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一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 摘要 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 摘要 p - l a p l a c e 方程是一类比较重要的微分方程模型，它来自于非牛顿流体问题及非线 性弹性问题等本文讨论了一维p - l a p l a c e 方程在共振点附近无穷多个次调和解的存在 性，并给出了方程大初值解无界的条件以及周期解与无界解共存的条件 一维p - l a p l a c e 方程作为平面等时h a m i l t o n 系统的扰动来看，其等时部分不具有 对状态变量的齐性，因此我们采用作用一角变换的方法，把“非齐性”平均，研究在 此变换下新的h a m i l t o n 系统当方程的扰动项有界时，我们证明了作用一角变换下的 p o i n c a r 6 映射的扭转性；当方程的扰动项无界时，此时的p o i n c a r 6 映射不足以清楚地反 映扭转，因此我们考虑作用一角变换下的后继映射的扭转性最后利用p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理得到方程的无穷多周期解的存在性 当非等时项很小时，我们证明了在一定条件下，方程的所有大初值的解均无界 此外，我们还利用拓扑度理论证明了方程2 丌周期解的存在性最后，本文给出了方程 周期解和无界解共存的条件 关键词：p - l a p l a c e 方程；共振；p o i n c a r 6 映射；后继映射；p o i n c a r 4 - b i r k h o f f 扭转定 理 作者：蒋惠丽 指导教师：钱定边 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 a b s t r a c t r e s o n a n tp h e n o m e n ao f1 - d i m e n s i o n a l p - l a p l a c i a ne q u a t i o n a b s t r a c t p - l a p l a c i a ne q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tm o d e lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nf r o mn o n n e w t o - n i a nf l u i dt h e o r ya n dn o n l i n e a re l a s t i c i t y i nt h i sp a p e r ，w ew i l li n v e s t i g a t et h er e s o n a n t p h e n o m e n ao fl d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a ne q u a t i o n b a s e do nag e n e r a l i z e dv e r s i o no ft h e p o i n c a r 6 - b i r k h o f ft w i s tt h e o r e mb yj f r a n k sa n dw d i n g ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e s u b h a r m o n i cs o l u t i o n sf o rt h ee q u a t i o n m o r e o v e r ，w ee s t a b l i s ht h ec o e x i s t e n c eo fp e r i o d i c s o l u t i o na n du n b o u n d e ds o l u t i o nf o rt h ee q u a t i o n f r o mt h ev i e w p o i n to fap c r t u r b a t i o no ft h ei s o c h r o n o u sh a m i l t o n i a ns y s t e mi nt h e p l a n e ，t h ei s o c h r o n o u sp a r tf o rp - l a p l a c i a ne q u a t i o ni sn o n h o m o g e n e o u si nt h ev a r i a b l e s s ow ei n t r o d u c es o m en e wa c t i o n a n g l ev a r i a b l e st oo v e r c o m et h i sd i f f i c u l t i nt h ec a s eo f t