（基础数学专业论文）e7型weyl群中的独异对合元.pdf

m a y ，2 0 1 0 s h a n g h a i 学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文研_ 犁w e y l 群中的独异对合元， 士博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的 明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：麟日期：兰垒也：五：z 学位论文授权使用声明 岛型w e y l 群l f l 的独异对合元系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成 士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根 据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送 交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范人学图书馆及数据库被畲阅、借阅： 同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题 和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其邑方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审奄核定的”内部”或”涉密”学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 t ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师躲懈俭塑本人繇掐锖 日期：2 ! ! ：上墨! d日期：2 1i 殳：6 ：z 米倩倩硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 王建磐教授华东师范大学数学系主席 胡乃红教授华东师范大学数学系 谈胜利教授华东师范大学数学系 摘要 本文主要研究的是历型w e y l 群w 的左胞腔，找出了w 的所有独异对合元通过寻找w j 形状 的元素，用m a t l a b 编程，运用定理1 7 1 4 和定理1 7 3 5 ，找出了的一部分的独异对合元；又寻找 可能的元素，计算k a z h d a n l u s z t i g 多项式验证其是独异对合元，然后运用定理1 7 3 5 ，找出了的 剩下的那部分独异对合元并证明了在最长元帅的左乘作用下处于同- 一轨道的双边胞腔里独异对 合元的一个对应关系 关键词：左胞腔，双边胞腔，口一函数， s ，t ) 一s t a r 作用，本原对，链，室形式，k a z h d a n - l u s z t i g 多项式，独异对合元 s t 】- s t a ro p e r a t i o ni nm a t l a b i no r d e rt os e a r c ht h eo t h e rd i s t i n g u i s h e di n v o l u t i o n s ，w ec o m p u t e t h ek a z h d a n l u s z t i gp o l y n o m i a l so ft h ep o s s i b l ee l e m e n t s b e s i d e st h a t ，w ec o n c l u d et h er e s u l t a b o u tt h er e l a t i o nb e t w e e nda n dw o dw h i c ha r ei nt h et w o - s i d e dc e l l so ft h es a m eo r b i t k e yw o r d s ：l e f tc e l l ，t w o - s i d e dc e l l ，a - f u n c t i o n ，s ，t ) 一s t a ro p e r a t i o n ，s t r i n g ，a l c o v ef o r m ， k a z h d a n - l u s z t i gp o l y n o m i a l ，d i s t i n g u i s h e di n v o l u t i o n 1 1 中文摘要 英文摘要 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 第二章 2 1 2 2 第三章 3 1 3 2 3 3 第四章 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 