（基础数学专业论文）具有加权非局部源的非线性抛物型方程.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文主要研究几类带有加权非局部源的抛物型方程( 组) 所讨论问题包括非局部 抛物耦合组边值中权函数对解的b l o w - u p 行为的影响，非局部源抛物型方程中权函数 对b l o w u p 集和b l o w - u p 速率估计的影响此外还讨论了非对称源和吸收项对抛物耦合 组解的渐近行为的影响等首先讨论的是一个由非线性非局部源耦合，边值取解在区域 的加权平均值的非线性抛物模型我们给出了解b l o w - u p 与整体存在的指标分类，清晰 地刻画了权函数舻和妒对解的b l o w u p 行为的影响第二部分考虑的是具有加权局部化 源的非线性抛物型方程，得到了与权函数a ( z ) 有关的b l o w - u p 速率下界估计第三部分 考虑带有非对称源的非线性抛物型方程组，主要研究源的非对称性对解的渐近行为的影 响最后一部分讨论带有加权局部化源和内吸收的抛物型方程组对于弱吸收情形，我们 给出奇性解的一致b l o w u pp r o f i l e ；对于两种非平衡吸收情形，得到了与吸收项指标有关 的b l o w - u p 速率，这与已有带内吸收的单个方程的结果【14 1 有本质区别 第一章叙述与本文相关的研究工作的实际背景和国内外发展现状，并概述本文主要 i ：作 第一章考察一个边值条件中含有权函数的非局部问题解的b l o w u p 性质我们给出 了解b l o w - u p 与整体存在的指标分类，清晰地刻画了权函数妒和妒对于解的b l o w - u p 行 为的本质影响：不仅影响解的b l o w u p 是否发生，而且将决定解对任意正初值都b l o w u p 还是仅对大初值b l o w - u p 第三章所研究方程的源为局部化项u q ( o ，t ) ，局部项妒( o ，t ) 和权函数a ( x ) 三个因子 的乘积我们分析了这三个因子对解的渐近行为的影响除得到关于单点与全局b l o w u p 的完全指标分类，还特别( 对全局b l o w u p ) 得到与权函数a ( x ) 有关的b l o w - u p 速率下界 估汁 第四章讨论带有非对称源的非线性耦合抛物组首先建立解的两个分量钍和 同时 b l o w u p 的必要条件和充分条件，而后确立解在b l o w - u p 时刻附近的一致b l o w - u pp r o f i l e 我们发现一个有趣的现象：这里不仅“和v 的速率是不同量级的，而且同一个分量f 或 口) 在不同参数区域的b l o w u p 速率也可能具有不同的量级 第五章考虑带有权函数和内吸收的抛物型方程组我们得到了不同非线性指标占 优情形下三种可能的b l o w - u p 速率对于弱吸收情形，给出了解的一致b l o w u pp r o f i l e ， 对于两种非平衡吸收情形，得到与吸收项指标有关的b l o w u p 速率估计，这与已有文献 1 _ 4 1 中所得到的带有内吸收的单个方程的结果有本质区别 具有加权非局部源的非线性抛物型方程 关键词：非线性抛物型方程组；非局部源；局部化源；非局部边界条件；权函数；b l o w u p 速率；b l o w - u pp r o f i l e ；b l o w - u p 集；非线性内吸收；特征代数方程组；渐近分析；临界指标 大连理工大学博士学位论文 n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s w i t hw e i g h t e dn o n l o c a ls o u r c e s a b s t r a c t t 1 1 i st h e s i sm a i n l yd e a l sw i t hn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hw e i g h t e dn o n l o c a l s o l l r c e s ，t h et o p i c si n c l u d ei n f l u e n c e so fw e i g h tf u n c t i o n si nn o n l o c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s t ot h eb l o w - u pb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rc o u p l e dn o n l o c a lp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，e f f e c t so f w e i g h tf u n c t i o n si nn o n l o c a ls o u r c e st ob l o w u ps e t sa n db l o w - u pr a t e so fs o l u t i o n s ，a n d i na d d i t i o n ，i n f l u e n c e so fa s y m m e t r i cs o u r c e sa n di n n e ra b s o r p t i o n st ot h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro fs o l u t i o n s ，a n ds oo n f i r s t l y , w ec o n s i d e ra p a r a b o l i cs y s t e mc o u p l e dv i a n o n l o c a ls o u r c e sw h e