h ep e r t u r b e dt e r mb e i n gb o u n d e d ，w ep r o v et h a tp o i n c a r 6m a po ft h ee q u a t i o nh a sat w i s t p r o p e r t yo ns o m ea n n u l u s i nt h ec a s eo ft h ep e r t u r b e dt e r mb e i n gu n b o u n d e d ，w ed o n t k n o ww h e t h e rt h e r ei sat w i s tp r o p e r t yo fp o i n c a r m a po rn o t s ow ec o n s i d e rt h es u c c e s s o r m a pi nt h en e wa c t i o n a n g l ec o o r d i n a t e sa n dp r o v et h et w i s tp r o p e r t yo ft h es u c c e s s o rm a p t h e nw eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n yp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rp - l a p l a c i a ne q u a t i o n b yu s i n gp o i n c a r & b i r k h o f ft w i s tt h e o r e mi nb o t hc a s e s w h e nt h ep e r t u r b e dt e r mi ss m a l le n o u g h ，w ep r o v et h a ta l lo fs o l u t i o n sw i t hl a r g e a m p l i t u d ea r eu n b o u n d e du n d e rs o m ec o n d i t i o n s m o r e o v e r ，w ea l s op r o v et h ee x i s t e n c eo f 2 7 r p e r i o d i cs o l u t i o nf o rp - l a p l a c i a ne q u a t i o nb yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e e a tl a s t ，w eg i v et h e c o n d i t i o nf o rt h ec o e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o na n du n b o u n d e ds o l u t i o nf o rt h ee q u a t i o n k e y w o r d s ：p - l a p l a c i a ne q u a t i o n ；r e s o n a n c e ；p o i n c a r dm a p ；s u c c e s s o rm a p ；p o i n c a r 6 - b i r k h o f ft w i s tt h e o r e m i i w r i t t e nb yj i a n g - h u i l i s u p e r v i s e db yp r o f q i a n d i n g b i a n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：二幽日期：j 弘 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：壅互塞j 豆一日期：垒牛 导师签名：兰牡日期：学 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 第一章引言 第一章引言 1 1课题的背景和意义 本文讨论一类平面周期h a m i l t o n 系统的共振性态考虑周期强迫扰动的平面h a m i l - t o n 系统 卜筹圳， 【7 一筹怕， ( 1 1 ) 一定条件下，自治的平 睫 2 ， z 2 丌p ( s ) c 。s 几sd s = o 且z 2 丌p ( s ) s i n n s d s = 。；( 1 4 ) zp ( s ) c 洲s且上p ( s ) s 1 d s = o ； ( 1 4 ) 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 第一章引言 其中z + = m a x x ，o ) ，2 一= m a x - x ，o ， 112 而+ 一 - z 。