目录 l 1 1 引言及预备知识1 引言1 b r u h a t 序和k a z c h d a n - l u s z t i g 多项式2 左、右胞腔和双边胞腔2 口一函数3 链和本原对4 图和广义丁一不变量5 仇和d 1 6 仿射w e y l 群职( 岛) 的室形式7 室形式的定义7 室形式的性质8 马型w e y l 群w 上的一些结果9 指标记号9 双边胞腔集合上的p 一轨道9 ( e 7 ) 中的左胞腔1 0 w ( e 7 ) 中的独异对合元1 2 基本方法1 2 用方法( 1 ) 找出的独异对合元1 3 用方法( 2 ) 找出的独异对合元1 9 用方法( 3 ) 找出的独异对合元2 0 用方法( 4 ) 找出的独异对合元2 8 用方法( 5 ) 找出的独异对合元3 3 华东师范人学硕士论文 e t 型w e y l 群中的独异对 4 7 独异对合元的对应关系 参考文献 后记 华东师范大学硕士论文 e 7 型w b y l 群中的独异对合元 第一章引言及预备知识 1 1 引言 k a z h d a n 与l u s z t i g 在 3 】中定义了c o x e t e r 群的左胞腔，右胞腔和双边胞腔，并证明了在 a 一型h e c k e 代数中每个左胞腔表示是不可约的，这在h e c k e 代数的表示理论中起了很重要的作 用1 9 8 2 年，b a r b a s c h 和v o g a n 清晰的描述了晚，d 。型w e y l 群的左胞腔，他们是通过使用复半单李 代数中包络代数的准素理想进行分解的时俭益教授在 9 】r f l 为w e y l 群和仿射w e y l 群中的每一个元 素给出了相应的室形式，用室形式描述了单反射对元素的左，右作用，他在【1 l 】中设计了寻找左胞腔 代表元素的一种算法，这一算法在实际应用中，解决了一系歹l j w e y l 群和仿射w e y l 群的左胞腔分解 问题，获得了极大的成功运用这种算法，童常青，时俭益与陈愚，陈愚在1 2 】，【1 5 】，【2 3 】中分别完成了 凰，岛，b 型w e y l 群的左胞腔分解 l u s z t i g h 正明j w e y l 群的每一个左胞腔包含一个唯一的独异对合元，这个元素在l u s z t i g 6 给出 的环j 上扮演重要角色通过深入研究元素之间的连接性质，时俭益教授在【1 0 】中对l u s z t i g 关于独 异对合元的一个猜想进行了论证并取得了突破性进展特别是，他得到了一个计算包括仿射w e y l 群在内的一族c o x e t e r 群的独异对合元的行之有效的简捷方法独异对合元在胞腔理论中占有特 殊重要的地位，寻找独异对合元通常要涉及相当复杂的k a z h d a n - l u s z t i g 多项式的计算，故这一。成 果无论在理论上还是实际应用上都很有价值，已被国内外同行多次引用时俭益教授在【1 8 】中指出 了对称群的对合元都是独异对合元，在【2 0 】r f i 对于w e y l 群或仿射w e y l 群的满交换元定义了一个 图，通过这个图清晰的描述了相关的独异对合元，在 1 7 1 【 ，证明了单边型有限或仿射w e y l 群里关于 独异对合元的一个重要结论张细苟在【1 9 】中找出了e b 型的仿射w e y l 群a 值为5 的左胞腔中的独 异对合元，陈承东在【1 】中找出了岛型w e y l 群的所有独异对合元濮艳敏与陈承东在1 2 3 1 中计算了 a ，鼠( z 2 ) ，a ( z 3 ) ，d t ( 1 4 ) ，e 6 ，e 7 ，e s ，f 4 ，g 2 型w e y l 群里最高根的反射的长度，并确定 了哪些最高根的反射是独异对合元 本文在【1 5 】中时俭益与陈愚做的左胞腔分解的基础上，找出了岛型w e y l 群的所有独异对合元 华东师范人学硕士论文 勖型w e y l 群中的独异对合元 1 2 1 1 2b r u h a t 序与k a z h d a n l u s z t i g 多项式 设w = ( 彬s ) 是一个c o x e t e r 群，s 是w 的c o x e t e r 生成元集合对于任意的w w ，记( w ) 为w 的长度是上的b r u h a t 序，即对于y ，w w ，可sw 当且仅当存在w 的简约表达式 w = 8 1 8 2 8 k ，8 i s ，i = 1 ，2 ，后，使得y = 8 i 1 8 i 2 s “，其中i 1 ，i 2 ，i 是1 ，2 ，k 的一个 子序列，由 w 可推出t 1 2 2 设a = z 【q 】是以q 为不定元的整系数多项式环，w 是c o x e t e r 群对于每一有序对y ，w w ， 存在唯一的多项式b ，仰a ，叫做k a z h d a n l u s z t i g 多项式，该多项式满足：d e g p u ， ( f ( 