（基础数学专业论文）复半单lie代数的对合自同构对的共轭分类.pdf

a b s t r a c t ( c h i n e s e ) 严先生在研究菲紧对称空闯时，绘如了一个一般的分类方法。实质上，是得到了实半 擎l i e 代数轴豹一争霹台自同构对# ，妨其孛，f 是如鳇c a v t a n 瑟台，8 是由口特鬣子伐 数的对台国同秘诱导的如的对合自阍构。我们可以撼濑秘方法应用到复半单l i e 代数 上，同样的可以得到一个对台自同构对f 口，口) ，与实半单l i e 代数不同的是这个跗台自同 构对具有糍换性。本文研究的是谯( 以口) 下的复半单l i e 代数的共轭分类，并由此对的交 换性对分类作进一步的讨论。 第一露主要奔绍7 严先生研究菲紧对称空闻的方法。 第二耄，我耱用严先生的蠢法缭遗7 菱拳萃班e 代数戆越台丞霹秘对的共麓势类。 在第三节，列出了所有的结果。 在最厨一章中，利用交换性简化分类。我们是得到一个标准的对台自同构，然后由 特征子代数的对合自同构的扩充得到第二个对合。由于避两个对台的可交换性，我们 把第二个自间构化为标准形，同时，对第一个作相应的变换。这样，可以得到和此对 台对等价的对。在一个等价类中选一个对台对，褥出最终的分类。 a b s t r a c t ( e n g l i s h ) y e nh a sg o tag e n e r a lm e t h o dt oc l a s s i f yt h en o n - c o m p a c ts y m m e t r i cs p a c e s i ne s s e n c e ， y e nh a sg o ti n v o l u t i o np a i r s ( 口，目) o fr e a ls e m i - s i m p l el i ea l g e b r a sw h i c h 口i sac a f t a n i n v o l u t i o na n d 口i st h ei n v o l u t i o ne x t e n s i o no fa ni n v o l u t i o no ft h ec h a r a c t e r i s t i cs u b a l g e b r ao f 口w en s et h em e t h o dt os t u d y i n v o l u t i o np a i r s ( 口，口) o fc o m p l e xs e m i s i m p l e l i ea l g e b r a s f o rt h ep a i r s w eh a v e 口口= 鼢w h i c hi s d i f f e r e n tw i t ht h ep a i r so fr e a l s e m i - s i m p l el i ea l g e b r a s i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o no fi n v o l u t i o np a i r s o fc o m p l e xs e m i s i m p l el i ea l g e b r a s i nc h a p t e r1 w er e c a l ly e n sm e t h o du s e dt os t u d yn o n - c o m p a c ts y m m e t r i cs p a c e s i nc h a p t e r2 ，mo b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o no fi n v o l u t i o np a i r s ( 口，o fc o m p l e xs e m i - s i m p l el i ea l g e b r a sw i t ht h eh e l po fy e n sm e t h o dw h i c h i sr e c a u e di nc h a p t e r1 w e l i s tt h er e s u l t si ns e c t i o n3 i nt h el a s tc h a p t e r ，w es i m p l i f yt h ec l a s s i f i c a t i o n f r o m8n o r m a li n v o l u t i o nd r ，w e g e tt h es e c o n di n v o l u t i o n 口s i n c e 口口= 日口w ec h a n g ept oan o r m a lf o r ma n d m a k e r e s p e c t i v et r a n s f o r m st o 口，h e n c eg e ti n v o l u t i o np a i r sw h i c ha r ee q u i v a l e n tt o ( 口，9 ) u s et h em e t h o d ，w ec o m p l e t et h ec l a s s i f i c a t i o n c h a p t e r1 i n v o l u t i o n so f a l g e b r a s l ，1n o t a t i s n r e a ls i m p l el i e l e tg ob e8r e a ls i m p l el i ea l g e b r aw i t hc a f t a ni n v o l u t i o n0a n dt h ec o r r e s p o n d i n g c a f t a nd e c o m p o s i t i o n 韵一乜+ 抛。f i xam a x i m a l l yc o m p a c tc a 蟪a us u b m g e b r a o f 肋w i t ht h ed e c o m p o s i t i o n 粥= t s + 噶d e n o t eb ym t ，p ，眠t 。a n d 酽t h e c o m p l e x i f i c a t i o n so f 肋，t o ，p 0 ，b s ，t ga n d ，r e s p e c t i v e l y l e ta ( s ，0 。) b et h e r o o ts y 8 t e m o f g w i t hr e s p e c t t o 垂。，f i x 巍s 榉t e m o f p o s i t i v er o o t s + ( 1 ，护 ，f o r ( 1 ，t 。) a n dc h o o s e ac o m p a t i b l es y s t e mo fp o s i t i v er o o t s ，+ ( g ，b 。) ，f o r ( 舶b 。) w i t ht h es e to fs i m p l e r o o t s 嚣 锄，5 2 ，8 j + t h en o t a t i o n9 x eu s e f u ld u r i n gt h ew h o l ec h a p t e r 1 2c l a s s i f i c a t i o no f r e a l s i m p l e l i e a l g e b r a ：y e n sr e s u l t s l e t sf i r s tr e c a l li nb r i e fy e n sc l a s s i f i c a t i o nt h e o r yo fr e a ls i m p l el i ea l g e b r a s + i n e s s e n c e ，h i sm e t h o di sab e t t e rc o n t r o lo fg a n t m a c h e r sc a n o n i c a lf o r mo fc a r t a ni n - v o l u t i o n s i ti se a s i e rt od e s c r i b et h es t r u c t u r eo flb yh i sm e t h o d ，i nt h i ss e c t i o n ， w eo n l yd i s c u s st h ef i r s tc l a s sr e a ls i m p l el i ea l g e b r a s ，w h i c hi se n o u g ht od i s c u s st h e i n v o l u t i o n so fc o m p a c ts i m p l el i ea l g e b r a s 。