自同构群作了进一 步讨论进一步讨论了当n 3 时，具有2 “阶循环正规子群= o ) 的扩“阶非 阿贝尔群的另外3 种互不同构的群的全自同构群的结构得到了较具体的结果给出 了【1 ，川型交换3 群的全自同构群的具体构造，求出了【1 ，l 】型交换p 群的全自同 构群的生成元用群的生成与定义关系描述了 1 ，n 1 2 ) 型交换p ( p 3 ) 一群的 全自同构群 本文的思路是先求出自同构群的阶，再利用群的半直积这一有效的工具给出自 同构群的构造 2 第一章引理及基本定理 为了决定二面体群d 2 。( m 3 ) 及【l ，礼1 型交换p - 群的自同构群的构造t 我们 需要群论及数论的一些知识做铺垫 引理1 1 ( 【1 0 】) 模m 的原根存在的充分必要务件是m 等于2 ，4 ，矿或助“其 中p 是奇素数 应用引理1 1 到群论中，实际上是说 推论1 2 ( 【1 3 ) z 二为循环群的充分必要条件是m 等于2 ，4 ，矿或印。其中p 是奇素数 引理1 3 ( 【8 ) 设m 1 ，m 2 ，m 女是两两互素的正整数，m = m l m 2 m k 则 有z 麓型z 毛，z 枭。- - z 二。其中矿： z 】。一( b 】。，【卅。，- 一，【z 。) 是群同 构映射 推论1 4 设m = 贡1 p 严p ，p 1 p 2 m 均是素数，则 z 未垒z 蔷磁 骘：- 引理1 5 ( 【1 0 ) 对任意的非负整数m ，下等式成立 5 ”= 1 + 2 ”2 + 2 ”+ 3 u 。( 其中是一个整数) 引理l ，6 ( 【1 0 】) 5 对模2 。的指数是2 ”2 ：3 应用引理1 6 到群论中，实际上是说 推论1 7 在殇。中，f 5 j 2 n 的阶是妒，n 3 定理l - 8 彩n = ( 【5 】2 n ) 【- 1 】2 n ) ，v n 3 证l z 知l = 妒( 2 “) = 2 “一1 ，而i ( 【5 】2 n ) i = 。( 【5 】2 n ) = 2 ”一2 ，i ( 【一1 2 n ) i = 。( 【一1 】。n ) = 2 故只需证( 5 l ”) n ( 【一1 】2 n ) = 1 否则【一1 。n ( 【5 z 。) ，但 5 2 3 】z n 为( 【5 】z 。) 的唯 一的一个2 阶元，从而有 一l 】p = 【5 2 3 l n 由引理i ，5 ，5 2 3 = 1 + 2 n 一1 + 扩u 。一3 。 故 5 2 3 2 。= 1 + 2 “一1 b ，从而【1 + 2 1 】2 。= 【一1 2 。= 【2 n 一1 】铲，矛盾故( 5 2 。) n ( 1 】2 n ) = 1 从而有z ；。= ( 【5 k n ) ( 一1 。n ) 口 定理1 9 设m = p p 硝2 p ，p 1 m m 均是素数，则 3 ( 8 ) p i 3 时， z 二= ( 【a - 。) ( 【o ：】。) x ( 陋* 】。) ， o ( 扣f 】。) = 露一1 ( p i 一1 ) ，1 i ( 6 ) p l = 2 时， ( i )n l = l j 臻= i n 。】。) k 。】。) - 陋t 1 。， d ( 【o 。】。) = p 口一1 ( a 一1 ) ，2 i ( i i )0 1 = 2 ， z 乏= ( 陋，】m ) ( 【n 。】m ) ( k * m ) ， o ( 陋， m ) = 2 ，o ( 啦 m ) = p ? 1 1 ( n 一1 ) ，2 七 ( i i i )a 1 3 ， z 二= ( i n t 】m ) ( 【凸i 】m ) ( 。z m ) t ( o t 】m ) ， o ( n - 。) = 2 。1 2 ，o ( o ij 。) = 2 ，d ( 。