叫) 一 j ( 剪) 一1 ) ，若 t 7 ；弓，掣= 1 ；b ，埘= 0 ，若y 菇伽记p ( 可，叫) 或u ( w ，耖) 为b ，叫中口 ( ( ) 一2 ( | ，) 一1 ) 的 系数，其中l ( y ) z c w ) 1 3 1 1 3 左胞腔、右胞腔与双边胞腔 w 是不可约w 够l 群，设y ，w w ，如果y w ，且u ( v ，w ) 0 ，则记y w 如果y w 或者 w y ，则记旷叫7 对于任意的z w ，令c ( z ) = s s s x z ) ，t e ( x ) = s j s i z s z ) 1 3 2 设w 是c o x e t e r 群，设z w ，如果在中存在元素序列x o = z ，x l ，。n = y ，使得对于每 一个i ，1 i n ，都有x i 一1 甄，c ( 妮一1 ) 垡c ( 黝) ，则记为z ly 关系l 是集合上的一个预 序如果z ly lz ，则记为z ly 一l 是上的一个等价关系，相应的等价类称为w 的左胞 腔 相应的，如果在彤中存在元素序列x o = z ，x l ，z n = y ，使得对于每4 个i ，1 i n ，都有 x i l 一翰，t z ( x i 一1 ) 垡冗( 奶) ，则记为z ry 关系r 是集合w 上的一个预序如果z ry rz ， 则记为z r 一r 是上的一个等价关系，相应的等价类称为w 的右胞腔 如果在彬中存在元素序列x o = z ，z 1 ，z n = y ，使得对于每+ 一个i ，1 i n ，或者 x i 一1 lx i ，或者x i 一1 rx i ，贝0 记为z - - l ry 2 华东师范人学硕士论文 助型w b y l 群中的独异对合元 如果z l ry l rz ，则记为zn l ry 由等价关系一l r 决定的每一个等价类称为w 的一个 双边胞腔 k a z h d a n 与l u s z t i g 证明了：若z ly ，则n ( x ) 死( 3 ，) ；若z ry ，则( z ) c ( 可) 特别地，若z 一工y ( 或z r 暑) ，则冗( z ) = 冗( 可) ( 或c ( z ) = c ( 秒) ) ( 见【3 】) 1 4 1 1 4 口一函数 设w 是一个不可约w e y l 群l u s z t i g 定义了一个函数a ：w n ，满足以下性质：( 见【5 】) ( 1 ) 对于任意的z 彬a ( z ) ；i 雪f ，这里圣是w 的根系 ( 2 ) z 0 ，定义e 的一个带形区域如下： 鼢= h 二：一k = u ej k ( u ，q v ) k + m ) e 的一个具有形式 n 峨；m a 圣 的非空集合，称为室w a 在e 上的作用诱导了w d 在e 的所有室组成的集合上的单可迁变换对 于w ，定义w 的室形式 a 硼= n 峨；七( 。，。) ， 七( 叫，q ) 是整数 口垂 室形式具有以下性质： ( a ) k ( e ，a ) = 0 ，对于任意的q 垂，这里e 是的单位元； ( b ) 如果w = w 8 t ，0 i 7 ，则k ( w t ，o t ) = 后( 叫，( q ) 现) + ( a ，i ) ，0 i 7 ，其中 l0 如果q 士啦； ( q ，t ) = 一l 如果q = q i ； 【1 如果q = 一q 2 2 1 2 2 室形式的性质 元素w 职的室形式 n 砭；蜘，q ) 口圣 由z 上的圣一重数组( 七( 叫；q ) ) n 圣( 或圣+ 一重数组( 南( 加；q ) ) 。垂+ ) 决定所以我们可以把一个室形式 简单的记为( 七( 加；q ) ) 。圣+ ) 一个圣一重数组( k ) 。圣对应于e 上的一个室，当且仅当它满足： ( a ) k a = 一k ，对任意的o t 圣； ( b ) 对于任意的满足q + p 圣的o t ，卢圣，有k 口+ k z k a + z k a + k z + 1 8 华东师范大学硕士论文 历型w e y l 群中的独异对合元 2 2 2 性质2 2 1 ( b ) 在e 的室集合上定义了一个右算子集合 岛i o i 7 ： 详细内容见【1 6 】 3 1 1 8 i ：( 后。) n 垂h ( 南( q ) i t + ( q ，t ) ) q 雪 第三章 e 7 塑j _ w e y l 群w 上的一些结果 3 1 指标记号 在接下来的章节中，如果没有特别指明，w 都表示研型w r e y l 群，它的c o x e t e r 生成元集为 s = s 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 ，8 5 ，8 6 ，s 7 ) ，这里的指标与下面的c o x e t e r 图的顶点标号相一致： 2 134567 把8 i 简记为i ，i 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 对于s 的任一子集i = i l ，i k ，晰是由i 生成的w 的子 群，w i 。