（测试计量技术及仪器专业论文）迭代学习控制算法研究.pdf

摘要 1 厂9 6 9 0 8 对于缓慢变化的、动态模型未知的系统，人们往往采用自适应控制方法对 其进行控制。自适应控制方法已经有几十年的发展历史，理论比较成熟。但是， 人们也发现由于自适应控制方法自身的局限性，对于一些复杂的、快速变化的 动态系统，例如机器人操作，它很难有效地进行实时控制。 近年来，一种称之为迭代学习控制的算法因其不依赖控制系统的动态模型、 算法简单有效而受到广泛关注。它首先由日本学者u c l l i y 锄a 提出，经过a r i m o t o 和其他学者以英文的形式发表而迅速发展起来。迭代学习控制的主要思想是， 对于一个被控系统，给定期望轨迹，寻找一控制输入，使在该控制输入作用下 系统的输出在区间上尽可能地跟踪期望轨迹。迭代学习控制是通过函数迭代方 法寻找的，即构造一个用于修j 下控制的学习律，使得它所产生的控制函数序列 收敛于理想控制输入。因此迭代学习控制的算法及收敛性是迭代学习控制研究 中的中心问题。许多学者针对不同的给定系统，提出了一些典型的迭代学习控 制算法并给出了使算法收敛的收敛条件。 本文中主要讨论以下三个方面的问题。 第一个问题是单输入单输出系统的p 型学习律的收敛问题。文献 1 4 讨论 了二阶p 型学习律的收敛速度问题，证明了一阶p 型学习律比二阶p 型学习律 的收敛速度快。对于三阶、三阶以上的p 型学习律的收敛速度还未见有文献进 行研究。本文解决了三阶p 型迭代学习控制算法的最优收敛速度问题( 见定理 2 1 ) 。 对于完全退化系统其迭代学习控制一般要求采用d 型学习律。但是d 型学 习律涉及到求跟踪误差的导数问题，而求导数运算误差较大，物理上较难实现， 直接影响到跟踪精度。因此，一般情况下，人们喜欢用p 型学习律。当该系统 为严格正实系统时，适当选择p 型迭代学习律的增益阵，就能保证迭代学习控 制叙列的收敛性。 第二个问题是最小相位系统的迭代学习问题。主要对最小相位系统引入了 反馈p 型迭代学习律，研究了其收敛性，并证明了通过适当选择反馈矩阵和学 习增益矩阵，就能保证迭代输出叙列的收敛性。由此可以看到，最小相位系统 虽然是完全退化系统，但仍可以用p 型学习律。 第三个问题是模糊学习控制及其仿真研究问题。针对一般模糊控制器设计 时由于人们经验知识的不完备，造成初始控制规则不能完全满足人们对控制效 果的要求，提出了模糊学习控制，该控制由两部分构成，模糊逻辑控制作为基 零的控制部分，学习控雠终为改避辩分，通过m a t l 曲软件对该方法遽行仿真研 究。结浆表明渡方法具有罪踪速凌恹、误差夸、稳定栏好的往焦。 关键诞：送代学习拄铡收敛速度最小相位系统模糊学习控制 鞋 a b s t r a c t a saf n e a 地o f c o n 廿o m n gap l a n tw h o d ”i a i n i c si sn o tf i l l l yh l 伽v ni na d 啪c e o fc h a n g e si nu i l l 【n o w nb ms l o wm 咖e r ，t h ea p p r o ho f a d 印t i v ec o n 臼的lh a sb e e i l i 此i 璐i v e l ys t u d i e df o rm o t i mad e c a d c h o w e 、，t l l ec l 嬲s “d y i i l i cs y s t e m s ， f o rw i l i c ht h ea d a p t i v cc o m r o lm e t l l o di sm t l l e rl i i i l i t c d ，a l l ds u g g e s t e ds c h 咖e s ，d i l c t 0t h e i rc o m p l e x i 锣，a o r e nf o l l l l dt 0b ei i 即p r o p r i a t e 嬲r c a l - t i r c o m r o lm e 也o d s f o rc o m p l e xs y s t c m s1 i t h 白s td ”砌i c s ，s u 血髂r o b o tm 锄i