t 。) = 群一1 ( p i 一1 ) ，2 茎女 证由推论1 4 ，我们有 z 二竺z 函z ：z 瑟t ， v i n ，1 i 七，令 g t = ( 1 一，a - ，。一，【1 】p t 一，n t 一，k z 】“。，【1 】n + ，。+ - ，- 一， 1 】m 。t ) 1 1 。i p ? 。，( q ，a ) = 1 则映射 ：蟹一g t ，? t 一( v 一川一) 显然是群同构映射且 z ；? 1 “嘞：x 巧= g l g 2 g k ( 口) 当p l 3 时 z 毒- 均是循环群故g t 也都是循环群且g t 掣z ，设q 是g l g 2 g 女 到z 的群同构映射，则致= ? ( g 1 ) q ( g 2 ) ( g 女) ，从而令( g ；) = ( 陋a 。) ， 1s i ，则 z 蠢= 【n l 】m ) ( 【n 2 m ) ( o k m ) ， 4 o ( 【口 m ) = p ，一1 ( 挑一1 ) ，l i 七 ( 6 ) 当p 1 = 2 时 ( i ) q 1 = 1 ，贝日z ；= 【1 】2 ) ，从而叮( g 1 ) = 1 ，z 麓= = ”( g 2 ) - - 叮( g k ) ， 叩( g i ) 型笺z ：。故 z 二= 陋。l 。) ( 陋t 】。) ， o ( n i 。) = 挑。一1 ( p i 一1 ) ，2 i 冬 ( i i ) 0 1 = 2 ，则z ：= 1 1 4 ，【3 1 4 = ( 【3 1 4 ) 为2 阶循环群，从而 z ：= ( 【o 】m ) x ( 【n 。】m ) ( o * m ) ， o ( 0 1 】m ) = 2 ，o ( 啦 m ) = p 宇一1 ( 鼽一1 ) ，2 七 ( i i i ) 口，3 ，则z ；。= ( 【5 2 a - ) ( 一1 j 2 a - ) ，故q ( g 1 ) = ( 【0 1 】。) ( 【o j 。) ， o ( 【0 ， 。) = 2 。一，o ( 【n i 。) 一2 故 z 未= ( n m ) ( 【n i l m ) x ( o ： m ) - t - ( 【* m ) o ( o l 】m ) = 2 。，一2 ，o ( n i 】仇) = 2 ，o ( n 1 m ) = p ? 一1 ( p ，一1 ) ，2 i 七 口 事实上，根据数论中的孙子定理【1o 】，我们完全可以求出具体的映射”令 舰= p 1a 1 a 一1 8 卜1 n + l 。件1 p k o ，1 七 则m = 肌“m ，由于p 1 ，m 为两两互不相同的素数，故( n “，尬) = l ，从而 | t ；州s 土只“如+ 互 髫= 1 ，我们断言 叩：g 1 xg 一z i ，( 陆1 m a - ，陋k m a * ) 一陋1 脶叫+ t t + z 七峨 】m 正是定理1 9 中的” 定理1 1 0 设映射 矿：碥+ z ；。a - z ；水，m 。一( 吲卯一， z k a * ) ， 则 卵：z 二a - - z 彘a - ，z 之，( p 1 ，a - ，一，【z k m a e ) r 呻陋1 - + t + z 靠 】m 是矿的逆映射换句话来说，矿与卵互为逆同构映射 e 证设妒：z 。+ z p l a ，o o z p 。m 。一( m p ，m p 一) 由文献【8 】 可知，p 是z m 到硌，n - o o 。a * 的环同构映射且妒( 【1 | 。) = ( 1 m ，【1 】p 。- ) ， 从而l p 是幺环同构故妒把z 。的可逆元仍映为，n o o 。a * 的可逆元故 妒l z ：= 矿作映射 妒：z p 。a o o z p 。n * + z 。，( 【z 1 p ，b k k n t ) 一陋l 尬叫+ + z k - 慨m a 。 