（基础数学专业论文）一类分式规划问题的farkas型结论与广义微分性质.pdf

摘要 摘要 众所周知，许多实际问题可以归结为分式规划模型。近几十年中，许多数学 工作者致力于该分式规划模型的理论研究，构造对偶模型，给出解的存在性条件 等。1 9 6 7 年，d i n k e l b a c h 给出了在分式规划理论研究中常用的一种变换： d i n k e l b a c h 变换，同年，b e c t o r 研究了凸分式函数的规划问题；1 9 7 3 年，b e c t o r 又讨论了非线性分式规划的对偶；1 9 7 6 年，s c h a i b l e 给出了一类分式规划的对偶 的统一的方法；2 0 0 5 年，b o t ，k a s s a y 和w a n k a 构造了一类初始问题的三种对偶 问题：l a g r a n g e 对偶，f e n c h e l 对偶，l a g r a n g e - - f e n c h e l 对偶，证明在合适的条 件下，初始问题和它的三种对偶问题的优化目标值是一致的；利用这个结果，2 0 0 7 年，b o l ：，h o d r e a 和w a n k a 给出了一类目标函数是凸函数和凹函数之比的分式规 划问题解的存在性条件，获得了它的f a r k a s 型结论。在过去的结论中，一般要 求目标函数中分子和分母都具有某种凸( 或凹) 性。本文的第二章将讨论如下的 分式规划问题： x x ，f ( x ) 。黼彳， 这里xc r n 是非空凸集，f ，k ，一g ，一1 ：r n - - 9 茛和f ：r n 专r m 都是凸函数。另外， 我们要求f k ，一( g 1 ) 是正常的，对于x e x x ：f ( x ) 0 ) 有( g 1 ) ( x ) 0 。显 然，目标函数中分子和分母不必具有凸( 或凹) 性，而是两个凸函数之差( 即 d c 函数) 。 我们将构造上述分式规划问题的对偶问题，讨论强、弱对偶的存在性，并给 出解的存在性的充分必要条件。由于k ( x ) 兰1 ( x ) 兰0 时，上述规划问题退化为b o i ， h o d r e a 和w a n k a 讨论的模型，因此本文结论推广了一些近期的相关结果。 本文的另一个研究主题是广义微分性质。2 0 世纪五十年代以来由于理论和 应用的需要逐步发展起来的非光滑分析及优化理论，在数学规划，最优控制理论， 数理经济学，变分学等领域有重要作用，已成为一个研究热点。函数的凸性和微 北京工业大学理学硕士毕业论文 分作为非光滑分析中重要概念在过去的几十年中得到了各种各样的推广，获得了 许多重要的结论。1 9 7 6 年，m a v f i e l 利用a b e n - t 乱提出的广义代数运算引入 了一类重要的广义凸函数：( h ，伊) 一凸函数及其广义次梯度。2 0 0 1 年，张庆祥根 据广义代数运算定义了函数f 在x 点沿方向d 的广义( h ，矽) 一方向导数和f 在x 点的广义( h ，缈) 一梯度。但因广义( h ，伊) 一方向导数的概念难以刻画广义次微分， 于是徐义红等人在2 0 0 2 年针对( h ，伊) 一凸函数修改了广义( h ，伊) 一方向导数的概 念，定义了( h ，伊) 一凸函数的广义方向导数及广义次微分，并讨论了它们具有的 一些良好性质。2 0 0 6 年徐义红等人提出了一种广义l i p s c h i t z 函数：( h ，矽) 一 l i p s c h i m 函数，给出了它的广义方向导数和广义梯度的定义并研究了它们的一些 基本性质。 但是对于上面( h ，缈) 凸函数的广义微分理论的研究还不够深入，一些重要性 质没有涉及，也没有建立( h ，缈) 一凸函数广义次微分和( h ，妒) 一l i p s c h i t z 函数广义 梯度的联系，而在经典的非光滑分析中二者有紧密的关系。本文第三章将对这些 问题进一步研究，给出( h ，伊) 一凸函数的广义方向导数的计算公式以及判断 ( h ，缈) 一凸函数的广义次微分和局部( h ，缈) 一l i p s c h i t z 函数的充分必要条件。进而 得到( h ，妒) 一凸函数和局部( h ，9 ) 一l i p s c h i t z 函数及它们的广义方向导数之间的联 系。 本文共分三章，内容如下： 第一章介绍一些基本的记号和定义，回顾分式规划问题及广义微分的发展背 景。 第二章讨论上面所给出的一类被有限多个非负凸函数所限制的分式规划问 题。给出刻画此类问题解的存在性的f a r k a s 型结论，即用有关函数的( f e n c h e l m o r e a u ) 共轭给出其解存在的充分必要条件，而且我们指出使用上境图也可以 刻画上述问题。 第三章给出( h ，缈) 一凸函数和( h , 缈) - l i p s c h i t z 函数的一些广义微分性质。 