p l l l a t o r s r e c e n t l y ，an o v e ic o r m o lm 甜均d ，c a l l e d 诹髓t i v el e a m i n gc o m r o l ，i sr c c e i v i n g i n c r e a s i n ga t t e n t i o n 勰锄a l t e m a t i v ef o rc o l l _ 咖l l i n g 岫c e n a i nd y n a i n i c ss y s t e m sm a s i m p l em a i l n e r ，w l l i c hi sp i d p o s e db yu c t l i y a m a 锄de l a b o r a t e d 船am o r ef o r n l a l t h e o r yb yu c k y 锄aa n ds o m eo t h e rr e s e 盯c h e r s t h ei d e ai sb a s e do nt l l eu o f f e p e 龇e d 仃a i l so f 仃a c l 【i i l gad e s 捌缸面e c t o r y d l l r i n ge a c ht r i a l ，t l l e c u r r e n t 啊e c t o r yd i 行e r a n c eb e t w nt l l er c a ln 两e c t o r ya n dd c s 砌廿旬e c t o r ya r er e c o r d e d 锄dt 0b ee x p i o i t e db ya 姐i t a _ b l ea l g o r i t l l mi nt h en e x t 仃面l ，训lp e 疵c t 仃a c k 协gi s a c l l i e v e d t bag r c a te x t e n t ，t 1 1 ec o n v e 玛e n c eo f t l l ea 1 9 0 r i 也ma p p l i e di s 屺k c yt o o b t a i l ld e s 砌仃面e c t o r yt r a c k i n gp e r f b m 锄c e m a i l y s e a r c h e r sa r cd e v o t e dt o 舀v e m o r eg e i l e r a lc o n v e r g e i l c ec o n d i t i o 璐f b rav a r i 啊o f 蛳c a la l g o m 陆sf b rag h e n s y s t 锄 t i l r e ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e di i lt h i sp a p c r t h ef i r s tp r o b l e mi s 也a tc o n v e 玛e n c es p e e do f 也et l l i r do r d e rpt y p ei t c r a t i v e l e 踟i n gc o n 们la l g o r i t l l r n 矗) ra 舀v 锄s i s 0l 1 1s y s t e mi s d i s c l l s da n dt h e c o i l d m o no f f 函e s tc o n v c r g e n c es p e e do f t l l j mo r d c rpt ) r p ei t e r a t i v el e 锄i n gc o l l l a l g o r i m m i s 百v ，a t t h es 锄e t i m ，i nc o m p a r i s o n 谢t l l t l l e f i r s t a l l d t l l e c o n d a n d t h e t l l j m o r d e r i l cc o n v e 唱e n c e ，w e d m w a c o n c l 璐i o n t h