r ee a c hc o m p o n e n to nt h eb o u n d a r yt a k e si t sw e i g h t e dm e a nv a l u e o v e rt h ed o m a i n a ne x p o n e n tc l a s s i f i c a t i o nf o rb l o w u pa n dg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n s i so b t a i n e d ，w h e r eo n ec a nf i n dt h es u b s t a n t i a lc o n t r i b u t i o no ft h ew e i g h tf u n c t i o n s 妒 a n d 曲t ot h eb l o w - u pb e h a v i o ro fs o l u t i o n s s e c o n d l y , w ec o n c e r nan o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o nw i t haw e i g h t e dl o c a l i z e ds o u r c e ，w h e r et h eb l o w u pr a t ee s t h n a t e so b t a i n e dd o d e p e n do nt h ew e i g h tf u n c t i o n t h i r d l y , w es t u d yap a r a b o l i cs y s t e mw i t ha s y m m e t r i c n o n l i n e a r i t i e st oo b s e r v et h ei n f l u e n c eo ft h ea s y m m e t r i cs o l l r c e st ob l o w - u pp r o f i l e so f s o l u t i o n s i na d d i t i o n ，t h et h e s i sd e a l sw i t ht h ea s y m p t o t i ca n a l y s i st oap a r a b o l i cm o d e l s w i t hi n n e ra b s o r p t i o n sa n dw e i g h t e dl o c a l i z e ds o u r c e s u n i f o r mb l o w u pp r o f i l e sa r e e s t a b l i s h e df o rt h ec a s eo fw e a ka b s o r p t i o n s w h i l ef o rt h et w oc a s e so fu n b a l a n c e d a b s o r p t i o n s ，i n s t e a do fb l o w u pp r o f i l e s ，t h eb l o w - u pr a t ee s t i m a t e sa r ee s t a b l i s h e d ，w h i c h a r ea b s o r p t i o n r e l a t e d ，a n dh e n c es u b s t a n t i a l l yd i f f e r e n tf r o ms c a l a rp a r a b o l i cp r o b l e m s w i t hi n n e ra b s o r p t i o n si nt h ec u r r e n tl i t e r a t u r e s l l4 l ( w h e r ea l lt h eb l o w u pr a t e sa r ek n o w n a sa b s o r p t i o n - i n d e p e n d e n t ) c h a p t e r1 i sa l li n t r o d u c t i o nt or e c a l lt h eb a c k g r o u n do ft h er e l a t e dt o p i c sa n d s u m m a r i z et h em a i nr e s u l t so ft h ep r e s e n tt h e s i s c h a p t e r2d e a l sw i t ha s e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mw i t hc o u p l e dn o n l o c a ls o u r c e s s u b j e c tt ow e i g h t e dn o n l o c a ld i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s w ee s t a b l i s ht h ec o n d i t i o n s f o rg l o b a la n dn o n g l o b a ls o l u t i o n sr e s p e c t i v e l y i ti si n t e r e s t i n gt oo b s e r v et h a tt h ew e i g h t f u n c t i o n sl nt h en o n l o e a ld i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n sh a v eas