n 分 摘要 关键词：f a r k a s 型结论：共轭函数：分式规划；广义方向导数：广义次微 i i i 北京工业大学理学硕士毕业论文 a b s t r a c t a si sk n o w nt oa l l ，m a n y p r a c t i c a lp r o b l e m s c a l lb et r a n s f o r m e di n t o f r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gm o d e l s d u r i n gt h er e c e n td e c a d e s ，m a n ym a t h e m a t i c a l w o r k e r sw o r kf o rt h es t u d yo ft h em o d e l s ，c o n s t r u c t i n gd u a lp r o b l e m sa n dt a n d 吨 e x i s t e n c ec o n d i t i o n so fo p t i m a ls o l u t i o n sa n ds oo n i n19 6 7 ，d i n k e l b a c hg a v ea t r a n s f o r m a t i o nm o s ti nu s ei nt h es t u d yo ff r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gt h e o r y ：d i n k e l b a c h t r a n s f o r m a t i o n a tt h es a m ey e a r , b e c t o rs t u d i e dp r o g r a m m i n gp r o b l e m s 谢t hc o n v e x f r a c t i o n a lf u n c t i o n s i n19 7 3 ，b e c t o rd i s c u s s e dd u a l i t yi nn o n l i n e a rf r a c t i o n a l p r o g r a m m i n g i n19 7 6 ，s c h a i b l eg a v eau n i f i e da p p r o a c hf o rd u a l i t yi naf i a c t i o n a l p r o g r a m m i n g i n2 0 0 5 ，b o t ，k a s s a y a n dw a n k ae s t a b l i s e dan e a r l y 。c o n v e x o p t i m i z a t i o np r o b l e ma n dc o n s t r u c t e di t st h r e ek i n d so fc o n j u g a t ed u a lp r o b l e m ：t h e l a g r a n g ed u a l ，f e n c h e l d u a la n dl a g r a n g e - f e n c h e ld u a lp r o b l e m s t h e ya l s o s h o wt h a t ，u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，t h eo p t i m a lo b j e c t i v ev a l u e so ft h e s ef o u r p r o b l e m sc o i n c i d e b yu s i n gt h e s er e s u l t s ，i n2 0 0 7 ，b o l ，h o d r e aa n dw a n k ap r e s e n t e d s o m ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sf o raf i a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e mw h o s eo b j e c t i v e f u n c t i o n si st h eq u o t i e n to fac o n v e xf u n c t i o na n dac o n c a v ef u n c t i o n , a n do b t a i n e di t s f a r k a s t y p er e s u l t s a m o n gt h ep a s tr e s u l t s ，t h en u m e r a t o ra n dd e n o m i n a t o r i nt h e o b j e c t i v ef u n c t i o n sa l eg e n e r a l l yr e q u i r e df o rc e r t a i nc o n v e x i t y o rc o n c a v i t y c h a p t e r t w oo ft h i sp a p e rw i l ld i s c u s st h ef o l l o w i n gf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m ： x x ，f ( x ) 。