a t v hs i i i 】叫a t i o n ，i t i s d c m o n s 位l t e dt h a tm ef i r s t 优d 盯i l cc o m ，e 】苫e n c cs p e e di s 伍s t c s ti nc h o o s i i l gt l l e s u i t a _ b l ek 龇n i i 培g a i n s 1 1 1 cs e c o n dp m b i e mi st h a tt h ci t 髓a t i v el m i i l gc o n t r o lf o r t h em j 血m 啪p h 船e s y s t e mi sd i s c l l s s e d b a s e do nc o n c e p tt l l a to u t p u tf e e d b a c kv a l u ei sp o s i t i v ea n d f e a l ，pt y p ei t c r a t i v el e 砌n gc o n t r o la l g o r i t l l mf 断t l l em i n i 枷mp h a s es y s t e m 、i t h f i r s to r d e rr e l a t i v e l yi sp r o p o da n dt l l ec o n d i t i o nf o rc o n v e 唱e n c eo f i s 百v 髓 1 1 圮t l l j 艄p r o b l e mi sm a tw ec o i l s i d e rr e p e a t a b l et r a c k i n gc o m r o lt a s l 【sm i n ga f u z z yl e a r i 血gc o n 廿o l ，i nw h i c hi t e 馏n v e 呦c 0 曲la st t l e b 勰i cc o n 仃o l 锄d i l e 删n gc o n t r o l 船舱f m e m e mp a r t ，“i sd 锄o n s 舰i e dt h a t “as 硫砌a t i o n ，f u z 巧 l e 删n gc o n 舡o l i ss h o w nt 0b ea p p l i c a b l e 锄dp e 疵c ti i l c o m p a r i s o n 而t h c o n v e n t i o n a lf l l z 巧c o n n 0 1 k e yw o r d s ：i t e r a t i v ei e a m i n gc o n 仃o l ，c o n v e r g c n c es p e e d ，t i i em i n i m 岫p h a s ”t c i r l ， f h z 巧l e a r i l i n gc o m r o l 第一章绪论 1 1 引言 考虑控制系统 第一章绪论 童2 m ，“，) ， ( 1 1 1 ) ，= ( z ，“，f ) ， 、7 其中，状态变量x er ”，控制变量甜r ”，系统输出y r ； ，：r ”r ”j + 一r ”，_ l l ：尺”r ”一r p ，l = 0 ，a o ) 。 这里我们要解决的任务是：给定时间区间l o ，r i 上的期望轨迹儿( ，) ，寻求一 控制输入“( r ) ，使得在该控制输入作用下系统的输出夕o ) 在区间【0 ，r 】上跟踪 ) ，。( f ) 。这是自动控制中的经典问题。然而，在传统的控制理论范围内，在一般 情况下，此问题十分困难。上世纪八十年代初，随着计称机在工业自动控制中 的应用，人们提出了迭代学习控制这一新的控制方法，为解决上述问题开劈了 一个新途经。 我们将能使_ y ( o 跟踪j ，。( f ) 的控制“( f ) 称为期望控制，用( r ) 表示。迭代学 习控制是通过函数迭代方法寻找理想控制( f ) ，即构造一个迭代学习控制律， 使得它所产生的控制函数序列k g ) 收敛于o ) ，从而使当七寸m 时，系统的 迭代输出n o ) 在f 【o ，r 】上一致收敛于期望轨迹y d o ) 。