i 。代表晰的最长元此外，用d ( x ) 表示z w 所在左胞腔的独异对合元 3 1 2 由定理1 4 2 1 和 2 1 】 4 】中的结果，我们知道m ) 0 当且仅当i 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ， 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 5 ，3 0 ，3 6 ，3 7 ，4 6 ，6 3 ) 在中总共有3 5 个双边胞腔 3 2 双边胞腔集合上的p 一轨道 定理3 2 1 7 ( c f 【2 1 ) ( 1 ) 映射p ：zhw o x 诱导了w 的左胞腔( 右胞腔，双边胞腔) 集合上关 于偏序l ( 兄，l r ) 的逆序对合置换，这里w 0 是w 的最长元 ( 2 ) w 的双边胞腔集合上的p 一轨道如下： 嘶o ) ，暇6 3 ) ) ， 瞰1 ) ，啊4 6 ) ) ， 暇2 ) ，暇3 7 ) ， q 3 ，1 ，m 3 0 ) ) ， 1 2 3 ，2 ，啊3 6 ) ， 瞰4 ) ，嘶2 5 ) ， 墩5 ) ，眦2 2 ) ， q 6 ，1 ，q 2 1 ，3 ， q 6 ，2 ，q 2 l ，2 ) ， q 6 ，3 ，q 2 1 ，1 ) ， 9 华东师范大学硕十论文 岛型w e y l 群中的独异对合元 a 7 ，1 ，瞰1 6 ) ) ， q 7 ，2 ，w c 2 0 ) ， w c s ) ，q 1 5 ，1 ) ， 瞰9 ) ，嘶1 4 ) ) ， f h o ，1 ，q 1 3 ，1 ) ， f h o ，2 ，q 1 3 ，2 】， 啦! 2 ) ，q 1 5 ，2 ) ， m 1 1 ) ) 其中q i ，j 表示瞰i ) 中的第j 个双边胞腔 ( 3 ) p 把双边胞腔q 的左胞腔代表元集映到p ( n ) 的左胞腔代表元集 ( 4 ) p 诱导了从左胞腔图m l 的顶点集m l 到左胞腔图p ( m 三) 的顶点集p ( m l ) 的一个双射，使 得 r ，一) 是m l 的一条边当且仅当 p c r ) ，p ( f ) ) 是p ( m l ) 的一+ 条边此外，对于任意的z w ，我 们有冗( w o x ) = s 冗( z ) ，且p ( m l ) 笺川7 详细内容见m 3 2 ： 图3 2 5 3 3 彬( 历) 中的左胞腔 本节内容以及具体的图见文【1 5 】下面的表格列出了w 的双边胞腔q 的左胞腔图m l 这里 a 4 1 = m l ( 1 ) ，m 2 = f 1 4 l ( 1 2 ) ，- ，3 = m l ( 1 2 s ) ，m 4 = l ( w 1 3 ) ，m s = m l ( 2 5 7 ) ， t 4 6 = a 4 l ( 1 2 5 7 ) ，m 7 = l ( w 1 2 3 ) ，朋8 = m l ( w 1 2 3 7 ) ，州9 = m l ( 可1 ) ，m l o = l ( w 1 3 4 ) ， 1 0 。o 2 l 2 2 ) i “ 州 一一一一一如 华东师范大学硕士论文 岛型w e y l 群中的独异对合元 m u = m l ( 叫1 3 5 6 ) ，m 1 2 = j l ( w 1 2 3 5 7 ) ，m 1 3 = j l ( y 2 ) ，m 1 4 = j l ( w 1 3 4 7 ) ，m 1 5 = m l ( w 1 2 3 5 6 ) ， m 1 6 = j l ( y 3 ) ，m 1 7 = j l ( w 2 4 5 7 ) ，m l s = m l ( 叫1 2 4 5 7 ) ，朋1 9 = j l ( y 4 ) ，m 2 0 = m l ( 剪5 ) ， m 2 1 = m l ( 加1 3 5 6 7 ) ，m 2 2 = m l ( 叫1 2 3 4 ) ，m 2 3 = m l ( 可6 ) ，m 2 4 = m l ( u j l 2 3 5 6 7 ) ，m 2 s = m l ( 可7 ) ， 其中 m 2 6 = m l ( 伽1 2 3 4 6 ) ，m 2 7 = j l ( y 8 ) ，m 2 8 = m l ( u j 2 3 4 5 ) 饥= t u l 2 3 7 4 2 6 5 6 4 3 4 5 2 4 1 3 7 ，y 2 = i j 1 2 3 5 7 4 2 6 5 6 4 3 4 5 2 4 1 3 7 ，y 3 = 伽1 3 4 7 5 6 4 2 4 5 3 4 7 ， y 4 = w 1 2 4 5 7 6 5 3 1 4 3 2 5 4 2 ，可5 = 1 j 1 3 5 6 7 4 2 6 5 3 1 4 2 5 3 4 1 ，舶= t 0 1 2 3 4 5 4 