磊， a 卢是正常数，且满足 礼z + ，( 1 6 ) j m a l o n s o 和r o r t e g a 2 】证明了存在2 7 r 周期函数p ( t ) 使得非对称方程( 1 5 ) 周期 解和无界解共存柳彬 3 】讨论了菲对称方程( 1 5 ) 解的有界性条件 二、近线性和不对称的近线性二阶方程 考虑线性和不对称的线性二阶方程的小扰动 z + a z + 一p 。一- 4 - h ( x ) = p ( ) ，( 1 7 ) 其中p ( t ) 是2 丌周期的连续函数，h ( x ) 是连续的扰动项 当o l = p = n 且h ( x ) 是有界函数时，一个经典的结果是a c l a z e r 和d e l e a c h 4 】在 f z 2 丌p ) e i n td t i 1 ，f 关于z 是局部l i p s c h i t z 连续的，关于t 是2 7 r 周期的 当f 三0 时方程( 1 1 1 ) 的非零解均是相同周期的周期解 c f a b r y 和r m a n 缸e v i c h 在文 1 2 】中研究了非对称的p - l a p l a c e 方程( 1 1 1 ) 设厂 在r 2 上有界，且，士( ) = 1 i 平，( t ，z ) ，对变量t 一致成立z = v ( t ) 是 ( 如( z 7 ) ) 7 + 如( z + ) 一p 如( z 一) = 0 ( 1 1 2 ) 满足v ( 0 ) = 1 ，口7 ( o ) = 0 的解，v d t ) = v ( t + 口) ，对任意的t 【0 ，2 卅记 rr z ( e ) = ，+ ( t ) u ( + 口) d t + l ( t ) u ( t + 口) d t j v e ( t ) o j v e ( ) 。( 见1 1 2 ) 假设 孥：礼，礼( 1 1 4 ) , 1 4 一= 礼，礼。 i 上 一 扰动项h ( x ) 满足 l i r a i x l 。+ 。c 器_ 0 ( 1 1 5 ) ( z ) 、。 记 4 ( 垆胙 0 , 2 1 r 】：岛( 掣) 0 ) 坤) 却 0 , 2 7 r 】：岛( 掣) 0 ，vp ；( 1 1 6 ) 虹有限，l ( o ) 一o o ； ( 1 2 0 ) z 十o 。z 一。 l i r a h ( x ) = - t - ( x ) ，l i ms u ph ( x ) 0 ，使得i j ( p ) l q o ，0 0 ，2 7 r ) ，则方程 ( 1 1 3 ) 的无界解与2 7 r 周期解共存 1 2论文各部分的主要内容 第一章阐述了课题的背景以及意义，介绍了周期强迫扰动的平面h a m i l t o n 系统的 共振的研究情况，一维等时扰动的p - l a p l a c e 方程的研究现状以及本文的主要研究成 果 第二章讨论的是非对称的p - l a p l a c e 方程在共振点附近无穷多个次调和解的存在 性，分为四小节第一节我们采用作用一角变换，研究在此变换下新的h a m i l t o n 系统， 并给出了一些基本引理及其证明；第二节介绍了在j f r a n k s 和丁伟岳文章基础上提出 的p o i n c a r - b i r k h o f f 扭转定理；第三节讨论了等时系统的有界扰动，证明了作用角变 换下p o i n c a r 6 映射的扭转条件，并利用p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理得到方程的无穷多个 次调和解；第四节讨论了等时系统的无界扰动，此时的p o i n c a r 6 映射不足以清楚地反映 扭转，因此我们考虑作用一角变换下的后继映射的扭转性，再次利用p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理得到方程的无穷多个次调和解 第三章研究了当非等时项很小时，方程周期解和无界解共存的条件，分为两小节 第一节通过讨论方程的p o i n c a r 6 映射，得到方程无界解的存在性；第二节我们利用拓 扑度理论证明了方程2 丌周期解的存在性，并讨论了方程周期解和无界解共存的条件 第四章是对进一步研究的考虑，我们提出了两个问题其一，对于一维p - l a p l a c e 方程的基本模型 ( 讳( 。，) ) 7 + 如( z ) = p ( ) ， 其二择一定理( 解或者全有界，或者全无界) 是否成立；其二，当等时系统小扰动时， 若判断函数l ( o ) 三0 ，方程( 1 1 3 ) 是否仍然存在无穷多个次调和解 6 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 第二章无穷多周期解的存在性 第二章无穷多周期解的存在性 本章证明定理1 1 我们先引进一个适用于一维p - l a p l a c e 方程的作用角变量，在 其变换下得到一个新的h a m i l t o n 系统，通过证明这个h a m i l t o n 系统的p o i n c a r 5 映射 的扭转性质，得到周期解的存在性 先介绍文 1 5 中提到的两个类似于s i n t 和c o s t 的周期函数q ( t ) 和昂( ) 考虑方程 ( 如( z ，) ) + 如( z ) = 0 ，( 2 1 ) 令y = 奶( z ，) 则z 7 = c q ( y ) ，其中( 甜) = 9 2 让，1 p 0 时，令 l ( t ) = 俪，则 ，( 归( 删一= 揣， 故 z ( t ) l = i 揣p 丽l y l q - 1 = p ( 筠) ；翊 其中p 。