（基础数学专业论文）空间非方常数的若干问题.pdf

篁釜鎏型三奎兰量兰些耋耋堡篁兰 s o m ep r o b l e m so fn o n s q u a r ec o n s t a n t si n n o r m e ds p a c e s a b s t r a c t i n19 9 0 ，j g a oa n dl a u k a s i n gi n t r o d u c e dj a m e sn o n s q u a r ec o n s t a n t sa n d s c h a f f e rc o n s t a n t s ，a n di n19 9 9 ，j id o n g h a ia n dw a n gs h u x i n g a v et h e d e f i n a t i o no fp o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t s h e r ew ep r o v i d ef u r t h e rd i s c u s s i o n o f ft h i ss u b j e c t t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n ：w er e c a l lt h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so ft h et h e o r yo f o r l i c zs p a c e sa n dt h ep i o n e e r sm a i nr e s e a r c hr e s u l t sd u r i n gt h ep a s t6 0y e a r s t h i s p a p e ri n t r o d u c e s t h er e s e a r c ha n dt h es i g n i f i c a n c eo ft h eg e o m e t r i c c o n s t a n t sa n dp o i n t w i s e g e o m e t r i cc o n s t a n t s t h e nt h i s c h a p e rp r e s e n t st h e b a c k g r o u n da n dt h es i g n i f i c a n c eo ft h ec o n t e n t st h a tw ed i s c u s sn e x t c h a p t e r2n o n s q u a r ec o n s t a n t so fo r t i c zs p a c e s ：g e o m e t r i cc o n s t a n t so fs p - a c ei sa q u a n t i t a t i v e i n d e xo fi t s c o r r e s p o n d i n gg e o m e t r i cp r o p e r t y f r o m i n v e s t i g a t i n gg e o m e t r i cp r o p e r t y t o c o m p u t eg e o m e t r i c c o n s t a n ti sa p r o g r e s s f r o m “q u a l i t a t i v e ”t o “q u a n t i t a t i e ”t h ew o r ko fr e nz h o n g d a oe t a 1 g a v ee m p h a s i st ot h ea p p r o x i m a t ec a l c u l a t i o no ft h en o n s q u a r ec o n s t a n t si n s o m ec o n c r e t eo r l i c zs p a c e j id o n g h a ie t a 1 g a v ee m p h a s i st oe s t i m a t i n ga n d s h o w i n gt h en o n s q u r ec o n s t a n t sb yt h es u p r e m u ma n di n f r e m u mo ft h ee l e m e n t s i nu n i tu n i ts p h e r e i nt h i sp a p