= ，黼旯， w h e r en o n e m p t yc o n v e xs u b s e tx cr na n dc o n v e xf u n c t i o n sf ，k ，- g ，一1 ：r n 专r a n df ：r njr ma r eg i v e n f u r t h e r m o r e ，w es u p p o s et h a tf k ，- ( g 1 ) a r ep r o p e r a n dt h ec o n d i t i o n ( g 1 ) ( x ) 0f o ra l lx x x ：f ( x ) 0 ) i sa l s oa s s u m e d i ti s a b v i o u st h a tt h en u m e r a t o ra n dd e n o m i n a t o ri nt h ea b o v ep r o b l e ma len on e e dt o h a v e c o n v e x i t yo rc o n c a v i t y , b u tt h ed i f f e r e n c eo f t h et w oc o n v e xf u n c t i o n s ( d e ) i v a b s t r a c t w ew i l lc o n s t r u c tt h ed u a lp r o b l e mt ot h ea b o v ef r a c t i o n a lp r o b l e m , d i s c u s st h e e x i s t e n c eo ft h es t r o n ga n dw e a kd u a l i t ya n dg a v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s i n c ew h e nk ( x ) 量l ( x ) 暑0 ，t h ea b o v e p r o g r a m m i n gp r o b l e mi ss i m p l i f i e dt ot h em o d e ls t u d i e db yb o l h o d r e a - w a n k a , t h i s p a p e r sr e s u l t sg e n e r a l i z es o m er e l a t e dr e s u l t sr e c e n t l yo b t a i n e d a n o t h e rs u j e c to ft h i sp a p e ri st h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a l n o n s m o o t ha n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o nt h e o r y , w h i c hh a v eb e e nd e v e l o p e ds i n c et h e 19 5 0 sf o rb o t ht h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l r e a s o n s ，p l a ya ni m p o r t a n tr o l e i n m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，t h e o r yo fo p t i m a lc o n t r o l ，m a t h e m a t i c a le c o n o m i e sa n d v a r i a t i o n a lc a l c u l u s ，a n dh a v ef o r m e daf o c u so fr e s e a r c h a sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hs u b s t a n c e ，f u n c t i o n a lc o n v e x i t ya n dd i f f e r e n t i a lh a v e b e e ng e n e r a l i z e df r o ma l ls o r to fa s p e c t sd u r i n gt h el a s td e c a d e sa n do b t a i n e dm a n y i m p o r t a n tr e s u l t s 黝t h eh e l po fg e n e r a l i z e da l g e b r a i co p e r a t i o n si n t r o d u c e db y a b e n - t a l ，m a v r i e lp r e s e n t e da ni m p o r t a n tg e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n s ： ( h ，缈) - c o n v e xf u n c t i o n sa n di t sg e n e r a l i z e ds u b g r a d i e n t s i n2 0 01 ，q i n g x i a n gz h a n g d e f i n e dg e n e r a l i z e d ( h ，矽) - d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo ffa tp o i n txa n dg e n e r a l i z e d ( h ，伊) 一g r a d i e n to ff a t p o i n tx b u tg e n e r a l i z e d ( h ，缈) 