u b s t a n t i a lc o n t r i b u t i o nt o d e t e r m i n en o to n l yt h es o l u t i o n sa r eg l o b a lo rn o n - g l o b a l ，a n db u ta l s o ( f o rt h en o n g l o b a l s o l u t i o n s ) t h eb l o w i n gu po c c u r sf o ra n yp o s i t i v ei n i t i a ld a t ao rj u s tf o rl a r g eo n e s i i i 具有加权非局部源的非线性抛物型方程 c h a p t e r3s t u d i e san o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t ham o r ec o m p l i c a t e ds o u r c e t e r m ，w h i c hi sap r o d u c to fl o c a l i z e ds o u r c eu 4 ( o ，t ) ，l o c a ls o u r c eu p ( z ，t ) ，a n dw e i g h t f u n c t i o n 口( z ) w ei n v e s t i g a t eh o wt h et h r e ef a c t o r si n f l u e n c et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f s o l u t i o n s w ea tf i r s td e t e r m i n eac o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o nf o rs i n g l ep o i n tv e r s u st o t a lb l o w - u po fs o l u t i o n s ，a n dt h e ne s t a b l i s hs o m en 忙) 一r e l a t e dl o w e rb o u n de s t i m a t e so fb l o w - u p r a t e sf o rt o t a lb l o w - u pc a s e c h a p t e r4c o n c e r n san o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e ms u b j e c tt on u l ld i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，w h e r et h ec o u p l e dn o n l o c a ls o u r c e sc o n s i s to fm i x e dt y p ea s y m m e t r i cn o d - l i n e a r i t i e s w ea tf i r s to b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sr e s p e c t i v e l yf o r s i m u l t a n e o u sb l o w u pi nt h em o d e l ，a n dt h e ne s t a b l i s hu n i f o r mb l o w u pp r o f i l e 8o fs o l u - t i o n sn e a t t h eb l o w - u pt i m e i ti si n t e r e s t i n gt oo b s e r v et h a tn o to n l yt h es i m u l t a n e o u s b l o w - u pr a t e so ft h ec o m p o n e n t s 仳a n d a l ea s y m m e t r i c b u ta l s ot h eb l o w - u pr a t e so f t h es a 4 t l ec o m p o n e n tt ( o rv ) m a yb ei nd i f f e r e n tl e v e l su n d e rd i f f e r e n td o m i n a t i o n s c h a p t e r5f o c u s e so nt h ea s y m p t o t i ca n a l y s i st oap a r a b o l i cm o d e lw i t hi n n e ra b s o r p - t i o n sa n dw e i g h t e dl o c a l i z e ds o u r c e s t h r e ep o s s i b l es i m u l t a n e o u sb l o w - u pr a t e su n d e r d i f f e r e n td o m i n a t i o n so fn o n l i n e a r i t i e sa r ee s t a b l i s h e d i np a r t i c u l a r ，u n i f o r mb l o w - u p p r o f i l e sa x ee s t a b l i s h e df o rt h ec a s eo fw e a ka b s o r p t i o n s w h f i ef o rt h et w oc a s e