e r ，f o rs o m eo r l i c zs e q u e n c es p a c ew eo b t a i nt h e r e p r e s e n t a t i o n o fn o n s q u a r ec o n s t a n t s b yn - f u n c t i o n w ea l s o o b t a i nt h e e s t i m a t i o no fn o n s q u a r ec o n s t a n t so no r l i c zs e q u e n c es p a c ea n df u n c t i o n a ls p a c e e n d o w e dw i t hl u x e m b u r gn o r mo ns o m ec o n d i t i o n s ，t h ee x a c t v a l u eo f n o n s q u a r ec o n s t a n t si sa l s og i v e n m e a n w h i l ew ed i s c u s st h en o n s q u a r ec o n s t a n t s i ns o m ec l a s s i c a ls p a c e sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ev a l u eo fn o n s q u a r e c o n s t a n t si ns p a c ea n di t sd u a ls p a c e c h a p t e r3p o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t so fs p a c e ：t h ep o i n t w i s ep r o p e r t y i st h el o c a l i z a t i o no ft h ep r o p e r t yo fs p a c e p o i n t w i s eg e o m e t r i cc o n s t a n t si st h e 堕堡篓矍三奎耋兰兰型圭兰丝篁三 q u a n t i t a t i eo fp o i n t w i s eg e o m e t r i cp r o p e r t yo fs p a c e s ，a n di st h el o c a l i z a t i o no f g e o m e t r i cc o n s t a n t so fs p a c e s s o m ep o i n t w i s eg e o m e t r yp r o p e r t i e sd i r e c t l y d e p i c tt h eg e o m e t r ys p e c i a l i t yo fs p a c e i nt h i sp a p e r ，w es t u d ye m p h a t i c a l l yt w o d i m e n s i o ns p a c e ，t h er e l a t i o n so f p o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t s a n dt h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h ev a l u eo fp o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t sa n do t h e rg e o m e t r i c p r o p e r t i e s k e y w o r d s o r l i c zs p a c e ；n o n s q u a r ec o n s t a n t s ；p o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t s i j i 些玺圣塞三奎耋耋耋竺圭兰堡堡兰 1 1 课题背景 第1 章绪论 1 1 1o r l i c z 空间由来及其发展状况 o r l i c z 空间是波兰数学家w o r l i c z 于1 9 3 2 年联系积分方程最先引入i ， o r l i c z 空间是空间的推广。