则不难验证讪是合理定义的，且 ( m 。) r 9 = ( 【司，。口l ，乩一) 9 = 旧( m 叫+ + 眠碱) 】。 又矿如+ 腿叫= 1 ，1 i ，从而尬心i1 ( m o dp 。“) ，且当i j 时，州坞 故屿蟛io ( m o d 鼽。) ，从而羔1 母蟛1 ( m o dn 。) ，1 i ，故 从而 ( 蛆州+ + 呱呱) 。= 。- m 州+ + 慨峨】。= m 。，故 妒1 】f j = 弛碥另一方面， ( 扛，”，p ) 4 9 = ( q 屿蟛】m ) 9 = ( 匹qm j 叫妇，匹z ，坞叫k ) 而 坞蟛； ：墨黧；蓁： 故 从而 ( 匹q 屿叫】- 毛叫 ，? t = 陋t ，? - ，1 i 坞叫培) = ( 陆，坤，：* ) 故妒妒2 d z p ，。：。z “。从而妒与妒互为可逆映射即妒是玛。a 。z m a * 到 z m 的幺环同构，从而妒f z 三：，z 琵t2q 故矿与 互为逆群同构映射 口 6 l 三 蟛 坞 。岸 q 。皿 嚣 。蛆 根据定理1 1 0 ，我们可以把定理1 9 做的更细致一些下面的推论1 1 l 自q 符号 均与定理1 9 ，定理1 1 0 的意义一致 推论l - 1 1 设【s 0 是z ；? t 的本原单位根，则z t = ( 一? t ) ，2 i 从而 有 ( n ) 当p 1 3 时 设 s 1 】- 是磁：，的本原单位根，则z 暑，= ( 【s 1 ，；- ) 从而 g f ( ( 1 p y 一，m 贫v 一，渺，l f 故 七 q ( g i ) = ( 。) = ( m 面叫+ 坞叫 。) ，1 ， ，1 ( 6 ) 伪= 2 时 故 g t = ( ( y + ，吲一，：t ) ) ，2 茎t 町( g t ) = ( 。】。) = 【s ；m 心+ 坞叫 m ) i2 i j 却 对于g 1 来说， ( i )当0 1 = l 时，g 1 = 1 ( i i ) 当d t = 2 时，g - = ( ( 【3 4 ，一，剐，故 七 q ( g ，) = ( 。) = ( 【3 胍叫+ 坞叫】m ) j = 2 ( i i i ) 当。1 3 时，由于z ；。，= ( 【5 z a t ) ( 一1 】2 a t ) ，从而 g t 。( ( 【5 】2 1 ：t ，：- ) ) ( ( 【一1 k ， 1 】p 。，删 故 k七 q ( g ，) = ( 。) ( 【n 钥。) = ( 【5 尬叫+ 坞蟛 。) ( 【一帆州+ 屿叫m j = 2j = 2 证根据定理1 9 ，定理1 1 0 立马可得口 7 定理1 1 2 【l o 】设p 是奇素数 是模p 的原根，则存在一整数如使得由等式 0 + p t o ) - 1 = 1 + p 蛳所确定的t 1 0 不能被p 整除，并且对应于这个o 的z + 研。就 是模矿的原根，其中n 是大于l 的任何整数 推论1 1 3 | i o ns t ，n n ，z = ( 口o 】p ，l ) 推论1 1 4i o 矿q ( p _ 1 ) 三1 ( m o dp 竹一1 ) ，v 凡2 其中z 知= ( 瞄o 】矿) 推论1 1 5 z ；。= ( f 2 】3 n ) = ( 5 3 n ) ，z ；。= ( 【2 】5 n ) ，z ；。= ( 3 7 n ) ，v n n 证殇= “l 】3 ， 2 】3 ) 故z 一( f 2 】3 ) 即2 是模3 的原根而2 2 = l + 3 - 1 ，1 不能被3 整除，由引理1 1 2 ，2 是模3 n 的原根，其中n 是大于1 的任何整数故 v n n ，z ；。= ( 【2 】3 n ) ，同理可证，z ；。= ( 5 3 n ) ，z i 。