一g r a d i e n ti s h a r dt o c h a r a c t e r i z eg e n e r a l i z e ds u b - d i f f e r e n t i a l ，t h e r e f o r e ，i n2 0 0 2f o r ( h ，9 ) 一c o n v e x f u n c t i o n sy i h o n gx ui d e n t i f i e dt h e c o n c e p t so fg e n e r a l i z e d ( h ，缈) 一d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e s ，d e f i n i n gg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e so f ( h ，缈) - - c o n v e xf u n c t i o n s a n d g e n e r a l i z e ds u b d i f f e r e n t i a l s ，a n dd i s c u s s e dt h e i rs o m eg o o dp r o p e r t i e s l a t e ri n 2 0 0 6 ，y i h o n gx ua n ds a n y a n gl i ui n t r o d u c e dak i n do fg e n e r a l i z e dl i p s c h i t z f u n c t i o n s ：( k 矽) 一l i p s c h i t z f u n c t i o n sa n dg a v et h ed e f i n i t i o n so fi t sg e n e r a l i z e d d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n dg e n e r a l i z e dg r a d i e n t sa n dd i s c u s s e ds o m ec o r r e s p o n d i n g f u n d a m e n t a lp r o p e r t i e s b u tf o ra b o v eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a lt h e o r i e so f ( h ，伊) - c o n v e xf u n c t i o n s ，t h e v 北京工业大学理学硕士毕业论文 s t u d yi ss t i l ln o td e e p s o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e sa b o u ti ti sn o tt o u c h e da n dt h e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e ng e n e r a l i z e ds u b d i f f e r e t i a l so f ( h ，缈) 一c o n v e xf u n c t i o n sa n d g e n e r a l i z e dg r a d i e n t so f ( h ，伊) 一l i p s c h i t zf u n c t i o n sa l en o tk n o w n , h o w e v e rt h e r e e x i s tc l o s er e l a t i o n sa m o n gt h et w oc o n c e p t si nc l a s s i c a ln o n s m o o t ha n a l y s i s i nt h e c h a p t e rt h r e eo ft h i sp a p e rb ys t u d y i n gt h e s ep r o b l e m sw eg i v e t h ec a l c u l a t i o n f o r m u l a t i o nf o rg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo f ( h ，缈) - c o n v e xf u n c t i o n sa n da n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nj u d g i n g ( h ，伊) 一c o n v e xf u n c t i o n s a n dl o c a l ( h ，缈) 一l i p s c h i t zf u n c t i o n s ，t h u s w ei n d u c et h er e l a t i o n sb e t w e e n ( h ，缈) 一c o n v e x f u n c t i o n sa n dl o c a l ( h ，矽) 一l i p s c h i t zf u n c t i o n sa n dt h er e l a t i o n st h e i r sg e n e r a l i z e d