作为一类具体的b a n a c h 空间，它的性质及其判 据是一般b a n a c h 空间的直观材料；又由于生成o r l i c z 空间的函数几乎涵盖了 所有的b a n a c h 空间类，是b a n a c h 空间理论的一个内容丰富的模型库，刻画 o r l i c z 空间几何性质的方法和技巧会为一般为b a n a c h 空间几何学提供很好的借 鉴，这是上。( p 1 ) 空间所无法比拟的。 1 9 3 2 年和1 9 3 6 年o r l i c z 给出了工。空间及o f l i c z 范数的定义川【2 3 ，日本数 学家n a k a n o z a i 在1 9 5 0 年引进了模范数，并对模空间的一般理论进行了深入 的研究，发展了以o f l i c z 空间为特例的模半序空间理论，其成果集中收集在他 写的模半序线性空间d - - 书中。1 9 5 5 年，w a l u x e m b u r g 在他的博士论 文中为o r l i c z 空间引入等价的l u x e m b u r g 范数”1 ，并对o r t i c z 空间性质进行了 深入的讨论，极大地推进了空间理论的研究。与此同时，m a k r a s n o s e l s k i i 和y a b r u t i c k i i 为了求解非线性分析若干问题，系统的研究了由不满足，条 件的o f l i c z 函数生成的o r l i c z 空间，并于1 9 5 8 年出版了第一本关于o r l i c z 空 间理论的专著凸函数与o r l i c z 空间 5 1 ，并总结了以前特别是他们本人的工 作，这专著的出版标志着o r l i c z 空间理论己基本形成。 自六十年代以来，o r i i c z 空间理论又有了重要的发展，1 9 6 0 年，t a n d o 和m m r a o 分别给出了o r l i c z 空间上有界线性泛函表达式f 6 】1 11 ，1 9 6 2 年，郭 大钧给出了u r y s o n 算予全连续的充分必要条件p 1 ，1 9 6 6 年王廷辅得到了o r l i c z 空间列紧集的充分必要条件m 】，丁夏畦j ，n s t r u d i n g e r t ”】贝0 从不同方面推广 了s o b o l e v 嵌入定理，o d i c z 空间理论则应用于偏微分方程的理论。1 9 6 7 年 v f g a p o s k i n i ”l i “l 证明o r l i c z 空间有无条件基的充要条件是空间自反。七十年 代初，j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i r i 用空间引入常数的方法对o r l i c z 序列空间 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 的基和同构问题进行了一系列的讨论，得到了许多重要的结果。之后，波兰的 数学工作者进一步研究了模空间的一般理论和o r l i c z 空间的几何结构。进入八 十年代以来，在所有从事o r i i c z 空间研究的数学工作者的共同努力下，使 o f l i c z 空间理论特别是几何理论得到了长足发展。值得一提的是吴丛火斤t 王廷 辅的( ( o r l i c z 空间及应用m 】，吴丛烁王廷辅，陈述涛和王玉文的( o r l i c z 空间几何理论1 1 6 ，以及陈述涛的 g e o m e t r yo fo r l i c zs p a c e s ) ) 7 j 这三部专著 的相继问世，极大丰富了o r l i c z 空间理论特别是几何理论，使之更加完善、更 加系统，也使中国哈尔滨成为o r l i c z 空间的研究中心之一m o ”。同时，它的应 用范围也不断扩大，已渗透到了积分方程、偏微分方程以及逼近论、概率论和 控制论等许多数学分支。 1 1 2 b a n a c h 空间几何结构理论与几何性质的建立与研究 六十年代以来，b a n a c h 空间的理论取得了迅速的发展。首先，许多著名的 古典问题得到了解决，其中最重要之一是1 9 7 3 年p e n f l o 给出了例子表明可分 b a n a c h 空间未必具有s c h a u d e r 基，从而对于b a n a c h 的古典问题予以否定的回 答。其次，许多证明了有关b a n a c h 空间的重要定理，例如a c j a m e s 花费了 二十年的时间，于1 9 7 2 年以较为简单的方法证明了自反b a n a c h 空间的特征化定 理，b p b a n a c h 空间是自反的充要条件是每个连续线性泛函达到它的范数，还有 著名的可达范数泛函是稠密的b i s s h o p h e l p s 定理，端点表示的c h o q u e t 定理等。 