= ( 2 s n ) ，z ；。= ( 3 】7 n ) 口 引理l ，1 6 设p 是奇素数，i o 是模矿的原根，n 2 ，则存在一正整数u ( 1 u p ) s ，t t o 矿- 2 ( p 一1 h i 矿一1 佃一1 ) + 1 ( m o d 矿) 对一切n 2 均成立 证用数学归纳法加以证明 ( 1 ) 当礼= 2 时，l i = 矿一p 从而m 笋1 在磁。的阶是p 由于z 群而 ( p 一1 ) + 1 ) = p 0 1 ) 故，。在z ；2 中的阶是p ( p 1 ) ， 是循环群，故( m 笋1 ) 是z ；2 的唯一p 阶子 ：。( ：) 0 一1 ) ) 1 + ( p ) p 扫一1 ) + ，+ ( 。：1 ) ( p ( p 一1 ) ) 一1 + ( p 扫一1 ) p 1 ( m o d 矿) 从而防( p 一1 ) + l 】矿是z ；2 的p 阶元故b 一1 ) + l 】矿( m 孑1 ) ，从而j n ，l u ps _ t p ( p 一1 ) + 1 矿= 【 o 墨一1 h 即 i o ( p 一1 ) ”；p 0 1 ) + 1 ( m o d p 2 ) ( 2 ) 假设n = 七( 2 ) 时，i o p 。一2 扫1 ) “；p 一1 ( p 一1 ) + 1 ( m o dp ) ，贝 ( 3 )当礼= 七+ 1 时，由归纳假设，j ns t i o 矿- 2 ( p 一1 n = p 一1 0 1 ) + 1 + p 吒 8 故 i ，1 ( p 一1 沁= ( i o p “2 睁一1 净) 9 兰( p 2 1 p 一1 ) + 1 + 矿户 = ：o ( 三) ( p 一1 ( p 一1 ) + 1 ) 9 一”( p t ) “ ；( 矿_ 1 一1 ) + 1 ) 9 ( m o d p + 1 ) ；：。( 三) ( p “1 ( p 1 ) ) ”( m o d 矿+ 1 ) ；1 + ( d 矿一1 ( p 一1 ) + + ( 矿_ 1 一1 ) ) p ( m o d 矿+ 1 ) 兰l + p ( p 一1 )( m o dp 七+ 1 ) 即当n = + 1 时，i o p “1 ( p 一1 m i l + 矿一1 ) ( m o dp + 1 ) 由归纳原理 t o 矿_ 2 ( p 一1 ) “；1 + p ”一1 一1 )( m o dp ”) ：饥2 口 推论1 1 7 设p 是奇素数，i o 是模矿的原根，n 2 ，若正整数n ( 1 s 朔满 足而( p 一1 ) “三p ( p 一1 ) + l ( m o dp 2 ) ，则t o 矿_ 2 ( p 一1 ) u 三p n 一1 一1 ) + 1 ( m o d 矿) ，甘h 2 推论1 1 8v n 22 ，下列同余等式成立 2 妒2 2i 3 “一2 + 1 ( m o d 妒) 2 5 2 1 2i5 4 + 1 ( m o d5 ”) 3 7 26 ；7 ”1 6 + 1 ( m o d p ) 引理1 1 9 ( 1 0 】) 设n 1 ，i 是模矿的一个原根，则i 与i + 矿中的单数是模 2 p “的原根 推论1 2 0 z ；3 “= 【5 23 n ) ，z ；卵= ( 【2 + 5 “】2 铲) ，z ；7 。= ( 【3 】2 t n ) 证由推论1 1 5 ，引理1 1 9 立马可得 9 口 第二章关于全自同构群阶的计算 引理2 1设g 是群，x 是g 的生成元集，盯，r a u t ( g ) 若盯与7 - 在x 上的 限制相等，即盯l x = r i x ，则口= r 证由于盯i x = 7 l i x ，故x 有盯( z ) = r ( ) 的g ，由于g = 似) ，故j 茁l ，沈，。