3 1 6 5 4 2 4 7 6 5 3 4 1 ， 可7 = t j 1 2 3 5 6 7 - 4 2 5 6 3 1 4 2 5 3 4 1 ，珧= w 1 2 3 4 6 5 4 2 3 1 6 7 5 6 4 3 2 5 4 1 q m l q m l 暇o )回晰6 3 ) 1 2 3 4 5 6 7 暇1 ) m 1 嘶4 6 )m 0 p 瞰2 ) 朋2 嘶3 7 )m 罗 q 3 1m 3 ，m 4 嘶3 0 ) m ；p ，朋0 p q 3 2m 5 眦3 6 )m 尹 瞰4 ) 朋6 ，川7 嘶2 5 ) m ：p ，朋尹 啊5 ) m s ，m 9 嘶2 2 ) m ：p ，m ；p q 6 1m 1 0 f 1 2 1 ，3m 器 q 6 2m nq 2 1 - 2 m ： q 6 3m 1 2 川1 31 2 2 1 ，1m 翟，m 器 q 7 1m 1 4 ，m 1 5 ，m 1 6 晰1 6 )m 荐m 器m 翟 q 7 2m 1 7 嘶2 0 )m 器 q 1 5 1m 1 8 m 1 9m 8 )m 器朋器 瞰9 ) m 2 0 ，m 2 1 啊1 4 )m 器，川署 q l o 1 m 2 2 ，m 2 3q 1 3 1 m 墨朋饕 q 1 0 2m 2 4 ，m 2 5d t 3 ，2m 子朋罢 瞰1 2 ) m 2 sq 1 5 2 m 罢 晰1 1 ) m 2 6 ，m 2 7 表3 3 1 1 华东师范人学硕士论文励型w e y l 群中的独异对合元 第四章w ( 岛) 中的独异对合元 4 1 基本方法 我们用以下方法来找独异对合元： ( 1 ) 在a 值为整数t 的双边胞腔的一个左胞腔图m 中，如果图朋中出现标号为j 的顶点，这 里，s ，l ( w j ) = t ，则运用定理1 7 1 4 和定理1 7 3 5 可找出整张图的顶点集含有的所有左胞腔的 独异对合元左胞腔图m 1 ，m 2 ，m 3 ，m 4 ，m 5 ，m 6 ，m 7 ，m 8 ，m l o ，m 1 l ，m 1 2 ，m 1 4 ，m 1 5 ，m 1 7 ， m 1 8 ，m 2 1 ，m 2 2 ，m 2 4 ，m 2 6 ，m 2 8 ，m o p m ：p ，m 器，川器，m 翟，m 普，m 器，m 器，m 罢的顶点集 所含左胞腔的独异对合元可以通过这种方法找出 ( 2 ) 对于那些方法( 1 ) 不适用的左胞腔图，我们在的凰型标准抛物子群中寻找具有相应a 值 的一个独异对合元( 记为d ) ，然后由d 出发运用定理1 7 3 5 即可找出这张图的顶点集包含的所有左 胞腔的独异对合元左胞腔图m 1 6 ，m 尹，m 努的顶点集所含左胞腔的独异对合元就是这样找出的 ( 3 ) 对于那些方法( 1 ) 和方法( 2 ) 均不适用的左胞腔图( 记为m ) ，m 所在的双边胞腔为q ，且q 有 不止一个左胞腔图，设m 是q 的不同于m 的左胞腔图，它的顶点集所包含的左胞腔的独异对合元 已经得到，则我们可以在这些已知的独异对合元中设法寻找合适的元素( 记为d ，) ，然后由d ，出发运 用1 7 2 和定理1 7 3 6 能够得出m 的顶点集中某一左胞腔的独异对合元，然后运用定理1 7 3 5 即可找 出朋的顶点集含有的所有左胞腔的独异对合元左胞腔图m 9 ，m 1 3 ，m 1 9 ，m 2 0 ，m 2 3 ，m 2 5 ，m 2 7 ， m o p 的顶点集所含左胞腔的独异对合元可以通过这种方法找出 ( 4 ) 对于那些方法( 1 ) ，方法( 2 ) 和方法( 3 ) 均不适用的左胞腔图( 记为m ) ，如果m o p 的顶点集所含 左胞腔的独异对合元已经找到，不妨取其中的一个记为d ，设d 所在的左胞腔为r ，则p ( r ) 是m 的 项点集里的左胞腔，p ( d ) r 因为的最长元w o 属于的中心，所以p ( d ) = w o d 是对合元，但是 w o d 一般不必为独异对合元我们计算出w o d 的k a z h d a n - l u s z t i g 多项式只， 。d ，然后根据1 7 1 判 断w o d 是否独异对合元如果w o d 是独异对合元，则我们得到了左胞腔p ( r ) 所含的独异对合元，再 运用定理1 7 3 5 即可找出左胞腔图m 的顶点集含有的所自左胞腔里的独异对合元左胞腔图朋0 p ， m 罗，朋；p ，m ；p ，m 番川翟，朋器，m 饕，m 罴m 罴m 番m 簧的顶点集所含左胞腔里的独异对 合元可以通过这种方法找出 ( 5 ) 对于那些方法( 1 ) ，方法( 2 ) ，方法( 3 ) 和方法( 4 ) 均不适用的左胞腔图( 记为m ) ，我们选定图 m 的顶点集里的一个左胞腔( 记为r ) ，想办法找出r 中对合元，小妨设w r 是一。