迭代学习控制的过程可用 图1 1 来描 l ： 图1 1迭代学习控制的过程框图 第一章绪论 由图1 1 可以看出，迭代学习控制采用“在重复中学习”的学习策略，它 具有记忆系统和经验修正机制。它以非常简单的方式和需要较少的先验知识处 理不确定程度相当高的动态系统。它非常适合于具有某种重复运动性质的被控 对象且能实现完全跟踪，而不是渐近跟踪。当在不精确已知( 甚至未知) 被控 对象动力学特性的情况下能设计出效果良好的控制器，它适用于一般非线性控 制系统。由于学习迭代控制算法在每次控制后离线计算，因此在线计算负担小， 适合于快速运动控制。经过二十多年的发展，这一控制方法已在机器人控制、 过程控制等领域内取得了很大成功。但从目前看，这一方法仍处在发展之中， 有许多问题没有解决。 1 2 迭代学习控制理论的发展 迭代学习控制可以定义为“在重复运动过程中，任何不依赖于系统参数模 型而能改善被控对象品质的控制策略”，它在本质上要求运动具有重复性且在一 个固定时间间隔内完成。迭代学习概念首先由日本学者s u c h i y a m 于1 9 7 8 年 提出，但由于他的文章是以日文形式发表出来的，未能引起人们的关注。直到 1 9 8 4 年，a i i m o t o 等人进一步提出学习迭代控制理论，并用英文发表了他们的 研究成果，迭代学习控制理论才真正引起人们的广泛关注，并在随后的十多年 的时间里，取得到了巨大的发展，正在逐步形成控制理论领域中的一个新方向。 1 2 1 迭代学习控制算法及收敛性分析 算法及收敛性是迭代学习控制理论的中心问题，下面将对此做详细综述 【1 】。 a 血n o t 0 ，m i y a z a l 【i 和l w 锄眦首先在连续系统中提出d 型学习律，它 仅仅利用输出误差气o ) = ) ，。( f ) 一儿( f ) 的导数信号略( f ) 构造修正项。最简单的d 型学习律为 。( f ) = ( f ) + r ( r ) 式中f 【0 ，r 】，七为迭代次数，r 为定常增益矩阵，儿o ) 为期望轨迹，儿( f ) 为 第t 次迭代后的实际输出轨迹。 当d 型学习律作用于具有重复运行性质的线性定常系统 2 第一章绪论 t o ) = 以o ) + b ( f ) y 。o ) = 吼( f ) 式中f 【o ，r 】，x 。o ) r ”，甜。( ，) r 7 ，儿( f ) r ”。 若系统满足l i ，一r c 圳 l 或i l ，一c 口圳 l 或0 ，一b r c 0 l 条件及相应的 一些初始条件，则当摩寸m 时，系统的迭代输出儿o ) 在【0 ，丁1 上一致收敛于期望 轨迹) ，。( f ) ，即婪曼儿( r ) = 儿o ) ，【o ，丁】。 由于单纯的d 型学习律可调整的参数只有学习增益r 。当r 确定以后，学 习系统的跟踪性能和收敛速度也基本上随之确定。为了提高收敛速度，改善跟 踪性能，他们在以后的工作中不断对该算法进行修正，提出了一般的p d 型学 习律。其表示形式为 。( f ) = ( f ) + r ( f ) 五协( f k ( f ) + y ( r ) k ( f 如 其中r o ) 工( f ) y ( f ) 为适当维数的学习增益矩阵。根据学习增益矩阵的不同选 择，可以得到d 型、p 型、p i 型、p d 型等不同形式的算法。 p i d 型学习律的收敛条件可以用有关矩阵的谱半径表示。设它作用于具有 重复运行性质的线性时常系统 孔o ) = 4 0 ) 礼o ) + b o k 。( f ) 儿( ，) = c ( f k ( f ) 式中f o ，r j ，以o ) r ”，n 。o ) r 7 ，儿o ) r “。 若系统满足p 0 一c o 归( f ) r ( f ) ) sp 1 的非正则系统，可以利用输出误差的，阶导数构造学习律。如对 于，阶完全非正则系统，可构造如下的学习律： ，、 。( f ) = o ) + ，蠢o ) 式中e 。( f ) = 儿o ) 一儿o ) ，为学习增益。 对于r 阶部分非正则系统，可构造如下的学习律： 。( f ) ：”。o ) + 窆l 。冀) 第一章绪论 对于，阶非正则系统，学习律中使用了输出误差的，阶导数。然而，当实际 系统中存在量测噪声时，量测噪声将会严重影响学习律中的高阶导数运算。