口m 【0 1 2 a x 丌1i p ( t ) l 为有限常数设d = | 6 一t o l ，则d + ，则 z ( t ) l ( t o ) + 2 p ( t t o ) l ( t o ) + 2 p d 0 ，| j 0 以及函数d l ，d 2 ：限+ ) 一r + ， 使得当i o ，时，有 d 1 ( 1 0 ) 1 ( t ) d 2 ( i o ) ，vt 【- t ，卅， 并且1 i m 如( 局) = + o o ，i = l ，2 j n + 十。o 证明注意到对t 一正卅，h o ( t ) _ + 与j ( t ) _ + 。等价，其中s o ( t ) = 考叭p ( 巩j ( t ) ) i 。+ 刍( 口 矿( 秽( 味j ( t ) ) l p + pi z _ ( 8 ( t ) j ( t ) ) l p ) 我们只要对日0 ( t ) 证明，容易 检验存在d ，l 0 ，对h o ( t ) d ，有 磁( t ) i l h o ( t ) 利用g r o n w a l l 不等式可得 h o ( o ) e l h o ( t ) 。日o ( o ) e l 。， vt 【- t ，t 1 从而 e - l t h o ( o ) h o ( t ) e l t h o ( o ) ， vt 【一t ，t 】 回到i ，就存在符合条件的函数d 1 ，d 2 ，使得 d 1 ( b ) i ( t ) sd 2 ( 局) ， vt 一t ，卅 2 2 p o i n c a r 4 b i r k h o f f 扭转定理 本节我们介绍在j f r a n k s 和丁伟岳文章的基础上提出的一个p o i n c a r 4 - b i r k h o f f 扭 转定理( 见【1 8 】，【1 9 和【2 0 】) 9 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态第二章无穷多周期解的存在性 设平面环域4 的内边界k 1 和外边界都是关于原点的星形光滑闭曲线 设 ，：4 _ bcr 2 ( o ，o ) ) 是一个同伦于包含映射的保面积同胚，其中b 是由两个同心圆围成的环域，acb ， i ( a ) cb ，f ( a ) no b = g 设五蟊，羁表示4 ，k 1 ，k 2 的提升，假设 1 ，的提升 ，：( r ，0 ) h ( p ( r ，口) ，( r p ) ) 对4 是扭转的，亦即存在整数j o ，使得 f ( r ，0 ) 一0 + 巧0 7 r o ( 或 0 ，令 训= 胙f 0 ，2 小吲- 百o o + + d ( 去) ) 吐 厶一( 如) = 0 ，2 7 r 】乙- 烈i o o + + d ( 石1 ) ) 0 时，k c 为星形闭曲线，且原点在 其内部令( 2 1 3 ) 满足初值条件 口( o ；e o ，p o ) = 8 0 ，p ( o ；8 0 ，p o ) = p o ，( 8 0 ，p o ) k c 的解为( 口( 旬p o ，p o ) ，p ( t ；0 0 ，肋) ) ，周期为 叩) = z 2 霄南妞 令q 2 口m 【。a ，2 霄x 卜l 一：( 口) ) ，口2p 瑶易】 l 一：( p ) ) 根据单步法， ( 2 1 2 ) 的解可以看作是 ( 2 1 3 ) 的步长为艿的一类数值解的提升由于l c 1 ，对于任意的o 0 ，集合 面：= ( p ，p ) ：c l ：( p ) 一e o p q l ：( 口) + o 】l 是紧集由数值分析的知识我们有 引理2 5 对任意给定的t 0 ，存在一个a 0 以及函数p ：( 0 ，a ) _ r + ，且 3 i m o p ( 6 ) = 0 ，使得对任意的6 ( o ，) ，( 2 1 3 ) 和( 2 1 2 ) 以( e o ，1 ) 为初值的解满足 i 仇一2 i n j 7 r 一口( i 6 ) i + i p 一p ( 掰) i p ( 占) ， t 【寺】 ( 2 1 4 ) 因此，取丁= 3 2 n ( 、c c + 一，。0 0 2 丌万兰高如，m = 吾】，只要6 l ，使得p ( 6 ) 0 ，有 ( ，p m ) e e ，m 扣 p ( m 6 ) 一e o 2 ( m 一1 ) n r ，vr r 又由于函数j = r q k 在( 0 ，+ o 。) 