个对合元，我们 计算出w 的k a z h d a n l u s z t i g 多项式b 叫，并根据1 7 1 判断w 是否独异对合元如果w 是独异对合 元，则我们得到了左胞腔r 的独异对合元，再运用定理1 7 3 5 即可找出左胞腔图m 的顶点集含包含 的所有左胞腔的独异对合元如果w 是独异对合元，还可以用一样的方法判断w o w 是否独异对合冗 1 2 华东师范大学硕士论文 岛型w e y l 群中的独异对合元 左胞腔图m o p ，m 的顶点集所含左胞腔的独异对合元是通过这种方法找出的 从v o g a n 教授那里得到的c o x e t e rv e r s i o n3 0 是f o k k od uc l o u x 编写的一个计算机程序，它是用 来探索与c o x e t e r 群和h e c k e 代数有关的组合问题的，尤其强调- j k a z h d a n - l u s z t i g 多项式的计算而 且它是使用c + + 语言执行c o x e t e r 群的相关概念的一个接口本文主要运用这个程序计算单参数 的k a z h d a n - l u s z t i g 多项式 本文以时俭益教授给出的元素的室形式为桥梁，把群里的相关运算转化成矩阵之间的运算，例 如：设是一个c o x e t e r 群，对于w w ，运用m a t l a b 软件编程计算z ( 伽) ，冗( 叫) ，c ( 叫) ，w 一，以及 中两个元素的乘积等等 4 2用方法( 1 ) 找出的独异对合元 4 2 1 左胞腔图m 2 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 2 的顶点集是m l ( 1 2 ) ，它含有2 7 个左胞腔，记w 1 2 所在的左胞腔为f 2 , 其独异对 合元为d 2 = 1 2 以下是左胞腔图m 2 ： m 2 1 3 华东师范大学硕士论文 岛型w e y l 群| 1 的独异对合元 图4 2 1 图中空心顶点代表独异对合元1 2 图4 2 1 中空心顶点代表独异对合元1 2 ，它是m 2 中顶点巳团所代表的左胞腔里的独异对合元 根据定理1 7 3 5 ，由图4 2 1 的空心顶点出发可以读出左胞腔图州2 的顶点集所包含的所有左胞腔里 的独异对合元在图4 2 1 中，每一个实心顶点或空心顶点都代表一个独异对合元，它是m 2 中相应位 置顶点所代表左胞腔里的独异对合元在图中任取两个有边相连的相邻顶点，分别记为d ，d ，如果连 线上的标号为 s ，t ，s ，t 不相同，则d ，= s d t ；如果连线上的标号为 s ，则j = s d s 在图4 2 1 中任取 一个顶点( 记为z ) ，它与空心顶点之间有不止一条路径，从这些路径中任选一条，从空心顶点1 2 出发， 利用相邻顶点之间的关系，便可以得到t 的表达式例如，记朋2 中顶点 习所代表的左胞腔里的独 异对合元为，则= 3 5 1 4 2 1 2 4 5 3 6 4 4 2 2 左胞腔图m 3 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 3 的顶点集是m l ( w 1 2 5 ) ，它含有3 5 个左胞腔，记w 1 2 5 的所在的左胞腔为f 3 ，其独 异对合元为d 3 = 1 2 5 在图4 2 2 中，由空心顶点所代表独异的对合元1 2 5 出发，按照4 2 1 中所介绍 的方法，便可以得到左胞腔图m 3 中每一个顶点所代表的左胞腔里的独异对合元 4 2 3 左胞腔图m 4 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图朋4 的顶点集m l ( w 1 3 ) 含有2 1 个左胞腔，记i v l 3 所在的左胞腔为p 4 ，其独异对合元 为d 4 = 1 3 1 1 4 4 2 6 左胞腔图m 7 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 7 的顶点集m l ( w 1 2 3 ) 含有1 0 5 个左胞腔，记w 1 2 3 所在的左胞腔为1 1 7 ，其独异对合 元为d r = w 1 2 3 4 2 7 左胞腔图朋8 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图川8 的顶点集是m l ( w 1 2 3 7 ) ，它含有1 7 4 个左胞腔，记w 1 2 3 7 所在的左胞腔为r 8 ，其 独异对合元为d s = w 1 2 3 7 1 5 华东师范大学硕士论文 岛型w e y l 群| l 的独异对合元 4 2 8 左胞腔图朋1 0 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图州1 0 的顶点集是m l ( w 1 3 4 ) 它含有2 1 0 个左胞腔，记w 1 3 4 所在的左胞腔为r i o ，其独 异对合元为d l o = w 1 3 4 4 2 9 左胞腔图朋1 