t h ep r o o f sa n dy e n sc l a s s i f i c a t i o nm e t h o d c a nb ef o u n di nf 6 ，司 l e tu t 0 + i p sb et h ec o m p a c tr e a lf o r m o f g ，蛞+ 砖b e t h ec a n t a n s u b a l g e b r a 1 c h a p t e r1 i n v o l u t i o n so fr e a ls e m i - s i m p l el i ea l g e b r a s2 o f l l ar e l a t i v ew e y lb a s i s ：e 1 ，f 1 ，蜀，耳，s u c ht h a t n ? = i e , ，e 】 l e t = = 1m t o t tb et h eh i g h e s tw e i g h tr e l a t i v et oi i a s w ek n o w 口= 0 0 e 8 d 日 w h i c h 先i sac a n o n i c a l i n v o l u t i o no fg ，a n d h t 8 = 日b f 0 0 ( h ) = 日) f o ro a ( g ，b 6 ) ，l e t0 ，d e n o t eo i t 8 ，t h e n o t = 1 2 ( a + 日o ( o ) ) f h r t h e r m o r e ，f o rh ，t h e r ee x i s t ss o m ea t ，w h i c hs a t i s f i e s s u c ht h a ths a t i s f i e s a ：= q i ；r n l = 1 o r2 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( h ，a ；) = r i ；( h ，卢) 一0 ，l o ra n y 卢i i ( o t i )( 13 ) p u t l 7 = a i ，a ， t h ed e f i n i t i o no f i sa 8 【1 a 2 m 一1 ：= o t i + 2 ( n l + t + o 麓一1 ) + q m d j ：6 = o t l 十口2 + + 。；一1 e 6 ：= 2 0 j + 3 0 ：+ 2 a 3 + n 6 t h e o r e m1 1 一1 1 8 0 ，a l 1 1 ，s a t 拈f i e s ( 1 2 ) t h e n i i u f 一) 拈ns i m p l e r o o ts y s t e md ，t o ，a n d o t ：i st h eh i g h e s tw e i g h to fc h a r a c t e r i s t i cr e p r e s e n t a t i o n ， 2f o o = i ，t h e n o = d m i i ，s a t i s f i e s ( 1 2 ) 俐m i = 2 ，t h e n l i u 一甜 。t ) sas i m p l er o o ts y s t e mo f t o ，a n d a ii s t h e h i g h e s tw e i g h to | c h a r a c t e r i s t i cr e p r e s e n t a t i o n c h a p t e r1 i n v o l u t i o n so fr e a ls e m i s i m p l el i ea l g e b r a s3 俐i r t i = 1 ，t h e n 啦sas i m p l er o o ts y s t e m 吖t o ，a n d 卜0 1 ，甜a r et h e h i g h e s tw e i g h t so fc h a r a c t e r i s t i cr e p r e s e n t a t i o n i nf a c t ，w ec a ng e tt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i r s tc l a s sr e a ls i m p l el i ea l g e b r a sa n d t h es t r u c t u r eo ft 0f r o mt h i st h e o r e m d e f i n i t i o n1 2l e th ，b ea sa b o v e t h ey e nd r a g r a mi st h ed i a g r a mo ft h es y s t e m a 1 ，一，d f ，) d e f i n e di nt h es a m ew a yd st h a to ，t h ed y n k i nd i a g r a m e x a m p l e 1 3 g = f 4 = 。1 ，0 2 ，a 3 ，0 4 ，妒= 2 a a4 - 3 n 2 + 4 a 3 + 2 0 4 d y n k i nd i a g r a m 口l0 2a aa 4 o q ：= ：= = = - o y e nd i a g r a m 一士a lo jo a0 4 o _ 。a = = ：e = _ 。 1 3 n o n - c o m p a c ts y m m e t r i cs p a c e m b e r g e rp r o o f e dt h a ta n yi n v o l u t i o no fas e m i - s i m p l el i ea l g e b r ac a nb ec o n s i d e r e d a sa ni n v o l u t i o nt h a tk e e paf i x e dm a x i m a lc o m p a c t s u b a l g e b r ai n v a x i a n ti nf 3 】s oi t i n d u c e sa ni n v o l u t i o no ft h em a x i m a lc o m p a c t s u b a l g e b r a e c a r t a na n dg a n t m a c h e r g o ta l li n v o l u t i o n so fc o m p a c tl i ea l g e b r a s b u tn o ta l li n v o l u t i o n so fm a x i m a lc o m p a c t s u b a l g e b r a sc a nb ee x t e n d e dt o i n v o l u t i o no ft h ew h o l ea l g e b r ai nt h i ss e c t i o nw e g i v es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n st h a ta ni n v o l u t i o nc a nb ee x t e n d e dt oa l lt h e r e s u l ta r ef r o mf 6 , 8 ，9 】 l e tpb ea ni n v o l u t i o no ft o ，t h e np = p o e 8 d 日w h i c hp oi sac a n o n i c a li n v o l u t i o no f t o ，a n d h b p o = 日t s lp o ( h ) = 岸) p r o p o s i t i o n1 4p 0 c a ne x t e n dt da na u t o m o r p h i s mo g o 矿a n do n l yi ，t h ew e i g h t s y s t e mo fa d t o p o i si n v a r i a n tu n d e r p o l e t 口d e n o t eae x t e n s i o no fp ，t h i sp r o p o s i t i o ng i v e sac o n d i t i o nt h a to - 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