，x s g = z i l z 字z ：7 ，其中 厶= 士1 ，1 i sr 从而 一( g ) = a ( z i l 。字z ；”) = 口( z 1 ) 5 1 盯( z 2 ) 。2 - 口( 。，) = r ( z 1 ) 5 1 丁( 。2 ) 6 2 下( z ，) 5 = r ( 9 ) 即口( g ) = r ( 9 ) ，v g g 故口= t 口 注此引理说明了群g 的自同构由它在g 的生成元集x 上的象所唯一确定 设g 是群，x 是它的生成元集，即g = ( x ) f ( x ) 是集合x 上的自由群，从 而存在f ) 到g 的满同态e ：f 忧) 一g ，s t 矿= 。，铷x 设scf ( x ) 满 足k e r e = s f ( 船，其中s 7 ( 。) 表示s 在f 伍) 中的正规闭包从而g 可以用生成与 定义关系描述为 g = ( xis ( 茁) = 1 ，s s ) 我们同时也称满同态e ：f 伍) 一g 是群g 的一个自由表现s 的每一个元s 称 为s ( 或者g ) 的一个定义关系【1 5 】 引理2 2 【1 5 】( v o n d y c k s 1 1 1 e o f e m ) 设g 和日是群且g 和日分别具有表示 ：f g 与6 ：f 日若e 的每一个关系同时也是6 的一个关系，则映射 ，e 一，6 ，f 是g 到h 的一个合理定义的满同态 引理2 3 设g 是群，g 用生成与定义关系描述为 g = 伍ls ( z ) = 1 ，s s ) 若口a u t ( g ) ，则 g = ( 口( x ) ls ( 口( z ) ) = 1 ，s s ) 1 0 证v 9 g ，| g gs t ，9 = 盯( g ) ，因g = ( x ) ，故j 。1 ，茁，x 满足 擘7 = 。1 1 - 辫“，其中i = 士l ，l s r 又口以仍( g ) ，故 9 = 口( ) = 盯( z i l z ) = 盯( z 1 ) “盯( 珥) “ 从而g = ( 口( x ) ) 且映射的合成口：f 三g 暑g 是一个满同态而k e r e 口= k e r 明显成立从而s 也e 口：f + g 的定义关系故 g = ( 口( x ) 1s ( 口( z ) ) = 1 ，s s ) 口 注此引理实际上说明了g 的自同构保持g 的生成与定义关系 引理2 4 设g 是有限群g 用生成与定义关系描述为 g 一( 9 1 ，- ，9 。ls ( g l ，“) = 1 ，s s ) 若 l ， 。g 也是g 的生成元集且v 8 s 均有5 ( i ，k ) = l ，则映射 妒：成一也， = 1 ，2 ，n 可以扩充为g 的自同构特别有 g = ( h l ，7 ks ( 1 ，- ， 。) = 1 ，s s ) 证令x = z ，z 2 ，z 。) ，f ( x ) 是集合x 上的自由群，从而映射：乩一 皿与7 - ：z ；一，( 1 2sn ) 分别可以扩充为f ( x ) 到g 的满同态显然 k e r = s f ( ，故k e r f ，存在5 i ，5 2 ，s 。s ， ，m f ( x ) s t ， = ( s i l ) ( s ；2 ) 止( s 署) m ，矗= 士1 ，m n 故 t ( 1 ， 2 ， 。) = ( s 1 ( l ，h ) 1 ) ，1 ( h ，“2 ，“n ) ( s 仇( 1 ， 2 ， 。) 5 m ) h ( 6 - r “z 一，- n ) = l 从而z k e r 7 - 故k e r k e r r ，从而由引理2 2 ，妒：，。