因 此提出了p 型学习律，它直接利用输出误差气( ，) 构造修正项。 最简单的p 型学习律为 “。+ 。o ) = “。( f ) + 三气( f ) 式中e 。( f ) = 朋e ) 一儿o ) ，为学习增益。 设p 型学习律作用于正则系统 o ) = 血。o ) + 肋。( r ) 儿o ) = c ( f ) + d 椎( f ) 式中，【o ，r 】，以( f ) r “，( f ) 且7 ，儿o ) r ”。 若系统满足i l ，一厶刚 1 或0 ，一d 训 l 条件及相应的一些初始条件，则当 七一。时，系统的迭代输出儿( f ) 在【o ，r 】上一致收敛于期望轨迹儿o ) ，即 ! 鳃) ，t o ) = j ，一o ) f 【o ，r 】o 设p 型学习律作用于非正则系统 以o ) = 以( f ) + 曰o ) 儿( ，) = 吼o ) 式中f 【o ，r 1 ，x 。o ) r ”，“。( f ) er 7 ，y 。o ) e 震”。 若系统满足只4 + 4 7 p = 一q ，朋= c 7 ，q c 7 上c 条件及相应的一些初始 条件，则当七一* 时，系统的迭代输出肌( f ) 在【o ，r 】上一致收敛于期望轨迹 儿( f ) ，即舰儿o ) = 儿o ，【o ，r 】 以上我们仅讨论了线性系统的学习算法，对于非线性系统，文献【3 7 提出了 高阶学习律，即构造学习律时，不仅利用前一次迭代学习过程中的控制输入和 误差信息，还利用前面多次迭代学习过程中的控制输入和误差信息。 高阶学习律的一般表示为 + 。o ) = k 牝。似，址。 气 ，。( ，l ，) 形如上面学习律称其为n 阶学习律。 同时，为了降低实际系统中量测噪声的影响，c r a i g 首先提出了滤波器型学 习律，即对测量信号进行滤波处理，然后利用滤波后的信号构造学习律。 滤波器型学习律可表示为 。= 毗o ) + p ( f ) 气o ) 4 第一章绪论 式中p ( f ) 为一线性滤波器的脉冲响应函数，“”表示卷积运算。s u g i e 和o n o 还提出了其他形式的滤波器型学习律。 针对测量误差，初始误差等，引入了遗忘因子的概念。h e i i l z i n g e r 等提出 了带遗忘因子的d 型学习律。 。 。o ) = ( 1 一，k 。( f ) + 。o ) + 工以( f ) ，f ) 五o ) 式中( f ) = 乃( f ) 一儿( r ) ，f 【o ，丁】，o ， 1 为遗忘因子 艋m o t o 等提出了p 型遗忘因子学习律 。o ) = ( 1 一口 。o ) + 伽。( f ) + m ( f ) 式中吼( ，) = 均( ，) 一几d ) ， o ，列，o 口 o 为学习增益。 在文献 1 3 】中已证明，当f 1 一酬 l 时，恢+ j l 。i l 一d q f i 。0 气忆不等式成立， 该算法收敛由于本章考虑的是一维空间，0 0 。= | 1 | | 。= | | 1 | ：= h ，即 恢+ 。ks i l ，一dq i 圳气虬化为慨+ 。虬s f l 一由。儿，一阶算法的收敛速度可定义为 卅i l 一刮。 定义一阶p 型m c 的迭代过程为，则收敛因子 q i “，o ) = 嫩s u p 铣= ( 2 - 3 ) l i l 工 即一p 阶型学习律的收敛因子与有关，越大，q l 瓴，o ) 越大，收敛速度越慢， 反之越快，因此可将求q l “，o ) 转化为下面优化( 最小最大) 问题： 以2 卿搿i l 一酬 ( 2 4 ) 其中，d = k 。，口：】 或更广范围内的优化问题 ，2 骝哿警i p 一彬f ( 2 - 5 ) 其中，p 可认为是权重或p 型学习律的遗忘因子 第二章针对一类高阶迭代学习控制算法收敛速度的研究 命题2 1 ：问题( 2 5 ) 的最优解为【1 4 】： 当g = 景 鲁时，= 卿黔陋一g d l 达到最优值 口，+ 口l q k 4 e d ，= m 其中曰2 嚣，川 口= 占 2 2 2 二阶p 型i l c 控制算法收敛速度 二阶p 型学习律可表示为 甜i “o ) = ，i + p 2 “t i + g l 气+ 9 2 吼- 1 ( 2 6 ) 当p 1 + p 22 l ，l p l g l d i + i p 2 一9 2 卅 o ，则f 为p 。