此外，人们根据其他数学学科的需要，从各个不同的角度出发对b a n a c h 空问进 行深入的研究，促使b a n a c h 空间的理论( 包括它的几何理论) 的面貌日新月异 地变化，各种凸性和光滑性的研究与最佳逼近密切联系在一起。1 9 6 7 年 j j s c h a f f e r 考虑b a n a c h 空间单位球的内度量性质，引起了单位球的g i r t h 曲线 的概念，研究了b a n a c h 空间之间的等距性质，并且讨论了平坦空间( f i a t 空 间) ：1 9 6 8 年e a s p l u n d 空间( 和w a s p l u n d 空间) 。特别地，1 9 3 7 年 m a ，r i e f f e l 将向量测度r a d o n n i k o d y m 定理与b a n a c h 空间中的有界集的“可凹 性”联系起来，使得人们进一步地研究了这种称之为r n p 的空间，将b a n a c h 空 间的理论( 包括它的几何理论) 的研究推向了一个新的高潮，j d i e s t e l 和 j j u h l i r 等数学家进一步她用向量测度的方法证明了许多b a n a c h 空间的定 理。1 9 7 7 年j d i e s t e l 年l l j j u h l + j r 写了v e c t o rm e a s t l l e ) 一书，总结了这方面的 许多成就，书中也列举了若干悬而未决的问题，随后的年月里，许多问题相继 得到解决。1 9 5 3 年e m o u r i e r 发表了第一篇b a n a c h 空间的概率论的论文，他证明 了取值于b a n a c h 空间的随机变量的第一强大数定律仍然成立。从此人们开始了 b a n a c h 空间中概率论的研究，人们发现随机过程可表示为某个函数空间上的随 机变量，并且许多基本概率定理在b a n a c h 空间中是否成立在很大程度上取决于 空间的几何结构。现在，取值于b a n a c h 空间中的鞅已经成为研究b a n a c h 空间的 重要工具之一。由于无限维规划论的需要，人们经常使用的是h a h n b a n a c h 定 理的几何形式分离定理，现在已经得到许多与凸分析有关的h a l l l l 一b a n a c h 定理的等价形式“。例如，k r e i n r u t u m a n 定理、h u r w i c z 鞍点定理，次微分定 理等，这些多在很大程度上推动了b a n a c h 空间理论，特别是它的几何理论的发 展。在方程论中，人们不满足于应用b a n a c h 压缩映象定理，在实际问题中，出 现了一类更广泛的映象，例如，非扩张映象等。1 9 6 5 年w a k i r k 证明了非扩 张映象的不动点存在与空间的一种叫做正规结构的几何性质有关。随之，人们 又进一步探讨使非扩张映象的不动点存在的各种有关的空间几何结构，引入具 有各种性质的b a n a c h 空间。同时，各种具体的古典b a n a c h 空间，例如 ，9 ( 1 p ) ，c o ，1 l ，上( 1 p 0 蕴含空间具有一致正规结构。而两个非方常数表示空间的非方状 态，它们的值与一致正规结构与一些其他空间的几何性质密切相关。例如：空 间非方常数c ( x ) 1 ，则单位球( 面) 一致非方。如f 。空 间的单位球，由于c ，= 2 ，c 。= l ，此单位球面是方的。而且非方常数的值与一 致正规结构和一些其他空间的集合性质密切相关。例如：空间非方常数 c ( x ) 3 2 ，蕴含着具有一致正规结构。而且一致正规结构又蕴含着x 具有不动 点性质，因此非方常数的值方便了空间几何性质的研究。也是本文要讨论的主 要内容。对空间非方常数的讨论，主要得出以下结论： 1 9 9 4 年，王廷辅与计东海”7 1 在关于“赋范空间的非方常数”文中得出： d i m x 2 ，c ，( x ) c 。( x ) ：2 这便为以后空间非方常数的表示提供方便，因 此，我们只需研究其中一个常数，通过此公式易得出另一常数。文中作者给出 了，o r l i c z 空间p ( f ) 的凸( 凹) 性所具有的性质，这为以后非方常数的表示问题 提供理论依据，接着便对赋l u x e m b e r g 的o r l i c z 空间的非方常数的表示问题展 开讨论，得出一系列重要结论。而后对r ，f ，空间非方常数进行表示，若p 确 定，9 ( 1 0 ( 3 ) l i m 型：0 ，l i m 型： “_ + 0 u - - k 。 “ 定义2 2 设函数m ( u ) 称为- 函数，q ( s ) 为其右导数p ( t ) 的右反函数，则 称函数n ( v ) = m 蟹缸l v | _ m ( “) ) 为m ( u ) 的余一函数本文中，m ( u ) 与n ( v ) 为一对余- 函数且p ( u ) 和q ( v ) 分别为它们的右导数。 定义2 3m ( u ) 满足：一条件，是指：3 c 0 ，h 0 ，使得 m ( 2 u ) c m ( u ) ，v l u 陲h 记作m ( u ) a 2 定义2 4 称m ( “) 满足v2 条件是指：n ( v ) 2 记为m ( u ) v2 。! 窒尘鎏耋三查耋塞耋至圭茎堡鎏奎 x 。溉 ：i ，y 。l y 兰，表示实数列，r m ( x ) = m ( x ) 称为工关于m ( “) 的模。 设肘、n n - n 互余n n - 函数，p ，q 分别为其右导数。( g ，) 为一无 原子测度空间，f 表示定义在g 上的可测实函数全体。对任意x r ，我们称 p m ( 工) = l m ( z ( f ) ) 疵为z ( f ) 关于m 的模。则线性集 = 缸：j 丑 o ，几( 舭) o ) 和l u x e m b u r g 范数 i j = i n f a 0 ：p m e ) 1 均成为b a n a c h 空间并称为o r l i c z 函数空间，简记 l m = 乓，”i i ，瑶= 乓，o 】 仍以 ) ，( v ) 记一对互余一函数，石= 仁，) 三表实数序列。称 p 。( 工) = m ( x 。) 为工关于m 的模。则线性集 ， = x ：j 丑 o ，p 吖( 五x ) o ) ，f 和l u x e m b u r g 范数 忙j 1 i n f 2 0 ：砌( ) s 1 也成为b a n a c h 空间，并称为o r l i c z 序列空间。简记 0 = ，” ，毋= 0 ，”o 】 定义2 5 称n 一函数m ( “) 满足a ：一条件，即j “。 o ，k 2 ，使 晗尔滨理工大学理学硕士学位论文 肘( 2 u ) k m ( u ) ( 0 “o ) 定义2 6 称m ( “) 满足v 2 一条件即：3 a l ，“。 0 ，使得： 膨( 拓) 娄【_ ( a 1 1 ) ( o h “。) z a 我们知道：c a t ”) 1 i x - y 1 ，c 【o ，| | z + y l l - i i x - y l l t ， 则3 x o ，y o s ( x ) ，使得 i i x + y 0 | i x 。+ y 。0 i i x 。- y 。i l l 陋一y 0 ，i | 上。+ y 。l | 一i 卜。一y 。| i = c 成立。 定义2 1 0 b a n a c h 空间x = 1 , 2 9 的，空间是指： ( o 置) ，= ，x 2) ：e 蜀( 1 1 x ，7 9 c o p 其范数由( 毛，工：) 4 = ( 怫0 ) ”9 给出l 表示墨的范数。( 。墨) ，是一个 b 1 ii = 1 b a n a c h 空间，且它的共轭空1 4 为( o 工) 。，其中，x ，为置的共轭空 f = l 间，一1 十二= i 1 p o 。，l q o o pq 定义2 1 1b a n a e h 空间z 称为j a m e s 一致非方的，是指对于慨，y s ( x 1 ，存 在常数0 c 1 ，满足 i x + y 2 - 2 c 或l l x y t 2 - 2 c 定义2 1 2b a n a c h 空间x 称为s c h a f f e r 一致非方的，是指对于帆，y s ( x ) ， 存在常数0 c 1 ，满足 m a x ( i x + y l l 。i i x - y 1 1 ) i + c 定义2 1 3b a n a c h 空间x 具有一致正规结构是指存在常数0 c l ，使得对 于x 的每个有界闭凸集足，存在z k ，使得 其中 s u p ( 1 l x - y 1 1 ：y k ) o 咭x ) 2 圭，艇州) ) ) ( 2 3 ) g c l ( m ) ) = i n f 雌。凡( 刳乇吣) _ l ， 陋4 ， ( 2 ) 若p ( t ) 在【o ，0 0 ) 上为凸函数，则 g ( ，) = i n r t2 。