一厂，f ( x ) 是 g 的满自同态又g 是有限群，故妒也是单同态，从而妒是g 的自同构而且 妒( ) = z i ，1 i n ，即妒) = 故咖i x = 妒从而妒可以扩充为g 的自同构 进一步有 g=( 妒( 9 1 ) ，妒( 9 h ) 1s ( 1 p ( 9 1 ) ，一，妒( 9 h ) ) = 1 ，5 s ) = ( 1 ， 。is ( 1 ， 。) = 1 ，s s ) 定理2 5 设g 是有限群g 用生成与定义关系描述为 g = ( g l ，乳is ( 9 l ，吼) = 1 ，s s ) 则设 篡r = ( l ，。， n ) ig = ( 1 ，h ) ，s ( h l ，- ，k ) = l ，s s ) 则有g 的自同构群的阶与集合的阶相等，即f a u ( g ) i i | 证作映射 妒：a u ( g ) 口 一( 口( 9 1 ) ，一，口( 9 i ) ) 则妒是合理定义的事实上，由于口a 优( g ) 且 g = 缸，t ，鲰fs ( 9 1 ，) = l ，s s ) ： 从而由引理2 4 ，有 g = ( 口( 9 1 ) ，a ( 靠) i5 ( 口( 9 1 ) ，口( 如) ) = l ，s s ) ， 故p ( 9 1 ) ，口( 如) ) 影若妒( 口) = 妒( r ) ，口，r a u t ( g ) ，从而 ( 口( 卯) ，t ，盯( 9 h ) ) = ( 7 ( 9 1 ) ，r ( 9 矗) ) 故口( 肌) = t ( 吼) ，1 t n 而9 l ，啦，吼是g 的生成元集，故由引理2 1 ，有口： r 从而映射妒是单射v ( 1 ，h 。) 万，则g = ( h 1 ， 。) 且5 ( l ，h ) ： 1 ，v s s 由引理2 4 ，映射妒：g ，一，1 i n 可以扩充为g 的自同构不妨仍 记为妒- 则_ p 似) = ( 9 1 ) ，妒( 玑) ) = ( ， 。) ，从而l p 是满射故 j _ m ( g ) i = i - 则 作为定理2 5 的应用，我们来看两个具体的例子 例1 设 g = ( o ，bi 扩= 酽“= o ，6 】= 1 ) ，n n 1 2 口 ( d )当n = l 时，l a 优( g ) i = ( p 一1 ) 2 p + 1 ) 0 ) 当以2 时，| a 越( g ) | = 矿+ 1 ( p 1 ) 2 。 证设x = 如l ，勋) ，f ( x ) 是集合x 上的自由群则映射 f ：x 叫“舛，。1 hn ，。2 h6 可以扩充为f ( x ) 到g 的满同态，从而令s = 四，谬， z 1 ，z 2 】) ，则s f ( x ) ：k e r 令 = ( n 1 ，6 1 ) ig = ( n 1 ，b 1 ) ，s ( n 1 ，6 1 ) = 1 ，s s 由定理2 5 ，f a “( g ) = f 形f 再作 少= ( n 1 ，6 1 ) id ( 0 1 ) = p ，o ( 6 1 ) = p “，( 。1 ) n ( 6 1 ) = 1 ) 则岁gx g ，下证彤= 岁事实上， ( 1 ) v ( n 1 ，6 1 ) ，则g = 口1 ，6 1 ) 且s ( n 1 ，6 1 ) = 1 ，v s s 从而n ：帮： 【n l ，6 ，j = 1 我们断言( 0 1 ) n ( 6 1 ) = 1 ，否则1 ( 口，) n ( 6 1 ) ( n ，) ，而i ( 0 1 ) i ： o ( 0 1 ) 3n 从而( n 1 ) n ( b 1 ) = ( n ，) 即( n 1 ) ( 6 1 ) ，从而g = ( 。