的增函数，故当a ：l ，m i i l f h ，p ：) = 口； 印1 狄耶- 忆：坐孕吐 当a = o 时，f = 万； 当a 1 ； 综上所述，当p - - 1 ，p ：= l a = o ，g l = 瓦 i ，g ：= 。 以2 h 嘿扎嗽。骝锄) 2 h 魄一f 慨，p ：) 2 口 2 2 3 三阶p 型i l c 控制算法收敛速度 i “o ) = p 1 t + p 2 “i - l + p 3 甜t 2 + g + 9 2 吼一i + 9 3 p i - 2 ( 2 - 1 0 ) 当a + ，：+ 办= 1 ，b 一吼d i + i p 2 一g ：d 卜j p ，一9 3 卅 1 时，不等式 恢+ - 扎i p 。一面。肛。虬+ k 一由：慨一。虬+ b 一由，0 e 。k 成立，该算法收敛。三阶算法的收敛速度由下式给出 z 3 一i p i g 。卅z 2 一i p ：一g ：d l z i p ，一g ，卅= o ( 2 - 1 1 ) 其中= i p 。一吼d i ，2 = p ：一g ：卅，吩= i 乃一吼叫 第二章针对一类高阶迭代学习控制算法收敛速度的研究 令口= 一，- ，6 = - ，2 ，c = 1 ，p = 一手+ 6 ，g = 萼一警+ g z = x 一詈 3己l ， 3 则式( 2 1 1 ) 代为 x 3 + p 贸+ g = 0 ( 2 1 2 ) 其根为： 毛：污丽+ 伍丽 铲q 污丽悃：压丽 而耐压丽+ q 伍丽 q = 学彳= 学小- 设确，玑，仉是式( 2 一1 1 ) 的根，则 4口4 玑2 而一i 叮22 。2 一了，玑2 为一了 其中，7 。是正根，且h | - m a x | i l 叩：l 枷，1 ) 。 下面我们证明仇是正根，且h l _ m a x 0 矾i ，k l ，i 仉1 ) 。 证明： 分两种情况讨论： ( 莉2 埘2 。 因为口= o ，6 = 一，2 o ，c = 一吒 ojj ，口= g ：+ 6 ：f o ， b 毛卦爿 恐= 凹l ( 日+ 争 + 册一( 日弓f ) = 2 口c o s ( 只+ 詈石) i ，7 ：i ，k l k i ，h | k ，i ，h i - m a x 仉l i 玑，h j j ) 由于编是正根，且h l = m a x ：i ，| 仉i ) ，式( 2 - 1 1 ) 转化为求： 以2 h ，嚣毋) e 矿“嚣) e 舻巧警h ) ( 2 _ 1 3 ) 研= + 拒( 寺彳+ 1 屹+ 吩) + 拈( 寺彳+ ；吃+ 吩) 2 一刍g ，- 2 + 屹) 3 + 怛( 弓干+ 吃+ ) 一拈b 彳+ 吾 吒+ 吩) 2 一寺g 干+ 吒 3 定理2 1 ：问题( 2 1 3 ) 的最优解为： 当a = l p ：= q 见= 。，g t = ；南，吼= 。，g ，= 。时 以2 h 嬲列滁矿学址占2 焉 ( 2 _ 1 4 ) 证明： 由一阶儿cp 型学习律的收敛速度讨论知： h 嚣璃k 。，h 珊k 舻t 黔以) = h p ，吼= 蠡 第二章针对一类高阶迭代学习控制算法收敛速度的研究 同时，根据引理2 1 ，可得 以2 “嚣甥k 矿珊骝h ) 2 h ，罢囔一f 0 - ，p z ，见) ( 2 - 1 5 ) 其中，f 0 。，p ：) 是 z 3 一i p 。i 忽2 一i p ：j 忽一1 1 一p 。一p ：p = o ( 2 1 6 ) 唯一的正根。 下面分两种情况讨论方程( 2 - 1 6 ) 正根的值： ( 一) p 2 o ，分三点讨论，( 1 ) l a 0 ( 2 ) l - p i o 且p 2 1 - a ( 3 ) 1 - a 0 且见 o 且见 1 p l 设妒0 ：) 表示方程( 2 1 6 ) 的正根，将矿0 ：) 代入( 2 1 6 ) 得 矿0 ：) 一j p 。l 印2 0 ：) 一p ：印0 ：) 一( 1 一a p ：汐= 劬0 ：) 一口( 2 一1 9 ) 1 8 第二章针对一类高阶迭代学习控制算法收敛速度的研究 对p ：求导得 g 印2 慨) 一2 b l 劬如) 一仍口矽慨) = o ( 2 。2 0 ) 由( 2 2