d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e s t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r sa n do r g a n i z e da sf o l l o w i n g i nc h a p t e ro n e ，w ef i r s tp r e s e n ts o m eb a s i cn o t i o n sa n dd e f i n i t i o n s ，t h e nb r i e f l y r e v i e wt h ed e v e l o p m e n tb a c k g r o u n do ft h ef r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m sa n d g e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a l 。 t h es e c o n dc h a p t e ro ft h i sp a p e rs t u d i e saf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e mw i t h f i n i t e l ym a n yn o n - p o s i t i v ec o n v e xc o n s t r a i n t sg i v e na s b e f o r e w eo b t a i nt h e f a r k a s 一锣p er e s u l t sw h i c hc h a r a c t e r i z et h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sf o rt h i sp r o b l e m ， n a m e l yg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h i sp r o b l e mb yu s i n g t h e fe n c h e l m o r e a uc o n j u g a t e so fr e v o l v e df u n c t i o n s ，a n df u r t h e rw es h o wt h a tt h i s p r o b l e m sc a nb ea l s oc h a r a c t e r i z e db a s e do ne p i g r a p h s i nc h a p t e rt h r e e ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e sf o rg e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a lo f ( h ，缈) 一 c o n v e xf u n c t i o n sa n d ( h ，伊) - l i p s c h i t zf u n c t i o n s k e y w o r d s ：f a r k a s 一咖er e s u l t s ；c o n j u g a t ef u n c t i o n s ；f r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g ； g e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e ；g e n e r a l i z e ds u b d i f f e r e n t i a l 独创性说明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 躲煎哗? 一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名j 鱼互莹皇：日期： 趟监7 1 1 预备知识 第1 章绪论 第1 章绪论 设x 是一个拓扑向量空间。我们回顾一些概念和结论。以下内容可参见文 献【1 】和 2 】。t 定义1 1 1 函数f ：x 专ru 佃) 的有效域是指 d o m ( f ) ：= x ex ：f ( x ) oo e 廿【x - r ) 命题1 1 2 函数f ：x 寸ru 佃) 是下半连续的充分必要条件是 f ( x ) l i m i n ff ( x ) 。 命题1 1 3 函数f ：x 专ru 是下半连续的充分必要条件是f 的上境图是 闭集。 命题1 1 4x 的一个子集k 是闭集的充分必要条件是它的指示函数是下半连续 的。 命题l - 1 5 设i 是一个指标集，函数f ，g ，： ， 则有 x r u 佃) ( i i ) 是下半连续的。 ( a ) 斌f ，g ) 是下半连续的； ( b ) 如果a 是一个从拓扑向量空间y 到x 的连续映射，那么f 。a 是下半连续的； ( c ) s u p 写是下半连续的。 i e j 命题1 1 6x 的一个子集k 是闭集的充分必要条件是它的指示函数是凸函数。 1 2 一类分式规划问题的f a r k a s 型结论 优化理论在数学中具有重要的地位。在过去的几十年，优化理论在许多领域 得到了广泛而有效的运用。很多由实际应用而产生的优化问题最终可归结为分式 型问题，这使得分式优化问题的研究在过去一段时间不断深入。