上是单调的，因此，对于充分大的m ，存在i + 厶 0 ， 使得 p m 一0 0 2 ( m 一1 ) n 7 r ， o = ，； 一0 0 0 ，对足够大的 i 厶 0 ，使上述扭转满足 0 m 一0 0 2 ( m 一1 ) n 7 r + 五， o = j ； 一0 0 云 0 ，使4 ，) cb = s 1x 云，产1 注意到现在为止我们并不需要是连续映射而且系统( 2 4 ) 的右边不一定是 l i p s c h i t z 连续的，初值问题的解不一定惟一，解对初值也不一定连续但上述的估计都 是成立的为了应用2 2 节中给出的p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理，我们需要对系统( 2 4 ) 的光滑近似讨论 1 4 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 第二章无穷多周期解的存在性 把系统( 2 4 ) 写成 ；三燃俐， 其中g ( x ) = a 妒p + ) 一p 如( z 一) + 危( z ) 设k 足够大，使带域k 包含了皿( 舀) ，取g 的光滑逼近g e 满足i 珧( z ) 一9 ( z ) l 2 ( m 一1 ) n 7 r ， o = ，+ ； 吒一0 0 2 ( m 一1 ) n 7 i - ， o = l 即焉在环域a 上满足扭转条件，并且p 景( 4 ) ，ac8 设( x 0 ，y o ) 皿( 召) ，则( x 0 ，y o ) ( o ，o ) 当x 0 0 ，y o 0 时，系统( 术) 。的右端在 ( x 0 ，y o ) 附近l i p s c h i t z 连续；当x o = 0 ，y o 0 时，九( 可) 和光滑函数啦( z ) 是l i p s c h i t z 连续的；当：c o 0 ，y o = 0 时，由于。3 + 可3 足够大，m ( z ) 一p ( t ) 0 ，因此可仿照文【1 7 】 中证明( 牛) 。过( x 0 ，0 ) 处的解存在惟一这样就保证了( 召) 内每一点出发的解均是存 在惟一的，故焉在a 上有定义，且为保面积的流量为零的同胚 由p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理，景在环域a 内至少存在两个不动点，即系统( 木) 。 存在2 m l r 周期解( z ( t ) ，蠕( ) ) ，落在环域皿( b ) 内，因此是一致有界，等度连续的由 a r z e l a - a s c o l i 定理知，存在收敛子序列( z 象( ) ，蠕( ) ) ，其极限函数( z m ( t ) ，y m ( t ) ) 就是系 统( 木) 的2 m t r 周期解 下面证明有界扰动时，方程( 1 1 3 ) 无穷多个次调和解的存在性 由于( 木) 系统与方程( 1 1 3 ) 是等价的，即x m ( t ) 是方程( 1 1 3 ) 的2 m 7 r 周期解，且 其在2 m 7 r 的时间内转过了沏一1 ) n 圈，即z m ( ) 在 0 ，2 仇7 r ) 上有2 ( m 一1 ) n 个零点 下面要证：若2 7 r 是p ( ) 的最小正周期，仇，几互素，z 。( ) 的最小周期是2 m l r 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态第二章无穷多周期解的存在性 如若不然令x m ( t ) = x m ( t ，( ) 的最小周期是2 1 1 r ( 0 z 1 和a 1 由于 m ，礼互素，那么( m 一1 ) n ，仇也互素，从而推出矛盾因此z 。( ) 的最小周期是2 m 丌 即z m ( ) 是方程( 1 1 3 ) 的m 阶次调和解由于m 为任意充分大的正整数，我们知道这 就对应着方程( 1 1 3 ) 有无穷多个次调和解 2 丌周期解的存在性的证明是简单的，可以如 1 2 】那样用拓扑度的方法证明 2 4等时系统的无界扰动 本节讨论h ( x ) 无界时的情形，不失一般性，我们假设条件( 1 1 8 ) 成立此时， p o i n c a r 6 映射已经不能清楚地反映扭转，为此我们引进作用一角变量下的后继映射 如上节，下面我们考虑的是满足解的存在惟一性的辅助系统( 即取g 的光滑逼近 9 满足i g e ( x ) 一夕( z ) i 0 的解，定义7 - + 是。( 幻一，_ r ) 在r 时刻后的第一个零点，即 7 - + r ，x ( r + ；l r ) = 0 ，如( z 7 ) ( t ；丁，r ) 0 ，对vt ( 7 - ，7 + ) 再令n 是7 - + 后的第一个零点，记r l = 如( z ，) ( n ；7 - ，r ) ，则z ( n ；l r ) = 0 ，如( z ，) ( 7 1 ；7 - ，r ) = r l 0 ，定义后继映射 s ：( 7 - ，7 ) h ( n ，r 1 ) 引理2 7 设z ( 口) = q v q - 而) ，尸2 口m 阱a x 丌j p ( t ) l ，则对任意给定的t 0 ，有 1 2 0 ) 一r i 2 p t , 当i t 一下i t ，7 1 时( 2 1 7 ) 1 6 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 第二章 无穷多周期解的存在性 行另u 地， i r l r i 2 p ( 7 1 一下) ， r 1 证明由引理2 2 知叭) l 2p 1 且 1 2 ( 州啪) _ 2 i = ”d t l 小( t ) 旧 0 ，使 o 7 1 7 一2 7 1 一孚，r 于 ( 2 1 8 ) 礼r 证明由( 2 6 ) 的第二式，知 ；= 磊k 吲- i 元0 ) 叫r ；岛( 釉，一= 一i ，i l l t j ，i 一，0 i ，。