，( 亡 = j 1 ，工e 跚州】) ( z - 5 ) c ( ) = s u p 慨 0 ，( 等) - 2 r m ( 加l ( 2 6 ) 引理2 1 0 1 令m ( 甜) 与( v ) 是一对余n 一函数，m a 2 ( o ) n v 2 ( o ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 1 ) 若p ( t ) 在 0 ，) 上为凹函数，则 c j ( ，“) = q ( f ( ) ( 2 ) 若p ( t ) 在 0 ，。) 上为凸函数，则 g ( ) = q ( f ( ) ) 2 3o r l i c z 序列空间非方常数的表示 ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 定理2 1m ) 是满足2 - 条件的n - 函数，p ( “) 为m ) 的右导数 k ( t ) = 一( t ( o ，o o ) ) ，则有 m 。m ( f ) ) ( 1 ) 若p ( “) 为凸函数，且k ( f ) 在 0 ，2 m “( 1 ) 】内递增，n c s u ”) 。l i m + k ( r ) ( 2 ) 若p ( “) 为凹函数，且k ( f ) 在【0 ，2 m “( 1 ) 】内递减，n c ( 0 ) 2 ，l _ + i m 。+ 足( f ) 证明( 1 ) 当p ) 为凸函数时，= x 。 7 - - ，令y = ( ，0 ，x ：，0 ) z = ( 0 ，葺，o ，x 2 ，0 ) ，则 r m ( 工) = r ( y ) = r ( z ) = 1 l l y + z l l 妒z ( 尚) = r u 网y - - z ) = 2 r m ( 南) _ l 贝0 对v xes ( 1 u ) ，3 y ，z s ( t ) ，使得 i l y + z l l = i l y 一非k x ，( 专。圭 由引理2 8 ，可知 c s ( f 。) = i n f l x + y l l ：l l x + y l i = i i x - y l l ，工，ye s ( 1 “) 妯撇，卸理“( 考) 2 圭撕州棚 o 咄”( 砉) = 圭，撕跚川 令卜加l i r a k ( f ) 2 口，则对v5 0 ，j 占 0 ，使得当f ( o ，占) 时t x ( t 1 a + s 取考( 0 ，6 ) ，和n n ，记 2 工= ( 善，善，一，善，0 ，0 ) s ( 1 u ) 使得 r ( x ) = n m ( 毒) = i ， 且 三= ( 丢) = 一m ( 善) j m ( 毒) = 石1 = 三m ( 孝) 又因为 m ( 南) = 圭w ) ， 故j x 使得 k ，= x ( 4 ) s a + 占 则 c s ( z ) s i n f k 。0 ：r m ( l ) = 言，z s q ) ) k ，d + s 托一 z 由于占的任意性 c s ( ，) 4 ( 2 - 9 ) 另一方面， v x ，y s q 。) 且忙+ y 0 = i i x y | | = c 。， 记x = ( 工。，t ，x 3 ) ，y = ( y ，y 2 , y 3 ) ，由于p ) 为凸函数，则 z 巩c 蚩m 。c 百x - y ，= 水c 警m c 等) “川j 量岛 m+ 立 m l 。d 2 b 1 呈玺堡堡三蠢耋鎏薹! ：耋耋鎏篁兰 因此有 这表明 则 故 对比s q 。) j 卜分蹦百y ) 月”岳，+ r mc 考引 c q m i n k 。，正、 i n f k 。0 ：r m ( c s ( ，m ) i n f k ，0 ：r ，( l ) 托 ) ：去，z s q 。) 忙一 z = 三，x s q 。) c s ( i m ) ：i i l m ，孤蹦考) 2 圭，x 咧 不妨设 o ，h = l ，2 ) 由于k ( t 1 递增，则 由式( 2 1 0 ) 知 ( 工) = m ( x 。) = 1 r “c 亡，2 圭。善z 叭百x n ， k ，z 石， 喜m c 南，= 三善川= 吉 k ( g ) a ( n = 1 ，2 ) l 2 喜m 南k ( x ，喜肘e 鲁、。) 7 鲁、口 喜m c 芒，喜m c 鲁， 由于m 为一函数，故k 。口，即 4 ( 2 - 1 0 ) 竺尘篓矍三奎兰詈耋罂圭兰堡篓兰 结合式( 2 9 ) 得 所以结论( 1 ) 成立。由于 c s ( 0 ) a g ( 0 ) c j ( 0 ) = 2 故c ，( ) 可直接求得。 ( 2 ) 若p ( u ) 为凹函数，前部分证明同( 1 ) ，可知 c j ( 1 。) = s u p l k + y | | ：i 扛+ y 8 = l i x - y l l ，z ，ys s ( 。) s u p 限邳豫”( 亡) 2 圭，胍跚川 o 令l i m k ( f ) = a ，则对v 0 ，j j 0 ，使得当f ( 0 ，占) 时 0 足0 ) 口一占 取考( 0 ，占) ，和h n ，记 ， 2 z = ( 善，孝，善，o ，o 一) s ( 1 m ) 使得 且 又因为 故k ，使得 则 r m ( x ) = n 肘( 善) = 1 丢巩( 分咧归m ( 分1 ：圭州) m ( 南) = 1 m ( 4 ) k ，= x ( 4 ) 口一o c j ( ， ) s u p k ，0 ：r m ( l ) 庀一 由于s 的任意性 吉，x es q 。) 豇。 a - e ( 2 1 i ) 一 兰竺篓型三奎兰垒茎璧三薹堡篁兰 另一方面，对v x ，y s ( 1 。) 且 i i x + y 1 1 = i i x - y l l = c 。 记 工= ( ，x 2 ，而) ，y = ( y i , y 2 ，y 3 ) 由于p ( u 1 为凹函数，则 z 地c 等m 。c 等，= 水c 学m c 皆) z 和分m c 纠 = ：b 耖蹦纠 因此有 蹦毒) + r m ( 寺纠 这表明 c ，m x k ，, k y ) o ：r m ( 亡) = 三, x 6 s ( ) 则 c ”) o 豫”( 考) 2 圭，艇s ( 1 m ) 故 c o ( ， ) = s u p k ，0 ：尺m ( 丢) = = 1 ，z s ( t ) ) 托一 z 对v x s ( 1 ) ， ( z ) ：妻m ( ) ：l r w ( 考) 2 互12 善f x n ) ( 2 - 1 2 ) 1 6 一 ：! 玺鋈堡三查兰矍兰垒圭耋竺丝圣 不妨设k o ，h = 1 ，2 喜mc南，=-装zm(it l = ；三月=o 、 月， 由于k ( t ) 递减，则 k ( ) a ( n = l ，2 ) l 2 喜m ( 南k ( x ) 喜o ( 马a鲁、 17 鲁、7 由式( 2 1 2 ) 圭n 善m c 卺，善m c 詈， 由于m 为一函数，故 k ， 即 c j ( 1 u ) 口 结合式( 2 11 ) 得 c s ( 0 ) = 口 所以结论( 2 ) 成立。由于 c 。( k ) c ，( 0 ) = 2 故c s ( 1 u ) 可直接求得。 作为定理的直接推论，我们可得出 推论2 1 对于( p 1 ) 空间 ( 1 ) 若p 2 ，则c s ( ，。) = 2 9 ，c s ( 1 p ) = 2 9 ( 2 ) 若1 p 2 ，贝t c s ( 1 p ) = 2 9 ，c s ( 1 。) = 2 9 证明设m ( t ) = t 9 ，则 当p 2 时，p ( u ) 为凸函数， f ( ) = ，9 墼玺鎏茎三銮耋耋耋堡兰兰堡墼兰 由于 故 即卜南m t“仁9 1 足( f ) = = 2 i r 2 9 由定理2 1 ，知 上土 一上 c s ( ，) 。姆2 9 = 2 ，q ( f ，) = 2 9 当1 p 1 ，则 ( 1 ) c s ( f 9 ) c j ( ( ，9 ) ) = 2 2 ( 2 ) c 。( z 9 ) g ( ( f 9 ) ) = 2 9 2 一三 ( 3 ) c ，( i p ) q ( ( f 9 ) ) = 2 ” 证明n y g ( i9 ) ：，9 ，其中土+ ! ：1 ，若p 2 ，贝0 l g 1 ，则 1 ) g ( ) q ( ( r ) + ) = 2 三 ( 2 ) c 。( l p ) c 。( ( p ) + ) = 2 9 2 一三 ( 3 ) g 矽) q ( ( f ) ) = 2 9 ( 4 ) g ( f ) = c s ( ( ) ) ( 5 ) c ，( r ) = c s ( ( p ) ) 定理2 。3 令m ( “) 为 r 一函数，m ：( o ) n v ：( o ) ( 1 ) 若p ( f ) e o ，2 m 。( 1 ) 】上为凹函数，则 i ；a f m ( 归器在 o ，圹1 ( 1 ) 上递减 g f f ”) ：竺单( 2 - 1 3 ) m 。( 圭) i i 若啪) = 器在 o 弦) 上递增 上 c s ( 1 ( ”、= 2 c ： ( 2 - 1 4 ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 i i i c ，( f ) = 2 ( 1 p 2 ) ( 2 ) 若p ( t ) 在 0 ，2 m “( 1 ) 上为凸函数，则 i 若删= 器在 0 圹1 ( 1 ) 】上递减 q ) ：2 1 一寿 i i 若( f ) = 面t p ( ( t r ) ) 在。r 。