在为解决实际应 用问题的一些理论方法阻5 1 提出之后，不少数学工作者致力于构造各种分式规划 问题的对偶问题并给出其弱对偶和强对偶结论( 见文献 6 - 1 0 ) 。 现在先介绍相关的一些记号和概念。对于一个优化问题( p ) 的优化目标值我 第1 章绪论 们表示为p ) 。设x 是r n 的一个子集，则x 的支撑函数定义为 仃x ：r n 专良= r u o o ) ，a x ( v ) = s u p v r x 。 设xcr “是一个非空的子集，那么函数f ：r n 专趸相对于集合x 的共轭定 义为 ：r n 专瓦= s u p p t x f ( x ) 。 当x = r n 时，函数f ：r n - - - 9 , 良相对于集合x 的共轭被记为f ，此时f 就是 函数f 的f e n c h e l 共轭。 1 9 6 7 年，d i n k e l b a c h 给出了在分式规划理论研究中常用的一种变换： d i n k e l b a c h 变换。经常使用这种变换把分式规划问题归结为整式规划问题，这样 可以更方便地使用对偶自反理论。同年，b e c t o r 研究了凸分式函数的规划问题； 1 9 7 3 年，b e c t o r 又讨论了非线性分式规划问题的对偶；1 9 7 6 年，s c h a i b l e 获得了 一类分式规划的对偶的统一处理方法。 2 0 0 5 年，b o t 和w a n k a 在文献 1 1 d p 研究了如下的一类规划问题： x x ，f ( x ) 0 jf ( x ) 0 ， 这里x 是r n 的一个凸子集。函数f ：r n 哼良和f ：r n 专r m 是凸函数，f 是正常 的，使得 x n d o m ( f ) n r 。1 ( 一霹) g ， 此处f 。1 ( 一r ? ) ：= ( x i r ：彳( x ) 0 ) 。 在下面的限制条件下： c c q h “删m x m 躲黑印，。，蒜2 这里a ：= 0 。 当允o 时考虑下面的限制条件： ( c q ) 3 x r i ( d o 删) n r i ( 州g ) m x ) s t 像黑吨m ) j e a a , 得到下面的f a r k a s 型结论。 第1 章绪论 定理1 2 3t 1 3 1 如果1 - e - 6 ) 成立并且力是一个非负实数，则下面的两个论断等价 ( i ) 艇x x ) 。j 器孙； ( i i ) 存在u ，v r n 以及口o 满足 f ( u ) + 力( 一g ) ( 、，? ) + ( 口t f ) x + ( u 一舢) 0 。 定理1 2 4 t ”1 当旯是一个非负实数时，定理1 2 3 的论断( i i ) 等价于 ( o ，o ) ce p i ( f 。) + 知p i ( ( 一g ) ) + c o n e c o ( u e p i ( v i ) ) + e p i ( t r x ) 。 当彳 0 时考虑下面的限制条件： ( c q 硼硫呦啷躲黑印，鬈龛 得到下面的f a r k a s 型结论。 定理1 2 5 t 1 3 1 如果一g 在x n r 一1 ( 一聪) 中是下半连续的，丽) 成立并且力是一个 负数，则下面的两个论断等价 ( i ) x x ，删。j 器犹 ( i i ) 对每一个y d o m ( ( - g ) * ) ，存在u r n 以及口o 满足 f + ( u + ) + 兄( 一g ) 。( y ) + ( 矗t r ) x + ( - u 一元y ) 0 。 定理1 2 6 t 1 3 1 如果一g 在xr 、f - 1 ( 一聪) 中是下半连续的， 兄是一个负数，则定理 1 2 5 的论断( i i ) 等价于 一九e p i ( ( 一g ) ) ce p i ( f ) + e o n e c o ( ue p i ( r i ) ) + e p i ( o x ) 。 1 3 广义微分发展简介 北京工业大学理学硕士学位论文 非光滑分析是数学的一个重要分支，在数学规划，最优控制理论，数理经济 学，变分学等领域的研究中有重要意义。五十年代后期以后发展起来的凸分析是 从经典分析发展到非光滑分析所经历的一个阶段。在这方面wf e n c h e l ， j m o r e a u ，r t r o c k a f e l l a r ，a b r o s t e d 等人做出过重要贡献， 1 l t r o c k a f e l l a r 的c o n v e x a n a l y s i s ( 见文献【1 】) 是凸分析方面重要著作之一。非光滑函数 的广义微分性质和f e n c h e l 共轭凸函数理论是非光滑分析中的重要内容，下面介 绍它们的发展背景以及本文要用到的基本概念和相关结果。 由于函数的凸性和微分在数学中的重要作用，它们在过去一段时间得到了各 种各样的拓广【2 1 扣2 4 1 。广义凸性和微分对于研究最优控制理论 2 5 - 3 9 1 ，变分问题 1 4 0 - 4 6 1 ，算子的单调性 4 7 - 4 9 1 等领域有重要意义。 设x 是拓扑向量空间，由文献 2 】知对于凸函数f ：x - - frk 7 佃) 可以定义 它在点x e d o 叫f ) 沿方向v x 的右导数 d f ( x ；v ) ：1 衄墅塑螋， r - - o + 纷 如果d r ( x ；v ) 对于所有的v 都存在，则称f 在x 处右可微。 记x 为x 的共轭空间。由上面的定义可以得到凸函数的次微分的定义。 