1 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 1 1 的顶点集是m l ( w 1 3 5 6 ) ，它含有1 6 8 个左胞腔，记w 1 3 5 6 所在的左胞腔为f l l ， 其独异对合元为d 1 1 = w 1 3 5 6 4 2 1 0 左胞腔图m 1 2 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 1 2 的顶点集是m l ( w 1 2 3 5 7 ) ，它含有9 0 个左胞腔，记w 1 2 3 5 7 所在的左胞腔为f 1 2 ， 其独异对合元为d 1 2 = w 1 2 3 5 7 4 2 1 1 左胞腔图m 1 4 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 1 4 的顶点集是m l ( w 1 3 4 7 ) ，它含有2 1 0 个左胞腔，记w 1 3 4 7 所在的左胞腔为f 1 4 ，其 独异对合元为d 1 4 = w 1 3 4 7 4 2 1 2 左胞腔图- 1 5 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图a f 1 5 的顶点集m l ( w 1 2 3 5 6 ) 含有7 0 个左胞腔，记w 1 2 3 5 6 所在的左胞腔为r 1 5 ，其独异 对合元为d 1 5 = w 1 2 3 5 6 4 2 1 3 左胞腔图m 1 7 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 1 7 的顶点集是m l ( w 2 4 5 7 ) ，它含有1 8 9 个左胞腔，记w 2 4 5 7 所在的左胞腔为r 1 7 ， 其独异对合元为d 1 7 = w 2 4 5 7 4 2 1 4 左胞腔图m 1 8 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 1 8 的顶点集是m l ( w 1 2 4 5 7 ) ，它含有2 1 6 个左胞腔，记w 1 2 4 5 7 所在的左胞腔为f l s ， 其独异对合元为d 1 8 = w 1 2 4 5 7 1 6 华东师范人学硕士论文 研型w e y l 群t 】的独异对合元 4 2 1 5 左胞腔图m 2 1 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 2 1 的顶点集是m l ( w l s 5 e , ) ，它含有8 4 个左胞腔，记钮1 3 5 6 7 所在的左胞腔为r 2 1 ， 其独异对合元为d 2 1 = w 1 3 5 6 7 4 2 1 6 左胞腔图m 2 2 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 2 2 的顶点集是m l ( w 1 2 3 4 ) ，它含有3 3 6 个左胞腔，记i ) 1 2 3 4 所在的左胞腔为r 2 2 ， 其独异对合元为d 2 2 = w 1 2 3 4 4 2 1 7 左胞腔图m 2 4 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 2 4 的顶点集是m l ( w 1 2 3 5 6 7 ) ，它含有7 0 个左胞腔，记w 1 2 3 5 6 7 所在的左胞腔为r 2 4 ， 其独异对合元为d 2 4 = w 1 2 3 5 6 7 4 2 1 8 左胞腔图m 2 6 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 2 6 的顶点集是m l ( w 1 2 3 4 6 ) ，它含有4 4 2 个左胞腔，记w 1 2 3 4 6 所在的左胞腔为r 2 6 ， 其独异对合元为d 2 8 = 1 2 3 4 6 4 2 1 9 左胞腔图m 2 8 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 2 s 的顶点集是m l ( w 2 3 4 5 ) ，它含有1 0 5 个左胞腔，记2 3 4 5 所在的左胞腔为r 2 8 ， 其独异对合元为d 2 s = w 2 3 4 5 4 2 2 0 左胞腔图m o p 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 在左胞腔图m 尹的顶点集中，记t ，2 3 4 5 6 7 所在的左胞腔为f 3 ，其独异对合元为d 3 ，= w 2 3 4 5 6 7 4 2 2 1 左胞腔图朋尹的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 在左胞腔图m 尹的顶点集中，记w 1 2 3 4 5 6 