，m 一1 ( 1 ) 上递增 2 m ，( 三) 删) 2 面音 其中q = l 。i m f m ( t ) m a x ( ，2 以) j q ” 函“掣_ 11 拈l ，2 ) ) m 。1 ( ) 成一p 掣- i 1 ：，2 m 。( ) p ( 4 e s ) 蔓b ( s ) ( o 玉 2 m “( 1 ) ) r 2 1 5 ) f 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 耋玺薹詈三奎耋堡兰塑圭兰堡篓兰 令 可得 或 由于 得到 m ( l ) 4 - m ( u 兰2 m ( “) ) ( o “ x 2 m ( 1 ) ) 4 - m 一( v ) m 。( 2 v 1 而2 m - ( v ) m ( 2 v 压篇m ( o ( 删( 血弋1 ) ) ) “ )“f v ) 、 、 。 o 1 2 尼丢 l = m m 。( 1 ) m 4 互m “( 1 ) ( 七1 ) z 唧寄m 蜥锄篙m 寺击m 。( ) “( 去) p ”a 卜瓦1 ( 其忙够 耥小v ( 2 1 9 ) i 若( f ) = 顽t p ( t 万) 在【。，m 一1 ( 1 ) 】上递减( v ) = 耥在( o 扯递 减。因此，得 耻铲g 。争需 陋z 。， 由式( 2 一1 9 ) 和式( 2 2 0 ) 得式( 2 一t 3 ) i i 若( f ) = 埘t p ( t f ) ) z c e o ，m 一1 ( 1 ) 上递增 c ”o = 脚( f ) 存在，c ： 。，有 n g 。( v ) 在( o ，刍上递增，而且 竺尘兰銎三奎茎堡兰堡圭兰堡篁兰 口0 = 蠢m = l i m g m ( v ) = 2 。： ( 2 2 1 ) 结合式( 2 - 2 0 ) 和式( 2 2 1 ) 得式( 2 一1 4 ) i i i 令嬲( f ) ：l t p , n 女n p 则 由于 故p ( t ) 为凹函数 故可认为其递增，所以 c ( p ) = 2 9 ( 2 ) 若p ( t ) 在【o ，2 m 。( 1 ) 】上为凸函数，类似有 由于引理2 9 或 得 扣寒r 寄嘲簿风 论万1 撒中尾p 怒o 2 ，故p ( t ) 为凸函数目( f ) = p ，所以可认为其递增，故 c j ( ，9 ) = 2 9 定理2 4m ( “) 是n ( v ) 的余一函数，m a 2 ( o ) o v ：( 0 ) ( 1 ) 若p ( f ) 在 o ，q ( 2 n 7 1 ( 1 ) ) 】上为凹函数 i 若( f ) 在【o ，q ( n 。( 1 ) ) 上为递减函数，则 2 n 。1 仁1 吲卜百音 i i 若f m ( f ) 在【o ，g ( 。( 1 ) ) 】上为递增函数，则 c ( ，) = 2 。： i i i c j ( ，) = 2 ，( 1 p 2 ) 其中巳0 ) 同定理2 3 f 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) f 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 堕玺鋈耋三奎耋矍耋堡圭耋堡鎏圣 ( 2 ) 若p ( t ) 在【o ，q 2 n 。( 1 ) ) 】上为凹函数， i 若( t ) 在【o ，q ( n 。( 1 ) ) 上为递减函数，则 口( ) = 2 砖 ( 2 2 8 ) i i 若乓( f ) 在【0 ，q ( n 1 ( 1 ) ) 上为递增函数，则 g ( ) ；掣( 2 - 2 9 ) n 。( 喜) ，一上 i i i q ( ，9 ) = 29 ( 2 ( p ) ( 2 - 3 0 ) 证明( 1 ) 若p ( f ) 在( o ，q ( 2 n 。( i ) ) 】上为凹函数，则其反函数窖在f o ，2 。o ) j 上为凸函数，由于 q ( 2 n 。( 1 ”2 q n 。1 ( 1 ) 】 故p 在 0 ，2 q ( n 1 ( 1 ) ) 】上也为凹函数。 因此，类似定理2 3 证明2 鲔g ( z ”) 2 反 j 若乃( f ) 在【o ，q ( n “( 1 ) ) 上递减，当0 f sg - 1 ( 1 ) 】，o 。 故m ( x ) 为凸函数。 ( 2 ) 对v x 0 ，由于m u ) o ，敌船( r ) 为递增函数，m q 0 ( 3 ) 觋掣= 姆挫衄哇啦= 。l i r a 。l n ( 工+ 再) - o 憋盟= l , m i h 帅ii x厨) 一t 毒+ 牛m j + o ￥ 工一 并j 其次根据m