定义1 3 1 【2 1 4 1 设f ：xjru 是正常的凸函数，则称集合 0 f ( x ) = 是正常的。则f 的f e n c h e l 共轭f ：x 专 ru 佃 定义为 v p x ，f + ( p ) ：= s u p ( p ，x 一f ( x ) ) ； x x f 的f e n c h e l 双共轭f ”= ( f ) ：x 良定义为 v x x ，f ”( x ) ：= s u p ( p ，x ) 一f + ( p ) ) 。 p e x 一个正常的，凸的，下半连续的函数f ：x 专rk j 佃) 可以用它的f e n c h e l 双共轭来刻画，这就是下面的定理。 定理1 3 1 2 1 一个正常的函数f ：x 专ru 佃) 是凸的，下半连续的当且仅当 f = f ”。此时f + 也是正常的。 由上面的定理我们可以得到下面的结论。 定理1 3 2 2 h 1 设f ：x 专ru 佃) 是正常的凸函数，且钟( x ) a 。那么下面的 条件等价。 ( a ) p o f ( x ) ； ( b ) ：= d f ( y , v ) 北京工业大学理学硕士学位论文 在x 处连续，则说f 是连续可微的。 由于连续可微函数和凸连续函数都是局部l i p s c h i t z 函数，那么自然想到将可 微性概念推广到l i p s c h i t z 类。1 9 7 5 年，f - h c l a r k e 引入了l i p s c h i t z 函数的广义 梯度概念( 见文献【2 】，【1 4 】) 。 定义1 3 3 2 1 4 1 设f ：xjru 佃) 是正常的凸函数，则点x d o m ( f ) 沿方向 v x c l a r k e 方向导数( 用d of ( x v ) 表示) 定义为 d of ( x ；v ) ：l i m s u p f ( y + r v ) - f ( y ) ， y - - x 7 7 一 目_ 0 + 如果对所有的vex ，d cf ( 骂v ) 存在且有限，则称f 在x 点是c l a r k 可微的。 若f 在x 点严格f r 6 c h e t 可微，即l i m s u p 、鼍l = 0 ， 则有d f ( x ；v ) d cf ( k v ) 。虽然f 在x 点是g 矗t e a u x 可微时不一定是c l a r b 可微 的，但是它们有下面的联系。 命题1 3 1 1 2 , 1 4 1 设f 在x 点是连续可微的，即v v e u ( u 是v 的一个邻域) ，函数 y 专 在x 点连续，则f 在x 点是c l a r k e 可微的，且有 - - - - d cf ( 墨v ) 。 如果f ：x 专ru 佃) 是局部l i p s c h i t z 的，那么它在d o m ( f ) 的内部一定是 c l a r k e 可微的，所以根据下面的广义梯度的概念，局部l i p s c h i t z 函数在d o m ( f ) 的 内部的广义梯度一定非空。 定义1 3 4 2 1 4 1 设f ：x 专ru 佃 在x ；垂c l a r k e 可微的。那么f 在x 点的广义 梯度定义为 。 a 。f ( x ) = p x ：v v x ，( p ，v p 。f ( x ；v ) ) 。 定理1 3 3 2 1 4 1 设f ：x 寸ru 0 ，令u ( + o o ) = 4 - 0 0 ，u ( 棚) = - o o ；如果u ， 并且对于任意的p r n 下确界可以取到。 推论2 i i 5 3 1 设，名：r n 专茛是正常的凸函数。如果集合n 墨。r i ( d o m ( f ：) ) 是非 空的，则有 e p i ( ( 丘) ) = e p i ( f ) 。 命题2 1 1 【5 耵设f ：r n - - - y 良是正常的且口 0 为实常数，则有 e p i ( ( a f ) ) = 口e p i ( f ) 。 北京工业大学理学硕士学位论文 2 2 分式规划问题的对偶问题 一般框架 设x 是r n 的一个凸子集。我们假设函数f ，1 ( ，一g ，- 1 ：r o 一良和 f ：r nj r m 是凸函数，f k 和- ( g 一1 ) 是正常的，使得 x n d o m ( f k ) n r 。1 ( 一r ? ) a ， 这里f - 1 ( 一贮) = x e r m ：f ( x ) 0 ) 。为了研究在摘要和1 4 节提到过的分式规划问 题，我们在本章转化为讨论如下问题： ( 川，i 罴n f 。g f ( ( x x ) ) - 一k i ( ( x ) x ) 一 这里要求对于问题( p ) 可行的x ，即所有的x x n r - 1 ( 一i 擎) 有，( g 1 ) ( x ) o 。 根据上面的假设，可以看出问题( p ) 的优化目标值是有限的，不可能出现耋 的情形，而且f k 和g - 1 = ( - 1 ) - ( - g ) 都是d c 函数，它们可以既非凸函数也非 凹函数。举例来说，设f ( x ) = 一g ( x ) = e 。，k ( x ) = 一l ( x ) = x 2 。容易看出f k 和g - 1 既非凸函数也非凹函数。 对于一个任意的实数五，利用文献 3 】中在分式规划问题中众所周知的 d i n k e l b a c h 变换方法，我们可以建立下面与( p ) 相关的问题： ( 以) i 。n x f f ( x ) 一k ( x ) 一九g ( x ) + 御( x ) ) 。 f ( x