so fu n b a l a n c e da b s o r p t i o n s ，i n s t e a do fb l o w - u pp r o f i l e s ，t h eb l o w u pr a t ee s t i m a t e sa r ee s t a b h s h e d ， w h i c ha x ea b s o r p t i o n - r e l a t e d ，s u b s t a n t i a l l yd i f f e r e n tf r o mt h o s ef o ra l lt h es c a l a rp r o b l e m s w i t hi n n e ra b s o r p t i o n s 1 - 4 1 k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m ；n o n l o c a ls o u r c e ；l o c a l i z e ds o u r c e ；n o n l o c a l b o u n d a r yc o n d i t i o n ；w e i g h tf u n c t i o n ；b l o w u pr a t e ；b l o w u pp r o f i l e ；b l o w - u ps e t ；n o n h n e a r i n n e ra b s o r p t i o n ；c h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e m ；a s y m p t o t i ca n a l y s i s ；c r i t i c a le x p o n e n t 一 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：班隧。日期： 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：过垃 导师签名绝望丝 墨! ! 年互月l 日 7 9 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章首先概述本文所研究问题的实际背景和国内外发展现状，然后简要介绍本文主 要内容 1 1 问题的背景及发展现状 1 1 1 基本背景 偏微分方程是随微积分学发展起来的学科随着研究深度和广度两方面的发展，偏 微分方程学科的理论在1 9 世纪取得了巨大成就偏微分方程本身所涉及和研究的内容大 量来自物理学、化学、生物学和生态学的研究中出现的众多数学模型，因而有着广泛的 实际背景连续介质力学、电磁理论、引力理论、规范场等方面的基本规律，均可以模 型化为偏微分方程的形式，并用偏微分方程的理论给出了关于这些物理规律研究的新成 果，另一方面，对偏微分方程的研究需要运用来自各个分支的数学工具，不断地对整个数 学科学的发展提出挑战非线性抛物型方程是偏微分方程领域的一个荤要分支，方程的 非线性可导致解的奇性，例如解的有界性或正则性的破坏，能很好地描绘物理学、生物 学、化学等领域的许多现象因此，关于偏微分方程特别是非线性偏微分方程的研究引 起愈来愈多的数学家、物理学家、化学家、生物学家和工程学家们的关注 1 1 2 b l o w - u p 问题发展概况 对于非线性抛物型方程解的b l o w u p 问题，现在仍然没有完整的一般化理论，但是 对于诸多的特定模型都有了相应的研究结果j 5 4 5 1 从单个方程到方程组，这一研究方向 得到了不断的拓展与丰富，从最早讨论解在有限时刻b l o w - u p 的条件延伸到后来涵盖了 b l o w - u p 条件、b l o w u p 速率估计以及b l o w u p 集等问题的探讨近些年，又出现一些新 的研究课题，比如非局部问题解的b l o w u pp r o f i l e 等下面介绍与本文相关的b l o w u p 问 题的研究进展 i 局部问题 一个经典的b l o w u p 模型是 髓蠹：， o 豫，z 0 ， ， ( 1 1 ) z r 州， 其中p 1 f u j i t a 4 6 i t 1 9 6 6 年首次研究了这个模型，得到了临界指标p c ( n ) = 1 + 2 i n 即当1 2 r 卅q + 1 1 ) ，礼+ l 帮， 【，口) ， m + 1 垫p + l ，n + 1 垫q 幽+ 1 最近，s o n g 在文献【5 6 】中研究了如下带有混合型边界流的问题 f ：2 u ，仇i u ， ，t ) n ( o t ) ， 鬻= 矿e 伽，骞= 铲抄， ( 州) 弛( o ，丁) ， ( 1 3 ) 【u ( z ，o ) ：咖( 石) ，口( z ，o ) ：u 。( z ) ，( z ，t ) q ， 对于某些p ，q ，口，卢给出了解的b l o w - u p 速率估计 i i 非局部问颢 近十几年来，带有非局部源或局部化源的抛物型问题的研究引起广泛关注并得到一 系列深刻结果f l3 5 78 5 i 1 9 9 2 年，c h a d a m ，p e i r c e 和y i n 在文献 5 7 】中考虑了如下含有非局部源的单个方程 问题 u ：，( “) 血 j 0 0 ， 0 ) = 咖( z ) ， ( 工，t ) q ( 0 ，t ) ( z ，) a q ( o ，t ) ， ( 1 4 ) z 矗 证明了当，( s ) 为凸函数，7 ( s ) 0 且厂。南d s 1 ，则在n 的紧子集上一致地有 。l i m ( t t ) 1 ( m 一1 ) 乱( ，t ) = 蹲( r t ) 1 ( , n - 1 ) m ，t ) = ( m 一1 ) 一击 s o u p l e t 在文献【3 1 中还给出了带有内吸收的问题u t = a u + f n u p d x - 矿的致b i o w u p p r o f i l e ( 显然与吸收项无关) 为：当p r21 时， 髀一t ) 南u ( 。