，6 。) ：( 6 1 ) 这与 g 是由d 1 ，h 两个元素所生成相矛盾从而( n 1 ) n ( 6 t ) = 1 ，故g ：( n 1 ) ( 6 1 ) ，而 o ( 口1 ) = p ，o ( 6 1 ) = 矿显然成立，所以有( 0 1 ，6 1 ) 岁，故 筻c 乎 ( 2 ) v ( n l ，6 1 ) 矿，则o ( n i ) = p 】o ( 6 1 ) = 矿且( n 1 ) n ( 6 1 ) = 1 故( 。l ，b 1 ) ： ( o - ) 。( 6 1 ) ，l ( n l ，6 1 ) l = 矿+ 1 = i g i ，从而g = ( 0 lb 。) ，n ：= 昭”= n 1 ，6 ，1 ：1 故 ( n 1 ，6 1 ) 彤 箩霓 综合( 1 ) 。( 2 ) ，便有= 矿因而i a u t ( g ) l = i 矿| | 因此，欲求a u ( g ) 的阶，只需求 出，的阶即可 ( n ) 当n = 1 时， g 2 ( 口，6l 扩= 妒= 陋，6 = 1 ) 此时g 为初等交换p 群，即e x p ( g ) ：p 故 g 的每一个非单位元均为p 阶元从而满足条件d ( 0 1 ) = d ( 6 ，) ：p ，( 口1 ) n ( 6 ，) ：1 的序偶( n ，6 1 ) 可以这样得到：先从g 中任意选取一个p 阶元。，共有p 2 1 种 选取；然后再在g 一( n t ) 中挑选6 1 ，共有p 2 一p 种选取不难验证按照上述方法 选取的( q 1 ，6 1 ) 就是合乎要求o ( 0 1 ) = d ( b 1 ) = p ，( d 1 ) n ( 6 1 ) = l 的全部序偶共有 扫2 一1 ) 0 2 一力个故j 夕l = ( 矿一1 ) ( 矿一p ) ，从而l a 饿( g ) f = 0 1 ) 2 p 扫+ 1 ) ， ( 6 ) 当n 2 时， 第一步，先求g 中p 阶元的形状9 g ，若d ( 9 ) = p ，则矿= 1 且g 1 反过 来，若矿= 1 且g 1 则d ( g ) = p ，又g = ( n ) ( 6 ) ，故j i ，j n s 9 = o 护，1s is 鼽l js 矿从而矿= ( 。驴) = n 币护= 舻= 1 又由于o ( 6 ) = 矿，故p ”f j n 即p ”1 故j 可能的取值为j = p ”1 七，1 p 但9 1 ，故i ，七不能同时为p 的倍数故g 的p 阶元的形状为 矿，铲”：8 2 6 矿，1 s i ，七p 一1 共有p 阶元( p 一1 ) + ( p 1 ) + 一1 ) 2 = p 2 1 个 第二步，再求g 中矿阶元的形状若o ( 9 ) = 矿，9 g ，则矿“= 1 且v 1 是 p “，9 9 1 反过来亦对，设9 = 2 护，其中lsi 弘1 jsp n 。则 矿= ( 口。护) = 一舻，又v 1 日( ( 卢) ( 7 ) ) 又不难验证 口一l a 卢= 0 5 ，1 1 q 1 = n ，从而得到了文献【l 】的结果 a “t ( d j n + t ) = ( a ，卢，刊a 铲= 伊“= f = 陋，y 】= 1 ，p 一1 n 卢2 。5 ，7 1 a 72 “一1 ) 1 8 ( 2 ) 当仇= 矿，p 为奇素数时，d 2 m = d 妒而z ；= z 为循环群故 a 疵( d ) 呈珞nxz 是亚循环群设z ；。= ( 嘲p ) ，即t 是模矿的原根，则令 。： z 三 z ： 则r 一1 ( f i 】矿) = 卢，故日= 1 i 一1 ( ( 阁矿) ) = ( 卢) 从而a t ( d 妒) = ( a ) ( 卢) 且不难验 证卢- 1 血口= 故得到 定理3 1 当m = p n p 3 ) 时，二面体群d 2 。的奎自同构群的构造为 a u ( d 印n ) = ( 。，卢l 扩“= 矿。p 一1 = 1 ，p 一1 a p = 。) 其中i 是模p ”的原根 例3 当p = 3 时，z 知= ( 【2 】