pl n i j ji r口n r住7 0 由条件( 1 1 5 ) 知 ( i n r ) = 0 0 ) ，t 1 ， 即 t ( t ) = t ( i + o ( 1 ) ) ，r 1 由函数q 的性质，知存在区间e 。，励c 【一丌2 ，3 丌2 】：e ，使得tee i 时，q ( 掣) 圭； 场时，q ( 警) q ， 从而我们有n r 0 ，使得 r l r i p ，7 f ， 这里的户是不依赖于r 的正常数 引理2 1 0 设条件( 1 1 8 ) 成立，则存在m + 0 时，使得当m m ，时，有 t m n 一7 0 ，使得q ( 户) 一1 8 r ，这里的q 就是引理2 8 中的q n h ，令 m e ( 2 n p ) ，则当m m 。且r 垆+ ( r a n 一1 ) p ，( 3 m 佗+ 1 ) 户】时，我们有 因此 n f ，i = 1 ，2 ，m 佗一1 ； 。一下 m 凡塾一( 里+ 里+ + 旦) 2 ( m 1 ) 7 r ， vr r + 1 8 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态第二章无穷多周期解的存在性 一般来说，5 不一定是保面积同胚为此定义新的后继映射丁，使得丁( 丁，i ) = ( t 1 ，1 1 ) ， 根据p ( t ) 的周期性，有：t o - + 2 7 r ，i ) = 丁( 7 ，i ) + ( 2 7 r ，o ) 由于函数i = r q k 在( 0 ，+ 。o ) 上 是单调的，因此，对于充分大的m ，存在i + 厶 0 ，使得 n 一7 2 ( m 一1 ) 7 r ， ，= i + ， t m n r 0 ， 使l x i k 包含v ( 3 ) ，在h k 上映( 。) 一9 ( z ) i 0 ，使得方 程( 1 1 3 ) 满足言i 。幺( 。) i p + 石1 ( ni z 高( 。) i p + 81 z 二( 。) i p ) r 的解z ( ) 趋于正( 或负) 无 穷 3 2 周期解的存在性与共存现象 首先考虑同伦方程 彳y 羔- g ( x + a p ， 洚3 ， 【 7 = ) +( t ) ， 、7 其中入 0 ，1 】当入= 1 时，( 3 3 ) 等价于方程( 1 1 3 ) 系统( 3 3 ) 对应的h a m i l t o n 函数 为h ( t ，z ，y ) = 寺 + c ( x ) 一却( t ) e 一 引理3 2 系统( 3 3 ) 的解是全局存在的 引理3 3 设z ( e ) = 影q 日( ) ，则 i l ( t 1 ) 一z ( t o ) l 4 p l r ，l t l t o i 2 7 r 且r o 1 ( 3 4 ) 看 ( z ) 满足条件( 1 2 2 ) ，丑 j 危( z ) 为等时系统的确界扰动，且虹= 0 ，与2 3 币英似 的，令r ：( 忌j ) ；1 ，我们有下面的引理： 引理3 4 当r o 1 时， r - = r 0 + 去z 2 丌嘭( 鲁+ 吼( d 一 ( 州d t + o ( 1 ) ， ( 3 5 ) 0 0 + 2 n ，r - k l f o 斯岛( 鲁删( 枇m ) d t + 0 ( - 去o ) ， ( 3 6 ) 这里的 ( 木) 与2 3 节中的一致 引理3 5 假设( 1 2 3 ) 成立，则对任意给定的k 0 ，存在f = r ( g ) 0 ，使得 z 2 丌e 刍( 罢) ( 木) d t _ k r i 。，对r 。庐， 此时危( 木) = ( r ；岛( 罢) ) ，p = p ( ) ，r = r ( t ) 证明令a = t o ，2 丌】：岛( 掣) = o ) ，显然a d 不妨设t = t 1 是从初始时刻 t = 0 出发的第一个零点，我们只需估计 f t ：一0 上q 元) 九( 车) 班 一维p - l a p l a c e 方程的共振性态 第三章解的无界性与共存现象 由条件( 1 2 3 ) ，有z h ( z ) o ，当i z i m s 0 , t l 】为某待定常数，使得r ；岛( 掣) = 2 m 根据函数岛的性质，知当t _ t 。一时， 岛( 警) 一t - 一t 则对于充分大的取 s ：，一d ( 去) ，有 f 岛( 抛z 8 岛( 鼽m + 0 ( z 8 岛( 罢) h ( 丰) 疵= z 5 岛( 鲁+ t + 。( 去) ) ( r 。；岛( 鲁+ t + 。( 去) ) 出 一么：! ! 鱼! 皇二：! ! 三1 2 1 1 ：! ! 鱼! 皇：二! ! 圭! ! 竺 t 0 1 p 结合条件( 1 2 3 ) ，对于任意给定的k 0 ，取f = r ( k ) 0 ，使得当r 0 庐时，有 r 。；o ( 鲁+ t + d ( 去) ) 九( 印；岛( 鲁+