，t ) = 【( p 一1 ) 一占 在q 的紧子集上一致成立 在文献 7 2 中，f r i e d m a n 研究了如下带有非局部边值的单个方程 饥一a u = 0 ， u ( z ，亡) = 妒( z j n u ( x ，0 ) = u o ( z ) ， ( 茹，t ) n ( 0 ，t ) ， 可) 仳( ，t ) d y ，( z ，t ) ，q ( 0 ，t ) ， ( 1 5 ) z q a = 酗。，去+ 和，丕“乩啦 对于更一般形式的非局部边值问题的时论，可参见文献 7 1 ，7 4 】 既带有非局部源又含有非局部边界的抛物问题已引起广泛关注，例如l i n 等在文献 1 7 3 中研究了如下问题 l 恤一让= g ( u ) d z ， 扛，t ) n ( o ，丁) ， i，n u ( z ，t ) = ：妒( t ，可) u ( 口，t ) d g ， ( z ，t ) a q ( o ，r ) ， iu ( z ，0 ) = 咖( z ) ， z n - 最近，l i u 等在文献f 7 5 】中研究了源中含有权函数的非局部问题 f 啦一u = o ( z ) 夕( t ) ， z 口( o ；r ) ，t o ， u ( z ，t ) = 0 ， 上a b ( o ；r ) ，t 0 ， 【u 扛，0 ) = t 正0 0 ) ， 。b ( o ；r ) ， 得到了 磐豁刮z ) 一4 一 大连理工大学博士学位论文 在b 的紧i 立，其中g ( t ) = f & ( 8 ) d s 他们在此文献中还研究了带有内吸收 的问题 i 啦= a u + 口扛) 舻 l t ) d x u q ( x ，) ，( z ，t ) b ( 0 ，r ) ， j o 且 1 = 0 ， ( o ，t ) a b ( 0 ，? ) ， 【u ( z ，0 ) = u o ( o ) ，z 廖， 并且给出了当p q 1 时的b l o w u pp r o i i l e ( 显然与q 无关) ： 髀( 丁一t ) 南( 。一= 。( z ) ( 一1 ) z 扩( z ) d z ) 南 在b 的紧子集上一致成立 在文献 6 2 中，l i 等讨论了方程组 啦= a u + “v p l d x ，砘= + 矿1 历d x ， o ，t ) q ( 0 ，卵 的d i r i c h l e t 问题，得到了解整体存在和有限时刻b l o w - u p 的条件，并讨论了奇性解的 b l o w u p 集和b l o w u pp r o f i l e 文献 6 5 ，6 9 】研究了带有耦合幂型局部化源的d i r i c h l e t 问题 u t = u + 。( 。o ，t ) 矿x 0 ，) ，u t = 口+ u 9 ( z o ，t ) 护( x 0 ，t ) ， ，t ) q ( 0 ，t ) ， 文献 6 3 ，6 5 中研究了如下带有耦合指数型局部化源的d i r i c h l e t 问题 地= “+ e p l “( 。o 时+ 口1 ”( 2 0 t 们，钝= t ，+ e 船“( 。o ，) + 叮2 ”( 2 0 ，扪， ( z ，t ) n ( 0 ，t ) j i a n g 和l i 在文献 6 1 】中研究了如下混合型非局部源的d i r i c h l e t 问题 饥= u + 刨卢e a “d z ，仇= 口+ u p e q v d x ， 扛，t ) q ( 0 ，t ) 他们都给出了解在有限时刻b l o w u p 的条件，b l o w - u p 速率及b l o w - u p 点集， 本文主要研究以下问题： i 何情况下发生b l o w - u p ( b l o w - u p 条件) ? 即所研究的方程在什么条件下解在有限 时刻发生b l o w - u p ，取决于方程的形式和初边值条件等 i i 何处发生b l o w u p ( b l o w - u p 集) ? 典型的b l o w u p 集分为三种：( 1 ) 单点b l o w u p ， 即b l o w - u p 集s 只包含一个点；( 2 ) 局部b l o w u p ，即b l o w u p 集s 为所考虑区域q 的一 个正测度真子集；( 3 ) 全局b l o w u p ，即b l o w - u p 集s = n ， i i i b l o w - u p 解的渐近行为? 即b l o w u p 点处当t 趋向丁ib l o w u p 时刻t 时的b l o w - u p 速率或b l o w - u pp r o f i l e 5 具有加权非局部源的非线性抛物型方程 1 2 本文主要内容介绍 本文主要研究带有非局部边界、权函数、非对称源和具有内吸收的几类非线性 抛物型方程( 组) 的解的b l o w - u p 行为，特别是权函数、非对称源对解的渐近行为的影 响这类模型的实际背景来源于拟静态热电学、化学反应过程、混合燃料热传导等( 参 见【5 7 ，7 3 ，8 3 ，s 7 - 9 1 ) 本文所涉及的各类抛物型方程( 组) 部是一致抛物的，从而有古典 解的局部存在性成立具体内容安排如下： 第2 章考虑具有加权非局部边值的非局部抛物型方程组 让产u + u ( 州) 上州州) 出 驴”w ( 州) 上帅帆 ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ( z ，t ) f t ( 0 ，t ) “= 上咖，咖( 引) 屯u = 上帅川山，蜩，( 州) a q ( o u ( x ，0 ) = “o ( z ) ，口( 。，0 ) = v o ( x ) ， z n ， 其中q c r n 是具有光滑边界a q 的有界区域；m ，q 0 且几，p 0 使得系统中的非局部 源是完全耦合的边值条件中的权函数妒( 。