所在的左胞腔为f 5 ，其独异对合元为d 5 ，= w 1 2 3 4 5 6 4 2 2 2 左胞腔图朋0 p 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 在左胞腔图朋o l p l 的顶点集中，记w 1 2 3 4 5 7 所在的左胞腔记为f 1 l ，其独异对合元为d 1 1 ，= 1 7 ) 1 5 为 为 的 里 个 华东师范人学硕士论文 易型w e y l 群中的独异对合元 4 2 3 1 小结 表4 2 3 l 列出了本节介绍的左胞腔图及其顶点集，从中可以一目了然的看出本节叙述的独异对 合元 m lm la 4 lm l 朋2m l ( w 1 2 )m 3 m l ( w 1 2 5 ) m 4m l ( w 1 3 )m s m l ( w 2 5 7 ) m 6m l ( w 1 2 5 7 )m t m l ( w 1 2 3 ) m 8m l ( w 1 2 3 7 )m l om l ( w 1 3 4 ) - 1 1m l ( w 1 3 5 6 )m 1 2 m l ( w 1 2 3 5 7 ) m 1 4 m l ( w 1 3 4 7 )m 1 5 m l ( w 1 2 3 5 6 ) m 1 7 m l ( w 2 4 5 7 )m 1 8 m l ( w 1 2 4 5 7 ) m 2 1m l ( w 1 3 5 6 7 )m 2 2 m l ( w 1 2 3 4 ) m 2 4m l ( w 1 2 3 5 6 7 )m 2 6 m l ( w 1 2 3 4 6 ) m 2 8 m l ( w 2 3 4 5 )m 尹m l ( w 2 3 4 5 6 7 ) m 1 m l ( w 1 ) 表4 2 3 1 4 3用方法( 2 ) 找出的独异对合元 4 3 1 左胞腔图m 1 6 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 左胞腔图m 1 6 的顶点集m l ( y 3 ) ，这里蜘= x 3 7 ，x 3 = w 1 3 4 7 5 6 4 2 4 5 3 4 是m l ( w 1 3 4 7 ) 包含左胞腔中的元素m l ( y 3 ) 含有3 5 个左胞腔，但是其中没有一个左胞腔含埘，形式的元素， 其d p l ( w j ) = 7 考虑的岛型标准抛物子群w j ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 从文【1 】中得到，元素 z = 5 4 5 6 2 3 5 4 2 3 4 5 6 4 5 是1 n 啊7 ) 中的一个独异对合元，冗( z ) = 4 ，5 ，6 m 7 ) 的左胞腔图l | 1 只 有两个顶点标号是 4 ，5 ，6 ，这两个顶点分别在m 1 4 和m 1 6 中，故左胞腔图m l ( z ) 要么与m 1 4 相同，要么与m 1 6 相同 从z 出发连续进行5 次右s t a r 作用，得到左胞腔图m l ( z ) i | j 的一条路： 比较m 1 4 和朋1 6r l 从顶点团出发的路，显然上面的路在m 1 6i l ，故m l ( z ) 与m 1 6 相同， 1 9 华东师范大学硕士论文 岛型w e y l 群中的独异对合元 所以z 在m 1 6 顶点集包含的左胞腔中记z 所在左胞腔为r 1 6 ，7 之, ( f 1 6 ) = 4 ，5 ，6 ) ，其独异对合元为 d 1 6 = z = 5 4 5 6 2 3 5 4 2 3 4 5 6 4 5 4 3 2 左胞腔图m o p 的顶点集所含左胞腔里的独异对合元 瞰2 5 ) 是w 的一个双边胞腔，它的左胞腔图是m ：p 和m o p 考虑w 的既型标准抛物子群 w j ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) ，根据陈承东的文章【1 】，中的独异对合元都已经找到在集合w j n 瞰2 s ) 中取独异对合元d ，= 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 1 ，冗( d ，) = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，在m o p 项点集所包含的一个左胞腔中，记为f 7 , ，其独异对合元d 7 , = d ， 4 3 3 左胞腔图m 2 0 2 p 的项点集所含左胞腔里的独异对合元 考虑彬的五j 6 型标准抛物子群w j ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) z = 1 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 1 3 4 1 是耽n 瞰1 3 ) 中的一个独异对合元