，) ，妒( z ，y ) 在a n q 上非负连续并且在a n 上满足如妒( z ，y ) d y ，岛妒( o ，y ) d y 0 初值u o ， u 0 c 2 + v ( q ) ( o 0 u ( x ，0 ) = 咖( z ) ， z b 其中源由三部分组成：局部化源因子u q ( 0 ，) ，局部源因子俨( 。，t ) 和权函数口( z ) ；b = b ( 0 ；r ) 是以r 为半径的r 中的一个开球；非负常数p ，q 满足p + g 1 我们分析了这 三个因子对解的渐近行为的影响除得到关丁二单点与全局b l o w - u p 的完全指标分类，还 特别( 对全局b l o w - u p ) 得到与权函数o ( z ) 有关的b l o w u p 速率下界估计 6 一 大连理工大学博士学位论文 第4 章研究含有非对称非局部源的抛物型方程组 i ? i t = a u + u p e “d x ，饥= a v + u g 扩”d x ，o ，t ) q ( 0 ，t ) ， j “2以1 1u ( z ，t ) = v ( x ，t ) = 0 ， ( z ，t ) a n ( 0 ，t ) ， 【乱( z ，0 ) = t 幻( z ) ， ( z ，0 ) = v o ( x ) ，z q ， 其中q c r 是具有光滑边界a n 的有界区域；p ，q ，o ，t 臼20 且口，g 0 使得系统中的非 局部源是完全耦舍的我们观察到不仅同时b l o w - u p 时分量和口的速率是不同量级的 而且同一个分量u ( 或口) 在不同参数区域的b l o w u p 速率也可具有不同的量级，也就是 说当跨越不同参数区域时会出现b l o w - u p 速率跳跃( j u m p ) 的有趣现象这是由源的非对 称耦合性造成的 第5 章研究带有加权局部化源和内吸收的抛物型方程组 fu t = u + 口1 ( o ) ( o ，) 一b l u 7 ，( o ，t ) b ( 0 ，丁) ， iv t = a v + 0 2 ( z ) “9 ( o ，t ) 一6 2 u 5 ，( 。，) b ( 0 ，t ) ， 1 i 乱= = 0 ， ( o ，t ) o b ( 0 ，t ) ， iu ( x ，0 ) = 咖( z ) ，u ( z ，0 ) = t j 0 ( z ) ，z b ， 。 其中q = 日( o ；r ) 是r 中以r 为半径的开球，p ，q ，r ，s ，b l ，k 0 a l ) ，a 2 如) c 2 ( b ) 且径向对称，o i ( r ) ，o ：( r ) 0 于r ( o ，矧，r = h ，并且满足a l ( 茁) = a 2 ( 。) = 0 于a b 我 们建立了上述问题解的完整的b l o w - u p 速率估计、其速率指标为如下的特征代数方程组 的解，其中 (。1(92e 1 - 1 ) ( 州：) ，剀= 隆濮 这里，对应于不同的参数区域，总共可有三种不同的速率对于弱吸收情形，即r 2 掣 且s 0 初值u o ，v o e 2 扣( q ) ( o v 1 ) ，咖，v o o ，0 ，且 满足相容性条件形如( 2 1 ) 的模型可以用来描述拟静态热电学等中的某些物理现象( 参 见 7 3 ，8 7 - 9 1 】) 由标准的抛物型方程组理论可以知道，方程组( 2 1 ) 存在局部非负解，并且 当m ，几，p ，q 芝1 时，解的唯一性成立 在文献f 7 2 1 中，f r i e d m a n 研究了带有非局部边值的单个方程 f 地一a 札= 0 ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， i， u ( 。，t ) = 妒( 。，可) “( 掣，t ) d y ，( 。，t ) 锄( 0 ，t ) ， ( 2 2 ) i 托 【仙( ，0 ) = u o ( 。) ， z q ， 其中 a = i 妻, j = l 。如) 菇葛+ 骞蛐) 去+ c ( 吨c ( z ) 。 在 i 妒( z ，y ) l d y p 1 ；( c ) n p ( 1 一m ) ( 1 一q ) 若对所有z a n ，都有矗妒( z ，y ) d y ，厶母( z ，y ) d y 1 ；( b ) 口 1 ；( c ) n p ( 1 一m ) ( 1 一g ) ， 那么( 2 1 ) 的解对于大初值在有限时刻b l o w u p 定理2 4 假定m 1 ( 或者g 1 ) 且( h ) 成立若矗妒( z ，y ) d y 1 ( 或矗妒( z ，y ) d y 1 ) 对所有。a q 成立，则( 2 1 ) 的解对任意正的初值在有限时刻b l o w - u p 定理2 5 假定n p ( 1 m ) ( 1 一q ) 若矗垆( z ，y ) d y ，如妒( z ，y ) d y 1 对所有 z a n 成立，则( 2 1 ) 的解对任意正的初值在有限时刻b l o w u p ， 本章结构如下：第二节针对所考虑的模型建立最大值原理和比较原理第三节证明 整体解的结论，即定理2 1 和定理2 2 第四节分别证明解对大初值b l o w u p 的条件( 定理 2 3 ) 和任意正初值b l o w - u p 的条件( 定理2 4 和2 5 ) 最后一节总结本章所得结论，特别 指出权函数对解的b l o w u p 行为的影响 具有加权非局部源的非线性抛物型方程 2 2 比较原理 本节针对所考虑模型给出最大值原理和比较原理记q r = q ( 0 ，丁) ，爵= o 2 ( 0 ，t ) ，亩丁= q 【0 ，t ) 定义2 1 称丝型c 2 , 1 ( q r ) n c ( 国r ) 为( 2 1 ) 的一个下解，如果( 笪，型) 满足： 鱼型+ _ u m 扛，t ) v n ，t ) 出，( z ，t ) q t